CN103389648B - 微陀螺仪的全局滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种微陀螺仪的全局滑模控制方法，建立全局滑模控制系统，将微陀螺仪可测量的信号作为输入，并基于Lyapunov稳定性理论验证了闭环系统的稳定性，全局滑模控制是通过设计一种动态非线性滑模面方程来实现的。本发明的全局滑模控制消除滑模控制的到达运动阶段不具有鲁棒性的缺点，使系统在响应的全过程都具有鲁棒性，克服了传统滑模变结构控制中到达模态不具有鲁棒性的特点。本发明的控制方法能够简化了滑模系数的选取，提高了滑模控制系统的瞬态特性和鲁棒性，使闭环控制系统具有了全局鲁棒性，化解了瞬态特性同鲁棒性之间的矛盾，为微陀螺仪应用范围的扩展提供了有力基础。

Description

微陀螺仪的全局滑模控制方法

技术领域

本发明涉及微陀螺仪的控制方法，特别是涉及微陀螺仪的全局滑模控制方法。

背景技术

微陀螺仪是惯性导航和惯性制导系统的基本测量元件。因其在体积和成本方面的巨大优势，微陀螺仪广泛应用于航空、航天、汽车、生物医学、军事以及消费电子领域。但是，由于设计与制造中的误差存在和温度扰动，会造成原件特性与设计之间的差异，降低了微陀螺仪系统的性能。微陀螺仪本身属于多输入多输出系统并且系统参数存在不确定性以及易受外界环境的影响。补偿制造误差和测量角速度成为微陀螺仪控制的主要问题，有必要对微陀螺仪系统进行动态补偿和调整。

目前有将各种先进控制方法应用到微陀螺仪的控制当中，典型的有自适应控制和滑模控制方法。这些先进方法一方面补偿了制作误差引起的正交误差，另一方面实现了对微陀螺仪的轨迹控制。但自适应控制对外界扰动的鲁棒性很低，易使系统变得不稳定。

由此可见，上述现有的陀螺仪在使用上，显然仍存在有不便与缺陷，而亟待加以进一步改进。为了解决现有的陀螺仪在使用上存在的问题，相关厂商莫不费尽心思来谋求解决之道，但长久以来一直未见适用的设计被发展完成。

发明内容

本发明的目的在于，克服现有的微陀螺仪控制方法存在的缺陷，特别是提高微陀螺仪系统在存在模型不确定、参数摄动以及外界噪声等各种干扰情况下，对理想轨迹的追踪性能和整个系统的鲁棒性，而提供一种微陀螺仪的全局滑模控制方法。

本发明采用的技术方案是：

微陀螺仪的全局滑模控制方法，包括如下步骤：

1)根据旋转系中的牛顿定律得到微陀螺仪的无量纲动力学方程；

2)建立全局滑模控制系统，基于全局滑模控制设计控制律，将其作为微陀螺仪的控制输入，包括如下步骤

2-1)设计全局动态滑模面S为：

其中，e为跟踪误差，e＝q-q_m，q_m为理想轨迹

f(t)是为了达到全局滑模面而设计的函数，f(t)＝f(0)e^-kt

c为滑模系数，k为常数；

2-2)设计全局滑模控制律u，使微陀螺仪实际轨迹跟踪上理想轨迹，

$u=-c\stackrel{\·}{q}+\stackrel{\·}{f}+M\stackrel{\·}{q}+Kq-R-E\mathrm{sgn}\left(S\right)$

其中M，K为微陀螺仪无量纲运动方程式(4)中的参量，q为微陀螺仪的实际运动轨迹，E为外界干扰的上界，

3)采用lyapunov函数理论，验证所述全局滑模控制系统的渐进稳定性

所述lyapunov函数V设计为：

前述的步骤1)中，得到微陀螺仪的无量纲动力学方程具体为，

1-1)考虑到制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪的集总参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+d_{xy}\stackrel{\·}{y}+k_{xx}x+k_{xy}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{xy}\stackrel{\·}{x}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+k_{xy}x+k_{yy}y=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

