CN105068426B

CN105068426B - 基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法

Info

Publication number: CN105068426B
Application number: CN201510522508.2A
Authority: CN
Inventors: 姚建勇; 刘龙; 胡健; 邓文翔
Original assignee: Nanjing University of Science and Technology
Current assignee: Nanjing University of Science and Technology
Priority date: 2015-08-24
Filing date: 2015-08-24
Publication date: 2018-03-09
Anticipated expiration: 2035-08-24
Also published as: CN105068426A

Abstract

本发明公开了一种基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法，方法包括：建立电液位置伺服系统的数学模型；设计电液位置伺服系统两个通道的干扰观测器；设计基于干扰观测器的连续滑模控制器。本发明消除滑模控制方法中的不连续项的同时保证了该方法的强鲁棒性，使得滑模控制器的输出连续化，彻底消除了滑模控制的抖振问题；在控制器中不使用系统的加速度信号，削弱了测量噪声对跟踪性能的恶化，利于在工程实际中运用；在系统同时存在匹配和不匹配干扰和强非线性的情况下使用滑模控制方法依旧获得了渐近跟踪的稳态性能，保证了电液位置伺服系统良好的控制性能。

Description

基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法

技术领域

本发明属于电液伺服控制技术领域，特别是一种基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法。

背景技术

液压伺服系统具有功重比大、响应快及抗负载刚性强等突出优点，在众多重要领域内得到广泛运用。电液伺服系统是一个典型的非线性系统，包含许多非线性特性和建模不确定性干扰。随着电液伺服系统向高精度、高频响发展时，系统呈现的非线性特性对系统性能的影响越显著，而且干扰的存在会使以系统名义模型设计的控制器不稳定或降阶，因此电液伺服系统非线性特性和干扰是限制系统性能提升的重要因素。随着工业及国防领域技术水平的不断进步，以往基于传统线性理论设计的控制器已逐渐不能满足系统的高性能需求，因此必须针对电液伺服系统中的非线性特性和存在的干扰研究更加先进的非线性控制策略。

针对电液伺服系统的干扰和非线性控制的问题，许多方法相继被提出。在液压位置伺服系统控制器的设计中，针对电液伺服系统存在的多种干扰，反馈线性化控制的基本思想是通过在控制器中对非线性函数进行精确补偿以使误差动态线性化。虽然理论上可以获得完美的渐近跟踪性能，但是实际系统的模型是不可能精确已知的，总会存在建模误差，因此会恶化理论分析获得的跟踪性能。而由于系统中存在不匹配干扰，传统的滑模控制方法的基本思路是通过增大控制器的鲁棒性来克服不匹配和匹配干扰从而到达滑模面，但是，即使到达滑模面后，系统地跟踪误差在不匹配干扰的影响下仍然无法为零，只能得到一个和不匹配干扰上确界相关的一个一致有界的稳态跟踪误差。并且，通过增大不连续项增益的方法来增加控制器的鲁棒性，在实际运用中很可能激发系统高频动态，使系统失稳。同时，由于滑模控制方法在进行控制器设计中使用了符号函数，从而使得控制器的输出不连续，虽然有的滑模控制策略补偿了系统存在的干扰使得不连续项增益大为减少，削弱滑模控制的抖振，但因为控制器表达式中始终存在不连续项，从而使得滑模控制方法始终存在抖振，无法根除抖振，因而传统的滑模控制方法具有很大的工程局限性。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立电液位置伺服系统的数学模型；

步骤2、设计电液位置伺服系统两通道的干扰观测器；

步骤3、设计基于干扰观测器的连续滑模控制器。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：

(1)本发明消除滑模控制策略中的不连续项的同时保证了该方法的强鲁棒性，使得滑模控制器的输出连续化，彻底消除了滑模控制的抖振问题；

(2)在系统同时存在匹配和不匹配干扰和强非线性的情况下使用滑模控制方法依旧获得了渐近跟踪的稳态性能，保证了电液位置伺服系统良好的控制性能；

(3)本发明设计干扰观测器观测了液压位置伺服系统第二通道和第三通道的干扰，并在控制器中将其完全补偿，抑制了干扰对控制性能的影响；

(4)在控制器中不使用系统的加速度信号，削弱了测量噪声对跟踪性能的恶化，利于在工程实际中运用。

附图说明

图1为本发明的基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法流程图。

图2为本发明的液压位置伺服系统的原理图。

图3为本发明的基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法原理示意图。

图4为本发明实施例中系统输出对期望指令的跟踪曲线图。

图5为本发明实施例中系统的位置跟踪误差随时间变化的曲线图。

图6为本发明实施例中基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制器(C‐SMC)作用下和不确定性补偿的滑模控制器(UC‐SMC)作用下及反馈线性化控制器(FLC)作用下的位置跟踪误差随时间变化曲线图。

