CN107479377B - 分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法 - Google Patents

分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法 Download PDF

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    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
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    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance
    • G05B13/045—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance using a perturbation signal

Abstract

本发明公开了一种分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，包括以下步骤：1，建立基于欧拉‑伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统与响应系统模型，得到同步误差向量；2，根据误差向量构建带有自适应控制律的切比雪夫神经网络，利用分数阶李亚谱诺夫函数构建虚拟控制输入；利用切比雪夫神经网络估计系统未知非线性函数，结合分数阶自适应律构成实际控制输入，在backstepping的框架中构造自适应同步控制器，并将控制器的输出信号输入到分数阶弧形微机电系统中的响应系统。本发明实现了保证系统瞬态和稳态性能的驱动系统与响应系统的同步控制，降低分数阶弧形微机电系统不确定性因素对同步控制性能的影响。

Description

分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法
技术领域
本发明涉及分数阶弧形微机电系统，具体涉及一种分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法。
背景技术
微型机电系统是指那些外形轮廓尺寸在毫米量级以下，构成元件是微米量级的可控制、可运动的微型机电装置。它是自微电子技术问世以来，人们不断追求高新技术微型化的必然结果。微型机电系统是集微型传感器、微型执行器、微型机械结构、微型电源微型能源、信号处理和控制电路、高性能电子集成器件、接口、通信等于一体的微型器件或系统。微型机电系统是一项革命性的新技术，广泛应用于高新技术产业，是一项关系到国家的科技发展、经济繁荣和国防安全的关键技术。
实际控制系统的分析与设计需要简单、准确的数学模型，而分数阶微积分理论能实现对被控系统中动力学特性精确的描述。与整数阶弧形微机电系统相比，分数阶弧形微机电系统更符合实际情况，更能准确反应系统的工程物理现象。受到不确定因素的影响，包括干扰、温度、噪声、测量误差、参数估计误差与器件老化等，分数阶弧形微机电系统具有高度的不确定性。时延是物理系统的固有特性，用来描述在理想状态下传送过程中的滞后现象和惯性作用所导致的时延现象。分数阶弧形微机电系统在分布式静电驱动下具有未知函数，混沌振动和时延等特征，虽在逻辑上放宽了混沌同步的定义，但其同步控制复杂，研究的难度大。
发明内容
本发明的目的在于解决分数阶弧形微机电系统在分布式静电激励下具有未知函数，混沌振动和时延等特征的同步控制问题，本发明提供一种分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，降低不确定因素对系统稳定性与可靠性的影响，实现驱动系统与响应系统的同步控制。
为解决上述技术问题，本发明提供了分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，其特征是，包括以下步骤：
步骤S1，建立基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统与响应系统模型，得到同步误差向量；
步骤S2，根据误差向量构建带有自适应控制律的切比雪夫神经网络，利用分数阶李亚谱诺夫函数构建虚拟控制输入；利用切比雪夫神经网络估计系统未知非线性函数，结合分数阶自适应律构成实际控制输入，在backstepping的框架中构造自适应同步控制器，并将控制器的输出信号输入到分数阶弧形微机电系统中的响应系统。
优选的，基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统模型为：
Figure BDA0001369119230000021
其中各变量定义如下：
Figure BDA0001369119230000022
h＝h0/g0，
Figure BDA0001369119230000023
α1表示分数阶，τ表示时延，L表示长度，A表示横截面积，b表示宽度，Cv表示粘滞阻尼系数，d表示厚度，
Figure BDA0001369119230000031
表示杨氏模量，Iy表示转动惯量，ρ表示密度，Ω0表示谐波负载频率，εa0表示真空介电常数，VDC表示直流电压，VAC表示交流电压幅值；
