CN109634116B - 一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法 - Google Patents

一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法 Download PDF

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CN109634116B CN201811520001.3A CN201811520001A CN109634116B CN 109634116 B CN109634116 B CN 109634116B CN 201811520001 A CN201811520001 A CN 201811520001A CN 109634116 B CN109634116 B CN 109634116B
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Abstract

本发明公开了一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法。系统的加速自适应稳定方法包括下述步骤：a、引入速度函数在预设时间内加快系统状态的收敛速度；b、使用Chebyshev神经网络学习或逼近系统数学模型中的未知非线性项，设计扩张状态跟踪微分器估计虚拟控制输入的导数，进而在backstepping控制框架下构建加速自适应稳定控制器。本发明克服了分数阶机械式离心调速器系统在参数未知和扰动情况下的稳定问题，在给定收敛速率下的加速稳定问题，及传统反演法的反复求导问题，进而有效解决了分数阶机械式离心调速器系统的混沌振荡问题。

Description

一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法
技术领域
本发明涉及非线性系统的稳定方法，具体涉及一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法。
背景技术
由于机械式离心调速器系统在柴油机、蒸汽机和燃气轮机等领域的广泛应用，它被认为是一种有价值的旋转机器之一。初步的研究成果表明机械式离心调速器系统能展示出一系列的非线性行为。其中，机械式离心调速器系统中固有的混沌振荡在没有采取有效措施的前提条件下会导致系统性能的恶化。在遭受到两种不同形式的外界干扰下，有学者研究了自主与非自主机械式离心调速器系统的动力学行为。有学者对具有分数阶阻尼的碰摩转子系统复杂动态行为和混沌路径类型进行了讨论。利用拉格朗日方程，有人研究了非自主机械式离心调速器系统的分岔和混沌问题。由于分数阶机械式离心调速器系统具有高度的非线性和不确定性，这些工作都没有讨论在参数未知情况下的稳定问题以及在给定收敛速率下的加速稳定问题。
线性阵不等式被广泛用来解决系统与控制中的一些稳定问题，随着求解线性矩阵不等式的内点法的提出、MATLAB软件中LMI工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的关注和重视，应用线性矩阵不等式来解决系统和控制问题已成为一大研究热点。但该方法依赖系统的初始条件且不能任意预先设定。反演控制是一种非线性系统设计方法，它通过引入虚拟控制，将复杂的非线性系统分解成多个更简单和阶数更低的系统，然后选择适当的李雅普诺夫函数来保证系统的稳定性，并逐步导出最终的控制率及参数自适应律，实现对系统的有效控制和全局调节。但随着系统阶数的增加，反演控制会出现虚拟控制项反复求导并引发计算膨胀问题。
同传统的整数阶非线性系统相比，具有参数和混沌振荡的分数阶机械式离心调速器系统在一定收敛速率下的加速自适应问题是一个非常棘手的问题。
综上，目前还未发现一种方法能够很好地解决分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定问题。
发明内容
本发明的目的在于，提供一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法。本发明克服了分数阶机械式离心调速器系统在参数未知和参数扰动情况下的稳定问题，在给定收敛速率下的加速稳定问题，及传统反演法的反复求导问题，进而有效解决了分数阶机械式离心调速器系统的混沌振荡问题。
本发明的技术方案：一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法，所述的分数阶机械式离心调速器系统的数学模型为：
Figure BDA0001902987250000011
其中α表示分数阶，x1＝φ，
Figure BDA0001902987250000012
