CN102636995B - 基于rbf神经网络滑模控制微陀螺仪的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了的一种基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，将切换函数作为RBF神经网络的输入，滑模控制器作为RBF网络的输出，利用神经网络的学习功能，可实现单入单出的神经滑模控制，并综合滑变结构控制、自适应算法以及RBF神经网络的优点，能够达到控制效果。自适应算法根据可达条件实时在线调整RBF神经网络连接权值，从而使得系统最终到达滑模面，完成跟踪，还能够自适应滑模控制策略能够及时的修正和估计所有的硬性错误，阻尼等，通过Lyapunov稳定性定理可知所提出的自适应滑模控制器的稳定性是存在的，系统的鲁棒性较好，还对三维微陀螺仪的数字仿真证明本发明控制微陀螺仪的方法的有效性。

Description

基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法

技术领域

本发明涉及控制系统技术领域，具体涉及一种自适应的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法。

背景技术

陀螺仪是很多应用领域中最常用的测量角速度的传感器，比如导航、制导和控制稳定性。陀螺仪是用科里奥利力（即地球自转偏向力）将一个轴上的能量转移到另一个轴上的装置。传统的操作模式缺少驱动陀螺仪从一个模式到一个已知的摆动运动，而检测到的科里奥利加速度耦合到振动的感知模式，振动是和驱动模式是垂直的。振动感知模式的响应提供关于实用角速度的信息。结构的不完整性通常会引起横断面硬度指数和正交阻尼影响的结果，微陀螺仪的性能也受时变参数以及诸如热噪声、机械噪声、感知电路噪声、环境变量、积分误差、参数变量和外部扰动等噪声源的制约，这些干扰在两个振动轴之间产生一个振动失谐频率，而自适应控制是在被控对象的模型知识或环境知识知之不全甚至知之甚少的情况下，使系统能够自动地工作于最优或接近于最优的运行状态，给出高品质的控制性能。模型参考自适应控制是从模型跟踪问题或模型参考控制问题引申出来的。在模型参考控制中，只要设计者非常了解被控对象和它应当满足的要求，即可提出一个被称为“参考模型”的模型，用以描述希望的闭环系统的输入输出性能。模型参考控制的设计任务是寻求一种反馈控制律，使被控对象闭环系统的性能与参考模型的性能完全相同，滑模变结构控制的本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的不连续性，这种控制策略和其它控制不同之处在于系统的结构并不固定，而是可以根据系统在动态过程中根据系统的当前状态有目的地不断变化，迫使系统按照预定的滑动模态的状态轨迹运动，但是该方法的存在当状态轨迹到达滑模面后，难于严格地沿着滑模面向着平衡点滑动，而是在滑模面两侧来回穿越，从而产生颤动的缺点。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术中单独采用滑模变结构对微陀螺仪控制时，当状态轨迹到达滑模面后，难于严格地沿着滑模面向着平衡点滑动，而是在滑模面两侧来回穿越，从而产生颤动的缺点的问题。本发明提供的方法能使得状态轨迹最终到达滑模面，完成跟踪，可实现单入单出的神经滑模控制，提高微陀螺仪控制的稳定性和可靠性。

为了解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：

一种基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，其特征在于：利用RBF神经网络滑模对微陀螺仪的进行控制，包括以下步骤，

步骤（1），建立理想的动力学模型

设动力学模型的输出为q_m，其中 $q_m={\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& z_m\end{array}\right]}^T$ 为三个方向上的陀螺仪的位移，控制目标是保持惯性质量在x,y,z坐标轴方向上以给定的频率摆动，振幅为x_m＝A₁sin(ω₁t),y_m＝A₂sin(ω₂t),z_m＝A₃sin(ω₃t).；

步骤（2），建立微陀螺仪系统动力学模型

建立微陀螺仪的状态空间模型方程其中， $q={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^T$ 为滑模控制输出的是x、y、z方向上轨迹， $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 分别是x、y、z方向上的阻尼项， $k_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}_y}^2& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}_z}^2\end{array}\right]$ 为参考频率系数， $\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 分别是x、y、z方向上的角速度，u为控制器；

