CN108058601A - 一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法 - Google Patents

一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法 Download PDF

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Abstract

一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法，其特征在于，该方法包括期望滑移率模块、轮胎数据处理器、MPC控制器、Carsim汽车模型、滑移率计算模块、制动力矩分配模块。期望滑移率模块用于确定期望的滑移率，轮胎数据处理器用于确定轮胎纵向力与轮胎纵向刚度；MPC控制器根据当前汽车纵向速度、滑移率，并结合期望的滑移率，优化求解出四个车轮的制动力矩；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、车轮转速；滑移率计算模块根据输出的汽车纵向速度、车轮转速计算滑移率；前轮制动力矩由液压制动系统实现，制动力矩分配模块对后轮制动力矩进行分配，确定出液压制动力矩和电机再生制动力矩，输入给CarSim汽车模型。

Description

一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法
技术领域
本发明涉及一种紧急制动工况下后驱电动汽车机电复合制动防抱死控制方法，特别是一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法。
背景技术
电动汽车机电复合制动系统包括电机再生制动系统和液压制动系统，其中，电机再生制动系统又称制动能量回收系统，它利用电机的回馈特性将汽车的动能或势能转化为电能储存到电池等储能装置中，用于下一次汽车驱动加速，并通过传动系统向汽车提供制动力矩。针对紧急制动工况下电动汽车的车轮防抱死控制，一些研究学者出于稳定性考虑，只通过传统液压制动系统实现车轮防抱死控制，忽略了电机再生制动力矩可精确测量且响应迅速的特点。模型预测控制(Model Predictive Control,MPC)能较好地处理多目标任务以及系统约束，在车轮防抱死控制领域得到了广泛的应用，根据采用的预测模型以及优化方法的不同，MPC可分为线性MPC和非线性MPC。线性MPC凭借其计算负担少，计算速度快而得到广泛使用，然而线性MPC却不能表征非线性区域的轮胎纵向滑移特性，能表征紧急工况下轮胎纵向力与滑移率非线性变化特性的非线性MPC计算负担太重，实时性差，很难应用于实际。
发明内容
为了解决现有的线性MPC方法不能全面表征轮胎的非线性纵向滑移特性而导致的滑移率跟踪控制精度低以及控制器稳定域窄的问题。本发明提供一种基于线性时变的滑移率跟踪控制方法，能够在紧急制动工况下使滑移率保持在最佳值，并采用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，在表征轮胎非线性纵向滑移特性的同时减小系统的计算负担，降低汽车汽车在紧急制动工况下的制动距离。本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：
一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法，其特征在于，该方法包括期望滑移率模块、轮胎数据处理器、MPC控制器、Carsim汽车模型、滑移率计算模块、制动力矩分配模块；期望滑移率模块用于确定期望的滑移率，轮胎数据处理器用于确定轮胎纵向力与轮胎纵向刚度；MPC控制器根据当前时刻汽车纵向速度、滑移率，并结合期望的滑移率，优化求解出四个车轮的制动力矩，前轮制动力矩直接输入给CarSim汽车模型，后轮制动力矩输入给制动力分配模块；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、车轮转速；滑移率计算模块根据CarSim汽车模型输出的汽车纵向速度、车轮转速计算得到滑移率；制动力矩分配模块对后轮制动力矩进行再分配，分别确定出液压制动力矩和电机再生制动力矩，输入给CarSim汽车模型，实现紧急工况下的滑移率跟踪控制；
该方法包括以下步骤：
步骤1、根据轮胎纵向力与滑移率的关系曲线，确定期望的滑移率：
λref＝λp (1)
其中：λp为轮胎纵向力最大值所对应的滑移率；
步骤2、设计轮胎数据处理器，为了获得轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎纵向力与滑移率的关系曲线，即轮胎纵向滑移特性三维图；获取不同路面附着系数下的轮胎纵向力对滑移率导数与滑移率的关系曲线，得到轮胎纵向刚度三维图；轮胎数据处理器将实际的滑移率和路面附着系数分别输入到轮胎纵向滑移特性三维图和轮胎纵向刚度三维图，通过线性插值法分别获得轮胎纵向力和轮胎纵向刚度C*，并输出给MPC控制器；在每个控制周期轮胎数据处理器更新一次轮胎纵向力和轮胎纵向刚度C*数据；
其中：Pacejka轮胎模型如下：
