CN107817683A - 一种动车组精准停车方法 - Google Patents

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CN107817683A CN201711039440.8A CN201711039440A CN107817683A CN 107817683 A CN107817683 A CN 107817683A CN 201711039440 A CN201711039440 A CN 201711039440A CN 107817683 A CN107817683 A CN 107817683A
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杨步充
何静
史来诚
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    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance

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Abstract

本发明公开了一种动车组精准停车方法，旨在解决动车组停车过程中的输入时滞，精准性以及舒适性问题；所述方法包括时滞系统的无时滞变化方法，反演滑模变结构控制器设计方法，以及扰动扩张观测器设计方法；所述无时滞变换方法是一种等价变化方法，操作简单，不改变模型的精准性；反演滑模变结构控制器结合了反演设计方法与滑模变结构方法的优点，具有跟踪精度高，误差收敛速度快，鲁棒性强等诸多优点；扰动扩张观测器的引入，一方面提高了制动过程的抗干扰能力，也简化了反演过程控制器设计的复杂程度。最后经仿真和实验验证，本文提出的方法有效的解决了输入时滞的问题，能够获得较高的停车精度，并保证了制动过程中的平稳性和舒适性。

Description

一种动车组精准停车方法
技术领域
本发明专利属于高速铁路制动技术领域，尤其涉及一种动车组精准停车方法。
背景技术
高铁是中国改革开放以来能够改变世界政治经济格局的一大产业，是中国迈向世界性大国的一大标志。随着其蓬勃发展，高速铁路的运行速度越来越高，运行工况更加复杂多变，这对动车组的运行性能及其控制方法提出了更高要求。制动系统作为动车组最为关键的系统之一，制动性能的好坏直接关系到动车组停车的精准性，舒适性与安全性，因此对动车组制动过程进行建模并对其停车算法的研究就显得尤为重要。
传统的动车组驾驶依靠有经验的驾驶员根据实际运行状态手动施加制动指令，不同的指令对应一个级别的制动减速度，制动指令经过动车组实际制动系统和制动装置的处理，放大，转换等变为作用在动车组车轮上的制动力，从而实现减速。
在动车组的制动过程中，始终伴随着非线性的运行阻力和线路附加阻力，并且运行阻力的经验公式中阻力系数伴随着动车组速度的提高会发生摄动，具有明显的非线性和不确定性；此外，控制指令的输入需要经过机械或者人工的反应时间，此时列车处于空走状态，当制动指令发出到制动装置达到预期的作用效果，制动装置又经历了气缸充气的过程，即为惯性环节，因此动车组制动具有输入时滞的特点。若不考虑这两种影响或对两者的处理不够合理，必然对停车的性能产生巨大影响。输入的滞后即为制动控制作用的滞后，若不能很好解决，停车的精准性就无法满足；运行阻力与线路附加阻力即为建模中的不确定性扰动，若不能很好的处理，停车过程将产生剧烈的纵向冲击，严重影响停车的舒适性。此外，动车组运行的精准性下降会给高速铁路运行网络带来严重的安全问题。
在动车组运行控制领域，针对输入时滞主要采用滞后环节线性化或lyapunove泛函的方法，针对不确定性扰动主要采用自适应的方法。线性化去掉了模型中非线性的滞后环节，得到了制动系统的近似模型，但是导致模型精准性降低。Laypunove泛函的方法没有对系统的模型进行变换，使系统在有限时间内达到稳定，但是控制器设计较为复杂。自适应的方法很好的处理不确定性扰动，使系统拥有较强的鲁棒性。但是也增加了控制器的复杂程度，且面对较大扰动控制效果不太理想。
发明内容
本发明针对现有自动停车算法中存在的一些问题，提出了一种具有输入时滞的动车组反演滑模精准停车算法，旨在解决动车组停车过程中的输入时滞，精准性以及舒适性问题。
为实现上述发明目的，采用的技术方案是：
提供一种具有输出入时滞的动车组反演滑模精准停车算法方法，包括以下步骤：
第一步.具有输入时滞动车组制动系统数学模型的建立，目的是为了得到后期算法的操作对象，在仿真中我们需要将数学模型作为算法的施加对象，进而验证算法的正确性和可行性。
将动车组视为一个单质点模型，并根据牛顿力学平衡方程得到车辆运行的数学模型：
