CN104901599A - 基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，包括:建立永磁同步电机系统的混沌模型，初始化系统状态以及相关控制参数；通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的标准形式扩张状态观测器设计；基于扩张状态观测器，设计全阶滑模控制器，消除滑模控制中的抖振问题，并保证系统状态可快速稳定收敛至零点。本发明提出一种混沌系统全阶滑模控制方法，抑制滑模控制中的抖振问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

Description

基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，特别是系统部分状态和非线性不确定项上界均未知的永磁同步电机混沌系统的全阶滑模控制方法。

背景技术

永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)是一种典型的多变量、强耦合非线性系统，在诸如机器人、航空飞行器以及伺服转台控制等高性能系统中得到了广泛的应用。然而，近年来的研究表明，永磁同步电机在一定条件下会呈现出混沌特性，混沌行为的存在将会产生不规则的电流噪声，严重影响了系统的稳定运行，对PMSM的应用造成不便。因此，如何有效控制和消除永磁同步电机系统中的混沌行为已成为电机控制中亟待解决的关键问题之一。

滑模变结构控制(Sliding Mode Control,SMC)由于对系统数学模型要求不高，且对系统参数摄动、外部扰动具有较强的鲁棒性，被广泛应用于混沌控制研究中。但传统的滑模控制方法中由于控制增益的过高以及符号函数的存在，导致其存在一定的抖振问题，影响了实际应用。目前，在消除抖振的研究方面，各种改进的滑模控制方法已被提出，如用饱和函数代替符号函数来设计控制器、积分时变滑模控制器和自适应滑模控制器。此外，近几年也提出了将扰动观测器和扩张状态观测器与滑模控制相结合，用于永磁同步电机的调速控制和无抖振滑模控制方法。该控制器是一种全阶滑模控制器，与传统的降阶滑模控制器相比，优势在于控制信号是连续的，能够有效避免滑模控制抖振现象。本发明针对永磁同步电机在一定参数条件下呈现出混沌特性且部分混沌状态不易精确测量等问题，设计基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，改善滑模控制中的抖振问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

发明内容

为了克服永磁同步电机在一定参数条件下呈现出混沌特性且部分混沌状态不易精确测量等不足，本发明提供一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，取消系统所有状态完全可测的限制，采用扩张状态观测器估计系统状态以及不确定项，并基于估计值设计全阶滑模控制方法，抑制滑模控制中的抖振问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立永磁同步电机系统的混沌模型，初始化系统状态以及控制参数，所述的永磁同步电机混沌系统能描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{i}}_d}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_q+{\tilde{u}}_d\\ \frac{d{\tilde{i}}_q}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\γ}\widetilde{\mathrm{\ω}}+{\tilde{u}}_q\\ \frac{d\widetilde{\mathrm{\ω}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\σ}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，和为状态变量，分别表示直轴和交轴定子电流以及转子角频率；和表示直轴和交轴的定子电压；为外部扭矩；σ和γ为常值参数；

步骤2,通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的标准形式，过程如下：

2.1,令则式(1)能等效为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=\mathrm{\σ}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{.}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\γ}{x}_1+u\\ {\stackrel{.}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁,x₂,x₃为系统状态且x₂,x₃不可测，σ和γ为未知参数，u为控制信号， ${\tilde{u}}_d={\tilde{u}}_q=T_L=0;$

2.2,为便于控制器设计，将式(1)分解为如下两个子系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=\mathrm{\σ}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{.}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\γ}{x}_1+u\end{array}\right.---\left(3\right)$

和

${\stackrel{.}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2---\left(4\right)$

其中，式(4)能认为是式(2)的内动态方程，即：当x₁,x₂收敛至零点时，有成立，从而x₃也能渐近收敛至零点；控制目的为：设计控制器u，使得式(3)中的两个状态x₁和x₂收敛至零点；

