CN104950674A - 基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，包括步骤有：建立动态的悬臂梁数学模型，并进行悬臂梁数学模型的转换；基于Lyapunov稳定性理论设计反演滑模控制器，并得到滑模控制律；基于Lyapunov稳定性理论设计模糊自适应系统，并得到模糊自适应律；将反演滑模控制器的输出和模糊自适应系统的输出共同输入悬臂梁数学模型；将悬臂梁数学模型的输出实时反馈到模糊自适应系统，确保全局稳定性。本发明的有益效果：可避免控制系统对悬臂梁模型的依赖性，补偿制造误差和环境干扰，并可以及时控制参数的学习和调整，确保整个控制系统的全局渐进稳定性，从而提高系统的可靠性和对参数变化的鲁棒性。

Description

基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法

技术领域

本发明涉及一种悬臂梁的控制方法，特别是涉及一种基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，属于悬臂梁控制技术领域。

背景技术

悬臂梁是指梁的一端为不产生轴向、垂直位移和转动的固定支座，另一端为自由端(可以产生平行于轴向和垂直于轴向的力)。在工程力学受力分析中，比较典型的简化模型。在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。

随着科学技术的发展日新月异，航空航天技术的飞速发展，空间活动规模的日益扩大，对航空航天技术和空间结构的要求也越来越严格，大量的航天空间结构，如大型模块化的宇宙空间站、太阳能帆板、卫星天线、高精度光学系统及其支承体结构、空间机械臂等都有向柔性化发展的趋势。柔性构件的使用不仅增加了航天器设计和制造的灵活性，同时也降低了发射成本，因此，柔性构件的广泛采用是一个必然的趋势。但柔性构件也存在不足之处，那就是其在运动或定位时容易产生弹性振动，在运动结束时也会产生残余振动，所引起的振动对运动平稳性和定位精度有着很大的影响。例如：空间机器人及航天器挠性附件如太阳帆板等在扰动情况下，其大幅度的自由振动要延续很长时间，这将影响稳定性和指向控制精度，尤其是当需要精确地控制其位置和指向时。国际空间探索中发生过类似的事故，如美国发射的陆地卫星观测仪的旋转部分，由于受到太阳能帆板驱动系统的干扰而振动，影响了观测仪的稳定工作，大大降低了其传送图像的质量，又如美国1958年发射的“探索者l号”通讯卫星，由于其四根鞭状天线的振动耗散了很多能量，在正常工作了一段时间以后，出现了意想不到的卫星翻滚现象，最终导致任务失败。就国内而言，随着我国航空航天事业的迅速发展，振动问题也日益突出，如东方红三号通讯卫星就因为太阳能帆板的振动而产生过严重的问题。

传统抑制振动的方法是通过被动的隔振，减振的方法来起到减振的目的，而这些方法比较被动、死板、适应性差，不能对多变的外界振动进行实时的控制。为了克服上述困难，振动主动控制被提出来，振动主动控制能够实时感受到外界的振动情况，做出适当的反应，输出控制信号，来抑制振动。结构系统的抗振动性能对于系统的工作可靠性和精度是至关熏要的。大量的工程结构在实际运行中普遍承受振动环境的激励，若不采取措施对这些结构的振动予以抑制，就会影响结构上各部件的工作性能和寿命，严重时会使其功能失效。因此，为了提高结构的工作性能和精度，必须对结构进行实时振动控制。

国际上的文章有将各种先进控制方法应用到悬臂梁的控制当中，典型的有自适应控制和模糊控制方法。这些实现了对悬臂梁的轨迹控制。但自适应控制对外界扰动的鲁棒性很低，易使系统变得不稳定。由此可见，悬臂梁振动控制显然仍存在有不便与缺陷，而亟待加以进一步改进。

发明内容

本发明的主要目的在于，克服现有技术中的不足，提供一种基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，可避免控制系统对悬臂梁模型的依赖性，补偿制造误差和环境干扰，并可以及时控制参数的学习和调整，确保整个控制系统的全局渐进稳定性，从而提高系统的可靠性和对参数变化的鲁棒性。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案是：