步骤（3），建立RBF神经网络的所需的切换函数

设被控对象为： $\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=f\left(t\right)+\mathrm{bu}+u_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，u_d为外界干扰信号，b为单位矩阵，u为控制器，

设被控对象的位置指令为r(t)，切换函数表示为：

$s\left(t\right)=\mathrm{\λe}\left(t\right)+\stackrel{.}{e}\left(t\right)---\left(2\right)$

其中e(t)＝r(t)-x₁,λ为正常数；

步骤（4），建立RBF神经网络的权值调整函数

权值调整函数为 $d{\mathrm{\ω}}_j=\mathrm{\γs}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\γs}\left(t\right)h_j\left(s\right)---\left(3\right)$

式中γ＝b·η，η为自适应律参数，s(t)为步骤（3）所建立的切换函数，为高斯函数，c_j为高斯函数的中心向量，b_j为高斯函数标准化常数，s为切换函数；

步骤（5）基于RBF神经网络的滑模方法控制微陀螺仪

利用步骤（1）和步骤（2）建立状态空间的模型计算出跟踪误差e＝q-q_m，并将跟踪误差e通过步骤（3）建立的切换函数作为RBF神经网络的滑模控制器的输入，以及配合步骤（4）建立RBF神经网络的权值调整函数 $d{\mathrm{\ω}}_j=\mathrm{\γs}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\γs}\left(t\right)h_j\left(s\right),$ 实时控制微陀螺仪的轨迹。

前述的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，其特征在于：所述步骤（2）的建立微陀螺仪的状态空间模型

具体包括以下步骤，

1）根据三轴陀螺仪的动态方程

$m\stackrel{..}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y+k_{\mathrm{xz}}z=u_x+2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{.}{y}-2m{\mathrm{\Ω}}_y\stackrel{.}{z}$

$m\stackrel{..}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y+k_{\mathrm{yz}}z=u_y-2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{.}{x}+2m{\mathrm{\Ω}}_x\stackrel{.}{z}$

$m\stackrel{..}{z}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{zz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xz}}x+k_{\mathrm{yz}}y+k_{\mathrm{zz}}z=u_z+2m{\mathrm{\Ω}}_y\stackrel{.}{x}-2m{\mathrm{\Ω}}_x\stackrel{.}{y}$

（4）

其中m是检测质量的量，非对称的阻尼项dxy、dxz、dyz是x、y、z方向上的源项，dxx、dyy、dzz分别是x、y、z方向上的阻尼项，k_xx、k_xy、k_xz、k_yz、k_yy、k_zz为弹簧系数，Ωx、Ωy、Ωz分别是x、y、z方向上的角速度，ux、uy、uz分别是x、y、z方向上的控制力，方程两边同除以参考量m，重写动态方程为矢量形式如下：

$\stackrel{..}{q}+\frac{D}{m}\stackrel{.}{q}+\frac{k_a}{m}q=\frac{u}{m}-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(5\right)$

其中，

$q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right],\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$

$k_a=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{\mathrm{xx}}& k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{xz}}\\ k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{yy}}& k_{\mathrm{yz}}\\ k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& k_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$ k_a为弹簧系数；

2）方程（6）两边同除以参考频率和参考长度q₀，无量纲运动方程的最终形式：

$\frac{\stackrel{..}{q}}{q_0}+\frac{D}{m{\mathrm{\ω}}_0}\frac{\stackrel{.}{q}}{q_0}+\frac{k_a}{m{\mathrm{\ω}}_0^2}\frac{q}{q_0}=\frac{u}{m{\mathrm{\ω}}_0^2{q}_0}-2\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0}\frac{\stackrel{.}{q}}{q_0}---\left(6\right);$

3）定义如下新参数：

$q^{*}\frac{q}{q_0},D^{*}=\frac{D}{m{\mathrm{\ω}}_0},{\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},{u_x}^{*}=\frac{u_x}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0},{u_y}^{*}=\frac{u_y}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0},{u_z}^{*}=\frac{u_z}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0},$

${\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_z=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{zz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}=\frac{k_{\mathrm{yz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}=\frac{k_{\mathrm{xz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}.$

代入方程（6）得到微陀螺仪的状态空间模型方程 $\stackrel{..}{q}+D\stackrel{.}{q}+k_{b}q=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}.$