2.3,设

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=x_1\\ y_2=\mathrm{\σ}(x_2-x_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

则式(3)转变为以下标准形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{.}{y}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]，b＝σ；

2.4,令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b₀，其中b₀为b的估计值，基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态y₃＝a₀，则式(6)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{.}{y}}_2=y_3+b_{0}u\\ {\stackrel{.}{y}}_3=h\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，

步骤3,设计扩张状态观测器，过程如下：

令z_i,i＝1,2,3,分别为式(7)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为ε_i＝z_i-y_i，则非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{\mathrm{\ϵ}}_1\\ {\stackrel{.}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_2\mathrm{fal}({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_1,\mathrm{\δ})+b_{0}u\\ {\stackrel{.}{z}}_3=-{\mathrm{\β}}_3\mathrm{fal}({\mathrm{\ϵ}}_1,{\mathrm{\α}}_2,\mathrm{\δ})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，β₁,β₂,β₃均为观测器增益，β₁,β₂,β₃＞0.fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，表达式为：

$\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\α}}_i,\mathrm{\δ})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e_{o1}}{{\mathrm{\δ}}^{1-{\mathrm{\α}}_i}}& \left|e_{o1}\right|\≤\mathrm{\δ}\\ {\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\α}}_i}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right)& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\δ}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

其中，δ表示线性段的区间长度，δ＞0，0＜α_i＜1,i＝1,2,3，sign(ε₁)为符号函数，表达式为：

$\mathrm{sign}\left({\mathrm{\&epsiv;}}_1\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& {\mathrm{\&epsiv;}}_1\&GreaterEqual;0\\ -1,& {\mathrm{\&epsiv;}}_1<0\end{array}\right.;$

步骤4,基于扩张状态观测器，设计全阶滑模控制器，过程如下：

4.1,定义跟踪误差e为

e＝y₁-y_d         (10)

其中y_d为期望轨迹；

则跟踪误差e的一阶和二阶导数分别为

$\stackrel{.}{e}=y_2-{\stackrel{.}{y}}_d---\left(11\right)$

和

$\stackrel{..}{e}={\stackrel{..}{y}}_2-{\stackrel{..}{y}}_d=y_3+b_{0}u-{\stackrel{..}{y}}_d---\left(12\right)$

4.2,根据式(10)-(12)，设计如下全阶滑模面s：

$s=\stackrel{..}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\stackrel{.}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}e---\left(13\right)$

其中，λ₁和λ₂为控制参数，λ₁＞0，λ₂＞0；

将式(10)-(12)代入式(13)得

$\begin{array}{c}s=\stackrel{..}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\stackrel{.}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}e\\ ={\stackrel{.}{y}}_2-{\stackrel{..}{y}}_d+{\mathrm{\&lambda;}}_2(y_1-y_d)\\ =y_3+b_{0}u-{\stackrel{..}{y}}_d+{\mathrm{\&lambda;}}_2(y_2-{\stackrel{.}{y}}_d)+{\mathrm{\&lambda;}}_1(y_1-y_d)\end{array}---\left(14\right)$

由式(14)，基于扩张状态观测器的全阶滑模控制器设计为

$u=\frac{1}{b_0}(u_0+u_1)---\left(15\right)$

$u_0=-z_3+{\stackrel{..}{y}}_d-{\mathrm{\&lambda;}}_2(z_2-{\stackrel{.}{y}}_d)-{\mathrm{\&lambda;}}_1(z_1-y_d)---\left(16\right)$

${\stackrel{.}{u}}_1+{\mathrm{Tu}}_1=u_2---\left(17\right)$

u₂＝-ksgn(s)        (18)其中，T≥0，k＝k_d+k_T+η，η，k_d，k_T均为控制器参数，η＞0，k_d＞0，k_T＞0；

4.3,将式(15)-(18)代入式(14)中，有

s₂＝u₁+(y₃-z₃)+λ₂(y₂-z₂)+λ₁(y₁-z₁)       (19)

