CN103345154A - 微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，可以实现微陀螺仪系统的轨迹跟踪控制。本发明的间接自适应模糊滑模控制方法一方面可以模糊逼近微陀螺仪系统中的未知项，其优点在于不需要知道系统的精确数学模型；另一方面可以模糊逼近参数不确定及外部干扰总量的上界值，通过对上界值进行模糊逼近，可将滑模控制器中的切换项连续化，大大的降低抖振。应用本发明可以得到令人满意的跟踪性能，而且对参数变化和外部扰动具有鲁棒性。

Description

微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法

技术领域

本发明涉及一种微陀螺仪的控制方法，特别涉及一种微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法。

背景技术

微陀螺仪是测量角速度的传感器，因其在结构、体积、成本方面的优势而广泛应用在航空、航海生物医药、汽车、军事和消费电子产品等领域中。但是，由于生产制造过程中的误差存在和环境温度的影响，造成原件特性与设计之间的差异，导致存在耦合的刚度系数和阻尼系数，降低了微陀螺仪的灵敏度和精度。此外，陀螺仪本身属于多输入多输出系统，存在参数的不确定性和外界干扰，使得微陀螺仪的轨迹追踪控制难以实现，且鲁棒性较低。传统的控制方法完全基于微陀螺仪的精确模型设计，且忽略正交误差和外界扰动的作用，虽然在大部分情况下系统仍是稳定的，但追踪效果远不理想，这种针对单一环境设计的控制器具有很大的使用局限性。

根据所采用的规则形式的不同，自适应模糊滑模控制可以分为两种形式：直接自适应模糊滑模控制和间接自适应模糊滑模控制。直接自适应模糊控制是根据实际的系统输出和理想参考模型输出之间的误差，来直接设计模糊控制器，利用的是被控对象的知识；间接自适应模糊控制是首先通过在线模糊逼近被控对象的模型，然后根据所得模型与参考模型的偏差值在线设计控制器，利用的是控制知识。

发明内容

本发明是为避免参数不确定性和外界干扰对三轴微陀螺仪控制系统的影响，提供了一种间接自适应模糊滑模控制方法，该间接自适应模糊滑模控制方法不需要知道系统的精确数学模型，可以补偿参数不确定性和环境干扰，并且可以有效的降低传统滑模控制方法中的抖振现象。

本发明采用的技术方案是：

微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，包括以下步骤，

（1）建立微陀螺仪的三轴非量纲动态方程；

（2）确定微陀螺仪系统的参考模型；

（3）设计间接自适应模糊滑模控制器，将控制器的输出

作为微陀螺仪系统的控制输入u，具体为：用自适应模糊系统的输出

逼近微陀螺仪系统的未知项f，用自适应模糊系统的输出

逼近滑模切换项ηsgn(s)，得到间接自适应模糊滑模控制律为，

其中， $\hat{f}={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{f}}_1& {\hat{f}}_2& {\hat{f}}_3\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\θ}}_{f1}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_1\right)& {{\mathrm{\θ}}_{f2}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_2\right)& {{\mathrm{\θ}}_{f3}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_3\right)\end{array}\right]}^T,$

$\hat{h}\left(s\right|{\mathrm{\θ}}_h)={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{h}}_1& {\hat{h}}_2& {\hat{h}}_3\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\θ}}_{h1}}^T\mathrm{\φ}\left(s_1\right)& {{\mathrm{\θ}}_{h2}}^T\mathrm{\φ}\left(s_2\right)& {{\mathrm{\θ}}_{h3}}^T\mathrm{\φ}\left(s_3\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}$

e为跟踪误差，e＝q_m-q，q_m为参考轨迹，q为微陀螺仪运动轨迹，s为滑模面函数，k₁为滑模系数，η为固定增益；θ_fi为

的可变参数，ξ为

的模糊向量，θ_hi为

的可变参数，φ为

的模糊向量，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量；

（4）基于Lyapunov函数，设计可变参数的自适应律，使微陀螺仪系统的轨迹跟踪上参考模型的轨迹，保证系统的全局渐进稳定性。

前述步骤（1）具体为，

被控对象为三轴微陀螺仪系统，假设三轴微陀螺仪在x轴、y轴和z轴三个方向上分别以匀速的角速度旋转，离心力忽略不计，经非量纲化及等效变换后，得到三轴微陀螺仪的非量纲动态方程：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+K_{b}q=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+d\left(t\right)---\left(1\right)$