式中，m是质量块的质量，x，y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标；d_xx,d_yy分别是x轴和y轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x轴和y轴的弹簧系数，d_xy,k_xy分别是耦合的阻尼系数和耦合的弹簧系数，u_x，u_y是两轴的控制输入，是科里奥利力；

1-2)取非量纲运动轨迹q_*为非量纲时间t^*为t^*＝ω₀t，将式(1)两边同除以质量块质量m两轴固有频率的平方ω₀ ²和参考长度q₀，得到微陀螺仪的无量纲动力学方程的向量形式如下：

${\stackrel{\·\·}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{\·}{q}}^{*}+K^{*}{q}^{*}=u^{*}-2{\mathrm{\Ω}}^{*}{\stackrel{\·}{q}}^{*}---\left(2\right)$

其中， $\begin{array}{cccc}{D}^{*}=\frac{D}{{\mathrm{m\ω}}_0},& D=\left[\begin{array}{cc}{d}_{xx}& d_{xy}\\ d_{xy}& d_{yy}\end{array}\right],& K^{*}=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& {\mathrm{\ω}}_{xy}\\ {\mathrm{\ω}}_{xy}& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right],& u^{*}=\frac{u}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{xx}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{yy}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_{xy}=\frac{k_{xy}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},& u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right],& {\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},& \mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0\end{array}\right]\end{array}$

1-3)重新用q代替q^*，用t代替t^*，用D代替D^*，用K代替K^*，用u代替u^*，用Ω代替Ω^*，得到

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+Kq=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(3\right)$

q为微陀螺仪的运动轨迹，u为微陀螺仪的控制输入；

1-4)加入外界干扰，上述方程式(3)改写为

$\stackrel{\·\·}{q}+M\stackrel{\·}{q}+Kq=u+d---\left(4\right)$

其中，M＝D+2Ω，d为外部干扰，

以此作为微陀螺仪无量纲运动方程的最终形式。

由上述技术方案可以看出本发明的有益效果在于：全局滑模控制消除滑模控制的到达运动阶段，使系统在响应的全过程都具有鲁棒性，克服了传统滑模变结构控制中到达模态不具有鲁棒性的特点；基于李雅普诺夫稳定性理论设计的全局滑模控制系统，能够在任意初始值的情况下，保证系统的全局渐进稳定性；简化了滑模系数的选取，提高了滑模控制系统的瞬态特性和鲁棒性，使闭环控制系统具有了全局鲁棒性，化解了瞬态特性同鲁棒性之间的矛盾。

附图说明

图1为本发明微陀螺仪的简化模型示意图；

图2为本发明全局滑模控制系统的原理图；

图3为本发明实施例中x轴位置跟踪曲线图；

图4为本发明实施例中y轴位置跟踪曲线图；

图5为本发明实施例中x轴控制输入曲线图；

图6为本发明实施例中y轴控制输入曲线图；

图7为本发明实施例中x轴和y轴跟踪误差曲线图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的作进一步说明：

微陀螺仪的全局滑模控制方法，包括如下步骤：

1、根据旋转系中的牛顿定律得到微陀螺仪的无量纲动力学方程

微振动陀螺仪一般包含三个组成部分：被弹性材料所支撑的质量块，静电驱动装置和感测装置。静电驱动电路主要功能是驱动和维持微振动陀螺仪振动时幅值的恒定，感测电路用来感知质量块的位置和速度。微陀螺仪可以被简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振动系统。图1显示了在笛卡尔坐标系下简化的微振动陀螺仪模型。对z轴微陀螺仪而言，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动。实际上，由于制造缺陷和加工误差的存在，会造成x轴和y轴的附加动态耦合，如耦合的刚度系数和阻尼系数。考虑到制造误差，实际微陀螺仪的集总参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+d_{xy}\stackrel{\·}{y}+k_{xx}x+k_{xy}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{xy}\stackrel{\·}{x}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+k_{xy}x+k_{yy}y=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