＝u₁+d(x,z)

其中，d(x,z)＝(y₃-z₃)+λ₂(y₂-z₂)+λ₁(y₁-z₁)，且满足d(x,z)≤l_d，

l_d＝l₃+λ₂l₂+λ₁l₁；

对式(19)求导得

$\stackrel{.}{s}={\stackrel{.}{u}}_1+\stackrel{.}{d}(x,z)=\stackrel{.}{d}(x,z)+u_2-{\mathrm{Tu}}_1---\left(20\right)$

4.4,设计李雅普诺夫函数：

V＝0.5s²      (21)

将式(7)，(13)，(15)-(18)代入到式(21)，如果判定系统是稳定的。

本发明结合扩张状态观测器技术和全阶滑模控制技术，设计一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制器，抑制滑模控制中的抖振问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

本发明的技术构思为：永磁同步电机在一定参数条件下呈现出混沌特性。针对部分状态不可测的永磁同步电机混沌系统，结合全阶滑模控制和扩张状态观测器理论，设计一种永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，取消了系统所有状态完全可测的限制。通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型变为更适宜控制器设计的标准形式。在系统部分状态和非线性不确定项上界均未知的情况下，基于扩张状态观测器估计系统未知状态及不确定项，并设计全阶滑模控制器保证系统状态快速稳定收敛至零点。本发明提供一种能够改善滑模控制抖振问题并提高系统控制精度及鲁棒性的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法。确保在系统部分状态不可测的情况下,并保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

本发明的优点为：保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点，有效消除滑模控制中的抖振问题。

附图说明

图1为永磁同步电机混沌吸引子；

图2为基于扩张状态观测器的全阶滑模控制方法的流程图；

图3为降阶滑模控制系统的响应曲线，其中，(a)表示转子角频率，(b)表示交轴定子电流，(c)表示直轴定子电流；

图4为全阶滑模控制系统的响应曲线，其中，(a)表示转子角频率，(b)表示交轴定子电流，(c)表示直轴定子电流；

图5为降阶滑模控制系统的控制信号；

图6为全阶滑模控制系统的控制信号。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图6，一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立永磁同步电机系统的混沌模型，初始化系统状态以及控制参数，所述的永磁同步电机混沌系统能描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{i}}_d}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_q+{\tilde{u}}_d\\ \frac{d{\tilde{i}}_q}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\&gamma;}\widetilde{\mathrm{\&omega;}}+{\tilde{u}}_q\\ \frac{d\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&sigma;}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，和为状态变量，分别表示直轴和交轴定子电流以及转子角频率；和表示直轴和交轴的定子电压；为外部扭矩；σ和γ为常值参数；

步骤2,通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的标准形式，过程如下：

2.1,令则式(1)能等效为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{.}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\\ {\stackrel{.}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁,x₂,x₃为系统状态且x₂,x₃不可测，σ和γ为未知参数，u为控制信号， ${\tilde{u}}_d={\tilde{u}}_q=T_L=0;$

2.2,为便于控制器设计，将式(1)分解为如下两个子系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{.}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\end{array}\right.---\left(3\right)$

和

${\stackrel{.}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2---\left(4\right)$

其中，式(4)能认为是式(2)的内动态方程，即：当x₁,x₂收敛至零点时，有成立，从而x₃也能渐近收敛至零点；因此，本发明的控制目的为：设计控制器u，使得式(3)中的两个状态x₁和x₂收敛至零点；

2.3,设

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=x_1\\ y_2=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

则式(3)可转变为以下标准形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{.}{y}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]，b＝σ。

2.4,令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b₀，其中b₀为b的估计值，可根据经验给定；基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态y₃＝a₀，则式(6)能改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{.}{y}}_2=y_3+b_{0}u\\ {\stackrel{.}{y}}_3=h\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $h={\stackrel{.}{a}}_0.$