响应系统模型为：
Figure BDA0001369119230000032
其中u(t)表示响应系统的控制输入。
优选的，定义同步误差为ei＝yi-xi，i＝1,2；结合式(1)(2)，得出同步误差向量为：
Figure BDA0001369119230000033
优选的，利用分数阶李亚谱诺夫函数构建虚拟控制输入过程为；
定义S1(t)＝e1(t)，选取分数阶李亚谱诺夫函数：
Figure BDA0001369119230000034
相应的其分数阶导数为：
Figure BDA0001369119230000035
其中S2(t)＝e2(t)-αv2(t)，αv2(t)表示虚拟控制输入；
根据式(5)，选取虚拟控制为：
αv2(t)＝-k1S1(t) (6)
其中k1>0；
把式(6)代入式(5)得到
Figure BDA0001369119230000041
优选的，利用切比雪夫神经网络估计系统未知非线性项，结合backstepping、杨氏不等式和分数阶自适应律构成实际控制输入的过程为：
基于杨氏不等式，将两个参数变量
Figure BDA0001369119230000042
和ξ2(e1,e2)代入得到
Figure BDA0001369119230000043
其中
Figure BDA0001369119230000048
表示切比雪夫神经网络的权向量，ξ2(e1,e2)表示切比雪夫神经网络的基函数，a2>0，
Figure BDA0001369119230000049
表示ζ2(t)的估计值；
选择分数阶李雅普诺夫函数
Figure BDA0001369119230000045
其中μ2>0；
其相应的分阶导数为：
Figure BDA0001369119230000046
定义非线性函数f2(e1,e2)为：
Figure BDA0001369119230000047
采用切比雪夫神经网络来逼近非线性函数
Figure BDA0001369119230000051
由于常数的分数阶导数等于零，则
Figure BDA0001369119230000052
把切比雪夫神经网络和式(8)代入式(10)，可以得到：
Figure BDA0001369119230000053
其中
Figure BDA0001369119230000054
为切比雪夫神经网络估计误差的上限；
根据式(12)，自适应同步控制器设计为：
Figure BDA0001369119230000055
其中k21>0，k22>0；
根据式(12)和式(13)，分数阶自适应律设计为：
Figure BDA0001369119230000056
其中c2>0。
优选的，根据分数阶弧形微机电系统的同步误差向量式(3)可知，切比雪夫多项式的阶数为3，那么切比雪夫多项式的基函数为
Figure BDA0001369119230000057
与现有技术相比，本发明所达到的有益效果是：本发明提供的一种分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制技术，以在分布式静电激励下具有未知函数，混沌振动和时延等特征的分数阶弧形微机电系统为对象，建立基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统与响应系统数学模型，实现对被控系统中动力学特性精确的描述，定义同步误差向量，利用切比雪夫神经网络以任意小的误差逼近非线性函数的特性，取消了对系统精确数学模型与精准参数的要求，利用分数阶李亚谱诺夫函数求解虚拟控制输入与实际控制输入并进行稳定性分析，在backstepping的框架中构造自适应同步控制器。本发明实现了保证系统瞬态和稳态性能的驱动系统与响应系统的同步控制，降低分数阶弧形微机电系统不确定性因素(存在未知函数、参数摄动和时延时)对同步控制性能的影响。
附图说明
图1是本发明方法的原理框图；
图2是分数阶弧形微机电系统的原理图；
图3是不同激励幅值下分数阶弧形微机电系统的相图；
图4是不同激励幅值下分数阶弧形微机电系统状态变量的时间序图；
图5是本发明实施例中不同激励幅值下系统状态x1,y1的时间序图；
图6是本发明实施例中不同激励幅值下系统状态x2,y2的时间序图；
图7是本发明实施例中不同激励幅值下同步误差e1曲线图；
图8是本发明实施例中不同激励幅值下同步误差e2曲线图；
图9是本发明实施例中不同激励幅值下系统的控制输入曲线图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
下面先对下文中出现的理论做详细的描述：
(1)切比雪夫神经网络
通过在两项递推公式中求解不等式，切比雪夫多项式定义为：
Ti+1(X)＝2XTi(X)-Ti-1(X),T0(X)＝1
其中X∈R，T1(X)通常被定义为X，2X，2X-1或2X+1。
切比雪夫神经网络具有在一个紧凑集上以任意小的精度误差逼近任意非线性连续函数的能力，对于X＝[x1,…,xm]T∈Rm，定义切比雪夫多项式的增强模式为
ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)]
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m，表示切比雪夫多项式，n表示阶数，ξ(X)表示切比雪夫多项式的基函数。
未知非线性项fcnn(X)的估计值
