CN104238572A - 基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法，该控制方法考虑了系统的非线性摩擦特性以及外干扰等建模不确定性，并且针对非线性摩擦进行了连续光滑的摩擦补偿，进一步改善了电机位置伺服系统的低速伺服性能；针对未建模干扰等不确定性通过扩张状态观测器进行估计并在控制器设计时进行前馈补偿，提高了实际电机位置伺服系统对外干扰的鲁棒性；所设计的终端滑模控制器电压输出不会产生抖动及奇异现象，并且该控制器能保证系统状态在有限时间内趋于平衡状态，极大地提高了系统的跟踪性能；所设计的终端滑模控制器简单并且对系统参数变化具有一定的鲁棒性，更利于在工程实际中应用。

Description

基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法

技术领域

本发明涉及机电伺服控制技术领域，具体而言涉及一种基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法。 

背景技术

电机伺服系统由于具有响应快、传动效率高以及维护方便等突出优点，广泛应用于国防、航空航天、民用工业等领域，如火箭炮随动系统、飞行器舵面作动、机床进给等。随着这些领域的快速发展，对电机伺服系统跟踪性能的要求也越来越高，而系统的性能则与控制器的设计密切相关。电机伺服系统是一个典型的不确定非线性系统，在设计控制器的过程中会面临许多建模不确定性，包括结构不确定性(如随环境及工况等变化的参数不确定性等)以及非结构不确定性(如未建模摩擦、未建模动态、外干扰等)，这些不确定性因素可能会严重恶化期望的控制性能，导致不理想的控制精度，产生极限环振荡甚至使所设计的控制器不稳定，从而使控制器的设计变得困难。 

目前针对电机伺服系统的先进控制策略，有反馈线性化、自适应鲁棒以及滑模等控制方法。反馈线性化控制方法可以保证系统的高性能，但是其前提是所建立的数学模型必须非常准确，而在实际应用中获取系统的准确数学模型是比较困难的。自适应鲁棒控制方法对可能发生的外干扰等非结构不确定性，通过强增益非线性反馈控制予以抑制进而提升系统性能。由于强增益非线性反馈控制往往导致较强的设计保守性(即高增益反馈)，在工程使用中有一定困难，因此在实际操作时往往以线性反馈取代非线性反馈，此时所设计的自适应鲁棒控制器实质是一个基于模型的自适应控制器。然而，当外干扰等非结构不确定性逐渐增大时，所设计的自适应鲁棒控制器的保守性就逐渐暴露出来，引起跟踪性能恶化，甚至出现不稳定现象。较强的外干扰意味着较差的跟踪性能，这是非线性自适应鲁棒控制器在实际使用时暴露出来的主要问题。滑模控制方法简单实用且对系统的不确定性有很强的鲁棒性。滑模控制方法主要包括一般的线性滑模控制和终端滑模控制。由于终端滑模控制能使系统状态在有限时间内快速到达平衡状态且能保证更小的稳态跟踪误差，同时又具有更好的抗扰性能从而使其性能优于一般的线性滑模控制。然而如何恰当处理终端滑模控制中存在的抖动和奇异性问题仍是研究的焦点。 

总结来说，现有电机伺服系统的控制技术的不足之处主要有以下几点： 

1、忽略系统建模不确定性。电机伺服系统的建模不确定性主要有非线性摩擦和未建模扰 动等。存在于电机伺服系统中的摩擦会引起极限环振荡、粘滑运动等不利因素，对系统的高精度运动控制有着重要的影响。同时，实际的电机伺服系统不可避免的会受到外界负载的干扰，若忽略将会降低系统的跟踪性能； 

2、高增益反馈。目前许多控制方法存在高增益反馈的问题，也就是通过提高反馈增益来减小跟踪误差。然而高增益反馈易受测量噪声影响且可能激发系统的高频动态进而降低系统的跟踪性能，甚至导致系统不稳定； 

