CN107608212A - 一种基于改进型双幂次趋近律的积分滑模控制的磁悬浮列车系统控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种双幂次趋近律的积分滑模控制(DPRL‑I‑SMC)的磁悬浮列车系统控制方法，尤其是涉及一种基于改进型双幂次趋近律的积分滑模控制的磁悬浮列车系统控制方法。本发明结合双幂次趋近律和指数趋近律方法，并利用饱和函数和积分函数综合设计的滑模控制器。改进型DPRL‑I‑SMC方法在各方面性能都表现得优于传统滑模控制(SMC)和幂次趋近律的积分滑模控制(PRL‑I‑SMC)方法，能有效消除系统的抖振，减小超调，加快收敛速度，克服非线性因素从而使非线性系统稳定悬浮，表现出优良的动态特性和抗干扰性能。

Description

一种基于改进型双幂次趋近律的积分滑模控制的磁悬浮列车 系统控制方法

技术领域

本发明涉及一种双幂次趋近律的积分滑模控制的磁悬浮列车系统控制方法，尤其是涉及一种基于改进型双幂次趋近律的积分滑模控制的磁悬浮列车系统控制方法。

背景技术

滑模控制(SMC)由于其概念简单，具有强大的克服干扰和模型不确定性问题的能力，已经被广泛研究了几十年，广泛应用于工业应用领域。但传统SMC方法会出现严重的抖振问题，严重影响到系统的控制精度，甚至会导致系统失去稳定。

目前，国内外解决抖振不足问题的主要手段有准滑动模态法、动态滑模法、高阶滑模法、滤波法、干扰观测器和趋近律等方法。准滑动模态法是在边界层外采用常规滑模控制，边界层内采用连续状态反馈控制，有效削弱系统的抖振，但是降低了系统的控制精度。动态滑模和高阶滑模法设计的滑模面与系统状态及系统输入的一阶或高阶导数有关，其不连续项的影响也部分转移至系统输入的一阶或高阶导数上，所以在一定程度上削弱了系统的抖振问题。滤波法采用滤波器对系统的控制信号进行平滑滤波，从而减小系统的抖振，但是这种方法的稳定性比较难分析。干扰观测器法估计外界干扰及不确定性，并将干扰进行补偿，这成为抖振问题的一大解决措施。高为炳提出采用趋近律(等速趋近律、指数趋近律和幂次趋近律) 的方法削弱系统抖振。

等速趋近律方法的趋近速度单一且较慢，指数趋近律的趋近速度虽较快，但接近滑模面时很难达到系统的平衡点，幂次趋近律方法在到达滑动面时系统的速度为零，可以平稳达到系统的平衡点，但是在远离滑模面时系统趋近速度较慢。于是Wang等人将幂次趋近律与指数趋近律相结合，将两种方法的优势相结合提出快速趋近律的方法。Mei等人提出双幂次趋近律的方法用于控制机器人快速收敛方面，但是没有考虑干扰情况下的抖振问题。Li等人指出快速趋近律和双幂次趋近律都有二阶滑模特性，并推出干扰时的稳态误差界限，但是这两种方法在趋近滑模面的速度方面以及超调方面仍存在不足。

于是本发明考虑到以上各方法的优势及不足问题，利用提出一种改进型双幂次趋近律积分滑模控制(DPRL-I-SMC)方法。本方法结合指数趋近律及积分滑模控制的优势，在远离滑模面时快速地趋近滑模面，在接近滑模面时利用双幂次趋近律的优势，使系统在平稳达到稳定点。运用Lyapunov 方法对其进行稳定性分析，结果表明改进型DPRL-I-SMC方法能够有效消除系统的抖振，远离和接近滑模面时趋近速度都很快。仿真结果表明，标称性能恢复方面和干扰情况下性能均比传统SMC、幂次趋近律的积分滑模控制(PRL-I-SMC)优越，动态品质更好。

