CN105116934A - 基于自适应滑模补偿的双框架mscmg框架系统高精度控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于自适应滑模补偿的双框架MSCMG框架系统高精度控制方法，首先建立双框架伺服系统动力学模型，利用微分几何法推导框架系统的输入输出逆映射，得到框架系统的伪逆系统，以实现框架系统的动力学解耦控制，消除框架间耦合力矩的影响；然后根据微分代数谱理论，推导框架系统的跟踪误差稳定控制律，以使框架系统具有一定的响应特性，保证框架系统的稳定性；最后根据RBF神经网络与滑模控制原理设计自适应滑模补偿控制器对框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦进行补偿控制，增强框架系统扰动抑制能力，实现双框架系统的高精度角速率跟踪控制。本发明简便易行，适用于双框架磁悬浮控制力矩陀螺框架伺服系统高精度解耦控制。

Description

基于自适应滑模补偿的双框架MSCMG框架系统高精度控制方法

技术领域

本发明属于伺服系统控制领域，具体涉及一种基于自适应滑模补偿的双框架MSCMG(MagneticallySuspendedControlMomentGyro)框架系统高精度控制方法，该控制方法基于自适应滑模补偿控制用于实现框架伺服系统的高精度角速率跟踪控制，提高框架系统的扰动抑制能力，实现控制力矩陀螺高精度力矩输出。

背景技术

磁悬浮控制力矩陀螺主要由高速转子和框架伺服系统组成，按照框架自由度可以分为单框架控制力矩陀螺和双框架控制力矩陀螺，相比单框架控制力矩陀螺，双框架磁悬浮控制力矩陀螺可以实现两个自由度的力矩输出，是CMG(Controlmomentgyro)发展的一个重要方向。

由于陀螺效应的影响，内、外框架系统之间存在耦合力矩，影响框架系统的角速率伺服精度，甚至影响整机的稳定性，而且框架系统作为一个低速伺服系统，存在非线性摩擦等未知扰动，因而框架伺服系统是一个多变量、强耦合、非线性系统，为实现框架系统的高精度角速率跟踪控制，必须消除耦合力矩、卫星运动引起的牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动的影响。

针对这一类多变量耦合控制问题，目前主要有力矩前馈和线性化解耦控制方法。力矩前馈基于扰动力矩的模型，计算扰动力矩进行前馈补偿，力矩前馈方式依赖于精确数学模型，对框架系统而言，非线性摩擦等未知扰动的建模较复杂，卫星运动引起的牵连力矩未知不可测，因而采用力矩前馈方式无法实现高精度的控制。线性化解耦又分为智能解耦控制和状态反馈线性化。智能解耦不依赖于系统模型，主要有神经网络解耦、最小二乘支持向量机、模糊解耦等，神经网络解耦解决了系统动态逆难以实现的问题，由于其较强的自学习能力，能够获得较强的鲁棒性；与神经网络相比，最小二乘支持向量机采用了结构化风险最小化准则，不存在局部极小问题；模糊解耦是对参数不敏感的鲁棒解耦方法，但是需要对被控对象进行人工归纳和操作经验的总结，而且解耦稳定性还有待研究。智能线性化解耦控制普遍存在的问题是控制算法较复杂，需要占用大量的计算资源，不利于工程实践。状态反馈线性化方法相对智能解耦控制方法较简单，被广泛应用于复杂非线性系统的解耦控制。状态反馈线性化主要分为动态逆系统解耦和微分几何法解耦，其中动态逆系统方法必须保证系统的可逆性，而微分几何法必须保证系统可以描述成仿射变换模式，框架系统的可逆性证明及动态逆求解过程较为复杂。

发明内容

本发明要解决的技术问题为：克服现有方法的不足，提出了一种基于自适应滑模补偿控制的双框架磁悬浮控制力矩陀螺框架伺服系统高精度控制方法，消除了内、外框架间耦合力矩、卫星运动引起的牵连力矩及框架系统的非线性摩擦等未知扰动对框架系统角速率跟踪精度及整机稳定性的影响，实现了框架系统的高精度角速率跟踪控制，增强了框架系统的扰动抑制能力，提高了磁悬浮控制力矩陀螺力矩输出精度。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：基于自适应滑模补偿的双框架MSCMG框架系统高精度控制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤(1)建立双框架伺服系统的动力学模型

根据几何约束关系，应用欧拉动力学方程及矢量叠加原理，推导双框架磁悬浮控制力矩陀螺内、外框架伺服系统的动力学模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{gx}=K_{igx}{i}_{gx}=J_{gx}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_g+(J_{gy}-J_{gz}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_j^2{\mathrm{sin\θ}}_g{\mathrm{cos\θ}}_g+J_{rr}\[\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}-\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}})+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_g\]\\ +H_{rz}\[\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+\stackrel{\·}{\mathrm{\β}})+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_j{\mathrm{cos\θ}}_g\]+T_{fx}+T_{qx}\\ P_{jy}=K_{ijy}{i}_{jy}=(J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\θ}}_g){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_j+\frac{\sqrt{2}}{2}{J}_{rr}(\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}){\mathrm{cos\θ}}_g\\ -H_{rz}\[\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}-\stackrel{\·}{\mathrm{\β}})+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_g\]{\mathrm{cos\θ}}_g-(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_g{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_j{\mathrm{sin\θ}}_g{\mathrm{cos\θ}}_g+T_{fy}+T_{qy}\end{array}\right.$

其中，为外框轴相对惯性系的转动角速率；为内框轴相对外框系的转动角速率，θ_g为内框轴相对外框系转动角位置，为外框轴相对惯性系的转动角加速率，为内框轴相对外框系的转动角加速率，分别为高速转子x、y方向的扭转速度，分别为高速转子x、y方向的扭转加速度，H_rz为高速转子的角动量，P_gx和P_jy分别为内、外框架电机的输出力矩，K_igx和K_ijy分别为内、外框架电机的力矩系数，i_gx和i_jy分别为内、外框架电机绕组电流；T_fx为作用在内框架转动轴的非线性摩擦力矩，T_fy为作用在外框架转动轴的非线性摩擦力矩，J_jy为外框架输出力矩方向的转动惯量；J_gx、J_gy、J_gz分别为内框架对内框坐标系相应各轴的转动惯量；J_rr为高速转子径向的转动惯量，J_rz为高速转子轴向的转动惯量，T_qx为卫星运动引起的作用在内框架转动轴的牵连力矩，T_qy为卫星运动引起的作用在外框架转动轴的牵连力矩；

由于转子运动被限制在保护间隙内，而且高速转子转速J_rr<J_rz，因而忽略转子径向运动的影响，得到内、外框架系统的简化动力学模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{gx}=K_{igx}{i}_{gx}=(J_{gx}+J_{rr}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g+(J_{gy}-J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fx}+T_{qx}\\ P_{jy}=K_{ijy}{i}_{jy}=(J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j-H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g\\ -(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fy}+T_{qy}\end{array}\right.$

