CN112965383B - 单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制方法，属于地震仪系统同步控制领域。该方法包括：建立单向耦合分数阶地震仪系统的同步模型；设计控制器：首先采用规定的性能函数和约束条件来保证系统暂态和同步性能，采用带变换的区间二型模糊神经网络来估计单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的不可预测函数，并建立分数阶双曲正切跟踪微分器来处理性能函数和分数阶的复杂性，最小化成本函数，使得跟踪误差落入指定约束的区域；然后以反演递推形式设计自适应神经网络最优定时同步控制器；最后利用李亚普诺夫函数和定时稳定性准则保证闭环地震仪系统的所有信号都是有界的。

Description

单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优 定时同步控制方法

技术领域

本发明属于地震仪系统同步控制技术领域，涉及一种单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制方法。

背景技术

具有复杂动力学特征的自持式机电地震仪系统属于一种敏感仪器，它能记录以一定频率传播的地面运动和波。它的分数阶建模可以比整数阶建模更能精确地描述工程对象的真实运动过程。单向耦合分数阶地震仪系统存在复杂的非线性动力学、陀螺耦合、不可预测函数、预定约束和定时收敛性。因此，实现驱动地震仪和响应地震仪之间的最优定时同步控制是有重要意义和有挑战性。

非线性系统的同步揭示了许多与工程、物理和信息学有关的现象，长期以来一直受到人们的关注。随后，如何满足同步自然而然成为工程领域的研究热点。为了实现设定的目标，大量的方法被报道出来，例如鲁棒同步、自适应同步和最优同步。然而，它们仅限于没有双向和单向耦合项的整数阶系统，在极端情况下不会产生混沌振荡，偏离所关心的混沌同步问题。分数阶微积分是描述非线性系统长记忆和遗传特性的一种非常有用的工具。为了精确建模和增加设计自由度，一个自然而然的想法是将分数阶微积分理论扩展到同步控制。许多研究者致力于分数阶微积分同步的研究，导致许多有趣的结果被陆续报道出来。但是当系统产生由温度变化、电压振荡和材料引起的参数扰动时，这些方案是无效的。同时，其在分数阶同步中没有解决包括约束和最小成本函数在内的规定性能控制。因此，如何建立分数阶混沌系统的最优定时同步方法仍然是一个悬而未决的问题。

近来，融合模糊系统/神经网络的自适应反演方法被广泛用于控制来整数阶非线性系统。然而，随着系统阶数的增加，与反演相关的“复杂性爆炸”出现，甚至变得严重。为了解决这个问题，有人提出了与动态面控制相关的一阶滤波器和跟踪微分器。由于只有一个可调参数，因此很容易掌握一阶滤波器。但它的精度低于跟踪微分器。在工程中，违反约束会导致性能下降甚至系统失效。随后，研究人员开发了一系列输入/输出约束工具并应用到反演方法中。为了进一步改善瞬态行为和稳态响应，学术界高度关注有限时间控制和加速收敛等研究领域，然后一些学者将定时和加速控制理论与传统的反演方法相结合，以达到预定的性能。当系统运动将其初始状态转移到指定的目标状态时，最优控制可以使系统性能指标达到最优值。考虑到这一点，最优控制的概念被成功地应用到反演控制中。然而，这些工作不涉及分数阶建模、动力学和控制。同时，耦合分数阶地震仪系统与一类非线性不确定系统/连续时间系统之间已经存在很大的差距，应用到分数阶地震仪系统同步是否有效需要深入研究。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制方法，提高系统同步模型的设计自由度，解决反演控制固有的“复杂性爆炸”。在分数阶反演框架下，解决有限时间控制、未知系统函数、符合规定约束条件和最小成本函数等问题，设计出单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制器。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制方法，包括以下步骤：

S1：基于单个地震仪的分数阶模型，建立单向耦合分数阶地震仪系统的同步模型；

S2：设计自适应神经网络最优定时同步控制控制器；

首先，采用规定的性能函数和约束条件来保证系统暂态和同步性能，采用带变换的区间二型模糊神经网络来估计单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的不可预测函数，并建立分数阶双曲正切跟踪微分器来处理性能函数和分数阶的复杂性，最小化成本函数，使得跟踪误差落入指定约束的区域；然后，以反演递推的形式设计自适应神经网络最优定时同步控制器；此外，利用李亚普诺夫函数和定时稳定性准则保证闭环地震仪系统的所有信号都是有界的。