一、传统SMC。

本发明提出一种改进型DPRL-I-SMC方法应用于非线性不确定系统，为了清晰阐述该方法的基本思想，首先考虑二阶系统，再应用到高阶的磁悬浮系统。

现考虑如下二阶不确定系统，其模型如下

其中，分别为系统状态，控制输入和系统的输出，包括干扰以及模型不确定性的总的不确定部分，α(x),β(x)为含x变量的多项式。

定义系统(1)中的连续有界，且满足D为上界。

取参考信号为x_d，则误差为e＝x₁-x_d，传统滑模控制(SMC) 的滑模面为

其中，c为常数，且满足Hurwitz条件，即c＞0。

SMC的控制律设计为

其中，η为符号函数的增益，且η≥0。

定义Lyapunov函数为

由(1)、(2)和(3)得

则由(1)、(3)和(5)式可得

上式(6)表明，只要控制规律(3)中的开关增益被设计为使得k＞D，滑模面上的系统(1)的状态才能在有限的时间内到达滑动面s＝0。

注释1：等式(6)表明，公式(3)定义的控制律虽然能够使系统在有限的时间内到达滑模面，但是系统状态仍然不能到达期望的平衡点位置，这也是传统SMC一直会存在抖振现象的原因。

二、PRL-I-SMC。

由于干扰或不确定性因素的存在，很多方法(比如传统SMC等)不能消除稳态误差，而积分控制是一种广泛用于消除稳态误差的实用性方法。为证明这种方法的有效性，同时削弱SMC控制效果中的抖振，改善系统的动态性能，现将传统的SMC结合积分控制及幂次趋近律(PRL)方法，即 PRL-I-SMC方法，进行对比分析。

PRL-I-SMC的滑模面定义为

幂次趋近律为

其中，c₁,c₂,k,α为常数。

PRL-I-SMC的控制律设计为

其中，k,α为符号函数的增益，且k＞0,1＞α＞0。

定义Lyapunov函数为

由(1)，(7)和(9)得

由(1)、(9)和(11)式可得

式(12)表明，只要控制规律(9)中的开关增益被设计为使得k＞D，滑模面上的系统(1)的状态才能在有限的时间内到达滑动面s＝0。

注释2：等式(12)表明如果系统在有限的时间内到达滑模面，并且扰动存在一个连续的稳态值，那么状态就可能渐近到达期望的平衡点位置。 PRL-I-SMC方法虽然可在一定程度上减小了系统的稳态误差，并削弱了系统的抖振，但是由于积分作用的存在，会给系统带来一定的超调等问题，于是提出改进型DPRL-I-SMC方法进行控制。

发明内容

本发明的上述技术问题主要是通过下述技术方案得以解决的：

一种基于改进型双幂次趋近律的积分滑模控制的磁悬浮列车系统控制方法，包括如下步骤：

步骤1、建立单磁铁磁悬浮系统动态模型方程如下：

其中，m为悬浮体的质量，g为重力加速度，ε(t)为悬浮间距，N为线圈匝数，i为线圈电流，F(i,ε)为电磁吸力，μ₀为真空磁导率，A为单磁极的面积，R为电磁铁绕组电阻，f_d为外界干扰；系统控制目标是通过控制电压u(t)，从而控制线圈电流i(t)，最终实现对象输出ε(t)跟踪理想的轨迹，t为时间变化量；

令定义状态变量x₁＝ε,分别代表电磁铁悬浮间距、速度和电流，其中，为悬浮速度，k为常量；则得到磁悬浮系统非线性状态空间模型如下

y＝x₁(2d)

式中，y为系统的输出悬浮间距，为系统的加速度；

其中系统的对象输出y与控制输入u没有直接联系，无法直接设计滑模控制器；为得到y和u之间的关系，首先对系统进行输入输出线性化；

令并对y求微分

其中，为系统的输出悬浮速度，和均为系统的输出悬浮加速度，和为系统的输出悬浮加加速度；

令且则系统(1)转化为

定义d≥0，且

步骤2、定义改进型双幂次趋近律的积分滑模控制(DPRL-I-SMC)的滑模面及趋近律如下：

取理想位置信号为x_d，则误差和系统的速度误差分别为e＝x_d-x₁，系统的加速度误差和系统的加加速度误差分别

其中，分别为理想间距的速度，加速度和加加速度，分别为系统输出间距的速度，加速度和加加速度；

设计DPRL-I-SMC滑模面为

其中，c₁,c₂,c₃是滑模系数，均为常数，且c₁＞0,c₂＞0,c₃＞0；

将(5)式求微分得

将(4)式带入(6)中，并结合式(2a)、(2b)和(3a)、(3b)得

指数趋近律为

其中，η₁为指数趋近律中系统运动点趋近切换面s＝0的速率，为指数趋近项，k₁为指数趋近常系数，且η₁＞0,k₁＞0；

双幂次趋近律为

其中，k₂和k₃均为双幂次趋近律中系统运动点趋近切换面s＝0的速率，α₁和α₂均为幂次趋近常数，k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1；

