CN105487382B - 基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤一、建立微陀螺仪的数学模型：步骤二、利用模糊控制方法逼近微陀螺仪的动态特性和外界干扰之和；步骤三、基于动态面设计自适应模糊滑模控制器；步骤四、基于自适应模糊滑模控制器控制微陀螺仪。系统能以很快的速度达到稳态，微陀螺仪的动态特性是一种理想模式，补偿了制造误差和环境干扰。基于动态面方法设计的算法减少了引入的参数、简化了计算程度、降低了抖振。自适应模糊滑模控制能够补偿系统设计参数的误差与外界的干扰，提高系统的有效性。

Description

基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法。

背景技术

微陀螺仪是测量惯性导航和惯性制导系统角速度的传感器，广泛应用于航空、航天、航海和陆地车辆的导航与定位及油田勘探开发等军事、民用领域中。与传统陀螺仪相比，微陀螺仪在体积和成本上有着巨大的优势，因此有着更加广阔的应用市场。但是，由于生产制造过程中误差的存在和外界环境温度的影响，造成原件特性与设计之间的差异，导致存在耦合的刚度系数和阻尼系数，降低了微陀螺仪的灵敏度和精度。另外，陀螺仪自身属于多输入多输出系统，存在参数的不确定性且在外界干扰下系统参数容易波动，因此，降低系统抖振成为微陀螺仪控制的主要问题之一。

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法，具有抖振低、可靠性高、对参数变化鲁棒性高的优点。

为实现上述技术目的，达到上述技术效果，本发明通过以下技术方案实现：

基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、建立微陀螺仪的数学模型：

步骤二、利用模糊控制方法逼近微陀螺仪的动态特性和外界干扰之和；

步骤三、基于动态面设计自适应模糊滑模控制器；

步骤四、基于自适应模糊滑模控制器控制微陀螺仪。

优选，步骤一中建立的微陀螺仪的数学模型为：

其中，x、y分别代表微陀螺仪在X、Y轴方向上的位移，d_xx、d_yy分别为X、Y轴方向弹簧的弹性系数，k_xx、k_yy分别为X、Y轴方向的阻尼系数，d_xy、k_xy是由于加工误差等引起的耦合参数，m为陀螺仪质量块的质量，Ω_z为质量块自转的角速度，u_x、u_y分别是X、Y轴的输入控制力，形如的参数表示Γ的一阶导数，形如的参数表示Γ的二阶导数。

对模型进行无量纲化处理得到无量纲化模型：

等式两边同时除以m，并且使得 则无量纲化模型为：

将模型改写成向量形式：

其中，u为动态面控制律，

考虑系统参数不确定和外界干扰，模型可以写成：

其中ΔD,ΔK是参数扰动，d是外界干扰；

将其写成状态方程形式为：

其中，q₁＝q，

为了便于计算将定义q＝x₁，x₁、x₂为输入变量；

则状态方程变为如下式子：

其中f为陀螺仪的动态特性与外界干扰之和，且：

f＝-(D+ΔD+2Ω)x₂-(K+ΔK)x₁+d。

优选，步骤二中引入模糊原理，用来逼近f，采用单值模糊化,乘机推理机中心平均反模糊化，步骤二具体包括如下步骤：

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则Rⁱ的表达形式为：

其中，x_j(j＝1,2,.......,n)为输入变量，为x_j(j＝1,2,.......,n)的隶属度函数，即为

则模糊系统的输出为：

其中ξ_A为模糊基向量，ξ_A＝[ξ₁(x) ξ₂(x) ... ξ_N(x)]^T，i＝1,2,3……N，为自适应向量，为的转置；

针对f的模糊逼近，采用分别逼近f_x和f_y的形式，f_x，f_y分别为陀螺仪x、y轴的动态特性和外界干扰的和，相应的模糊系统设计为：

定义模糊函数为如下形式：

其中， 分别为与的转置；

定义最优逼近常量θ^*：

式中，Ω_f是的集合，arg为复数的辐角运算函数，sup为上确界运算函数；

定义：为模糊输出误差，那么

则：

f＝θ^*Tξ(x)+ε

ε是模糊系统的逼近误差，对于给定的任意常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：|f-θ^*Tξ(x)|≤ε，并且使得其中η为大于零的常数。