Figure BDA0001369119230000071
可以由切比雪夫神经网络求取，则
Figure BDA0001369119230000072
其中φ(t)表示权向量。
对于上式，存在
Figure BDA0001369119230000073
其中ε>0，Ωφ和DX分别表示φ(t)和X的紧凑集。让最优参数φ*等于
Figure BDA0001369119230000074
出于分析目的，
Figure BDA0001369119230000075
存在。
(2)分数阶理论定义
Caputo分数阶导数定义为
Figure BDA0001369119230000076
其中Γ(n-α)＝∫0 ∞e-t·tn-α-1dt表示欧拉函数，n表示整数并有n-1≤α≤n，α表示分数阶。
求Caputo分数阶导数的分拉普拉斯变换，则
Figure BDA0001369119230000077
定理1:定义分数阶李雅普诺夫函数
Figure BDA0001369119230000078
为连续可微函数且相对于x(t)局部李普希茨。如果存在K类函数则
Figure BDA0001369119230000081
其中t>0，x(0)渐近稳定。
Mittag-Leffler函数定义如下：
Figure BDA0001369119230000082
其中ν>0，δ>0，γ表示复数。
对上式Mittag-Leffler函数进行拉普拉斯变换得到
Figure BDA0001369119230000083
对于0<ν<1和
Figure BDA0001369119230000084
存在
Figure BDA0001369119230000085
当|γ|→∞，σ1≤|arg(γ)|≤π。
对于0<ν<2和
Figure BDA0001369119230000086
下列关系存在
Figure BDA0001369119230000087
其中B>0，
Figure BDA0001369119230000088
和|γ|≥0。
本发明的分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，以在分布式静电激励下具有未知函数，混沌振动和时延等特征的分数阶弧形微机电系统为对象，如图1所示，包括以下步骤：
步骤S1，建立基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统与响应系统模型，得到同步误差向量。
分数阶弧形微机电系统的原理图如图2所示。基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的动力学模型为：
Figure BDA0001369119230000091
其中各变量定义如下：
Figure BDA0001369119230000092
h＝h0/g0，
Figure BDA0001369119230000093
α1表示分数阶，τ表示时延，L表示长度，A表示横截面积，b表示宽度，Cv表示粘滞阻尼系数，d表示厚度，
Figure BDA0001369119230000094
表示杨氏模量，Iy表示转动惯量，ρ表示密度，Ω0表示谐波负载频率，εa0表示真空介电常数，VDC表示直流电压，VAC表示交流电压幅值。
此系统非线性行为分析：定义系统参数αm＝7.993，β＝119.9883，h＝0.3，μ＝0.1，α1＝0.98，τ＝0.1和ω0＝0.4706，进而对分数阶弧形微机电系统进行非线性动力学分析。为了求解分数阶导数方程，应用龙格-库塔算法进行求解，其求解时间大于1000秒。图3是不同激励幅值(R值)下的相图，图4是不同激励幅值下分数阶弧形微机电系统状态变量的时间序图，图3和图4提示了分数阶弧形微机电系统在不同的幅值激励下出现了混沌振荡现象。
考虑分数阶弧形微机电系统的驱动和响应系统。不失一般性，驱动分数阶弧形微机电系统的数学模型如式(1)所示，响应分数阶弧形微机电系统的数学模型可写为：
Figure BDA0001369119230000101
其中u(t)表示响应系统的控制输入，也是待设计的响应系统控制器(同步要求)。
建立基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统与响应系统模型，实现对被控系统中动力学特性精确的描述，并定义同步误差为ei＝yi-xi，i＝1,2。
结合式(1)(2)，得出同步误差向量为：
Figure BDA0001369119230000102
本发明控制目的为：通过设计控制器u(t)使得驱动和响应的分数阶弧形微机电系统能够实现全局同步，即同步误差渐近趋于0，即
Figure BDA0001369119230000103
其中，e(t)＝[e1,e2]T。
步骤S2，根据误差向量构建带有自适应控制律的切比雪夫神经网络，利用分数阶李亚谱诺夫函数构建虚拟控制输入；利用切比雪夫神经网络估计系统未知非线性函数，结合分数阶自适应律构成实际控制输入，在backstepping的框架中构造自适应同步控制器，并将控制器的输出信号输入到分数阶弧形微机电系统中的响应系统。
自适应同步控制器的设计包括以下过程：
步骤S21：利用分数阶李亚谱诺夫函数构建虚拟控制输入。
定义S1(t)＝e1(t)，e1(t)是误差向量，选取分数阶李亚谱诺夫函数(李亚谱诺夫函数是公知的求解控制器的通用方法)
Figure BDA0001369119230000111
