CN104155874B - 微陀螺仪的反演自适应模糊动态滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微陀螺仪的反演自适应模糊动态滑模控制方法，在动态滑模控制基础上，通过反演法，逐步得到动态控制律和模糊自适应律。在动态滑模控制律设计中，将不连续项转移到控制的一阶或高阶导数中去，得到在时间上本质连续的动态滑模控制律，有效降低系统抖振。在模糊自适应律设计中，通过对微陀螺传感器的干扰项估计，逼近微陀螺仪系统实际模型。应用本发明能够有效降低系统的抖振，补偿制造误差和环境干扰，提高系统的灵敏度及鲁棒性。

Description

微陀螺仪的反演自适应模糊动态滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种微陀螺仪的反演自适应模糊动态滑模控制方法，属于微陀螺仪的控制技术领域。

背景技术

微陀螺仪是测量惯性导航和惯性制导系统角速度的传感器，广泛应用于航空、航天、航海和陆地车辆的导航与定位及油田勘探开发等军事、民用领域中。与传统陀螺仪相比，微陀螺仪在体积和成本上有着巨大的优势，因此有着更加广阔的应用市场。但是，由于生产制造过程中的误差存在和外界环境温度的影响，造成原件特性与设计之间的差异，导致存在耦合的刚度系数和阻尼系数，降低了微陀螺仪的灵敏度和精度。令外，陀螺仪自身属于多输入多输出系统，存在参数的不确定性和外界干扰对系统参数的造成的波动，因此，降低系统抖振成为微陀螺仪控制的主要问题之一。而传统的滑模控制方法中切换函数的选取一般只依赖于系统状态，而与系统的输入无关。这样，控制律中的不连续项会直接转移到控制器中，使系统在不同的控制逻辑单元之间来回切换，从而引起系统抖振。

在反演自适应模糊动态滑模控制法中，反演设计方法是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统分别设计李亚普诺夫函数和中间虚拟控制量，一直“后退”到整个子系统，直到完成整个控制律的设计。在整个反演设计过程中，将完成针对微陀螺传感器系统的模糊自适应律和动态滑模控制律。在该设计中,模糊控制和自适应控制结合是用于针对系统的不确定部分，通过对被控对象系统干扰项的不断估计，完成对被控对象的控制。动态滑模控制主要是通过设计新的切换函数或将常规滑模变结构控制中的切换函数通过微分环节构成新的切换函数,将不连续项转移到控制的一阶或高阶导数中去,得到在时间上本质连续的动态滑模控制律,有效降低系统抖振。但是，迄今为止，反演自适应模糊动态滑模控制在微陀螺仪的控制中尚未得到应用。

发明内容

本发明为避免传统微陀螺仪控制系统的不足之处，提供反演自适应模糊动态滑模控制方法，将反演自适应模糊动态滑模控制方法应用到微陀螺仪控制上，以补偿制造误差和环境干扰，降低系统的抖振，确保整个控制系统的全局渐进稳定性，提高了系统的可靠性和对参数变化的鲁棒性。

本发明采用的技术方案是：

微陀螺仪的反演自适应模糊动态滑模控制方法，包括以下步骤：

1)建立微陀螺仪的非量纲动力学方程；

2)根据Lyapunov理论设计得到动态滑模控制律，并将其作用于微陀螺仪系统的控制输入的导数；

3)根据Lyapunov理论设计模糊自适应律，实时在线调节微陀螺仪系统，确保全局渐进稳定性。

前述的步骤1)建立微陀螺仪的非量纲动力学方程包括以下步骤：

1-1)对z轴微陀螺仪而言，微陀螺仪的质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动，假定输入角速度在足够长的时间内保持不变，得到如下的动力学方程：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+[k_{\mathrm{xx}}-m({\mathrm{\Ω}}_y^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)]x+m{\mathrm{\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}y=u_x+2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+[k_{\mathrm{yy}}-m({\mathrm{\Ω}}_x^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)]y+m{\mathrm{\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}x=u_y-2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