由于常规的DPRL方法虽然有着趋近速度较PRL方法快的优点，但仍然存在一定抖振的问题，而指数趋近律可以保证系统到达滑模面中的动态品质，而且能够一定程度上削弱抖振，定义改进的改进型双幂次趋近律的积分滑模控制；

结合式(8)、(9)，定义改进型DPRL-I-SMC的趋近律为

其中，η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1，符号函数

步骤3、基于步骤1以及步骤2，定义磁悬浮系统的改进型DPRL-I-SMC 方法的控制律如下：

由于存在高开关增益，一般会出现扰动现象，而采用饱和函数其中δ为一个很小的正数，可以有效克服抖振的问题；

由(7)、(10)式等效，且在理想状态s＝0，即条件下，同时采用饱和函数sat(s)替换符号函数sgn(s)，改进型双幂次趋近律的积分滑模控制方法控制律为

其中，c₁,c₂,c₃均为常数，η₁,k₁,k₂,k₃为设计的开关增益，均为常数，且满足c₁＞0,c₂＞0,c₃＞0，η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1；

且系统稳定条件：

利用Lyapunov稳定性判据验证改进型DPRL-I-SMC方法的稳定效果；

首先定义Lyapunov函数为

其中，V(s)为正定的标量函数，s为具有连续一阶偏导的滑模面函数；

将控制律(11)带入(7)式中，则

对(12)中的V(s)求导，并结合以上参数限制条件，可得

而使磁悬浮系统稳定的条件就是由(14)可知，该控制方法满足系统稳定的条件。

因此，本发明具有如下优点：1、该控制律的设计在远离和接近滑模面时均能达到快速趋近平衡点，抖振及响应速度方面的问题也得到很好解决； 2、该控制方法具有良好的抗干扰性能，这表明所提出方法在系统有不确定外部干扰时仍能保持良好的动态品质。最后应用于磁悬浮列车这类开环不稳定的非线性系统，理论分析和Matlab仿真结果表明，改进型DPRL-I-SMC 比传统的SMC和幂次趋近律的积分滑模控制(PRL-I-SMC)有更好的控制性能，如抖振削弱、超调减小、响应速度更快。

附图说明

附图1是本发明中确定轨迹输入条件下间隙响应曲线图。

附图2a是本发明中确定轨迹输入条件下系统状态响应曲线图(输入线圈电压u)。

附图2b是本发明中确定轨迹输入条件下系统状态响应曲线图(输出电流i)；

附图3a是确定轨迹输入条件下系统状态响应曲线(垂直电磁铁速度)。

附图3b是确定轨迹输入条件下系统状态响应曲线(加速度)。

附图4是本发明中正弦干扰情况下系统间隙响应曲线。

附图5a是本发明中正弦干扰情况下系统响应曲线(输入线圈电压u)。

附图5b是本发明中正弦干扰情况下系统响应曲线(输出电流i)。

附图6a是本发明中正弦干扰情况下系统响应曲线(垂直电磁铁速度)。

附图6b是本发明中正弦干扰情况下系统响应曲线(加速度)。

具体实施方式

下面通过实施例，并结合附图，对本发明的技术方案作进一步具体的说明。

实施例：

一、本发明提出一种改进型DPRL-I-SMC，具体描述如下：

1、控制设计

考虑到现有的传统SMC以及PRL-I-SMC方法的收敛速度慢、扰动大等缺陷，提出一种改进型双幂次趋近律的积分滑模控制(DPRL-I-SMC)方法，可进一步有效削弱PRL-I-SMC中出现的扰动问题，减小超调量，提高动态特性。

根据PRL-I-SMC方法，可将DPRL-I-SMC滑模面设计为

其中，c₁,c₂,c₃均为常数，且c₁＞0,c₂＞0,c₃＞0。

指数趋近律为

其中，η₁,k₁为常数，为指数趋近项，其解为

双幂次趋近律为

结合式(32)、(33)，设计改进型DPRL-I-SMC方法的趋近律为

其中，η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1。

引理1：传统滑模控制中采用符号函数由于存在高开关增益，一般会出现扰动现象，而采用饱和函数其中δ为一个很小的正数，可以有效克服抖振的问题。

根据引理1，对于系统(25)，结合(23a)、(23b)和(24a)、(24b)式，并采用饱和函数sat(s)替换符号函数sgn(s)，设计所提出的改进型DPRL-I-SMC 方法控制律为