和x3＝ω表示系统状态，u1和u2表示控制输入，c表示卡普托定义，fi(x1,x2,x3)，i＝1,2,3表示函数，ω0表示特定速度(rad/s)，φ表示旋转轴和拉杆之间的角位置(rad)，k表示比例常数，F表示扭转负载(N.m)，w表示调速轮的转速 (rad/s)，r表示常数，C表示常数，v表示常数，φ0表示初始值(rad)；
系统的加速自适应稳定方法包括下述步骤：
a、引入速度函数在预设时间内加快系统状态的收敛速度；
b、使用Chebyshev神经网络学习或逼近系统数学模型中的未知非线性项，设计扩张状态跟踪微分器估计虚拟控制输入的导数，进而在backstepping控制框架下构建加速自适应稳定控制器。
前述的分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法所述的步骤a中，引入速度函数按下述方法进行：
引入一个速率函数
Figure BDA0001902987250000021
其中0＜T＜∞表示有限时间，κ(t)满足条件κ(0)＝1和
Figure BDA0001902987250000022
表示任意非递减和
Figure BDA0001902987250000023
时间光滑函数，例如κ(t)＝1,1+t2,et,4t(1+t2)；
基于速率函数，构建如下速度函数
Figure BDA0001902987250000024
其中0＜bψ＜＜1表示一个设计参数；
利用式(17)和式(18)，得到
Figure BDA0001902987250000025
前述的分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法所述的加速自适应稳定控制器为：
Figure BDA0001902987250000026
Figure BDA0001902987250000027
其中，u1和u2均代表控制输入，c21＞0，
Figure BDA0001902987250000028
c31＞0，
Figure BDA0001902987250000029
Si(t),i＝1,2,3表示误差变量，
Figure BDA00019029872500000210
bi(t),i＝2,3表示正数，η22表示扩张状态跟踪微分器变量，ξ2(x1,x2)和ξ3(·) 表示Chebyshev神经网络的基函数矢量，
Figure BDA00019029872500000211
表示Chebyshev神经网络的权值；
所述的u1对应的自适应律为：
Figure BDA00019029872500000212
所述的u2对应的自适应律为：
Figure BDA0001902987250000031
其中g2＞0；g3＞0。
前述的分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法所述的步骤b中，构建加速自适应稳定控制器按下述步骤进行：
引理1：对任意的连续函数x(t)，下列不等式成立
Figure BDA0001902987250000032
引理2：对0＜α＜1的分数阶系统
Figure BDA0001902987250000033
可以转换成下列线性分数阶积分器的连续频率分布模型
Figure BDA0001902987250000034
其中
Figure BDA0001902987250000035
表示权值函数，
Figure BDA0001902987250000036
表示系统的真实状态；
引入误差变量
Figure BDA0001902987250000037
其中αi表示虚拟控制输入，α1，α3＝0，Si(t)表示加速误差；
b1、对S1(t)在卡普托定义上进行求导
Figure BDA0001902987250000038
选取第一个李雅普诺夫函数
Figure BDA0001902987250000039
其中
Figure BDA00019029872500000310
由引理2和式(21)可得到下列频率分布模型
Figure BDA00019029872500000311
沿式(23)对V1(t)进行求导，则
Figure BDA00019029872500000312
选取虚拟控制输入
α2＝-(c1+β)e1 (25)
其中c1表示正数，对式(24)进行转换，得到
Figure BDA0001902987250000041
b2、求解S2(t)的分数阶导数
Figure BDA0001902987250000042
其中h2(t)＝r(x3+ω0)2sin(x1-φ0)cos(x1-φ0)-sin(x1-φ0)-Cx2；
采用Chebyshev神经网络在一个紧凑集上逼近未知非线性函数h2(t)，即
Figure BDA0001902987250000043
其中ε2(x1,x2)表示Chebyshev神经网络的逼近误差，其上界等于
Figure BDA0001902987250000044
Figure BDA0001902987250000045
表示Chebyshev 神经网络的权值；
所述的Chebyshev神经网络为