式中：v为列车运行速度，单位是m/s；s为列车行驶距离，单位是m；M为列车的总质量，单位是t；γ为列车回转系数；F(t)为列车牵引力或制动力，Rb(t)为基本运行阻力，Rc(t)为线路附加阻力，单位均为kN。
进一步简化得到：
其中：v为列车运行速度，单位是m/s；s为列车行驶距离，单位是m；为制动装置或牵引电机产生的加速度；为所受阻力产生的加速度；
所述Rb(t)为基本运行阻力，由空气阻力和机械阻力组成；Rc(t)为线路附加阻力，由坡道、曲线、和隧道阻力组成，描述为：
式中：r1,r2,r3表示阻力系数；w1,w2,w3分别表示单位坡道附加阻力，单位曲线附加阻力，单位隧道附加阻力；
对(2)式中阻力产生的加速度简化得到：
d(t)＝w(t)+a+bv+cv2 (4)
式中：
进一步地，在制动工况下，式(2)中的as(t)为制动装置产生的加速度，即为列车目标加速度，它的产生是极其复杂的过程：在准备制动到发出制动指令的过程经历了一个反应时间，即为传输延时，时间记为τ；在发出制动指令到列车制动装置的作用效果达到目标值的过程中经历了目标值的上升，即为一阶惯性环节，时间记为T。因此目标加速度的产生过程可描述为：
式中：as(t)为制动装置实际产生的加速度；at(t)为目标加速度，即为制动装置所要达到的加速度；T为系统的响应时间；τ为控制传输延时；该式反映了制动效果产生的动态过程。
列车的目标加速度即为列车的制动指令，它与ATO或者驾驶员的输入u(t)有关，一般满足静态函数关系at(t)＝F(u(t))；
现有城轨列车的制动系统大都采用无级制动模式，因此F(t)为连续函数。而对于分级制动的系统而言，F(t)表示制动级别与控制输入之间的离散关系。
结合(2)和(5)得到具有输入时滞的动车组制动系统数学模型：
将(3)式写为状态方程的标准形式：
其中x1为列车的位置，x2为列车的行驶速度，x3为制动装置产生的加速度，d(t)为阻力产生的加速度。
第二步，具有输入时滞制动系统的无时滞变换，控制器的设计过程需要带入对象的数学模型，但是建立的数学模型如真正的停车过程，含有输入的时滞。若直接带入上述数学模型求解控制器，控制作用必将产生滞后，不能及时完成施加。
引入一种非奇异变换公式，对时滞系统进行等价变换，得到一个无时滞的动车组制动系统数学模型
进一步地，将第一步中得到的状态方程(7)变换成矩阵形式，得到：
其中
进一步地，针对所述非奇异线性变化公式(8)，对两边关于时间求微分，并带入步骤S21所述的(9)式，得到：
对(10)式线性化得到无时滞的动车组制动系统数学模型：
式中：B＝e-AτB1。
第三步，精准停车跟踪控制器设计。
反演设计方法的思想是将高阶系统分解为若干个不超过原有阶数的子系统，对每个子系统设计lyapunov函数和虚拟控制量，直到设计的虚拟控制量后退到最高阶子系统的输入，该控制方法普遍应用于高阶系统的跟踪控制器设计中，跟踪精度高。而滑模变结构控制是一种不连续控制，在滑模面上的运动具有比鲁棒性更优越的不变性，且误差收敛速度极快，加之算法简单，易于工程实现；为实现动车组的高精度停车，针对第二步中得到的无时滞系统，设计反演滑模变结构控制器，在制动过程中对目标制动曲线进行精准跟踪。
具体步骤包括：
首先，引入坐标变换公式：
w(t)＝Tz(t) (12)
式中：T＝(QW)-1，Q＝[b Ab A2b]；
其中：a1，a2，…，an为(11)式系统矩阵A的特征方程的系数；
进一步地，将所述无时滞的动车组制动系统数学模型(11)变为能控标准型；
利用(12)式对(11)式采用坐标变换得到：
式中：[a b c]Td(t)＝T[0 1 0]d(t)；
整理式(13)得到：
式中：d1＝ad(t),d2＝bd(t),d3＝cd(t)
定义误差系统的控制误差为：
式中，xr为位移的设定值，γ1γ2为第一步和第二步期望的虚拟控制率。
进一步地，对步骤S31所述(14)式的第一个子式设计虚拟控制率并证明其稳定性；
具体的，设计虚拟控制率；
考虑(14)式的第一个子式：
对e1求导：
设计虚拟控制量为：
具体的，证明稳定性，即证明误差e1是稳定的，且在有限时间内收敛到零；设计lyapunov功能函数V1，
将虚拟控制量(18)带入到(20)得：
其中，c1是一个正常数，当e2＝0时即该系统稳定，对下一个子系统进行设计；
进一步地，对步骤S31所述(14)式的第二个子式设计虚拟控制率并证明其稳定性；
具体的，设计虚拟控制率；
考虑(14)式的第二个子式：
对e2求导：
设计虚拟控制率为：
具体的，证明稳定性，即证明误差e2是稳定的，且在有限时间内收敛到零；
设计lyapunov功能函数V2，证明误差e2是稳定的，且在有限时间内收敛到零；
将虚拟控制率(24)带入到(26)得到：
其中，c1,c2是正的常数，当e3＝0时即该系统稳定；
进一步地，取步骤S31所述(14)式的第三个子式的误差作为滑模面并证明其稳定性；