步骤(2)双框架伺服系统耦合特性分析

由双框架系统动力学模型可知，由于陀螺效应的影响，内、外框架动力学模型中都包含了内、外框架相对运动引起的耦合力矩项，耦合力矩包括惯性耦合力矩和陀螺耦合力矩，其中惯性耦合力矩与框架的角加速度成正比，仅在框架加速或减速时才存在；陀螺耦合力矩会随着框架转动的角速度及角位置不同而不同，当内、外框架正交，即θ_g＝0时，最大耦合力矩与陀螺力矩相等；

由于陀螺耦合力矩项中包含了不断变化的三角函数，呈现出显著的非线性特性，内、外框架相对角位置的变化是造成非线性的根本原因，非线性使双框架MSCMG框架系统的动力学耦合更加复杂，因此，双框架MSCMG框架伺服系统是一个多变量、强耦合、非线性的复杂系统；

要实现框架系统的高精度控制，首先要实现其动力学解耦控制以抑制框架间耦合力矩，同时框架系统的建模误差无法避免，线性化解耦控制方法并不能实现完全的解耦控制，线性化之后依然存在残余耦合，框架系统是一个低速伺服系统，在低速运行时，非线性摩擦会导致伺服系统出现低速不平稳现象，降低框架系统速率精度，因此为实现框架系统高精度控制，需要在动力学解耦控制的基础上，进一步消除残余耦合、卫星运动引起的牵连力矩及非线性摩擦对框架伺服系统解耦性能及速率跟踪性能的影响；

步骤(3)根据所述步骤(1)、(2)中的内、外框架系统的动力学模型及耦合特性分析，应用微分几何法推导双框架系统线性化控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_1=\frac{(J_{gy}-J_{gz})x_4^2{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1+H_{rz}{x}_4{\mathrm{cosx}}_1}{K_{igx}}+\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}{v}_1\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_2=\frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}{K_{ijy}}{v}_2-\frac{H_{rz}{x}_3{\mathrm{cosx}}_1+(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz})x_3{x}_4{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1}{K_{ijy}}\end{array}\right.$

其中，为内、外框架系统动力学解耦控制律，状态变量分别为内框架角位置和角速度、外框架角位置和角速度，为内、外框架系统新的控制变量，分别为内、外框架系统的给定角速度即框架系统的标称输出，因而可以得到框架系统伪逆线性化控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_1=\frac{(J_{gy}-J_{gz})x_4^2{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1+H_{rz}{x}_4{\mathrm{cosx}}_1}{K_{igx}}+\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g^{*}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_2=\frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}{K_{ijy}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^{*}-\frac{H_{rz}{x}_3{\mathrm{cosx}}_1+(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz})x_3{x}_4{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1}{K_{ijy}}\end{array}\right.$

选择上式所示的开环前馈解耦控制律，可以消除框架间耦合力矩对框架角速率跟踪精度的影响，实现双框架伺服系统的动力学解耦；

步骤(4)由于所述步骤(3)的动力学解耦控制律为开环前馈控制律，为保证框架系统的稳定性，应用微分代数谱相关理论，设计框架系统跟踪误差稳定控制律为：

$\tilde{u}=K\left(t\right)e$

其中，e为框架系统状态误差，K(t)为时变增益矩阵，如下：

$K\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}{k}_1\left(t\right)& k_2\left(t\right)& k_3\left(t\right)& k_4\left(t\right)\\ k_5\left(t\right)& k_6\left(t\right)& k_7\left(t\right)& k_8\left(t\right)\end{array}\right]$

其中，

$k_1\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_1\left(t\right)}{K_{igx}}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4^2\cos \left(2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+H_{rz}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{igx}},k_2\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_2\left(t\right)}{K_{igx}},k_3\left(t\right)=0,k_4\left(t\right)=-\frac{2{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)-H_{rz}\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{igx}},$

$k_5\left(t\right)=\frac{H_{rz}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\cos \left(2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{ijy}},k_6\left(t\right)=-\frac{H_{rz}\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{ijy}},k_7\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_3\left(t\right)}{K_{ijy}},$

$k_8\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_4\left(t\right)}{K_{ijy}}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{2}sin\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)cos\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{ijy}}$

其中，λ₁＝J_gz-J_gy，λ₂＝J_gx+J_rr，λ₃＝J_rr+2J_gy-2J_gz，λ₄＝J_jy+J_gycos²x₁+J_gzsin²x₁+J_rrcos²x₁。分别为内框架角位置和角速度及外框架角速度的给定值。时变参数β₁(t)，β₂(t)，β₃(t)，β₄(t)由微分代数谱相关理论求得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1\left(t\right)={\mathrm{\&omega;}}_{ng}^2\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_2\left(t\right)=2{\mathrm{\&zeta;}}_g{\mathrm{\&omega;}}_{ng}\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{ng}\left(t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_{ng}\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_3\left(t\right)={\mathrm{\&omega;}}_{nj}^2\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_4\left(t\right)=2{\mathrm{\&zeta;}}_j{\mathrm{\&omega;}}_{nj}\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{nj}\left(t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_{nj}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，ζ_g，ζ_j为内、外框架系统阻尼系数，ω_ng(t)，ω_nj(t)为内、外框架系统时变带宽， 为内、外框架系统时变带宽的变化率，可以通过在线调整框架闭环系统带宽，提高框架系统扰动抑制能力，即为时变带宽(Time-varyingbandwidth,TVB)技术；

步骤(5)根据所述步骤(1)中的内、外框架系统的动力学模型，由于框架系统存在牵连力矩、非线性摩擦及残余耦合的影响，根据径向基函数(Radiusbasisfunction,RBF)神经网络和滑模控制原理设计自适应滑模补偿控制律u_com对框架系统的不确定项进行反馈补偿，实现框架系统的高精度控制，增强框架系统扰动抑制能力；

步骤(6)根据步骤(3)、(4)、(5)实现基于自适应滑模补偿控制的双框架MSCMG框架系统高精度控制方法，得到内、外框架系统总控制输入其中为框架系统的伪逆线性化控制律，为框架系统跟踪误差稳定控制律，u_com为基于RBF神经网络的自适应滑模补偿控制律，u为框架系统的总控制输入，可以消除耦合力矩、牵连力矩及非线性摩擦对框架系统的影响，实现框架系统高精度角速率跟踪控制。

进一步的，所述步骤(5)中的框架系统自适应滑模补偿控制律u_com为：

$u_{com}=\left\{\begin{array}{cc}-\left|M_n\right|({\mathrm{ce}}_2+N)-\mathrm{sgn}\left(s\right)\mathrm{sgn}\left(M_n\right)\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\left(t\right)& \left|s\right|\&NotEqual;0\\ 0& \left|s\right|=0\end{array}\right.,\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0\end{array}\right.,x\&Element;R$