其中： $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的质量块在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量； $u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪在x，y，z轴方向上的控制输入； $\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& {-\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 为角速度矩阵，Ω_x、Ω_y、Ω_z分别是x，y，z轴方向上的角速度； $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为阻尼矩阵，d_xy、d_xz、d_yz是非对称的阻尼项，d_xx、d_yy、d_zz分别是x，y，z轴方向上的阻尼项； $K_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}^2}_x& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_z\end{array}\right]$ 包含了三轴的固有频率、刚度系数和耦合的刚度系数的系数项； $d\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\\ d_z\end{array}\right]$ 为系统不确定性和外界干扰；

写成通用形式：

$\stackrel{\·\·}{q}=f(q,t)+g(q,t)u+d\left(t\right)=-(D\stackrel{\·}{q}+2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+K_{b}q)+u+d\left(t\right)---\left(2\right)$

其中： $f={\left[\begin{array}{ccc}{f}_1& f_2& f_3\end{array}\right]}^T=-(D\stackrel{\·}{q}+2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+K_{b}q),$ 为微陀螺仪系统的未知项，g＝1。

前述步骤（2）的参考模型为三轴间无动态耦合的稳定正弦振荡：

x_m＝A₁sin(ω₁t)，y_m＝A₂sin(w₂t)，z_m＝A₃sin(ω₃t)，

其中：x_m、y_m、z_m分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量，A₁、A₂、A₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振幅，ω₁、ω₂、ω₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振动频率，t是时间变量，

写成微分方程形式为：

${\stackrel{\·\·}{q}}_m+K_m{q}_m=0$

其中，q_m＝[x_m y_m z_m]^T为参考轨迹，K_m＝diag{ω₁ ²,ω₂ ²,ω₃ ²}。

前述步骤（4）中，Lyapunov函数V为： $V=\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2r_1}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}+\frac{1}{{2r}_2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}$

其中，s为滑模面函数，r₁,r₂为自适应增益，

为

的最优可变参数，

为

的最优可变参数，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量。

前述步骤（4）中，可变参数θ_fi和θ_hi的自适应律

和

分别为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}=-{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{fi}}=r_1{s}_i\mathrm{\ξ}\left(x_i\right),$ ${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}=-{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{hi}}=r_2{s}_i\mathrm{\φ}\left(s_i\right),$ 其中r₁,r₂为自适应增益，s为滑模面函数，s＝[s₁ s₂ s₃]^T，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量。

由上说明的技术方案可以看出本发明的有益效果在：本发明一方面采用间接自适应模糊控制去模糊逼近微陀螺仪系统中的未知项，其优点在于不需要知道系统的精确数学模型；另一方面是模糊逼近参数不确定及外部干扰总量的上界值，通过对上界值进行模糊逼近，可将滑模控制器中的切换项连续化，大大的降低抖振。本发明的控制参数是可以自适应学习和调整的，通过其不断的自我调整，系统达到稳态后，可实现整个系统的良好跟踪性能；基于Lyapunov方法设计的自适应算法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性。

附图说明

图1为三轴微陀螺仪间接自适应模糊滑模控制方法的结构框图；

图2为采用传统滑模控制方法的微陀螺仪X、Y、Z轴方向上的跟踪曲线图；

图3为采用传统滑模控制方法的滑模面的动态曲线图；

图4为采用传统滑模控制方法的控制输入曲线图；

图5为采用间接自适应模糊滑模控制方法的微陀螺仪X、Y、Z轴方向上的跟踪曲线图；

图6为采用间接自适应模糊滑模控制方法的滑模面的动态曲线图；

图7为采用间接自适应模糊滑模控制方法的控制输入曲线图；

图8为改变外界干扰参数后，采用传统滑模控制方法的微陀螺仪X、Y、Z轴的跟踪曲线图；

图9为改变外界干扰参数后，采用间接自适应模糊滑模控制方法的微陀螺仪X、Y、Z轴的跟踪曲线图；

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步说明。

微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，如图1所示，包括以下步骤，

一、建立被控对象——三轴微陀螺仪的非量纲动态方程

被控对象为三轴微陀螺仪系统，假设三轴微陀螺仪可在x轴、y轴和z轴三个方向上分别以匀速的角速度旋转，离心力可忽略不计，经非量纲化及等效变换后，得到三轴微陀螺仪的动态方程如下所示为：