一种基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，包括以下步骤：

1)建立动态的悬臂梁数学模型，并进行悬臂梁数学模型的转换；

2)基于Lyapunov稳定性理论设计反演滑模控制器，并得到滑模控制律；

3)基于Lyapunov稳定性理论设计模糊自适应系统，并得到模糊自适应律；

4)将反演滑模控制器的输出和模糊自适应系统的输出共同输入悬臂梁数学模型；

5)将悬臂梁数学模型的输出实时反馈到模糊自适应系统，确保全局稳定性。

本发明进一步设置为，所述步骤1)中动态的悬臂梁数学模型为

$\stackrel{\·\·}{q}+C\stackrel{\·}{q}+\mathrm{Kq}=u---\left(1\right)$

其中，C为阻尼项，K为频率项，q为悬臂梁振动轨迹，u为输入向量；

进行悬臂梁数学模型的转换，通过定义K＝K_b，将式(1)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={-\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u\end{array}\right.---\left(2\right)$

考虑到系统存在的外来干扰和本身的不确定性，式(2)可表示为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=[-C+{\mathrm{\ΔA}}_1]x_2+({-K}_b+{\mathrm{\ΔA}}_2)x_1+(1+\mathrm{\ΔB})u+\mathrm{\η}\\ =f\left(x\right)+u+H\left(t\right)\end{array}---\left(3\right)$

在式(3)中，f(x)＝-Cx₂-K_bx₁，ΔA₁、ΔA₂、ΔB为系统的不确定性因子，η为外来的干扰，H(t)包括系统的不确定性和外来干扰，H(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+η。

本发明进一步设置为，所述步骤2)设计反演滑模控制器，具体包括以下步骤：

2-1)定义跟踪误差函数e₁和e₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中α为虚拟控制量，r为期望函数，由式(4)得到

$\mathrm{\α}={-c}_1{e}_1+\stackrel{\·}{r}---\left(5\right)$

式(5)中，c₁＞0为误差系数；

2-2)针对跟踪误差系统e₁，选取第一个Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(6\right)$

将Lyapunov函数V₁对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1=e_1^T{\stackrel{\·}{e}}_1\\ =e_1^T(x_2-\stackrel{\·}{r})\\ =e_1^T(e_2-c_1{e}_1)\\ ={-c}_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2\end{array}---\left(7\right)$

当e₂＝0时，获知满足负定性，此时跟踪误差系统e₁＝x₁-r满足全局渐进稳定，跟踪误差e₁渐进收敛到零；

2-3)选取第二个Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(8\right)$

s＝λe₁+e₂   (9)

其中，s是切换函数、即滑模面函数式(9)，式(9)中λ为滑模系数；

将切换函数s对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=\mathrm{\λ}{\stackrel{\·}{e}}_1+{\stackrel{\·}{e}}_2\\ =\mathrm{\λ}(e_2-c_1{e}_1)+({\stackrel{\·}{x}}_2-\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})\\ =\mathrm{\λ}(e_2-c_1{e}_1)-{\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)+c_1(e_2-c_1{e}_1)-\stackrel{\·\·}{r}\\ =(\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1)-{\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r}\end{array}---\left(10\right)$

将Lyapunov函数V₂对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2={-c}_1{e}_1^T+e_1^T{e}_2+s^T\stackrel{\·}{s}\\ ={-c}_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+s^T((\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1){-\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r})\\ ={-c}_1{e}_1^T{e}_1+s^T(\frac{s}{{\left|\right|s\left|\right|}^2}{e}_1^T{e}_2+(\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1)+f\left(x\right)+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r})\end{array}---\left(11\right)$

其中，f(x)＝-Cx₂-K_bx₁；

2-4)采用指数趋近律，设计反演滑模控制器，滑模面函数s满足：

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ρs}-\mathrm{ksgn}\left(s\right)---\left(12\right)$

其中，ρ,k均为滑模项系数，满足ρ＞0,k＞0；

由式(11)和式(12)，可得到滑模控制律如下所示：

将式(13)带入式(11)，得

其中，H_max为系统的不确定性和外来干扰的上限，为模糊函数。

本发明进一步设置为，所述步骤3)设计模糊自适应系统，具体包括以下步骤：

3-1)利用模糊系统逼近包含了悬臂梁系统的建模信息的非线性函数f(x)；

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第_i条模糊规则表达形式为:

Rⁱ:IF x₁ isand….x_n is,then y is Bⁱ(i＝1,2,.......,N)

其中，为x_j(j＝1,2,.......,n)的隶属度函数；

则模糊系统的输出y为：

$y=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_j^i\left(x_j\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_j^i\left(x_j\right)}={\mathrm{\ξ}}^T\mathrm{\θ}---\left(15\right)$

其中，ξ＝[ξ₁(x) ξ₂(x) ... ξ_N(x)]^T，θ为自适应模糊参数，θ＝[θ₁ θ₂ ... θ_N]^T；

定义模糊函数如下：

定义最优逼近常量θ^*，对于给定的任意小的常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：||f-ξ^T(x)θ^*||≤ε；

3-2)选取整个系统的Lyapunov函数V为：

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\\ =V_2+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(17\right)$

其中，τ＞0为自适应调节参数，为自适应模糊参数误差；

将Lyapunov函数V对时间t求导，得：

由柯西-施瓦茨不等式得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+\left|s^T\right|\·|H\left(t\right)-H_{\max }|\\ +\left|s^T\right|\·|f\left(x\right)-{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right){\mathrm{\θ}}^{*}|+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(19\right)$

由数学公式得到可以化简得到如下不等式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+\frac{1}{2}{\left|s^T\right|}^2+\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2\\ +\frac{1}{2}{\left|s^T\right|}^2+\frac{1}{2}{|f-{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right){\mathrm{\θ}}^{*}|}^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\\ \≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+s^{T}s+\\ \frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\\ \≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)\\ -(-\mathrm{\φ}-\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(20\right)$

3-3)根据式子(20)，选取模糊自适应律如下：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ\ξ}\left(x\right)s---\left(21\right)$

将自适应律式(21)代入式(20)中，得到：

$\stackrel{\·}{V}\≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)-(\mathrm{\φ}-\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2)---\left(22\right)$

3-4)当式(22)中ρ≥1，时，得到此时V满足李雅普诺夫稳定性定理，V有界，且闭环系统所有信号有界；由此可以得出误差系统e₁、滑模面函数s、自适应模糊参数θ将在有限时间内收敛到0，确保全局稳定性。

与现有技术相比，本发明具有的有益效果是：

1、在自适应模糊滑模控制中应用反演设计，可降低对系统的动态滑模控制器和自适应律的设计困难度，使整个闭环系统满足期望的动静态性能指标，实现系统的位置追踪，保证系统的全局稳定性；而且既能有效地克服悬臂梁模型的未知项和外界干扰作用，又能大大提高轨迹跟踪精度。

2、在滑模控制中融入自适应模糊控制，避免滑模控制器对系统模型的依赖性，并且自适应控制算法与模糊控制算法结合，使算法获得了学习能力，可以及时调整参数。

3、在悬臂梁系统中应用反演自适应模糊滑模控制，能够实现对系统的有效控制，避免对悬臂梁模型的依赖性，并可以及时控制参数的学习和调整，提高应用系统的鲁棒性，反演模糊滑模算法基于Lyapunov稳定性理论设计，可保证闭环系统的全局稳定性。

4、对悬臂梁的控制不需要建立在对象精确建模的基础上，从而可大幅节省建模费用，经济实用。

上述内容仅是本发明技术方案的概述，为了更清楚的了解本发明的技术手段，下面结合附图对本发明作进一步的描述。

附图说明

图1为本发明的原理图；

图2为采用本发明后稳态干扰下的位移跟踪图。

具体实施方式

下面结合说明书附图，对本发明作进一步的说明。

如图1所示的悬臂梁系统的振动控制原理图，本发明提供一种基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，包括以下步骤：

1)建立动态的悬臂梁数学模型，并进行悬臂梁数学模型的转换；

动态的悬臂梁数学模型为

$\stackrel{\·\·}{q}+C\stackrel{\·}{q}+\mathrm{Kq}=u---\left(1\right)$

其中，C为阻尼项，K为频率项，q为悬臂梁振动轨迹，u为输入向量；

进行悬臂梁数学模型的转换，通过定义K＝K_b，将式(1)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={-\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u\end{array}\right.---\left(2\right)$