其中，为框架系统角速度跟踪误差，为框架系统输出角速度，为框架系统给定角速度，c为常数，s为滑模面变量，为框架系统不确定上界估计值，为框架系统给定角速度的微分，θ为框架系统输出角位置，u₁为框架系统名义模型的控制律，M_n和为框架系统确定项，分别如下：

$M_n=\left[\begin{array}{cc}\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}& 0\\ 0& \frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g}{K_{ijy}}\end{array}\right]$

$h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=\left[\begin{array}{c}\frac{(J_{gy}-J_{gz}){{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j}^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g}{K_{igx}}\\ \frac{-H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g-(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_{g1}{\mathrm{cos\&theta;}}_g}{K_{ijy}}\end{array}\right]$

由于框架系统不确定上界无法预知，因而采用RBF神经网络得到框架系统不确定上界估计值为RBF网络的输入为输出为不确定参数上界的估计值

$\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\left(t\right)={\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}\left(x\right)$

其中，为RBF神经网络的权值，φ(x)为高斯函数，φ(x)＝[φ₁(x)φ₂(x)φ₃(x)]^T，其中，

${\mathrm{\&phi;}}_i\left(x\right)=\exp (-\frac{\left|\right|x-m_i|{|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}),i=1,2,3$

其中，exp为以自然数e为底的指数函数，m_i是第i个神经元的中心位置，σ_i为第i个神经元的宽度，应用自适应算法在线调整权值，取其中ε₀和ε₁为常数；

利用自适应滑模补偿控制律u_com对框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦进行有效补偿，以增强框架系统的扰动抑制能力，提高框架系统的角速率跟踪精度。

本发明的基本原理是：

框架伺服系统角速率精度是制约控制力矩陀螺力矩输出精度的主要因素，影响框架系统角速率精度的主要因素有框架间耦合力矩、卫星运动引起的牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动。为了实现框架系统角速率跟踪控制，首先采用状态反馈线性化控制方法，即利用微分几何法求得框架系统的输入输出逆映射，根据框架系统的标称输出获得框架系统的标称输入，即为框架系统的伪逆系统，它是一个开环前馈控制器，用以实现框架系统的动力学解耦控制，消除框架间耦合力矩的影响；然后利用微分代数谱理论，求得框架系统的跟踪误差稳定控制律，用以解决伪逆、系统不确定等因素的影响，并使系统具有一定的响应特性，保证框架系统的稳定性；最后利用自适应滑模补偿控制器对框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动进行补偿控制，实现内、外框架系统的高精度角速率跟踪控制，提高框架系统扰动抑制能力。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明首先采用微分几何法根据框架系统的标称输出获得框架系统的标称输入，即框架系统的伪逆系统，利用这个开环前馈控制器实现双框架系统的动力学解耦控制，消除了框架间耦合力矩对框架系统角速率跟踪精度的影响；

其次，采用时变带宽技术，不仅保证了框架系统闭环稳定性，而且增强了框架系统的扰动抑制能力；

最后，采用自适应滑模补偿控制律对框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动进行补偿控制，增强框架系统对未知扰动及参数变化的鲁棒性，实现了框架系统高精度角速率跟踪控制。

附图说明

图1为本发明的框架系统高精度控制算法流程图；

图2为本发明的框架系统高精度控制原理框图；

图3为本发明的双框架MSCMG坐标定义图；

图4为本发明的状态反馈线性化解耦控制的原理图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，为框架系统高精度控制的算法流程图，首先对框架伺服系统进行动力学建模，根据微分几何法的原理，设计框架系统的伪逆线性化控制律其次根据微分代数谱理论，推导框架系统跟踪误差稳定控制律以保证框架系统的闭环稳定，使其具有一定的响应特性，然后根据RBF和滑模控制原理设计自适应滑模补偿控制律u_com，对框架系统的未知扰动进行反馈补偿，最后将上述控制律组成框架系统的总控制律以实现框架系统的高精度控制。

如图2所示，为本发明所采用的基于自适应滑模补偿控制的框架系统高精度控制原理框图，主要包括伪逆系统1、跟踪误差稳定控制律2、自适应滑模补偿控制律3、框架力矩电机4、旋转变压器5。旋转变压器5实时检测框架运动的角位置，并通过后项差分方式求出框架系统的运动角速度作为反馈量；伪逆系统1根据框架系统的给定角速度即框架系统的标称输出，由微分几何法求得输入输出逆映射，得到框架系统的标称输入跟踪误差稳定控制律2根据旋转变压器5检测的角速度与框架系统给定角速度的误差，根据微分代数谱理论，求得框架系统的跟踪误差稳定控制律保证框架系统的稳定性；自适应滑模补偿控制器3通过对框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动的反馈补偿控制，消除了未知扰动和参数不确定对框架系统的影响，；框架系统的总控制输入使框架力矩电机4跟随给定角速度转动，保证控制力矩陀螺输出力矩精度。

本发明的具体实施方式如下：

(1)建立双框架伺服系统的动力学模型

磁悬浮控制力矩陀螺框架系统坐标定义如图3所示。ox_iy_iz_i为惯性坐标系，o为陀螺房定子的几何中心，x_i初态时与框架轴重合，并以框架电机端为正向，y_i初态时指向转子自转轴方向，z_i初态时指向转子自转轴方向；o_sx_sy_sz_s为磁悬浮控制力矩陀螺的安装参考坐标系即零位置坐标系；o_bx_by_bz_b为卫星本体坐标系；ox_jy_jz_j为外框架坐标系，与外框架固连，在零位置时与零位置系重合，相对惯性系具有关于y_i轴的自由度，初态时与惯性系重合；ox_gy_gz_g为内框架坐标系，与内框架固连，相对外框系具有关于x_g轴的自由度，初态时与惯性系重合；外框轴相对惯性系的转动角速率为内框轴相对外框系的转动角速率为θ_g为内框轴相对外框系转动角位置，高速转子的转速为分别为高速转子x、y方向的扭转速度。为外框轴相对惯性系的转动角加速率，为内框轴相对外框系的转动角加速率，分别为高速转子x、y方向的扭转加速度。根据几何约束关系，应用欧拉动力学方程及矢量叠加原理，可推导双框架MSCMG内、外框架伺服系统的动力学模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{gx}=K_{igx}{i}_{gx}=J_{gx}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g+(J_{gy}-J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+J_{rr}\&lsqb;\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}-\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}})+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g\&rsqb;\\ +H_{rz}\&lsqb;\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g\&rsqb;+T_{fx}+T_{qx}\\ P_{jy}=K_{ijy}{i}_{jy}=(J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j+\frac{\sqrt{2}}{2}{J}_{rr}(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}){\mathrm{cos\&theta;}}_g\\ -H_{rz}\&lsqb;\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g\&rsqb;{\mathrm{cos\&theta;}}_g-(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fy}+T_{qy}\end{array}\right.$