前述的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，其特征在于：所述步骤（4）的建立RBF神经网络的权值调整函数的具体包括以下步骤，

1）基于李雅普诺夫理论，到达滑模面的条件是如果能够选择适当的控制量u(t)，使可达条件成立，那么控制系统将会收敛于设计的滑模面上，采用自适应算法不断调整网络权值来寻找最优权值，最小化的值，RBF神经网络的权值调整的指标为

$E=s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)---\left(7\right)$

其中 $s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)\→0;$

2）由方程（7）得到方程（8）

$d{\mathrm{\ω}}_j=-\mathrm{\η}\frac{\∂E}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=-\mathrm{\η}\frac{\∂s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=-\mathrm{\η}\frac{\∂s\left(t\right)\·\stackrel{\·}{s}\left(t\right)}{\∂u\left(t\right)}\·\frac{\∂u\left(t\right)}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}---\left(8\right)$

其中η为自适应律参数，由于

$\begin{array}{c}\frac{\∂s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\∂u}=s\left(t\right)\frac{\∂\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\∂u}=s\left(t\right)\frac{\∂[\mathrm{\λ}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{e}\left(t\right)]}{\∂u}=s\left(t\right)\frac{\∂[\mathrm{\λ}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{r}\left(t\right)-{\stackrel{.}{x}}_2]}{\∂u}\\ =s\left(t\right)\frac{\∂[\mathrm{\λ}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{r}\left(t\right)-f\left(x\right)-\mathrm{bu}-u_d]}{\∂u}=-\mathrm{bs}\left(t\right)\end{array}---\left(9\right)$

$\frac{\∂u\left(t\right)}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=\frac{\∂\left[\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_j\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})\right]}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})$

（10）；

3）根据方程（8）、（9）、（10）得到RBF神经网络的权值调整函数 $d{\mathrm{\ω}}_j=\mathrm{\γs}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\γs}\left(t\right)h_j\left(s\right).$

本发明的有益效果是：

1、采用先进的控制方法控制微陀螺仪减少测量误差和外界干扰的影响从而保证陀螺仪能正常的工作。

2、采用自适应滑模变结构控制器对微陀螺仪系统进行控制，由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关,这就使得滑模控制具有较高的过渡过程性能和鲁棒性、快速响应、对应参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。

3、RBF神经网络是一种三层前向网络，由输入到输出的映射是非线性的，而隐含层空间到输出空间的映射是线性的，从而大大加快了学习速度并避免局部极小的问题。

附图说明

图1是本发明的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法的系统图。

图2是本发明的控制微陀螺仪的跟踪轨迹图。

具体实施方式

下面将结合说明书附图，对本发明作进一步的说明。

如图1所示，本发明的具体实施例，微陀螺仪系统和控制系统两部分构成，控制系统主要由两部分构成滑模控制器和RBF神经网络，r为微陀螺仪参考的运动轨迹，u为控制器，即滑模控制器，即y为微陀螺仪实际的运动轨迹。本发明提出了RBF神经网络对微陀螺仪一种自适应滑模控制系统策略，这个方案一个关键的性质是将切换函数作为RBF神经网络的输入，滑模控制器作为RBF网络的输出，利用神经网络的学习功能，可实现单入单出的神经滑模控制，并综合了变结构控制、自适应算法以及RBF神经网络的优点，达到了控制效果。自适应算法根据可达条件实时在线调整RBF神经网络连接权值，从而使得系统最终到达滑模面，完成跟踪，还能够自适应滑模控制策略能够及时的修正和估计所有的硬性错误，阻尼等，自适应RBF神经网络Lyapunov结构合成在自适应滑模控制模块中，通过Lyapunov稳定性定理可知所提出的自适应滑模控制器的稳定性是存在的，系统的鲁棒性较好，还对三维微陀螺仪的数字仿真证明本发明所提出的基于RBF神经网络自适应滑模控制器方案的有效性，本发明的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，包括应用在RBF神经网络的滑模控制器上控制系统，具体包括以下步骤：

第一步，建立理想的动力学模型

设动力学模型的输出为q_m，其中 $q_m={\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& z_m\end{array}\right]}^T$ 为三个方向上的陀螺仪的位移，控制目标是保持惯性质量在x,y,z坐标轴方向上以给定的频率摆动，振幅为x_m＝A₁sin(ω₁t),y_m＝A₂sin(ω₂t),z_m＝A₃sin(ω₃t).；