考虑到系统存在的外来干扰和本身的不确定性，式(2)可表示为如下形式：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=[-C+{\mathrm{\ΔA}}_1]x_2+({-K}_b+{\mathrm{\ΔA}}_2)x_1+(1+\mathrm{\ΔB})u+\mathrm{\η}\\ =f\left(x\right)+u+H\left(t\right)\end{array}---\left(3\right)$

在式(3)中，f(x)＝-Cx₂-K_bx₁，ΔA₁、ΔA₂、ΔB为系统的不确定性因子，η为外来的干扰，H(t)包括系统的不确定性和外来干扰，H(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+η。

2)基于Lyapunov稳定性理论设计反演滑模控制器，并得到滑模控制律；

2-1)定义跟踪误差函数e₁和e₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中α为虚拟控制量，r为期望函数，由式(4)得到

$\mathrm{\α}={-c}_1{e}_1+\stackrel{\·}{r}---\left(5\right)$

式(5)中，c₁＞0为误差系数；

2-2)针对跟踪误差系统e₁，选取第一个Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(6\right)$

将Lyapunov函数V₁对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1=e_1^T{\stackrel{\·}{e}}_1\\ =e_1^T(x_2-\stackrel{\·}{r})\\ =e_1^T(e_2-c_1{e}_1)\\ ={-c}_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2\end{array}---\left(7\right)$

当e₂＝0时，获知满足负定性，此时跟踪误差系统e₁＝x₁-r满足全局渐进稳定，跟踪误差e₁渐进收敛到零；

2-3)选取第二个Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(8\right)$

s＝λe₁+e₂   (9)

其中，s是切换函数、即滑模面函数式(9)，式(9)中c为滑模系数；

将切换函数s对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=\mathrm{\λ}{\stackrel{\·}{e}}_1+{\stackrel{\·}{e}}_2\\ =\mathrm{\λ}(e_2-c_1{e}_1)+({\stackrel{\·}{x}}_2-\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})\\ =\mathrm{\λ}(e_2-c_1{e}_1)-{\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)+c_1(e_2-c_1{e}_1)-\stackrel{\·\·}{r}\\ =(\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1)-{\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r}\end{array}---\left(10\right)$

将Lyapunov函数V₂对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2={-c}_1{e}_1^T+e_1^T{e}_2+s^T\stackrel{\·}{s}\\ ={-c}_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+s^T((\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1){-\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r})\\ ={-c}_1{e}_1^T{e}_1+s^T(\frac{s}{{\left|\right|s\left|\right|}^2}{e}_1^T{e}_2+(\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1)+f\left(x\right)+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r})\end{array}---\left(11\right)$

其中，f(x)＝-Cx₂-K_bx₁；

2-4)采用指数趋近律，设计反演滑模控制器，滑模面函数s满足：

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ρs}-\mathrm{ksgn}\left(s\right)---\left(12\right)$

其中，ρ,k均为滑模项系数，满足ρ＞0,k＞0；

由式(11)和式(12)，可得到滑模控制律如下所示：

将式(13)带入式(11)，得

其中，H_max为系统的不确定性和外来干扰的上限，为模糊函数。

3)基于Lyapunov稳定性理论设计模糊自适应系统，并得到模糊自适应律；

3-1)利用模糊系统逼近包含了悬臂梁系统的建模信息的非线性函数f(x)；

由f(x)的表达式可见，f(x)包含了悬臂梁系统的建模信息，为了实现无需模型信息的控制，采用模糊系统逼近f(x)；假设为用于逼近非线性函数f(x)的模糊系统，采用单值模糊化、乘积推理机和重心平均反模糊化。

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第_i条模糊规则表达形式为:

Rⁱ:IF x₁ isand….x_n is,then y is Bⁱ(i＝1,2,.......,N)

其中，为x_j(j＝1,2,.......,n)的隶属度函数；

则模糊系统的输出y为：

$y=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_j^i\left(x_j\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_j^i\left(x_j\right)}={\mathrm{\ξ}}^T\mathrm{\θ}---\left(15\right)$

