CN105843039A - 一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法，包括：建立机电伺服系统和摩擦模型，初始化系统状态及控制参数；设计有限时间参数辨识方法，在线估计未知的摩擦模型参数；基于估计的模型参数，设计基于误差镇定的跟踪控制器。本发明所设计的补偿控制方案对含有不确定摩擦参数的机电伺服系统具有较好的跟踪控制效果，能够精确实现未知参数的在线估计，提高机电伺服系统的跟踪控制性能。

Description

一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法

技术领域

本发明属于机电伺服系统控制技术领域，涉及一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法，特别是对于含有未知参数的机电伺服系统摩擦参数辨识和补偿控制方法。

背景技术

随着控制理论及材料科学、电机制造工艺水平等的逐渐提高，机电伺服系统已经广泛的应用在工业自动化及国防科技等领域，其在社会科技发展中占据着越来越重要的地位。为了满足伺服系统日益提高的运动控制性能要求，在控制器设计过程中必须考虑其非线性特性的影响，在众多影响低速性能的因素中，摩擦是最为主要的因素之一，它的存在能够引起伺服系统的低速爬行、双向运动不连续以及极限环震荡等现象，严重影响了闭环系统的控制性能，严重时甚至可能导致系统的损坏。因此，设计合适的补偿控制方法来消除或削弱非线性摩擦对系统的影响，提高伺服系统的控制性能是很有意义的。

在对非线性摩擦进行补偿控制时，未知的系统参数和摩擦参数往往对控制方法的提出带来困难，因此，如何准确地估计未知参数成为了设计补偿控制方法的首要问题。目前，大多数用来估计未知参数的方法是在控制律的设计过程引入参数观测器或者预测器，以观测或预测到的参数代替未知参数来设计控制方案，这样做不仅使系统更为复杂，往往还需要持续激励的条件，参数估计精度和估计时间也不一定能满足系统设计的需求。在本发明中，设计了一种有限时间参数辨识的方法，使用系统已知状态和控制输入，在有限时间内精确估计出系统和摩擦的未知参数，以满足控制器的设计需要。

目前各种控制理论和新的控制方法被用来提高伺服系统的稳态控制性能，包括自适应控制，滑模控制，鲁棒控制以及模型参考自适应控制方法等。经过众多学者的研究，这些方法都能在一定程度上提高系统的跟踪精度，减弱摩擦对系统控制性能的影响。但随着系统对跟踪精度的要求越来越高，控制方法也需要进一步提高改进。

发明内容

为了解决带有未知参数的机电伺服系统摩擦补偿控制问题，使系统能够实现精确跟踪控制和参数辨识，本发明提供了一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法，该方法采用有限时间参数辨识技术来在线估计系统和非线性摩擦的未知参数，使参数在有限时间内收敛到有效值，并根据参数有效值，将伺服系统的跟踪控制问题转化为跟踪误差的镇定问题，使得系统能够快速稳定并提高系统跟踪精度。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立机电伺服系统和摩擦模型，初始化系统状态及控制参数，过程如下：

1.1,机电伺服系统模型表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ J{\stackrel{\·}{x}}_2=u-F\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x₁，x₂为系统状态，分别表示电机的位置和转速；J表示系统的转动惯量；u是系统的控制输入；F表示系统摩擦力；

1.2,摩擦模型采用Stribeck模型，表示如下：

$F=\left\{\begin{array}{cc}F\left(x_2\right)& x_2\&NotEqual;0\\ F_e& x_2=0and\left|F_e\right|<F_s\\ F_{s}sign\left(F_e\right)& otherwise\end{array}\right.---\left(2\right)$

$F\left(x_2\right)=\&lsqb;F_c+(F_s-F_c)e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}\&rsqb;sign\left(x_2\right)+{\mathrm{Bx}}_2---\left(3\right)$

其中，F(x₂)是对应于不同电机转速的摩擦力大小；F_e是外部力矩；F_s和F_c分别表示最大静摩擦力矩和库伦摩擦力矩；ω_s表示Stribeck角速度；B表示粘性系数；sign(·)是符号函数；

步骤2,摩擦模型参数的有限时间辨识设计，过程如下：

2.1,将式(3)代入式(1)得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=\frac{1}{J}u-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_s-\frac{x_2}{J}B\end{array}\right.---\left(4\right)$

式(4)中第二式重新写成如下形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}& -\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}& -\frac{x_2}{J}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_c\\ F_s\\ B\end{array}\right]+\frac{1}{J}u---\left(5\right)$