图7为本发明实施例中基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制器(C‐SMC)作用下系统的控制输入随时间变化的曲线图。

图8为本发明实施例中不确定性补偿的滑模控制器(UC‐SMC)作用下系统的控制输入随时间变化的曲线图。

图9为本发明实施例中基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制器作用下系统的第二通道干扰观测曲线图。

图10为本发明实施例中基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制器作用下系统的第二通道干扰观测误差随时间变化曲线图。

图11为本发明实施例中基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制器作用下系统的第三通道干扰观测曲线图。

图12为本发明实施例中基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制器作用下系统的第三通道干扰观测误差随时间变化曲线图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1，本发明的液压位置伺服系统的不确定性补偿的滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立液压位置伺服系统的数学模型；

步骤1‐1、如图2右半部分所示，液压位置伺服系统为通过伺服阀控制的液压马达驱动惯性负载的系统构成，图2左半部分为伺服阀控制的液压马达的原理示意图；根据牛顿第二定律，惯性负载的运动方程为：

式(1)中m为惯性负载参数；P_L为液压马达两腔压差；A为液压马达的排量；B为粘性摩擦系数；为建模误差，包括m、P_L、B的名义值与真实值之间的偏差以及外负载干扰；y为惯性负载的位移；为惯性负载的速度，为惯性负载的加速度；t为时间变量；

液压马达左右两腔的压力动态方程为：

式(2)中P₁和P₂分别为液压马达两腔的压力，和分别为P₁和P₂的导数；V₁＝V₀₁+Ay,V₂＝V₀₂-Ay，V₁和V₂分别表示液压马达两腔的控制容积；V₀₁和V₀₂分别为液压马达两腔的初始容积；β_e为有效油液弹性模量；C_t为内泄漏系数；q₁(t)和q₂(t)分别为P₁和P₂动态方程的建模误差；Q₁和Q₂分别为液压马达的进油腔流量和回油腔流量；Q₁和Q₂与伺服阀位移x_v的关系为：

式(3)中s(x_v)的定义为：

其中，k_q为流量增益，C_d流量系数；ω为阀芯面积梯度；ρ为油液密度；P_s为供油压力，P_r为回油压力；液压马达两腔压力满足0＜P_r＜P₁＜P_s,0＜P_r＜P₂＜P_s,|P_L|＜＜P_S；

由于考虑伺服阀动态需要安装额外的位移传感器来获取伺服阀阀芯的位移，而且对于跟踪性能只有微小的提升；因此大量相关的研究都忽略伺服阀的动态，假设采用的是高响应的伺服阀，阀芯位移与控制输入近似为比例环节即x_v＝k_iu，故式(3)可以写成

式(5)中k_t＝k_qk_i代表总的流量增益，k_i为伺服阀增益，u为液压位置伺服系统输入，

步骤1‐2、定义状态变量：则系统的状态方程为：

式(6)中m、B、β_e、A、k_t、V₀₁、V₀₂和C_t在观测器和控制器的设计中为名义值，其与真实值之间的偏差集中归类到系统干扰中处理，在第二通中是d(x,t)，在第三通道中是q(t)；其中：

由于液压系统参数m,B,β_e,k_t和C_t受各种因素(如温度、组件磨损程度等)影响变化很大，因此为了简化系统状态方程，定义:

因为|P_L|＜＜P_S，从而g(x)≠0；第二通道干扰d₁(x,t)和第三通道干扰d₂(x,t)都是有界的，即：|d₁(x,t)|≤D₁,|d₂(x,t)|≤D₂，其中D₁、D₂分别为|d₁(x,t)|和|d₁(x,t)|上界，都是已知正数，并且d₁(x,t)一阶导数存在；则液压位置伺服系统模型为

步骤2，设计两个通道的干扰观测器，步骤如下：

步骤2‐1、设计第二通道干扰观测器：

定义第二通道干扰观测器滑模面s₁为：

s₁＝z₁-x₂ (10)

