CN103885339B - 微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法，基于反演设计的优势，在Lyapunov稳定性理论证明的基础上，通过“回归法”逐步得到系统的控制律，模糊控制不需要依赖被控对象的数学模型，而且将自适应算法和模糊控制算法相结合，避免了模糊控制的不能及时进行参数调整的缺点，使控制器具有了学习能力，在控制过程中参数拥有自我学习和调整的能力。本发明方法能够有效改善微陀螺仪系统的追踪性能，保证系统全局的稳定性，提高系统的鲁棒性和可靠性，避免对被控系统模型的依赖性。

Description

微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法

技术领域

本发明涉及微陀螺仪的控制系统，具体地说是一种微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法。

背景技术

微陀螺仪是测量惯性导航和惯性制导系统角速度的传感器，因其在结构、体积、成本方面的优势而广泛应用在航空、航天、航海和陆地车辆的导航与定位及油田勘探开发等军事、民用领域中，是各国重点发展的技术之一。但是，由于生产制造过程中的误差存在和外界环境温度的影响，造成原件特性与设计之间的差异，导致存在耦合的刚度系数和阻尼系数，降低了微陀螺仪的灵敏度和精度。此外，陀螺仪自身属于多输入多输出系统，存在参数的不确定性和外界干扰对系统参数的造成的波动，因此，减少控制器对系统参数的依赖性和外界干扰成为微陀螺仪控制的主要问题之一。而在传统的滑模控制方法中，控制器的选取依赖于被控对象的参数。

在反演自适应模糊滑模控制方法中，反演控制是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统分别设计李亚普诺夫函数和中间虚拟控制量，一直“后退”到整个子系统，直到完成整个控制律的设计。在整个反演设计过程中完成针对微陀螺传感器系统的自适应模糊控制律和滑模控制律。模糊控制不需要依赖被控对象的数学模型，但其缺点在于不具有学习能力，而将自适应算法和模糊控制算法相结合，有效避免了模糊控制的不能及时进行参数调整的缺点，使控制器具有了学习能力，在控制过程中参数拥有自我学习和调整的能力。采用自适应模糊滑模控制去模糊逼近被控对象的模型部分，使控制器的设计不依赖于被控对象的精确数学模型。并且利用自适应模糊控制方法，通过将滑模控制器中的切换项进行模糊逼近，可将切换项连续化，从而有效降低抖振。滑模控制通过控制量的切换使系统状态沿着滑模面滑动，使系统在受到参数摄动和外界干扰时具有不变性。但是，迄今为止，反演自适应模糊滑模控制在微陀螺仪系统中尚未得到应用。

发明内容

本发明提供了一种微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法，将反演自适应模糊滑模控制方法应用到微陀螺仪系统中，以避免控制系统对微陀螺仪的模型的依赖性，补偿制造误差和环境干扰，确保整个控制系统的全局渐进稳定性，提高了系统的可靠性和对参数变化的鲁棒性。

本发明采用的技术方案是：

微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法，包括以下步骤：

1)建立微陀螺仪的非量纲动力学状态方程；

2)设计反演自适应模糊滑模控制器，具体步骤如下：

2-1)设计反演滑模控制器，包括：

2-1-1)定义跟踪误差函数e₁和e₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-{\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，α₁为虚拟控制量，r为期望函数；

2-1-2)针对跟踪误差函数e₁，选取Lyapunov函数V₁，并计算其导数

所述Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(9\right)$

所述为：

${\stackrel{\·}{V}}_1=-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2---\left(10\right)$

其中，c₁为误差系数，

当e₂＝0时，满足负定性，满足全局渐进稳定，跟踪误差函数e₁渐进收敛到零；

2-1-3)定义Lyapunov函数V₂，并计算其导数

所述Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(11\right)$

所述为：

${\stackrel{\·}{V}}_2=-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2+s^T\[(c+\frac{1}{c})e_2+c({\mathrm{\α}}_1-\stackrel{\·}{r})+u+F\left(t\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1+f\]---\left(14\right)$

其中，c为滑模项系数，s为滑模面函数，f＝-(D+2Ω)x₂-Kx₁；

2-1-4)基于指数趋近律，设计反演滑模控制器，滑模面函数s满足：

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ρ}s-k\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(15\right)$