定义x＝x₂，θ＝[F_c F_s B]^T，则式(5)写成如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=g_1+g_2\mathrm{\&theta;}---\left(6\right)$

2.2,对x，g₁和g₂进行滤波操作得：

$\left\{\begin{array}{c}k{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_f+x_f=x,x_f\left(0\right)=0\\ k{\stackrel{\&CenterDot;}{g}}_{1f}+g_{1f}=g_1,g_{1f}\left(0\right)=0\\ k{\stackrel{\&CenterDot;}{g}}_{2f}+g_{2f}=g_2,g_{2f}\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，x_f，g_1f，g_2f分别是x，g₁，g₂滤波后的变量；k滤波调节参数；x_f(0)＝0，g_1f(0)＝0，g_2f(0)＝0分别是x_f，g_1f，g_2f的初值；

由式(6)、(7)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_f=\frac{x-x_f}{k}=g_{1f}+g_{2f}\mathrm{\&theta;}---\left(8\right)$

2.3,定义虚拟变量Q₁和Q₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Q}}_1=-{\mathrm{\&delta;Q}}_1+g_{2f}^T{g}_{2f},Q_1\left(0\right)=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Q}}_2=-{\mathrm{\&delta;Q}}_2+g_{2f}^T(\frac{x-x_f}{k}-g_{1f}),Q_2\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，Q₁(0)＝0，Q₂(0)＝0分别是Q₁和Q₂的初值；δ是调节参数；

2.4,定义向量R表达式为：

$R=Q_1\widehat{\mathrm{\&theta;}}-Q_2---\left(10\right)$

其中,是系统未知参数θ的估计值；

设计有限时间参数估计律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}=-\mathrm{\&rho;}\frac{Q_1^{T}R}{\left|\right|R\left|\right|}---\left(11\right)$

其中，是的导数；ρ是调节矩阵；

步骤3,基于误差镇定的控制律设计，过程如下：

3.1,定义位置跟踪误差e₁和速度跟踪误差e₂组成的向量e为：

$e=\&lsqb;e_1,e_2\&rsqb;=\&lsqb;x_1-x_d,x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;---\left(12\right)$

其中，x_d是给定的参考信号；

3.2,由式(1)和式(12)知：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=e_1+x_d\\ x_2=e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}\right.---\left(13\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=e_2---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ =\frac{u}{J}-\frac{F}{J}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}---\left(15\right)$

3.3,将式(3)、(13)代入式(14)、(15)得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ =\&lsqb;-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_s-\frac{x_2}{J}B-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;+\frac{1}{J}u\\ =\&lsqb;-\frac{1-e^{-{\left(\frac{e_2+x_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_s-\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{J}B-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;+\frac{1}{J}u\end{array}\right.---\left(16\right)$

则对式(1)的跟踪控制问题转化为了对式(14)的误差镇定问题；

3.4,设计基于误差镇定的控制律为：

$\begin{array}{c}u=J\&lsqb;-c_1{c}_2{e}_1-(c_1+c_2)e_2+\frac{1-e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_c\\ +\frac{e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_s+\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{J}B+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;\end{array}---\left(17\right)$

其中，c₁，c₂是控制律调节参数；

3.5,将式(17)代入式(16)知，式(16)的状态矩阵是负定的，判定系统跟踪误差e镇定到零，系统稳定收敛到参考信号。

本发明基于误差镇定和有限时间参数辨识，设计了一种机电伺服系统摩擦补偿控制方法，在精确估计未知摩擦参数的同时，有效提高了系统的稳态跟踪精度和收敛速度，实现机电伺服系统的高精度跟踪控制。

本发明的技术构思为：针对带有未知摩擦参数的机电伺服系统，本发明采用有限时间参数辨识技术来在线自适应估计模型参数，并根据参数值和系统跟踪误差设计了一种误差镇定控制器，该控制器将系统的摩擦补偿跟踪控制问题转化为了对跟踪误差的镇定问题，使得系统跟踪误差能够快速镇定到零，进而间接使得系统完成精确的跟踪。本发明提供了一种能够有效补偿机电伺服系统中的非线性摩擦方法，并能在线自适应估计未知的摩擦参数，使得参数在有限时间内收敛到有效值，确保机电伺服系统能够达到较好的跟踪控制效果。