具体的，设计控制器输出；
考虑(14)式的第三个方程
对求导：
选取滑模面S＝e3，并选取指数趋近律
设计控制器输出：
所述(30)式最终用于输出动车组的制动指令，该指令作用在动车组的制动系统上，不同的u对应不同的制动级别，通过制动系统和制动装置的处理，转换，放大等，进而实现减速。该输出施加在动车组上其作用效果是使动车组的速度按照指定的制动曲线实现减速，对该制动曲线实现较好的跟踪就保证制动过程的精准性和舒适性。
具体的，证明稳定性，即证明误差e3是稳定在，在有限时间内收敛到零；
设计lyapunov功能函数V3，证明误差e3是稳定的，且在有限时间内收敛到零。
将设计的控制器(30)带入到(32)得：
更进一步地，还包括扩张扰动观测器的设计。
一方面，制动过程中受到的阻力具有不确定性，传统的阻力经验公式已经不能很好地帮助我们设计满足制动性能指标的控制器；另一方面，经过无时滞和能控性变换的三阶控制系统中，非匹配非线性的扰动造成控制器的设计异常复杂，设计扩张扰动观测器，对扰动及扰动的高阶导数进行观测，并将扰动及其高阶高数的观测结果作为一个整体带入控制的设计过程中，不仅简化的控制器的复杂程度，还提高了制动过程的跟踪精度与抗干扰能力。
所述扩张扰动观测器的设计与稳定性证明过程如下：
已知，制动过程中得扰动是有界的，且扰动具有慢时变的特性，因此，其一阶导数和二阶导数也是有界的。
构造如下观测器：
其中：分别为的观测值，p1，p2，p3为三个辅助变量，l1，l2，l3分别为待设计常数。
定义观测器的误差为：
对求导的，并带入式(33)得：
同理得到式子(36)(37)
整理得：
定义观测器误差为状态变量
则得到如下状态方程：
其中
如果上述系统(38)是渐进稳定的，则观测误差会收敛为0。通过对参数l11,l12,l13进行设计，使得矩阵A的特征值均位移坐标系的左半开平面，即特征根均具有负实部，则上述系统渐进稳定。
本发明有益效果如下：
本发明提供的非奇异线性变换，可用于时滞系统的无时滞变换中，与pade逼近对时滞的处理相比，有限的保留了系统模型的精准性；此外，与lyapunov泛函的设计方法相比，有效的简化了控制器的设计过程与证明过程，实用性强。本发明提供的扩张状态观测器，可以对不确定性扰动及其导数进行观测，显著提高了制动系统的抗干扰能力，提高了制动过程的稳定性和舒适性，并且有效的简化了控制器的设计过程。
附图说明
图1为具有输入时滞制动系统的控制系统框图；
图2为具有输入时滞的动车组制动系统反演滑模精准制动系统结构示意图；
图3为列车加速度变化图；
图4为跟踪效果图；
图5为速度跟踪误差图；
图6为位移跟踪误差图；
图7为扰动观测值(1)；
图8为扰动观测值(2)；
图9为扰动导数观测值(1)；
图10为扰动导数观测值(2)。
具体实施方式
下面结合具体实施方式对本发明作进一步的说明。其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本专利的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。
实施例1
精准停车算法是建立合适的制动数学模型，设计控制精度高，鲁棒性好的跟踪控制器，实现对目标制动曲线的精准跟踪，对目标制动曲线跟踪精度越高停车精准的越高。此外，制动过程中来自空气和线路的阻力是一种不确定性扰动，影响了停车精度和舒适性，观测器的引入得到不确定性扰动的值，并带入控制器的计算中，提高了算法的抗干扰能力可以很好的保证停车的舒适性和精准性。
具有输出入时滞的动车组反演滑模精准停车算法方法，包括以下步骤：
第一步.具有输入时滞动车组制动系统数学模型的建立，目的是为了得到后期算法的操作对象，在仿真中我们需要将数学模型作为算法的施加对象，进而验证算法的正确性和可行性。
将动车组视为一个单质点模型，并根据牛顿力学平衡方程得到车辆运行的数学模型：
式中：v为列车运行速度，单位是m/s；s为列车行驶距离，单位是m；M为列车的总质量，单位是t；γ为列车回转系数；F(t)为列车牵引力或制动力，Rb(t)为基本运行阻力，Rc(t)为线路附加阻力，单位均为kN。
进一步简化得到：
其中：v为列车运行速度，单位是m/s；s为列车行驶距离，单位是m；为制动装置或牵引电机产生的加速度；为所受阻力产生的加速度；
所述Rb(t)为基本运行阻力，由空气阻力和机械阻力组成；Rc(t)为线路附加阻力，由坡道、曲线、和隧道阻力组成，描述为：
式中：r1,r2,r3表示阻力系数；w1,w2,w3分别表示单位坡道附加阻力，单位曲线附加阻力，单位隧道附加阻力；
对(2)式中阻力产生的加速度简化得到：
d(t)＝w(t)+a+bv+cv2 (4)
式中：