其中，m为微陀螺仪的质量，x,y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标，d_xx,d_yy分别表示两轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别表示两轴的弹簧系数，Ω_x，Ω_y，Ω_z是角速度沿x,y,z三个轴方向的分量，u_x，u_y是x,y两轴的控制输入；

1-2)由制造过程中产生的误差造成的微陀螺仪结构不对称引起两轴附加耦合，再考虑制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪集中参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{y}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y=u_x+2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y}=u_y-2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(2\right)$

其中，k_xy,d_xy分别为耦合的弹簧系数和阻尼系数；

1-3)将式(2)的两侧同除以微陀螺仪的质量m、参考长度q₀、两轴的共振频率的平方得到如下非量纲化方程：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}+D_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+D_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{y}+w_x^{2}x+w_{\mathrm{xy}}y=u_x+2{\mathrm{\Ω}}_z^0\stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{y}+D_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{x}+D_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+w_{\mathrm{xy}}x+w_y^{2}y=u_y-2{\mathrm{\Ω}}_z^0\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(3\right)$

其中： $\frac{d_{\mathrm{xx}}}{m{w}_0^2}\→D_{\mathrm{xx}},\frac{d_{\mathrm{xy}}}{m{w}_0^2}\→D_{\mathrm{xy}},\frac{d_{\mathrm{yy}}}{m{w}_0^2}\→D_{\mathrm{yy}},\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{w}_0^2}\→w_x^2,\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{w}_0^2}\→w_{\mathrm{xy}},\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{w}_0^2}\→w_y^2,\frac{{\mathrm{\Ω}}_z}{w_0^2}\→{\mathrm{\Ω}}_z^0;$

1-4)将式(3)写成向量形式为：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+\mathrm{Kq}=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(4\right)$

其中， $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{xx}}& D_{\mathrm{xy}}\\ D_{\mathrm{xy}}& D_{\mathrm{yy}}\end{array}\right],K=\left[\begin{array}{cc}{w}_x^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& w_y^2\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right],\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z^0\\ {\mathrm{\Ω}}_z^0& 0\end{array}\right].$

前述的步骤2)设计动态滑模控制律包括以下步骤：

2-1)定义状态变量x₁，x₂分别为：

$x_1=q,x_2=\stackrel{\·}{q};$

2-2)设计误差函数e₁和e₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，α为虚拟控制量，r为参考模型函数；

2-3)对跟踪误差系统e₁选取一个Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(9\right)$

当e₂＝0时，满足负定性，故跟踪误差系统e₁满足全局渐进稳定，跟踪误差e₁渐进收敛到零，c₁为误差系数；

2-4)定义第二个Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{e}_2^T{e}_2+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(11\right)$

其中，s是切换函数，c为滑模系数；

2-5)选取指数趋近律为：

$\stackrel{\·}{s}=-k_1\mathrm{sgn}\left(s\right)-k_{2}s---\left(17\right)$

其中，k₁，k₂为滑模项参数；

2-6)根据Lyapunov函数V₂选取动态滑模控制律为：

其中，k₃为滑模项参数，f(x,y)＝-(D+2Ω)x₂-Kx₁，为用于逼近非线性函数的模糊系统的输出。

前述的步骤3)根据Lyapunov理论设计模糊自适应律包括以下步骤：

3-1)采用逼近微陀螺仪的x轴干扰导数 逼近微陀螺仪的y轴干扰导数设计微陀螺仪系统中，模糊函数存在如下形式：

其中，为模糊系统的输出，θ为模糊自适应参数，ξ^T(x)是与隶属函数相关的函数；

3-2)定义Lyapunov函数V₃为：

$V_3=V_2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\τ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(23\right);$

3-3)根据Lyapunov函数V₃选取模糊自适应律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ}{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right)\right)}^T---\left(25\right)$