其中，η₁,k₁,k₂,k₃为设计的开关增益。为验证该方法在磁悬浮系统中效果，现对其进行稳定性分析。

2、稳定性分析

定义系统(25)中的扰动有界，并且满足

证明：对滑模面(31)求导，并结合系统的状态方程(25)以及(23a)、(23b) 和(24a)、(24b)式，可得

将控制律(35)带入(36)式中，则

定义Lyapunov函数为

对(38)中的V(s)求导，并结合以上参数限制条件，可得

从(39)式及上述参数限制条件可知，在η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0，α₁＞1， 0＜α₂＜1，d≥0的条件下，系统状态能够在有限的时间内到达(31)式中设计的滑模面s＝0，满足系统稳定的条件。

二、下面是应用于磁悬浮系统的具体描述。

1、磁悬浮系统非线性系统模型

目前典型的磁悬浮系统结构主要分为常导吸力型和超导斥力型。德国 1969年率先研究出TR系列常导型磁吸式悬浮列车，日本随后研制出HSST 常导吸力型中低速磁悬浮列车并于1972年推出超导型MLX01，中国上海于2003年引进德国技术设计出的上海磁悬浮列车以及2015年自行研发的长沙磁悬浮列车均为常导型磁悬浮列车。这一类常导吸力型的磁悬浮列车系统由多个单磁铁结构组成，本例以磁悬浮列车单磁铁结构进行研究，此单电磁铁磁悬浮系统的动态模型方程

其中，m为悬浮体的质量，g为重力加速度，ε(t)为悬浮间距，N为线圈匝数，i为线圈电流，F(i,ε)为电磁吸力，μ₀为真空磁导率，A为单磁极的面积，R为电磁铁绕组电阻，f_d为外界干扰。系统控制目标是通过控制电压u(t)，从而控制线圈电流i(t)，最终实现对象输出ε(t)跟踪理想的轨迹。

令定义状态变量x₁＝ε,x₃＝i分别代表电磁铁悬浮间距、速度和电流，k为常量。磁悬浮系统非线性状态空间模型为

y＝x₁ (23d)

由于对象输出y与控制输入u没有直接联系，无法直接设计滑模控制器。为得到y和u之间的关系，首先对系统进行输入输出线性化。令并对y求微分

令且则系统模型转化为

定义系统(25)中d≥0，且

2、控制设计

2.1、传统SMC

取理想的位置信号为x_d，则误差为e＝x_d-x₁。传统滑模控制(SMC)的滑模面和控制律为

其中，c₁,c₂均为常数，且c₁＞0,c₂＞0，η为符号函数的增益，且η≥0。

2.3、PRL-I-SMC

PRL-I-SMC的滑模面定义为

幂次趋近律为

PRL-I-SMC的控制律设计为

其中，c₁,c₂,c₃,k,α为常数，且c₁＞0,c₂＞0,c₃＞0,k＞0,1＞α＞0。

2.3、改进型DPRL-I-SMC

(1)控制设计

根据PRL-I-SMC方法，可将DPRL-I-SMC滑模面设计为

其中，c₁,c₂,c₃均为常数，且c₁＞0,c₂＞0,c₃＞0。

指数趋近律为

其中，η₁,k₁为常数，为指数趋近项，其解为

双幂次趋近律为

结合式(32)、(33)，设计改进型DPRL-I-SMC方法的趋近律为

其中，η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1。

引理1：传统滑模控制中采用符号函数由于存在高开关增益，一般会出现扰动现象，而采用饱和函数其中δ为一个很小的正数，可以有效克服抖振的问题。

根据引理1，对于系统(25)，结合(23a)、(23b)和(24a)、(24b)式，并采用饱和函数sat(s)替换符号函数sgn(s)，设计所提出的改进型DPRL-I-SMC 方法控制律为

其中，η₁,k₁,k₂,k₃为设计的开关增益。为验证该方法在磁悬浮系统中效果，现对其进行稳定性分析。

(2)稳定性分析

定义系统(25)中的扰动有界，并且满足

证明：对滑模面(31)求导，并结合系统的状态方程(25)以及(23a)、(23b) 和(24a)、(24b)式，可得

将控制律(35)带入(36)式中，则

定义Lyapunov函数为

对(38)中的V(s)求导，并结合以上参数限制条件，可得

从(39)式及上述参数限制条件可知，在η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0，α₁＞1， 0＜α₂＜1，d≥0的条件下，系统状态能够在有限的时间内到达(31)式中设计的滑模面s＝0，满足系统稳定的条件。