进一步地，在制动工况下，式(2)中的as(t)为制动装置产生的加速度，即为列车目标加速度，它的产生是极其复杂的过程：在准备制动到发出制动指令的过程经历了一个反应时间，即为传输延时，时间记为τ；在发出制动指令到列车制动装置的作用效果达到目标值的过程中经历了目标值的上升，即为一阶惯性环节，时间记为T。因此目标加速度的产生过程可描述为：
式中：as(t)为制动装置实际产生的加速度；at(t)为目标加速度，即为制动装置所要达到的加速度；T为系统的响应时间；τ为控制传输延时；该式反映了制动效果产生的动态过程。
列车的目标加速度即为列车的制动指令，它与ATO或者驾驶员的输入u(t)有关，一般满足静态函数关系at(t)＝F(u(t))；
现有城轨列车的制动系统大都采用无级制动模式，因此F(t)为连续函数。而对于分级制动的系统而言，F(t)表示制动级别与控制输入之间的离散关系。
结合(2)和(5)得到具有输入时滞的动车组制动系统数学模型：
将(3)式写为状态方程的标准形式：
其中x1为列车的位置，x2为列车的行驶速度，x3为制动装置产生的加速度，d(t)为阻力产生的加速度。
第二步，具有输入时滞制动系统的无时滞变换，控制器的设计过程需要带入对象的数学模型，但是建立的数学模型如真正的停车过程，含有输入的时滞。若直接带入上述数学模型求解控制器，控制作用必将产生滞后，不能及时完成施加。
引入一种非奇异变换公式，对时滞系统进行等价变换，得到一个无时滞的动车组制动系统数学模型
进一步地，将第一步中得到的状态方程(7)变换成矩阵形式，得到：
其中
进一步地，针对所述非奇异线性变化公式(8)，对两边关于时间求微分，并带入步骤S21所述的(9)式，得到：
对(10)式线性化得到无时滞的动车组制动系统数学模型：
式中：B＝e-AτB1。
第三步，精准停车跟踪控制器设计。
反演设计方法的思想是将高阶系统分解为若干个不超过原有阶数的子系统，对每个子系统设计lyapunov函数和虚拟控制量，直到设计的虚拟控制量后退到最高阶子系统的输入，该控制方法普遍应用于高阶系统的跟踪控制器设计中，跟踪精度高。而滑模变结构控制是一种不连续控制，在滑模面上的运动具有比鲁棒性更优越的不变性，且误差收敛速度极快，加之算法简单，易于工程实现；为实现动车组的高精度停车，针对第二步中得到的无时滞系统，设计back-stepping滑模变结构控制器，在制动过程中对目标制动曲线进行精准跟踪。
具体步骤包括：
首先，引入坐标变换公式：
w(t)＝Tz(t) (12)
式中：T＝(QW)-1，Q＝[b Ab A2b]；
其中：a1，a2，…，an为(11)式系统矩阵A的特征方程的系数；
进一步地，将所述无时滞的动车组制动系统数学模型(11)变为能控标准型；
利用(12)式对(11)式采用坐标变换得到：
式中：[a b c]Td(t)＝T[0 1 0]d(t)；
整理式(13)得到：
式中：d1＝ad(t),d2＝bd(t),d3＝cd(t)
定义误差系统的控制误差为：
式中，xr为位移的设定值，γ1γ2为第一步和第二步期望的虚拟控制率。
进一步地，对步骤S31所述(14)式的第一个子式设计虚拟控制率并证明其稳定性；
具体的，设计虚拟控制率；
考虑(14)式的第一个子式：
对e1求导：
设计虚拟控制量为：
具体的，证明稳定性，即证明误差e1是稳定的，且在有限时间内收敛到零；设计lyapunov功能函数V1，
将虚拟控制量(18)带入到(20)得：
其中，c1是一个正常数，当e2＝0时即该系统稳定，对下一个子系统进行设计；
进一步地，对步骤S31所述(14)式的第二个子式设计虚拟控制率并证明其稳定性；
具体的，设计虚拟控制率；
考虑(14)式的第二个子式：
对e2求导：
设计虚拟控制率为：
具体的，证明稳定性，即证明误差e2是稳定的，且在有限时间内收敛到零；
设计lyapunov功能函数V2，证明误差e2是稳定的，且在有限时间内收敛到零；
将虚拟控制率(24)带入到(26)得到：
其中，c1,c2是正的常数，当e3＝0时即该系统稳定；
进一步地，取步骤S31所述(14)式的第三个子式的误差作为滑模面并证明其稳定性；
具体的，设计控制器输出；
考虑(14)式的第三个方程
对求导：
选取滑模面S＝e3，并选取指数趋近律
设计控制器输出：
所述(30)式最终用于输出动车组的制动指令，该指令作用在动车组的制动系统上，不同的u对应不同的制动级别，通过制动系统和制动装置的处理，转换，放大等，进而实现减速。该输出施加在动车组上其作用效果是使动车组的速度按照指定的制动曲线实现减速，对该制动曲线实现较好的跟踪就保证制动过程的精准性和舒适性。
具体的，证明稳定性，即证明误差e3是稳定在，在有限时间内收敛到零；
设计lyapunov功能函数V3，证明误差e3是稳定的，且在有限时间内收敛到零。
将设计的控制器(30)带入到(32)得：
更进一步地，还包括扩张扰动观测器的设计。