其中，τ为调节参数；

3-4)当k₂≥1/2且2k₃≥ε²时，Lyapunov函数V₃的导数满足李雅普诺夫稳定性定理，由此可以得出误差系统e₁、误差系统e₂、滑模面函数s、模糊自适应参数θ将在有限时间内收敛到0，满足全局渐进稳定性。

由上述技术方案可以看出本发明的有益效果在于：达到稳态后，微陀螺仪的动态特性是一种理想模式，补偿了制造误差和环境干扰；反演自适应模糊动态滑模控制算法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性；自适应模糊动态滑模控制提高了系统对参数变化的鲁棒性，降低系统抖振。

附图说明

图1为本发明的微振动陀螺仪的简化模型示意图；

图2为本发明的反演自适应模糊动态滑模控制系统的原理图；

图3为本发明的具体实施例中隶属度函数图；

图4为本发明的具体实施例中实际输出追踪期望曲线的时域响应曲线图；

图5为本发明的具体实施例中跟踪误差e₁的时域响应曲线图；

图6为本发明的具体实施例中控制力的时域响应曲线图；

图7为本发明的具体实施例中控制力的导数的时域响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步说明。

一、建立微陀螺仪的非量纲动力学方程

一般的微机械振动陀螺仪由三个部分组成：弹性材料所支撑悬挂的质量块、静电驱动装置、感测装置，将其简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振荡系统。如图1所示，其显示了在笛卡尔坐标系下简化的z轴微机械振动陀螺仪模型。

对z轴微陀螺仪而言，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动。假定输入角速度在足够长的时间内保持不变，可以得到下式：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+[k_{\mathrm{xx}}-m({\mathrm{\Ω}}_y^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)]x+m{\mathrm{\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}y=u_x+2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+[k_{\mathrm{yy}}-m({\mathrm{\Ω}}_x^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)]y+m{\mathrm{\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}x=u_y-2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

式中，m为微陀螺仪的质量，x,y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标，d_xx,d_yy分别表示两轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别表示两轴的弹簧系数，Ω_x，Ω_y，Ω_z是角速度沿x,y,z三个轴方向的分量，u_x，u_y是x,y两轴的控制输入，最后两项表示科里奥利力，也是用来测量Ω_z的量。

由制造过程中产生的误差造成的微陀螺仪结构不对称引起两轴附加耦合，再考虑制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪集中参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{y}+k_{\mathrm{xx}}x+k_{\mathrm{xy}}y=u_x+2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{\stackrel{\·}{x}+d_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+k_{\mathrm{xy}}x+k_{\mathrm{yy}}y}=u_y-2m{\mathrm{\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(2\right)$

上式中，k_xy,d_xy分别为耦合的弹簧系数和阻尼系数，合称为正交误差。这两个分量是未知的，但可以被假设为较小。质量块的质量可以唯一确定，x,y轴的弹簧系数和阻尼系数的值已知，但都具有较小的未知变化。

式(2)表示的微机械振动陀螺仪数学模型是一种有量纲的形式，即式中的各个物理量不仅要考虑数值大小，还要考虑到各物理量单位的一致性，这样就无形中增加了控制器设计的复杂度，因此有必要对模型进行如下的非量纲化处理。将式(2)的两侧同除以微陀螺仪的质量m、参考长度q₀、两轴的共振频率的平方得到如下非量纲化模型：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}+D_{\mathrm{xx}}\stackrel{\·}{x}+D_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{y}+w_x^{2}x+w_{\mathrm{xy}}y=u_x+2{\mathrm{\Ω}}_z^0\stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{y}+D_{\mathrm{xy}}\stackrel{\·}{x}+D_{\mathrm{yy}}\stackrel{\·}{y}+w_{\mathrm{xy}}x+w_y^{2}y=u_y-2{\mathrm{\Ω}}_z^0\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(3\right)$