由于高速转子径向保护间隙为0.1mm，转子运动被限制在保护间隙内，高速转子径向扭转角α、β不超过0.17°，而且J_rr<J_rz，因而忽略转子径向运动的影响，得到内、外框架系统的简化动力学模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{gx}=K_{igx}{i}_{gx}=(J_{gx}+J_{rr}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g+(J_{gy}-J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g\\ +H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fx}+T_{qx}\\ P_{jy}=K_{ijy}{i}_{jy}=(J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j\\ -(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g\\ -H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fy}+T_{qy}\end{array}\right.$

其中，H_rz为高速转子的角动量，P_gx和P_jy分别为内、外框架电机的输出力矩，K_igx和K_ijy分别为内、外框架电机的力矩系数，i_gx和i_jy分别为内、外框架电机绕组电流；T_fx为作用在内框架转动轴的非线性摩擦力矩，T_fy为作用在外框架转动轴的非线性摩擦力矩。J_jy为外框架输出力矩方向的转动惯量；J_gx、J_gy、J_gz分别为内框架对内框坐标系相应各轴的转动惯量；J_rr为高速转子径向的转动惯量，J_rz为高速转子轴向的转动惯量。T_qx为卫星运动引起的作用在内框架转动轴的牵连力矩，T_qy为卫星运动引起的作用在外框架转动轴的牵连力矩。

(2)双框架伺服系统耦合特性分析

由双框架系统动力学模型可知，由于陀螺效应的影响，内、外框架动力学模型中都包含了内、外框架相对运动引起的耦合力矩项，耦合力矩包括惯性耦合力矩和陀螺耦合力矩。其中惯性耦合力矩与框架的角加速度成正比，仅在框架加速或减速时才存在；陀螺耦合力矩会随着框架转动的角速度及角位置不同而不同，当内、外框架正交，即θ_g＝0时，最大耦合力矩与陀螺力矩相等。

由于陀螺耦合力矩项中包含了不断变化的三角函数，呈现出显著的非线性特性，内、外框架相对角位置的变化是造成非线性的根本原因，非线性使双框架MSCMG框架系统的动力学耦合更加复杂。因此，双框架MSCMG框架伺服系统是一个多变量、强耦合、非线性的复杂系统。

要实现框架系统的高精度控制，首先要实现其动力学解耦控制以抑制框架间耦合力矩。同时框架系统的建模误差无法避免，线性化解耦控制方法并不能实现完全的解耦控制，线性化之后依然存在残余耦合。框架系统是一个低速伺服系统，在低速运行时，非线性摩擦会导致伺服系统出现低速不平稳现象，降低框架系统速率精度，因此为实现框架系统高精度控制，需要在动力学解耦控制的基础上，进一步消除残余耦合、卫星运动引起的牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动对框架伺服系统解耦性能及速率跟踪性能的影响。

(3)利用微分几何法设计双框架系统动力学解耦控制律

首先进行基于微分几何法的动力学解耦控制律的设计。令状态变量为输入变量为u＝[u₁u₂]^T＝[i_gxi_jy]^T，输出变量为y＝[y₁y₂]^T＝[θ_gθ_j]^T，框架系统的未知扰动d＝[d₁d₂]^T。其中，θ_g、θ_j、分别为内框架角位置和角速度、外框架角位置和角速度，i_gx、i_jy分别为内、外框架的力矩电机控制电流，d₁、d₂分别为内、外框架系统的未知扰动。根据内、外框架系统数学模型可得到双框架伺服系统的状态方程和观测方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u+g_2\left(x\right)d\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.$

其中，

$f\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ \frac{-(J_{gy}-J_{gz})x_4^2{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1-H_{rz}{x}_4{\mathrm{cosx}}_1}{J_{gx}+J_{rr}}\\ \frac{H_{rz}{x}_3{\mathrm{cosx}}_1+(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz})x_3{x}_4{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1}{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}\end{array}\right]$

$g\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ \frac{K_{igx}}{J_{gx}+J_{rr}}& 0\\ 0& \frac{K_{ijy}}{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}\end{array}\right]$

h(x)＝[x₁x₂]^T

由微分几何法，函数h关于向量场f的Lie导数定义为首先判断框架系统是否可以完全线性化，确定框架系统的相对阶，由：

$L_{g}h\left(x\right)=\frac{\&part;h\left(x\right)}{\&part;x^T}g\left(x\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]g\left(x\right)=0$

$L_g{L}_{f}h\left(x\right)=L_g\left(\frac{\&part;h\left(x\right)}{\&part;x^T}f\right(x\left)\right)=\frac{\&part;}{\&part;x^T}{\left(\begin{array}{cc}{x}_3& x_4\end{array}\right)}^{T}g\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{K_{igx}}{J_{gx}+J_{rr}}& 0\\ 0& \frac{K_{ijy}}{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}\end{array}\right]\&NotEqual;0$

根据上两式可知，双框架伺服系统相对阶r_g＝2、r_j＝2，由于相对阶之和等于状态变量的维数4，选择坐标变换z如下：

$z=T\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{h}_1\left(x\right)\\ L_f{h}_1\left(x\right)\\ h_1\left(x\right)\\ L_f{h}_2\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_3\\ x_2\\ x_4\end{array}\right]$

定义向量α(x)和矩阵ω(x)如下：

$a\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{L}_f^2{h}_1\left(x\right)\\ L_f^2{h}_2\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{-(J_{gy}-J_{gz})x_4^2{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1-H_{rz}{x}_4{\mathrm{cosx}}_1}{J_{gx}+J_{rr}}\\ \frac{H_{rz}{x}_3{\mathrm{cosx}}_1+(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz})x_3{x}_4{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1}{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}\end{array}\right]$

$\mathrm{\&omega;}\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}{L}_{g_1}{L}_f{h}_1\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_1\left(x\right)\\ L_{g_1}{L}_f{h}_2\left(x\right)& L_{g_2}{L}_f{h}_2\left(x\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{K_{igx}}{J_{gx}+J_{rr}}& 0\\ 0& \frac{K_{ijy}}{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}\end{array}\right]$

对矩阵ω(x)求行列式可得到：

$\det \mathrm{\&omega;}\left(x\right)=\frac{K_{igx}{K}_{ijy}}{(J_{gx}+J_{rr})(J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1)}$

根据上式可知，detω(x)不等于0，因而ω(x)可逆，由于框架系统相对阶之和等于框架系统状态变量的维数4。如图4所示，选择线性化控制律可以实现多变量强耦合的非线性框架系统的动力学解耦，将框架系统化为两个完全独立的二阶线性系统。

定义内、外框架线性化控制律为其中，v(x)＝[v₁v₂]^T为新的控制变量。根据ω(x)可以得到矩阵ω(x)的逆ω^-1(x)为：

${\mathrm{\&omega;}}^{-1}\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}& 0\\ 0& \frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}{K_{ijy}}\end{array}\right]$