一方面，制动过程中受到的阻力具有不确定性，传统的阻力经验公式已经不能很好地帮助我们设计满足制动性能指标的控制器；另一方面，经过无时滞和能控性变换的三阶控制系统中，非匹配非线性的扰动造成控制器的设计异常复杂，本专利设计扩张扰动观测器如式(5)，对扰动及扰动的高阶导数进行观测，并将扰动及其高阶高数的观测结果作为一个整体带入控制的设计过程中，不仅简化的控制器的复杂程度，还提高了制动过程的跟踪精度与抗干扰能力。
所述扩张扰动观测器的设计与稳定性证明过程如下：
已知，制动过程中得扰动是有界的，且扰动具有慢时变的特性，因此，其一阶导数和二阶导数也是有界的。
构造如下观测器：
其中：分别为的观测值，p1，p2，p3为三个辅助变量，l1，l2，l3分别为待设计常数。
定义观测器的误差为：
对求导的，并带入式(33)得：
同理得到式子(36)(37)
整理得：
定义观测器误差为状态变量
则得到如下状态方程：
其中
如果上述系统(38)是渐进稳定的，则观测误差会收敛为0。通过对参数l11,l12,l13进行设计，使得矩阵A的特征值均位移坐标系的左半开平面，即特征根均具有负实部，则上述系统渐进稳定。
实施例2
动车组的运行和制动是一个复杂的时滞非线性系统，但是实验中针对不同型号的动车组，建模的机理是一样的，不同的是所受的运行阻力，以及制动装置不同带来的参数差异。
以下，选取运行阻力公式，输入时滞时间为τ＝1.2s，系统响应时间为T＝0.4s的系统方程：
d(t)＝w(t)+2.09+0.039v+0.000675v2
w(t)为停车过程中加入的线路附加阻力。本次制动实例的模拟线路环境为：制动进行到1300米时加入坡度为0.28的坡道，半径为600米的转弯，长度为10米的隧道这三种线路附加阻力。具体表达式和参数设置如下所示：
式中θ为道坡度的千分数，取θ＝28；R为弯道半径，取R＝600；l为车辆经过隧道的长度，取l＝10；γ为车辆回转系数，取γ＝1.1；g为重力加速度，取g＝9.8。
下面结合具体实施例对本发明的应用原理做详细的描述。
在本发明的一个实施例中，
如图2中的具有输入时滞的制动系统的数学模型，带入具体的数值得到
无时滞变化得到：
能控标准型变换得到：
如图1所示的跟踪控制器，该模块从观测器模块得到扰动及其导数的观测值从系统模块得到反馈的状态变量x1,x2,x3，利用反演滑模变结构控制的设计方法，得到控制器的表达式如下：
如图1所示的观测器模块，该模块从系统模块得状态变量x1,x2，利用扰动扩张观测器的设计方法，得到观测器的表达式如下：
其中：l1＝100,l2＝160000,l3＝30000。
制动过程中，为了保证减速的舒适性，列车实际的最大加速的不能超过1.1m/s2。
由图3可知，车辆制动过程中加速度大都稳定在目标值0.6m/s2，在1300米处加入了线路附加阻力的情况下，加速度的变化值也未超过1.1m/s2并且经控制作用又让加速度恢复到目标值0.6m/s2。
如图3、图4和图5所示，在1300米处增加了线路附加阻力后，跟踪效果在1300米处出现误差，但经控制作用调节，误差又迅速收敛，跟踪曲线迅速恢复一致，从跟踪效果和最终停车距离上看，均做到了精准制动。
图6和图7显示了扩张观测器对扰动的观测情况。
图8和图9显示了扩张观测器对扰动一阶导数的观测情况。
显然，上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明的技术方案所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护之内。

Claims (6)

1.一种动车组精准停车方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1.将动车组视为单质点，建立具有输入时滞的动车组制动系统数学模型，所述具有输入时滞的动车组制动系统数学模型包括动车组运行数学模型和制动系统数学模型，所述输入时滞来源于制动加速的产生过程；
S2.具有输入时滞的动车组制动系统数学模型的无时滞变换；对步骤S1建立的具有输入时滞的动车组制动系统数学模型进行变换，得到无时滞的动车组制动系统数学模型；
S3.控制器的设计，其输出为动车组的制动指令，该指令代替有经验司机的手动控制，自动施加在动车组的制动系统上，通过制动系统和制动装置的处理转换进而实现动车组的减速；
S4.设计步骤S3所述控制器后用于输出动车组的制动指令，所述制动指令根据动车组实时车速、位移、以及运行阻力的观测值作为输入，实现精准停车。
2.根据权利要求1所述的动车组精准停车方法，其特征在于，所述步骤S1具体包括：
S11.具有输入时滞的动车组制动系统数学模型建立；