$\stackrel{\·\·}{q}+\stackrel{\·}{\mathrm{Dq}}+K_{b}q=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+d\left(t\right)---\left(1\right)$

其中： $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的质量块在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量； $u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪x，y，z轴方向上的控制输入； $\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& {-\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 为角速度矩阵，Ω_x、Ω_y、Ω_z分别是x，y，z轴方向上的角速度； $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为阻尼矩阵，d_xy、d_xz、d_yz是非对称的阻尼项，d_xx、d_yy、d_zz分别是x，y，z轴方向上的阻尼项； $K_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}^2}_x& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_z\end{array}\right]$ 包含了三轴的固有频率、刚度系数和耦合的刚度系数的系数项； $d\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\\ d_z\end{array}\right]$ 为系统不确定性和外界干扰。

式（1）可写成通用形式：

$\stackrel{\·\·}{q}=f(q,t)+g(q,t)u+d\left(t\right)=-(D\stackrel{\·}{q}+2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+K_{b}q)+u+d\left(t\right)---\left(2\right)$

其中： $f={\left[\begin{array}{ccc}{f}_1& f_2& f_3\end{array}\right]}^T=-(D\stackrel{\·}{q}+2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+K_{b}q),$ 为微陀螺仪系统的未知项，g＝1，干扰d(t)满足|d(t)|≤η，η为系统的不确定性和外界干扰的上界。

二、确定微陀螺仪系统的参考模型

系统的参考模型选择三轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，可以描述如下为：

x_m＝A₁sin(ω₁t)，y_m＝A₁sin(ω₁t)，z_m＝A₃sin(ω₃t)

其中：x_m、y_m、z_m分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量，A₁、A₂、A₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振幅，ω₁、ω₂、ω₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振动频率，t是时间。

可以写成微分方程形式：

${\stackrel{\·\·}{q}}_m+K_m{q}_m=0---\left(3\right)$

其中：q_m＝[x_m y_m z_m]^T为参考轨迹，K_m＝diag{ω₁ ²,ω₂ ²,ω₃ ²}。

三、设计传统滑模控制器

定义跟踪误差e为

e＝q_m-q    （4）

定义滑模面函数s为

$s=-k_{1}e-\stackrel{\·}{e}---\left(5\right)$

其中k₁为滑模系数，为非零正常数，s＝[s₁ s₂ s₃]^T。

如果滑模控制处于理想状态，则

则

$\stackrel{\·}{s}=-k_1\stackrel{\·}{e}-\stackrel{\·\·}{e}=-k_1\stackrel{\·}{e}-({\stackrel{\·\·}{q}}_m-\stackrel{\·\·}{q})$

$=-k_1\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{q}}_m+\stackrel{\·\·}{q}$                   （6）

$={-k}_1\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{q}}_m-(D\stackrel{\·}{q}+2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+K_{b}q)+u+d\left(t\right)$

$=-k_1\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{q}}_m+f+u+d\left(t\right)$

不考虑不确定性和外加干扰d(t)，得到等效控制律u_eq为

$u_{\mathrm{eq}}\left(t\right)=k_1\stackrel{\·}{e}+{\stackrel{\·\·}{q}}_m-f---\left(7\right)$

考虑到不确定性和外加干扰d(t)，设计传统控制律u₀为

$u_0=u_{\mathrm{eq}}+u_{\mathrm{sw}}=k_1\stackrel{\·}{e}+{\stackrel{\·\·}{q}}_m-f+u_{\mathrm{sw}}---\left(8\right)$