优选，步骤三具体包括如下步骤：

定义位置误差

z₁＝x₁-x_1d

其中x_1d为指令信号，则

定义Lyapunov函数为其中为z₁的转置，则

为保证引入为x₂的虚拟控制量，定义

c₁为大于0的常数；

为了克服微分爆炸的现象，引入了低通滤波器：

取α₁为低通滤波器关于输入为时的输出，

并满足：

其中τ为滤波器的时间常数，为大于0的常数，α₁为低通滤波器的输出，α₁(0)、分别为α₁与的初始值：

所产生的滤波误差为

虚拟控制误差：z₂＝x₂-α₁，则

为了补偿由于模糊逻辑控制器引入所带来的误差，引入滑模项对此误差进行补偿，其中滑模面定义为：s＝z₂；

定义第二个Lyapunov函数其中为z₂的转置，

为了保证控制器的动态面控制律设计为：η与c₂为大于零的常数；

此时我们用模糊函数输出去逼近陀螺仪的动态特性f，则更新的控制律为：

基于上述设计，本发明的原理是：将基于动态面的自适应模糊滑模控制方法应用到微陀螺仪当中，设计一个带噪声的近似理想的微陀螺仪动态模型，作为系统参考轨迹，整个基于动态面的自适应模糊滑模控制保证实际微陀螺仪轨迹追踪上参考轨迹，达到一种理想的动态特性，补偿了制造误差和环境干扰，降低系统的抖振。根据微陀螺仪本身参数以及输入角速率，设计一个参数可调的动态面控制器和自适应模糊控制器，以系统的追踪误差信号作为控制器的输入信号,任意设定控制器参数的初值,保证追踪误差收敛于零，同时所有参数估计值收敛于真值。

本发明的有益效果是：

系统能以很快的速度达到稳态，微陀螺仪的动态特性是一种理想模式，补偿了制造误差和环境干扰。基于动态面方法设计的算法减少了引入的参数、简化了计算程度、降低了抖振。自适应模糊滑模控制能够补偿系统设计参数的误差与外界的干扰，提高系统的有效性。

附图说明

图1是本发明微陀螺仪的简化模型示意图；

图2是本发明原理图；

图3是本发明具体实施例中误差的时域响应曲线图；

图4是本发明的具体实施例中x轴控制力的时域响应曲线图；

图5是本发明的具体实施例中y轴控制力的时域响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体的实施例对本发明技术方案作进一步的详细描述，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法，包括如下步骤：

步骤一、建立微陀螺仪的数学模型：

步骤二、利用模糊控制方法逼近微陀螺仪的动态特性和外界干扰之和；

步骤三、基于动态面设计自适应模糊滑模控制器；

步骤四、基于自适应模糊滑模控制器控制微陀螺仪。

如图1所示，一般微陀螺仪由以下几部分组成：一个质量块，沿着X，Y轴方向的支撑弹簧，静电驱动装置和感应装置，其中静电驱动装置驱动质量块沿驱动轴方向振动，感应装置可以检测出检测轴方向上质块的位移和速度。

则，步骤一中建立的微陀螺仪的数学模型为：

其中，x、y分别代表微陀螺仪在X、Y轴方向上的位移，d_xx、d_yy分别为X、Y轴方向弹簧的弹性系数，k_xx、k_yy分别为X、Y轴方向的阻尼系数，d_xy、k_xy是由于加工误差等引起的耦合参数，m为陀螺仪质量块的质量，Ω_z为质量块自转的角速度，u_x、u_y分别是X、Y轴的输入控制力，形如的参数表示Γ的一阶导数，形如的参数表示Γ的二阶导数。

由于等式中除了数值量还有单位量，增加了控制器的设计的复杂度。陀螺仪模型中质量块的振动频率达到KHz数量级，而同时质量块自转的角速度却只有几度一小时数量级，数量级差别很大这会给仿真带来不便。为了解决不同单位量和数量级差别大的问题，可以对等式进行无量纲处理。