其中：Fx是轮胎纵向力；λ是滑移率；Bx，Cx，Dx和Ex取决于轮胎垂直载荷Fz；b0＝1.57；b1＝35；b2＝1200；b3＝60；b4＝300；b5＝0.17；b6＝0；b7＝0；b8＝0.2；
步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：
步骤3.1、建立车轮动力学模型与滑移率模型：
其中：M为汽车质量；V为汽车纵向速度；R为轮胎半径；J为轮胎的转动惯量；Tb为轮胎的制动力矩；Fx为轮胎的纵向力；ω为轮胎的角速度；ij＝fl为汽车左前轮；ij＝fr为汽车右前轮；ij＝rl为汽车左后轮；ij＝rr为汽车右后轮；
步骤3.2、建立预测模型，其过程包括如下子步骤：
步骤3.2.1、预测模型的运动微分方程表达式为：
考虑到汽车紧急制动工况下滑移率较大，轮胎纵向力随滑移率的增大而减小，两者呈现出非线性变化关系，为了表征轮胎纵向力与滑移率间的这种非线性变化特性，构建轮胎纵向力表达式如下：
其中：
其中：是轮胎的残余纵向力；是基于轮胎纵向滑移特性三维图，通过线性插值法获得的轮胎的纵向力；C*是基于轮胎纵向刚度三维图，通过线性插值法获得的轮胎纵向刚度；λ*是当前时刻的滑移率；
最终得到预测模型的运动微分方程表达式为：
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下：
其中：状态变量x是滑移率；控制输入u是轮胎制动力矩；系统干扰输入d是轮胎的残余纵向力；式中状态矩阵A，控制输入矩阵Bu，干扰输入矩阵Bd，如下所示：
步骤3.2.2、建立预测方程，用于预测系统未来输出；为了实现滑移率的跟踪控制，将连续时间的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长； C＝1；
步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：
步骤3.3.1、用期望的滑移率和实际的滑移率误差的二范数作为滑移率跟踪性能指标，体现滑移率跟踪特性，其表达式如下：
其中：λref是期望的滑移率；λ是实际的滑移率；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子；
步骤3.3.2、用控制量变化率的二范数作为制动平滑指标，体现滑移率跟踪过程中的制动平滑特性，控制量u是轮胎制动力矩，建立离散二次型制动平滑指标为：
其中：M是控制时域；Δu是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；
步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：
利用线性不等式限制轮胎制动力矩及其变化量的上下限，得到制动执行器的物理约束，其数学表达式为：
其中：Tbmin是轮胎制动力矩下限；Tbmax是轮胎制动力矩上限；ΔTbmin是轮胎制动力矩变化量的下限；ΔTbmax是轮胎制动力矩变化量的上限；
步骤3.4、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：
步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述制动平滑指标转化为单一指标，构建汽车制动稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足制动执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(14)
步骤3.4.2、在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(15)，得到最优开环控制序列ΔTb为：
步骤3.4.3、选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素ΔTb(0)进行反馈，将两前轮的制动力矩直接输入给CarSim汽车模型；两后轮的制动力矩输入给制动力矩分配模块进行再分配，分别确定出液压制动力矩和电机再生制动力矩，输出给CarSim汽车模型；滑移率计算模块根据CarSim输出的汽车纵向速度、车轮转速，通过公式(5)计算得到滑移率，实现紧急工况下的滑移率跟踪控制；
步骤4、所述制动力矩分配模块，将MPC控制器优化的后轮制动力矩再分配为液压制动力矩和电机再生制动力矩，左后轮、右后轮采用相同的分配方式，下面以右后轮为例，描述其具体分配过程，包括如下子步骤：
步骤4.1、计算右后轮达到期望滑移率的稳态制动力矩，即满足时的制动力矩；由公式(8)可以得出右后轮的液压制动力矩公式如下：
步骤4.2、当步骤4.1计算的右后轮液压制动力矩THrr大于MPC控制器优化的右后轮制动力矩Tbrr，则右后轮制动力矩全部由液压制动力矩提供，大小为MPC控制器优化的后轮制动力矩Tbrr；
步骤4.3、当步骤4.1计算的后轮液压制动力矩THrr小于MPC控制器优化的后轮制动力矩Tbrr，此时右后轮制动力矩由液压制动力矩和电机再生制动力矩共同提供；其中右后轮的液压制动力矩大小为THrr，右后轮的电机再生制动力矩为TRrr＝Tbrr-THrr，即MPC控制器优化出的后轮制动力矩减去步骤4.1计算得到的后轮液压制动力矩。