其中u_sw＝-ηsgn(s)，为切换控制项，实现对不确定性和外加干扰的鲁棒控制。

将控制律u₀作为微陀螺仪系统的控制输入u，则

$s\left(t\right)\·\stackrel{\·}{s}\left(t\right)=s\·(d\left(t\right)+u_{\mathrm{sw}})$

$=s\·d\left(t\right)-\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)\·s$            （9）

$\≤\left|s\right|\left|d\left(t\right)\right|-\mathrm{\η}\left|s\right|$

$=-\left|s\right|(\mathrm{\η}-|d\left(t\right)\left|\right)\≤0$

确保了控制系统的全局稳定性，η为固定增益，满足d(t)≤η。

四、设计间接自适应模糊滑模控制器

采用自适应模糊系统的输出

逼近微陀螺仪系统的未知项f，用自适应模糊系统的输出逼近切换控制项ηsgn(s)

得到间接自适应模糊滑模控制律

为，

$\hat{f}={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{f}}_1& {\hat{f}}_2& {\hat{f}}_3\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\θ}}_{f1}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_1\right)& {{\mathrm{\θ}}_{f2}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_2\right)& {{\mathrm{\θ}}_{f3}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_3\right)\end{array}\right]}^T---\left(11\right)$

$\hat{h}\left(s\right|{\mathrm{\θ}}_h)={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{h}}_1& {\hat{h}}_2& {\hat{h}}_3\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\θ}}_{h1}}^T\mathrm{\φ}\left(s_1\right)& {{\mathrm{\θ}}_{h2}}^T\mathrm{\φ}\left(s_2\right)& {{\mathrm{\θ}}_{h3}}^T\mathrm{\φ}\left(s_3\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}---\left(12\right)$

θ_fi为

的可变参数，ξ为

的模糊向量，θ_hi为

的可变参数，φ为

的模糊向量，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量；

定义最小逼近误差为

$w=f(x_i,t)-\hat{f}\left(x_i\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{fi}}}^{*})+\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)-\hat{h}\left(s\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{hi}}}^{*})---\left(13\right)$

将间接自适应模糊滑模控制器的输出

式（10）作为微陀螺仪系统的控制输入u，式（13）带入式（6），得到

$\stackrel{\·}{s}=-k_1\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{q}}_m+f(x_i,t)+u+d\left(t\right)$

$=f(x_i,t)-\hat{f}(x_i,t)-\hat{h}\left(s\right)+d\left(t\right)$

$=\hat{f}\left(x_i\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{fi}}}^{*})\text{-}\hat{f}(x_i,t)+f(x_i,t)-\hat{f}\left(x_i\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{fi}}}^{*})+\hat{h}\left(s\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{hi}}}^{*})-\hat{h}\left(s\right)-\hat{h}\left(s\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{hi}}}^{*})+d\left(t\right)---\left(14\right)$

$=\hat{f}\left(x_i\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{fi}}}^{*})-\hat{f}(x_i,t)+\hat{h}\left(s\right|{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{hi}}}^{*})-\hat{h}\left(s\right)+w-\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)+d\left(t\right)$

$={{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_i\right)+{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T\mathrm{\φ}\left(s\right)+w-\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)+d\left(t\right)$

其中

θ_fi ^*为

的最优可变参数，θ_hi ^*为

的最优可变参数，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量。

五、基于Lyapunov函数，设计可变参数的自适应律，使微陀螺仪系统的轨迹跟踪上参考模型的轨迹，保证系统的全局渐进稳定性。

定义Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2r_1}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}+\frac{1}{2r_2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}---\left(15\right)$

其中r₁,r₂为自适应增益，为正常数。

对其求导得

$\stackrel{\·}{V}=s^T\stackrel{\·}{s}+\frac{1}{r_1}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{fi}}+\frac{1}{r_2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{hi}}$

$=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_i\right)+\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T\mathrm{\φ}\left(s_i\right)+s^T(w-\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)+d\left(t\right))+\frac{1}{r_1}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{fi}}+\frac{1}{r_2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{hi}}$

$=\frac{1}{r_1}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T(r_1{s}_i\mathrm{\ξ}\left(x_i\right)+{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{fi}})+\frac{1}{r_2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T(r_2{s}_i\mathrm{\φ}\left(s_i\right)+{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{hi}})+s^T(w-\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)+d\left(t\right))$

