CN103279038B - 基于t-s模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法，在微陀螺仪非线性模型的基础上建立其T-S模糊模型，通过单点模糊化、乘积推理和中心平均加权反模糊化得到其全局不确定系统模型，基于不确定系统变结构控制理论设计控制器，使全局不确定系统模型轨迹跟踪参考模型轨迹；由于干扰上界和参数不确定项未知，分别设计估计器；并且基于Lyapunov理论设计自适应控制算法，确保系统的全局渐进稳定性。本发明能够在微陀螺仪T-S模糊模型存在参数不确定项和干扰的情况下，对微陀螺仪的非线性被控对象进行精确的轨迹追踪控制，并能保证轨迹控制误差和参数估计误差全局渐进稳定，自适应滑模控制可提高系统对参数变化的鲁棒性并补偿制造误差，控制方案同时作用于非线性模型，验证了控制方案在非线性模型上的有效性。

Description

基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法

技术领域

本发明属于微陀螺仪控制技术领域，具体涉及一种基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法。

背景技术

陀螺仪是惯性导航与制导的基本测量元件，与传统陀螺仪相比，微陀螺仪在体积和成本上有着巨大的优势，在测量精度上也有着巨大的提高，因此有着广阔的应用市场，比如在导航制导、消费电子、航海和国防上。但在实际上，生产制造过程中的制造误差和环境温度的影响导致耦合的刚度系数和阻尼系数的存在，从而产生机械和静电力形式的系统固有干扰，造成原件特性与设计之间的差异，降低了微陀螺仪的灵敏度和精度。此外，陀螺仪本身属于多输入多输出系统，参数的不确定和外界干扰会对系统参数造成波动。补偿制造误差和轨迹控制成为微陀螺仪控制的主要问题。而普通的微陀螺仪控制是在其线性模型的基础上进行控制，未考到实际被控模型更接近于非线性模型的问题，本发明就是在微陀螺仪非线性模型的基础上建立其T-S模糊模型，然后对其T-S模糊模型进行轨迹控制。

T-S模糊模型的本质是一个非线性动力学模型可以看成是许多个局部线性模型的模糊逼近，T-S模糊模型由一组if-then规则来描述非线性系统，每一个规则代表一个子系统，整个模糊系统即为各个子系统的线性组合。滑模控制是把误差控制转换为滑模函数的控制，滑模控制针对干扰设计控制器，可以根据系统在动态过程中的当前状态有目的地不断变化，迫使系统按照预定的滑动模态的状态轨迹运动，具有强抗干扰性。自适应模糊控制是具有自适应学习的模糊逻辑系统，其可以任意设定控制对象参数的初始值，然后通过设计控制器参数的自适应算法，调节自适应参数，实时在线更新控制器参数，来保证任意初始值下系统控制的快速性和稳定性。

发明内容

为了解决普通微陀螺仪控制方法控制对象和实际被控对象之间存在差异，使微陀螺仪的轨迹控制更接近实际，本发明在微陀螺仪非线性模型的基础上建立其T-S不确定系统模型，根据不确定系统变结构控制理论设计控制器，对干扰上界和参数不确定项进行估计，基于Lyapunov方法设计自适应控制算法，确保了整个控制系统的全局渐进稳定，提高了系统对参数变化的鲁棒性，补偿了制造误差。

为了解决上述问题，本发明采用的技术方案是：

基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法，包括以下步骤

1）建立微陀螺仪的无量纲非线性运动微分方程；

2）基于微陀螺仪T-S模型，建立微陀螺仪全局不确定系统状态方程；

3）判断微陀螺仪全局不确定系统模型是否满足连续，匹配，可控和有界条件；

4）基于不确定系统变结构控制理论设计控制器，使全局不确定系统模型轨迹跟踪参考模型轨迹；

5）根据Lyapunov函数理论设计自适应控制算法，确保系统渐进稳定。

前述的步骤1）中无量纲非线性运动矢量方程通过如下步骤完成：

1-1）考虑到制造误差和非线性弹簧效应的存在，实际微陀螺仪的非线性数学模型可简化近似为：

$m{\stackrel{\·\·}{x}}^{*}+d_{\mathrm{xx}}{\stackrel{\·}{x}}^{*}+(d_{\mathrm{xy}}-2m{{\mathrm{\Ω}}_z}^{*}){\stackrel{\·}{y}}^{*}(k_{\mathrm{xx}}-m{\mathrm{\Ω}}_z^{*2})x^{*}+k_{\mathrm{xy}}{y}^{*}+k_{x^3}{x}^{*3}={u_x}^{*}$ $\left(1\right)$