本发明的有益效果为：实现机电伺服系统的精确跟踪控制，精确估计非线性摩擦参数，提高伺服系统控制性能。

附图说明

图1为本发明的控制流程图；

图2为参考信号为x_d1时的参数估计效果图；

图3为参考信号为x_d1时的参数估计误差图；

图4为参考信号为x_d1时的跟踪轨迹效果图；

图5为参考信号为x_d1时的跟踪误差图；

图6为参考信号为x_d2时的参数估计效果图；

图7为参考信号为x_d2时的参数估计误差图；

图8为参考信号为x_d2时的跟踪轨迹效果图；

图9为参考信号为x_d2时的跟踪误差图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图9，一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法，包括以下步骤：

步骤1,建立机电伺服系统和摩擦模型，初始化系统状态及控制参数，过程如下：

1.1,机电伺服系统模型表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ J{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=u-F\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x₁，x₂为系统状态，分别表示电机的位置和转速；J表示系统的转动惯量；u是系统的控制输入；F表示系统摩擦力；

1.2,摩擦模型采用Stribeck模型，表示如下：

$F=\left\{\begin{array}{cc}F\left(x_2\right)& x_2\&NotEqual;0\\ F_e& x_2=0and\left|F_e\right|<F_s\\ F_{s}sign\left(F_e\right)& otherwise\end{array}\right.---\left(2\right)$

$F\left(x_2\right)=\&lsqb;F_c+(F_s-F_c)e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}\&rsqb;sign\left(x_2\right)+{\mathrm{Bx}}_2---\left(3\right)$

其中，F(x₂)是对应于不同电机转速的摩擦力大小；F_e是外部力矩；F_s和F_c分别表示最大静摩擦力矩和库伦摩擦力矩；ω_s表示Stribeck角速度；B表示粘性系数；sign(·)是符号函数；

步骤2,摩擦模型参数的有限时间辨识设计，过程如下：

2.1,将式(3)代入式(1)得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=\frac{1}{J}u-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_s-\frac{x_2}{J}B\end{array}\right.---\left(4\right)$

式(4)中第二式重新写成如下形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}& -\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}& -\frac{x_2}{J}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_c\\ F_s\\ B\end{array}\right]+\frac{1}{J}u---\left(5\right)$

定义x＝x₂，θ＝[F_c F_s B]^T，则式(5)写成如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=g_1+g_2\mathrm{\&theta;}---\left(6\right)$

2.2,对x，g₁和g₂进行滤波操作得：

$\left\{\begin{array}{c}k{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_f+x_f=x,x_f\left(0\right)=0\\ k{\stackrel{\&CenterDot;}{g}}_{1f}+g_{1f}=g_1,g_{1f}\left(0\right)=0\\ k{\stackrel{\&CenterDot;}{g}}_{2f}+g_{2f}=g_2,g_{2f}\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，x_f，g_1f，g_2f分别是x，g₁，g₂滤波后的变量；k滤波调节参数；x_f(0)＝0，g_1f(0)＝0，g_2f(0)＝0分别是x_f，g_1f，g_2f的初值；

由式(6)、(7)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_f=\frac{x-x_f}{k}=g_{1f}+g_{2f}\mathrm{\&theta;}---\left(8\right)$

2.3,定义虚拟变量Q₁和Q₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Q}}_1=-{\mathrm{\&delta;Q}}_1+g_{2f}^T{g}_{2f},Q_1\left(0\right)=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Q}}_2=-{\mathrm{\&delta;Q}}_2+g_{2f}^T(\frac{x-x_f}{k}-g_{1f}),Q_2\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，Q₁(0)＝0，Q₂(0)＝0分别是Q₁和Q₂的初值；δ是调节参数；

2.4,定义向量R表达式为：

$R=Q_1\widehat{\mathrm{\&theta;}}-Q_2---\left(10\right)$

其中,是系统未知参数θ的估计值；

设计有限时间参数估计律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}=-\mathrm{\&rho;}\frac{Q_1^{T}R}{\left|\right|R\left|\right|}---\left(11\right)$

其中，是的导数；ρ是调节矩阵；

步骤3,基于误差镇定的控制律设计，过程如下：

3.1,定义位置跟踪误差e₁和速度跟踪误差e₂组成的向量e为：

$e=\&lsqb;e_1,e_2\&rsqb;=\&lsqb;x_1-x_d,x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;---\left(12\right)$