其中，ρ、k为趋近律参数，满足ρ＞0,k＞0；

根据Lyapunov稳定定理设计反演滑模控制器的控制律φ₁如式(16)所示：

${\mathrm{\φ}}_1=-\[(\frac{1}{c}+c)e_2+c({\mathrm{\α}}_1-\stackrel{\·}{r})-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1\]-F_{max}-\mathrm{\Φ}-\mathrm{\ρ}s-k\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(16\right)$

其中，F_max为系统的不确定性和外来干扰的上限，Φ为模糊函数；

2-1-5)将所述步骤2-1-4)得到的反演滑模控制律φ₁作为微陀螺仪的控制输入代入到Lyapunov函数V₂的导数所述中包含非线性函数f，f包含微陀螺仪系统的建模信息；

2-2)对反演滑模控制器进行模糊化，具体为：

2-2-1)假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则表达形式为：

$R^i:IF{\mathrm{rin}}_1{\mathrm{is\μ}}_1^{i}and...,{\mathrm{rin}}_n{\mathrm{is\μ}}_n^i,thenoutputis{B}^i,i=1,2,\mathrm{.......},N$

其中，

为rin_j,j＝1,2,.......,n的隶属度函数，

rin＝[rin₁ rin₂ ... rin_n]表示模糊系统的输入向量，n表示输入向量有n个元素，

Bⁱ代表符合第i条模糊规则的模糊系统的输出；

则模糊系统的输出为：

其中，ξ＝[ξ₁(rin) ξ₂(rin) ... ξ_N(rin)]^T为模糊基向量，为模糊基向量的第i个元素，，θ＝[θ₁ θ₂ ... θ_N]^T，θ为自适应模糊参数；

2-2-2)用模糊系统逼近非线性函数f的x轴输出，用模糊系统逼近非线性函数f的y轴输出，相应的模糊系统设计为：

其中，θ₁为模糊系统的自适应模糊参数，θ₁＝[θ₁₁ θ₁₂ ... θ_1N]^T，

θ₂为模糊系统的自适应模糊参数，θ₂＝[θ₂₁ θ₂₂ ... θ_2N]^T；

2-2-3)定义模糊函数Φ如下：

其中，自适应模糊参数

2-2-4)定义最优自适应模糊参数为θ^*，则最优模糊函数Φ^*为，Φ^*＝ξ^T(rin)θ^*，用模糊函数Φ逼近非线性函数f，对于给定的任意小的常量ε,ε＞0，如下不等式成立：||f-Φ^*||≤ε；

2-3)基于Lyapunov稳定性理论，设计模糊自适应律，

Lyapunov函数V为

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\\ =V_2+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(21\right)$

其中，τ为自适应调节参数，为自适应模糊参数误差，

所述模糊自适应律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ}{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\right)}^T-2\mathrm{\γ}\mathrm{\θ}---\left(24\right)$

其中，γ，γ＞0为自适应律的第二个调节参数。

前述的步骤1)中，微陀螺仪的非量纲动力学状态方程的构建过程为：

1-1)假定微陀螺仪系统的输入角速度在足够长的时间内保持不变，得到微陀螺仪的动力学方程如下：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+\[k_{xx}-m({\mathrm{\Ω}}_y^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]x+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+\[k_{yy}-m({\mathrm{\Ω}}_x^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]y+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}x=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

式中，m为微陀螺仪的质量；x,y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标；d_xx,d_yy分别表示两轴的阻尼系数；k_xx,k_yy分别表示两轴的弹簧系数；Ω_x，Ω_y，Ω_z是角速度沿三个轴方向的分量；u_x，u_y是两轴的控制输入；最后两项表示科里奥利力；

1-2)由制造过程中产生的误差造成的微陀螺仪结构不对称引起两轴附加耦合，再考虑制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪集中参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+d_{xy}\stackrel{\·}{y}+k_{xx}x+k_{xy}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{xy}\stackrel{\·}{x}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+k_{xy}x+k_{yy}y=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，k_xy,d_xy分别为耦合的弹簧系数和阻尼系数，合称为正交误差；

1-3)将式(2)进行非量纲处理，即将式(2)的两侧同除以微陀螺仪的质量m、参考长度q₀、两轴的共振频率的平方得到如式(3)所示的非量纲化动力学方程形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}+D_{xx}\stackrel{\·}{x}+D_{xy}\stackrel{\·}{y}+w_x^{2}x+w_{xy}y=u_x+2{\mathrm{\Ω}}_Z\stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{y}+D_{xy}\stackrel{\·}{x}+D_{yy}\stackrel{\·}{y}+w_{xy}x+w_y^{2}y=u_y-2{\mathrm{\Ω}}_Z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(3\right)$