本发明的有益效果是：本发明基于模型预测实现车轮滑移率的跟踪控制，使用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，充分利用轮胎纵向力与滑移率非线性变化特性，减小系统的计算负担，降低紧急制动工况下的汽车制动距离。
附图说明
图1是本发明控制系统结构的示意图。
图2是轮胎纵向力与滑移率关系示意图。
图3是汽车纵向动力学模型示意图。
图4是轮胎纵向滑移特性三维图。
图5是轮胎纵向刚度三维图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。
图1是本发明一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法的系统结构示意图，该系统主要包括期望滑移率模块1、轮胎数据处理器2、MPC控制器3、Carsim汽车模型4、滑移率计算模块5、制动力矩分配模块6。期望滑移率模块1用于确定期望的滑移率，轮胎数据处理器2用于确定轮胎纵向力与轮胎纵向刚度；MPC控制器3根据当前时刻汽车纵向速度、滑移率，并结合期望的滑移率，优化求解出四个车轮的制动力矩，优化的前轮制动力矩直接输入给CarSim汽车模型，优化的后轮制动力矩输入给制动力分配模块；CarSim汽车模型4用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、车轮转速；滑移率计算模块5根据CarSim汽车模型4输出的汽车纵向速度、车轮转速计算得到滑移率；制动力矩分配模块6对后轮制动力矩进行再分配，分别确定出液压制动力矩和电机再生制动力矩，输入给CarSim汽车模型，实现紧急工况下的滑移率跟踪控制。
该方法包括以下步骤：
期望滑移率模块1的设计：如图2所示，根据轮胎纵向力与滑移率的关系曲线，确定期望的滑移率：
λref＝λp (1)
其中：λp为轮胎纵向力最大值所对应的滑移率。
轮胎数据处理器2的设计：为了获得轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎纵向力与滑移率的关系曲线，即轮胎纵向滑移特性三维图，如图4所示。获取不同路面附着系数下的轮胎纵向力对滑移率导数与滑移率的关系曲线，得到轮胎纵向刚度三维图，如图5所示。轮胎数据处理器2将实际的滑移率和路面附着系数分别输入到轮胎纵向滑移特性三维图和轮胎纵向刚度三维图，通过线性插值法分别获得轮胎纵向力和轮胎纵向刚度C*，并输出给MPC控制器3。在每个控制周期轮胎数据处理器更新一次轮胎纵向力和轮胎纵向刚度C*数据。
其中：Pacejka轮胎模型如下：
其中：Fx是轮胎纵向力；λ是滑移率；Bx，Cx，Dx和Ex取决于轮胎垂直载荷Fz；b0＝1.57；b1＝35；b2＝1200；b3＝60；b4＝300；b5＝0.17；b6＝0；b7＝0；b8＝0.2。
MPC控制器3的设计包括四部分：3.1建立车轮动力学与滑移率模型；3.2建立预测模型；3.3设计优化目标及约束条件；3.4求解系统预测输出。
在3.1部分中，参阅图3，建立车轮动力学模型与滑移率模型：
其中：M为汽车质量；V为汽车纵向速度；R为轮胎半径；J为轮胎的转动惯量；Tb为轮胎的制动力矩；Fx为轮胎的纵向力；ω为轮胎的角速度；ij＝fl为汽车左前轮；ij＝fr为汽车右前轮；ij＝rl为汽车左后轮；ij＝rr为汽车右后轮。
在3.2部分中，预测模型的建立包括两部分：3.2.1设计预测模型；3.2.2设计预测方程。
在3.2.1部分中，预测模型的运动微分方程表达式为：
考虑到汽车紧急制动工况下滑移率较大，轮胎纵向力随滑移率的增大而减小，两者呈现出非线性变化关系，为了表征轮胎纵向力与滑移率间的这种非线性变化特性，构建轮胎纵向力表达式如下：
其中：
其中：是轮胎的残余纵向力；是基于轮胎纵向滑移特性三维图，通过线性插值法获得的轮胎的纵向力；C*是基于轮胎纵向刚度三维图，通过线性插值法获得的轮胎纵向刚度；λ*是当前时刻的滑移率。
最终得到预测模型的运动微分方程表达式为：
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下：
其中：状态变量x是滑移率；控制输入u是轮胎制动力矩；系统干扰输入d是轮胎的残余纵向力；式中状态矩阵A，控制输入矩阵Bu，干扰输入矩阵Bd，如下所示：
在3.2.2部分中，为了实现滑移率的跟踪控制，需要将连续时间的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长； C＝1。
在3.3部分中，优化目标及约束条件的设计包括三部分内容：3.3.1设计滑移率跟踪性能指标；3.3.2设计制动平滑指标；3.3.3设置执行器物理约束。
在3.3.1部分中，用期望的滑移率和实际的滑移率误差的二范数作为滑移率跟踪性能指标，体现滑移率跟踪特性，其表达式如下：
其中：λref是期望的滑移率；λ是实际的滑移率；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子。
在3.3.2部分中，用控制量变化率的二范数作为制动平滑指标，体现滑移率跟踪过程中的制动平滑特性，控制量u是轮胎制动力矩，建立离散二次型制动平滑指标为：
其中：M是控制时域；Δu是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；