其中，x_d是给定的参考信号；

3.2,由式(1)和式(12)知：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=e_1+x_d\\ x_2=e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}\right.---\left(13\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=e_2---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ =\frac{u}{J}-\frac{F}{J}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}---\left(15\right)$

3.3,将式(3)、(13)代入式(14)、(15)得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ =\&lsqb;-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_s-\frac{x_2}{J}B-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;+\frac{1}{J}u\\ =\&lsqb;-\frac{1-e^{-{\left(\frac{e_2+x_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_s-\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{J}B-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;+\frac{1}{J}u\end{array}\right.---\left(16\right)$

则对式(1)的跟踪控制问题转化为了对式(14)的误差镇定问题；

3.4,设计基于误差镇定的控制律为：

$\begin{array}{c}u=J\&lsqb;-c_1{c}_2{e}_1-(c_1+c_2)e_2+\frac{1-e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_c\\ +\frac{e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_s+\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{J}B+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;\end{array}---\left(17\right)$

其中，c₁，c₂是控制律调节参数；

3.5,将式(17)代入式(16)知，式(16)的状态矩阵是负定的，判定系统跟踪误差e镇定到零，系统稳定收敛到参考信号。

为验证所提方法的有效性，本发明对式(11)所示的有限时间参数辨识和式(17)所示的误差镇定控制器进行了仿真实验。设置实验中的控制参数和初始条件为：系统参数和Stribeck摩擦模型参数J＝0.05kg/m²，F_c＝0.28N·m，F_s＝0.34N·m，B＝0.2N·m(rad/s)^-1，ω_s＝0.01rad/s；控制器调节参数c₁＝16，c₂＝15；有限时间参数估计参数k＝0.001，δ＝1，ρ＝20I；待估计摩擦参数的初始值θ(0)＝[F_c(0) F_s(0) B(0)]^T＝[0 0 0]。实验中参考信号x_d分别取x_d1＝sin(t)和x_d2＝0.7sin(2πt)+0.2sin(πt)。

图2-图9是对含有未知摩擦参数的机电伺服系统摩擦补偿控制仿真效果图。图2和图3分别表示参考信号为x_d1时的参数估计和参数估计误差效果图，从图中可以看出，摩擦未知参数在很短的时间内收敛到有效值(F_c，F_s在0.8s收敛，B在1.65s收敛)，最大参数估计误差不超过3×10^-4。图4和图5分别为参考信号为x_d1时的跟踪轨迹和跟踪误差效果图，从图中可以看出，系统能够有效跟踪上参考信号，且未知跟踪误差e₁小于0.03，速度跟踪误差e₂不超过0.06。图6和图7分别表示参考信号为x_d2时的参数估计和参数估计误差效果图，图8和图9分别为参考信号为x_d2时的跟踪轨迹和跟踪误差效果图，从图中可以看出，摩擦未知参数F_c，F_s在0.2s收敛有效值，未知参数B在3s收敛到有效值，而系统位置跟踪误差e₁趋近与零，速度跟踪误差e₂小于0.008。从仿真实验的结果来看，基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法能够有效补偿非线性摩擦带来的影响，在跟踪信号改变时依旧能够完成较好的补偿控制和未知参数估计，实现机电伺服系统的精确跟踪控制。

以上阐述的是本发明给出的仿真实验用以表明本发明所设计方法的有效性，但显然本发明不只是局限于上述实例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。本发明所设计的补偿控制方案对含有不确定摩擦参数的机电伺服系统具有较好的跟踪控制效果，能够精确实现未知参数的在线估计，提高机电伺服系统的跟踪控制性能。

Claims (1)

1.一种基于误差镇定和有限时间参数辨识的机电伺服系统摩擦补偿控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1,建立机电伺服系统和摩擦模型，初始化系统状态及控制参数，过程如下：

1.1,机电伺服系统模型表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ J{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=u-F\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x₁，x₂为系统状态，分别表示电机的位置和转速；J表示系统的转动惯量；u是系统的控制输入；F表示系统摩擦力；

1.2,摩擦模型采用Stribeck模型，表示如下：

$F=\left\{\begin{array}{cc}F\left(x_2\right)& x_2\&NotEqual;0\\ F_e& x_2=0and\left|F_e\right|<F_s\\ F_{s}sign\left(F_e\right)& otherwise\end{array}\right.---\left(2\right)$

$F\left(x_2\right)=\&lsqb;F_c+(F_s-F_c)e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}\&rsqb;sign\left(x_2\right)+{\mathrm{Bx}}_2---\left(3\right)$