步骤3,设计扩张状态观测器；

令z_i,i＝1,2,3,分别为式(7)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为ε_i＝z_i-y_i，则非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}_1\\ {\stackrel{.}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}({\mathrm{\&epsiv;}}_1,{\mathrm{\&alpha;}}_1,\mathrm{\&delta;})+b_{0}u\\ {\stackrel{.}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}({\mathrm{\&epsiv;}}_1,{\mathrm{\&alpha;}}_2,\mathrm{\&delta;})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，β₁,β₂,β₃均为观测器增益，β₁,β₂,β₃＞0.fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，表达式为：

$\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_i,\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e_{o1}}{{\mathrm{\&delta;}}^{1-{\mathrm{\&alpha;}}_i}}& \left|e_{o1}\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\\ {\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_i}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right)& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

其中，δ表示线性段的区间长度，δ＞0，0＜α_i＜1,i＝1,2,3，sign(ε₁)为符号函数，表达式为：

$\mathrm{sign}\left({\mathrm{\&epsiv;}}_1\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& {\mathrm{\&epsiv;}}_1\&GreaterEqual;0\\ -1,& {\mathrm{\&epsiv;}}_1<0\end{array}\right.;$

步骤4,基于扩张状态观测器，设计全阶滑模控制器，过程如下：

4.1,定义跟踪误差e为

e＝y₁-y_d           (10)

其中y_d为期望轨迹；

则跟踪误差e的一阶和二阶导数分别为

$\stackrel{.}{e}=y_2-{\stackrel{.}{y}}_d---\left(11\right)$

和

$\stackrel{..}{e}={\stackrel{..}{y}}_2-{\stackrel{..}{y}}_d=y_3+b_{0}u-{\stackrel{..}{y}}_d---\left(12\right)$

4.2,根据式(10)-(12)，设计如下全阶滑模面s：

$s=\stackrel{..}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\stackrel{.}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}e---\left(13\right)$

其中，λ₁和λ₂为控制参数，λ₁＞0，λ₂＞0；

将式(10)-(12)代入式(13)得

$\begin{array}{c}s=\stackrel{..}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\stackrel{.}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}e\\ ={\stackrel{.}{y}}_2-{\stackrel{..}{y}}_d+{\mathrm{\&lambda;}}_2(y_1-y_d)\\ =y_3+b_{0}u-{\stackrel{..}{y}}_d+{\mathrm{\&lambda;}}_2(y_2-{\stackrel{.}{y}}_d)+{\mathrm{\&lambda;}}_1(y_1-y_d)\end{array}---\left(14\right)$

由式(14)，基于扩张状态观测器的全阶滑模控制器设计为

$u=\frac{1}{b_0}(u_0+u_1)---\left(15\right)$

$u_0=-z_3+{\stackrel{..}{y}}_d-{\mathrm{\&lambda;}}_2(z_2-{\stackrel{.}{y}}_d)-{\mathrm{\&lambda;}}_1(z_1-y_d)---\left(16\right)$

${\stackrel{.}{u}}_1+{\mathrm{Tu}}_1=u_2---\left(17\right)$

u₂＝-ksgn(s)         (18)

其中，T≥0，k＝k_d+k_T+η，η，k_d，k_T均为控制器参数，η＞0，k_d＞0，k_T＞0；

4.3,将式(15)-(18)代入式(14)中，有

s₂＝u₁+(y₃-z₃)+λ₂(y₂-z₂)+λ₁(y₁-z₁)     (19)

＝u₁+d(x,z)

其中，d(x,z)＝(y₃-z₃)+λ₂(y₂-z₂)+λ₁(y₁-z₁)，且满足d(x,z)≤l_d，

l_d＝l₃+λ₂l₂+λ₁l₁；

对式(19)求导得

$\stackrel{.}{s}={\stackrel{.}{u}}_1+\stackrel{.}{d}(x,z)=\stackrel{.}{d}(x,z)+u_2-{\mathrm{Tu}}_1---\left(20\right)$