其中：

记作记作记作记作记作记作记作Ω_Z；

1-4)将式(3)写成向量形式为：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+Kq=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(4\right)$

其中，

1-5)定义将式(4)改写为如下状态方程形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=-(D+2\mathrm{\Ω})x_2-{\mathrm{Kk}}_1+u\end{array}\right.---\left(5\right)$

考虑到系统存在的外来干扰和系统本身的不确定性，状态方程可表示为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=\[-(D+2\mathrm{\Ω})+{\mathrm{\ΔA}}_1\]x_2+(-K+{\mathrm{\ΔA}}_2)x_1+(1+\mathrm{\Δ}B)u+d\left(t\right)\\ =-(D+2\mathrm{\Ω})x_2-{\mathrm{Kx}}_1+u+F\left(t\right)\end{array}---\left(6\right)$

式(6)中，ΔA₁、ΔA₂、ΔB均为系统的不确定性因子，d(t)为微陀螺仪系统的外来的干扰，F(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+d(t)为系统的不确定性和外来干扰。

由上说明的技术方案可以看出本发明的有益效果在：达到稳态后，微陀螺仪的动态特性是一种理想模式，补偿了制造误差和环境干扰；运用反演方法设计的自适应模糊滑模控制方法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性；自适应模糊滑模控制避免了控制器对系统模型的依赖性，使算法获得了学习能力，可以及时调整参数，提高了系统对参数变化的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明微振动陀螺仪的简化模型示意图；

图2为本发明反演自适应模糊滑模控制原理图；

图3为本发明的具体实施例中隶属度函数；

图4为本发明的具体实施例中实际输出追踪期望曲线的时域响应曲线图；

图5为本发明的具体实施例中控制力输入的时域响应曲线图；

图6为本发明的具体实施例中跟踪误差e₁的时域响应曲线图；

图7为本发明的具体实施例中滑模面的时域响应曲线图；

图8为本发明的具体实施例中自适应模糊参数θ₁的时域响应曲线图；

图9为本发明的具体实施例中自适应模糊参数θ₂的时域响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施作对本发明作进一步说明：

本发明的微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法，包括以下几部分：

一、建立微陀螺仪的非量纲动力学方程

一般的微机械振动陀螺仪由三个部分组成：弹性材料所支撑悬挂的质量块、静电驱动装置、感测装置，将其简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振荡系统。如图1所示，其显示了在笛卡尔坐标系下简化的z轴微机械振动陀螺仪模型。

对z轴微陀螺仪而言，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动。假定输入角速度在足够长的时间内保持不变，可以得到下式：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+\[k_{xx}-m({\mathrm{\Ω}}_y^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]x+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+\[k_{yy}-m({\mathrm{\Ω}}_x^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]y+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}x=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

式(1)中，m为微陀螺仪的质量，x,y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标；d_xx,d_yy分别表示两轴的阻尼系数；k_xx,k_yy分别表示两轴的弹簧系数；Ω_x，Ω_y，Ω_z是角速度沿三个轴方向的分量；u_x，u_y是两轴的控制输入；最后两项表示科里奥利力，也是用来测量Ω_z的量。

由制造过程中产生的误差造成的微陀螺仪结构不对称引起两轴附加耦合，再考虑制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪集中参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+d_{xy}\stackrel{\·}{y}+k_{xx}x+k_{xy}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{xy}\stackrel{\·}{x}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+k_{xy}x+k_{yy}y=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(2\right)$

上式中，k_xy,d_xy分别为耦合的弹簧系数和阻尼系数，合称为正交误差。这两个分量是未知的，但可以被假设为较小。质量块的质量可以唯一确定，x,y轴的弹簧系数和阻尼系数的值已知，但都具有较小的未知变化。

式(2)表示的微机械振动陀螺仪数学模型是一种有量纲的形式，即式中的各个物理量不仅要考虑数值大小，还要考虑到各物理量单位的一致性，这样就无形中增加了控制器设计的复杂度，因此有必要对模型进行如下的非量纲化处理。将式(2)的两侧同除以微陀螺仪的质量m、参考长度q₀、两轴的共振频率的平方得到如下非量纲化模型：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}+D_{xx}\stackrel{\·}{x}+D_{xy}\stackrel{\·}{y}+w_x^{2}x+w_{xy}y=u_x+2{\mathrm{\Ω}}_Z\stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{y}+D_{xy}\stackrel{\·}{x}+D_{yy}\stackrel{\·}{y}+w_{xy}x+w_y^{2}y=u_y-2{\mathrm{\Ω}}_Z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(3\right)$