相应的其分数阶导数为：
Figure BDA0001369119230000112
其中S2(t)＝e2(t)-αv2(t)，αv2(t)表示虚拟控制输入。
根据式(5)，选取虚拟控制为：
αv2(t)＝-k1S1(t) (6)
其中k1>0。
把式(6)代入式(5)得到
Figure BDA0001369119230000113
步骤S22，利用切比雪夫神经网络估计系统未知非线性项，取消了对系统精确数学模型与精准参数的要求，结合backstepping、杨氏不等式和分数阶自适应律构成实际控制输入。
根据分数阶弧形微机电系统的同步误差向量式(3)可知，切比雪夫多项式的阶数为3，那么切比雪夫多项式的基函数为
Figure BDA0001369119230000114
为了减轻在线计算的负担，采取减少切比雪夫神经网络权向量的数量。基于杨氏不等式，将两个参数变量
Figure BDA0001369119230000115
和ξ2(e1,e2)代入得到
Figure BDA0001369119230000116
其中
Figure BDA0001369119230000117
表示切比雪夫神经网络的权向量，ξ2(e1,e2)表示切比雪夫神经网络的基函数，a2>0，
Figure BDA0001369119230000121
表示ζ2(t)的估计值。
选择分数阶李雅普诺夫函数
Figure BDA0001369119230000122
其中μ2>0。
其相应的分阶导数为：
Figure BDA0001369119230000123
定义非线性函数f2(e1,e2)为：
Figure BDA0001369119230000124
f2(e1,e2)包涵了1次方以上的变量函数项及余弦函数项，即可认定为非线性函数。非线性函数f2(e1,e2)具有非常复杂的非线性特征。由于受到外界扰动、制造缺陷和建模误差的影响，对系统参数进行精确测量变得非常困难。同时，分数阶弧形微机电系统对系统参数摄动非常敏感，某些范围内的参数值可导致分数阶弧形微机电系统出现混沌振荡。为了解决上述问题和便于控制器设计，采用切比雪夫神经网络来逼近非线性函数
Figure BDA0001369119230000125
由于常数的分数阶导数等于零，则
Figure BDA0001369119230000126
把切比雪夫神经网络和式(8)代入式(10)，可以得到：
Figure BDA0001369119230000131
其中
Figure BDA0001369119230000132
为切比雪夫神经网络估计误差的上限。
根据式(12)，自适应同步控制器设计为：
Figure BDA0001369119230000133
其中k21>0，k22>0。
根据式(12)和式(13)，分数阶自适应律设计为：
Figure BDA0001369119230000134
其中c2>0。
从式(13)，式(14)和式(12)可知，存在
Figure BDA0001369119230000135
其中κ2＝min(2k1,2k21,c2)和
Figure BDA0001369119230000136
表示正常数。
系统稳定性证明：
定理2:针对分数阶弧形微机电系统在分布式静电驱动下具有未知函数，混沌振动和时延等特征，假如分数阶自适应律设计为式(14)和控制器设计为式(13)，那么(S1(t),S2(t))在平衡点位置全局渐近稳定，分数阶弧形微电系统谐振器的驱动和响应系统实现同步。
证明:定义分数阶李亚谱函数
Figure BDA0001369119230000141
对分数阶李亚谱函数进行求导
Figure BDA0001369119230000142
对式(17)进行拉普拉斯变换
Figure BDA0001369119230000143
其中V(s)是V(t)拉普拉斯变换项。
根据定理1，式(18)变换为
Figure BDA0001369119230000144
存在正定常数B满足关系式
Figure BDA0001369119230000145
基于式(20)，得到
Figure BDA0001369119230000146
对任意θ>0，存在正定常数t1>t，则
Figure BDA0001369119230000147
存在
Figure BDA0001369119230000148
存在正定常数t2>t，得到
Figure BDA0001369119230000149
调整参数使其满足关系式
Figure BDA00013691192300001410
同时借助于式(19)，式(22)和式(24)，得到
|V(t)|≤θ
证明完毕。
为了验证本发明方法的控制效果，进行以下仿真试验：
控制器参数选取为k1＝3，k21＝3，k22＝0.03，a2＝1，c2＝0.8，μ2＝0.8。驱动系统的初始值x1(0),x2(0)等于零，响应系统的初始值y1(0),y2(0)设置为0.01和0.02。
图5和图6展示了在不同激励幅值下的状态变量x1,x2,y1,y2轨迹。图7和图8描述了在不同激励幅值下的同步误差e1,e2轨迹。在所述控制器未被应用前，分数阶弧形微机电系统的驱动系统和响应系统产生混沌现象，同步没有实现。当在第20秒时应用所述控制器，自适应同步方案保证了系统状态稳定在即定轨迹上。很明显，同步误差趋于零，所述控制方案实现了驱动系统和响应系统的同步。