4.4,设计李雅普诺夫函数：

V＝0.5s²      (21)

将式(7)，(13)，(15)-(18)代入到式(21)，如果判定系统是稳定的。

本发明结合扩张状态观测器技术和全阶滑模控制技术，设计一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制器，抑制滑模控制中的抖振问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

为验证所提方法的有效性，本发明对由式(15)-(18)表示的基于扩张状态观测器的全阶滑模控制器(full-order sliding mode control based on extended stateobserver,FSMC+ESO)的控制效果进行仿真实验，并与基于扩张状态观测器的降阶滑模控制器(reduced-order sliding mode control based on extended stateobserver,RSMC+ESO)效果进行对比。仿真中采用的永磁同步电机系统、扩张状态观测器以及滑模控制器的部分参数设计如下：采样时间T_s＝0.01s，初始条件(x₁(0),x₂(0),x₃(0))＝(-5,0.01,20)，滑模与扩张观测器的参数设置为：λ₁＝10，λ₂＝100，b₀＝5，β₁＝100，β₂＝150，β₃＝0.1，α₁＝0.5，α₂＝0.25，α₃＝0.125，k₁＝10，k₂＝10，δ＝0.01。

从图3和图4的实验结果对比能看出：采用RSMC+ESO与FSMC+ESO两种控制方法的镇定效果对比。从图3以看出RSMC+ESO方法x₂的跟踪误差便趋于稳定范围[-0.05,0.05，]而FSMC+ESO方法x₂跟踪误差才趋于稳定范围10^-4×[3.8,4.，1]FSMC+ESO方法的稳态误差略小于RSMC+ESO方法。从图5和图6能看出FSMC+ESO控制方法的控制信号抖振明显小于RSMC+ESO方法。整体来看，在基于扩张状态观测器的全阶滑模控制器的作用下，不仅能有效消除滑模控制中的抖振问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。所提出的控制方案对带有未知摩擦力矩和模型不确定项的永磁同步电机系统是有效的，在所提出的控制器的作用下，抑制滑模控制中的抖振问题，保证系统的混沌状态快速稳定收敛至零点。

Claims (1)

1.一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机混沌系统全阶滑模控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：

步骤1,建立永磁同步电机系统的混沌模型，初始化系统状态以及控制参数，所述的永磁同步电机混沌系统能描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{i}}_d}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_q+{\tilde{u}}_d\\ \frac{d{\tilde{i}}_q}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\&gamma;}\widetilde{\mathrm{\&omega;}}+{\tilde{u}}_q\\ \frac{d\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&sigma;}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，和为状态变量，分别表示直轴和交轴定子电流以及转子角频率；和表示直轴和交轴的定子电压；为外部扭矩；σ和γ为常值参数；

步骤2,通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的标准形式，过程如下：

2.1,令 $x_1=\widetilde{\mathrm{\&omega;}},x_2={\tilde{i}}_q,x_3={\tilde{i}}_d,$ 则式(1)能等效为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁,x₂,x₃为系统状态且x₂,x₃不可测，σ和γ为未知参数，u为控制信号，

${\tilde{u}}_d={\tilde{u}}_q=T_L=0;$

2.2,为便于控制器设计，将式(1)分解为如下两个子系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\end{array}\right.---\left(3\right)$

和

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2---\left(4\right)$

其中，式(4)能认为是式(2)的内动态方程，即：当x₁,x₂收敛至零点时，有成立，从而x₃也能渐近收敛至零点；控制目的为：设计控制器u，使得式(3)中的两个状态x₁和x₂收敛至零点；

2.3,设

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=x_1\\ y_2=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

