CN108107732A - 主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法 - Google Patents

主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法 Download PDF

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Abstract

主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器、MPC控制器、制动力分配模块、汽车模型。参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力以及侧偏刚度；汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息；MPC控制器根据期望的汽车横摆角速度，优化求解出汽车的前轮附加转角和补偿横摆力矩；前轮附加转角与驾驶员转向输入产生的前轮转角进行叠加后，直接输出给汽车模型;补偿横摆力矩输出给制动力分配模块，通过制动力分配模块确定四个车轮的制动力矩，输出给汽车模型，实现稳定性控制。

Description

主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法
技术领域
本发明涉及汽车稳定性控制领域，特别是关于主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法。
背景技术
随着汽车底盘动力学控制的不断发展，集成控制已经成为今后发展的方向，主动前轮转向和直接横摆力矩联合实现汽车的稳定性被广泛研究。目前，汽车稳定性控制领域所涉及的控制方法主要有鲁棒性控制、神经网络控制和模型预测控制(Model PredictiveControl,MPC)等方法，其中模型预测控制能较好地处理多目标任务以及系统约束，在汽车稳定性控制领域得到了广泛的应用。
根据采用的预测模型以及优化方法的不同，MPC可分为线性MPC和非线性MPC。线性MPC凭借其计算负担少，计算速度快而得到广泛使用，然而线性MPC却不能表征非线性区域的轮胎侧偏特性，而能表征汽车非线性动力学特性的非线性MPC计算负担太重，实时性差，很难应用于实际。论文[陈杰,李亮,宋健.基于LTV-MPC的汽车稳定性控制研究[J].汽车工程，2016，38(3):308-316.]采用一种线性时变的MPC方法，通过对目标横摆角速度的限幅，实现极限工况的汽车稳定性控制，减少系统的计算负担。但是，目标横摆角速度幅值的限制依赖于车速和路面附着系数的精确估计，并且当轮胎侧向力饱和时，所采用的线性时变MPC方法不能体现出轮胎侧向力与轮胎侧偏角的非线性变化特性。论文[Choi M,Choi S B.MPCfor vehicle lateral stability via differential braking and active frontsteering considering practical aspects[J].Proceedings of the Institution ofMechanical Engineers Part D Journal of Automobile Engineering,2016,230(4).]基于线性时变的MPC方法进行汽车稳定性控制，当轮胎侧偏角超过设计的门限值时，利用轮胎侧偏角与门限值的差值对MPC的优化解进行修正，实现轮胎侧向力饱和后的稳定性控制，但是该方法没有体现出轮胎侧向力(绝对值)随着轮胎侧偏角的增加而减小的非线性变化特性。论文[Cairano S D,Tseng H E,Bernardini D,et al.Steering Vehicle Control bySwitched Model Predictive Control[J].IFAC Proceedings Volumes,2010,43(7):1-6.]根据汽车的运动状态设计一种切换控制器，考虑了极限工况下轮胎侧向力(绝对值)随轮胎侧偏角的增加而减小的变化特性，但是该方法采用的仍然是线性的轮胎模型，不能表征汽车的非线性动力学特性。
发明内容
为了解决现有的线性MPC方法不能全面表征汽车的非线性动力学特性而导致的汽车在极限工况下横向稳定性差，甚至失稳的问题。本发明提供了主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法，在轮胎侧向力达到饱和时，采用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，在表征轮胎非线性特性的同时减小系统的计算负担，保证汽车在极限工况下的稳定性。
本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：
主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器、MPC控制器、制动力分配模块、汽车模型。参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力以及侧偏刚度；汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器结合期望的汽车横摆角速度和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的前轮附加转角和补偿横摆力矩；前轮附加转角与驾驶员转向输入的前轮转角进行叠加后输出给汽车模型，补偿横摆力矩输出给制动力分配模块，通过制动力分配模块确定出四个车轮的制动力矩，输出给汽车模型，实现稳定性控制。
该方法包括以下步骤：
步骤1、建立参考模型，确定期望的汽车横摆角速度，其过程包括如下子步骤：
步骤1.1、采用线性二自由度汽车模型作为参考模型，其运动微分方程表达式如下：
其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；Iz是绕汽车质心的铅垂轴的横摆转动惯量；Ux是汽车纵向速度；lf和lr分别是汽车质心至前、后轴的距离；Cf和Cr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δf,dri是驾驶员转向输入产生的前轮转角；
步骤1.2、基于公式(1)得到期望的汽车横摆角速度：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；其为稳定性因数；
步骤2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度处理器，其过程包括如下子步骤：