3、基于传统的滑模的控制方法存在抖动现象。基于传统的滑模控制方法所设计的不连续控制器容易引起滑模面的抖动，从而使系统的跟踪性能恶化。 

发明内容

本发明旨在解决现有技术中电机伺服系统控制中常被忽略的系统建模不确定性、实际使用中的高增益反馈，及基于传统的滑模的控制方法存在抖动现象的问题，提出一种基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法。 

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案如下： 

一种基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法，其实现包括以下步骤： 

步骤1、建立电机位置伺服系统数学模型 

简化电机的电气动态为比例环节，电机伺服系统的运动方程为： 

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\·}{y}-F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中：m为惯性负载参数，y为惯性负载位移，k_f为力矩放大系数，u为系统的控制输入，B为粘性摩擦系数，为可建模的非线性摩擦模型，为外干扰及未建模摩擦的不确定性项； 

选取连续静态摩擦模型为： 

$F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)=b_1\tanh \left(a_1\stackrel{\·}{y}\right)+b_2[\tanh \left(a_2\stackrel{\·}{y}\right)-\tanh \left(a_3\stackrel{\·}{y}\right)]---\left(2\right)$

公式(2)中：a₁、a₂、a₃、b₁、b₂均为已知常数，tanh函数为双曲正切函数； 

选取状态变量为：则将前述电机位置伺服系统的运动方程转化为如下状态方程形式： 

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-\mathrm{\β}\left(x_2\right)+\mathrm{\Δ}(t,x)---\left(3\right)$

y＝x₁

公式(3)中：β(x₂)＝θ₃tanh(a₁x₂)+θ₄[tanh(a₂x₂)-tanh(a₃x₂)]， 为系统的总干扰，其中参数θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、a₁、a₂、a₃均为名义值且已知常量，由此，将参数偏差造成的不确定性影响均归结到系统的总干扰Δ(t,x)中； 

步骤2、配置一扩张状态观测器对电机位置伺服系统的总干扰Δ(x,t)进行估计 

首先将前述状态方程中的总干扰Δ(x,t)扩张为冗余状态x₃，即令x₃＝Δ(x,t)，此时系统状态x变为x＝[x₁,x₂,x₃]^T，令Δ(x,t)有界且其一阶导数存在，并定义则扩张后的系统状态方程为： 

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-\mathrm{\β}\left(x_2\right)+x_3---\left(4\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=h\left(t\right)$

根据扩张后的状态方程(4)，配置的扩张状态观测器为： 

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_1={\hat{x}}_2-{3\mathrm{\ω}}_0({\hat{x}}_1-x_1)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-\mathrm{\β}\left(x_2\right)+{\hat{x}}_3-{{3\mathrm{\ω}}_0}^2({\hat{x}}_1-x_1)---\left(5\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{^}}{x}}_3={{-\mathrm{\ω}}_0}^3({\hat{x}}_1-x_1)$

公式(5)中：为对系统状态x的估计，分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是扩张状态观测器的带宽且ω₀>0； 

定义为扩张状态观测器的估计误差，由前述公式(4)、(5)可得估计误差的动态方程为： 

${\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_1={\tilde{x}}_2-{3\mathrm{\ω}}_0{\tilde{x}}_1$

${\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_2={\tilde{x}}_3-{{-3\mathrm{\ω}}_0}^2{\tilde{x}}_1---\left(6\right)$

${\stackrel{\stackrel{\·}{~}}{x}}_3=h\left(t\right)-{{\mathrm{\ω}}_0}^3{\tilde{x}}_1$

定义ε＝[ε₁，ε₂，ε₃]^T，则得到缩比后的估计误差的动态方程为： 

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}={\mathrm{\ω}}_0\mathrm{A\ϵ}+M\frac{h\left(t\right)}{{{\mathrm{\ω}}_0}^2}---\left(7\right)$