其中： $\frac{d_{\mathrm{xx}}}{m{w}_0^2}\→D_{\mathrm{xx}},\frac{d_{\mathrm{xy}}}{m{w}_0^2}\→D_{\mathrm{xy}},\frac{d_{\mathrm{yy}}}{m{w}_0^2}\→D_{\mathrm{yy}},\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{w}_0^2}\→w_x^2,\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{w}_0^2}\→w_{\mathrm{xy}},\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{w}_0^2}\→w_y^2,\frac{{\mathrm{\Ω}}_z}{w_0^2}\→{\mathrm{\Ω}}_z^0$

将式(3)写成向量形式为：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+\mathrm{Kq}=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(4\right)$

其中， $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{xx}}& D_{\mathrm{xy}}\\ D_{\mathrm{xy}}& D_{\mathrm{yy}}\end{array}\right],K=\left[\begin{array}{cc}{w}_x^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& w_y^2\end{array}\right],u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right],\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z^0\\ {\mathrm{\Ω}}_z^0& 0\end{array}\right].$

二、参见图2，根据Lyapunov理论设计得到动态滑模控制律

定义状态变量x₁，x₂分别为：

$x_1=q,x_2=\stackrel{\·}{q},$

将上式(4)改写为如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=-(D+2\mathrm{\Ω})x_2-K{x}_1+u\end{array}\right.---\left(5\right)$

考虑到系统存在的外来干扰和本身的不确定性，状态方程可表示为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=[-(D+2\mathrm{\Ω})+\mathrm{\Δ}{A}_1]x_2+(-K+\mathrm{\Δ}{A}_2)x_1+(1+\mathrm{\ΔB})u+\mathrm{\η}\\ =f(x,y)+u+H\left(t\right)\end{array}---\left(6\right)$

在上式中，f(x,y)＝-(D+2Ω)x₂-Kx₁，ΔA₁、ΔA₂、ΔB均为系统的不确定性因子，η为外来的干扰，H(t)为系统的不确定性和外来干扰的总和，H(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+η。

取参考模型函数为r，则误差函数e₁和e₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，α为虚拟控制量，设计为：

$\mathrm{\α}=-c_1{e}_1+\stackrel{\·}{r}---\left(8\right)$

其中，c₁为误差系数，c₁＞0。

对跟踪误差系统e₁选取一个Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(9\right)$

V₁对时间t求导，得：

${\stackrel{\·}{V}}_1=e_1^T{\stackrel{\·}{e}}_1=e_1^T(x_2-\stackrel{\·}{r})=e_1^T(e_2-c_1{e}_1)=-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2---\left(10\right)$

当e₂＝0时，易知满足负定性，故跟踪误差系统e₁满足全局渐进稳定，跟踪误差e₁渐进收敛到零。

定义第二个Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{e}_2^T{e}_2+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(11\right)$

其中，s是切换函数，即滑模面函数。定义滑模面函数如下所示：

$\begin{array}{c}s={\mathrm{ce}}_2+{\stackrel{\·}{e}}_2\\ ={\mathrm{ce}}_2+f(x,y)+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\end{array}---\left(12\right)$

c为滑模系数，

则：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=f(x,y)+s-{\mathrm{ce}}_2-f(x,y)-H\left(t\right)+\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+H\left(t\right)\\ ={s-\mathrm{ce}}_2+\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\end{array}---\left(13\right)$

滑模面函数的导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=c{\stackrel{\·}{e}}_2+\stackrel{\·}{f}(x,y)+\stackrel{\·}{u}+\stackrel{\·}{H}\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}\\ =c({\stackrel{\·}{x}}_2-\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})+\stackrel{\·}{f}(x,y)+\stackrel{\·}{u}+c_1{\stackrel{\·}{x}}_2-c_1\stackrel{\·\·}{r}-\stackrel{\·\·\·}{r}+\stackrel{\·}{H}\left(t\right)\\ =(c+c_1){\stackrel{\·}{x}}_2-c\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+\stackrel{\·}{f}(x,y)+\stackrel{\·}{u}-c_1\stackrel{\·\·}{r}-\stackrel{\·\·\·}{r}+\stackrel{\·}{H}\left(t\right)\end{array}---\left(14\right)$