进一步，步骤S1中，建立单向耦合分数阶地震仪系统的同步模型，具体包括：利用牛顿第二定律和基尔霍夫定律，建立单个分数阶机电地震仪系统的动力学方程：

其中，m、B和l分别表示电线的质量、磁场和长度，f₁、f₀和ω表示激励的临界力、振幅和频率，F_d表示单个地震仪的非线性刚度弹簧力，x表示非线性弹簧的伸长，L表示线性电感，α、q、R和I₀分别表示分数阶系数、电荷、电阻和初始电流，O_c和O_d表示非线性电容器的平均系数；C₀、τ分别表示电容器的线性部分、时间；d^αq/dτ^α＝I，I为电流；μ₀表示阻尼系数；

引入几个无量纲变量：

其中，Q₀表示参考电荷；

由(1)和(2)导出卡普托分数阶定义下的陀螺耦合驱动系统控制方程，该方程能很好地处理零初始条件问题，则：

其中无量纲参数设置为：

x₁＝x_c，x₃＝x_z，

表示a＞0的卡普托导数，ω_m表示无量纲参数，ω_e、x_c和x_z表示无因次变量，a₀、a₁和a₂表示线性、三次和五次弹簧系数；

那么具有控制输入的响应自持机电地震仪系统动力学方程为：

其中，u₂和u₄表示控制输入，K＝R/R_c表示电阻耦合参数，R_c表示耦合电阻；

将(3)减去(4)，得到同步误差方程为：

其中，e_i＝y_i-x_i，i＝1，…，4表示同步误差。

进一步，步骤S1中，定义最小化性能成本函数为：

其中，S、U和R_o分别表示罚函数、最优控制输入和n阶矩阵，Q(S)＞0；

根据单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的数学模型(3)和性能成本函数(6)，设计自适应神经网络最优定时同步策略，使得闭环地震仪系统中的所有信号在全状态误差约束下有界，性能成本函数达到最小值。

进一步，步骤S2中，所述区间二型模糊神经网络由四层组成，

在第1层，模糊神经网络的输入以x_i的形式获得；

在第2层，定义上、下高斯型2隶属函数为：

其中，

表示第i个输入的第j个模糊集

的中心，

和

表示高斯型2隶属函数的上、下宽度，

和

通过非单一模糊化来计算：

其中，σ_m表示高斯隶属函数的宽度；

在第3层，源于区间二型模糊神经网络规则的上、下触发强度是用乘积运算获得的；

其中，

和p _j表示上、下触发强度；每个区间二型模糊神经网络在分层结构的框架中具有两个输入；当每x_i有N个高斯型2隶属函数时，区间二型模糊神经网络规则的数量将达到N²；

在第4层，基于Nie-Tan直接去模糊方法，推导出矢量形式的区间二型模糊神经网络的去模糊输出：

其中，w表示权重向量，

定义为：

其中，r表示权重向量个数；

调用式(10)，

实现对任意未知但有界函数f_N的精确跟踪，满足：

其中，

ε(X)表示正逼近误差，Ω_w和Ω_X分别表示w和X的适当边界的紧集；

引入理想参数w^*：

针对权值向量w，有

为了便于后续设计，定义

且

为了减少区间二型模糊神经网络的权值，加快运算速度，导出了一个简单的数学变换：

其中，ζ_i＝||w_i||²，b_i为正常数；得到

表示ζ_i的估计值。

进一步，步骤S2的控制器设计中1)定义跟踪误差变量：

z_i＝e_i，z_i+1＝e_i+1-α_i+1，i＝1，3 (15)