等式两边同时除以m，并且使得 则无量纲化模型为：

将模型改写成向量形式：

其中，u为动态面控制律，

考虑系统参数不确定和外界干扰，模型可以写成：

其中ΔD,ΔK是参数扰动，d是外界干扰；

将其写成状态方程形式为：

其中，q₁＝q，

为了便于计算将定义q＝x₁，x₁、x₂为输入变量；

则状态方程变为如下式子：

其中f为陀螺仪的动态特性与外界干扰之和，且：

f＝-(D+ΔD+2Ω)x₂-(K+ΔK)x₁+d。

优选，步骤二中引入模糊原理，用来逼近f，假设为用于逼近非线性函数f的模糊系统的输出，采用单值模糊化,乘机推理机中心平均反模糊化，具体包括如下步骤：

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则Rⁱ的表达形式为：

其中，x_j(j＝1,2,.......,n)为输入变量，为x_j(j＝1,2,.......,n)的隶属度函数，即为

则模糊系统的输出为：

其中ξ_A为模糊基向量，ξ_A＝[ξ₁(x) ξ₂(x) ... ξ_N(x)]^T，i＝1,2,3……N，为自适应向量，为的转置；

在陀螺仪系统中，针对f的模糊逼近，采用分别逼近f_x和f_y的形式，f_x，f_y分别为陀螺仪x、y轴的动态特性和外界干扰之和，相应的模糊系统设计为：

定义模糊函数为如下形式：

其中， 分别为与的转置；

定义最优逼近常量θ^*：

式中，Ω_f是的集合，arg为复数的辐角运算函数，sup为上确界运算函数，是的转置；

定义：为模糊输出误差，那么

则：

f＝θ^*Tξ(x)+ε

ε是模糊系统的逼近误差，对于给定的任意常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：|f-θ^*Tξ(x)|≤ε，并且使得其中η为大于零的常数。

优选，步骤三具体包括如下步骤：

定义位置误差

z₁＝x₁-x_1d (12)

其中x_1d为指令信号，则

定义Lyapunov函数为其中为z₁的转置，则

为保证引入为x₂的虚拟控制量，定义

c₁为大于0的常数；

为了克服微分爆炸的现象，引入了低通滤波器：

取α₁为低通滤波器关于输入为时的输出，

并满足：

其中τ为滤波器的时间常数，为大于0的常数，α₁为低通滤波器的输出，α₁(0)、分别为α₁与的初始值：

由(16)可得：

所产生的滤波误差为

虚拟控制误差：

z₂＝x₂-α₁ (19)

则：

为了补偿由于模糊逻辑控制器引入所带来的误差，引入滑模项对此误差进行补偿，其中滑模面定义为：

s＝z₂ (21)

定义第二个Lyapunov函数为：

其中为z₂的转置。

为了保证控制器的动态面控制律设计为：

η与c₂为大于零的常数；

此时我们用模糊函数输出去逼近陀螺仪的动态特性f，则更新的控制律为：

具体原理如图2所示。

系统的稳定性证明如下：

考虑到位置跟踪误差、虚拟控制误差和虑波误差以及模糊系统的参数误差，定义Lyapunov函数为：

式中，z₁为跟踪误差及其相关函数，z₂是虚拟控制量误差，y₂是滤波误差，是模糊系统参数误差，γ为大于0的常数。

定义则

定理：取V_a的初值V_a(0)≤p，p＞0，V的初值V(0)≤l，l＞0，则闭环系统所有信号收敛，有界。

当V_a＝p,我们可以得到

Lyapunov函数的导数为：

其中，

将等式(28)、(29)和等式(30)带入到等式(27)中，则等式(27)变为：

其中，

将等式(24)带入到等式(31)中可得：

其中具体为：

上式说明B₂为z₁,z₂,y₂和的函数，则B₂有界，记为M₂，则

选择c₁≥1+r,r＞0,

上面式子(32)可以写为：

当上式(34)可以重写为:

当时，自适应律为：

由此可得：

因为这可以保证z₁,z₂,y₂与都是有界的从上式我们可得：

变为：

因为V(0)与V(t)递减并且有界的，可得也为有界的。V_a(t)是一致连续的，根据Barbalat定理，可得则可知z₁,z₂,y₂和随着t→∞都趋近于0。

下面进行Matlab仿真实验。

结合微陀螺传感器的动态模型和基于反演设计自适应动态滑模控制器的设计方法，通过Matlab/Simulink软件设计出主程序，如图2所示，将自适应动态滑模控制器、被控对象微机械陀螺仪和参数的量纲化求取利用S函数的特性写成子程序分别放在几个S-Function中。

从现有文献中，选择一组微陀螺仪的参数如下：

选择一组微陀螺仪的参数如下：

m＝1.8×10^-7kg,k_xx＝63.955N/m,k_yy＝95.92N/m,k_xy＝12.779N/m

d_xx＝1.8×10^-6Ns/m,d_yy＝1.8×10^-6Ns/m,d_xy＝3.6×10^-7Ns/m

假设输入角速度为Ω_z＝100rad/s，参考频率为ω₀＝1000Hz。得到陀螺仪的非量纲化参数为：

ω_x ²＝355.3,ω_y ²＝532.9,ω_xy＝70.99,d_xx＝0.01,d_yy＝0.01,d_xy＝0.02,Ω_Z＝0.01。

参考模型选取为：r₁＝sin(4.17t)，r₂＝1.2sin(5.11t)。

初始条件设置为：x₁₁(0)＝0.01,x₁₂(0)＝0,x₁₂(0)＝0.01,x₂₂(0)＝0.

按照控制律选取参数为：

c₁₁＝1600,c₁₂＝1600；c₂₁＝30,c₂₂＝600；b₁＝1,b₂＝1；r₁＝1,r₂＝1；

γ₁＝10,γ₂＝10；tol₁＝0.01,tol₂＝0.01.

取干扰项：[sin(5t)；sin(2t)]。

模糊中的隶属函数为：

μ_NM(x_i)＝exp[-((x_i+1)/0.25)²]；μ_NS(x_i)＝exp[-((x_i+0.5)/0.25)²]；

μ_Z(x_i)＝exp[-(x_i/0.25)²]；μ_PS(x_i)＝exp[-((x_i-0.5)/0.25)²]；

μ_PM(x_i)＝exp[-((x_i-1)/0.25)²].

实验的结果如图3、图4、图5所示：

实际输出与期望间的误差变化如图3所示，结果表明在很短时间内实际输出可以完美追踪上期望输出，误差接近于零，且较为稳定。

控制力输入值曲线如图4、图5所示，结果表明动态面滑模控制器成功降低了参数的引入，使系统抖振得到明显的降低。

本发明应用于微陀螺仪的基于动态面的自适应模糊滑模控制，采用基于动态面设计的自适应模糊模控制方法对微陀螺仪进行控制，有效的降低了抖振，提高了跟踪速度。在对系统参数未知的情况下，可以有效估计出系统的各项参数，并且保证系统的稳定性。在传统的自适应后推技术中引入动态面技术，既保持了原后推技术的优势，也减少了参数的数量，避免了参数膨胀问题，明显缩减了计算的复杂度。同时在控制器中引入了模糊自适应方法对陀螺仪的动态性能进行了很好的逼近。

另外利用滑模项对模糊误差进行了抵消，并在李雅普诺夫稳定性理论的基础上证明了整个系统的稳定性。运用该系统能够有效降低系统的抖振，补偿制造误差和环境干扰，提高系统的灵敏度及鲁棒性。

以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或者等效流程变换，或者直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。

Claims (1)