其中：

记作记作记作记作记作记作记作Ω_Z。

式(3)写成向量形式为：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+Kq=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(4\right)$

其中，

二、设计反演自适应模糊滑模控制器

1、微陀螺仪数学模型的变换

定义将上式(4)改写为如下形式：

考虑到系统存在的外来干扰和系统本身的不确定性，其状态方程可表示为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=\[-(D+2\mathrm{\Ω})+{\mathrm{\ΔA}}_1\]x_2+(-K+{\mathrm{\ΔA}}_2)x_1+(1+\mathrm{\Δ}B)u+d\left(t\right)\\ =-(D+2\mathrm{\Ω})x_2-{\mathrm{Kx}}_1+u+F\left(t\right)\end{array}---\left(6\right)$

式(6)中，ΔA₁、ΔA₂、ΔB均为系统的不确定性因子，d(t)为微陀螺仪系统的外来的干扰，F(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+d(t)为系统的不确定性和外来干扰。

2、反演滑模控制器的设计

取期望函数为r，r＝[r₁ r₂]^T，则跟踪误差函数e₁和e₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-{\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中α₁为虚拟控制量，设计为：

${\mathrm{\α}}_1=-c_1{e}_1+\stackrel{\·}{r}---\left(8\right)$

式中,c₁为误差系数，其满足c₁＞0。

针对跟踪误差系统e₁，选取一个Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(9\right)$

V₁对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1=e_1^T{\stackrel{\·}{e}}_1\\ =e_1^T(x_2-\stackrel{\·}{r})\\ =e_1^T(e_2-c_1{e}_1)\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2\end{array}---\left(10\right)$

当e₂＝0时，易知满足负定性，满足全局渐进稳定，跟踪误差e₁渐进收敛到零。

定义第二个Lyapunov函数V₂：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(11\right)$

其中，s是切换函数，也称为滑模面函数，

定义滑模面函数s为：

s＝ce₁+e₂ (12)

其中c为滑模项系数，

则

$e_1=\frac{1}{c}(s-e_2)---\left(13\right)$

V₂对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2=-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+s^T(c{\stackrel{\·}{e}}_1+{\stackrel{\·}{e}}_2)\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+s^T\[c(x_2-\stackrel{\·}{r})+{\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1\]\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+s^T\[c(e_2+{\mathrm{\α}}_1-\stackrel{\·}{r})-(D+2\mathrm{\Ω})x_2-{\mathrm{Kx}}_1+u+F\left(t\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1\]\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2+s^T\[(c+\frac{1}{c})e_2+c({\mathrm{\α}}_1-\stackrel{\·}{r})+u+F\left(t\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1+f\]\end{array}---\left(14\right)$

其中,f＝-(D+2Ω)x₂-Kx₁。

在反演滑模控制器的设计中，采用指数趋近律，滑模面函数满足：

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ρ}s-k\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(15\right)$

其中，ρ、k为趋近律参数，满足ρ＞0,k＞0。

由式(14)和式(15)，根据Lyapunov稳定性理论，选取反演滑模控制律φ₁如下所示：

${\mathrm{\φ}}_1=-\[(\frac{1}{c}+c)e_2+c({\mathrm{\α}}_1-\stackrel{\·}{r})-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1\]-F_{max}-\mathrm{\Φ}-\mathrm{\ρ}s-k\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(16\right)$

其中，F_max为系统的不确定性和外来干扰的上限，Φ为模糊函数，

将式(16)所表示的反演滑模控制律φ₁作为微陀螺系统的控制输入代入式(14)，得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2=-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2+s^T\[F\left(t\right)+f-F_{\max }-\mathrm{\Φ}-\mathrm{\ρ}s-k\mathrm{sgn}\left(s\right)\]\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2+s^T\[F\left(t\right)-F_{\max }\]+s^T(f-\mathrm{\Φ})-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+s^T\[F\left(t\right)-F_{\max }\]+s^T(f-\mathrm{\Φ})-{\mathrm{\ρs}}^{T}s\end{array}---\left(17\right)$