第二步，建立微陀螺仪系统动力学模型

建立微陀螺仪的状态空间模型方程其中， $q={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^T$ 为滑模控制输出的是x、y、z方向上轨迹， $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 分别是x、y、z方向上的阻尼项， $k_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}_y}^2& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}_z}^2\end{array}\right]$ 为参考频率系数， $\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 分别是x、y、z方向上的角速度，u为控制器，即滑模控制器；

第三步，建立RBF神经网络的所需的切换函数

设被控对象为： $\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=f\left(t\right)+\mathrm{bu}+u_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，u_d为外界干扰信号，b为单位矩阵，u为滑模控制器，

设被控对象的位置指令为r(t)，切换函数可表示为：

$s\left(t\right)=\mathrm{\λe}\left(t\right)+\stackrel{.}{e}\left(t\right)---\left(2\right)$

其中e(t)＝r(t)-x₁,λ为正常数；

第四步，建立RBF神经网络的权值调整函数

$d{\mathrm{\ω}}_j=\mathrm{\γs}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\γs}\left(t\right)h_j\left(s\right)---\left(3\right)$

式中γ＝b·η，η为自适应律参数，s(t)为第三步所建立的切换函数，为高斯函数，c_j为高斯函数的中心向量，b_j为高斯函数标准化常数，s为切换函数；

第五步，基于RBF神经网络的滑模方法控制微陀螺仪

利用第一步和第二步建立状态空间的模型计算出跟踪误差e＝q-q_m，并将跟踪误差e通过第三步建立的切换函数作为RBF神经网络的滑模控制器的输入，以及配合第四步建立RBF神经网络的权值调整函数 $d{\mathrm{\ω}}_j=\mathrm{\γs}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\γs}\left(t\right)h_j\left(s\right),$ 实时控制微陀螺仪的轨迹。

所述第二步建立微陀螺仪的状态空间模型

具体包括以下步骤：

1）根据三轴陀螺仪的动态方程

$m\stackrel{..}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y+k_{\mathrm{xz}}z=u_x+2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{.}{y}-2m{\mathrm{\Ω}}_y\stackrel{.}{z}$

$m\stackrel{..}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y+k_{\mathrm{yz}}z=u_y-2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{.}{x}+2m{\mathrm{\Ω}}_x\stackrel{.}{z}$

$m\stackrel{..}{z}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{zz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xz}}x+k_{\mathrm{yz}}y+k_{\mathrm{zz}}z=u_z+2m{\mathrm{\Ω}}_y\stackrel{.}{x}-2m{\mathrm{\Ω}}_x\stackrel{.}{y}$

（4）

其中m是检测质量的量，非对称的阻尼项dxy、dxz、dyz是x、y、z方向上的源项，dxx、dyy、dzz分别是x、y、z方向上的阻尼项，k_xx、k_xy、k_xz、k_yy、k_yz、k_zz为弹簧系数，wx、wy和wz分别是x、y、z方向上的源项，dxx、dyy、dzz分别是x、y、z方向上的阻尼项，k_xx、k_xy、k_xz、k_yy、k_yz、k_zz为弹簧系数，Ωx、Ωy、Ωz分别是x、y、z方向上的角速度，ux、uy、uz分别是x、y、z方向上的控制力，方程两边同除以参考量m，重写动态方程为矢量形式如下：

$\stackrel{..}{q}+\frac{D}{m}\stackrel{.}{q}+\frac{k_a}{m}q=\frac{u}{m}-2\mathrm{\Ω}\stackrel{.}{q}---\left(5\right)$

其中， $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right],\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$ $k_a=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{\mathrm{xx}}& k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{xz}}\\ k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{yy}}& k_{\mathrm{yz}}\\ k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& k_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$ k_a为弹簧系数；