其中，ξ＝[ξ₁(x) ξ₂(x) ... ξ_N(x)]^T，θ为自适应模糊参数，θ＝[θ₁ θ₂ ... θ_N]^T；

定义模糊函数如下：

定义最优逼近常量θ^*，对于给定的任意小的常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：||f-ξ^T(x)θ^*||≤ε；

3-2)选取整个系统的Lyapunov函数V为：

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\\ =V_2+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(17\right)$

其中，τ＞0为自适应调节参数，为自适应模糊参数误差；

将Lyapunov函数V对时间t求导，得：

由柯西-施瓦茨不等式得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+\left|s^T\right|\·|H\left(t\right)-H_{\max }|\\ +\left|s^T\right|\·|f\left(x\right)-{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right){\mathrm{\θ}}^{*}|+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(19\right)$

由数学公式得到可以化简得到如下不等式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+\frac{1}{2}{\left|s^T\right|}^2+\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2\\ +\frac{1}{2}{\left|s^T\right|}^2+\frac{1}{2}{|f-{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right){\mathrm{\θ}}^{*}|}^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\\ \≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-{\mathrm{\ρs}}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+s^{T}s+\\ \frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\\ \≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)\\ -(-\mathrm{\φ}-\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(20\right)$

3-3)根据式子(20)，选取模糊自适应律如下：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ\ξ}\left(x\right)s---\left(21\right)$

将自适应律式(21)代入式(20)中，得到：

$\stackrel{\·}{V}\≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)-(\mathrm{\φ}-\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2)---\left(22\right)$

3-4)当式(22)中ρ≥1，时，得到此时V满足李雅普诺夫稳定性定理，V有界，且闭环系统所有信号有界；由此可以得出误差系统e₁、滑模面函数s、自适应模糊参数θ将在有限时间内收敛到0，确保全局稳定性。

4)将反演滑模控制器的输出和模糊自适应系统的输出共同输入悬臂梁数学模型；

5)将悬臂梁数学模型的输出实时反馈到模糊自适应系统，确保全局稳定性。

将基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法应用到悬臂梁系统中，通过计算机进行仿真实验模拟，得到如图2所示的控制方法下悬臂梁振动轨迹跟踪效果曲线。

由动力学特性，结构振动的最主要贡献在最低的几阶模态，为了说明情况且主要目的在弹性结构振动抑制的仿真，实验只选第一阶模态；为了更加直观地显示基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法的有效性，现采用数学软件MATLAB/SIMULINK对本悬臂梁控制方案进行计算机仿真实验。

参考现有文献，选取悬臂梁的参数为：

C＝0.18,K＝56.4

理想参考轨迹设定为：

$q=0,\stackrel{\·}{q}=0,\stackrel{\·\·}{q}=0$

控制器参数的选取为:c₁＝λ＝20000，k＝1000,φ＝250,ρ＝10,H_max＝10，τ＝2；

仿真实验所加外界干扰为白噪声干扰d＝randn(1,1)，若扰动始终施加，施加控制作用运行仿真程序，得到悬臂梁的反演模糊滑模控制系统的实验结果如图2所示。

从图2可以看出，在稳态扰动下反演模糊滑模控制作用非常明显，施加控制作用下在1s内迅速衰减；控制系统能够使得悬臂梁的输出，在不知道悬臂梁参数和结构以及存在外界干扰作用的情况下，能够迅速地跟踪上给定的理想轨迹，且跟踪误差很小，达到了满意的效果。同时，控制方法对悬臂梁的振动轨迹跟踪有着很好的控制效果，可大大提高悬臂梁系统的跟踪性能和鲁棒性，对悬臂梁振动轨迹的高精度控制提供了理论依据和仿真基础。

本发明的创新点在于，采用基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，在达到稳态后，悬臂梁的动态特性实现理想模式，补偿了制造误差和环境干扰；运用反演方法设计的自适应模糊滑模控制方法能够保证整个闭环系统的全局渐进稳定性；自适应模糊滑模控制避免了控制器对系统模型的依赖性，使算法获得了学习能力，可以及时调整参数，可提高系统的可靠性和对参数变化的鲁棒性。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征及优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (4)