其中，F(x₂)是对应于不同电机转速的摩擦力大小；F_e是外部力矩；F_s和F_c分别表示最大静摩擦力矩和库伦摩擦力矩；ω_s表示Stribeck角速度；B表示粘性系数；sign(·)是符号函数；

步骤2,摩擦模型参数的有限时间辨识设计，过程如下：

2.1,将式(3)代入式(1)得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=\frac{1}{J}u-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}{F}_s-\frac{x_2}{J}B\end{array}\right.---\left(4\right)$

式(4)中第二式重新写成如下形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1-e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}& -\frac{e^{-{(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s)}^2}}{J}& -\frac{x_2}{J}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_c\\ F_s\\ B\end{array}\right]+\frac{1}{J}u---\left(5\right)$

定义x＝x₂，θ＝[F_c F_s B]^T，则式(5)写成如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=g_1+g_2\mathrm{\&theta;}---\left(6\right)$

2.2,对x，g₁和g₂进行滤波操作得：

$\left\{\begin{array}{c}k{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_f+x_f=x,x_f\left(0\right)=0\\ k{\stackrel{\&CenterDot;}{g}}_{1f}+g_{1f}=g_1,g_{1f}\left(0\right)=0\\ k{\stackrel{\&CenterDot;}{g}}_{2f}+g_{2f}=g_2,g_{2f}\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，x_f，g_1f，g_2f分别是x，g₁，g₂滤波后的变量；k滤波调节参数；x_f(0)＝0，g_1f(0)＝0，g_2f(0)＝0分别是x_f，g_1f，g_2f的初值；

由式(6)、(7)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_f=\frac{x-x_f}{k}=g_{1f}+g_{2f}\mathrm{\&theta;}---\left(8\right)$

2.3,定义虚拟变量Q₁和Q₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{Q}}_1=-{\mathrm{\&delta;Q}}_1+g_{2f}^T{g}_{2f},Q_1\left(0\right)=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{Q}}_2=-{\mathrm{\&delta;Q}}_2+g_{2f}^T(\frac{x-x_f}{k}-g_{1f}),Q_2\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，Q₁(0)＝0，Q₂(0)＝0分别是Q₁和Q₂的初值；δ是调节参数；

2.4,定义向量R表达式为：

$R=Q_1\widehat{\mathrm{\&theta;}}-Q_2---\left(10\right)$

其中,是系统未知参数θ的估计值；

设计有限时间参数估计律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}=-\mathrm{\&rho;}\frac{Q_1^{T}R}{\left|\right|R\left|\right|}---\left(11\right)$

其中，是的导数；ρ是调节矩阵；

步骤3,基于误差镇定的控制律设计，过程如下：

3.1,定义位置跟踪误差e₁和速度跟踪误差e₂组成的向量e为：

$e=\&lsqb;e_1,e_2\&rsqb;=\&lsqb;x_1-x_d,x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;---\left(12\right)$

其中，x_d是给定的参考信号；

3.2,由式(1)和式(12)知：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=e_1+x_d\\ x_2=e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}\right.---\left(13\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=e_2---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ =\frac{u}{J}-\frac{F}{J}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\end{array}---\left(15\right)$

3.3,将式(3)、(13)代入式(14)、(15)得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ =\&lsqb;-\frac{1-e^{-{\left(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s\right)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{\left(x_2/{\mathrm{\&omega;}}_s\right)}^2}}{J}{F}_s-\frac{x_2}{J}B-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;+\frac{1}{J}u\\ =\&lsqb;-\frac{1-e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_c-\frac{e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_s-\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{J}B-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;+\frac{1}{J}u\end{array}\right.---\left(16\right)$

则对式(1)的跟踪控制问题转化为了对式(14)的误差镇定问题；

3.4,设计基于误差镇定的控制律为：

$\begin{array}{c}u=J\&lsqb;-c_1{c}_2{e}_1-\left(c_1+c_2\right)e_2+\frac{1-e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_c\\ +\frac{e^{-{\left(\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{{\mathrm{\&omega;}}_s}\right)}^2}}{J}{F}_s+\frac{e_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d}{J}B+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;\end{array}---\left(17\right)$

其中，c₁，c₂是控制律调节参数；

3.5,将式(17)代入式(16)知，式(16)的状态矩阵是负定的，判定系统跟踪误差e镇定到零，系统稳定收敛到参考信号。