                                                  （16）

为保证

设计可变参数θ_fi和θ_hi的自适应律和分别为

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}=-{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{fi}}=r_1{s}_i\mathrm{\ξ}\left(x_i\right)---\left(17\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}=-{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{hi}}=r_2{s}_i\mathrm{\φ}\left(s_i\right)---\left(18\right)$

因为|d(t)|≤η，所以存在η_Δ使得|d(t)|+η_Δ＝η

所以

$\stackrel{\·}{V}=s^T(w-\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)+d\left(t\right))$

$=s^{T}w+s^{T}d\left(t\right)-s^T\mathrm{\ηsgn}\left(s\right)$

$\≤\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i{w}_i+\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|s_i\right|\left|d_i\left(t\right)\right|-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|s_i\right|\mathrm{\η}---\left(19\right)$

$=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i{w}_i+\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|s_i\right|\left(\right|d_i\left(t\right)|-\mathrm{\η})$

$=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i{w}_i-{\mathrm{\η}}_{\mathrm{\Δ}}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|s_i\right|\≤0$

因为

所以李雅普诺夫函数中的所有参数都是有界的。根据Barbalat定理及其推论，我们可以得到lim_t→∞s_i＝0，limt_→∞θ_fi＝0，lim_t→∞θ_hi＝0，则lim_t→∞e_i＝0，证明微陀螺仪系统的轨迹跟踪上参考模型的轨迹，系统具有全局渐进稳定性，其中，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量。

最后，仿真分析

根据本发明的间接自适应模糊滑模控制方法，在MATLAB/Simulink中对控制系统进行数值仿真。仿真实验的微陀螺仪参数如下：

m＝0.57×10^-8kg，q₀＝1μm，ω₀＝3kHz，d_xx＝0.429×10^-6N·s/m，

d_yy＝0.687×10^-6N·s/m，d_zz＝0.895×10^-6N·s/m，

d_xy＝0.0429×10^-6N·s/m，d_xz＝0.0687×10^-6N·s/m，

d_yz＝0.0895×10^-6N·s/m，k_xx＝80.98N/m，k_yy＝71.62N/m，

k_zz＝60.97N/m，k_xy＝5N/m，k_xz＝6N/m，k_yz＝7N/m。

其中，m为微陀螺仪的质量块的质量，q₀为参考长度，ω₀为固有频率，k_xx,k_yy,k_zz为刚度系数，k_xz,k_xy,k_yz为耦合的刚度系数

假定未知的输入角速度为：

Ω_x＝3rad/s，Ω_y＝2rad/s，Ω_z＝5rad/s

针对

的模糊向量ξ(x_i)，取以下5种隶属函数：

μ_NM(x_i)＝exp[-((x_i+π/6)/(π/24))²]，

μ_NS(x_i)＝exp[-((x_i+π/12)/(π/24))²]，

μ_ZO(x_i)＝exp[-(x_i/(π/24))²]，

μ_PS(x_i)＝exp[-((x_i-π/12)/(π/24))²]，

μ_PM(x_i)＝exp[-((x_i-π/6)/(π/24))²]，

则用于逼近未知项f的模糊规则有25条。

定义滑模面函数s的隶属函数为，μ_NM(s)＝1/(1+exp(5(s+3)))，μ_ZO(s)＝exp(-s²)，μ_PM(s)＝1/(1+exp(5(s-3)))。

被控对象三轴微陀螺仪系统的初始状态取[0 0 0]，

参考轨迹为x_m＝sin(6.71t)，y_m＝1.2sin(5.11t)，z_m＝1.5sin(4.17t)，

不确定和外届干扰d(t)＝[10sin(6.71t) 10cos(5.11t) 10cos(4.17t)]^T，

滑模系数取k₁＝10，自适应增益r₁＝50，r₂＝35000。传统滑模控制律式（9）中，取固定增益η＝diag[100 100 100]。

传统的滑模控制仿真图形如图2、图3、图4所示。采用间接自适应模糊滑模控制方法的仿真图形如图5、图6、图7所示。

图2为微陀螺仪X、Y、Z轴方向上的跟踪曲线，结果表明有外部干扰的情况下微陀螺仪的X、Y、Z轴轨迹能够很好的追踪上参考轨迹，说明传统滑模控制方法能很好的实现跟踪性能。

