CN105204343B - 具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制方法，包括以下步骤：对纳米机电系统进行数学描述，分析其混沌行为；构造控制器的第一个误差向量e₁，并构造正切障碍李亚谱诺夫函数，进而取得虚拟控制输入；利用神经网络以任意小的误差逼近非线性函数的特性，计算控制器的第二个误差向量e₂，并构造李亚谱诺夫函数，获得具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统控制器，完成自适应backstepping控制方法。本发明有效地抑制了纳米机电系统的混沌振荡和死区颤抖，并且在保证输出没有违反约束的前提下提高了系统的精度与鲁棒性。

Description

具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制 方法

技术领域

本发明涉及纳米机电系统控制方法，具体涉及一种具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法。

背景技术

随着基于纳米尺度的物理、生物、信息、化学和材料等多学科的交叉与融合，纳米科学技术的发展对材料、器件、系统以及加工技术带来了革命性的变化。纳米技术与机电系统不断发展与融合，开发大批量生产的高度集成化和智能化的器件。纳米机电系统具有超小的体积与质量，超低的功耗，超高的灵敏度以及在微观尺度上表现出来的特有性质等优点，引起了人们极大的兴趣和广泛的关注。有望广泛应用于纳米探针的制作，单电子电量、单分子质量以及无线通信和全光通系统中的关键器件的研制等各个不同的领域。

纳米机电系统对外部环境下的初始条件具有敏感性，能呈现非常丰富的动态行为，即工作过程中易产生不规则的混沌振荡。混沌行为极大地影响纳米机电系统的稳定性和安全性，必须要合理的控制技术来改善纳米机电系统的性能。同时，在实际应用中，由于元器件老化，物理局限性以及外界环境影响等因素使得执行器输入输出并不一定成线性关系，如非对称死区输入。如果仍然按线性关系进行控制器设计势必导致纳米机电系统性能恶化甚至不稳定。考虑实际控制系统中的元器件物理局限性，外界环境干扰以及安全因素，输出约束已成为系统控制设计中必须要考虑的重要因素。

而现有研究成果都局限于理想数学模型，没有考虑纳米机电系统对象的特征与特点，未能有效解决系统存在混沌振荡、输出约束、非对称死区输入和系统参数不易精确测量时的控制问题。

发明内容

本发明的目的在于：提供一种具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法，解决纳米机电系统的混沌控制问题，降低各种因素对系统造成的不利影响，改善其性能，提高可靠性和安全性。

本发明的技术解决方案是：该自适应backstepping控制方法包括以下步骤：对纳米机电系统进行数学描述，分析其混沌行为；构造自适应backstepping控制器的第一个误差向量e₁，并构造e₁的正切障碍李亚谱诺夫函数，进而取得虚拟控制输入；考虑在工作环境中系统和执行器死区参数受到温度和材料磨损的影响无法获取参数精确测量值，同时虚拟控制输入的导数计算涉及正切障碍函数使得求解困难，利用神经网络以任意小的误差逼近非线性函数的特性，求差计算自适应backstepping控制器的第二个误差向量e₂，并构造李亚谱诺夫函数，获得具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统非线性自适应控制器，完成自适应backstepping控制方法。

其中，上述自适应backstepping控制方法包括以下具体步骤：

步骤(1)：建立纳米机电系统动力学模型

为了建立纳米机电系统动力学模型，假设交流驱动电压的幅值低于偏置电压，得到具有混沌特征的纳米机电系统动力学方程：

其中τ＝ω₀t， d为间隙的初始宽度，z为梁中点的垂直位移，Ω为交流电压频率，V_AC为交流电压幅值，V_b为偏置电压，C₀为板状结构电容，K₃为立方刚度系数，K₁为线性刚度系数，b为阻尼系数，m_eff为集中质量；

引入新的变量：

x₁＝x，

把新的变量代入式(1)得到如下等式：

其中u为控制输入；

所述执行器的非对称死区输入特征解耦成线性项和扰动项：

Γ(u)＝m(t)u+d₁(t) (4)

其中m_i和b_i,i＝l,r未知，m_r和m_l为死区特征的左和右斜率，b_r和b_l为执行器死区输入中断点；

为了保证输出约束在给定的范围内，正切障碍函数具有如下关系式：

+∞＞ytan(y)≥0for y∈(-π/2,π/2) (5)

其中tan(·)为正切函数；

综上，构造具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统动力学方程：

步骤(2)：求取步骤(1)选择的具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法

神经网络是最常用的函数逼近器，它能在f_n(X):Rⁿ→R上逼近任意光滑函数，并具有如下关系式：

f_n(X)＝θ^'Tξ(X) (7)