在3.3.3部分中，为了满足执行器要求，需要设置执行器物理约束：
利用线性不等式限制轮胎制动力矩及其变化量的上下限，得到制动执行器的物理约束，其数学表达式为：
其中：Tbmin是轮胎制动力矩下限；Tbmax是轮胎制动力矩上限；ΔTbmin是轮胎制动力矩变化量的下限；ΔTbmax是轮胎制动力矩变化量的上限。
在3.4部分中，求解系统预测输出包括三部分：3.4.1汽车制动稳定性多目标优化控制问题的构建；3.4.2多目标优化控制问题的求解；3.4.3最优开环控制序列的反馈。
在3.4.1部分中，利用线性加权法将公式(12)所述跟踪性能指标和公式(13)所述制动平滑指标转化为单一指标，构建汽车制动稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足制动执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(14)
在3.4.2部分中，调用控制器QP算法，求解多目标优化控制问题(15)，得到最优开环控制序列ΔTb为：
在3.4.3部分中，选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素ΔTb(0)进行反馈，将两前轮的制动力矩直接输入给CarSim汽车模型4；两后轮的制动力矩输入给制动力矩分配模块6进行再分配，分别确定出液压制动力矩和电机再生制动力矩，输出给CarSim汽车模型4；滑移率计算模块5根据CarSim输出的汽车纵向速度、车轮转速，通过公式(5)计算得到滑移率，实现紧急工况下的滑移率跟踪控制。
所述制动力矩分配模块，将MPC控制器优化的后轮制动力矩再分配为液压制动力矩和电机再生制动力矩；左后轮、右后轮采用相同的分配方式，下面以右后轮为例，描述其具体分配过程，包括三部分：4.1、右后轮达到期望滑移率的稳态制动力矩的计算；4.2、右后轮液压制动力矩大于优化的右后轮制动力矩；4.3、右后轮液压制动力矩小于优化的右后轮制动力矩。
在4.1部分中，计算右后轮达到期望滑移率的稳态制动力矩，即满足时的制动力矩；由公式(8)可以得出右后轮的液压制动力矩公式如下：
在4.2部分中，当公式(17)计算的右后轮液压制动力矩THrr大于MPC控制器3优化的右后轮制动力矩Tbrr，则右后轮制动力矩全部由液压制动力矩提供，大小为MPC控制器3优化的后轮制动力矩Tbrr。
在4.3部分中，当公式(17)计算的后轮液压制动力矩THrr小于MPC控制器3优化的后轮制动力矩Tbrr，此时右后轮制动力矩由液压制动力矩和电机再生制动力矩共同提供；其中右后轮的液压制动力矩大小为THrr，右后轮的电机再生制动力矩为TRrr＝Tbrr-THrr，即MPC控制器3优化出的后轮制动力矩减去公式(17)计算得到的后轮液压制动力矩。

Claims (1)

1.一种基于线性时变的电动汽车防抱死控制方法，其特征在于，该方法包括期望滑移率模块、轮胎数据处理器、MPC控制器、Carsim汽车模型、滑移率计算模块、制动力矩分配模块；期望滑移率模块用于确定期望的滑移率，轮胎数据处理器用于确定轮胎纵向力与轮胎纵向刚度；MPC控制器根据当前时刻汽车纵向速度、滑移率，并结合期望的滑移率，优化求解出四个车轮的制动力矩；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、车轮转速；滑移率计算模块根据CarSim汽车模型输出的汽车纵向速度、车轮转速计算得到滑移率；前轮制动力矩由液压制动系统实现，制动力矩分配模块对后轮制动力矩进行再分配，分别确定出液压制动力矩和电机再生制动力矩，输入给CarSim汽车模型，实现紧急工况下的滑移率跟踪控制；
该方法包括以下步骤：
步骤1、根据轮胎纵向力与滑移率的关系曲线，确定期望的滑移率：
λref＝λp (1)
其中：λp为轮胎纵向力最大值所对应的滑移率；
步骤2、设计轮胎数据处理器，为了获得轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎纵向力与滑移率的关系曲线，即轮胎纵向滑移特性三维图；获取不同路面附着系数下的轮胎纵向力对滑移率导数与滑移率的关系曲线，得到轮胎纵向刚度三维图；轮胎数据处理器将实际的滑移率和路面附着系数分别输入到轮胎纵向滑移特性三维图和轮胎纵向刚度三维图，通过线性插值法分别获得轮胎纵向力和轮胎纵向刚度C*，并输出给MPC控制器；在每个控制周期轮胎数据处理器更新一次轮胎纵向力和轮胎纵向刚度C*数据；
其中：Pacejka轮胎模型如下：
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其中：Fx是轮胎纵向力，λ是滑移率；Bx，Cx，Dx和Ex取决于轮胎垂直载荷Fz；b0＝1.57；b1＝35；b2＝1200；b3＝60；b4＝300；b5＝0.17；b6＝0；b7＝0；b8＝0.2；
步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：