其中，α_i+1表示虚拟控制；

为了保证瞬态性能，给出了规定的约束条件：

其中，ψ_p(t)表示性能函数，设计参数H和

属于(0，1]；可以看出，z_i的最大过冲和下冲取决于Hψ_p(0)、ψ_p(0)和

然后，写入转换后的跟踪误差：

在上述公式中，如果z_i(t)≥0则ζ_p＝0.9，如果z_i(t)＜0则ζ_p＝0.1；如果z_i(0)≥0，那么

η＝-Hψ_p(t)，如果z_i(0)＜0，那么

η＝-ψ_p(t)。

进一步，定义性能函数为：

其中，δ_p，

和

表示正常数；该函数是一个光滑的严格递减函数，即

进一步，步骤S2中，以反演递推的形式设计自适应神经网络最优定时同步控制器，具体包括以下步骤：

第一步：为保证变换后的跟踪误差符合约束条件，选择第一个对称障碍李亚普诺夫函数：

对V₁求导得：

其中，

相应地选择虚拟控制为：

其中，k₁＞0；将(20)式代入(19)式得：

第二步：考虑第二个称障碍李亚普诺夫函数：

其中，v₂＞0；

计算V₂的分数阶导数，得：

其中，

h₂涉及在同步模型中的系统动力学，通常被认为是一个未知函数；

为了进行控制器设计，使用一个区间二型模糊神经网络在一个紧凑集合上近似逼近，即：

其中，(·)为(e₁，e₂，e₃，e₄)的缩写；

显然，由于规定的性能函数和分数阶的复杂性，

不容易直接得到。根据双曲正切函数的整数阶跟踪微分器，构建了一个分数阶双曲切线跟踪微分器来近似

即：

其中，

表示双曲切线跟踪微分器的输出，

表示双曲切线跟踪微分器的输入，参数ρ_i、σ_i和σ_i+1用来调整跟踪速度和跟踪效果；

根据(24)和(25)可得：

其中，b₂＞0；然后，推导出具有自适应律的控制输入

其中，k₂、k₂₂、m₁和m₂表示正的常数，u_c2表示补偿近似误差的最优控制输入；

根据公式(6)的定义，性能成本函数被设计为：

其中

和φ_i表示设计参数；区间二型模糊神经网络中存在近似误差，为了补偿它，条件

成立；

借助Riccati代数方程：

最优控制输入推导为：

根据式(27)和(28)，式(26)被写为：

第三步：定义第三个对称障碍李亚普诺夫函数

通过重复上述计算，虚拟控制写为：

其中，k₃表示一个正常数；

根据(31)和(32)得到V₃的导数：

第四步：考虑第四个对称障碍李亚普诺夫函数

其中，v₄＞0；

借鉴第二步的思想，控制输入和自适应律写为：

其中k₄、k₄₂、m₃和m₄表示正常数；Z₄和u_c4表示分数阶双曲切线跟踪微分器的输出和最优控制输入；

满足Riccati代数方程的最优控制输入写为：

根据式(35)和(36)，式(34)的导数写为：

通过引用杨氏不等式，得到：

将式(40)代入式(39)得：

其中，

k_a＝min{k_i-k_si5m_i/2}，k_b＝min{k_2i 1}。

本发明的有益效果在于：本发明基于单个地震仪的分数阶模型，建立了单向耦合分数阶地震仪系统的同步模型。它能准确描述系统的动态特性，提高设计自由度。本发明解决了反演控制固有的“复杂性爆炸”，即使在高阶系统中也是如此。本发明在分数阶反演框架下，通过解决有限时间控制、未知系统函数、符合规定约束条件和最小成本函数等问题，设计了单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制器。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：

图1为自适应神经网络最优定时同步控制方法流程图；

图2为单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的示意图；

图3为驱动和响应自持机电地震仪系统的李雅普诺夫指数与驱动幅值的关系；

图4为响应自持机电地震仪系统的李雅普诺夫指数与耦合参数的关系；

图5为驱动与响应自持机电地震仪系统的最优同步性能结果；

图6为驱动自持机电地震仪系统与响应自持机电地震仪系统之间的同步误差；

图7为同步下不同分数阶的跟踪误差变量；

图8为不同耦合参数变化后的跟踪误差；

图9为分数阶双曲切线跟踪微分器的近似性能；

图10为不同耦合参数的控制输入和最优控制输入；

图11为不同分数阶和耦合参数下的自适应律。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

本发明实施例的附图中相同或相似的标号对应相同或相似的部件；在本发明的描述中，需要理解的是，若有术语“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明，不能理解为对本发明的限制，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。

请参阅图1～图11，本发明提供了一种单向耦合分数阶自持机电地震仪系统在次谐波和超谐波振荡下的自适应神经网络最优定时同步控制方法。基于驱动和响应地震仪建立了单向耦合分数阶地震仪系统的同步模型。借助关于驱动振幅和耦合参数的李雅普诺夫指数，动力学分析揭示了单向耦合分数阶自持机电地震仪系统能产生瞬态混沌和同宿/异宿振荡。在控制器设计中，采用规定的性能函数和约束条件来保证系统暂态和同步性能，采用带变换的区间二型模糊神经网络来估计单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的不可预测函数，并建立分数阶双曲正切跟踪微分器来处理性能函数和分数阶的复杂性。然后，以反演递推设计的形式开发了自适应神经网络最优定时同步控制器。此外，利用李亚普诺夫函数和定时稳定性准则证明了闭环地震仪系统的所有信号都是有界的，跟踪误差随着成本函数的最小化而落入指定约束的区域。

如图1所示，该自适应神经网络最优定时同步控制方法具体包括：

一、系统建模和数学准备；

1、系统建模

单个分数阶自持机电地震仪系统通常由电气部分和机械部分两部分组成。其电气部分包括线性电感L、非线性电容C_NL、非线性电阻R_NR和与前三个电子元件串联安装的电动势e_v。它的机械部分悬挂在外壳上，由一个减震器、一个地震质量和一个可调弹簧组成。这两个部分通过耦合磁体线圈和磁体耦合，从而产生磁场