其中，z₁为第二通道干扰观测器内动态；

式(11)中，k₁、β₁、ε₁、p₁和q₁均为第二通道干扰观测器参数；p₁＜q₁，均为正奇数，k₁、β₁、ε₁均为正数，β₁≥D₁；

由式(10)、(11)有：

故第二通道干扰d₁(x,t)的观测值设计为其表达式如下：

定义第二通道干扰观测器的Lyapunov方程：

由于β₁≥D₁，故：

又因，若存在一正定函数V₀(t)满足下面不等式：

则有，V₀(t)在时间t_s内收敛到平衡点，其中

式(18)中，α＞0，λ＞0，0＜γ＜1；

由式(17)、(18)式有，V₁(t)将在有限时间内收敛到平衡点，即存在一个时刻t₂，在经过有限时间t₂后，s₁为零，此时也将收敛到零，而d₁(x,t)的观测误差为：

则干扰的观测误差也将在有限时间t₂内为0；即经过时间t₂后

综上，得到第二通道干扰观测器表达式为：

步骤2‐2、设计第三通道干扰观测器：

定义第三通道干扰观测器滑模面s₂为：

s₂＝z₂-x₃ (20)

其中，z₂为第三通道干扰观测器内部动态；

式(21)中，k₂、β₂、ε₂、p₂和q₂均为第三通道干扰观测器参数；其中p₂＜q₂，均为正奇数，k₂、β₂、ε₂均为正数，β₂≥D₂；

由式(20)、(21)有：

故第三通道干扰d₂(x,t)的观测值设计为其表达式如下：

定义第三通道干扰观测器的Lyapunov方程：

又因β₂＞D₂，则有，

此时，由式(17)、(18)式有，V₂(t)将在有限时间内为零，即存在一个时刻t₃，在经过t₃后，s₂为零，此时也将收敛到零，又因d₂(x,t)估计误差

则干扰的估计误差也将在有限时间t₃内为零，即经过时间t₃后有：

综上，得到第三通道干扰观测器表达式为：

步骤3、设计基于干扰观测器的连续滑模控制器，具体如下：

定义液压伺服系统的位置跟踪误差e₀(t)、速度的跟踪误差e₁(t)、加速度的跟踪误差e₂(t)、加速度导数的跟踪误差e₃(t)：

e₀(t)＝x₁-x_d(t) (27)

其中，x_d(t)为系统参考信号，x_d(t)是三阶连续可导的，且系统参考位置信号x_d(t)、系统参考速度信号系统参考加速度信号及系统参考加速度导数的信号都是有界的；

定义连续滑模控制器滑模面s为:

其中c₁、c₂、c₃为滑模控制器参数，且均大于零，并且使得表达式是Hurwitz的，则有：

设计连续滑模控制器u的表达式为：

其中k₃、k₄、ζ为控制器参数，且k₃＞0、k₄＞0、0＜ζ＜1。

步骤4、连续滑模控制器的稳定性测试；具体如下：

步骤4‐1、将式(33)代入式(32)有：

定义滑模控制器Lyapunov方程：

则有：

故，由式(17)、(18)可知，V(t)将在有限时间内为零，即存在一个时刻t₁，在经过有限时间t₁后，s为零，即：

又因s₁、s₂也是有限时间内为0，t₁为s为零的时刻，t₂为s₁为零的时刻，t₃为s₂为零的时刻，则存在t₄＝max{t₁,t₂,t₃}，经过_t4时刻后有：

又因：

则：

e₂(t)+c₁e₁(t)+c₂e₀(t)+c₃∫e₀(t)dt＝d₁(t) (40)即：

步骤4‐2、当时：

则有，当t→∞有：

故e₀(t)＝x₁-x_d(t)在时间趋于无穷的条件下趋于零；

当δ为一已知正数时：

则有，当t→∞有：

故e₀(t)＝x₁-x_d(t)在时间趋于无穷的条件下收敛于一个一致稳定界内。

综上可知，针对液压位置伺服系统设计的连续滑模控制器可以使系统得到全局渐近稳定的结果。调节观测器系数k₁、β₁、ε₁、p₁、q₁、k₂、β₂、ε₂、p₂、q₂可以使观测器的跟踪误差在有限时间内趋于零，调节增益c₁、c₂、c₃、k₃、k₄、ζ可以使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。液压位置伺服系统的基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法原理示意图如图3所示。

下面结合具体实施例对本发明做进一步说明。

实施例1

结合图1‐图3，为考核所设计的控制器性能，在MATLAB/Simulink中搭建系统仿真模型，在仿真中取如下参数，仿真步长设置为0.0002s：

负载转动惯量m＝40kg·m²,马达排量A＝2×10^-4m³/rad，粘性摩擦系数B＝80N·m·s/rad，供油压力P_s＝7MP_a，回油压力P_r＝0，油液弹性模量β_e＝2×10⁸P_a，马达两腔初始容积V₀₁＝V₀₂＝1×10^-3m³，泄漏系数C_t＝9×10^-12m³/s/P_a,总流量增益压力动态建模误差q₁(t)＝q₂(t)＝6×10^-6m³·rad/s，外负载干扰f(t)＝200[1-exp(-0.1t³)](N·m)，添加未建模摩擦项F_c(x₂)＝20/π[arctan(100x₂)]N·m。