1.一种基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立动态的悬臂梁数学模型，并进行悬臂梁数学模型的转换；

2)基于Lyapunov稳定性理论设计反演滑模控制器，并得到滑模控制律；

3)基于Lyapunov稳定性理论设计模糊自适应系统，并得到模糊自适应律；

4)将反演滑模控制器的输出和模糊自适应系统的输出共同输入悬臂梁数学模型；

5)将悬臂梁数学模型的输出实时反馈到模糊自适应系统，确保全局稳定性。

2.根据权利要求1所述的基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，所述步骤1)中动态的悬臂梁数学模型为

$\stackrel{\·\·}{q}+C\stackrel{\·}{q}+\mathrm{Kq}=u---\left(1\right)$

其中，C为阻尼项，K为频率项，q为悬臂梁振动轨迹，u为输入向量；

进行悬臂梁数学模型的转换，通过定义K＝K_b，将式(1)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={-\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u\end{array}\right.---\left(2\right)$

考虑到系统存在的外来干扰和本身的不确定性，式(2)可表示为如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_2=[-C+{\mathrm{\ΔA}}_1]x_2+(-K_b+{\mathrm{\ΔA}}_2)x_1+(1+\mathrm{\ΔB})u+\mathrm{\η}\\ =f\left(x\right)+u+H\left(t\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

在式(3)中，f(x)＝-Cx₂-K_bx₁，ΔA₁、ΔA₂、ΔB为系统的不确定性因子，η为外来的干扰，H(t)包括系统的不确定性和外来干扰，H(t)＝ΔA₁x₂+ΔA₂x₁+ΔBu+η。

3.根据权利要求1所述的基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，所述步骤2)设计反演滑模控制器，具体包括以下步骤：

2-1)定义跟踪误差函数e₁和e₂为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_1=x_1-r\\ e_2=x_2-\mathrm{\α}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中α为虚拟控制量，r为期望函数，由式(4)得到

$\mathrm{\α}=-c_1{e}_1+\stackrel{\·}{r}---\left(5\right)$

式(5)中，c₁＞0为误差系数；

2-2)针对跟踪误差系统e₁，选取第一个Lyapunov函数V₁为：

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1---\left(6\right)$

将Lyapunov函数V₁对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1=e_1^T{\stackrel{\·}{e}}_1\\ =e_1^T(x_2-\stackrel{\·}{r})\\ =e_1^T(e_2-c_1{e}_1)\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2\end{array}---\left(7\right)$

当e₂＝0时，获知满足负定性，此时跟踪误差系统e₁＝x₁-r满足全局渐进稳定，跟踪误差e₁渐进收敛到零；

2-3)选取第二个Lyapunov函数V₂为：

$V_2=V_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s---\left(8\right)$

s＝λe₁+e₂   (9)

其中，s是切换函数、即滑模面函数式(9)，式(9)中λ为滑模系数；

将切换函数s对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}=\mathrm{\λ}{\stackrel{\·}{e}}_1+{\stackrel{\·}{e}}_2\\ =\mathrm{\λ}(e_2-c_1{e}_1)+({\stackrel{\·}{x}}_2-\stackrel{\·}{\mathrm{\α}})\\ =\mathrm{\λ}(e_2-c_1{e}_1)-{\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)+c_1(e_2-c_1{e}_1)-\stackrel{\·\·}{r}\\ =(\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1)-{\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r}\end{array}---\left(10\right)$

将Lyapunov函数V₂对时间t求导，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2={-c}_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+s^T\stackrel{\·}{s}\\ =-c_1{e}_1^T{e}_1+e_1^T{e}_2+s^T((\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1)-{\mathrm{Cx}}_2-K_b{x}_1+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r})\\ ={-c}_1{e}_1^T{e}_1+s^T(\frac{s}{{\left|\right|s\left|\right|}^2}{e}_1^T{e}_2+(\mathrm{\λ}+c_1)(e_2-c_1{e}_1)+f\left(x\right)+u+H\left(t\right)-\stackrel{\·\·}{r})\end{array}---\left(11\right)$