三、下面是采用二中描述方法进行的具体仿真验证。

为了评价上述方法的有效性，对传统SMC与PRL-I-SMC以及改进型 DPRL-I-SMC方法进行仿真。表1中列出了相关的物理参数及其数值大小。

表1磁悬浮系统参数

Table 1Magnetic levitation system parameters

1、动态性能恢复

考虑磁悬浮列车系统初始状态为x(0)＝[0.016,0,0.1]，系统的输入参考位 置信号为r＝0.01m。对上述方法进行仿真验证，针对SMC与PRL-I-SMC以 及改进型DPRL-I-SMC三种方法，图1分别给出系统稳定悬浮时的输出间 隙的响应对比曲线及其局部放大图，图2(a)、图2(b)分别为系统的输入电压 和输出电流响应曲线以及局部放大图，图3(a)、图3(b)分别给出系统的速度 和加速度曲线图及其局部放大图。三种控制方法的控制参数如表2。

从图1可明显看出，采用传统SMC方法控制，在参考位置r＝0.01m附近出现不断的抖振现象，超调量较大，在t＝0.5s附近时，间隙偏离至0.06m，性能恢复时间较长，基本t＝1.5s之后仍在稳定点附近抖动。PRL-I-SMC方法虽然明显削弱抖振，但是由于积分控制的引入，仍带来一些不利的因素，比如超调量在t＝0.2s附近接近0.03m，性能恢复时间减小，在t＝1.3s后回到稳定点。而改进型DPRL-I-SMC方法相比较而言，抖振基本消除，超调量也减小，在t＝0.1s时只有0.02m，性能恢复时间也相对较短。

从图2(a)可看出改进型DPRL-I-SMC方法的最大输入电压比传统SMC 和PRL-I-SMC方法的最大输入电压都低，基本不会出现电压波动现象。图 2(b)表明改进型DPRL-I-SMC方法输出电流也比其余两种方法的输出电流均小，没有电流波动现象。

表2磁悬浮系统三种控制方法的控制参数

Table 2 Control parameters of three control methods for magneticlevitation systems

从图3(a)、3(b)表明在改进型DPRL-I-SMC方法下，系统输出速度和加速度曲线都比其它两种方法的曲线平稳，收敛速度更快。综上分析可知，改进型DPRL-I-SMC方法比起传统SMC和PRL-I-SMC方法，在标称性能恢复方面表现出更好的性能。

2、正弦干扰抑制性能

正弦干扰力这一扰动广泛存在工程现实中，在这一部分，考虑磁悬浮控制系统受到外部持续扰动的影响。由于外部扰动的存在会是系统的性能降低，甚至会导致系统出现不稳定现象。为了验证上述控制算法的抑制正弦干扰的能力，加入正弦干扰信号d＝0.5sin2t+1。采用上述三种方法中设计的滑模面及控制器，控制器参数与表2中相同。仍在初始状态为 x(0)＝[0.016,0,0.1]，系统的输入参考位置信号为r＝0.01m条件下进行正弦干扰性能仿真分析。

图4为系统加入正弦干扰后，运用SMC与PRL-I-SMC以及改进型 DPRL-I-SMC三种方法进行控制的间隙仿真对比响应曲线及局部放大图。图5(a)、5(b)分别为正弦干扰情况下系统输入电压和输出电流的响应曲线及局部放大图。图6(a)、6(b)分别表示正弦干扰条件下系统速度和加速度的对比仿真曲线及其局部放大图。

图4和图5表明在这种干扰的情况下，传统的SMC导致间隙和电流出现不稳定控制。从图4可看出改进型DPRL-I-SMC方法下的超调量和抖振都比PRL-I-SMC方法下小很多，改进型DPRL-I-SMC方法下收敛速度也更快。图5(a)、5(b)表明改进型DPRL-I-SMC方法下的最大输入电压和输出电流均比PRL-I-SMC方法下小很多，改进型DPRL-I-SMC方法下电压和电流波动也都小很多。