将式(13)代入上式(14)得：

$\stackrel{\·}{s}=(c+c_1)(s-{\mathrm{ce}}_2)+c_1\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+\stackrel{\·}{f}(x,y)+\stackrel{\·}{u}-c_1\stackrel{\·\·}{r}-\stackrel{\·\·\·}{r}+\stackrel{\·}{H}\left(t\right)---\left(15\right)$

则Lyapunov函数V₂对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2={\stackrel{\·}{V}}_1+e_2^T{\stackrel{\·}{e}}_2+s^T\stackrel{\·}{s}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+e_2^T({\stackrel{\·}{x}}_2-\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})+s^T[(c+c_1)(s-{\mathrm{ce}}_2)+c_1\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+\stackrel{\·}{f}(x,y)+\stackrel{\·}{u}-c_1\stackrel{\·\·}{r}-\stackrel{\·\·\·}{r}+\stackrel{\·}{H}\left(t\right)]\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+e_2^T(s-{\mathrm{ce}}_2)+s^T[(c+c_1)(s-{\mathrm{ce}}_2)+c_1\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+\stackrel{\·}{f}(x,y)+\stackrel{\·}{u}-c_1\stackrel{\·\·}{r}-\stackrel{\·\·\·}{r}+\stackrel{\·}{H}\left(t\right)]\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2-{\mathrm{ce}}_2^T{e}_2+s^T[e_2+(c+c_1)(s-{\mathrm{ce}}_2)+c_1\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+\stackrel{\·}{f}(x,y)+\stackrel{\·}{u}-c_1\stackrel{\·\·}{r}-\stackrel{\·\·\·}{r}+\stackrel{\·}{H}\left(t\right)]\end{array}---\left(16\right)$

选取指数趋近律为：

$\stackrel{\·}{s}=-k_1\mathrm{sgn}\left(s\right)-k_{2}s---\left(17\right)$

其中，滑模项参数k₁＞0，k₂＞0。

我们可以选取动态滑模控制律为：

其中，常数k₃＞0。

将动态滑模控制律作用于微陀螺仪的控制输入u的导数代入(16)中，得到：

三，设计模糊自适应律，使整个微陀螺仪闭环系统满足基于Lyapunov的全局渐进稳定性。

由H(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+η的表达式可见，H(t)包含了微陀螺仪系统的不确定性以及外来干扰。为了实现对该部分的研究，采用模糊系统逼近假设为用于逼近非线性函数的模糊系统的输出，采用单值模糊化、乘积推理机和重心平均反模糊化。

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则表达形式为：

Rⁱ:IF x₁isand…and x_n isthen y is Bⁱ(i＝1,2,.......,N)

其中，为x_j(j＝1,2,.......,n)的隶属函数。

则模糊系统的输出为：

其中，ξ＝[ξ₁(x) ξ₂(x) ... ξ_N(x)]^T，θ为模糊自适应参数，θ＝[θ₁ θ₂ ... θ_N]^T，n为x的个数。

针对的模糊逼近，为了更好的区分微陀螺仪的两轴干扰导数，即对应的和分别采用逼近微陀螺仪的x轴干扰导数 逼近微陀螺仪的y轴干扰导数相应的模糊系统设计为：

定义微陀螺仪系统中，模糊函数存在如下形式：

其中， ${\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\ξ}}_1^T& 0\\ 0& {\mathrm{\ξ}}_2^T\end{array}\right],$ 模糊自适应参数 $\mathrm{\θ}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\\ {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right].$

对于给定的任意小的常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：定义最优模糊自适应参数为θ^*，定义模糊自适应参数估计误差为：