将动车组视为一个单质点模型，并根据牛顿力学平衡方程得到车辆运行的数学模型：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>v</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：v为列车运行速度，单位是m/s；s为列车行驶距离，单位是m；M为列车的总质量，单位是t；γ为列车回转系数；F(t)为列车牵引力或制动力，Rb(t)为基本运行阻力，Rc(t)为线路附加阻力，单位均为kN；
对(1)式简化得到：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>v</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：v为列车运行速度，单位是m/s；s为列车行驶距离，单位是m；为制动装置或牵引电机产生的加速度；为所受阻力产生的加速度；
所述Rb(t)为基本运行阻力，由空气阻力和机械阻力组成；Rc(t)为线路附加阻力，由坡道、曲线、和隧道阻力组成，描述为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>M</mi> <mi>g</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>M</mi> <mi>g</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：r1,r2,r3表示阻力系数；w1,w2,w3分别表示单位坡道附加阻力，单位曲线附加阻力，单位隧道附加阻力；
对(2)式中阻力产生的加速度简化得到：
d(t)＝w(t)+a+bv+cv2 (4)
式中：
S12.制动系统数学模型建立；
<mrow> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：as(t)为制动装置实际产生的加速度，at(t)为目标加速度，即为制动装置所要达到的加速度，T为系统的响应时间，τ为控制传输延时；
S13.具有输入时滞的动车组制动系统数学模型建立；
结合(2)和(5)得到具有输入时滞的动车组制动系统数学模型：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>v</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Ta</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Ta</mi> <mi>t</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
将(3)式写为状态方程的标准形式：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Tx</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>T</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中x1为列车的位置，x2为列车的行驶速度，x3为制动装置产生的加速度，d(t)为阻力产生的加速度。
3.根据权利要求2所述的动车组精准停车方法，其特征在于，步骤S2所述具有输入时滞的动车组制动系统数学模型的无时滞变换过程还包括引入的非奇异变换公式：
<mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>h</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4.根据权利要求3所述的动车组精准停车方法，其特征在于，所述步骤S2中无时滞变换的具体过程如下：
S21.将S1中得到状态方程(7)变换成矩阵形式，得到：
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
S22.针对所述非奇异线性变化公式(8)，对两边关于时间求微分，并带入步骤S21所述的(9)式，得到：
<mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>h</mi> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>h</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>-</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>h</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>F</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对(10)式线性化得到无时滞的动车组制动系统数学模型：
<mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：B＝e-AτB1。
5.根据权利要求4所述的动车组精准停车方法，其特征在于，所述步骤S3所述back-stepping滑模变结构控制器设计具体步骤包括：
S31.引入坐标变换公式：
w(t)＝Tz(t) (12)
式中：T＝(QW)-1，Q＝[b Ab A2b]；
其中：a1，a2，…，an为(11)式系统矩阵A的特征方程的系数；
S32.将所述无时滞的动车组制动系统数学模型(11)变为能控标准型；
利用(12)式对(11)式采用坐标变换得到：
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：[a b c]Td(t)＝T[0 1 0]d(t)；
整理式(13)得到：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Tx</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：d1＝ad(t),d2＝bd(t),d3＝cd(t)
定义误差系统的控制误差为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，xr为位移的设定值，γ1γ2为第一步和第二步期望的虚拟控制率。
S33.对步骤S31所述(14)式的第一个子式设计虚拟控制率并证明其稳定性；
S331.设计虚拟控制率；
考虑(14)式的第一个子式：
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对e1求导：
<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
设计虚拟控制率为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
S332.证明稳定性，即证明误差e1是稳定的，且在有限时间内收敛到零；设计lyapunov功能函数V1，
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将虚拟控制率(18)带入到(20)得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，c1是一个正常数，当e2＝0时即该系统稳定，对下一个子式进行设计；
S34.对步骤S31所述(14)式的第二个子式设计虚拟控制率并证明其稳定性；
S341.设计虚拟控制率；
考虑(14)式的第二个子式：
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对e2求导：
<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
设计虚拟控制率为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
S342.证明稳定性，即证明误差e2是稳定的，且在有限时间内收敛到零；
设计lyapunov功能函数V2，证明误差e2是稳定的，且在有限时间内收敛到零；
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将虚拟控制率(24)带入到(26)得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，c1,c2是正的常数，当e3＝0时即该系统稳定；
S35.取步骤S31所述(14)式的第三个子式的误差作为滑模面并证明其稳定性；
S351.设计控制器输出；
考虑(14)式的第三个方程
<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Tx</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对求导：
<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Tx</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
选取滑模面S＝e3，并选取指数趋近律
设计控制器输出：
<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Tx</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>s</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>S</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