Westerlund和Ekstam利用实验结果揭示了电容器不同电介质的分数阶特性，例如

其中C₀τ，

和

分别表示电容器的线性部分、时间、电流和电压。

与非线性电阻和电容相关的电压可以用分数阶的形式表达

其中α，q，R和I₀分别表示分数阶系数、电荷、电阻和初始电流，O_c和O_d表示非线性电容器的平均系数，d^αq/dτ^α＝I，I为电流。

在实际应用中，摩擦和空气阻力都存在于调速系统中是不可避免的。因此，对于单个地震仪系统，具有非线性刚度的弹簧力F_d可以写成

F_d＝a₀+a₁x²+a₂x⁴ (2)

其中，x表示非线性弹簧的伸长，a₀、a₁和a₂表示线性、三次和五次弹簧系数。

由于永磁体和耦合线圈之间强相互作用的影响，应该考虑机械部分的拉普拉斯力和电气部分的楞次电动势。利用牛顿第二定律和基尔霍夫定律，建立单个分数阶机电地震仪系统的动力学方程

其中，m、B和l分别表示电线的质量、磁场和长度，f₁、f₀和ω表示激励的临界力、振幅和频率，μ₀表示阻尼系数。

图2展示了单向耦合分数阶自持机电地震仪系统，其中使用线性电阻器和电流跟随器来连接两个分数阶地震仪系统(其中一个称为响应自持机电地震仪系统，另一个称为驱动自持机电地震仪系统)。

引入几个无量纲变量

其中，Q₀表示参考电荷。

由(3)和(4)导出了卡普托分数阶定义下的陀螺耦合驱动系统控制方程，该方程能很好地处理零初始条件问题，则：

其中无量纲参数设置为

x₁＝x_c，x₃＝x_z，和

表示α＞0的卡普托导数。

那么具有控制输入的响应自持机电地震仪系统动力学方程写成

其中，u₂和u₄表示控制输入，K＝R/R_c表示电阻耦合参数，R_c表示耦合电阻。

备注1：分数阶α的值与电子元器件的电介质、电解过程、粘弹性、动力学模量等密切相关。如α＝1，分数阶模型将其退回到一般的整数阶模型，因此分数阶模型可以精确地描述系统特性，并且具有更多的设计自由度。如果K＝0，单向耦合分数阶地震仪系统的模型退化为分数阶地震仪系统的一般同步模型。

从(5)中减去(6)，得到以下同步误差方程

其中，e_i＝y_i-x_i，i＝1，…，4表示同步误差。

2.数学准备

定义：对于一个充分可微的函数F(t)，Caputo分数导数由下式给出：

其中，

表示欧拉-伽马函数，n-1＜α＜n，

通过对上面的公式进行拉普拉斯变换，可以得到

对于任何连续函数F₁(t)和F₂(t)，在时间间隔

和0＜α＜1下，有

当F₁(t)＝F₂(t)时，可以立即推出下面的不等式

定义2：定义最小化性能成本函数

其中S、U和R_o分别表示罚函数、最优控制输入和n阶矩阵，Q(S)＞0。

定义3：定义性能函数

其中，δ_p、

和

表示正常数。上述函数是一个光滑的严格递减函数，即

定义4：对于动态系统

x_s(0)＝x₀伴随

如果原点是一个平衡点，则存在一个函数V(x_s)＞0且满足：

其中，κ_s，ρ_s＞0，p_s＞1，0＜q_s＜1。

推测实现被控系统定时稳定的设定时间函数为

T_s≤T_max＝1/(p_s-1)κ_s+1/(q_s-1)ρ_s (15)

二、动态分析和提出问题

驱动和响应自持机电地震仪系统的两组物理参数定义为：

驱动自持机电地震仪系统：μ₁＝0.1，μ₂＝0.2，ω₁＝1，λ₁＝0.01，λ₂＝-0.7，β₁＝0.01，β₂＝0.1，γ₁＝0.25，γ₂＝0.9，ω＝0.5，F₀＝1.2；

响应自持机电地震仪系统：μ₁＝0.03，μ₂＝0.02，ω₁＝1，λ₁＝0.5，λ₂＝0.6，β₁＝0.05，β₂＝0.13，γ₁＝0.65，γ₂＝0.4，ω＝0.25，F₀＝13.6。