1.基于动态面的微陀螺自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、建立微陀螺仪的数学模型：

步骤二、利用模糊控制方法逼近微陀螺仪的动态特性和外界干扰之和；

步骤三、基于动态面设计自适应模糊滑模控制器；

步骤四、基于自适应模糊滑模控制器控制微陀螺仪；

其中，步骤一中建立的微陀螺仪的数学模型为：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>m&amp;Omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>m&amp;Omega;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，x、y分别代表微陀螺仪在X、Y轴方向上的位移，d_xx、d_yy分别为X、Y轴方向的阻尼系数，k_xx、k_yy分别为X、Y轴方向弹簧的弹性系数，d_xy、k_xy是由于加工误差引起的耦合参数，m为陀螺仪质量块的质量，Ω_z为质量块自转的角速度，u_x、u_y分别是X、Y轴的输入控制力，形如的参数表示Γ的一阶导数，形如的参数表示Γ的二阶导数；

对模型进行无量纲化处理得到无量纲化模型：

等式两边同时除以m，并且使得 则无量纲化模型为：

将模型改写成向量形式：

<mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;Omega;</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow>

其中，u为动态面控制律，

考虑系统参数不确定和外界干扰，模型可以写成：

<mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>D</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>K</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;Omega;</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow>

其中ΔD,ΔK是参数扰动，d是外界干扰；

将其写成状态方程形式为：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>D</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>D</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>K</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，q₁＝q，

为了便于计算将定义q＝x₁，x₁、x₂为输入变量；

则状态方程变为如下式子：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中f为陀螺仪的动态特性与外界干扰之和，且：

f＝-(D+ΔD+2Ω)x₂-(K+ΔK)x₁+d；

其中，步骤二中引入模糊原理，用来逼近f，采用单值模糊化,乘机推理机中心平均反模糊化；

其中，步骤二具体包括如下步骤：

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则Rⁱ的表达形式为：

Rⁱ:If x₁ isand….x_n isthenis Bⁱ，i＝1,2,.......,N；

其中，x_j为输入变量，j＝1,2,.......,n；为x_j的隶属度函数，即为则模糊系统的输出为：

其中ξ_A为模糊基向量，ξ_A＝[ξ₁(x) ξ₂(x) ... ξ_N(x)]^T，i＝1,2,3······N，为自适应向量，为的转置；

针对f的模糊逼近，采用分别逼近f_x和f_y的形式，f_x，f_y分别为陀螺仪x、y轴的动态特性和外界干扰的和，相应的模糊系统设计为：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

定义模糊函数为如下形式：

<mrow> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>f</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，分别为与的转置；

定义最优逼近常量θ^*：

<mrow> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mi>min</mi> <mrow> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> </munder> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>s</mi> <mi>u</mi> <mi>p</mi> <mo>|</mo> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>

式中，Ω_f是的集合，arg为复数的辐角运算函数，sup为上确界运算函数；

定义：为模糊输出误差，那么

则：

f＝θ^*Tξ(x)+ε

<mrow> <mi>f</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> </mrow>

ε是模糊系统的逼近误差，对于给定的任意常量ε,ε＞0，如下不等式成立：|f-θ^*Tξ(x)|≤ε，并且使得其中η为大于零的常数；

其中，步骤三具体包括如下步骤：

定义位置误差

z₁＝x₁-x_1d

其中x_1d为指令信号，则

<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow>

定义Lyapunov函数为其中为z₁的转置，则

<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

为保证引入为x₂的虚拟控制量，定义

<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mn>1</mn> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow>

c₁为大于0的常数；

为了克服微分爆炸的现象，引入了低通滤波器：

取α₁为低通滤波器关于输入为时的输出，

并满足：

其中τ为滤波器的时间常数，为大于0的常数，α₁为低通滤波器的输出，α₁(0)、分别为α₁与的初始值：

<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mi>&amp;tau;</mi> </mfrac> </mrow>

所产生的滤波误差为

<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow>

虚拟控制误差：z₂＝x₂-α₁，则

为了补偿由于模糊逻辑控制器引入所带来的误差，引入滑模项对此误差进行补偿，其中滑模面定义为：s＝z₂；

定义第二个Lyapunov函数其中为z₂的转置，

为了保证控制器的动态面控制律设计为：η与c₂为大于零的常数；

此时用模糊函数输出去逼近陀螺仪的动态特性f，则更新的控制律为：

<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mover> <mi>f</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>