2）方程（5）两边同除以参考频率和参考长度q₀，得微陀螺仪的无量纲运动方程的最终形式：

$\frac{\stackrel{..}{q}}{q_0}+\frac{D}{m{\mathrm{\ω}}_0}\frac{\stackrel{.}{q}}{q_0}+\frac{k_a}{m{\mathrm{\ω}}_0^2}\frac{q}{q_0}=\frac{u}{m{\mathrm{\ω}}_0^2{q}_0}-2\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0}\frac{\stackrel{.}{q}}{q_0}---\left(6\right);$

3）定义如下新参数：

$q^{*}\frac{q}{q_0},D^{*}=\frac{D}{m{\mathrm{\ω}}_0},{\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},{u_x}^{*}=\frac{u_x}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0},{u_y}^{*}=\frac{u_y}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0},{u_z}^{*}=\frac{u_z}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0},$

${\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_z=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{zz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}=\frac{k_{\mathrm{yz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}=\frac{k_{\mathrm{xz}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2}.$

代入方程（6）得到微陀螺仪的状态空间模型方程

所述第四步的建立RBF神经网络的权值调整函数，具体包括以下步骤：

1）基于李雅普诺夫理论，到达滑模面的条件是如果能够选择适当的控制量u(t)，使可达条件成立，那么控制系统将会收敛于设计的滑模面上，采用自适应算法不断调整网络权值来寻找最优权值，最小化的值，RBF神经网络的权值调整的指标为

$E=s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)---\left(7\right)$

其中 $s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)\→0;$

2）由方程（7）得到方程（8），

$d{\mathrm{\ω}}_j=-\mathrm{\η}\frac{\∂E}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=-\mathrm{\η}\frac{\∂s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=-\mathrm{\η}\frac{\∂s\left(t\right)\·\stackrel{\·}{s}\left(t\right)}{\∂u\left(t\right)}\·\frac{\∂u\left(t\right)}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}---\left(8\right)$

其中η为自适应律参数，由于

$\begin{array}{c}\frac{\∂s\left(t\right)\·\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\∂u}=s\left(t\right)\frac{\∂\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\∂u}=s\left(t\right)\frac{\∂[\mathrm{\λ}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{e}\left(t\right)]}{\∂u}=s\left(t\right)\frac{\∂[\mathrm{\λ}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{r}\left(t\right)-{\stackrel{.}{x}}_2]}{\∂u}\\ =s\left(t\right)\frac{\∂[\mathrm{\λ}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{r}\left(t\right)-f\left(x\right)-\mathrm{bu}-u_d]}{\∂u}=-\mathrm{bs}\left(t\right)\end{array}---\left(9\right)$

$\frac{\∂u\left(t\right)}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=\frac{\∂\left[\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_j\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})\right]}{\∂{\mathrm{\ω}}_j\left(t\right)}=\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})$

（10）；

3）根据方程（8）、（9）、（10）得到RBF神经网络的权值调整函数 $d{\mathrm{\ω}}_j=\mathrm{\γs}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\γs}\left(t\right)h_j\left(s\right).$

通过Lyapunov稳定性定理来判断自适应滑模控制器的稳定性是存在的，具体包括以下步骤：

假设变函数f(t)已知，理想的控制律可以写为：

$u_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{b}[{\stackrel{.}{x}}_2\left(t\right)-f\left(t\right)-u_d\left(t\right)+\stackrel{.}{s}\left(t\right)+\mathrm{\λs}\left(t\right)]---\left(11\right)$

将第三步的公式（1）代入方程（11）得，

$\stackrel{.}{s}\left(t\right)+\mathrm{\λs}\left(t\right)=0---\left(12\right)$

由于λ＞0，故必有因此滑模面s将收敛于0。

利用RBF神经网络用来近似滑模面s和输出控制量u(t)的非线性映射，而取代传统的基于精确模型的计算，因此输出控制量u(t)与理想的控制量u_eq之间可能会存在误差。

由第三步的公式（1）和方程（11）还可以得到：

$\stackrel{.}{s}\left(t\right)=-\mathrm{\λs}\left(t\right)+b[u_{\mathrm{eq}}-u\left(t\right)]---\left(13\right)$

理论上，RBF网络可以以任何精度逼近非线性函数，因此可以做如下假设，假设存在神经网络最优权值使控制律u和最优控制u_eq的误差小于ε，

$\max |\stackrel{\&OverBar;}{u}(x,\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}})-u_{\mathrm{eq}}\left(x\right)|<\mathrm{\&epsiv;}---\left(14\right)$