从图6(a)、6(b)可看出在正弦干扰条件下，改进型DPRL-I-SMC下的系统垂直电磁铁速度和系统加速度曲线比其它两种算法下响应曲线更加平稳，收敛速度也更快。综上结论，改进型DPRL-I-SMC比其它两种算法表现出更好的抗干扰性能。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (1)

1.一种基于改进型双幂次趋近律的积分滑模控制的磁悬浮列车系统控制方法，包括如下步骤：

步骤1、建立单磁铁磁悬浮系统动态模型方程如下：

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其中，m为悬浮体的质量，g为重力加速度，ε(t)为悬浮间距，N为线圈匝数，i为线圈电流，F(i,ε)为电磁吸力，μ₀为真空磁导率，A为单磁极的面积，R为电磁铁绕组电阻，f_d为外界干扰；系统控制目标是通过控制电压u(t)，从而控制线圈电流i(t)，最终实现对象输出ε(t)跟踪理想的轨迹，t为时间变化量；

令定义状态变量x₁＝ε,x₃＝i分别代表电磁铁悬浮间距、速度和电流，其中，为悬浮速度，k为常量；则得到磁悬浮系统非线性状态空间模型如下

<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Rx</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

y＝x₁(2d)

式中，y为系统的输出悬浮间距，为系统的加速度；

其中系统的对象输出y与控制输入u没有直接联系，无法直接设计滑模控制器；为得到y和u之间的关系，首先对系统进行输入输出线性化；

令并对y求微分

<mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>kx</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>mx</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>Rx</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>mx</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <msub> <mi>mx</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mi>c</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，为系统的输出悬浮速度，和均为系统的输出悬浮加速度，和为系统的输出悬浮加加速度；

令且则系统(1)转化为

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

定义d≥0，且

步骤2、定义改进型双幂次趋近律的积分滑模控制(DPRL-I-SMC)的滑模面及趋近律如下：

取理想位置信号为x_d，则误差和系统的速度误差分别为e＝x_d-x₁，系统的加速度误差和系统的加加速度误差分别

其中，分别为理想间距的速度，加速度和加加速度，分别为系统输出间距的速度，加速度和加加速度；

设计DPRL-I-SMC滑模面为

<mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，c₁,c₂,c₃是滑模系数，均为常数，且c₁＞0,c₂＞0,c₃＞0；

将(5)式求微分得

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将(4)式带入(6)中，并结合式(2a)、(2b)和(3a)、(3b)得

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

指数趋近律为

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，η₁为指数趋近律中系统运动点趋近切换面s＝0的速率，为指数趋近项，k₁为指数趋近常系数，且η₁＞0,k₁＞0；

双幂次趋近律为

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，k₂和k₃均为双幂次趋近律中系统运动点趋近切换面s＝0的速率，α₁和α₂均为幂次趋近常数，k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1；

由于常规的DPRL方法虽然有着趋近速度较PRL方法快的优点，但仍然存在一定抖振的问题，而指数趋近律可以保证系统到达滑模面中的动态品质，而且能够一定程度上削弱抖振，定义改进的改进型双幂次趋近律的积分滑模控制；

结合式(8)、(9)，定义改进型DPRL-I-SMC的趋近律为

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1，符号函数

步骤3、基于步骤1以及步骤2，定义磁悬浮系统的改进型DPRL-I-SMC方法的控制律如下：

由于存在高开关增益，一般会出现扰动现象，而采用饱和函数其中δ为一个很小的正数，可以有效克服抖振的问题；

由(7)、(10)式等效，且在理想状态s＝0，即条件下，同时采用饱和函数sat(s)替换符号函数sgn(s)，改进型双幂次趋近律的积分滑模控制方法控制律为

<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>g</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，c₁,c₂,c₃均为常数，η₁,k₁,k₂,k₃为设计的开关增益，均为常数，且满足c₁＞0,c₂＞0,c₃＞0，η₁＞0,k₁＞0,k₂＞0,k₃＞0,α₁＞1,0＜α₂＜1；

且系统稳定条件：

利用Lyapunov稳定性判据验证改进型DPRL-I-SMC方法的稳定效果；

首先定义Lyapunov函数为

<mrow> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，V(s)为正定的标量函数，s为具有连续一阶偏导的滑模面函数；

将控制律(11)带入(7)式中，则

<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对(12)中的V(s)求导，并结合以上参数限制条件，可得

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>s</mi> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

而使磁悬浮系统稳定的条件就是由(14)可知，该控制方法满足系统稳定的条件。