将α(x)、ω^-1(x)和v(x)代入线性化控制律可得线性化解耦控制律如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_1=\frac{(J_{gy}-J_{gz})x_4^2{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1+H_{rz}{x}_4{\mathrm{cosx}}_1}{K_{igx}}+\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}{v}_1\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_2=\frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}{K_{ijy}}{v}_2-\frac{H_{rz}{x}_3{\mathrm{cosx}}_1+(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz})x_3{x}_4{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1}{K_{ijy}}\end{array}\right.$

令新的控制变量v(x)为其中分别为内、外框架系统的给定角速度，即为框架系统标称输出，因而可得到内、外框架伪逆线性化控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_1=\frac{(J_{gy}-J_{gz})x_4^2{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1+H_{rz}{x}_4{\mathrm{cosx}}_1}{K_{igx}}+\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g^{*}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_2=\frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}{K_{ijy}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g^{*}-\frac{H_{rz}{x}_3{\mathrm{cosx}}_1+(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz})x_3{x}_4{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1}{K_{ijy}}\end{array}\right.$

选择上式所示的开环前馈解耦控制律，可以消除框架间耦合力矩对框架角速率跟踪精度的影响，实现框架伺服系统的动力学解耦。由于框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动必然会影响框架系统的解耦性能及伺服系统的跟踪精度，因而为实现框架伺服系统的高精度控制，必须消除未知扰动对框架系统的影响。

(4)利用微分代数谱理论设计框架系统跟踪误差稳定控制律

假设x为框架系统的状态向量，u为框架系统的控制输入，y为框架系统的输出角速度，d为框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动，框架系统状态方程可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u+g_2\left(x\right)d\\ y=h\left(x\right)\end{array}\right.$

其中，f(x)、g(x)、g₂(x)、h(x)为光滑有界函数。

令分别表示框架系统的标称状态、标称输入、标称输出，并且满足如下方程：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}=f\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)+g\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\stackrel{\&OverBar;}{u}\\ \stackrel{\&OverBar;}{y}=h\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\end{array}\right.$

选择可以得到框架系统的误差动态特性方程如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u+g_2\left(x\right)d-f\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)-g\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)\stackrel{\&OverBar;}{u}$

暂不考虑上式的框架系统不确定项d，将上式的非线性系统在近似线性化，可以得到线性时变系统方程如下：

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=A\left(t\right)e+B\left(t\right)\tilde{u}$

其中，

$A\left(t\right)=A(\stackrel{\&OverBar;}{x},\stackrel{\&OverBar;}{u})=(\frac{\&part;f}{\&part;x}+\frac{\&part;g}{\&part;x}u){|}_{\stackrel{\&OverBar;}{x},\stackrel{\&OverBar;}{u}}$

$B\left(t\right)=B(\stackrel{\&OverBar;}{x},\stackrel{\&OverBar;}{u})=g\left(x\right){|}_{\stackrel{\&OverBar;}{x},\stackrel{\&OverBar;}{u}}$

利用微分代数谱理论可以得到框架系统线性时变的反馈控制律：

$\tilde{u}=K\left(t\right)e$

使线性时变系统在平衡点e＝0指数稳定，将反馈控制律代入线性时变系统方程，可以得到闭环系统矩阵A_c(t)为：

A_c(t)＝A(t)+B(t)K(t)

线性时变反馈控制律可以保证非线性系统误差动态特性方程在平衡点e＝0指数稳定，因而框架系统的状态沿标称状态轨迹局部指数稳定。

将非线性框架系统在近似线性化可以得到A(t)，B(t)分别为：

$\begin{array}{c}A\left(t\right)=(\frac{\&part;f}{\&part;x}+\frac{\&part;g}{\&part;x}u){|}_{\stackrel{\&OverBar;}{x},\stackrel{\&OverBar;}{u}}\\ =\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ \frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4^2\cos \left(2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+H_{rz}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}& 0& 0& \frac{2{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)-H_{rz}\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}\\ 0& 0& 0& 1\\ \frac{-H_{rz}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\cos \left(2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_4}& \frac{H_{rz}\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_4}& 0& \frac{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{{\mathrm{\&lambda;}}_4}\end{array}\right]\end{array}$

其中，λ₁＝J_gz-J_gy，λ₂＝J_gx+J_rr，λ₃＝J_rr+2J_gy-2J_gz，λ₄＝J_jy+J_gycos²x₁+J_gzsin²x₁+J_rrcos²x₁，

$B\left(t\right)=g\left(x\right){|}_{\stackrel{\&OverBar;}{x},\stackrel{\&OverBar;}{u}}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \frac{K_{igx}}{{\mathrm{\&lambda;}}_2}& 0\\ 0& 0\\ 0& \frac{K_{ijy}}{{\mathrm{\&lambda;}}_4}\end{array}\right]$

若期望的内、外框架系统闭环响应特性为：

$A_C\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -{\mathrm{\&beta;}}_1\left(t\right)& -{\mathrm{\&beta;}}_2\left(t\right)& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -{\mathrm{\&beta;}}_3\left(t\right)& -{\mathrm{\&beta;}}_4\left(t\right)\end{array}\right]$

其中，时变参数β₁(t)，β₂(t)，β₃(t)，β₄(t)由微分代数谱相关理论求得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1\left(t\right)={\mathrm{\&omega;}}_{ng}^2\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_2\left(t\right)=2{\mathrm{\&zeta;}}_g{\mathrm{\&omega;}}_{ng}\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{ng}\left(t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_{ng}\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_3\left(t\right)={\mathrm{\&omega;}}_{nj}^2\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_4\left(t\right)=2{\mathrm{\&zeta;}}_j{\mathrm{\&omega;}}_{nj}\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{nj}\left(t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_{nj}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，ζ_g，ζ_j为内、外框架系统阻尼系数，ω_ng(t)，ω_nj(t)为内、外框架系统时变带宽， 为内、外框架系统时变带宽的变化率，可以通过在线调整闭环系统带宽，提高框架系统扰动抑制能力，即为时变带宽(Time-varyingbandwidth,TVB)技术。

根据A_c(t)＝A(t)+B(t)K(t)，可知K(t)＝B^-1(t)[A_c(t)-A(t)]，令相应的时变增益矩阵K(t)为：

$K\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}{k}_1\left(t\right)& k_2\left(t\right)& k_3\left(t\right)& k_4\left(t\right)\\ k_5\left(t\right)& k_6\left(t\right)& k_7\left(t\right)& k_8\left(t\right)\end{array}\right]$

其中，

其中，分别为内框架角位置和角速度的给定值、外框架角速度的给定值。因而可以得到框架系统跟踪误差稳定控制律其中e为框架系统状态误差。

(5)自适应滑模补偿控制律的设计

由步骤(1)得到的双框架系统动力学模型，得到包含未知不确定项d的框架系统如下：

$M\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+h(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=u+d$