给定系统的期望指令为x_d(t)＝arctan(sin(t))[1‐exp(‐0.01t³)]rad。

取如下的控制器以作对比：

连续滑模控制器(Continuous‐Sliding Mode Controller,C‐SMC)：取第二通道干扰观测器参数k₁＝10000，β₁＝250，ε₁＝0.06，p₁＝3，q₁＝5，第三通道干扰观测器参数k₂＝10000，β₂＝60，ε₂＝0.05，p₂＝5，q₂＝7，控制器参数c₁＝24，c₂＝192，c₃＝512，k₃＝3、k₄＝5、ζ＝0.5。

匹配和不匹配不确定性补偿的滑模控制器(Uncertainties Compensation‐Sliding Mode Controller,UC‐SMC)：不匹配不确定性观测器参数k₁＝10000，β₁＝250，ε₁＝0.06，p₁＝3，q₁＝5，第三通道干扰观测器参数k₂＝10000，β₂＝60，ε₂＝0.05，p₂＝5，q₂＝7，控制器参数c₁＝24，c₂＝192，c₃＝512，k＝2。

反馈线性化控制器(Feedback Linearization Controller,FLC)：l₁＝20、l₂＝20、l₃＝20。

连续滑模控制器作用下电液位置伺服系统的位置输出对期望指令的跟踪曲线如图4所示，跟踪误差如图5所示；由图4可知，系统的位置输出曲线基本与期望指令曲线重合，说明连续滑模控制器具有较好的控制精度，在该控制器的作用下，系统表现出良好的跟踪性能；由图5可知，在连续滑模控制器作用下，液压伺服系统的位置输跟踪精度很高，稳态跟踪误差收敛到幅值为2×10^-3(rad)的界内。

图6为连续滑模控制器(Continuous‐Sliding Mode Controller,C‐SMC)、匹配和不匹配不确定性补偿的滑模控制器(Uncertainties Compensation‐Sliding ModeController,UC‐SMC)、反馈线性化控制器(Feedback Linearization Controller,FLC)分别作用下系统的跟踪误差曲线；由图6可知，在系统存在未建模干扰时，反馈线性化控制器的控制性能比连续滑模控制器和不确定性补偿的滑模控制器差，因为电液位置伺服系统的模型不可能精确已知，总会存在未建模的干扰，而存在的未建模干扰将严重恶化了反馈线性化控制器的控制性能。而连续滑模控制器和不确定性补偿的滑模控制器因为滑模面参数选取是一样的，故两者具有相同的误差动态曲线，同时说明连续滑模控制器和不确定性补偿的滑模控制器具有一样的强鲁棒性。

图7为连续滑模控制器的控制输入曲线，图8为不确定性补偿的滑模控制器的输入曲线；由图7，图8及其对应的局部放大图对比可知，连续滑模控制器的控制器输入曲线为一低频连续曲线，便于在工程实际中运用，而不确定性补偿的滑模控制器虽然控制输入曲线的抖振不大，但是依然存在高频抖振，这在实际的工程运用中，易激发系统潜在的未建模高频动态，导致系统发散失稳。同时结合图6可知，虽然连续滑模控制器的控制输入曲线不存在高频抖振，但是仍然和不确定性补偿的滑模控制器具有一样的强鲁棒性。

图9为第二通道干扰和第二通道干扰观测曲线，图10为第二通道干扰和第二通道干扰观测误差随时间变化曲线，由图9可知，实际存在的第二通道干扰曲线和其观测曲线基本重合，所设计的干扰观测器对液压位置伺服系统的第二通道干扰估计非常准确，同时结合图10可知，第二通道干扰的估计误差在经过很短的时间后迅速收敛到零。

图11为第三通道干扰和第三通道干扰观测曲线，图12为第三通道干扰和第三通道干扰观测误差随时间变化曲线；在图11中，实际存在的第三通道干扰曲线和其估计曲线基本重合，而由图12可知，其估计误差在有限的时间内迅速收敛到零，说明所设计的干扰观测器对系统存在的匹配干扰具有较好的估计能力。