步骤2.1、设计轮胎侧偏角计算模块，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：
其中：αf和αr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δf是最终作用于汽车的前轮转角，即优化求解的前轮附加转角与驾驶员转向输入产生前轮转角的叠加；
步骤2.2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度计算模块，为了获得前轮轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的前轮轮胎侧向力与前轮轮胎侧偏角的关系曲线，得到前轮轮胎侧偏特性三维图；获取不同路面附着系数下的前轮轮胎侧向力对前轮轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到前轮轮胎侧偏刚度特性三维图；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器将当前时刻实际的前轮轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到前轮轮胎侧偏特性三维图和前轮轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法分别获得当前时刻的前轮轮胎侧向力和前轮轮胎侧偏刚度，输出给MPC控制器；在每个控制周期轮胎侧向力和侧偏刚度处理器更新一次前轮轮胎侧向力和前轮轮胎侧偏刚度数据；
其中：Pacejka轮胎模型如下：
Fy＝μD sin(C atan(A-E(A-atan A))),
A＝B·α
其中：Fy是轮胎侧向力，α是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷Fz；a0＝1.75；a1＝0；a2＝1000；a3＝1289；a4＝7.11；a5＝0.0053；a6＝0.1925；
步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：
步骤3.1、建立预测模型，采用线性二自由度汽车模型作为预测模型，其运动微分方程为：
汽车在极限工况下前轮轮胎侧向力达到饱和，其与前轮轮胎侧偏角呈现出非线性变化关系，即前轮轮胎侧向力(绝对值)随前轮轮胎侧偏角的增大而非线性减小，为了表征前轮轮胎侧向力与前轮轮胎侧偏角间的这种非线性变化特性，构建前轮轮胎侧向力表达式如下：
其中：和分别是基于当前时刻的前轮轮胎的侧偏角由步骤2.2获得的轮胎侧向力和侧偏刚度值；
考虑到汽车的后轮轮胎侧偏角较小，后轮轮胎侧向力(绝对值)随后轮轮胎侧偏角的增大线性增加，后轮轮胎侧偏刚度为定值，因此构建后轮轮胎侧向力表达式如下：
Fy,r＝Cr·αr (6)
其中：Cr是后轮轮胎的侧偏刚度，αr是后轮轮胎的侧偏角；
最终得到预测模型的运动微分方程为：
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:
其中：
步骤3.2、建立预测方程，用于预测系统未来输出；为了实现汽车横摆角速度的跟踪控制，将连续时间系统的预测模转换成离散时间系统的增量式模型：
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长； C＝1；
步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：
步骤3.3.1、用期望的汽车横摆角速度和实际的汽车横摆角速度误差的二范数作为跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子；
步骤3.3.2、用控制量变化率的二范数作为转向、制动平滑指标，体现跟踪过程中的转向、制动平滑特性，建立离散二次型转向、制动平滑指标为：
其中：M是控制时域；Δδf是附加前轮转角，ΔMz补偿横摆力矩变化量；k表示当前时刻；S1、S2是加权因子；
步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：
利用线性不等式限制控制量及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：
步骤3.4、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：
步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向、制动平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(12)
步骤3.4.2、在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(13)，得到最优开环控制序列Δu为：
选取当前时刻最优开环控制序列中的第一组元素Δu(0)进行反馈，其中，Δδf与驾驶员转向输入的前轮转角进行线性叠加后，直接输出给汽车模型；ΔMZ输出给制动力分配模块，通过制动力分配模块确定出四个车轮的制动力矩，输出给汽车模型，最终实现横摆力矩控制。
本发明的有益效果是：本方法使用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，减小系统的计算负担，提高了系统的实时跟踪性；本方法充分利用非线性的轮胎侧偏特性，改善汽车在极限工况下的稳定性，扩大汽车的稳定性控制域。
附图说明
图1是本发明的控制系统结构示意图。
图2是线性二自由度汽车模型示意图。
图3前轮轮胎侧偏特性三维图。
图4前轮轮胎侧偏刚度特性三维图。
图5是前轮轮胎侧向力线性化示意图。
图6是制动力分配示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。
图1是本发明主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法的系统结构示意图，该系统主要包括参考模型1、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2、MPC控制器3、制动力分配模块4、汽车模型5。参考模型1用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2用于确定轮胎的侧偏角、侧向力以及侧偏刚度；汽车模型5用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器3结合期望的汽车横摆角速度和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的前轮附加转角和补偿横摆力矩，前轮附加转角与驾驶员转向输入产生的前轮转角进行叠加后直接输出给汽车模型5，补偿横摆力矩输出给制动力分配模块4，通过制动力分配模块4确定出四个车轮的制动力矩，输出给汽车模型5，实现稳定性控制。