其中为输入矢量，θ'＝[θ'₁,θ'₂,…,θ'_l]^T∈R^l为权值矢量，l＞1为神经元的节点数，ξ(X)＝[ξ₁(X),ξ₂(X),…,ξ_l(X)]^T∈R^l为基函数矢量，ξ_i(X)为高斯基函数，并具有如下关系式：

其中μ_i＝[μ_i1,μ_i2,…,μ_in]^T为权重因子，σ_i为宽度因子；

由于万能逼近特性，任何未知的非线性项以任意小的误差被神经网络逼近，并具有如下关系式：

f(X)＝θ^*Tξ(X)+ε (9)

其中ε为逼近误差，最优参数向量θ^*有界并定义如下：

其中Ω为针对θ'的紧域，存在已知常数ε₀并满足关系式0＜|ε|≤ε₀；

不等式成立

其中F_i∈R；

对于任意给定的参考信号x_d，纳米机电系统的动态误差定义如下：

其中α₂为虚拟控制输入，其表达式稍后给出；

步骤(21)构建一个正切障碍李亚谱诺夫函数

其中参数β₁＝a-d₂＞0为对e₁(t)的约束，即|e₁(t)|＜β₁；

利用杨氏不等式，对式(13)求导得到

其中

设计虚拟控制输入：

其中k₁＞0为设计参数；

由式(14)和式(15)可得

步骤(22)构造李亚谱诺夫函数

其中γ₂和Γ₂为设计常数；

对上式求导得到

其中g₂＝m；

在工作环境中，系统和执行器死区参数(μ,α,β,γ,ω,m,d₁)受到温度和材料磨损的影响，人们很难获得这些参数的精确测量值；同时，虚拟控制输入α₂的导数中包含正切障碍李亚谱诺夫函数，从而使得采用现有控制方法构建控制器变得困难；为了克服上述困难，采用一个神经网络来逼近复杂的非线性耦合函数f₂(·)；即，对于任意给定ε₂＞0，存在一个神经网络并具有关系式：

其中

把式(16)和式(19)代入式(18)得到

其中a₂为设计常数；

定义变量

其中和为λ₂和g₂的估计值；

设计实际控制输入

其中k₂为设计常数，η₂为非常小的正值，

另外，相应的参数自适应律定义如下：

其中m₂和c₂为设计常数；

不等式和成立；

由式(22)和式(23)可知，下面不等式成立

其中δ₂为连续函数并满足关系式

假设所设计具有参数自适应律(如式(23)所示)的实际控制输入(如式(22)所示)被用来抑制具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统(如式(6)所示)的混沌振荡，通过合理的选择控制参数，例如k₁，k₂，a₂，γ₂，m₂，c₂，Γ₂和η₂，那么闭环系统一致最终有界，同时对于任意给定的p＞0，当初始条件满足时e₁收敛于零附近；

证明：求解V的导数如下

其中

另外，通过式(25)可以得到

其中，调节参数k₁，k₂，a₂，γ₂，m₂，c₂，Γ₂和η₂，保证跟踪误差趋于无穷小，抑制纳米机电系统的混沌振荡和死区颤抖，在保证输出没有违反约束的前提下提高系统的精度与鲁棒性。

本发明的有益效果是：1、考虑混沌振荡、输出约束、非对称死区输入和系统参数不易精确测量等非线性因素的影响，建立了纳米机电系统动力学模型；2、利用正切障碍函数确保系统输出满足限制的约束条件，按照backstepping控制器构造思想设计非线性自适应控制器，在控制器构建过程中利用神经网络以任意小的误差在线逼近纳米机电系统中的非线性耦合项，克服传统backstepping控制方法中“计算膨胀”的问题，放宽对精确测量系统参数值的限制；3、利用Lyapunov理论证明系统所有闭环信号半全局一致有界；4、仿真实验结果表明所提出的控制方法有效地抑制了纳米机电系统的混沌振荡和死区颤抖，在保证输出没有违反约束的前提下提高了系统的精度与鲁棒性，达到了预期的设计目的。

附图说明

图1为纳米机电系统的工作原理图。

图2为具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统自适应backstepping控制系统结构图。