其中，f(x)＝-Cx₂-K_bx₁；

2-4)采用指数趋近律，设计反演滑模控制器，滑模面函数s满足：

$\stackrel{\·}{s}=-\mathrm{\ρs}-\mathrm{ksgn}\left(s\right)---\left(12\right)$

其中，ρ,k均为滑模项系数，满足ρ＞0,k＞0；

由式(11)和式(12)，可得到滑模控制律u如下所示：

将式(13)带入式(11)，得

其中，H_max为系统的不确定性和外来干扰的上限，为模糊函数。

4.根据权利要求1所述的基于反演模糊滑模控制的悬臂梁振动控制方法，其特征在于，所述步骤3)设计模糊自适应系统，具体包括以下步骤：

3-1)利用模糊系统逼近包含了悬臂梁系统的建模信息的非线性函数f(x)；

假设模糊系统由N条模糊规则构成，第_i条模糊规则表达形式为:

Rⁱ:IF x₁isand….x_n isthen y is Bⁱ(i＝1,2,.......,N)

其中，为x_j(j＝1,2,.......,n)的隶属度函数；

则模糊系统的输出y为：

$y=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\θ}}_i\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_j^i\left(x_j\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_j^i\left(x_j\right)}={\mathrm{\ξ}}^T\mathrm{\θ}---\left(15\right)$

其中，ξ＝[ξ₁(x) ξ₂(x) ... ξ_N(x)]^T，θ为自适应模糊参数，θ＝[θ₁ θ₂ ... θ_N]^T；

定义模糊函数如下：

定义最优逼近常量θ^*，对于给定的任意小的常量ε(ε＞0)，如下不等式成立：||f-ξ^T(x)θ^*||≤ε；

3-2)选取整个系统的Lyapunov函数V为：

$\begin{array}{c}V=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1+\frac{1}{2}{s}^{T}s+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\\ =V_2+\frac{1}{2\mathrm{\τ}}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T\widetilde{\mathrm{\θ}}\end{array}---\left(17\right)$

其中，τ＞0为自适应调节参数，为自适应模糊参数误差；

将Lyapunov函数V对时间t求导，得：

由柯西-施瓦茨不等式得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-\mathrm{\ρ}{s}^{T}s-k{s}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+\left|s^T\right|\·|H\left(t\right)-H_{\max }|\\ +\left|s^T\right|\·|f\left(x\right)-{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right){\mathrm{\θ}}^{*}|+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(19\right)$

由数学公式得到可以化简得到如下不等式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-\mathrm{\ρ}{s}^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+\frac{1}{2}{\left|s^T\right|}^2+\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2\\ +\frac{1}{2}{\left|s^T\right|}^2+\frac{1}{2}{|f-{\mathrm{\ξ}}^T\left(x\right){\mathrm{\θ}}^{*}|}^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\\ \≤{-c}_1{e}_1^T{e}_1-\mathrm{\φ}-\mathrm{\ρ}{s}^{T}s-k{s}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)+s^{T}s+\\ \frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\\ \≤-c_1{e}_1^T{e}_1-(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)\\ -(\mathrm{\φ}-\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2)+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}^T(\mathrm{\ξ}\left(x\right)s-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(20\right)$

3-3)根据式子(20)，选取模糊自适应律如下：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{\τ\ξ}\left(x\right)s---\left(21\right)$

将自适应律式(21)代入式(20)中，得到：

$\stackrel{\·}{V}\≤-c_1{e}_1^T{e}_1-(\mathrm{\ρ}-1)s^{T}s-{\mathrm{ks}}^T\mathrm{sgn}\left(s\right)-(\mathrm{\φ}-\frac{1}{2}{|H\left(t\right)-H_{\max }|}^2-\frac{1}{2}{\mathrm{\ϵ}}^2)---\left(22\right)$

3-4)当式(22)中ρ≥1，时，得到此时V满足李雅普诺夫稳定性定理，V有界，且闭环系统所有信号有界；由此可以得出误差系统e₁、滑模面函数s、自适应模糊参数θ将在有限时间内收敛到0，确保全局稳定性。