S351.证明稳定性，即证明误差e3是稳定在，在有限时间内收敛到零；
设计lyapunov功能函数V3，证明误差e3是稳定的，且在有限时间内收敛到零。
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Tx</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将设计的控制器(30)带入到(32)得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <msub> <mi>Tx</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>sgn</mi> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mi>S</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>kS</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>&lt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
6.根据权利要求5所述的动车组精准停车方法，其特征在于，还包括设计扩张扰动观测器，用于提高了制动过程的抗干扰能力，所述具体步骤如下：
S51.定义制动过程中得扰动是有界的，且扰动具有慢时变的特性，因此，其一阶导数和二阶导数也是有界的。
<mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mn>1</mn> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
S52.构造如下观测器：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>p</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：分别为d1,的观测值，p1,p2,p3为三个辅助变量，l1,l2,l3分别为待设计常数；
定义观测器的误差为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对求导的，并带入式(33)得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>11</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
同理得到式子
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>12</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>13</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
整理得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>12</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>13</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>40</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
定义观测器误差为状态变量为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则得到如下状态方程：
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>z</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>42</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
S53.设计所述(43)式中的参数l11,l12,l13，使得矩阵A的特征值均位于坐标系的左半开平面，即特征根均具有负实部，则所述(40)式是渐进稳定的，观测误差收敛为0，即所述(41)式为零。
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