则式(3)转变为以下标准形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]，b＝σ；

2.4,令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b₀，其中b₀为b的估计值，基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态y₃＝a₀，则式(6)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2=y_3+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_3=h\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $h={\stackrel{\&CenterDot;}{a}}_0;$

步骤3,设计扩张状态观测器，过程如下：

令z_i,i＝1,2,3,分别为式(7)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为ε_i＝z_i-y_i，则非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}({\mathrm{\&epsiv;}}_1,{\mathrm{\&alpha;}}_1,\mathrm{\&delta;})+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}({\mathrm{\&epsiv;}}_1,{\mathrm{\&alpha;}}_2,\mathrm{\&delta;})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，β₁,β₂,β₃均为观测器增益，β₁,β₂,β₃＞0.fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，表达式为：

$\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_i,\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e_{o1}}{{\mathrm{\&delta;}}^{1-{\mathrm{\&alpha;}}_i}}& \left|e_{o1}\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\\ {\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_i}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right)& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

其中，δ表示线性段的区间长度，δ＞0，0＜α_i＜1,i＝1,2,3，sign(ε₁)为符号函数，表达式为：

$\mathrm{sign}\left({\mathrm{\&epsiv;}}_1\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& {\mathrm{\&epsiv;}}_1\&GreaterEqual;0\\ -1,& {\mathrm{\&epsiv;}}_1<0\end{array}\right.;$

步骤4,基于扩张状态观测器，设计全阶滑模控制器，过程如下：

4.1,定义跟踪误差e为

e＝y₁-y_d             (10)

其中y_d为期望轨迹；

则跟踪误差e的一阶和二阶导数分别为

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=y_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d---\left(11\right)$

和

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d=y_3+b_{0}u-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d---\left(12\right)$

4.2,根据式(10)-(12)，设计如下全阶滑模面s：

$s=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}e---\left(13\right)$

其中，λ₁和λ₂为控制参数，λ₁＞0，λ₂＞0；

将式(10)-(12)代入式(13)得

$\begin{array}{c}s=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_2\stackrel{\&CenterDot;}{e}+{\mathrm{\&lambda;}}_{1}e\\ ={\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+{\mathrm{\&lambda;}}_2(y_1-y_d)\\ =y_3+b_{0}u-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+{\mathrm{\&lambda;}}_2(y_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)+{\mathrm{\&lambda;}}_1(y_1-y_d)\end{array}---\left(14\right)$

由式(14)，基于扩张状态观测器的全阶滑模控制器设计为

$u=\frac{1}{b_0}(u_0+u_1)---\left(15\right)$

$u_0=-z_3+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-{\mathrm{\&lambda;}}_2(z_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)-{\mathrm{\&lambda;}}_1(z_1-y_d)---\left(16\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_1+{\mathrm{Tu}}_1=u_2---\left(17\right)$

u₂＝-ksgn(s)           (18)

其中，T≥0，k＝k_d+k_T+η，η，k_d，k_T均为控制器参数，η＞0，k_d＞0，k_T＞0；

4.3,将式(15)-(18)代入式(14)中，有

$\begin{array}{c}{s}_2=u_1+(y_3-z_3)+{\mathrm{\&lambda;}}_2(y_2-z_2)+{\mathrm{\&lambda;}}_1(y_1-z_1)\\ =u_1+d(x,z)\end{array}---\left(19\right)$

其中，d(x,z)＝(y₃-z₃)+λ₂(y₂-z₂)+λ₁(y₁-z₁)，且满足d(x,z)≤l_d，

l_d＝l₃+λ₂l₂+λ₁l₁；

对式(19)求导得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}={\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_1+\stackrel{\&CenterDot;}{d}(x,z)=\stackrel{\&CenterDot;}{d}(x,z)+u_2-{\mathrm{Tu}}_1---\left(20\right)$

4.4,设计李雅普诺夫函数：

V＝0.5s²          (21)

将式(7)，(13)，(15)-(18)代入到式(21)，如果判定系统是稳定的。