公式(7)中： $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

由矩阵A的定义可知其满足赫尔维茨准则，因而存在一个正定且对称的矩阵P，使得A^TP+PA＝-I成立； 

根据扩张状态观测器理论：若h(t)有界，则系统的状态及总干扰的估计误差总是有界的 并且存在常数δ_i>0以及有限时间T₁>0，使得： 

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\≤{\mathrm{\δ}}_i,{\mathrm{\δ}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\ω}}_0}^{\mathrm{\μ}}}\right),i=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1---\left(8\right)$

其中μ为正整数； 

由上式(8)可知，通过增加扩张状态观测器的带宽ω₀可使估计误差在有限时间内趋于很小的值；因此，在δ₃<|x₃|的条件下，用估计值来前馈补偿系统的总干扰x₃，以提高系统的跟踪性能，同时，由(6)式及扩张状态观测器可知有界； 

步骤3、配置基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器，其具体步骤如下： 

步骤3-1、选取终端滑模面为： 

$s={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}---\left(9\right)$

公式(9)中：s为选取的终端滑模面；c₁、c₂是常数且其多项式p²+c₂p+c₁满足赫尔维茨准则，即多项式p²+c₂p+c₁的所有特征根在复平面的左半平面；α₂＝α，α为常数且α∈(0,1)；e₁为系统的跟踪误差，即e₁＝x₁-x_1d，x_1d是系统期望跟踪的位置指令，并假设此指令值是关于时间二阶连续可微的；sgn函数为符号函数；p为拉普拉斯算子； 

由进而对前述公式(9)进一步转化，得到： 

$\begin{array}{c}s={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\\ ={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+\mathrm{\&Delta;}(t,x)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\end{array}---\left(10\right)$

步骤3-2、根据选取的终端滑模面配置基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器： 

控制器配置的目标是使电机伺服系统的位置输出x₁尽可能准确地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d； 

配置的基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器如下： 

$u={\mathrm{\&theta;}}_1^{-1}(u_{\mathrm{eq}}+u_n)---\left(11\right)$

$u_{\mathrm{eq}}={\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2+\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}-c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}-{\hat{x}}_3---\left(12\right)$

公式(11)、(12)、(13)中：u_eq为基于扰动补偿的等效控制器，u_n为鲁棒控制器，0<ρ<1， γ为正整数，E为正常数且满足

步骤4、分析电机位置伺服系统的稳定性 

选取李亚普诺夫方程为： 

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(14\right)$

运用李亚普诺夫稳定性理论进行稳定性分析，对前述公式(14)求导，并将公式(10)、(11)、(12)、(13)代入可得： 

当|s|≠0时，其中表达式的存在使系统状态以指数形式的收敛速率进行收敛，因此系统状态将会在有限时间内以指数收敛速率到达滑模面s＝0，然后沿滑模面s＝0在有限时间内趋于平衡状态； 

步骤5、调节增益ω₀以保证扩张状态观测器准确地估计系统的总干扰Δ(x,t)，同时选取和调节参数α、c₁、c₂、E、ρ、γ以保证电机位置伺服系统的位置输出x₁准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并且使控制器的输入u无抖动现象产生。 

由以上本发明的技术方案可知，本发明所提出的基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法，与现有技术相比，其显著优点在于：选取电机位置伺服系统作为研究对象，同时考虑系统的非线性摩擦特性以及外干扰等建模不确定性，并且针对非线性摩擦进行了连续光滑的摩擦补偿，进一步改善了电机位置伺服系统的低速伺服性能；针对未建模干扰等不确定性通过扩张状态观测器进行估计并在控制器设计时进行前馈补偿，提高了实际电机位置伺服系统对外干扰的鲁棒性；本发明所设计的终端滑模控制器电压输出不会产生抖动及奇异现象，并且该控制器能保证系统状态在有限时间内趋于平衡状态，极大地提高了系统的跟踪性能；本发明所设计的终端滑模控制器简单并且对系统参数变化具有一定的鲁棒性，更利于在工程实际中应用，而且通过仿真结果验证了其有效性。 