步骤3.1、建立车轮动力学模型与滑移率模型：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>;</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> </mrow> <mi>V</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中：M为汽车质量；V为汽车纵向速度；R为轮胎半径；J为轮胎的转动惯量；Tb为轮胎的制动力矩；Fx为轮胎的纵向力；ω为轮胎的角速度；ij＝fl为汽车左前轮；ij＝fr为汽车右前轮；ij＝rl为汽车左后轮；ij＝rr为汽车右后轮；
步骤3.2、建立预测模型，其过程包括如下子步骤：
步骤3.2.1、预测模型的运动微分方程表达式为：
<mrow> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>M</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>J</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
考虑到汽车紧急制动工况下滑移率较大，轮胎纵向力随滑移率的增大而减小，两者呈现出非线性变化关系，为了表征轮胎纵向力与滑移率间的这种非线性变化特性，构建轮胎纵向力表达式如下：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <mi>C</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：
<mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>C</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：是轮胎的残余纵向力；是基于轮胎纵向滑移特性三维图，通过线性插值法获得的轮胎的纵向力；C*是基于轮胎纵向刚度三维图，通过线性插值法获得的轮胎纵向刚度；λ*为当前时刻的滑移率；
最终得到预测模型的运动微分方程表达式为：
<mrow> <mover> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <mi>J</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mi>M</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>R</mi> <mrow> <mi>J</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>M</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mi>J</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下：
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>u</mi> </msub> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>d</mi> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：状态变量x是滑移率；控制输入u是轮胎制动力矩；系统干扰输入d是轮胎的残余纵向力；式中状态矩阵A，控制输入矩阵Bu，干扰输入矩阵Bd，如下所示：
<mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <mi>J</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mi>M</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mi>R</mi> <mrow> <mi>J</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>M</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mi>J</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
步骤3.2.2、建立预测方程，用于预测系统未来输出；为了实现滑移率的跟踪控制，将连续时间的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长； C＝1；
步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：
步骤3.3.1、用期望的滑移率和实际的滑移率误差的二范数作为滑移率跟踪性能指标，体现滑移率跟踪特性，其表达式如下：
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：λref是期望的滑移率；λ是实际的滑移率；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子；
步骤3.3.2、用控制量变化率的二范数作为制动平滑指标，体现滑移率跟踪过程中的制动平滑特性，控制量u是轮胎制动力矩，建立离散二次型制动平滑指标为：