图3为执行器的非对称死区输入特性。

图4为线性调频信号下的不同交流电压值下的轨迹跟踪性能。

图5为线性调频信号下的不同交流电压值下的控制输入。

图6为谐波信号下的不同交流电压值下的轨迹跟踪性能。

图7为谐波信号下的不同交流电压值下的控制输入。

图8为纳米机电系统的相图及时间历程。

图9为最大李亚普诺夫指数。

图10为针对不同γ值的纳米机电系统能量函数。

具体实施方式

为了说明本发明的技术解决方案，现结合附图和具体实施例来进一步说明，实施例不能理解为是对技术方案的限制。

如图1-3所示，该自适应backstepping控制方法包括以下具体步骤：

步骤(1)：建立纳米机电系统动力学模型

为了建立纳米机电系统动力学模型，假设交流驱动电压的幅值低于偏置电压，得到具有混沌特征的纳米机电系统动力学方程：

其中τ＝ω₀t， d为间隙的初始宽度，z为梁中点的垂直位移，Ω为交流电压频率，V_AC为交流电压幅值，V_b为偏置电压，C₀为板状结构电容，K₃为立方刚度系数，K₁为线性刚度系数，b为阻尼系数，m_eff为集中质量；

引入新的变量：

把新的变量代入式(1)得到如下等式：

其中u为控制输入；

所述执行器的非对称死区输入特征解耦成线性项和扰动项：

Γ(u)＝m(t)u+d₁(t) (30)

其中m_i和b_i,i＝l,r未知，m_r和m_l为死区特征的左和右斜率，b_r和b_l为执行器死区输入中断点；

为了保证输出约束在给定的范围内，正切障碍函数具有如下关系式：

+∞＞ytan(y)≥0for y∈(-π/2,π/2) (31)

其中tan(·)为正切函数；

综上，构造具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统动力学方程：

步骤(2)：求取步骤(1)选择的具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法

神经网络是最常用的函数逼近器，它能在f_n(X):Rⁿ→R上逼近任意光滑函数，并具有如下关系式：

f_n(X)＝θ^'Tξ(X) (33)

其中为输入矢量，θ'＝[θ'₁,θ'₂,…,θ'_l]^T∈R^l为权值矢量，l＞1为神经元的节点数，ξ(X)＝[ξ₁(X),ξ₂(X),…,ξ_l(X)]^T∈R^l为基函数矢量，ξ_i(X)为高斯基函数，并具有如下关系式：

其中μ_i＝[μ_i1,μ_i2,…,μ_in]^T为权重因子，σ_i为宽度因子；

由于万能逼近特性，任何未知的非线性项以任意小的误差被神经网络逼近，并具有如下关系式：

f(X)＝θ^*Tξ(X)+ε (35)

其中ε为逼近误差，最优参数向量θ^*有界并定义如下：

其中Ω为针对θ'的紧域，存在已知常数ε₀并满足关系式0＜|ε|≤ε₀；

不等式成立

其中F_i∈R；

对于任意给定的参考信号x_d，纳米机电系统的动态误差定义如下：

其中α₂为虚拟控制输入，其表达式稍后给出；

步骤(21)构建一个正切障碍李亚谱诺夫函数

其中参数β₁＝a-d₂＞0为对e₁(t)的约束，即|e₁(t)|＜β₁；

利用杨氏不等式，对式(13)求导得到

其中

设计虚拟控制输入：

其中k₁＞0为设计参数；

由式(14)和式(15)可得

步骤(22)构造李亚谱诺夫函数

其中γ₂和Γ₂为设计常数；

对上式求导得到

其中g₂＝m；

在工作环境中，系统和执行器死区参数(μ,α,β,γ,ω,m,d₁)受到温度和材料磨损的影响，人们很难获得这些参数的精确测量值；同时，虚拟控制输入α₂的导数中包含正切障碍李亚谱诺夫函数，从而使得采用现有控制方法构建控制器变得困难；为了克服上述困难，采用一个神经网络来逼近复杂的非线性耦合函数f₂(·)；即，对于任意给定ε₂＞0，存在一个神经网络并具有关系式：

其中

把式(16)和式(19)代入式(18)得到

其中a₂为设计常数；

定义变量

其中和为λ₂和g₂的估计值；

设计实际控制输入

其中k₂为设计常数，η₂为非常小的正值，

另外，相应的参数自适应律定义如下：

其中m₂和c₂为设计常数；

不等式和成立；

由式(22)和式(23)可知，下面不等式成立

其中δ₂为连续函数并满足关系式

假设所设计具有参数自适应律(如式(23)所示)的实际控制输入(如式(22)所示)被用来抑制具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统(如式(6)所示)的混沌振荡，通过合理的选择控制参数，例如k₁，k₂，a₂，γ₂，m₂，c₂，Γ₂和η₂，那么闭环系统一致最终有界，同时对于任意给定的p＞0，当初始条件满足时e₁收敛于零附近；