为了揭示单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的动态特性，便于后续控制器的设计，本发明采用了李亚普诺夫指数这一判断系统混沌特性的高效工具。图3描述了驱动和响应自持机电地震仪系统中不同驱动幅值的李雅普诺夫指数。图4揭示了响应自持机电地震仪系统的李雅普诺夫指数与耦合参数和时间的关系。

可以看出，由于在不同情况下李雅普诺夫指数的正值，单向耦合分数阶自持机电地震仪系统陷入混沌振荡。在不采取任何措施的情况下，源于势能非平衡相互作用的同宿/异宿振荡能破坏系统的稳定性。

本发明的控制目的：给定单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的数学模型(5)和性能成本函数(12)，提出一种自适应神经网络最优定时同步策略，使得闭环地震仪系统中的所有信号在全状态误差约束下有界，性能成本函数达到最小值。同时将与地球振动检测和记录相关的目标轨迹嵌入混沌吸引子中，以固定的时间收敛速度达到最优同步。

三、设计自适应神经网络最优定时同步控制控制器

1、区间二型模糊神经网络

基于第一类模糊神经网络生成的区间二型模糊神经网络由四层组成，随着区间二型模糊神经网络规模的减小，它可以提高性能和学习精度。

在第1层，模糊神经网络的输入以x_i的形式获得。

在第2层，定义了上、下高斯型2隶属函数为：

其中，

i＝1，…，N，j＝1，2表示第i个输入的第j个模糊集

的中心，

和

表示高斯型2隶属函数的上、下宽度，

和

通过非单一模糊化来计算：

其中，σ_m表示高斯隶属函数的宽度。

在第3层，源于区间二型模糊神经网络规则的上、下触发强度是用乘积运算获得的；

其中，

和p _j表示上、下触发强度；每个区间二型模糊神经网络在分层结构的框架中具有两个输入；当每x_i有N个高斯型2隶属函数时，区间二型模糊神经网络规则的数量将达到N²。

在第4层，基于Nie-Tan直接去模糊方法，推导出矢量形式的区间二型模糊神经网络的去模糊输出：

其中，w表示权重向量，

定义为：

其中，r表示权重向量个数；

调用式(19)，

实现对任意未知但有界函数f_N的精确跟踪，满足：

其中，

ε(X)表示正逼近误差，Ω_w和Ω_X分别表示w和X的适当边界的紧集。

引入理想参数w^*：

针对权值向量w，有

为了便于后续设计，定义

且

为了减少区间二型模糊神经网络的权值，加快运算速度，导出了一个简单的数学变换：

其中，ζ_i＝||w_i||²，b_i为正常数。可以得到

表示ζ_i的估计值。

备注2：分数阶微积分中主要存在三种分数阶导数，包括卡普托导数、Riemann-Liouville导数和

-Letnikov导数。当应用于分数阶微分方程的求解时，通过产生与Caputo导数的初始化Lorenzo和Hartley导数相同的结果，具有

对于Riemann-Liouville和

-Letnikov导数，可以在ζ具有m+1阶连续导数并且m至少满足[α]＝n-1下得到

其中[α]表示α的整数部分且

它可以通过

在上述导数之间建立相互转换。因此，所提方案可以扩展到更广泛的分数阶微积分领域。

2、设计控制器

定义跟踪误差变量：

z_i＝e_i，z_i+1＝e_i+1-α_i+1，i＝1，3 (24)