$m{\stackrel{\·\·}{y}}^{*}+d_{\mathrm{yy}}{\stackrel{\·}{y}}^{*}+(d_{\mathrm{xy}}+2m{{\mathrm{\Ω}}_z}^{*}){\stackrel{\·}{x}}^{*}+(k_{\mathrm{yy}}-m{\mathrm{\Ω}}_z^{*2})y^{*}+k_{\mathrm{xy}}{x}^{*}+k_{y^3}{y}^{*3}={u_y}^{*}$

其中m是质量块质量，x^*,y^*是质量块在旋转坐标系中状态变量，d_xx,d_yy是两轴阻尼系数，k_xx,k_yy是两轴弹簧系数，是两轴非线性弹簧系数，d_xy是耦合阻尼系数，k_xy是耦合弹簧系数，u_x ^*,u_y ^*是两轴的控制输入，Ω_z ^*是z轴的输入角速度；

1-2）设非量纲时间t^*＝ω₀t，将所述方程（1）两边同除以两轴固有频率ω₀的平方ω₀ ²、参考长度q₀和质量块质量m，得到微陀螺仪的无量纲非线性运动微分方程为：

${\stackrel{\·\·}{q}}_m=(2S-D){\stackrel{\·}{q}}_m+({\mathrm{\Ω}}_z^2-K_1)q_m-K_3{q_m}^3+u_m---\left(2\right)$

其中 $q_m=\frac{q^{*}}{q_0}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 为微分方程的状态变量， $q^{*}=\left[\begin{array}{c}{x}^{*}\\ y^{*}\end{array}\right],$ $u_m=\frac{u^{*}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0}=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$ 为微分方程的输入， $u^{*}=\left[\begin{array}{c}{u_x}^{*}\\ {u_y}^{*}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\Ω}}_z=\frac{{{\mathrm{\Ω}}_z}^{*}}{{\mathrm{\ω}}_0},$ $S=\left[\begin{array}{cc}0& {\mathrm{\Ω}}_z\\ -{\mathrm{\Ω}}_z& 0\end{array}\right],$ $D=\frac{D^{*}}{m{\mathrm{\ω}}_0},$ $D^{*}=\left[\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right],$ $K_1=\left[\begin{array}{cc}{w_x}^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& {w_y}^2\end{array}\right],$ ${w_x}^2=\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},$ ${w_y}^2=\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},$ $w_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},$ $K_3=\left[\begin{array}{cc}{k_{x^3}}^{*}& 0\\ 0& {k_{y^3}}^{*}\end{array}\right],$ ${k_{x^3}}^{*}=\frac{k_{x^3}{q}_0^2}{m{\mathrm{\ω}}_0^2},$ ${k_{y^3}}^{*}=\frac{k_{y^3}{q}_0^2}{m{\mathrm{\ω}}_0^2}.$

前述的步骤2）中微陀螺仪全局不确定系统状态方程通过如下步骤完成：

2-1）在微陀螺仪无量纲非线性运动微分方程（2）的基础上，建立其T-S模糊模型，所述模型由9条IF-THEN规则组成，规则形式如下：

$\mathrm{Rulei}:\mathrm{IFxisabout}{M}_{i1}\mathrm{andyisabout}{M}_{i2}\mathrm{and}\stackrel{\·}{x}\mathrm{isabout}{M}_{i3}\stackrel{\·}{y}\mathrm{isabout}{M}_{i4}$

$\mathrm{THEN}\stackrel{\·}{q}\left(t\right)=(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i\left(t\right))q\left(t\right)+B_{i}u\left(t\right)+H_i\mathrm{dis}\left(t\right),i=\mathrm{1,2},\·\·\·,9$

2-2）通过单点模糊化、乘积推理和中心平均加权反模糊化得到微陀螺仪全局不确定系统状态方程

$\stackrel{\·}{q}\left(t\right)=\mathrm{Aq}\left(t\right)+\mathrm{\ΔAq}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+\mathrm{Hdis}\left(t\right)---\left(3\right)$

其中， $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],$ $\mathrm{\ΔA}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{a}_{11}& {\mathrm{\Δa}}_{12}& \mathrm{\Δ}{a}_{13}& \mathrm{\Δ}{a}_{14}\\ \mathrm{\Δ}{a}_{21}& \mathrm{\Δ}{a}_{22}& \mathrm{\Δ}{a}_{23}& \mathrm{\Δ}{a}_{24}\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],$

$B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],H=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],q=[\stackrel{\·}{x};\stackrel{\·}{y};x;y]$ 为状态方程的状态变量，u＝[u_x;u_y]为状态方程的输入，dis(t)＝[dis_x;dis_y]，ΔA是参数不确定项，dis(t)是外界干扰。