图3为滑模面的动态曲线图，结果表明系统在短时间内到达切换面并保持在滑模面上滑动，滑模面逐渐收敛于0。

图4为采用固定增益的传统滑模控制方法的控制输入曲线图，结果表明在实际控制中，为了保证系统的稳定性，往往η值选取的比较大，但如果η值选的过大，则会产生大的抖振。

图5为微陀螺仪X、Y、Z轴方向上的跟踪曲线，结果表明有外部干扰的情况下微陀螺仪的X、Y、Z轴轨迹能够很好的追踪上参考轨迹，说明间接自适应模糊滑模控制方法也能很好的实现跟踪性能。

图6为滑模面的动态曲线图，结果表明滑模面有规律的出现波动，但整体来看，滑模面是收敛于0的。

图7为采用间接自适应模糊滑模控制方法的控制输入曲线图，结果表明对控制器中的切换项进行逼近，可将切换项连续化，从而有效的降低了抖振。

为了验证采用本方法，微陀螺仪系统对系统不确定性和外界干扰的自适应能力和鲁棒性，我们改变系统参数为原来的0.9倍，即取f₀＝0.9*f，外界干扰为d(t)＝[100sin(6.71t) 100cos(5.11t) 100cos(4.17t)]^T，仿真图形如图8、图9所示。

图8为传统的滑模控制情况下微陀螺仪X、Y、Z轴的跟踪曲线图，结果表明由于建模的不精确和外界干扰的增加，会导致追踪性能的大幅下降，追踪效果不理想。这是因为传统的滑模控制要求系统的不确定范围已知，所以对系统参数变化和外界干扰不确定性有一定的限制。

图9为间接自适应模糊滑模控制情况下微陀螺仪X、Y、Z轴的跟踪曲线图，结果表明跟踪效果基本没变化。说明间接自适应模糊滑模控制比传统的滑模控制有更好的自适应性和鲁棒性。

具体实施例的结果显示，本发明设计的自适应模糊滑模控制方法，能够使跟踪误差和滑模函数很快地收敛到零，具有良好的跟踪性能，而且对参数变化和外部扰动具有很好的鲁棒性，同时能够明显的改善传统滑模控制方法中的抖振现象。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明,任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内,当可利用上述揭示的技术内容作出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例,但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (5)

1.微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤，

（1）建立微陀螺仪的三轴非量纲动态方程；

（2）确定微陀螺仪系统的参考模型；

（3）设计间接自适应模糊滑模控制器，将控制器的输出作为微陀螺仪系统的控制输入u，具体为：用自适应模糊系统的输出

逼近微陀螺仪系统的未知项f，用自适应模糊系统的输出

逼近滑模切换项ηsgn(s)，得到间接自适应模糊滑模控制律

为，

其中 $\hat{f}={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{f}}_1& {\hat{f}}_2& {\hat{f}}_3\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\θ}}_{f1}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_1\right)& {{\mathrm{\θ}}_{f2}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_2\right)& {{\mathrm{\θ}}_{f3}}^T\mathrm{\ξ}\left(x_3\right)\end{array}\right]}^T,$

$\hat{h}\left(s\right|{\mathrm{\θ}}_h)={\left[\begin{array}{ccc}{\hat{h}}_1& {\hat{h}}_2& {\hat{h}}_3\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\θ}}_{h1}}^T\mathrm{\φ}\left(s_1\right)& {{\mathrm{\θ}}_{h2}}^T\mathrm{\φ}\left(s_2\right)& {{\mathrm{\θ}}_{h3}}^T\mathrm{\φ}\left(s_3\right)\end{array}\right]}^{\text{T}}$