附图说明

图1是本发明一实施方式的电机伺服位置控制系统的原理图。 

图2是本发明一实施方式的某电动执行机构归一化静态摩擦实验数据及连续化摩擦模型的示意图。 

图3是本发明一实施方式基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制的原理示意图。 

图4中，上图为电机伺服系统的总干扰d(t)以及其估计值随时间变化的曲线，下图是扩张状态观测器对系统总干扰d(t)的估计误差随时间变化的曲线。 

图5a是本发明前述实施例中所配置的基于扰动补偿的无抖动滑模位置控制器(图中以TSM标识)和传统PID控制器分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的对比曲线。 

图5b是本发明前述实施例中所配置的基于扰动补偿的无抖动滑模位置控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线以及系统在15-25秒时跟踪误差随时间变化的局部放大图。 

图6是电机位置伺服系统的控制输入随时间变化的曲线。 

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。 

结合图1-图3所示，根据本发明的较优实施例，一种基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法，其实现的具体步骤如下： 

步骤1、建立电机位置伺服系统数学模型 

现有的基于模型的电机伺服系统高性能控制策略设计，大都采用二阶运动学模型或含一阶电气动态的三阶模型进行控制器设计，其中在二阶模型中通常简化系统控制输入u与电机输出力呈线性比例关系，而三阶模型通常在二阶模型的基础上考虑了原始电气的动态过程进行控制器设计。在绝大多数工业应用场合都是通过采购成熟的电机以及驱动器来搭建电机伺服系统，而开发成熟的商业驱动器都至少固化有电流环控制器，以克服电气动态过程对控制性能的影响。因此，基于三阶模型进行控制器设计需要自行开发电气驱动电路以便能够对电气动态过程施加控制，这往往不符合工业应用情况。而二阶模型则认为驱动器内固化的电流环控制器动态过程足够快，使得电机的电气动态不显现于实际用户，用户无需考虑电机与驱动器内部的工作机制，只需建立系统的运动学方程即可。 

因此，在本实施例中，根据牛顿第二定律，简化电机的电气动态为比例环节，电机伺服系统的运动方程为： 

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-F_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中：m为惯性负载参数，y为惯性负载位移，k_f为力矩放大系数，u为系统的控制输入，B为粘性摩擦系数，为可建模的非线性摩擦模型，为外干扰及未建模摩擦的不确定性项； 

选取连续静态摩擦模型为： 

$F_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)=b_1\tanh \left(a_1\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+b_2[\tanh \left(a_2\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\tanh \left(a_3\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)]---\left(2\right)$

公式(2)中：a₁、a₂、a₃、b₁、b₂均为已知常数(通过实验可测得)，tanh函数为双曲正切函数； 

此连续静态摩擦模型的主要特征如下：①此摩擦模型是关于时间连续可微并且关于原点对称的；②库伦摩擦特性可用表达式表征；③静态摩擦系数可用b₁+b₂的值来近似表示；④表达式可以表征Stribeck效应。 

某电动执行机构归一化静态摩擦实验数据及连续化摩擦模型如图2所示，从图中可以看出该连续摩擦模型能准确描述出电机的静态摩擦，从而验证了连续静态摩擦模型的有效性。 

选取状态变量为：则将前述电机位置伺服系统的运动方程转化为如下状态方程形式： 

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+\mathrm{\&Delta;}(t,x)---\left(3\right)$

y＝x₁

公式(3)中：β(x₂)＝θ₃tanh(a₁x₂)+θ₄[tanh(a₂x₂)-tanh(a₃x₂)]， 为系统的总干扰，其中参数θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、a₁、a₂、a₃均为名义值且已知，由此，将参数偏差造成的不确定性影响均归结到系统的总干扰Δ(t,x)中。 