Claims

1.一种基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立电液位置伺服系统的数学模型；具体如下：

步骤1-1、电液位置伺服系统为通过伺服阀控制的液压马达驱动惯性负载的系统；根据牛顿第二定律，惯性负载的运动方程为：

<mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>L</mi> </msub> <mi>A</mi> <mo>-</mo> <mi>B</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

液压马达左右两腔的压力动态方程为：

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式(3)中s(x_v)的定义为：

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阀芯位移与控制输入近似为比例环节即x_v＝k_iu，故式(3)写成：

步骤1-2、定义状态变量：则系统的状态方程为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>A&beta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>t</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式(6)中m、B、A、β_e、k_t、V₀₁、V₀₂和C_t在观测器和控制器的设计中为名义值，其与真实值之间的偏差集中归类到系统干扰中处理，在第二通道中是d(x,t)，在第三通道中是q(t)；其中：

为简化系统状态方程，定义：

因为|P_L|＜＜P_S，则g(x)≠0；第二通道干扰d₁(x,t)和第三通道干扰d₂(x,t)都是有界的，即：|d₁(x,t)|≤D₁,|d₂(x,t)|≤D₂，其中D₁、D₂分别为|d₁(x,t)|和|d₁(x,t)|上界，都是已知正数，并且d₁(x,t)一阶导数存在；则液压位置伺服系统模型为：

步骤2、设计电液位置伺服系统两通道的干扰观测器；步骤如下：

步骤2-1、设计第二通道干扰观测器：

定义第二通道干扰观测器滑模面s₁为：

s₁＝z₁-x₂ (10)

其中，z₁为第二通道干扰观测器内部动态；

<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由式(10)、(11)有：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

故第二通道干扰d₁(x,t)的观测值设计为其表达式如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

定义第二通道干扰观测器的Lyapunov方程：

由于β₁≥D₁，故：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>V</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

又因，若存在一正定函数V₀(t)满足下面不等式：

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&alpha;V</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&lambda;V</mi> <mn>0</mn> <mi>&gamma;</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&le;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>></mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则有，V₀(t)在时间t_s内收敛到平衡点，其中，

<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>&alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&alpha;V</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&gamma;</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&lambda;</mi> </mrow> <mi>&lambda;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式(18)中，α＞0，λ＞0，0＜γ＜1；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

综上，得到第二通道干扰观测器表达式为：

<mrow> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

步骤2-2、设计第三通道干扰观测器：

定义第三通道干扰观测器滑模面s₂为：

s₂＝z₂-x₃ (20)

其中，z₂为第三通道干扰观测器内部动态；

由式(20)、(21)有：

故第三通道干扰d₂(x,t)的观测值设计为其表达式如下：

定义第三通道干扰观测器的Lyapunov方程：

又因β₂＞D₂，则有，

由式(17)、(18)式有，V₂(t)将在有限时间内为零，即存在一个时刻t₃，在经过t₃后，s₂为零，此时也将收敛到零，又因d₂(x,t)估计误差

综上，得到第三通道干扰观测器表达式为：

步骤3、设计基于干扰观测器的连续滑模控制器，具体如下：

e₀(t)＝x₁-x_d(t) (27)

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，x_d(t)为系统参考信号，x_d(t)是三阶连续可导的，且系统参考位置信号x_d(t)、系统参考速度信号系统参考加速度信号及系统参考加速度导数的信号都是有界的。

定义连续滑模控制器滑模面s为:

<mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

设计连续滑模控制器u的表达式为：

2.根据权利要求1所述的基于干扰补偿的电液位置伺服系统连续滑模控制方法，其特征在于，对步骤3设计的连续滑模控制器进行稳定性测试，具体如下：

将式(33)代入式(32)有：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&zeta;</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&zeta;</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

定义滑模控制器Lyapunov方程：

则有：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mover> <mi>s</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mi>&zeta;</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&zeta;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>5</mn> </msub> <msup> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&zeta;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

又因s₁、s₂也是有限时间内为0，t₁为s为零的时刻，t₂为s₁为零的时刻，t₃为s₂为零的时刻，则存在t₄＝max{t₁,t₂,t₃}，经过t₄时刻后有：

<mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&Integral;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

又因：

<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bx</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则：

e₂(t)+c₁e₁(t)+c₂e₀(t)+c₃∫e₀(t)dt＝d₁(t) (40)

即：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

当时：

则有，当t→∞有：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>42</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

故e₀(t)＝x₁-x_d(t)在时间趋于无穷的条件下趋于零；

当δ为一已知正数时：

则有，当t→∞有：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&le;</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>43</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

故e₀(t)＝x₁-x_d(t)在时间趋于无穷的条件下收敛于一个一致稳定的界内。