由f的表达式可见，f包含了微陀螺仪系统的建模信息。

3、模糊化

为了实现无需模型信息的控制，通过模糊系统逼近f。采用单值模糊化、乘积推理机和重心平均反模糊化，过程如下：

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则表达形式为：

$R^i:IF{\mathrm{rin}}_1{\mathrm{is\μ}}_1^{i}and...,{\mathrm{rin}}_n{\mathrm{is\μ}}_n^i,thenoutputis{B}^i,i=1,2,\mathrm{.......},N$

其中，为rin_j,j＝1,2,.......,n的隶属度函数，

rin＝[rin₁ rin₂ ... rin_n]表示模糊系统的输入向量，n表示输入向量有n个元素，

Bⁱ代表符合第i条模糊规则的模糊系统的输出。

则模糊系统的输出为：

其中，ξ＝[ξ₁(rin) ξ₂(rin) ... ξ_N(rin)]^T为模糊基向量，为模糊基向量的第i个元素，，θ＝[θ₁ θ₂ ... θ_N]^T，θ为自适应模糊参数。

针对f的模糊逼近，为了更好的区分微陀螺仪的两轴输出x和y，即对应的非线性函数f的x和y分量，f_x和f_y，采用模糊系统逼近f_x，模糊系统逼近f_y，相应的模糊系统设计为：

其中，θ₁为模糊系统的自适应模糊参数，θ₁＝[θ₁₁ θ₁₂ ... θ_1N]^T，

θ₂为模糊系统的自适应模糊参数，θ₂＝[θ₂₁ θ₂₂ ... θ_2N]^T；

定义模糊函数Φ如下：

其中，自适应模糊参数

定义最优自适应模糊参数为θ^*，则最优模糊函数Φ^*为，Φ^*＝ξ^T(rin)θ^*，用模糊函数Φ逼近非线性函数f，对于给定的任意小的常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：f-Φ^*||≤ε。

令 为自适应模糊参数误差。

4、设计模糊自适应律

对于整个系统，取Lyapunov函数V为

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\\ =V_2+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(21\right)$

其中，τ为自适应调节参数，τ＞0。V对时间t求导，得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}={\stackrel{\·}{V}}_2-\frac{1}{\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+s^T\[F\left(t\right)-F_{\max }\]+s^T(f-\mathrm{\Φ})-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+s^T\[F\left(t\right)-F_{\max }\]+s^T(f-{\mathrm{\ξ}}^T(rin\left)\mathrm{\θ}\right)-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+s^T\[F\left(t\right)-F_{\max }\]+s^T(f-{\mathrm{\ξ}}^T(rin\left){\mathrm{\θ}}^{*}\right)-{\mathrm{\ρs}}^{T}s\\ +s^T\left({\mathrm{\ξ}}^T\right(rin){\mathrm{\θ}}^{*}-{\mathrm{\ξ}}^T(x\left)\mathrm{\θ}\right)-\frac{1}{\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(22\right)$

则

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+s^T\[F\left(t\right)-F_{\max }\]+||s^T||\·||f-{\mathrm{\ξ}}^T\left(rin\right){\mathrm{\θ}}^{*}||-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+s^T\left({\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\widetilde{\mathrm{\θ}}\right)-\frac{1}{\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\\ \≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+s^T\[F\left(t\right)-F_{\max }\]+||s^T||\·\mathrm{\ϵ}-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\[{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\right)}^T-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\]\\ \≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+\frac{1}{2}{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\[{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\right)}^T-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\]\\ \≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+\frac{1}{2}{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\[{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\right)}^T-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\]\\ \≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\[{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\right)}^T-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\]\end{array}---\left(23\right)$

基于Lyapunov稳定性理论，选取自适应律如下式所示：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ}{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\right)}^T-2\mathrm{\γ}\mathrm{\θ}---\left(24\right)$

其中，γ(γ＞0)为自适应律的第二个调节参数，

将自适应律式(24)代入上式(23)中，得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\mathrm{\θ}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}(2{\mathrm{\θ}}^{*T}\mathrm{\θ}-2{\mathrm{\θ}}^T\mathrm{\θ})\end{array}---\left(25\right)$