步骤2、配置一扩张状态观测器对电机位置伺服系统的总干扰Δ(x,t)进行估计 

首先将前述状态方程中的总干扰Δ(x,t)扩张为冗余状态x₃，即令x₃＝Δ(x,t)，此时系统状态x变为x＝[x₁,x₂,x₃]^T，令Δ(x,t)有界且其一阶导数存在，并定义则扩张后的系统状态方程为： 

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+x_3---\left(4\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=h\left(t\right)$

根据扩张后的状态方程(4)，配置的扩张状态观测器为： 

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{x}}_1={\hat{x}}_2-{3\mathrm{\&omega;}}_0({\hat{x}}_1-x_1)$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+{\hat{x}}_3-{{3\mathrm{\&omega;}}_0}^2({\hat{x}}_1-x_1)---\left(5\right)$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{x}}_3={{-\mathrm{\&omega;}}_0}^3({\hat{x}}_1-x_1)$

公式(5)中：为对系统状态x的估计，分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是扩张状态观测器的带宽且ω₀>0； 

定义为扩张状态观测器的估计误差，由前述公式(4)、(5)可得估计误差的动态方程为： 

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{x}}_1={\tilde{x}}_2-{3\mathrm{\&omega;}}_0{\tilde{x}}_1$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{x}}_2={\tilde{x}}_3-{{-3\mathrm{\&omega;}}_0}^2{\tilde{x}}_1---\left(6\right)$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{x}}_3=h\left(t\right)-{{\mathrm{\&omega;}}_0}^3{\tilde{x}}_1$

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则得到缩比后的估计误差的动态方程为： 

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}={\mathrm{\&omega;}}_0\mathrm{A\&epsiv;}+M\frac{h\left(t\right)}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}---\left(7\right)$

公式(7)中： $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

由矩阵A的定义可知其满足赫尔维茨准则，因而存在一个正定且对称的矩阵P，使得A^TP+PA＝-I成立； 

根据扩张状态观测器理论：若h(t)有界，则系统的状态及总干扰的估计误差总是有界的并且存在常数δ_i>0以及有限时间T₁>0，使得： 

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_i,{\mathrm{\&delta;}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^{\mathrm{\&mu;}}}\right),i=\mathrm{1,2,3},\&ForAll;t\&GreaterEqual;T_1---\left(8\right)$

其中μ为正整数； 

由上式(8)可知，通过增加扩张状态观测器的带宽ω₀可使估计误差在有限时间内趋于很小的值；因此，在δ₃<|x₃|的条件下，用估计值来前馈补偿系统的总干扰x₃，以提高系统的跟踪性能，同时，由(6)式及扩张状态观测器可知有界。 

步骤3、配置基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器，其具体步骤如下： 

步骤3-1、选取终端滑模面为： 

$s={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}---\left(9\right)$

公式(9)中：s为选取的终端滑模面；c₁、c₂是常数且其多项式p²+c₂p+c₁(p为拉普拉斯算子)满足赫尔维茨准则，即多项式p²+c₂p+c₁的所有特征根在复平面的左半平面； α₂＝α，α为常数且α∈(0,1)；e₁为系统的跟踪误差，即e₁＝x₁-x_1d，x_1d是系统期望跟踪的位置指令，并假设此指令值是关于时间二阶连续可微的；sgn函数为符号函数； 

由进而对前述公式(9)进一步转化，得到： 

$\begin{array}{c}s={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\\ ={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+\mathrm{\&Delta;}(t,x)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\end{array}---\left(10\right)$

步骤3-2、根据选取的终端滑模面配置基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器： 

控制器配置的目标是使电机伺服系统的位置输出x₁尽可能准确地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d； 

配置的基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器如下： 

$u={\mathrm{\&theta;}}_1^{-1}(u_{\mathrm{eq}}+u_n)---\left(11\right)$

$u_{\mathrm{eq}}={\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2+\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}-c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}-{\hat{x}}_3---\left(12\right)$