Figure BDA0001902987250000046
利用杨氏不等对Chebyshev神经网络进行如下的变换：
Figure BDA0001902987250000047
其中
Figure BDA0001902987250000048
表示权值，b2表示正数；
定义权值误差
Figure BDA0001902987250000049
得到
Figure BDA00019029872500000410
设计扩张状态跟踪微分器来逼近
Figure BDA00019029872500000411
Figure BDA00019029872500000412
具有非线性函数
Figure BDA00019029872500000413
其中δe＞0，αe＞0，θ21和θ22表示反馈增益，ρe2＝η21-α2表示跟踪微分器误差；
把式(28)-式(30)代入式(27)得到
Figure BDA00019029872500000414
选取第二个李雅普诺夫函数
Figure BDA00019029872500000415
其中
Figure BDA00019029872500000416
和
Figure BDA00019029872500000417
根据引理2可知，相应的频率分布模型可写为
Figure BDA0001902987250000051
对式(32)求导，得到
Figure BDA0001902987250000052
设计控制输入u1和相应的自适应律
Figure BDA0001902987250000053
Figure BDA0001902987250000054
其中c21＞0，
Figure BDA0001902987250000055
和g2＞0；
利用式(35)和式(36)，推导式(34)得到
Figure BDA0001902987250000056
b3、计算S3(t)的分数阶导数
Figure BDA0001902987250000057
其中h3(t)＝kcos(x1-φ0)-F-vsinwt；
h3(t)属于未知的非线性函数；为了便于控制器设计，同样利用Chebyshev神经网络在一个紧凑集上去估计h3(t)，则
Figure BDA0001902987250000061
其中ξ3(·)的上界等于
Figure BDA0001902987250000062
ξ3(·)和ε3(·)分别表示ξ3(x1,x2,x3)和ε3(x1,x2,x3)的缩写；
参照步骤b2，对Chebyshev神经网络进行坐标变换，则
Figure BDA0001902987250000063
其中b3表示正数，权值
Figure BDA0001902987250000064
选取第三个李雅普诺夫函数
Figure BDA0001902987250000065
其中
Figure BDA0001902987250000066
和
Figure BDA0001902987250000067
得到相应的频率分布模型
Figure BDA0001902987250000068
对式(41)进行求导
Figure BDA0001902987250000069
设计控制输入u2和相应的自适应律如下：
Figure BDA00019029872500000610
Figure BDA00019029872500000611
其中c31＞0，
Figure BDA00019029872500000612
和g3＞0。
有益效果：与现有技术相比，本发明具有如下优点：本发明的分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法，引入速度函数在给定的时间内来加快收敛速度，用具有自适应律的Chebyshev神经网络来学习或逼近系统中的未知非线性项，设计扩张状态跟踪微分器来估计虚拟控制输入的导数从而克服了传统反演法的反复求导问题。在传统反演法的框架中融入速度函数、神经网络和跟踪微分器构建了自适应稳定控制器。本发明借助于连续频率分布模型和分数阶李雅普诺夫函数，证明了本发明能保证闭环系统所有信号的有界性，且本发明不仅抑制了系统的高频振荡，提高了在规定时间内的自适应稳定速率，而且取消了对系统精确模型的限制并解决了传统反演法固有的计算膨胀问题；即，本发明通过雇用合理的连续频率分布模型和分数阶李雅普诺夫函数，通过稳定性分析证明了本发明所有闭环系统信号全局渐进稳定，同时混沌振荡得到彻底抑制。
附图说明
图1是分数阶机械式离心调速器系统在α＝0.95时的时序图；
图2是分数阶机械式离心调速器系统在α＝0.95时的相位图；
图3是分数阶机械式离心调速器系统在α＝0.9时的时序图；
图4是分数阶机械式离心调速器系统在α＝0.9时的相位图；
图5是分数阶机械式离心调速器系统在α＝0.95时，不同k值的相位图；
图6是不同分数阶值下的误差变量e1和加速误差变量S1；
图7是不同分数阶值下的误差变量e2和加速误差变量S2；