其中，θ＝[θ_gθ_j]为框架系统角位置，为框架系统角速度，u为框架系统的控制输入，未知不确定项d为框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动，为光滑有界函数，M和由确定项和不确定项组成，即：

M＝M_n+ΔM

$h(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})+\mathrm{\&Delta;}h(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})$

其中，ΔM和框架系统不确定项。M_n和为框架系统确定项，且：

$M_n=\left[\begin{array}{cc}\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}& 0\\ 0& \frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g}{K_{ijy}}\end{array}\right]$

$h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=\left[\begin{array}{c}\frac{(J_{gy}-J_{gz}){{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j}^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g}{K_{igx}}\\ \frac{-H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g-(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_{g1}{\mathrm{cos\&theta;}}_g}{K_{ijy}}\end{array}\right]$

因而可将框架系统化为：

$M_n\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=u+\mathrm{\&rho;}\left(t\right)$

其中， $\mathrm{\&rho;}\left(t\right)=-\mathrm{\&Delta;}M-\mathrm{\&Delta;}h(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})+d\left(t\right).$

设框架系统名义模型为：

$M_n\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=u_1$

设框架系统总控制器为u＝u₁+u_com，所以框架系统可写为：

$M_n\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=u_1+u_{com}+\mathrm{\&rho;}\left(t\right)$

根据步骤(2)和(3)，可得框架系统名义模型的控制律为u_com为补偿控制律，令框架系统的不确定上界为即

定义框架系统角位置和角速度跟踪误差分别为e₁＝θ-θ_d、其中θ_d和为框架系统角位置和角速度的期望值，因而可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_d=M_n^{-1}\&lsqb;u_1-h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})\&rsqb;-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_d+M_n^{-1}(u_{com}+\mathrm{\&rho;}(t\left)\right)\end{array}\right.$

令 $N=M_n^{-1}\&lsqb;u_1-h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})\&rsqb;-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_d,$ 则上式可化为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=e_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=N+M_n^{-1}(u_{com}+\mathrm{\&rho;}(t\left)\right)\end{array}\right.$

定义滑模面变量s为：

s＝ce₁+e₂

其中，c为常数，对滑模面变量s求导可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=c{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2={\mathrm{ce}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2$

设计补偿控制律u_com为：

$u_{com}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mathrm{sM}}_n^{-1}}\mathrm{\&omega;}& \left|s\right|\&NotEqual;0\\ 0& \left|s\right|=0\end{array}\right.$

其中， $\mathrm{\&omega;}=-{\mathrm{sce}}_2-sN-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\left(t\right).$

补偿控制律u_com也可写为：

$u_{com}=\left\{\begin{array}{cc}-\left|M_n\right|({\mathrm{ce}}_2+N)-\mathrm{sgn}\left(s\right)\mathrm{sgn}\left(M_n\right)\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\left(t\right)& \left|s\right|\&NotEqual;0\\ 0& \left|s\right|=0\end{array}\right.,\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0\end{array}\right.,x\&Element;R$

由于框架系统不确定上界无法预知，采用RBF神经网络来估计不确定上界值RBF网络的输入为输出为不确定参数上界的估计值

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\left(t\right)={\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}\left(x\right)$

其中，为RBF神经网络的权值，φ(x)为高斯函数。φ(x)＝[φ₁(x)φ₂(x)φ₃(x)]^T，其中

${\mathrm{\&phi;}}_i\left(x\right)=\exp (-\frac{\left|\right|x-m_i|{|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}),i=1,2,3$

其中，m_i是第i个神经元的中心位置，σ_i为第i个神经元的宽度。

利用RBF神经网络估计不确定项的上界，得到自适应滑模补偿控制律u_com为：

$u_{com}=\left\{\begin{array}{cc}-\left|M_n\right|({\mathrm{ce}}_2+N)-\mathrm{sgn}\left(s\right)\mathrm{sgn}\left(M_n\right)\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\left(t\right)& \left|s\right|\&NotEqual;0\\ 0& \left|s\right|=0\end{array}\right.$

RBF网络的最优权值ω^*满足：

${\mathrm{\&omega;}}^{*T}\mathrm{\&phi;}\left(x\right)-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\left(t\right)=\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)<{\mathrm{\&epsiv;}}_1$

不确定参数的上界满足：

$\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\left(t\right)-\left|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\right|>{\mathrm{\&epsiv;}}_0>{\mathrm{\&epsiv;}}_1$

其中，ε₀和ε₁为常数。定义Lyapunov函数为：其中

采用自适应算法在线调整权值，取其中

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}-{\mathrm{\&eta;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}\\ s({\mathrm{ce}}_2+N)+\mathrm{\&omega;}+{\mathrm{sM}}_n^{-1}\mathrm{\&rho;}\left(t\right)-{\mathrm{\&eta;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}\\ =-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}\left(x\right)+{\mathrm{sM}}_n^{-1}\mathrm{\&rho;}\left(t\right)-{\mathrm{\&eta;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}\\ =-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left({\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}\right(x)+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}(t)-\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}(t\left)\right)+{\mathrm{sM}}_n^{-1}\mathrm{\&rho;}\left(t\right)-{\mathrm{\&eta;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}\\ \&le;-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left({\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}\right(x)+\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}(t\left)\right)-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\right(t)-|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\left|\right)-{\mathrm{\&eta;}}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}\\ =-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left({\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}\right(x)-{\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^{*T}\mathrm{\&phi;}(x)+\mathrm{\&epsiv;}(x\left)\right)-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\right(t)-|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\left|\right)-({\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T-{\mathrm{\&omega;}}^{*T})\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\mathrm{\&phi;}\left(x\right)\\ =-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\right(t)-|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\left|\right)\\ \&le;\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left|\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)\right|-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\right(t)-|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\left|\right)\\ =\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left(\right|\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)|-\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\right(t)-|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\left|\right))\end{array}$

根据RBF网络的最优权值ω^*及不确定参数上界满足的条件可得：

|ε(x)|<ε₁

$-\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\right(t)-|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\left|\right)<-{\mathrm{\&epsiv;}}_0$

由上两式得：

$\left|\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)\right|-\left(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\right(t)-|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\left|\right)<{\mathrm{\&epsiv;}}_1-{\mathrm{\&epsiv;}}_0$

所以得到：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|\left(\right|\mathrm{\&epsiv;}\left(x\right)|-(\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}\left(t\right)-\left|\mathrm{\&rho;}\left(t\right)\right|\left)\right)\&le;-\left|{\mathrm{sM}}_n^{-1}\right|({\mathrm{\&epsiv;}}_0-{\mathrm{\&epsiv;}}_1)=-\mathrm{\&eta;}\left|s\right|\&le;\mathrm{\&theta;}.$

利用自适应滑模补偿控制律u_com对框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动进行补偿控制，以增强框架系统的扰动抑制能力，提高框架系统的角速率跟踪精度。