公式(11)、(12)、(13)中：u_eq为基于扰动补偿的等效控制器，u_n为鲁棒控制器，0<ρ<1， γ为正整数，E为正常数且满足

步骤4、分析电机位置伺服系统的稳定性 

选取李亚普诺夫方程为： 

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(14\right)$

运用李亚普诺夫稳定性理论进行稳定性分析，对前述公式(14)求导，并将公式(10)、(11)、(12)、(13)代入求导后的李亚普诺夫方程可得： 

由公式(7)、(8)可得有界，当 $\left|{\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{x}}_3\right|\&le;E$ 时

又0<ρ<1，因此： 

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\frac{1}{2}\frac{d}{\mathrm{dt}}{s}^2<E\left|s\right|---\left(15\right)$

从而可得当|s|≠0时，其中表达式的存在使系统状态以指数形式的收敛速率进行收敛到达终端滑模面。 

当系统到达终端滑模面s＝0，在本实施例中选取参数则有： 

$\begin{array}{c}s={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\\ ={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1+c_2{{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1{e_1}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\\ =0\end{array}---\left(16\right)$

由于c₁、c₂是常数且其多项式p²+c₂p+c₁(p为拉普拉斯算子)满足赫尔维茨准则，即多项式p²+c₂p+c₁的所有特征根在复平面的左半平面可得系统的跟踪误差将会在有限时间 内趋于零。因此系统状态将会在有限时间内以指数收敛速率到达滑模面s＝0，然后沿滑模面s＝0在有限时间内趋于平衡状态； 

因此，由公式(15)可得所配置的基于扰动补偿的电机伺服系统(3)的无抖动滑模位置控制器(11)将会使系统状态在有限时间内以指数收敛速率到达滑模面s＝0，然后将会沿着滑模面s＝0在有限时间内趋于平衡状态。电机位置伺服系统非线性控制原理如图3所示。 

步骤5、根据公式(7)可得调节增益ω₀(ω₀>0)能保证扩张状态观测器的估计误差趋于很小的值，从而使扩张状态观测器准确地估计总的扰动Δ(x,t)。同时选取和调节参数α(α∈(0,1))，c₁、c₂(其多项式p²+c₂p+c₁(p为拉普拉斯算子)满足赫尔维茨准则)，E ρ(0<ρ<1)，γ(均为正整数)能保证电机位置伺服系统的位置输出x₁准确地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d，并且使控制器的输入u无抖动现象产生。 

下面结合一个具体的例子，来给出本实施例提出的上述方法的示例性说明。 

电机位置伺服系统参数为惯性负载参数：m＝0.01kg·m²；力矩放大系数：k_f＝5N·m/V；粘性摩擦系数：B＝1.025N·m·s/rad；在t＝10s时加入时变外干扰：d(t)＝2sin(2πt)N·m；连续摩擦模型中的参数：a₁＝700、a₂＝15、a₃＝1.5、b₁＝0.1、b₂＝0.05；系统期望跟踪的位置指令为正弦曲线：

对比仿真结果：基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制器(TSM)的参数选取为:ω₀＝700，α＝9/16，c₁＝10，c₂＝7，E＝40，ρ＝0.8，γ＝2；PID控制器参数选取为：k_P＝42.8,k_I＝67.7,k_D＝0.3。 

其中PID控制器参数的选取步骤是：首先在忽略电机伺服系统非线性动态的情况下，通过Matlab中的PID参数自整定功能获得一组控制器参数，然后再将系统的非线性动态加上后对刚获得的自整定参数进行微调使系统获得最佳的跟踪性能。 

图4中上图是电机伺服系统的总干扰(其幅值为2N·m)以及其估计值随时间变化的曲线，下图是扩张状态观测器对系统总干扰的估计误差随时间变化的曲线，从曲线可以看出所设计的观测器的最大扰动估计误差的绝对值不到0.08N·m,约占总的扰动量幅值的4％，从而能够准确地将系统的总干扰估计出来。 