其中， $\stackrel{\&OverBar;}{u}(x,\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}})=\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}_k{h}_k={\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^{T}h---\left(15\right)$

$u_{\mathrm{eq}}\left(x\right)={\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^{T}h+\mathrm{\&epsiv;}---\left(16\right)$

定义网络权值误差为

$\widetilde{\mathrm{\&omega;}}=\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}-\widehat{\mathrm{\&omega;}}---\left(17\right)$

其中为最优权值和为当前估计的权值，将方程式重新写为：

$\stackrel{.}{s}\left(t\right)=-\mathrm{\&lambda;s}\left(t\right)+b({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^{T}h+\mathrm{\&epsiv;})---\left(18\right)$

定义李雅普诺夫为：

$V=\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{b}{2\mathrm{\&gamma;}}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\widetilde{\mathrm{\&omega;}}---\left(19\right)$

对其求导得：

$\stackrel{.}{V}=s^T\stackrel{.}{s}+\frac{b}{\mathrm{\&gamma;}}{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\stackrel{.}{\stackrel{~}{\mathrm{\&omega;}}}---\left(20\right)$

将RBF神经网络的权值调整函数 $d{\mathrm{\&omega;}}_j=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)h_j\left(s\right)$ 和方程式（18）代入方程式（20）得：

$\stackrel{.}{V}=s^T[-\mathrm{\&lambda;s}+b({\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^{T}h+\mathrm{\&epsiv;})]-b{\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}^T\mathrm{sh}=-\mathrm{\&lambda;}{s}^{T}s+\mathrm{sb\&epsiv;}$

$\stackrel{.}{V}\&le;\left|\right|s\left|\right|(-\mathrm{\&lambda;}|\left|s\right||+\mathrm{b\&epsiv;})$

如果选择||s||＞bε/λ，则这意味着李雅普诺夫函数将逐渐减少，滑模面s将会收敛于s＝0的界限层ε/λ内。从上述分析可知，提出的RBF神经滑模控制器是稳定的，由滑模定义面的定义可知，输出误差会收敛于一小的界限内。随着RBF神经网络非线性映射精度的增加，输出误差的稳态值将减少，得到系统是稳定的。

如图2所示，为x,y,z三个方向微陀螺仪位置跟踪图，是通过对系统数字仿真所得到的，图中的实线为参考模型所要求在三个坐标轴方向上摆动的曲线图，虚线为通过本发明的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法的实际微陀螺仪在三个坐标轴方向上摆动的曲线图，我们可以发现经过很短的时间两条曲线能够重合，这说明自适应滑模控制效果很好，能够达到预期的效果，微陀螺仪能够按照给定的频率摆动。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征及优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (3)

1.基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，其特征在于：利用RBF神经网络滑模对微陀螺仪的进行控制，包括以下步骤，

步骤（1），建立理想的动力学模型

设动力学模型的输出为q_m，其中 $q_m={\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& z_m\end{array}\right]}^T$ 为三个方向上的陀螺仪的位移，控制目标是保持惯性质量在x,y,z坐标轴方向上以给定的频率摆动，振幅为x_m＝A₁sin(ω₁t),y_m＝A₂sin(ω₂t),z_m＝A₃sin(ω₃t).；

步骤（2），建立微陀螺仪系统动力学模型

建立微陀螺仪的状态空间模型方程其中， $q={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^T$ 为滑模控制输出的是x、y、z方向上轨迹， $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 分别是x、y、z方向上的阻尼项， $k_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\&omega;}}_x}^2& {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\&omega;}}_y}^2& {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\&omega;}}_z}^2\end{array}\right]$ 为参考频率系数， $\mathrm{\&Omega;}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\&Omega;}}_z& {\mathrm{\&Omega;}}_y\\ {\mathrm{\&Omega;}}_z& 0& -{\mathrm{\&Omega;}}_x\\ -{\mathrm{\&Omega;}}_y& {\mathrm{\&Omega;}}_x& 0\end{array}\right]$ 分别是x、y、z方向上的角速度，u为控制器；