(6)框架系统总控制律

内、外框架系统总控制输入为其中为框架系统的伪逆线性化控制律，为框架系统跟踪误差稳定控制律，u_com为基于RBF神经网络的自适应滑模补偿控制律。u为框架系统总控制输入，消除了耦合力矩、牵连力矩及非线性摩擦等未知扰动及参数不确定对框架系统的影响，实现了框架系统高精度角速率跟踪控制，增强了框架系统扰动抑制能力。

本发明未详细阐述部分属于本领域专业人员公知的现有技术。

Claims (2)

1.基于自适应滑模补偿的双框架MSCMG框架系统高精度控制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤(1)建立双框架伺服系统的动力学模型

根据几何约束关系，应用欧拉动力学方程及矢量叠加原理，推导双框架磁悬浮控制力矩陀螺内、外框架伺服系统的动力学模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{gx}=K_{igx}{i}_{gx}=J_{gx}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g+(J_{gy}-J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+J_{rr}\&lsqb;\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}-\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}})+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g\&rsqb;\\ +H_{rz}\&lsqb;\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g\&rsqb;+T_{fx}+T_{qx}\\ P_{jy}=K_{ijy}{i}_{jy}=(J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j+\frac{\sqrt{2}}{2}{J}_{rr}(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}){\mathrm{cos\&theta;}}_g\\ -H_{rz}\&lsqb;\frac{\sqrt{2}}{2}(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}})+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g\&rsqb;{\mathrm{cos\&theta;}}_g-(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fy}+T_{qy}\end{array}\right.$

其中，为外框轴相对惯性系的转动角速率；为内框轴相对外框系的转动角速率，θ_g为内框轴相对外框系转动角位置，为外框轴相对惯性系的转动角加速率，为内框轴相对外框系的转动角加速率，分别为高速转子x、y方向的扭转速度，分别为高速转子x、y方向的扭转加速度，H_rz为高速转子的角动量，P_gx和P_jy分别为内、外框架电机的输出力矩，K_igx和K_ijy分别为内、外框架电机的力矩系数，i_gx和i_jy分别为内、外框架电机绕组电流；T_fx为作用在内框架转动轴的非线性摩擦力矩，T_fy为作用在外框架转动轴的非线性摩擦力矩，J_jy为外框架输出力矩方向的转动惯量；J_gx、J_gy、J_gz分别为内框架对内框坐标系相应各轴的转动惯量；J_rr为高速转子径向的转动惯量，J_rz为高速转子轴向的转动惯量，T_qx为卫星运动引起的作用在内框架转动轴的牵连力矩，T_qy为卫星运动引起的作用在外框架转动轴的牵连力矩；

由于转子运动被限制在保护间隙内，而且高速转子转速因而忽略转子径向运动的影响，得到内、外框架系统的简化动力学模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{gx}=K_{igx}{i}_{gx}=(J_{gx}+J_{rr}){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g+(J_{gy}-J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fx}+T_{qx}\\ P_{jy}=K_{ijy}{i}_{jy}=(J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j-H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g\\ -(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+T_{fy}+T_{qy}\end{array}\right.$

步骤(2)双框架伺服系统耦合特性分析

由双框架系统动力学模型可知，由于陀螺效应的影响，内、外框架动力学模型中都包含了内、外框架相对运动引起的耦合力矩项，耦合力矩包括惯性耦合力矩和陀螺耦合力矩，其中惯性耦合力矩与框架的角加速度成正比，仅在框架加速或减速时才存在；陀螺耦合力矩会随着框架转动的角速度及角位置不同而不同，当内、外框架正交，即θ_g＝0时，最大耦合力矩与陀螺力矩相等；

由于陀螺耦合力矩项中包含了不断变化的三角函数，呈现出显著的非线性特性，内、外框架相对角位置的变化是造成非线性的根本原因，非线性使双框架MSCMG框架系统的动力学耦合更加复杂，因此，双框架MSCMG框架伺服系统是一个多变量、强耦合、非线性的复杂系统；

要实现框架系统的高精度控制，首先要实现其动力学解耦控制以抑制框架间耦合力矩，同时框架系统的建模误差无法避免，线性化解耦控制方法并不能实现完全的解耦控制，线性化之后依然存在残余耦合，框架系统是一个低速伺服系统，在低速运行时，非线性摩擦会导致伺服系统出现低速不平稳现象，降低框架系统速率精度，因此为实现框架系统高精度控制，需要在动力学解耦控制的基础上，进一步消除残余耦合、卫星运动引起的牵连力矩及非线性摩擦对框架伺服系统解耦性能及速率跟踪性能的影响；

步骤(3)根据所述步骤(1)、(2)中的内、外框架系统的动力学模型及耦合特性分析，应用微分几何法推导内、外框架系统线性化控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_1=\frac{(J_{gy}-J_{gz})x_4^2{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1+H_{rz}{x}_4{\mathrm{cosx}}_1}{K_{igx}}+\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}{v}_1\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_2=\frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{x}_1+J_{gz}{\sin }^2{x}_1+J_{rr}{\cos }^2{x}_1}{K_{ijy}}{v}_2-\frac{H_{rz}{x}_3{\mathrm{cosx}}_1+(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz})x_3{x}_4{\mathrm{sinx}}_1{\mathrm{cosx}}_1}{K_{ijy}}\end{array}\right.$

其中， $\stackrel{\&OverBar;}{u}=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_1& {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_2\end{array}\right]$ 为内、外框架系统动力学解耦控制律，状态变量 $x={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&theta;}}_g& {\mathrm{\&theta;}}_j& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j\end{array}\right]}^T,$ 分别为内框架角位置和角速度、外框架角位置和角速度， $v\left(x\right)={\left[\begin{array}{cc}{v}_1& v_2\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g^{*}& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^{*}\end{array}\right]}^T$ 为内、外框架系统新的控制变量，分别为内、外框架系统的给定角速度即框架系统的标称输出，因而可以得到框架系统伪逆线性化控制律为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{u}}_1=\frac{(J_{\mathrm{gy}}-J_{\mathrm{gz}})x_4^2\sin x_1\cos x_1+H_{\mathrm{rz}}{x}_4\cos x_1}{K_{\mathrm{igx}}}+\frac{J_{\mathrm{gx}}+J_{\mathrm{rr}}}{K_{\mathrm{igx}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g^{*}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{u}}_2=\frac{J_{\mathrm{jy}}+J_{\mathrm{gy}}{\cos }^2{x}_1+J_{\mathrm{gz}}{\sin }^2{x}_1+J_{\mathrm{rr}}{\cos }^2{x}_1}{K_{\mathrm{ijy}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j^{*}-\frac{H_{\mathrm{rz}}{x}_3\cos x_1+(J_{\mathrm{rr}}+2J_{\mathrm{gy}}-2J_{\mathrm{gz}})x_3{x}_4\sin x_1\cos x_1}{K_{\mathrm{ijy}}}\end{array}\right.$