式中，m是质量块的质量，x,y是质量块在旋转系中的坐标，d_xx,d_yy分别是x轴和y轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x轴和y轴的弹簧系数，d_xy,k_xy分别是耦合的阻尼系数和耦合的弹簧系数，合称为正交误差，u_x，u_y是两轴的控制输入，是科里奥利力。

模型的无量纲化在设计分析时很有价值，在存在大的时间量级区别时，无量纲化也能使数值仿真容易实现。取无量纲运动轨迹q^*为非量纲时间t^*为t^*＝ω₀t，将式(1)的两边同除以质量块质量m，参考长度q₀，两轴的固有频率ω₀的平方ω₀ ²，并且为了有益于控制器的设计和系统稳定性的分析，将得到的无量纲化数学模型转换为向量形式如下：

${\stackrel{\·\·}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{\·}{q}}^{*}+K^{*}{q}^{*}=u^{*}-2{\mathrm{\Ω}}^{*}{\stackrel{\·}{q}}^{*}---\left(2\right)$

其中， $\begin{array}{cccc}{D}^{*}=\frac{D}{{\mathrm{m\ω}}_0},& D=\left[\begin{array}{cc}{d}_{xx}& d_{xy}\\ d_{xy}& d_{yy}\end{array}\right],& K^{*}=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& {\mathrm{\ω}}_{xy}\\ {\mathrm{\ω}}_{xy}& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right],& u^{*}=\frac{u}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{xx}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{yy}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_{xy}=\frac{k_{xy}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},& u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right],& {\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},& \mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0\end{array}\right]\end{array}$

为了方便，重新用q代替q^*，用t代替t^*，用D代替D^*，用K代替K^*，用u代替u^*，用Ω代替Ω^*，得到

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+Kq=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(3\right)$

q为微陀螺仪的运动轨迹，u为微陀螺仪的控制输入

由于质量块的位移范围在亚毫米范围内，故合理的参考长度可取1μm；微陀螺仪的两轴共振频率一般在千赫兹范围内，故共振频率ω₀可取1KHz。

加入外界干扰，将式(3)改写成如下形式

$\stackrel{\·\·}{q}+M\stackrel{\·}{q}+Kq=u+d---\left(4\right)$

其中，M＝D+2Ω，d为外部干扰，并有|d|≤E，E为外界干扰的上界，

以此作为微陀螺仪无量纲运动方程的最终形式。

2、建立微陀螺仪的全局滑模控制系统，设计控制律，将其作为微陀螺仪的控制输入

定义跟踪误差e为

e＝q-q_m(5)

其中，q_m为位置指令，即为微陀螺仪的理想轨迹

设计全局动态滑模面S，使它所确定的滑动模态渐进稳定且具有良好的动态品质

$S=\stackrel{\·}{e}+ce-f\left(t\right)---\left(6\right)$

其中，c为滑模系数，f(t)是为了达到全局滑模面而设计的函数，f(t)满足以下3个条件

$\left(1\right)---f\left(0\right)={\stackrel{\·}{e}}_0+{\mathrm{ce}}_0$

(2)t→∞时，f(t)→0

(3)f(t)具有一阶导数

e₀是跟踪误差的初始值。

所以可将f(t)设计为

f(t)＝f(0)e^-kt(7)

k为常数。

设计全局滑模控制律u，使微陀螺仪的趋近运动，即非滑动模态在有限时间到达滑模面，并且在趋近的过程中快速、抖振小，从而在滑模面上形成滑动模态区，使微陀螺仪实际轨迹跟踪上理想轨迹

$u=-c\stackrel{\·}{q}+\stackrel{\·}{f}+M\stackrel{\·}{q}+Kq-R-E\mathrm{sgn}\left(S\right)---\left(8\right)$

