CN104898428B - 一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法 - Google Patents

一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于干扰估计的电液伺服系统的输出反馈控制方法，属于电液伺服控制领域。本发明针对阀控双出杆液压缸位置伺服系统的特点，建立了阀控双出杆液压缸位置伺服系统模型；本发明设计的基于干扰估计的双出杆液压缸系统高精度控制器，通过控制律参数调节能很好估计系统干扰，进而设计基于干扰估计的反馈补偿控制器，能有效解决伺服系统强非线性问题，大大降低实际应用中系统的反馈增益；能保证双出杆液压缸伺服系统的位置输出能准确地跟踪期望的位置指令；本发明简化了控制器设计，更利于在工程实际中应用。

Description

一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法
技术领域
本发明涉及电液伺服系统控制方法，具体涉及一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法。
背景技术
电液伺服系统具有控制精度高、响应快速、输出功率大、信号处理灵活，易于实现各种参量的反馈，因此，在负载质量大又要求响应速度快的场合最为适合，其应用已遍及国民经济的各个领域，比如飞机与船舶舵机的控制、雷达与火炮的控制、机床工作台的位置控制、板带轧机的板厚控制、电炉冶炼的电极位置控制、各种飞机车里的模拟台的控制、发电机转速的控制、材料试验机及其他实验机的压力控制等等。然而，为电液伺服系统设计高性能的控制器并不容易。因为设计人员很可能会遇到很多的模型不确定性，包括结构不确定性(参数不确定性)和非结构不确定性等未建模的非线性。这些不确定性因素可能会严重恶化能够取得的控制性能，从而导致低控制精度，极限环震荡，甚至不稳定性。对于已知的非线性，可以通过反馈线性化技术处理。但是，无论动态非线性和参数识别的如何准确的数学模型，都不可能得到实际非线性系统的整个非线性行为和确切的参数，进而进行完美的补偿。始终存在着不能够用明确的函数来模拟的参数偏差和未建模非线性。这些不确定性因素增加了控制系统的设计难度。为了提高电液系统的跟踪性能，设计人员对许多先进的非线性控制器进行了研究，如鲁棒自适应控制，自适应鲁棒控制(ARC)，滑模控制等等。特别是自适应鲁棒控制已被应用到多种工程实际中，虽然都取得了优异的跟踪性能，但是这种高精度的控制性能有可能是通过大的反馈增益取得的。
因此如何在取得高精度控制的同时，又能大大降低反馈增益系数是一个急需要解决的问题。
发明内容
本发明为解决电液伺服伺服系统中参数确定性和不确定非线性问题，提出一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法。
本发明的上述目的通过独立权利要求的技术特征实现，从属权利要求以另选或有利的方式发展独立权利要求的技术特征。
为达成上述目的，本发明提出一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立双出杆液压缸位置伺服系统模型为：
其中y为负载位移，m表示惯性负载，PL＝P1-P2是负载驱动压力，P1和P2分别为液压缸的两腔压力，A为活塞杆有效工作面积，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，包括非线性摩擦、外部干扰以及未建模动态；
液压缸负载压力动态方程为：
其中Vt分别为液压缸两腔总有效容积，Ct为液压缸泄露系数，QL＝(Q1+Q2)/2是负载流量，Q1液压缸无杆腔供油流量，Q2为液压缸有杆腔回油流量；QL为伺服阀阀芯位移xv的函数，表示为：
其中为流量伺服阀的增益系数，Cd为伺服阀的流量系数，w为伺服阀的面积梯度；ρ为液压油的密度,Ps为供油压力，Pr为回油压力，sign(xv)表示为：
假设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，即，xv＝kiu，其中ki>0是比例系数，u是控制输入电压；
前述等式(3)转化为
其中kt＝kqki表示总的流量增益；
定义状态变量那么整个系统转化为下述状态空间形式：
定义未知参数集θ＝[θ1,θ2,θ3,θ4]T，其中θ1＝b/m，θ2＝4βekt/mVt，θ3＝4βe；A2/mVt，θ4＝4βeCt/Vt，d(x,t)＝f/m表示集中干扰；
由于系统参数m,b,kt,βe,Vt和Ct是变化的，系统是结构不确定性的，系统的大致信息是可以知道的；系统具有非结构不确定性d(x,t)，但其未建模动态和干扰总是有界的，因而，以下假设总是成立的：
假设1：结构不确定性θ满足：
其中θmin＝[θ1min,θ2min,θ3min,θ4min]T和θmax＝[θ1max,θ2max,θ3max,θ4max]T，它们都是已知的，此外θ1min>0,θ2min>0,θ3min>0,θ3min>0；
假设2：d(x,t)是有界的，且导数也有界，即
其中δ1和δ2已知；
步骤二、配置基于干扰估计的电液伺服系统控制器，包括以下过程：
步骤二(一)、配置带速率限制的投影自适应律结构
令表示θ的估计，表示θ的估计误差，即
定义一个非连续投影函数
其中i＝1,2,3,4；·i代表矩阵·的第i项；
设计自适应律如下：
其中τ是自适应函数，Γ(t)＞0是连续的可微正对称自适应律矩阵；由此自适应律，可得以下性质：
P1)参数估计值总在已知有界的Ωθ集内，即对于任意t，总有因而由假设1可得
P2)
步骤二(二)、配置构建有限时间干扰观测器
首先，把式(6)转化成如下形式：
其中D(x,t)＝(θ2-θ2n)x2-d(x,t)表示集中干扰；
由D(x,t)＝(θ2-θ2n)x2-d(x,t)和假设2,可知D(x,t)是有界的，且一阶导也是有界的，即：
其中θ2m＝θ2max-θ2min；
为了去估计式(13)中的干扰D(x,t)，配置的有限时间干扰观测器，表达如下:
其中λi>0,i＝0,1,2是可调观测器系数,分别为D,x2的估计值；
引理1：存在一个有限的时间T1，当t>T1时，其中定义如下饱和函数：
由式(26)和引理1可得：
步骤二(三)、配置基于干扰的电液伺服系统自适应鲁棒输出反馈控制器，包括以下过程：如下定义一组变量：
其中z1＝x1-x1d(t)是输出跟踪误差，k1>0反馈增益；由于G(s)＝z1(s)/z2(s)＝1/(s+k1)是一个稳定的传递函数，让z1很小或趋近于零就是让z2很小或趋近于零；因此，控制器设计转变成让z2尽可能小或趋近于零；
微分前述公式(18)并把式(13)代入，可得：
让z3＝x3-α2表示虚拟误差,那么式(19)可变为：
基于干扰估计虚拟控制律α2为：
其中k2>0为反馈增益；
把式(21)代入(20)可得：
α2s2满足如下条件：
其中σ1>0是设计参数，在此给出一个α2s2的形式:
令g1为一个任意光滑曲线
g1≥θ2m|x2|+δ1 (24)
其中θ2m|x2|+δ1是的上界；那么满足α2s2的表达式如下
由z3＝x3-α2,以及式式(13)和式(21),可得:
其中 和为的可计算和不可计算部分:
其中和分别为的估计值和估计误差，其表达式如下：
那么基于干扰估计的自适应鲁棒控制器如下：
其中k3>0为反馈增益；
把式(29)代入式(26),可得z3的动态方程
其中
us2满足如下条件：
其中σ2>0是设计参数，在此给出一个us2的形式:
令g2为一个任意光滑曲线
那么满足us2的表达式如下
步骤三、调节基于控制律u的参数k1，k2，k3，λ0，λ1，λ2使系统满足控制性能。
本发明的有益效果是：本发明针对电液伺服系统的特点，建立了双出杆系统模型；本发明设计的基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒输出反馈控制器，对系统干扰进行估计并用于控制器设计，能有效解决电机伺服系统的参数不确定性和不确定非线性问题，大大降低了系统的反馈增益，在上述干扰条件下系统控制精度满足性能指标；本发明简化了控制器设计，仿真结果表明了其有效性。
应当理解，前述构思以及在下面更加详细地描述的额外构思的所有组合只要在这样的构思不相互矛盾的情况下都可以被视为本公开的发明主题的一部分。另外，所要求保护的主题的所有组合都被视为本公开的发明主题的一部分。
结合附图从下面的描述中可以更加全面地理解本发明教导的前述和其他方面、实施例和特征。本发明的其他附加方面例如示例性实施方式的特征和/或有益效果将在下面的描述中显见，或通过根据本发明教导的具体实施方式的实践中得知。
附图说明
附图不意在按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或近似相同的组成部分可以用相同的标号表示。为了清晰起见，在每个图中，并非每个组成部分均被标记。现在，将通过例子并参考附图来描述本发明的各个方面的实施例，其中：
图1是双出杆液压缸系统的示意图。
图2是系统干扰f曲线的示意图。
图3是控制器输入电压u曲线的示意图，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。
图4是参数估计曲线的示意图。
图5是干扰及其估计曲线的示意图。
图6是干扰导数及其估计曲线的示意图。
图7是指令信号和跟踪误差曲线的示意图。
具体实施方式
为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。
在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开的实施例不必定意在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是应为本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用。
下面结合附图1所示说明本实施方式，本实施方式所述一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法的具体步骤如下：
步骤一、建立双出杆液压缸位置伺服系统模型，根据牛顿第二定律，双出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：
其中y为负载位移，m表示惯性负载，PL＝P1-P2是负载驱动压力，P1和P2分别为液压缸两腔压力，A为活塞杆有效工作面积，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，比如非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态。液压缸负载压力动态方程为：
其中Vt分别为液压缸两腔总有效容积，Ct为液压缸泄露系数，QL＝(Q1+Q2)/2是负载流量，Q1液压缸无杆腔供油流量，Q2为液压缸有杆腔回油流量。
QL为伺服阀阀芯位移xv的函数：
其中为流量伺服阀的增益系数，Cd为伺服阀的流量系数，w为伺服阀的面积梯度；ρ为液压油的密度,Ps为供油压力，Pr为回油压力。sign(xv)为
假设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，即，xv＝kiu，其中ki>0是比例系数，u是控制输入电压。因此，等式(3)可以转化为
其中kt＝kqki表示总的流量增益。
定义状态变量那么整个系统可以写成如下状态空间形式：
定义未知参数集θ＝[θ1,θ2,θ3,θ4]T，其中θ1＝b/m，θ2＝4βekt/mVt，θ3＝4βe A2/mVt，θ4＝4βeCt/Vt，d(x,t)＝f/m表示集中干扰。一般情况下，由于系统参数m,b,kt,βe,Vt和Ct是变化的，系统是结构不确定性的，虽然我们不知道系统的具体信息，但系统的大致信息是可以知道的。此外，系统还有非结构不确定性d(x,t)，显然它不能明确建模的，但系统的未建模动态和干扰总是有界的。因而，以下假设总是成立的：
假设1：结构不确定性θ满足：