控制器作用效果：图5a表示依据本实施例的方法配置的基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制器(TSM)和传统PID控制器分别作用下系统的跟踪误差随时间变化的对比曲线，从图中可以看出，加入扰动之后PID控制器的最大跟踪误差的绝对值为1.3度左右； 图5b表示依据本实施例的方法配置的基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制器(TSM)作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线，同时表示出了系统在15-25秒时跟踪误差随时间变化的局部放大图，从图中可以看出，在扰动加入后很短一段时间内最大跟踪误差的绝对值不到0.35度，而稳态误差的绝对值为1.2×10^-3度左右。因此在电机位置伺服系统跟踪控制问题中，依据本实施例的方法配置的基于扰动补偿的无抖动滑模控制器相比传统的PID控制器在跟踪性能上有很大的提高。 

图6是电机位置伺服系统的控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，依据本实施例的方法所得到的控制输入信号无抖动和奇异现象产生，有利于在工程中的实际实施。 

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。 

Claims (2)

1.一种基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立电机位置伺服系统数学模型

简化电机的电气动态为比例环节，电机伺服系统的运动方程为：

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-F_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+d(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中：m为惯性负载参数，y为惯性负载位移，k_f为力矩放大系数，u为系统的控制输入，B为粘性摩擦系数，为可建模的非线性摩擦模型，为包括外干扰及未建模摩擦的不确定性项；

选取连续静态摩擦模型为：

$F_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)=b_1\tanh \left(a_1\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+b_2[\tanh \left(a_2\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)-\tanh \left(a_3\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)]---\left(2\right)$

公式(2)中：a₁、a₂、a₃、b₁、b₂均为常数，tanh函数为双曲正切函数；

选取状态变量为：则将前述电机位置伺服系统的运动方程转化为如下状态方程形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+\mathrm{\&Delta;}(t,x)---\left(3\right)$

y＝x₁

公式(3)中：β(x₂)＝θ₃tanh(a₁x₂)+θ₄[tanh(a₂x₂)-tanh(a₃x₂)]， 为系统的总干扰，其中参数θ₁、θ₂、θ₃、θ₄、a₁、a₂、a₃均为名义值且已知常量，由此，将参数偏差造成的不确定性影响均归结到系统的总干扰Δ(t,x)中；

步骤2、配置一扩张状态观测器对电机位置伺服系统的总干扰Δ(x,t)进行估计

首先将前述状态方程中的总干扰Δ(x,t)扩张为冗余状态x₃，即令x₃＝Δ(x,t)，此时系统状态x变为x＝[x₁,x₂,x₃]^T，令Δ(x,t)有界且其一阶导数存在，并定义则扩张后的系统状态方程为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+x_3---\left(4\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=h\left(t\right)$

根据扩张后的状态方程(4)，配置的扩张状态观测器为：

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{x}}_1={\hat{x}}_2-{3\mathrm{\&omega;}}_0({\hat{x}}_1-x_1)$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+{\hat{x}}_3-{{3\mathrm{\&omega;}}_0}^2({\hat{x}}_1-x_1)---\left(5\right)$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{x}}_3={{-\mathrm{\&omega;}}_0}^3({\hat{x}}_1-x_1)$

公式(5)中：为对系统状态x的估计，分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是扩张状态观测器的带宽且ω₀>0；

定义为扩张状态观测器的估计误差，由前述公式(4)、(5)可得估计误差的动态方程为：

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{x}}_1={\tilde{x}}_2-{3\mathrm{\&omega;}}_0{\tilde{x}}_1$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{x}}_2={\tilde{x}}_3-{{-3\mathrm{\&omega;}}_0}^2{\tilde{x}}_1---\left(6\right)$