证明：求解V的导数如下

其中

另外，通过式(25)可以得到

其中，调节参数k₁，k₂，a₂，γ₂，m₂，c₂，Γ₂和η₂，保证跟踪误差趋于无穷小，抑制纳米机电系统的混沌振荡和死区颤抖，在保证输出没有违反约束的前提下提高系统的精度与鲁棒性。

实施例：为了有效地抑制了纳米机电系统的混沌振荡，首先在无量纲形式下分析其混沌行为；纳米机电系统参数取值为V_AC∈(0,0.47)，α＝1，β＝12，γ＝0.338，μ＝0.01，V_b＝3.8和ω＝0.5；在初始条件(x₁,x₂)＝(0,0)和固定偏置电压下，系统相图和时间历程如图8所示；从图8(a)看出，在原点附近时瞬时混沌和规则运动出现在中心点附近；从图8(b)看出，在V_AC＝0.045时其它中心点附近出现束流振荡；从图8(c)看出，瞬时混沌响应过后规则运动产生同宿轨道，同时谐波振荡的幅值明显大于图8(a)-(b)；此时，受到在固定电极附近的两个不稳定点的影响，系统动态行为不同于杜芬吸引子；因此，较高的交流电压值会导致分岔和混沌振荡；

最大李亚普诺夫指数如图9所示，由于它是正值，确定了纳米机电系统的运动涉及到混沌振荡状态；另外，势能函数在纳米机电系统动态行为的初期扮演非常重要的作用；基于泰勒级数，通过扩展非线性项得到如下关系：

其中b₁＝1-4γ，b₂＝β-8γ；

忽略阻尼和谐波激励项，具有能量函数的哈密顿系统表示如下：

取不同γ值得到的系统势能函数如图10所示；当γ很小时，仅存在一种背离原点的稳定状态；此时，平衡点是稳定中心点，混沌运动不会发生；当γ达到0.4时，由两个不稳定的鞍点和一个稳定的中心点构成的三个平衡点出现；此时，纳米机电系统出现不稳定的迹象，偏转到对一个静态的传感器电极上；如果断续增加激励振幅，它一定会导致异宿轨道相叉；当γ达到0.7-0.8时，纳米机电系统处于双稳的状态，并具有由一个不稳定的鞍点和两个稳定的中心构成的三个平衡点，增加激励电压会导致轨迹与同宿轨道交叉；

由于输出满足约束条件，即|x₁|≤0.15，神经网络的权重因子μ_i均匀分布在区间[-5，5]上，它的宽度因子σ_i等于2；

情形1：给定的参数信号为线性调频信号，即x_d＝0.13sin(t+3cos(2t))，控制器的参数选择如下：k₁＝2，k₂＝8，a₂＝25，γ₂＝0.1，m₂＝0.05，Γ₂＝0.2，c₂＝0.01，η₂＝0.01，系统的初始条件设置为x₁(0)＝0.018，x₂(0)＝-0.2和

纳米机电系统的未知死区输入特征出现在第5秒钟，用如下关系式表示：

针对不同的交流电压值，仿真实验结果如图4所示，很明显，理想曲线(红色虚线)和实际曲线(黑色实线)这两种曲线基本重叠，且两种曲线的相对误差小于±4.0×10^-3；因此，具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统输出x₁以非常小的误差高精跟踪给出的线性调频信号，同时证明系统在极短的时间内达到周期状态；

图5展示了针对不同的交流电压值下的控制输入状态，观察到所提控制方法抑制了系统的混沌行为，在极短的时间内将系统随机运动转变为规则运动，而且克服了控制输入在死区输入临界值附近的振荡；另外，所提克服了系统参数变动对性能的影响，具有很强的鲁棒性；

情形2：为了进一步说明模型参数和参考信号的变化不会影响纳米机电系统的性能，另一个仿真将被进行；给定参考信号选择x_d＝0.08sin(4t)+0.05cos(2t)，系统初始设定为x₁(0)＝0.05，x₂(0)＝0.2，控制器参数选择如下：k₁＝1，k₂＝6，a₂＝25，γ₂＝0.1，m₂＝0.05，Γ₂＝0.2，c₂＝0.01和η₂＝0.01，初始估计值为

执行器非对称死区输入特征在第5秒钟时发生，并具有如下等式表达

仿真实验结果如图6和图7所示，很显然，纳米机电系统对参数摄动具有很高的跟踪精度和强鲁棒性；尽管不断的增加电压驱动振幅，但系统的振荡和混沌运动得到了彻底的抑制；同时，非对称死区输入导致的颤振现象得到极大的削弱，违反约束的现象也没有出现。