e为跟踪误差，e＝q_m-q，q_m为参考轨迹，q为微陀螺仪运动轨迹，s为滑模面函数，

k₁为滑模系数；η为固定增益，θ_fi为的可变参数，ξ为

的模糊向量，θ_hi为

的可变参数，φ为的模糊向量，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量；

（4）基于Lyapunov函数，设计可变参数的自适应律，使微陀螺仪系统的轨迹跟踪上参考模型的轨迹，保证系统的全局渐进稳定性。

2.根据权利要求1所述的微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，所述步骤（1）具体为，

被控对象为三轴微陀螺仪系统，假设三轴微陀螺仪在x轴、y轴和z轴三个方向上分别以匀速的角速度旋转，离心力忽略不计，经非量纲化及等效变换后，得到三轴微陀螺仪的非量纲动态方程：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+K_{b}q=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+d\left(t\right)---\left(1\right)$

其中： $q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪的质量块在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量； $u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$ 为微陀螺仪在x，y，z轴方向上的控制输入； $\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{ccc}0& {-\mathrm{\Ω}}_z& {\mathrm{\Ω}}_y\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0& -{\mathrm{\Ω}}_x\\ -{\mathrm{\Ω}}_y& {\mathrm{\Ω}}_x& 0\end{array}\right]$ 为角速度矩阵，Ω_x、Ω_y、Ω_z分别是x，y，z轴方向上的角速度； $D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{xz}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}& d_{\mathrm{yz}}\\ d_{\mathrm{xz}}& d_{\mathrm{yz}}& d_{\mathrm{zz}}\end{array}\right]$ 为阻尼矩阵，d_xy、d_xz、d_yz是非对称的阻尼项，d_xx、d_yy、d_zz分别是x，y，z轴方向上的阻尼项； $K_b=\left[\begin{array}{ccc}{{\mathrm{\ω}}^2}_x& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xy}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_y& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{yz}}& {{\mathrm{\ω}}^2}_z\end{array}\right]$ 包含了三轴的固有频率、刚度系数和耦合的刚度系数的系数项； $d\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\\ d_z\end{array}\right]$ 为系统不确定性和外界干扰；

写成通用形式：

$\stackrel{\·\·}{q}=f(q,t)+g(q,t)u+d\left(t\right)=-(D\stackrel{\·}{q}+2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+K_{b}q)+u+d\left(t\right)---\left(2\right)$

其中： $f={\left[\begin{array}{ccc}{f}_1& f_2& f_3\end{array}\right]}^T=-(D\stackrel{\·}{q}+2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}+K_{b}q),$ 为微陀螺仪系统的未知项，g＝1。

3.根据权利要求1所述的微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，所述步骤（2）的参考模型为三轴间无动态耦合的稳定正弦振荡：

x_m＝A₁sin(ω₁t)，y_m＝A₂sin(w₂t)，z_m＝A₃sin(ω₃t)，

其中：x_m、y_m、z_m分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上的位置向量，A₁、A₂、A₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振幅，ω₁、ω₂、ω₃分别为参考模型在x轴、y轴和z轴方向上给定的振动频率，t是时间变量，

写成微分方程形式为：

${\stackrel{\·\·}{q}}_m+K_m{q}_m=0$

其中，q_m＝[x_m y_m z_m]^T为参考轨迹，K_m＝diag{ω₁ ²,ω₂ ²,ω₃ ²}。

4.根据权利要求1所述的微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，所述步骤（4）中，Lyapunov函数V为： $V=\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2r_1}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}}^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}+\frac{1}{{2r}_2}\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}}^T{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}$

其中，r₁,r₂为自适应增益，

θ_fi ^*为

的最优可变参数，θ_hi ^*为

的最优可变参数，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量。

5.根据权利要求1所述的微陀螺仪系统的间接自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，所述步骤（4）中，可变参数θ_fi和θ_hi的自适应律

和分别为：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{fi}}=-{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{fi}}=r_1{s}_i\mathrm{\ξ}\left(x_i\right),$ ${\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{hi}}=-{\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}}_{\mathrm{hi}}=r_2{s}_i\mathrm{\φ}\left(s_i\right),$

其中r₁,r₂为自适应增益，s为滑模面函数，s＝[s₁ s₂ s₃]^T，i＝1,2,3，表示x轴、y轴和z轴方向上的分量。

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