其中，α_i+1表示虚拟控制。

为了保证瞬态性能，给出了规定的约束条件：

其中，ψ_p(t)表示性能函数，设计参数H和

属于(0，1]。可以看出，z_i的最大过冲和下冲取决于Hψ_p(0)、ψ_p(0)和

然后，写入转换后的跟踪误差：

在上述公式中，如果z_i(t)≥0则ζ_p＝0.9，如果z_i(t)＜0则ζ_p＝0.1；如果z_i(0)≥0，那么

η＝-Hψ_p(t)，如果z_i(0)＜0，那么

η＝-ψ_p(t)。

根据反演控制原理，相应的设计过程可分为四个步骤：

第一步：为保证变换后的跟踪误差符合约束条件，选择第一个对称障碍李亚普诺夫函数：

对V₁求导得：

其中，

相应地选择虚拟控制为：

其中，k₁＞0；将(29)式代入(28)式得：

第二步：考虑第二个称障碍李亚普诺夫函数：

其中，v₂＞0。

计算V₂的分数阶导数，得：

其中，

h₂涉及在同步模型中的系统动力学，通常被认为是一个未知函数。

为了进行控制器设计，使用一个区间二型模糊神经网络在一个紧凑集合上近似逼近，即：

其中，(·)为(e₁，e₂，e₃，e₄)的缩写。

显然，由于规定的性能函数和分数阶的复杂性，

不容易直接得到。根据双曲正切函数的整数阶跟踪微分器，构建了一个分数阶双曲切线跟踪微分器来近似

即：

其中，

表示双曲切线跟踪微分器的输出，

表示双曲切线跟踪微分器的输入，参数ρ_i、σ_i和σ_i+1用来调整跟踪速度和跟踪效果。

备注3：分数阶双曲切线跟踪微分器可以非常高的精度近似任意输入信号Z_r，i。Z_i+1表示的Z_r，i分数阶导数的估计。为了提高双曲切线跟踪微分器的收敛速度和精度，应该选择较大的ρ_i，σ_i和较小的σ_i+1。但是过大或过小的参数都可能导致超调。

根据(33)和(34)可得：

其中，b₂＞0；然后，推导出具有自适应律的控制输入

其中，k₂、k₂₂、m₁和m₂表示正的常数，u_c2表示补偿近似误差的最优控制输入。

根据定义2，性能成本函数被设计为：

其中

和φ_i表示设计参数。区间二型模糊神经网络中存在近似误差，为了补偿它，条件

成立。

借助Riccati代数方程：

i＝2，4，最优控制输入可推导为：

根据式(36)和(37)，式(35)可被写为：

第三步：定义第三个对称障碍李亚普诺夫函数

通过重复上述计算，虚拟控制写为：

其中，k₃表示一个正常数。

根据(40)和(41)得到V₃的导数：

第四步：考虑第四个对称障碍李亚普诺夫函数

其中，v₄＞0。

注意：

h₄是一个未知函数。所以有必要使用区间二型模糊神经网络

来估计这个函数。同时，用一个分数阶双曲切线跟踪微分器来近似

即Z₄等于

借鉴第二步的思想，控制输入和自适应律写为：

其中k₄、k₄₂、m₃和m₄表示正常数；Z₄和u_c4表示分数阶双曲切线跟踪微分器的输出和最优控制输入。

满足Riccati代数方程的最优控制输入写为：

根据式(44)和(45)，式(43)的导数可写为：

通过引用杨氏不等式，得到：

将式(49)代入式(47)得：

其中，

k_a＝min{k_i-k_si5m_i/2}，k_b＝min{k_2i 1}。

四、稳定性分析

定理1：针对具有性能成本函数(12)和固定时间函数(15)的单向耦合分数阶自持机电地震仪系统(7)自适应神经网络最优定时同步控制问题，构建定时控制输入(36)，(44)和自适应律(37)，(45)。当最优控制输入设计为(39)和(46)时，闭环系统的所有信号都是有界的，且不违反约束条件。此外，实现自适应神经网络最优定时同步，并使性能成本函数最小化的目的。

证明：选取整个李雅普诺夫函数为：

对上式求导得：

因为0＜τ_a＜1，所以θ≤k_aτ_aV²/8。从而得到

根据定义4，在一固定周期内有一集合

并且，可求得给定的收敛时间

T_s≤T_max＝4/k_b+8/(k_a(1-τ_a)) (54)

由

可得

由于0≤s_i＜1，得到

|z_i|＜|e_i+1-α_i+1|或

证明完成。

备注4：在所提出的同步控制器中，通过合理调整k_i，k_i2，m_i，b_i，v_i，

和φ_i可以获得满意的性能。较大的k_i，k_i2和较小的b_i可以获得较好的同步性能。但是过大的k_i，k_i2或过小的b_i数值会导致较大的控制输入，这可能远远超出机电设备的物理极限。

和φ_i的选择应与Riccati代数方程相匹配。最后，需要对所提控制器参数选取采用试凑法。

五、仿真结果分析

在仿真中，自适应神经网络最优定时同步控制控制器的参数选取为：

k₁＝k₂＝10，k₃＝k₄＝15，b₂＝b₄＝1，m₁＝m₂＝m₃＝m₄＝2，v₂＝v₄＝2和k₂₂＝k₄₂＝4。选择最优控制输入参数为：

φ₂＝φ₄＝1。预先定义跟踪误差的性能函数为：ψ_p(t)＝(0.03)e^-t+0.05，共中

分数阶双曲切线跟踪微分器的参数设置为：ρ₁＝ρ₃＝5，σ₁＝σ₃＝30，σ₂＝σ₄＝3。与约束条件相关的参数定义为：H＝0.06，

在区间二型模糊神经网络中，其中心为

上下宽度为

和

高斯隶属函数的宽度为σ_m＝05。

从图3～4可知，在所提控制器应用之前，自持机电地震仪系统的驱动系统和响应系统都出现了瞬态混沌和对混沌振荡的瞬态响应。在所提方案实施后，很明显，图5表明实现了精确的同步，图6中同步误差以非常快的速度收敛到零附近。然后，在不同条件下，驱动和响应自持机电地震仪系统的轨迹最终在相同的极限环上保持循环。