尽管分数阶弧形微机电系统工作时受到未知函数，时延和参数扰动等的影响，与图4进行对比，所提控制方案很好的解决这些问题。图9展示了分数阶弧形微机电系统在不同激励幅值下的控制输入。可以看出，参数扰动对分数阶弧形微机电系统的稳定同步并没有影响。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变型，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，其特征是，包括以下步骤：
步骤S1，建立基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统与响应系统模型，得到同步误差向量；
步骤S2，根据误差向量构建带有自适应控制律的切比雪夫神经网络，利用分数阶李亚谱诺夫函数构建虚拟控制输入；利用切比雪夫神经网络估计系统未知非线性函数，结合分数阶自适应律构成实际控制输入，在backstepping的框架中构造自适应同步控制器，并将控制器的输出信号输入到分数阶弧形微机电系统中的响应系统；
基于欧拉-伯努利梁的分数阶弧形微机电系统的驱动系统模型为：
Figure FDA0002378081280000011
其中各变量定义如下：
Figure FDA0002378081280000012
h＝h0/g0，
Figure FDA0002378081280000013
α1表示分数阶，τ表示时延，L表示长度，A表示横截面积，b表示宽度，Cv表示粘滞阻尼系数，d表示厚度，
Figure FDA0002378081280000014
表示杨氏模量，Iy表示转动惯量，ρ表示密度，Ω0表示谐波负载频率，εa0表示真空介电常数，VDC表示直流电压，VAC表示交流电压幅值；
响应系统模型为：
Figure FDA0002378081280000021
其中u(t)表示响应系统的控制输入。
2.根据权利要求1所述的分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，其特征是，定义同步误差为ei＝yi-xi，i＝1,2；结合式(1)(2)，得出同步误差向量为：
Figure FDA0002378081280000022
3.根据权利要求1所述的分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，其特征是，利用分数阶李亚谱诺夫函数构建虚拟控制输入过程为；
定义S1(t)＝e1(t)，选取分数阶李亚谱诺夫函数：
Figure FDA0002378081280000023
相应的其分数阶导数为：
Figure FDA0002378081280000024
其中S2(t)＝e2(t)-αv2(t)，αv2(t)表示虚拟控制输入；
根据式(5)，选取虚拟控制为：
αv2(t)＝-k1S1(t) (6)
其中k1>0；
把式(6)代入式(5)得到
Figure FDA0002378081280000031
4.根据权利要求3所述的分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，其特征是，设计自适应同步控制器的具体过程为：
基于杨氏不等式，将两个参数变量
Figure FDA0002378081280000032
和ξ2(e1,e2)代入得到
Figure FDA0002378081280000033
其中
Figure FDA0002378081280000034
Figure FDA0002378081280000035
表示切比雪夫神经网络的权向量，ξ2(e1,e2)表示切比雪夫神经网络的基函数，a2>0，
Figure FDA0002378081280000036
Figure FDA0002378081280000037
表示ζ2(t)的估计值；
选择分数阶李雅普诺夫函数
Figure FDA0002378081280000038
其中μ2>0；
其相应的分阶导数为：
Figure FDA0002378081280000039
定义非线性函数f2(e1,e2)为：
Figure FDA00023780812800000310
采用切比雪夫神经网络来逼近非线性函数
Figure FDA00023780812800000311
由于常数的分数阶导数等于零，则
Figure FDA00023780812800000312
把切比雪夫神经网络和式(8)代入式(10)，可以得到：
Figure FDA0002378081280000041
其中
Figure FDA0002378081280000042
Figure FDA0002378081280000043
为切比雪夫神经网络估计误差的上限；
根据式(12)，自适应同步控制器设计为：
Figure FDA0002378081280000044
其中k21>0，k22>0；
根据式(12)和式(13)，分数阶自适应律设计为：
Figure FDA0002378081280000045
其中c2>0。
5.根据权利要求2所述的分数阶弧形微机电系统的自适应同步控制方法，其特征是，根据分数阶弧形微机电系统的同步误差向量式(3)可知，切比雪夫多项式的阶数为3，那么切比雪夫多项式的基函数为
Figure FDA0002378081280000046
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