由(θ-θ^*)^T(θ-θ^*)≥0得2θ^*Tθ-2θ^Tθ≤-θ^Tθ+θ^*Tθ^*，代入上式中，得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}(-{\mathrm{\θ}}^T\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*})\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s+\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}(-{\mathrm{\θ}}^T\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*})\\ +\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\end{array}---\left(26\right)$

由(θ+θ^*)^T(θ+θ^*)≥0得-θ^*Tθ-θ^Tθ^*≤θ^*Tθ^*+θ^Tθ，则

${\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}={({\mathrm{\θ}}^{*}-\mathrm{\θ})}^T({\mathrm{\θ}}^{*}-\mathrm{\θ})={\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}+{\mathrm{\θ}}^T\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}^{*T}\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}^T{\mathrm{\θ}}^{*}\≤2{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}+2{\mathrm{\θ}}^T\mathrm{\θ}---\left(27\right)$

即

$-{\mathrm{\θ}}^T\mathrm{\θ}-{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\≤-\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}---\left(28\right)$

则

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+{||s^T||}^2+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}\left(\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\right)+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+s^{T}s+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}-(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2-\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\\ =-\frac{2}{2}{c}_1{e}_1^T{e}_1-\frac{2}{2}(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s-\frac{\mathrm{\γ}}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\end{array}---\left(29\right)$

其中，ρ＞1。

定义c₀＝min{2c₁,2(ρ-1),γ}，则

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-\frac{c_0}{2}(e_1^T{e}_1+s^{T}s+\frac{1}{\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}})-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\\ =-c_{0}V-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+\frac{1}{2}{||F\left(t\right)-F_{\max }||}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\end{array}---\left(30\right)$

由于干扰F(t)∈Rⁿ有界，所以存在常数ε₁，ε₁＞0,满足||F(t)-F_max||²≤ε₁，则

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-c_{0}V-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2-k\frac{s}{\left|s\right|}+\frac{1}{2}{{\mathrm{\ϵ}}_1}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2+\frac{2\mathrm{\γ}}{\mathrm{\τ}}{\mathrm{\θ}}^{*T}{\mathrm{\θ}}^{*}\\ =-c_{0}V+c_{V\max }\end{array}---\left(31\right)$

其中，

求解方程(31)，得

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}V\left(t\right)\≤V\left(0\right)\exp (-c_{0}t)+\frac{c_{Vmax}}{c_0}\[1-\exp (-c_{0}t)\]\\ \≤V\left(0\right)+\frac{c_{V\max }}{c_0}\end{array}& \∀t\≥0\end{array}---\left(32\right)$

其中V(0)为V的初始值，定义紧集则

则得到结论为：满足Lyapunov定理，V有界，且闭环系统所有信号有界。由此可以得出误差系统e₁、滑模面函数s、自适应模糊参数θ将在有限时间内收敛到0，从而可以验证用本发明所提出的反演自适应模糊滑模控制方法，能很好地实现对微陀螺仪的滑模控制。

三、Matlab仿真实验

从现有文献中，选择一组微陀螺仪的参数如下：

$\begin{array}{c}m=1.8\×{10}^{-7}kg,k_{xx}=63.955N/m,k_{yy}=95.92N/m,k_{xy}=12.779N/m\\ d_{xx}=1.8\×{10}^{-6}N\·s/m,d_{yy}=1.8\×{10}^{-6}N\·s/m,d_{xy}=3.6\×{10}^{-7}N\·s/m\end{array}---\left(33\right)$

取输入角速度为Ω_z＝100rad/s,参考长度为q₀＝1μm，参考频率为w₀＝1kHz。

设期望函数为：r₁＝sin(4.17t),r₂＝1.2sin(5.11t)，

取滑模项系数c＝15，误差系数c₁＝10，自适应调节参数τ＝2,γ＝1.5，趋近律参数ρ＝20，k＝1000，

初始条件设置为：q(0)＝[1 1]^T，

白噪声干扰分别取为10sin(4.17t)和12sin(5.11t),

模糊隶属度函数选取为：

${\mathrm{\μ}}_{F_i}^1=\exp \[-0.5{\left(\right(x_i+A_i/2)/(A_i/4\left)\right)}^2\],$

${\mathrm{\μ}}_{F_i}^2=\exp \[-0.5{(x_i/(A_i/4\left)\right)}^2\],$

${\mathrm{\μ}}_{F_i}^3=\exp \[-0.5{\left(\right(x_i-A_i/2)/(A_i/4\left)\right)}^2\],(i=1,2,3,4),$