其中， $R=-({\stackrel{\·\·}{q}}_m+c{\stackrel{\·}{q}}_m)$

最后设计lyapunov函数，验证系统的稳定性

lyapunov函数V设计为

$V=\frac{1}{2}{S}^2---\left(9\right)$

对全局动态滑模面S求导，得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{S}=\stackrel{\·\·}{e}+c\stackrel{\·}{e}-\stackrel{\·}{f}=\stackrel{\·\·}{q}-{\stackrel{\·\·}{q}}_m+c(\stackrel{\·}{q}-{\stackrel{\·}{q}}_m)-\stackrel{\·}{f}\\ =\stackrel{\·\·}{q}+(c\stackrel{\·}{q}-\stackrel{\·}{f})-({\stackrel{\·\·}{q}}_m+c{\stackrel{\·}{q}}_m)\\ =\stackrel{\·\·}{q}+(c\stackrel{\·}{q}-\stackrel{\·}{f})+R\\ =-M\stackrel{\·}{q}-Kq+u+d+(c\stackrel{\·}{q}-\stackrel{\·}{f})+R\end{array}---\left(10\right)$

将全局滑模控制律式(8)作为微陀螺仪的控制输入带入式(10)，得到

$\stackrel{\·}{S}=d-E\mathrm{sgn}\left(S\right)---\left(11\right)$

那么

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S\stackrel{\·}{S}=Sd-SE\mathrm{sgn}\left(S\right)\\ =Sd-\left|S\right|E\\ \≤\left|S\right|\left|d\right|-\left|S\right|E\\ =\left|S\right|\left(\right|d|-E)\\ \≤0\end{array}---\left(12\right)$

由此证明了微陀螺仪全局滑模控制系统的稳定性。

最后，对本发明的全局滑模控制方法进行仿真分析，选择一组微陀螺仪的参数如下：

m＝1.8×10^-7kg,k_xx＝63.955N/m,k_yy＝95.92N/m,k_xy＝12.779N/m

d_xx＝1.8×10^-6Ns/m,d_yy＝1.8×10^-6Ns/m,d_xy＝3.6×10^-7Ns/m

假设输入角速度为Ω_Z＝100rad/s，参考长度选取q₀＝1μm，共振频率ω₀＝1000Hz，无量纲化后，各参数如下：

ω_xy＝70.99,d_xx＝0.01,d_yy＝0.01,d_xy＝0.002,Ω_Z＝0.1

微陀螺仪x轴和y轴的理想轨迹为：q_mx＝cos(6.17t),q_my＝cos(5.11t)，

微陀螺仪为零初始状态，即x(0)＝[0,0,0,0]^T

外界干扰d取为

d＝[10*((sin(6.17*t))²+2*cos(6.17*t))；10*((sin(5.11*t))²+2*cos(5.11*t))]

取滑模系数c＝10，f(t)＝s(0)e^-130t

实验的结果如图3至图7所示，

图3和图4为微陀螺仪两轴位置跟踪曲线，从图中看出两轴的实际轨迹都能快速跟踪上理想轨迹，证明了全局滑模控制方法的可行性和有效性。图5和图6为微陀螺仪两轴控制输入曲线，可以看到由于采用了滑模控制，不可避免的存在了一定的抖振，但是并不影响控制效果。图7为两轴的跟踪误差曲线，可以直观的看到在一秒内误差已经趋近于零，改善了微陀螺仪的动态特性。

Claims (1)

1.微陀螺仪的全局滑模控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)根据旋转系中的牛顿定律得到微陀螺仪的无量纲动力学方程；具体为，

1-1)考虑到制造缺陷和加工误差，实际微陀螺仪的集总参数数学模型为：

$\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}+d_{xx}\stackrel{\·}{x}+d_{xy}\stackrel{\·}{y}+k_{xx}x+k_{xy}y=u_x+2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{y}\\ m\stackrel{\·\·}{y}+d_{xy}\stackrel{\·}{x}+d_{yy}\stackrel{\·}{y}+k_{xy}x+k_{yy}y=u_y-2{\mathrm{m\Ω}}_z\stackrel{\·}{x}\end{array}---\left(1\right)$