图8是不同分数阶值下的误差变量e3和加速误差变量S3；
图9是不同分数阶值下的控制输入u1；
图10是不同k值下的加速误差变量S1；
图11是不同k值下的加速误差变量S2；
图12是不同k值下的控制输入u1；
图13是不同k值下的Chebyshev神经网络性能；
图14是不同速度函数下的加速误差变量S2；
图15是不同速度函数下的控制输入u1；
图16是机械式离心调速器系统的原理图；
图17是本发明的自适应稳定方法的示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明，但并不作为对本发明限制的依据。
实施例。一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法，所述的分数阶机械式离心调速器系统的数学模型可写为：
Figure BDA0001902987250000071
其中α表示分数阶，x1＝φ，
Figure BDA0001902987250000072
和x3＝ω表示系统状态，u1和u2表示控制输入，c表示卡普托定义，fi(x1,x2,x3)，i＝1,2,3表示函数，ω0表示特定速度(rad/s)，φ表示旋转轴和拉杆之间的角位置(rad)，k表示比例常数，F表示扭转负载(N.m)，w表示调速轮的转速 (rad/s)，r表示常数，C表示常数，v表示常数，φ0表示初始值(rad)。
Chebyshev神经网络
Chebyshev多项式按如下两项递推公式选取
Ti+1(X)＝2XTi(X)-Ti-1(X),T0(X)＝1， (2)
其中X∈R，T1(X)通常定义为X，2X，2X-1或2X+1。
Chebyshev多项式的增强模式对X＝[x1,…,xm]T∈Rm构建如下
ξ(X)＝[1,T1(x1),…,Tn(x1),…,T1(xm),…,Tn(xm)] (3)
其中Ti(xj),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多项式，n表示阶数，ξ(X)表示Chebyshev 多项式的基函数矢量。
根据Chebyshev神经网络的特性，
Figure BDA0001902987250000081
在一个紧凑集上可以逼近未知连续函数h(X)，则
Figure BDA0001902987250000082
其中φ(t)表示光滑权值矢量。
存在一个神经网络满足条件
Figure BDA0001902987250000083
其中ε(X)＞0表示逼近误差，Ωφ和DX分别表示φ(t)和X界限的紧凑集。定义最佳参数φ*等于
Figure BDA0001902987250000084
其中φ*表示一个虚拟量，仅用于分析目的。存在
Figure BDA0001902987250000085
其中
Figure BDA0001902987250000086
定义1：α的卡普托分数阶导数定义为
Figure BDA0001902987250000087
其中Γ(·)表示伽马函数，t＞t0，n表示整数并有n-1＜α≤n，t0通常设置为零。
对式(6)求拉普拉斯变换，得到
Figure BDA0001902987250000088
引理1：对任意的连续函数x(t)，下列不等式存立
Figure BDA0001902987250000091
引理2：对0＜α＜1的分数阶系统
Figure BDA0001902987250000092
可以转换成下列线性分数阶积分器的连续频率分布模型
Figure BDA0001902987250000093
其中
Figure BDA0001902987250000094
表示权值函数，
Figure BDA0001902987250000095
表示系统的真实状态。
定义2：当系统的雅可比矩阵具有非负实部的特征值时，鞍点是一个平衡点。
定理1：假设x(t)＝0为分数阶系统
Figure BDA0001902987250000096
的平衡点，其中h(t,x(t))Lipschitz连续。当分数阶李雅普诺夫函数
Figure BDA0001902987250000097
是一个连续可微函数且相对于x(t)时局部 Lipschitz连续，如果存在K类函数γi,i＝1,2,3
Figure BDA0001902987250000098
那么
Figure BDA0001902987250000099
全局渐近稳定，如
Figure BDA00019029872500000910
动力学分析
定理2：当雅可比矩阵的所有特征值在平衡点处满足下列关系式时，分数阶系统将局部渐近稳定。
Figure BDA00019029872500000911
给出分数阶机械式离心调速器系统的梯度
Figure BDA00019029872500000912
可以看出系统(1)将无条件的耗散。当系统输入为零时，其能量极度衰减。分数阶机械式离心调速器系统在平衡点处的雅可比矩阵定义为：
Figure BDA00019029872500000913