其中θmin＝[θ1min,θ2min,θ3min,θ4min]T和θmax＝[θ1max,θ2max,θ3max,θ4max]T，它们都是已知的，此外θ1min>0,θ2min>0,θ3min>0,θ3min>0。
假设2：d(x,t)是有界的，且导数也有界，即
其中δ1和δ2已知。
步骤二、设计基于干扰估计的电液伺服系统控制器的具体步骤如下：
步骤二(一)、带速率限制的投影自适应律结构
令表示θ的估计，表示θ的估计误差，即定义一个非连续投影函数
其中i＝1,2,3,4；·i代表矩阵·的第i项。
设计自适应律如下：
其中τ是自适应函数，Γ(t)＞0是连续的可微正对称自适应律矩阵。由此自适应律，可得以下性质：
P1)参数估计值总在已知有界的Ωθ集内，即对于任意t，总有因而由假设1可得
P2)
步骤二(二)、设计构建有限时间干扰观测器。
首先，把式(6)写成如下形式：
其中D(x,t)＝(θ2-θ2n)x2-d(x,t)表示集中干扰。
由D(x,t)＝(θ2-θ2n)x2-d(x,t)和假设2,可知D(x,t)是有界的，且一阶导也是有界的，即
其中θ2m＝θ2max-θ2min。
为了去估计式(13)中的干扰D(x,t)，设计了一种有限时间干扰观测器，其能够在有限时间内准确估计出系统干扰，形式如下
其中λi>0,(i＝0,1,2)是可调观测器系数，分别为D,x2的估计值。
引理1：存在一个有限的时间T1，当t>T1时，其中
定义如下饱和函数：
由式(26)和引理1可得：
步骤二(三)、设计基于干扰的电液伺服系统自适应鲁棒输出反馈控制器如下：
如下定义一组变量
其中z1＝x1-x1d(t)是输出跟踪误差，k1>0反馈增益。由于G(s)＝z1(s)/z2(s)＝1/(s+k1)是一个稳定的传递函数，让z1很小或趋近于零就是让z2很小或趋近于零。因此，控制器设计转变成让z2尽可能小或趋近于零。微分式(18)并把式(13)代入，可得
让z3＝x3-α2表示虚拟误差,那么式(29)可变为
基于干扰估计虚拟控制律α2为
其中k2>0为反馈增益。
把式(21)代入(20)可得
α2s2满足如下条件：
其中σ1>0是设计参数，在此给出一个α2s2的形式:
令g1为一个任意光滑曲线
g1≥θ2m|x2|+δ1 (24)
其中θ2m|x2|+δ1是的上界。那么满足α2s2的表达式如下
由z3＝x3-α2,以及式式(13)和式(21),可得:
其中 和为的可计算和不可计算部分。
其中和分别为的估计值和估计误差，其表达式如下：
那么基于干扰估计的自适应鲁棒控制器如下：
其中k3>0为反馈增益。
把式(39)代入式(36),可得z3的动态方程
其中
us2满足如下条件：
其中σ2>0是设计参数，在此给出一个us2的形式:
令g2为一个任意光滑曲线
那么满足us2的表达式如下
步骤三、调节基于控制律u的参数k1，k2，k3，λ0，λ1，λ2使系统满足控制性能。
下面结合李雅普诺夫方程验证系统稳定性：
定理1：选择合适的参数k2，k3使如下矩阵Λ为正定阵
由自适应函数设计的基于干扰估计的电液私服系统自适应鲁棒输出反馈控制器(29)具有如下性质：
A)系统所有信号有界的，定义李雅普诺夫方程
满足如下的不等式
其中σ＝σ1+σ2，k＝2λmin(Λ)，λmin(Λ)表示矩阵的最小特征值。
B)一段时间T1后，干扰估计准确，即则设计控制器(29)除了能够得到结论A，还能保证输出信号的渐进跟踪性能，即当t→∞时，z1,z2,z3→0。
证明：微分式(35),并代入式(18)，(23)，(26)，可得：
对式(37)积分可得式(36)。因此z是全局有界的，假设期望轨迹是有界的，那么，由式(5)可知输出信号是有界的，由式(29)可知u是有界的，因此可以证明A。下面证明B，定义李雅普诺夫函数为
微分式(38)可得：
基于引理1,代入式(10),(23),(31)可得
式中W恒为非负，且W∈L2，由式(10)和式(13)可知，有界，因此W是一致连续的，由Barbalat引理，当t→∞时，W→0，由此证明了结论B。
因此控制器是收敛的，系统是稳定的。
下面结合一个具体的实例说明上述过程示例性实现。
在仿真中取如下参数对系统进行建模：m＝40kg,A＝2×10-4m2，B＝80N·s/m，βe＝200Mpa，V01＝1×10-3m3,V02＝1×10-3m3,Ct＝9×10-12m5/Ns,Ps＝7Mpa,Pr＝0Mpa。取控制器参数k1＝100,k2＝200,L＝5,λ0＝20,λ1＝30,λ2＝300,c2＝6,b1＝1,b2＝1；θmin＝[0.01,1,10]T,θmax＝[1,10,1000]T,Г＝diag{0.0000006,10,0.039}，所选取的远离于参数的真值，以考核自适应控制律的效果。位置角度输入信号单位rad。系统所加干扰为f＝0.1sin(2πt)N·m。
结合图2的系统干扰f曲线，图3的控制器输入电压u曲线，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。
结合图4的参数估计曲线，图5的干扰及其估计曲线，图6的干扰导数及其估计曲线，图7的指令信号和跟踪误差曲线，可知，本发明提出的方法在仿真环境下能够准确的估计出干扰和系统参数。相比自适应鲁棒控制器，本发明设计的控制器能够取得良好的控制精度。结果表明在参数不确定性和不确定非线性性影响下，本发明提出的方法能够满足性能指标。
虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (1)

1.一种基于干扰估计的电液伺服系统自适应鲁棒控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：
步骤一、建立双出杆液压缸位置伺服系统模型为：
<mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>L</mi> </msub> <mi>A</mi> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中y为负载位移，m表示惯性负载，PL＝P1-P2是负载驱动压力，P1和P2分别为液压缸的两腔压力，A为活塞杆有效工作面积，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，包括非线性摩擦、外部干扰以及未建模动态；