式中，m是质量块的质量，x，y是质量块在微陀螺仪旋转系中的笛卡尔坐标；d_xx,d_yy分别是x轴和y轴的阻尼系数，k_xx,k_yy分别是x轴和y轴的弹簧系数，d_xy,k_xy分别是耦合的阻尼系数和耦合的弹簧系数，u_x，u_y是两轴的控制输入，Ω_z为角速度，是科里奥利力；

1-2)取无量纲运动轨迹q^*为将式(1)两边同除以质量块质量m，

两轴固有频率的平方ω₀ ²和参考长度q₀，得到微陀螺仪的无量纲动力学方程的向量形式如下：

${\stackrel{\·\·}{q}}^{*}+D^{*}{\stackrel{\·}{q}}^{*}+K^{*}{q}^{*}=u^{*}-2{\mathrm{\Ω}}^{*}{\stackrel{\·}{q}}^{*}---\left(2\right)$

其中， $D^{*}=\frac{D}{{\mathrm{m\ω}}_0},D=\left[\begin{array}{cc}{d}_{xx}& d_{xy}\\ d_{xy}& d_{yy}\end{array}\right],K^{*}=\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_x}^2& {\mathrm{\ω}}_{xy}\\ {\mathrm{\ω}}_{xy}& {{\mathrm{\ω}}_y}^2\end{array}\right],u^{*}=\frac{u}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2{q}_0}$

${\mathrm{\ω}}_x=\sqrt{\frac{k_{xx}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_y=\sqrt{\frac{k_{yy}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2}},{\mathrm{\ω}}_{xy}=\frac{k_{xy}}{{{\mathrm{m\ω}}_0}^2},u=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right],q=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],{\mathrm{\Ω}}^{*}=\frac{\mathrm{\Ω}}{{\mathrm{\ω}}_0},\mathrm{\Ω}=\left[\begin{array}{cc}0& -{\mathrm{\Ω}}_z\\ {\mathrm{\Ω}}_z& 0\end{array}\right]$

1-3)重新用q代替q^*，用D代替D^*，用K代替K^*，用u代替u^*，用Ω代替Ω^*，得到

$\stackrel{\·\·}{q}+D\stackrel{\·}{q}+Kq=u-2\mathrm{\Ω}\stackrel{\·}{q}---\left(3\right)$

q为微陀螺仪的实际运动轨迹，u为微陀螺仪的控制输入；

1-4)加入外界干扰，上述方程式(3)改写为

$\stackrel{\·\·}{q}+M\stackrel{\·}{q}+Kq=u+d---\left(4\right)$

其中，M＝D+2Ω，d为外界干扰，

以此作为微陀螺仪无量纲运动方程的最终形式；

2)建立全局滑模控制系统，基于全局滑模控制设计控制律，将其作为微陀螺仪的控制输入，包括如下步骤

2-1)设计全局动态滑模面S为：

其中，e为跟踪误差，e＝q-q_m，q_m为理想轨迹

f(t)是为了达到全局滑模面而设计的函数，

f(t)满足以下3个条件：

(1) $f\left(0\right)={\stackrel{\·}{e}}_0+{\mathrm{ce}}_0,$

(2)t→∞时，f(t)→0，

(3)f(t)具有一阶导数，

e₀是跟踪误差的初始值，

所以可将f(t)设计为：

f(t)＝f(0)e^-kt，

c为滑模系数，k为常数；

2-2)设计全局滑模控制律使微陀螺仪实际轨迹跟踪上理想轨迹，

其中M，K为微陀螺仪无量纲运动方程式(4)中的参量，E为外界干扰d的上界，且|d|≤E，

3)采用lyapunov函数理论，验证所述全局滑模控制系统的渐进稳定性

所述lyapunov函数V设计为：