当函数满足fi(·)＝0,i＝1,2,3时，得到平衡点的坐标值
E1＝(1.6088,0,0)，E2＝(1.6088,0,-4.803) (14)
引入平衡点
Figure BDA00019029872500000914
特征多项式可写为
Figure BDA0001902987250000101
把平衡点E1代入式(15)得到
P(λ)＝λ3+0.7λ2+0.7482λ+1.2101 (16)
式(16)的特征值为λ1＝-1.0647，λ2＝0.1823-1.0504i，和λ3＝0.1823+1.0504i。从定义 2可知，这个平衡点为鞍点。
同样，式(15)在平衡点E2处的特征值为λ1＝0.7001，λ2＝-0.7001+1.1128i，和λ3＝-0.7001-1.1128i。平衡点E2也是鞍点且0＜α＜1系统表现出不稳定。
图16表示机械式离心调速器系统的原理图。伺服电机驱动调速轮进行旋转，调速轮的功率通过蜗杆减速器转递到轴上，蜗杆减速器能实现降速增扭，拉杆1和拉杆2的一端都通过铰链与轴的一端连接。拉杆1与拉杆3和拉杆2与拉杆4通过球关节连接。与拉杆1和拉杆 2联接不同，拉杆3和拉杆4的底部与套筒相联接。进入机器的燃油量被机械调速器精密控制。一旦平衡打破，给定的速度将不能匹配调速轮的实际速度，伴随着套筒的上滑与下滑，燃油的供给量能立即响应系统的需要。系统参数ω0＝2.4015，k＝2.8，F＝1.942，w＝3，r＝0.25， C＝0.7，v＝0.5，φ0＝0.8044。当分数阶α＝0.95和α＝0.9，图2、4的相位图(x1-x2，x1-x3，x2-x3) 与图1、3的时序图(x1-t)揭示了分数阶机械式离心调速器系统已进入混沌振荡状态。在没有采取有效措施的前提条件下，这种混沌振荡会导致系统性能的恶化。图5为分数阶机械式离心调速器系统在α＝0.95时的相位图。伴随着k值的变化，分数阶机械式离心调速器系统的非线性动态行为呈现出不同的姿态。由此可知，系统参数扰动会导致分数阶机械式离心调速器系统出现不稳定运行状态。
为了解决分数阶机械式离心调速器系统的混沌振荡和系统参数扰动造成的稳定问题，设计一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法，如图17所示，具体按下述方法进行：
a、引入速度函数在预设时间内加快系统状态的收敛速度；
b、使用Chebyshev神经网络学习或逼近系统数学模型中的未知非线性项，设计扩张状态跟踪微分器估计虚拟控制输入的导数，进而在backstepping控制框架下构建加速自适应稳定控制器。
步骤a具体如下：
引入一个速率函数
Figure BDA0001902987250000103
其中0＜T＜∞表示有限时间，κ(t)满足条件κ(0)＝1和
Figure BDA0001902987250000104
表示任意非递减和
Figure BDA0001902987250000105
时间光滑函数，例如κ(t)＝1,1+t2,et,4t(1+t2)；
基于速率函数，构建如下速度函数
Figure BDA0001902987250000111
其中0＜bψ＜＜1表示一个设计参数；
利用式(17)和式(18)，得到
Figure BDA0001902987250000112
由上述可知，速度函数ψ(t)正定且严格递增，同时ψ(0)＝1存在。定义
Figure BDA0001902987250000113
其中
Figure BDA0001902987250000114
对t≥0时连续可微与有界。bψ和κ(t)的选取对提高系统的暂态响应和稳态特性至关重要。
步骤b具体如下：
引入误差变量
Figure BDA0001902987250000115
其中αi表示虚拟控制输入，α1，α3＝0，α2将在后面给出其表达式，Si(t)表示加速误差。
b1、对S1(t)在卡普托定义上进行求导
Figure BDA0001902987250000116
选取第一个李雅普诺夫函数
Figure BDA0001902987250000117
其中
Figure BDA0001902987250000118
由引理2和式(21)可得到下列频率分布模型
Figure BDA0001902987250000119
沿式(23)对V1(t)进行求导，则
Figure BDA00019029872500001110
选取虚拟控制输入
α2＝-(c1+β)e1 (25)
其中c1表示正数，对式(24)进行转换，得到
Figure BDA0001902987250000121
b2：求解S2(t)的分数阶导数
Figure BDA0001902987250000122
其中h2(t)＝r(x3+ω0)2sin(x1-φ0)cos(x1-φ0)-sin(x1-φ0)-Cx2。