液压缸负载压力动态方程为：
<mrow> <mfrac> <msub> <mi>V</mi> <mi>t</mi> </msub> <mrow> <mn>4</mn> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mi>P</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>t</mi> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Vt分别为液压缸两腔总有效容积，Ct为液压缸泄露系数，QL＝(Q1+Q2)/2是负载流量，Q1液压缸有杆腔供油流量，Q2为液压缸有杆腔回油流量；QL为伺服阀阀芯位移xv的函数，表示为：
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>q</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>v</mi> </msub> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>L</mi> </msub> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中为流量伺服阀的增益系数，Cd为伺服阀的流量系数，w为伺服阀的面积梯度；ρ为液压油的密度,Ps为供油压力，Pr为回油压力，sign(xv)表示为：
<mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
假设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，即，xv＝kiu，其中ki>0是比例系数，u是控制输入电压；
前述等式(3)转化为
<mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mi>L</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mi>u</mi> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>L</mi> </msub> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中kt＝kqki表示总的流量增益；
定义状态变量那么整个系统转化为下述状态空间形式：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>g</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
定义未知参数集θ＝[θ1,θ2,θ3,θ4]T，其中θ1＝b/m，θ2＝4βekt/mVt，θ3＝4βeA2/mVt，θ4＝4βeCt/Vt，d(x,t)＝f/m表示集中干扰；
由于系统参数m,b,kt,βe,Vt和Ct是变化的，系统是结构不确定性的，系统的大致信息是可以知道的；系统具有非结构不确定性d(x,t)，但其未建模动态和干扰总是有界的，因而，以下假设总是成立的：
假设1：结构不确定性θ满足：
<mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>{</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中θmin＝[θ1min,θ2min,θ3min,θ4min]T和θmax＝[θ1max,θ2max,θ3max,θ4max]T，它们都是已知的，此外θ1min>0,θ2min>0,θ3min>0,θ4min>0；
假设2：d(x,t)是有界的，且导数也有界，即
<mrow> <mo>|</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中δ1和δ2已知；
步骤二、配置基于干扰估计的电液伺服系统控制器，包括以下过程：
步骤二(一)、配置带速率限制的投影自适应律结构
令表示θ的估计，表示θ的估计误差，即
定义一个非连续投影函数
其中i＝1,2,3,4；·i代表矩阵·的第i项；
设计自适应律如下：
<mrow> <mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>Proj</mi> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中τ是自适应函数，Γ(t)＞0是连续的可微正对称自适应律矩阵；由此自适应律，可得以下性质：
P1)参数估计值总在已知有界的Ωθ集内，即对于任意t，总有因而由假设1可得
<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>Proj</mi> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤二(二)、配置构建有限时间干扰观测器
首先，把式(6)转化成如下形式：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>ln</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>g</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中D(x,t)＝(θ2-θ2n)x2-d(x,t)表示集中干扰；
由D(x,t)＝(θ2-θ2n)x2-d(x,t)和假设2,可知D(x,t)是有界的，且一阶导也是有界的，即：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中θ2m＝θ2max-θ2min；