取第三个Lyapunov函数V₃为：

$V_3=V_2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\τ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(23\right)$

其中，调节参数τ＞0。V₃对时间t求导，得到：

为了使选取模糊自适应律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ}{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right)\right)}^T---\left(25\right)$

将式(25)代入式(24)，得：

${\stackrel{\·}{V}}_3\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-{\mathrm{ce}}_2^T{e}_2-k_1{s}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)-(k_2-\frac{1}{2})s^{T}s-\frac{1}{2}(2k_3-{\mathrm{\ϵ}}^2)---\left(26\right)$

当k₂≥1/2且2k₃≥ε²时，则满足李雅普诺夫稳定性定理，由此可以得出误差系统e₁、误差系统e₂、滑模面函数s、模糊自适应参数θ将在有限时间内收敛到0，从而可以验证本发明所提出的控制方法能很好地实现对微陀螺仪的动态滑模控制。

四、Matlab仿真模拟

结合微陀螺传感器的动态模型和反演自适应模糊动态滑模控制器的设计方法，通过Matlab/Simulink软件设计出主程序，进行仿真模拟。

从现有文献中，选择一组微陀螺仪的参数如下：

m＝1.8×10^-7kg,k_xx＝63.955N/m,k_yy＝95.92N/m,k_xy＝12.779N/m (27)

d_xx＝1.8×10^-6N·s/m,d_yy＝1.8×10^-6N·s/m,d_xy＝3.6×10^-7N·s/m

取输入角速度为Ω_z＝100rad/s,参考长度为q₀＝1μm，参考频率为w₀＝1kHz。

设参考模型函数为： $r=\left[\begin{array}{c}\sin \left(4.17t\right)\\ 1.2\sin \left(5.11t\right)\end{array}\right],$ 初始条件设置为： $q\left(0\right)=\left[\begin{array}{c}0.1\\ 0.1\end{array}\right].$

白噪声干扰分别取为10sin(4.17t)和12sin(5.11t)。

滑模项参数：k₁＝200,k₂＝100,k₃＝200。

误差系数：c₁＝50，滑模系数：c＝50，调节参数：τ＝40。

隶属度函数如图3所示，选取为： ${\mathrm{\μ}}_{F_i}^1=\exp [-0.5{((x_i+A_i/2)/(A_i/4))}^2],$ ${\mathrm{\μ}}_{F_i}^2=\exp [-0.5{(x_i/(A_i/4))}^2],{\mathrm{\μ}}_{F_i}^3=\exp [-0.5{((x_i-A_i/2)/(A_i/4))}^2],$ (i=1,2,3,4),其中A_i对应期望函数的幅值，在该实施例中选取为[1 1.2 4.17 6.132]。

实验的结果如图4、图5、图6、图7所示。

实际输出追踪参考模型变化曲线如图4所示，结果表明实际微陀螺仪的轨迹能够很快追踪上参考模型，整个闭环系统渐进稳定。

实际输出与参考输出间的误差变化如图5所示，结果表明在短时间内实际输出可以完美追踪上参考输出，误差接近于零，且较为稳定。

控制力及其导数变化曲线如图6、图7所示，结果表明动态滑模控制器成功将不连续项转移到控制力的一阶导数中去，得到在时间上本质连续的控制力，使系统抖振得到明显的降低。

Claims (2)

1.微陀螺仪的反演自适应模糊动态滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立微陀螺仪的非量纲动力学方程；包括以下步骤：

1-1)对z轴微陀螺仪而言，微陀螺仪的质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动，假定输入角速度在足够长的时间内保持不变，得到如下的动力学方程：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+\[k_{xx}-m({\mathrm{\Ω}}_y^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]x+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+\[k_{yy}-m({\mathrm{\Ω}}_x^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]y+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}x=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