Claims (2)

1.具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法，其特征是该backstepping控制方法包括以下步骤：

步骤(1)：建立纳米机电系统动力学模型

为了建立纳米机电系统动力学模型，假设交流驱动电压的幅值低于偏置电压，得到具有混沌特征的纳米机电系统动力学方程：

其中τ＝ω₀t，d为间隙的初始宽度，z为梁中点的垂直位移，Ω为交流电压频率，V_AC为交流电压幅值，V_b为偏置电压，C₀为板状结构电容，K₃为立方刚度系数，K₁为线性刚度系数，b为阻尼系数，m_eff为集中质量；

引入新的变量：

x₁＝x，

把新的变量代入式(1)得到如下等式：

其中u为控制输入；

执行器的非对称死区输入特征解耦成线性项和扰动项：

Γ(u)＝m(t)u+d₁(t) (4)

其中m_i和b_i，i＝l，r未知，m_r和m_l为死区特征的左和右斜率，b_r和b_l为执行器死区输入中断点；

为了保证输出约束在给定的范围内，正切障碍函数具有如下关系式：

+∞＞y tan(y)≥0 for y∈(-π/2，π/2) (5)

其中tan(·)为正切函数；

综上，构造具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统动力学方程：

步骤(2)：求取步骤(1)选择的具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法

神经网络是最常用的函数逼近器，它能在f_n(X)：Rⁿ→R上逼近任意光滑函数，并具有如下关系式：

f_n(X)＝θ′^Tξ(X) (7)

其中为输入矢量，θ′＝[θ′₁，θ′₂，…，θ′_l]^T∈R^l为权值矢量，l＞1为神经元的节点数，ξ(X)＝[ξ₁(X)，ξ₂(X)，…，ξ_l(X)]^T∈R^l为基函数矢量，ξ_i(X)为高斯基函数，并具有如下关系式：

其中μ_i＝[μ_i1，μ_i2，…，μ_in]^T为权重因子，σ_i为宽度因子；

由于万能逼近特性，任何未知的非线性项以任意小的误差被神经网络逼近，并具有如下关系式：

f(X)＝θ^*Tξ(X)+ε (9)

其中ε为逼近误差，最优参数向量θ^*有界并定义如下：

其中Ω为针对θ′的紧域，存在已知常数ε₀并满足关系式0＜|ε|≤ε₀；

不等式成立

其中F_i∈R；

对于任意给定的参考信号x_d，纳米机电系统的动态误差定义如下：

其中α₂为虚拟控制输入；

步骤(21)构建一个正切障碍李亚谱诺夫函数

其中参数β₁＝a-d₂＞0为对e₁(t)的约束，即|e₁(t)|＜β₁；

利用杨氏不等式，对式(13)求导得到

其中

设计虚拟控制输入：

其中k₁＞0为设计参数；

由式(14)和式(15)可得

步骤(22)构造李亚谱诺夫函数

其中γ₂和Γ₂为设计常数；

对上式求导得到

其中

采用一个神经网络来逼近复杂的非线性耦合函数f₂(·)；即，对于任意给定ε₂＞0，存在一个神经网络，并具有关系式：

其中

把式(16)和式(19)代入式(18)得到

其中a₂为设计常数；

定义变量

其中和为λ₂和g₂的估计值；

设计实际控制输入

其中k₂为设计常数，η₂为非常小的正值，

另外，相应的参数自适应律定义如下：

其中m₂和c₂为设计常数；

不等式和成立；

由式(22)和式(23)可知，下面不等式成立

其中δ₂为连续函数并满足关系式

假设所设计具有参数自适应律的实际控制输入被用来抑制具有输出约束和非对称死区输入的纳米机电系统的混沌振荡，通过合理的选择控制参数，k₁，k₂，a₂，γ₂，m₂，c₂，Γ₂和η₂，那么闭环系统一致最终有界，同时对于任意给定的p＞0，当初始条件满足时e₁收敛于零附近；

求解V的导数如下

其中

另外，通过式(25)可以得到

2.根据权利要求1所述的具有输出约束和死区输入的纳米机电系统backstepping控制方法，其特征是：调节参数k₁，k₂，a₂，γ₂，m₂，c₂，Γ₂和η₂，保证跟踪误差趋于无穷小，抑制纳米机电系统的混沌振荡和死区颤抖，在保证输出没有违反约束的前提下提高系统的精度与鲁棒性。