为了去估计式(13)中的干扰D(x,t)，配置的有限时间干扰观测器，表达如下:
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mover> <mover> <mi>D</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>/</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中λi>0,i＝0,1,2是可调观测器系数,分别为D,x2的估计值；
引理1：存在一个有限的时间T1，当t>T1时，其中定义如下饱和函数：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mover> <mi>D</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>D</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(26)和引理1可得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;Exists;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;Exists;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>D</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;Exists;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;Exists;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤二(三)、配置基于干扰的电液伺服系统自适应鲁棒输出反馈控制器，包括以下过程：如下定义一组变量：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中z1＝x1-x1d(t)是输出跟踪误差，k1>0反馈增益；由于G(s)＝z1(s)/z2(s)＝1/(s+k1)是一个稳定的传递函数，让z1很小或趋近于零就是让z2很小或趋近于零；因此，控制器设计转变成让z2尽可能小或趋近于零；
微分前述公式(18)并把式(13)代入，可得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
让z3＝x3-α2表示虚拟误差,那么式(19)可变为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
基于干扰估计虚拟控制律α2为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>e</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k2>0为反馈增益；
把式(21)代入(20)可得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
α2s2满足如下条件：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>{</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>}</mo> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中σ1>0是设计参数，在此给出一个α2s2的形式:
令g1为一个任意光滑曲线
g1≥θ2m|x2|+δ1 (24)
其中θ2m|x2|+δ1是的上界；那么满足α2s2的表达式如下
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由z3＝x3-α2,以及式式(13)和式(21),可得:
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>g</mi> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中和为的可计算和不可计算部分:
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mfrac> <mover> <mover> <mi>D</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中和分别为的估计值和估计误差，其表达式如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
那么基于干扰估计的自适应鲁棒控制器如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mi>g</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k3>0为反馈增益；
把式(29)代入式(26),可得z3的动态方程
其中
us2满足如下条件：
其中σ2>0是设计参数，在此给出一个us2的形式:
令g2为一个任意光滑曲线
那么满足us2的表达式如下
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>g</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤三、调节基于控制律u的参数k1，k2，k3，λ0，λ1，λ2使系统满足控制性能。
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