下面以七自由度汽车模型为平台，具体说明本发明的方法，其主要参数如表1所示：
表1汽车模型的主要参数
参考模型1的建立包括两部分：1.1建立线性二自由度汽车模型；1.2确定期望的汽车横摆角速度。
在1.1部分中，线性二自由度汽车模型如图2所示，其运动微分方程表达式如下：
其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；Iz是绕汽车质心的铅垂轴的横摆转动惯量；Ux是汽车纵向速度；lf和lr分别是汽车质心至前、轴的距离；Cf和Cr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度。δf,dri是驾驶员转向输入产生的前轮转角。
在1.2部分中，基于公式(1)得到期望的汽车横摆角速度：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；其为稳定性因数。
轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2的设计包括两部分：2.1设计轮胎侧偏角计算模块；2.2设计轮胎侧向力和侧偏刚度计算模块。
在2.1部分中，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：
其中：αf和αr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δf是最终作用于汽车的前轮转角，即优化求解的前轮附加转角，与驾驶员转向输入产生前轮转角的叠加。
在2.2部分中，为了获得前轮轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的前轮轮胎侧向力与前轮轮胎侧偏角的关系曲线，得到前轮轮胎侧偏特性三维图，如图3；获取不同路面附着系数下的前轮轮胎侧向力对前轮轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到前轮轮胎侧偏刚度特性三维图，如图4。轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2将当前时刻实际的前轮轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到前轮轮胎侧偏特性三维图和前轮轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法分别获得当前时刻的前轮轮胎侧向力和前轮轮胎侧偏刚度，输出给MPC控制器3。在每个控制周期轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2更新一次前轮轮胎侧向力和前轮轮胎侧偏刚度数据。
其中：Pacejka轮胎模型如下：
Fy＝μD sin(C atan(A-E(A-atan A))),
A＝B·α
其中：Fy是轮胎侧向力，α是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷Fz；a0＝1.75；a1＝0；a2＝1000；a3＝1289；a4＝7.11；a5＝0.0053；a6＝0.1925。
MPC控制器3的设计包括三部分：3.1建立预测模型；3.2设计预测方程；3.3设计优化目标及约束条件；3.4求解系统预测输出。
在3.1部分中，预测模型采用线性二自由度汽车模型，如图2所示，其运动微分方程为：
汽车在极限工况下前轮轮胎侧向力达到饱和，其与前轮轮胎侧偏角呈现出非线性变化关系，即前轮轮胎侧向力(绝对值)随前轮轮胎侧偏角的增大而非线性减小，如图5所示，为了表征前轮轮胎侧向力与前轮轮胎侧偏角间的这种非线性变化特性，构建前轮轮胎侧向力表达式如下：
其中：和分别是基于当前时刻的前轮轮胎的侧偏角由轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2获得的轮胎侧向力和侧偏刚度值。在下一时刻，后轮轮胎侧偏角改变，MPC控制器3从轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2重新获取前轮轮胎的侧向力和侧偏刚度值。
考虑到汽车的后轮轮胎侧偏角较小，后轮轮胎侧向力(绝对值)随后轮轮胎侧偏角的增大线性增加，后轮轮胎侧偏刚度为定值，因此构建后轮轮胎侧向力表达式如下：
Fy,r＝Cr·αr (6)
其中：Cr是后轮轮胎的侧偏刚度，αr是后轮轮胎的侧偏角。
最终得到预测模型的运动微分方程为：
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:
其中：
在3.2部分中，为了实现汽车横摆角速度的跟踪控制，将连续时间系统的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：
Δx(k+1)＝AcΔx(k)+BcuΔu(k)+BcdΔd(k),
y(k)＝CΔx(k)+y(k-1). (9)
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长；, C＝1。
在3.3部分中优化目标及约束条件的设计包括三部分：3.3.1设计横摆角速度跟踪性能指标；3.3.2设计转向和制动平滑指标；3.3.3设置执行器物理约束。
在3.3.1部分中，用期望的汽车横摆角速度和实际的汽车横摆角速度误差的二范数作为跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子。
在3.3.2部分中，用控制量变化率的二范数作为转向、制动平滑指标，体现跟踪过程中的转向、制动平滑特性，建立离散二次型转向、制动平滑指标为：
其中：M是控制时域；Δδf是附加前轮转角，ΔMz补偿横摆力矩变化量；k表示当前时刻；S1、S2是加权因子。
在3.3.3部分中，利用线性不等式限制控制量及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：
在3.4部分中，系统预测输出的求解包括两部分：3.4.1构建汽车横摆稳定性多目标优化控制问题；3.4.2求解多目标优化控制问题。
在3.3.1部分中，利用线性加权法将跟踪性能指标和转向、制动平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(12)
在3.4.2部分中，在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(13)，得到最优开环控制序列Δu为：