其中A_i对应期望函数的幅值，在本实施例中选取为[1 1.2 4.17 6.132]，隶属度函数参见图3。

实验的结果如图4、图5、图6、图7、图8、图9所示。

图4表示的是微陀螺仪系统的实际输出在x-y轴方向上的轨迹追踪曲线。实线为期望函数轨迹，虚线为实际输出轨迹，仿真结果表明实际微陀螺仪的轨迹能够很快追踪上期望模型，整个闭环系统渐进稳定。

图5表示的是两轴控制力输入值变化曲线，仿真结果表明控制力在-1000～1000之间稳定振荡，整个系统渐进稳定。

图6表示的是两轴的跟踪误差e₁的曲线。仿真结果显示，在存在外部干扰—白噪声的情况下，微陀螺仪仍能很好的追踪，表明系统具有较强的鲁棒性，可以改善微陀螺仪的动态特性。

图7表示的是系统的滑模面函数，仿真结果显示，经过短暂的抖振之后，滑模面函数迅速趋近于零，实现系统的稳定性。

图8、9表示的是系统的自适应模糊参数的估计图，本实施例中模糊函数选取为三个，故每个θ会出现三个分量，仿真结果显示参数可以在较短的时间内收敛到零，保证系统的全局稳定性。

Claims (1)

1.微陀螺仪的反演自适应模糊滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立微陀螺仪的非量纲动力学状态方程；

所述微陀螺仪的非量纲动力学状态方程的构建过程为：

1-1)假定微陀螺仪系统的输入角速度在足够长的时间内保持不变，得到微陀螺仪的动力学方程如下：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+\[k_{xx}-m({\mathrm{\Ω}}_y^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]x+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+\[k_{yy}-m({\mathrm{\Ω}}_x^2+{\mathrm{\Ω}}_z^2)\]y+{\mathrm{m\Ω}}_x{\mathrm{\Ω}}_{y}x=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

式中，m为微陀螺仪的质量；x,y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标；d_xx,d_yy分别表示两轴的阻尼系数；k_xx,k_yy分别表示两轴的弹簧系数；Ω_x，Ω_y，Ω_z是角速度沿三个轴方向的分量；u_x，u_y是两轴的控制输入；最后两项表示科里奥利力；

1-2)由制造过程中产生的误差造成的微陀螺仪结构不对称引起两轴附加耦合，再考虑制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪集中参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+d_{xy}\stackrel{\·}{y}+k_{xx}x+k_{xy}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{xy}\stackrel{\·}{x}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+k_{xy}x+k_{yy}y=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，k_xy,d_xy分别为耦合的弹簧系数和阻尼系数，合称为正交误差；

1-3)将式(2)进行非量纲处理，即将式(2)的两侧同除以微陀螺仪的质量m、参考长度q₀、两轴的共振频率的平方得到如式(3)所示的非量纲化动力学方程形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}+D_{xx}\stackrel{\·}{x}+D_{xy}\stackrel{\·}{y}+w_x^{2}x+w_{xy}y=u_x+2{\mathrm{\Ω}}_Z\stackrel{\·}{y}\\ \stackrel{\·\·}{y}+D_{xy}\stackrel{\·}{x}+D_{yy}\stackrel{\·}{y}+w_{xy}x+w_y^{2}y=u_y-2{\mathrm{\Ω}}_Z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(3\right)$

其中：

记作记作记作记作记作记作记作Ω_Z；

1-4)将式(3)写成向量形式为：

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+Kq=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(4\right)$

其中，

1-5)定义将式(4)改写为如下状态方程形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=-(D+2\mathrm{\Ω})x_2-{\mathrm{Kx}}_1+u\end{array}\right.---\left(5\right)$

考虑到系统存在的外来干扰和系统本身的不确定性，状态方程可表示为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=\[-\left(D+2\mathrm{\Ω}\right)+{\mathrm{\ΔA}}_1\]x_2+\left(-K+{\mathrm{\ΔA}}_2\right)x_1+\left(1+\mathrm{\Δ}B\right)u+d\left(t\right)\\ =-\left(D+2\mathrm{\Ω}\right)x_2-{\mathrm{Kx}}_1+u+F\left(t\right)\end{array}---\left(6\right)$

式(6)中，ΔA₁、ΔA₂、ΔB均为系统的不确定性因子，d(t)为微陀螺仪系统的外来的干扰，F(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+d(t)为系统的不确定性和外来干扰；