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：M是控制时域；Δu是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；
步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：
利用线性不等式限制轮胎制动力矩及其变化量的上下限，得到制动执行器的物理约束，其数学表达式为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>max</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1......</mn> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;T</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;T</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>max</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1......</mn> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：Tbmin是轮胎制动力矩下限；Tbmax是轮胎制动力矩上限；ΔTbmin是轮胎制动力矩变化量的下限；ΔTbmax是轮胎制动力矩变化量的上限；
步骤3.4、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：
步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述制动平滑指标转化为单一指标，构建汽车制动稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足制动执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>u</mi> </munder> <mo>{</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(14)
步骤3.4.2、在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(15)，得到最优开环控制序列ΔTb为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mi>min</mi> <mi>u</mi> </munder> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>S</mi> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤3.4.3、选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素ΔTb(0)进行反馈，将两前轮的制动力矩直接输入给CarSim汽车模型；两后轮的制动力矩输入给制动力矩分配模块进行再分配，分别确定出液压制动力矩和电机再生制动力矩，输出给CarSim汽车模型；滑移率计算模块根据CarSim输出的汽车纵向速度、车轮转速，通过公式(5)计算得到滑移率，实现紧急工况下的滑移率跟踪控制；
步骤4、所述制动力矩分配模块，将MPC控制器优化的后轮制动力矩再分配为液压制动力矩和电机再生制动力矩，左后轮、右后轮采用相同的分配方式，下面以右后轮为例，描述其具体分配过程，包括如下子步骤：
步骤4.1、计算右后轮达到期望滑移率的稳态制动力矩，即满足时的制动力矩；由公式(8)可以得出右后轮的液压制动力矩公式如下：
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>H</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>J</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>J</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>RC</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤4.2、当步骤4.1计算的右后轮液压制动力矩THrr大于MPC控制器优化的右后轮制动力矩Tbrr，则右后轮制动力矩全部由液压制动力矩提供，大小为MPC控制器优化的后轮制动力矩Tbrr；
步骤4.3、当步骤4.1计算的后轮液压制动力矩THrr小于MPC控制器优化的后轮制动力矩Tbrr，此时右后轮制动力矩由液压制动力矩和电机再生制动力矩共同提供；其中右后轮的液压制动力矩大小为THrr，右后轮的电机再生制动力矩为TRrr＝Tbrr-THrr，即MPC控制器优化出的后轮制动力矩减去步骤4.1计算得到的后轮液压制动力矩。
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