选取当前时刻最优开环控制序列中的第一组元素Δu(0)进行反馈，其中，Δδf与驾驶员转向输入的前轮转角进行线性叠加后直接输出给汽车模型5，ΔMZ输出给制动力分配模块，通过制动力分配模块4确定四个车轮的制动力矩，输出给汽车模型5，实现稳定性控制。
制动力分配模块4的设计流程如下：
如图6所示，当MPC控制器3计算出的补偿横摆力矩小于零时，若汽车前轮轮胎侧偏角小于后轮轮胎侧偏角，制动力分配模块4通过给右前轮施加制动力产生补偿横摆力矩，矫正汽车的过多转向；若汽车前轮轮胎侧偏角大于后轮轮胎侧偏角，制动力分配模块4通过给右后轮施加制动力产生补偿横摆力矩，矫正汽车的不足转向。
当MPC控制器3计算出的补偿横摆力矩大于零，若汽车前轮轮胎侧偏角小于后轮轮胎侧偏角，制动力分配模块4通过给左前轮施加制动力产生补偿横摆力矩，矫正汽车的过多转向。若汽车前轮轮胎侧偏角大于后轮轮胎侧偏角，制动力分配模块4通过给左后轮施加制动力产生补偿横摆力矩，矫正汽车的不足转向。制动力分配策略具体如下。
ifΔMz＜0；then
if αf＞αr；then
else
end
else ifΔMz＞0；then
if αf＞αr；then
else
end
else
Fb1＝0；Fb2＝0；Fb3＝0；Fb4＝0；
end
end
其中，Fb1、Fb2、Fb3、Fb4分别是左前轮、右前轮、左后轮、右后轮的制动力；c汽车轮距的一半。

Claims (1)

1.主动前轮转向和直接横摆力矩联合的汽车稳定性控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器、MPC控制器、制动力分配模块、汽车模型，参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力以及侧偏刚度；汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器结合期望的汽车横摆角速度和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的前轮附加转角和补偿横摆力矩；前轮附加转角与驾驶员转向输入的前轮转角进行叠加后输出给汽车模型，补偿横摆力矩输出给制动力分配模块，通过制动力分配模块确定出四个车轮的制动力矩，输出给汽车模型，实现稳定性控制；
该方法包括以下步骤：
步骤1、建立参考模型，确定期望的汽车横摆角速度，其过程包括如下子步骤：
步骤1.1、采用线性二自由度汽车模型作为参考模型，其运动微分方程表达式如下：
<mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；Iz是绕汽车质心的铅垂轴的横摆转动惯量；Ux是汽车纵向速度；lf和lr分别是汽车质心至前、后轴的距离；Cf和Cr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δf,dri是驾驶员转向输入产生的前轮转角；
步骤1.2、基于公式(1)得到期望的汽车横摆角速度：
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>KU</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；其为稳定性因数；
步骤2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度处理器，其过程包括如下子步骤：
步骤2.1、设计轮胎侧偏角计算模块，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：αf和αr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δf是最终作用于汽车的前轮转角，即优化求解的前轮附加转角与驾驶员转向输入产生前轮转角的叠加；
步骤2.2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度计算模块，为了获得前轮轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的前轮轮胎侧向力与前轮轮胎侧偏角的关系曲线，得到前轮轮胎侧偏特性三维图；获取不同路面附着系数下的前轮轮胎侧向力对前轮轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到前轮轮胎侧偏刚度特性三维图；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器将当前时刻实际的前轮轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到前轮轮胎侧偏特性三维图和前轮轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法分别获得当前时刻的前轮轮胎侧向力和前轮轮胎侧偏刚度，输出给MPC控制器；在每个控制周期轮胎侧向力和侧偏刚度处理器更新一次前轮轮胎侧向力和前轮轮胎侧偏刚度数据；
其中：Pacejka轮胎模型如下：
Fy＝μDsin(Catan(A-E(A-atanA))),
A＝B·α
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>arctan</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中：Fy是轮胎侧向力，α是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷Fz；a0＝1.75；a1＝0；a2＝1000；a3＝1289；a4＝7.11；a5＝0.0053；a6＝0.1925；
步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：
步骤3.1、建立预测模型，采用线性二自由度汽车模型作为预测模型，其运动微分方程为：
<mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
汽车在极限工况下前轮轮胎侧向力达到饱和，其与前轮轮胎侧偏角呈现出非线性变化关系，即前轮轮胎侧向力(绝对值)随前轮轮胎侧偏角的增大而非线性减小，为了表征前轮轮胎侧向力与前轮轮胎侧偏角间的这种非线性变化特性，构建前轮轮胎侧向力表达式如下：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：和分别是基于当前时刻的前轮轮胎的侧偏角由步骤2.2获得的轮胎侧向力和侧偏刚度值；
考虑到汽车的后轮轮胎侧偏角较小，后轮轮胎侧向力(绝对值)随后轮轮胎侧偏角的增大线性增加，后轮轮胎侧偏刚度为定值，因此构建后轮轮胎侧向力表达式如下：
Fy,r＝Cr·αr (6)
其中：Cr是后轮轮胎的侧偏刚度，αr是后轮轮胎的侧偏角；