图7揭示了在同步下跟踪误差总是保持在预先给定的约束边界内。同时，分数阶的变化涉及不同的动态行为，但它的变化在规定的范围内不影响控制性能。从图4中可以看出，耦合参数K与李雅普诺夫指数密切相关，李雅普诺夫指数可以揭示单向耦合分数阶地震仪系统的某些混沌特征。图8中的变换跟踪误差证实了所设计的方案对耦合参数的变化不敏感。三种曲线在给定时间内基本重叠。

为了处理与对称障碍李亚谱诺夫函数和分数阶相关的复杂性，这里使用分数阶双曲正切跟踪微分器来估计虚拟控制输入的分数阶值。图9清楚地展示了分数阶双曲正切跟踪微分器的良好近似性能，其中蓝色的估计曲线可以以极高的精度和相当短的时间来近似红色的理想曲线。值得指出的是，控制输入直接决定了带耦合项的自持机电地震仪系统驱动与响应系统同步过程。图10的前两个子图展示了与同步性能相关的控制输入。最优控制输入被用来最小化成本函数并补偿来自区间二型模糊神经网络的近似误差。图10的最后两个子图显示了最优控制输入。可以知道，在所提方案干预后，所有曲线都达到稳定状态。同时进一步证明了所提方法具有良好的抗耦合参数扰动能力。

对于具有超混沌特性的单向耦合分数阶机电地震仪系统，利用区间二型模糊神经网络逼近未知系统函数。图11描述了区间二型模糊神经网络对不同分数阶和耦合参数的自适应规律。显然，在不同的工作条件下，所有的性能曲线都处于稳定状态。所提方案可以抑制参数扰动的影响。分数阶的变化涉及到不同的物理系统模型，图11的前两个子图表明，所提出的方案可以在一定范围内处理这个问题。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的自适应神经网络最优定时同步控制方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

S1：基于单个地震仪的分数阶模型，建立单向耦合分数阶地震仪系统的同步模型；

S2：设计自适应神经网络最优定时同步控制控制器；首先，采用规定的性能函数和约束条件来保证系统暂态和同步性能，采用带变换的区间二型模糊神经网络来估计单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的不可预测函数，并建立分数阶双曲正切跟踪微分器来处理性能函数和分数阶的复杂性，最小化成本函数，使得跟踪误差落入指定约束的区域；然后，以反演递推的形式设计自适应神经网络最优定时同步控制器；此外，利用李亚普诺夫函数和定时稳定性准则保证闭环地震仪系统的所有信号都是有界的；

步骤S1中，建立单向耦合分数阶地震仪系统的同步模型，具体包括：利用牛顿第二定律和基尔霍夫定律，建立单个分数阶机电地震仪系统的动力学方程：

其中，m、B和l分别表示电线的质量、磁场和长度，f₁、f₀和ω表示激励的临界力、振幅和频率，F_d表示单个地震仪的非线性刚度弹簧力，x表示非线性弹簧的伸长，L表示线性电感，α、q、R和I₀分别表示分数阶系数、电荷、电阻和初始电流，O_c和O_d表示非线性电容器的平均系数；C₀、τ分别表示电容器的线性部分、时间；d^αq/dτ^α＝I，I为电流；μ₀表示阻尼系数；

引入几个无量纲变量：

其中，Q₀表示参考电荷；

由(1)和(2)导出卡普托分数阶定义下的陀螺耦合驱动系统控制方程，该方程能很好地处理零初始条件问题，则：

其中无量纲参数设置为：

x₁＝x_c,x₃＝x_z，

表示α＞0的卡普托导数，w_m表示无量纲参数，ω_e、x_c和x_z表示无因次变量，a₀、a₁和a₂表示线性、三次和五次弹簧系数；

那么具有控制输入的响应自持机电地震仪系统动力学方程为：

其中，u₂和u₄表示控制输入，K＝R/R_c表示电阻耦合参数，R_c表示耦合电阻；

将(3)减去(4)，得到同步误差方程为：

其中，e_i＝y_i-x_i,i＝1,…,4表示同步误差；

定义最小化性能成本函数为：

其中，S、U和R_o分别表示罚函数、最优控制输入和n阶矩阵，Q(S)＞0；

根据单向耦合分数阶自持机电地震仪系统的数学模型(3)和性能成本函数(6)，设计自适应神经网络最优定时同步策略，使得闭环地震仪系统中的所有信号在全状态误差约束下有界，性能成本函数达到最小值；