分数阶机械式离心调速器系统不可避免的受到内、外界干扰，制造缺陷和建模误差等影响。很明显，h2(t)是一个未知的非线性函数，同时分数阶机械式离心调速器系统的动态行为与系统参数扰动密切相关。为了简化控制器和解决所述问题，采用式(4)中的Chebyshev神经网络在一个紧凑集上逼近未知非线性函数h2(t)，即
Figure BDA0001902987250000123
其中ε2(x1,x2)的上界等于
Figure BDA0001902987250000124
为了减轻在线计算的压力和满足控制目标，利用杨氏不等对Chebyshev神经网络进行如下的变换：
Figure BDA0001902987250000125
其中
Figure BDA0001902987250000126
表示权值，b2表示正数。
定义权值误差
Figure BDA0001902987250000127
得到
Figure BDA0001902987250000128
虚拟控制输入α2包含速度函数ψ(t)，很难直接获取其分数阶导数。同时对虚拟控制输入求导存在反演法固有的反复求导问题。为了解决这些问题，设计扩张状态跟踪微分器来逼近
Figure BDA0001902987250000129
Figure BDA00019029872500001210
具有非线性函数
Figure BDA00019029872500001211
其中δe＞0，αe＞0，θ21和θ22表示反馈增益，ρe2＝η21-α2表示跟踪微分器误差。
把式(28)-式(30)代入式(27)得到
Figure BDA00019029872500001212
选取第二个李雅普诺夫函数
Figure BDA0001902987250000131
其中
Figure BDA0001902987250000132
和
Figure BDA0001902987250000133
根据引理2可知，相应的频率分布模型可写为
Figure BDA0001902987250000134
对式(32)求导，得到
Figure BDA0001902987250000135
设计控制输入u1和相应的自适应律
Figure BDA0001902987250000136
Figure BDA0001902987250000137
其中c21＞0，
Figure BDA0001902987250000138
和g2＞0.
利用式(35)和式(36)，推导式(34)得到
Figure BDA0001902987250000139
b3、计算S3(t)的分数阶导数
Figure BDA00019029872500001310
其中h3(t)＝kcos(x1-φ0)-F-vsinwt。
h3(t)属于未知的非线性函数。为了便于控制器设计，同样利用Chebyshev神经网络在一个紧凑集上去估计h3(t)，则
Figure BDA0001902987250000141
其中ξ3(·)的上界等于
Figure BDA0001902987250000142
ξ3(·)和ε3(·)分别表示ξ3(x1,x2,x3)和ε3(x1,x2,x3)的缩写。
参照步骤b2，对Chebyshev神经网络进行坐标变换，则
Figure BDA0001902987250000143
其中b3表示正数，权值
Figure BDA0001902987250000144
选取第三个李雅普诺夫函数
Figure BDA0001902987250000145
其中
Figure BDA0001902987250000146
和
Figure BDA0001902987250000147
得到相应的频率分布模型
Figure BDA0001902987250000148
对式(41)进行求导
Figure BDA0001902987250000149
设计控制输入u2和相应的自适应律如下
Figure BDA00019029872500001410
Figure BDA00019029872500001411
其中c31＞0，
Figure BDA00019029872500001412
和g3＞0。
把式(44)和式(45)代入式(43)，对V3(t)求导得到
Figure BDA0001902987250000151
定理3：针对具有混沌振荡和未知系统参数的分数阶机械式离心调速器系统，假设加速自适应稳定控制器设计为式(35)和式(44)，自适应律设计为式(36)和式(45)，那么分数阶机械式离心调速器系统的所有信号有界，加速自适应稳定以给定的衰减速率在有限时间 T内实现，同时系统的混沌振荡得到彻底的抑制。
证明：选择整个分数阶李雅普诺夫函数
Figure BDA0001902987250000152
把式(46)代入式(47)，V(t)的导数可写为
Figure BDA0001902987250000153
其中
Figure BDA0001902987250000154
定义ψ＝min{2c1,2c21,2c31,g2,g3}，得到
Figure BDA0001902987250000155