其中，m为微陀螺仪的质量，x,y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标，d_xx,d_yy分别表示两轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别表示两轴的弹簧系数，Ω_x，Ω_y，Ω_z是角速度沿x,y,z三个轴方向的分量，u_x，u_y是x,y两轴的控制输入；

1-2)由制造过程中产生的误差造成的微陀螺仪结构不对称引起两轴附加耦合，再考虑制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪集中参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+d_{xy}\stackrel{\·}{y}+k_{xx}x+k_{xy}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{xy}\stackrel{\·}{x}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+k_{xy}x+k_{yy}y=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(2\right)$

其中，k_xy,d_xy分别为耦合的弹簧系数和阻尼系数；

1-3)将式(2)的两侧同除以微陀螺仪的质量m、参考长度q₀、两轴的共振频率的平方得到如下非量纲化方程：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}+D_{xx}\stackrel{\·}{x}+D_{xy}\stackrel{\·}{y}+w_x^{2}x+w_{xy}y=u_x+2{\mathrm{\Ω}}_z^0\stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{y}+D_{xy}\stackrel{\·}{x}+D_{yy}\stackrel{\·}{y}+w_{xy}x+w_y^{2}y=u_y-2{\mathrm{\Ω}}_z^0\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(3\right)$

其中：

1-4)将式(3)写成向量形式为：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+Kq=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(4\right)$

其中，

2)根据Lyapunov理论设计得到动态滑模控制律，并将其作用于微陀螺仪系统的控制输入的导数；设计动态滑模控制律包括以下步骤：

2-1)定义状态变量x₁，x₂分别为：

$x_1=q,x_2=\stackrel{\·}{q};$

2-2)设计跟踪误差函数e₁和e₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，α为虚拟控制量，r为参考模型函数；

2-3)对跟踪误差函数e₁选取一个Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(9\right)$

当e₂＝0时，满足负定性，故跟踪误差函数e₁满足全局渐进稳定，跟踪误差函数e₁渐进收敛到零，c₁为误差系数；

2-4)定义第二个Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{e}_2^T{e}_2+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(11\right)$

其中，s是切换函数，c为滑模系数；

2-5)选取指数趋近律为：

$\stackrel{\·}{s}=-k_1\mathrm{sgn}\left(s\right)-k_{2}s---\left(17\right)$

其中，k₁，k₂为滑模项参数；

2-6)根据Lyapunov函数V₂选取动态滑模控制律为：

其中，k₃为滑模项参数，f(x,y)＝-(D+2Ω)x₂-Kx₁，为用于逼近非线性函数的模糊系统的输出；

3)根据Lyapunov理论设计模糊自适应律，实时在线调节微陀螺仪系统，确保全局渐进稳定性。

2.根据权利要求1所述的微陀螺仪的反演自适应模糊动态滑模控制方法，其特征在于，所述步骤3)根据Lyapunov理论设计模糊自适应律包括以下步骤：

3-1)采用逼近微陀螺仪的x轴不确定性以及外来干扰的导数 逼近微陀螺仪的y轴不确定性以及外来干扰的导数设计微陀螺仪系统中，模糊系统的输出存在如下形式：

其中，为模糊系统的输出，θ为模糊自适应参数，ξ^T(x)是与隶属函数相关的函数；

3-2)定义Lyapunov函数V₃为：

$V_3=V_2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T{\mathrm{\τ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(23\right);$

其中，为模糊自适应参数估计误差；

3-3)根据Lyapunov函数V₃选取模糊自适应律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ}{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(x\left)\right)}^T---\left(25\right)$

其中，τ为调节参数，为θ的导数；

3-4)当k₂≥1/2且2k₃≥ε²时，Lyapunov函数V₃的导数满足李雅普诺夫稳定性定理，由此可以得出跟踪误差函数e₁、跟踪误差函数e₂、滑模面函数s、模糊自适应参数θ将在有限时间内收敛到0，满足全局渐进稳定性，其中，ε为任意小的常量。