步骤（3），建立RBF神经网络的所需的切换函数

设被控对象为： $\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{.}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{.}{x}}_2=f\left(t\right)+\mathrm{bu}+u_d\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，u_d为外界干扰信号，b为单位矩阵，u为控制器，

设被控对象的位置指令为r(t)，切换函数表示为：

$s\left(t\right)=\mathrm{\&lambda;e}\left(t\right)+\stackrel{.}{e}\left(t\right)---\left(2\right)$

其中e(t)＝r(t)-x₁,λ为正常数；

步骤（4），建立RBF神经网络的权值调整函数

权值调整函数为 $d{\mathrm{\&omega;}}_j=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)h_j\left(s\right)---\left(3\right)$

式中γ＝b·η，η为自适应律参数，s(t)为步骤（3）所建立的切换函数，为高斯函数，c_j为高斯函数的中心向量，b_j为高斯函数标准化常数，s为切换函数；

步骤（5）基于RBF神经网络的滑模方法控制微陀螺仪

利用步骤（1）和步骤（2）建立状态空间的模型计算出跟踪误差e＝q-q_m，并将跟踪误差e通过步骤（3）建立的切换函数作为RBF神经网络的滑模控制器的输入，以及配合步骤（4）建立RBF神经网络的权值调整函数 $d{\mathrm{\&omega;}}_j=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)h_j\left(s\right),$ 实时控制微陀螺仪的轨迹。

2.根据权利要求1所述的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，其特征在于：所述步骤（2）的建立微陀螺仪的状态空间模型 $\stackrel{..}{q}+D\stackrel{.}{q}+k_{b}q=u-2\mathrm{\&Omega;}\stackrel{.}{q}$

具体包括以下步骤，

1）根据三轴陀螺仪的动态方程

$m\stackrel{..}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y+k_{\mathrm{xz}}z=u_x+2m{\mathrm{\&Omega;}}_z\stackrel{.}{y}-2m{\mathrm{\&Omega;}}_y\stackrel{.}{z}$

$m\stackrel{..}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y+k_{\mathrm{yz}}z=u_y-2m{\mathrm{\&Omega;}}_z\stackrel{.}{x}+2m{\mathrm{\&Omega;}}_x\stackrel{.}{z}$

$m\stackrel{..}{z}+d_{\mathrm{xz}}\stackrel{.}{x}+d_{\mathrm{yz}}\stackrel{.}{y}+d_{\mathrm{zz}}\stackrel{.}{z}+k_{\mathrm{xz}}x+k_{\mathrm{yz}}y+k_{\mathrm{zz}}z=u_z+2m{\mathrm{\&Omega;}}_y\stackrel{.}{x}-2m{\mathrm{\&Omega;}}_x\stackrel{.}{y}$

（4）

其中m是检测质量的量，非对称的阻尼项dxy、dxz、dyz是x、y、z方向上的源项，dxx、dyy、dzz分别是x、y、z方向上的阻尼项，k_xx、k_xy、k_xz、k_yz、k_yy、k_zz为弹簧系数，Ωx、Ωy、Ωz分别是x、y、z方向上的角速度，ux、uy、uz分别是x、y、z方向上的控制力，方程两边同除以参考量m，重写动态方程为矢量形式如下：

$\stackrel{..}{q}+\frac{D}{m}\stackrel{.}{q}+\frac{k_a}{m}q=\frac{u}{m}-2\mathrm{\&Omega;}\stackrel{.}{q}---\left(5\right)$

其中，

$q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right],\mathrm{\&Omega;}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\&Omega;}}_z& {\mathrm{\&Omega;}}_y\\ {\mathrm{\&Omega;}}_z& 0& -{\mathrm{\&Omega;}}_x\\ -{\mathrm{\&Omega;}}_y& {\mathrm{\&Omega;}}_x& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$

$k_a=\left[\begin{array}{ccc}{k}_{\mathrm{xx}}& k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{xz}}\\ k_{\mathrm{xy}}& k_{\mathrm{yy}}& k_{\mathrm{yz}}\\ k_{\mathrm{xz}}& k_{\mathrm{yz}}& k_{\mathrm{zz}}\end{array}\right],$ k_a为弹簧系数；