对不等式(49)在区间[0，t]上积分，得到
Figure BDA0001902987250000156
由式(50)可知，所有变量如xi，ei，Si(t),i＝1,2,3，
Figure BDA0001902987250000157
和ui(t),i＝2,3都有界。证明完成。
结果分析
为了抑制分数阶机械式离心调速器系统的混沌振荡，sign(·)函数被arctan(10·)函数替代。选取速度函数为κ(t)＝1+t2且T＝10和bψ＝0.1。扩张状态跟踪微分器的参数设置为δe＝0.02，αe＝0.2，θ21＝1和θ22＝3。加速自适应稳定控制器的参数设置为c1＝c21＝c31＝3，c22＝c32＝6， b2＝b3＝1，g2＝g3＝0.8。所有估计参数如
Figure BDA0001902987250000158
的初始值都等于零。
1.不同分数阶值下的加速稳定性能分析
图6-8展示了不同分数阶值下的误差变量ei,i＝1,2,3和加速误差变量。从中看出所有误差变量都快速收敛，同时与图1-5比较系统固有混沌振荡得到彻底抑制。另外，在利用速度函数的前提条件下本发明在给定的衰减速率下获得了较好的性能。图9展示不同分数阶值下的控制输入u1。从上面的陈述可知，不同的分数阶值能呈现不同的机械式离心调速器系统动力学行为。尽管系统具有非线性，但本发明仍然具有很好的稳定性能。
2.抗干扰能力分析
分数阶机械式离心调速器系统在运行的过程中不可避免地受到内、外界干扰。这种干扰会导致系统参数出现扰动。同时，图5揭示了k值的变化会导致系统产生不同的动力学行为，如不稳定性运动。为了验证本发明的有效性，选择k值为2.4，2.9，3.1和3.4。图10-12说明本发明具有很好的抗干扰能力。在一张图中四条曲线以极小的误差重叠。
图13描述了Chebyshev神经网络对非线性函数的逼近能力。一旦本发明介入分数阶机械式离心调速器系统，未知非线性函数的估计值
Figure BDA0001902987250000161
在很短的时间内逼近真实值h2(·)。另外，本发明也展示了Chebyshev神经网络对k值的变化具有良好的抗干扰能力。
3.不同速度函数下的性能分析
如图14-15所示，不同的速度函数能影响分数阶机械式离心调速器系统的瞬态过程。一秒钟后，速度函数的类型不再影响系统的性能，同时自适应稳定控制的目标达到。

Claims (1)

1.一种分数阶机械式离心调速器系统的加速自适应稳定方法，其特征在于：所述的分数阶机械式离心调速器系统的数学模型为：
Figure FDA0003451910440000011
其中α表示分数阶，x1＝φ，
Figure FDA0003451910440000012
和x3＝ω表示系统状态，u1和u2表示控制输入，c表示卡普托定义，fi(x1,x2,x3)，i＝1，2，3表示函数，w0表示特定速度rad/s，φ表示旋转轴和拉杆之间的角位置rad，k表示比例常数，F表示扭转负载N.m，w表示调速轮的转速rad/s，r表示常数，C表示常数，v表示常数，φ0表示初始值rad；
系统的加速自适应稳定方法包括下述步骤：
a、引入速度函数在预设时间内加快系统状态的收敛速度；
b、使用Chebyshev神经网络学习或逼近系统数学模型中的未知非线性项，设计扩张状态跟踪微分器估计虚拟控制输入的导数，进而在backstepping控制框架下构建加速自适应稳定控制器；
所述的加速自适应稳定控制器为：
Figure FDA0003451910440000013
Figure FDA0003451910440000014
其中，c21＞0，
Figure FDA0003451910440000015
c31＞0，
Figure FDA0003451910440000016
Si(t)，i＝1，2，3表示加速误差，
Figure FDA00034519104400000114
bi，i＝2，3表示正数，η22表示扩张状态跟踪微分器变量，ξ2(x1，x2)和ξ3(·)表示Chebyshev神经网络的基函数矢量，
Figure FDA00034519104400000115
表示Chebyshev神经网络的权值，e2和e3表示误差变量，
Figure FDA0003451910440000018
和
Figure FDA0003451910440000019
表示Chebyshev神经网络权值估计值，ψ-1(t)表示速度函数的倒数，
Figure FDA00034519104400000110
和
Figure FDA00034519104400000111
表示Chebyshev神经网络逼近误差的上限；
所述的u1对应的自适应律为：
Figure FDA00034519104400000112
所述的u2对应的自适应律为：
Figure FDA00034519104400000113
其中g2>0；g3>0。
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