最终得到预测模型的运动微分方程为：
<mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>M</mi> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>u</mi> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：
<mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>;</mo> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;beta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
<mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <msub> <mi>mU</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>f</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>;</mo> </mrow>
步骤3.2、建立预测方程，用于预测系统未来输出；为了实现汽车横摆角速度的跟踪控制，将连续时间系统的预测模转换成离散时间系统的增量式模型：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长；
步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：
步骤3.3.1、用期望的汽车横摆角速度和实际的汽车横摆角速度误差的二范数作为跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子；
步骤3.3.2、用控制量变化率的二范数作为转向、制动平滑指标，体现跟踪过程中的转向、制动平滑特性，建立离散二次型转向、制动平滑指标为：
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;M</mi> <mi>z</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：M是控制时域；Δδf是附加前轮转角，ΔMz补偿横摆力矩变化量；k表示当前时刻；S1、S2是加权因子；
步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：
利用线性不等式限制控制量及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>max</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1......</mn> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>min</mi> </msub> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>M</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>M</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>max</mi> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1......</mn> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mi>max</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1......</mn> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;M</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>min</mi> </msub> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;N</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>M</mi> <msub> <mi>z</mi> <mi>max</mi> </msub> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1......</mn> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤3.4、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：
步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向、制动平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
<mrow> <munder> <mi>min</mi> <mi>u</mi> </munder> <mo>{</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;M</mi> <mi>z</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(12)
步骤3.4.2、在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(13)，得到最优开环控制序列Δu为：
<mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mi>min</mi> <mi>u</mi> </munder> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;M</mi> <mi>z</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
选取当前时刻最优开环控制序列中的第一组元素Δu(0)进行反馈，其中，Δδf与驾驶员转向输入的前轮转角进行线性叠加后，直接输出给汽车模型；ΔMZ输出给制动力分配模块，通过制动力分配模块确定出四个车轮的制动力矩，输出给汽车模型，最终实现横摆力矩控制。
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