2）方程（6）两边同除以参考频率和参考长度q₀，无量纲运动方程的最终形式：

$\frac{\stackrel{..}{q}}{q_0}+\frac{D}{m{\mathrm{\&omega;}}_0}\frac{\stackrel{.}{q}}{q_0}+\frac{k_a}{m{\mathrm{\&omega;}}_0^2}\frac{q}{q_0}=\frac{u}{m{\mathrm{\&omega;}}_0^2{q}_0}-2\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\frac{\stackrel{.}{q}}{q_0}---\left(6\right);$

3）定义如下新参数：

$q^{*}\frac{q}{q_0},D^{*}=\frac{D}{m{\mathrm{\&omega;}}_0},{\mathrm{\&Omega;}}^{*}=\frac{\mathrm{\&Omega;}}{{\mathrm{\&omega;}}_0},{u_x}^{*}=\frac{u_x}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2{q}_0},{u_y}^{*}=\frac{u_y}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2{q}_0},{u_z}^{*}=\frac{u_z}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2{q}_0},$

${\mathrm{\&omega;}}_x=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}},{\mathrm{\&omega;}}_y=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}},{\mathrm{\&omega;}}_z=\sqrt{\frac{k_{\mathrm{zz}}}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}},{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2},{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{yz}}=\frac{k_{\mathrm{yz}}}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2},{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{xz}}=\frac{k_{\mathrm{xz}}}{m{{\mathrm{\&omega;}}_0}^2}.$

代入方程（6）得到微陀螺仪的状态空间模型方程 $\stackrel{..}{q}+D\stackrel{.}{q}+k_{b}q=u-2\mathrm{\&Omega;}\stackrel{.}{q}.$

3.根据权利要求1所述的基于RBF神经网络滑模控制微陀螺仪的方法，其特征在于：所述步骤（4）的建立RBF神经网络的权值调整函数的具体包括以下步骤，

1）基于李雅普诺夫理论，到达滑模面的条件是如果能够选择适当的控制量u(t)，使可达条件成立，那么控制系统将会收敛于设计的滑模面上，采用自适应算法不断调整网络权值来寻找最优权值，最小化的值，RBF神经网络的权值调整的指标为

$E=s\left(t\right)\&CenterDot;\stackrel{.}{s}\left(t\right)---\left(7\right)$

其中 $s\left(t\right)\&CenterDot;\stackrel{.}{s}\left(t\right)\&RightArrow;0;$

2）由方程（7）得到方程（8）

$d{\mathrm{\&omega;}}_j=-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;E}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_j\left(t\right)}=-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;s\left(t\right)\&CenterDot;\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_j\left(t\right)}=-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;s\left(t\right)\&CenterDot;\stackrel{\&CenterDot;}{s}\left(t\right)}{\&PartialD;u\left(t\right)}\&CenterDot;\frac{\&PartialD;u\left(t\right)}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_j\left(t\right)}---\left(8\right)$

其中η为自适应律参数，由于

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;s\left(t\right)\&CenterDot;\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\&PartialD;u}=s\left(t\right)\frac{\&PartialD;\stackrel{.}{s}\left(t\right)}{\&PartialD;u}=s\left(t\right)\frac{\&PartialD;[\mathrm{\&lambda;}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{e}\left(t\right)]}{\&PartialD;u}=s\left(t\right)\frac{\&PartialD;[\mathrm{\&lambda;}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{r}\left(t\right)-{\stackrel{.}{x}}_2]}{\&PartialD;u}\\ =s\left(t\right)\frac{\&PartialD;[\mathrm{\&lambda;}\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\stackrel{..}{r}\left(t\right)-f\left(x\right)-\mathrm{bu}-u_d]}{\&PartialD;u}=-\mathrm{bs}\left(t\right)\end{array}---\left(9\right)$

$\frac{\&PartialD;u\left(t\right)}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_j\left(t\right)}=\frac{\&PartialD;\left[\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&omega;}}_j\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})\right]}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_j\left(t\right)}=\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})$

（10）；

3）根据方程（8）、（9）、（10）得到RBF神经网络的权值调整函数 $d{\mathrm{\&omega;}}_j=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)\exp (-\frac{{\left|\right|s-c_j\left|\right|}^2}{b_j})=\mathrm{\&gamma;s}\left(t\right)h_j\left(s\right).$