${\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{~}}{x}}_3=h\left(t\right)-{{\mathrm{\&omega;}}_0}^3{\tilde{x}}_1$

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，则得到缩比后的估计误差的动态方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}={\mathrm{\&omega;}}_0\mathrm{A\&epsiv;}+M\frac{h\left(t\right)}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}---\left(7\right)$

公式(7)中： $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right];$

由矩阵A的形式可知其满足赫尔维茨准则，因而存在一个正定且对称的矩阵P，使得A^TP+PA＝-I成立；

根据扩张状态观测器理论：若h(t)有界，则系统的状态及总干扰的估计误差总是有界的并且存在常数δ_i>0以及有限时间T₁>0，使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_i,{\mathrm{\&delta;}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\&omega;}}_0}^{\mathrm{\&mu;}}}\right),i=\mathrm{1,2,3},\&ForAll;t\&GreaterEqual;T_1---\left(8\right)$

其中μ为正整数；

由上式(8)可知，通过增加扩张状态观测器的带宽ω₀可使估计误差在有限时间内趋于很小的值；因此，在δ₃<|x₃|的条件下，用估计值来前馈补偿系统的总干扰x₃，以提高系统的跟踪性能，同时，由公式(6)及扩张状态观测器可知有界；

步骤3、配置基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器，其具体步骤如下：

步骤3-1、选取终端滑模面为：

$s={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}---\left(9\right)$

公式(9)中：s为选取的终端滑模面；c₁、c₂是常数且其多项式p²+c₂p+c₁满足赫尔维茨准则，即多项式p²+c₂p+c₁的所有特征根在复平面的左半平面；α₂＝α，α为常数且α∈(0,1)；e₁为系统的跟踪误差，即e₁＝x₁-x_1d，x_1d是系统期望跟踪的位置指令，并假设此指令值是关于时间二阶连续可微的；sgn函数为符号函数；p为拉普拉斯算子；

由进而对前述公式(9)进一步转化，得到：

$\begin{array}{c}s={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\\ ={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+\mathrm{\&Delta;}(t,x)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}+c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}\end{array}---\left(10\right)$

步骤3-2、根据选取的终端滑模面配置基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器配置的基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模控制器如下：

$u={\mathrm{\&theta;}}_1^{-1}(u_{\mathrm{eq}}+u_n)---\left(11\right)$

$u_{\mathrm{eq}}={\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2+\mathrm{\&beta;}\left(x_2\right)+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_{1d}-c_2\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right){\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}-c_1\mathrm{sgn}\left(e_1\right){\left|e_1\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}-{\hat{x}}_3---\left(12\right)$

公式(11)、(12)、(13)中：u_eq为基于扰动补偿的等效控制器，u_n为鲁棒控制器，0<ρ<1，γ为正整数，E为正常数且满足

步骤4、分析电机位置伺服系统的稳定性

选取李亚普诺夫方程为：

$V=\frac{1}{2}{s}^2---\left(14\right)$

运用李亚普诺夫稳定性理论进行稳定性分析，对前述公式(14)求导，并将公式(10)、(11)、(12)、(13)代入求导后的李亚普诺夫方程可得：

当|s|≠0时，其中表达式的存在使系统状态以指数形式的收敛速率进行收敛，因此系统状态将会在有限时间内以指数收敛速率到达滑模面s＝0，然后沿滑模面s＝0在有限时间内趋于平衡状态；以及

步骤5、调节增益ω₀以保证扩张状态观测器准确地估计系统的总干扰Δ(x,t)，同时选取和调节参数α、c₁、c₂、E、ρ、γ以保证电机位置伺服系统的位置输出x₁准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并且使控制器的输入u无抖动现象产生。

2.根据权利要求1所述的基于扰动补偿的电机伺服系统无抖动滑模位置控制方法，其特征在于，前述可调节参数中：

ω₀＝700，α＝9/16，c₁＝10，c₂＝7，E＝40，ρ＝0.8，γ＝2。