步骤S2中，所述区间二型模糊神经网络由四层组成，

在第1层，模糊神经网络的输入以x_i的形式获得；

在第2层，定义上、下高斯型2隶属函数为：

其中，

表示第i个输入的第j个模糊集

的中心，

和

表示高斯型2隶属函数的上、下宽度，

和

通过非单一模糊化来计算：

其中，σ_m表示高斯隶属函数的宽度；

在第3层，源于区间二型模糊神经网络规则的上、下触发强度是用乘积运算获得的；

其中，

和p _j表示上、下触发强度；

在第4层，基于Nie-Tan直接去模糊方法，推导出矢量形式的区间二型模糊神经网络的去模糊输出：

其中，w表示权重向量，

定义为：

其中，r表示权重向量个数；

调用式(10)，

实现对任意未知但有界函数f_N的精确跟踪，满足：

其中，

ε(X)表示正逼近误差，Ω_w和Ω_X分别表示w和X的适当边界的紧集；

引入理想参数w^*：

针对权值向量w，有

为了便于后续设计，定义

且

为了减少区间二型模糊神经网络的权值，加快运算速度，导出了一个简单的数学变换：

其中，ζ_i＝||w_i||²，b_i为正常数；得到

表示ζ_i的估计值；

步骤S2的控制器设计中：1)定义跟踪误差变量：

z_i＝e_i,z_i+1＝e_i+1-α_i+1,i＝1,3 (15)

其中，α_i+1表示虚拟控制；

为了保证瞬态性能，给出了规定的约束条件：

其中，ψ_p(t)表示性能函数，设计参数H和

属于(0，1]；z_i的最大过冲和下冲取决于Hψ_p(0)、ψ_p(0)和

然后，写入转换后的跟踪误差：

在上述公式中，如果z_i(t)≥0则ζ_p＝0.9，如果z_i(t)＜0则ζ_p＝0.1；如果z_i(0)≥0，那么

η＝-Hψ_p(t)，如果z_i(0)＜0，那么

η＝-ψ_p(t)；

2)定义性能函数为：

其中，δ_p，

和

表示正常数；该函数是一个光滑的严格递减函数，即

步骤S2中，以反演递推的形式设计自适应神经网络最优定时同步控制器，具体包括以下步骤：

第一步：为保证变换后的跟踪误差符合约束条件，选择第一个对称障碍李亚普诺夫函数：

对V₁求导得：

其中，

相应地选择虚拟控制为：

其中，k₁＞0；将(20)式代入(19)式得：

第二步：考虑第二个称障碍李亚普诺夫函数：

其中，ν₂＞0；

计算V₂的分数阶导数，得：

其中，

为了进行控制器设计，使用一个区间二型模糊神经网络在一个紧凑集合上近似逼近，即：

其中，(·)为(e₁，e₂，e₃，e₄)的缩写；

根据双曲正切函数的整数阶跟踪微分器，构建了一个分数阶双曲切线跟踪微分器来近似

即：

其中，

表示双曲切线跟踪微分器的输出，

表示双曲切线跟踪微分器的输入，参数ρ_i、σ_i和σ_i+1用来调整跟踪速度和跟踪效果；

根据(24)和(25)可得：

其中，b₂＞0；然后，推导出具有自适应律的控制输入

其中，k₂、k₂₂、m₁和m₂表示正的常数，u_c2表示补偿近似误差的最优控制输入；

根据公式(6)的定义，性能成本函数被设计为：

其中，

和φ_i表示设计参数；区间二型模糊神经网络中存在近似误差，为了补偿它，条件

成立；

借助Riccati代数方程：

最优控制输入推导为：

根据式(27)和(28)，式(26)被写为：

第三步：定义第三个对称障碍李亚普诺夫函数

通过重复上述计算，虚拟控制写为：

其中，k₃表示一个正常数；

根据(31)和(32)得到V₃的导数：

第四步：考虑第四个对称障碍李亚普诺夫函数

其中，v₄＞0；

借鉴第二步的思想，控制输入和自适应律写为：

其中k₄、k₄₂、m₃和m₄表示正常数；Z₄和u_c4表示分数阶双曲切线跟踪微分器的输出和最优控制输入；

满足Riccati代数方程的最优控制输入写为：

根据式(35)和(36)，式(34)的导数写为：

通过引用杨氏不等式，得到：

将式(40)代入式(39)得：

其中，

k_a＝min{k_i-k_si 5m_i/2}，k_b＝min{k_2i 1}。

Images