2)设计反演自适应模糊滑模控制器，具体步骤如下：

2-1)设计反演滑模控制器，包括：

2-1-1)定义跟踪误差函数e₁和e₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-{\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，α₁为虚拟控制量，r为期望函数；

2-1-2)针对跟踪误差函数e₁，选取Lyapunov函数V₁，并计算其导数

所述Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(9\right)$

所述为：

${\stackrel{\·}{V}}_1=-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2---\left(10\right)$

其中，c₁为误差系数，

当e₂＝0时，满足负定性，满足全局渐进稳定，跟踪误差函数e₁渐进收敛到零；

2-1-3)定义Lyapunov函数V₂，并计算其导数

所述Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(11\right)$

所述为：

${\stackrel{\·}{V}}_2=-c_1{e}_1^T{e}_1-\frac{1}{c}{e}_2^T{e}_2+s^T\[\left(c+\frac{1}{c}\right)e_2+c({\mathrm{\α}}_1-\stackrel{\·}{r})+u+F\left(t\right)-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1+f\]---\left(14\right)$

其中，c为滑模项系数，s为滑模面函数，f＝-(D+2Ω)x₂-Kx₁；

2-1-4)基于指数趋近律，设计反演滑模控制器，滑模面函数s满足：

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ρ}s-k\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(15\right)$

其中，ρ、k为趋近律参数，满足ρ＞0,k＞0；

根据Lyapunov稳定定理设计反演滑模控制器的控制律φ₁如式(16)所示：

${\mathrm{\φ}}_1=-\[\left(\frac{1}{c}+c\right)e_2+c({\mathrm{\α}}_1-\stackrel{\·}{r})-{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1\]-F_{max}-\mathrm{\Φ}-\mathrm{\ρ}s-k\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(16\right)$

其中，F_max为系统的不确定性和外来干扰的上限，Φ为模糊函数；

2-1-5)将所述步骤2-1-4)得到的反演滑模控制律φ₁作为微陀螺仪的控制输入代入到Lyapunov函数V₂的导数所述中包含非线性函数f，f包含微陀螺仪系统的建模信息；

2-2)对反演滑模控制器进行模糊化，具体为：

2-2-1)假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则表达形式为：

$R^i:IF{\mathrm{rin}}_{1}is{\mathrm{\μ}}_1^{i}and...,{\mathrm{rin}}_n{\mathrm{is\μ}}_n^i,thenoutputis{B}^i,i=1,2,\mathrm{.......},N$

其中，为rin_j,j＝1,2,.......,n的隶属度函数，

rin＝[rin₁ rin₂ ... rin_n]表示模糊系统的输入向量，n表示输入向量有n个元素，

Bⁱ代表符合第i条模糊规则的模糊系统的输出；

则模糊系统的输出为：

其中，ξ＝[ξ₁(rin) ξ₂(rin) ... ξ_N(rin)]^T为模糊基向量，为模糊基向量的第i个元素，θ＝[θ₁ θ₂ ... θ_N]^T，θ为自适应模糊参数；

2-2-2)用模糊系统逼近非线性函数f的x轴输出，用模糊系统逼近非线性函数f的y轴输出，相应的模糊系统设计为：

其中，θ₁为模糊系统的自适应模糊参数，θ₁＝[θ₁₁ θ₁₂ ... θ_1N]^T，

θ₂为模糊系统的自适应模糊参数，θ₂＝[θ₂₁ θ₂₂ ... θ_2N]^T；

2-2-3)定义模糊函数Φ如下：

其中，自适应模糊参数

2-2-4)定义最优自适应模糊参数为θ^*，则最优模糊函数Φ^*为，Φ^*＝ξ^T(rin)θ^*，用模糊函数Φ逼近非线性函数f，对于给定的任意小的常量ε,ε＞0，如下不等式成立：||f-Φ^*||≤ε；

2-3)基于Lyapunov稳定性理论，设计模糊自适应律，

Lyapunov函数V为：

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\\ =V_2+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(21\right)$

其中，τ为自适应调节参数，为自适应模糊参数误差，

所述模糊自适应律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ}{\left(s^T{\mathrm{\ξ}}^T\right(rin\left)\right)}^T-2\mathrm{\γ}\mathrm{\θ}---\left(24\right)$

其中，γ，γ＞0为自适应律的第二个调节参数。