选择上式所示的开环前馈解耦控制律，可以消除框架间耦合力矩对框架角速率跟踪精度的影响，实现双框架伺服系统的动力学解耦；

步骤(4)由于所述步骤(3)的动力学解耦控制律为开环前馈控制律，为保证框架系统的稳定性，应用微分代数谱相关理论，设计框架系统跟踪误差稳定控制律为：

$\tilde{u}=K\left(t\right)e$

其中，e为框架系统状态误差，K(t)为时变增益矩阵，如下：

$K\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}{k}_1\left(t\right)& k_2\left(t\right)& k_3\left(t\right)& k_4\left(t\right)\\ k_5\left(t\right)& k_6\left(t\right)& k_7\left(t\right)& k_8\left(t\right)\end{array}\right]$

其中，

$k_1\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_1\left(t\right)}{K_{igx}}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4^2\cos \left(2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+H_{rz}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{igx}},k_2\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_2{\mathrm{\&beta;}}_2\left(t\right)}{K_{igx}},k_3\left(t\right)=0,k_4\left(t\right)=-\frac{2{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)-H_{rz}\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{igx}},$

$k_5\left(t\right)=\frac{H_{rz}{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)-{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\cos \left(2{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{ijy}},k_6\left(t\right)=-\frac{H_{rz}\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_4\sin \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)\cos \left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{ijy}},k_7\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_3\left(t\right)}{K_{ijy}},$

$k_8\left(t\right)=-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_4{\mathrm{\&beta;}}_4\left(t\right)}{K_{ijy}}-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_3{\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{2}sin\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)cos\left({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_1\right)}{K_{ijy}}$

其中，λ₁＝J_gz-J_gy，λ₂＝J_gx+J_rr，λ₃＝J_rr+2J_gy-2J_gz，λ₄＝J_jy+J_gycos²x₁+J_gzsin²x₁+J_rrcos²x₁。分别为内框架角位置和角速度及外框架角速度的给定值。时变参数β₁(t)，β₂(t)，β₃(t)，β₄(t)由微分代数谱相关理论求得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1\left(t\right)={\mathrm{\&omega;}}_{ng}^2\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_2\left(t\right)=2{\mathrm{\&zeta;}}_g{\mathrm{\&omega;}}_{ng}\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{ng}\left(t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_{ng}\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_3\left(t\right)={\mathrm{\&omega;}}_{nj}^2\left(t\right)\\ {\mathrm{\&beta;}}_4\left(t\right)=2{\mathrm{\&zeta;}}_j{\mathrm{\&omega;}}_{nj}\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_{nj}\left(t\right)/{\mathrm{\&omega;}}_{nj}\left(t\right)\end{array}\right.$

其中，ζ_g，ζ_j为内、外框架系统阻尼系数，ω_ng(t)，ω_nj(t)为内、外框架系统时变带宽， 为内、外框架系统时变带宽的变化率，可以通过在线调整框架闭环系统带宽，提高框架系统扰动抑制能力，即为时变带宽技术；

步骤(5)根据所述步骤(1)中的内、外框架系统的动力学模型，由于框架系统存在牵连力矩、非线性摩擦及残余耦合的影响，根据径向基函数(Radiusbasisfunction,RBF)神经网络和滑模控制原理设计自适应滑模补偿控制律u_com对框架系统的不确定项进行反馈补偿，实现框架系统的高精度控制，增强框架系统扰动抑制能力；

步骤(6)根据步骤(3)、(4)、(5)实现基于自适应滑模补偿控制的双框架MSCMG框架系统高精度控制方法，得到内、外框架系统总控制输入其中为框架系统的伪逆线性化控制律，为框架系统跟踪误差稳定控制律，u_com为基于RBF神经网络的自适应滑模补偿控制律，u为框架系统的总控制输入，可以消除耦合力矩、牵连力矩及非线性摩擦对框架系统的影响，实现框架系统高精度角速率跟踪控制。

2.根据权利要求1所述的基于自适应滑模补偿的双框架MSCMG框架系统高精度控制，其特征在于：所述步骤(5)中的框架系统自适应滑模补偿控制律u_com为：

$u_{com}=\left\{\begin{array}{cc}-\left|M_n\right|({\mathrm{ce}}_2+N)-\mathrm{sgn}\left(s\right)\mathrm{sgn}\left(M_n\right)\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\left(t\right)& \left|s\right|\&NotEqual;0\\ 0& \left|s\right|=0\end{array}\right.,$ $\mathrm{sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0\end{array}\right.,x\&Element;R$

其中，为框架系统角速度跟踪误差，为框架系统输出角速度，为框架系统给定角速度，c为常数，s为滑模面变量，为框架系统不确定上界估计值， 为框架系统给定角速度的微分，θ为框架系统输出角位置，u₁为框架系统名义模型的控制律，M_n和为框架系统确定项，分别如下：

$M_n=\left[\begin{array}{cc}\frac{J_{gx}+J_{rr}}{K_{igx}}& 0\\ 0& \frac{J_{jy}+J_{gy}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{gz}{\sin }^2{\mathrm{\&theta;}}_g+J_{rr}{\cos }^2{\mathrm{\&theta;}}_g}{K_{ijy}}\end{array}\right]$

$h_n(\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})=\left[\begin{array}{c}\frac{(J_{gy}-J_{gz}){{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j}^2{\mathrm{sin\&theta;}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g+H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{cos\&theta;}}_g}{K_{igx}}\\ \frac{-H_{rz}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\mathrm{cos\&theta;}}_g-(J_{rr}+2J_{gy}-2J_{gz}){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_g{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_j{\mathrm{sin\&theta;}}_{g1}{\mathrm{cos\&theta;}}_g}{K_{ijy}}\end{array}\right]$

由于框架系统不确定上界ρ(t)无法预知，因而采用RBF神经网络得到框架系统不确定上界估计值为RBF网络的输入为输出为不确定参数上界的估计值

$\widehat{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&rho;}}}\left(t\right)={\widehat{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{\&phi;}\left(x\right)$

其中，为RBF神经网络的权值，φ(x)为高斯函数，φ(x)＝[φ₁(x)φ₂(x)φ₃(x)]^T，其中，

${\mathrm{\&phi;}}_i\left(x\right)=\exp (-\frac{\left|\right|x-m_i|{|}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}),$ i＝1、2、3

其中，exp为以自然数e为底的指数函数，m_i是第i个神经元的中心位置，σ_i为第i个神经元的宽度，应用自适应算法在线调整权值，取其中ε₀和ε₁为常数；

利用自适应滑模补偿控制律u_com对框架系统的残余耦合、牵连力矩及非线性摩擦进行有效补偿，以增强框架系统的扰动抑制能力，提高框架系统的角速率跟踪精度。