前述的步骤3）中满足如下条件：

3-1）连续条件：dis是连续函数；

3-2）匹配条件：存在函数G满足H＝BG；

3-3）有界条件：存在正常数c₀满足‖f‖＝‖Gdis‖≤c₀,f＝Gdis，c₀为干扰上界；

3-4）可控条件：设A为稳定矩阵，如果A不是稳定矩阵，则在控制器中加入状态反馈控制项u₁＝-K₁x，K₁使A₁＝A-BK₁稳定，如果A可控，控制器中无需加入状态反馈控制项。

前述的步骤4）中的控制器设计如下：

4-1）根据匹配条件和有界条件，全局不确定系统状态方程式（3）可写为：

$\stackrel{\·}{q}\left(t\right)=\mathrm{Aq}\left(t\right)+\mathrm{\ΔAq}\left(t\right)+B(u\left(t\right)+f)---\left(4\right)$

其中，f＝Gdis

4-2）微陀螺仪的控制目标是让质量块在X轴和Y轴以给定的幅值和频率振动，设计参考模型为：

${\stackrel{\·}{q}}_r=A_r{q}_r---\left(5\right)$

其中

$A_r=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -{\mathrm{\ω}}_x^2& 0\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{\ω}}_y^2\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],q_r=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_r\\ {\stackrel{\·}{y}}_r\\ x_r\\ y_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_x{\mathrm{\ω}}_x\cos \left({\mathrm{\ω}}_{x}t\right)\\ A_y{\mathrm{\ω}}_y\cos \left({\mathrm{\ω}}_{y}t\right)\\ A_x\sin \left({\mathrm{\ω}}_{x}t\right)\\ A_y\sin \left({\mathrm{\ω}}_{y}t\right)\end{array}\right]$

q_r为参考轨迹；A_x和A_y分别为两轴的振动幅值，ω_x和ω_y分别为两轴的振动频率；

4-3）设计控制器，由等效控制器，鲁棒控制器和切换控制器3部分组成，输出φ为

φ＝u_eq+u_s+u_n+f          （6）

其中u_eq为等效控制器的输出，u_s为鲁棒控制器的输出，u_n为切换控制器的输出

$u_{\mathrm{eq}}={\left(\mathrm{CB}\right)}^{-1}({\mathrm{CA}}_r{q}_r\left(t\right)-\mathrm{CAq}\left(t\right)-\mathrm{C\Δ}\hat{A}q\left(t\right)),u_s=-{\left(\mathrm{CB}\right)}^{-1}\mathrm{Ks},u_n=-\frac{B^T{C}^{T}s}{\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|}{\hat{c}}_0;$

s为滑模函数，s＝Ce，C为滑模系数，

e为跟踪误差函数，e＝q-q_r

为参数不确定项的估计值，为干扰上界的估计值

K为正定对称矩阵，

将控制器的输出φ作为微陀螺仪的控制输入u。

前述的步骤5）中，

Lyapunov函数V为： $V=\frac{s^{T}s}{2}+\frac{{{\tilde{c}}_0}^2}{{2r}_1}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1\mathrm{\Δ}{{\tilde{a}}_1}^T}{{2r}_2}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2\mathrm{\Δ}{{\tilde{a}}_2}^T}{{2r}_3}$

参数不确定项的自适应律为： $\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\hat{a}}}_1}^T=\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_1}^T=r_{2}q{s}^T{\mathrm{CP}}_1,$

$\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\hat{a}}}_2}^T=\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_2}^T=r_{3}q{s}^T{\mathrm{CP}}_2,$

其中r₂,r₃是自适应参数，为干扰上界的估计误差，

为参数不确定项的估计误差， $\mathrm{\Δ}\tilde{A}=\mathrm{\Δ}\hat{A}-\mathrm{\ΔA},$ $\mathrm{\Δ}\tilde{A}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1& \mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2& 0& 0\end{array}\right]$

$P_1={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T,P_2={\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\end{array}\right]}^T;$

干扰上界的自适应律为：其中r1是自适应参数。

上述技术方案可以看出本发明的有益之处在于：本发明能够在微陀螺仪T-S模糊模型存在参数不确定项和干扰的情况下，对微陀螺仪的非线性被控对象进行精确的轨迹追踪控制，并能保证轨迹控制误差和参数估计误差全局渐进稳定，自适应滑模控制可提高系统对参数变化的鲁棒性并补偿制造误差，控制方案同时作用于非线性模型，验证了控制方案在非线性模型上的有效性。

附图说明

图1为本发明微陀螺仪简化模型结构图；

图2为本发明基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制系统的原理图；

图3为本发明具体实例中滑模函数s的时域响应曲线图；

图4为本发明具体实例中基于T-S模型建立的全局不确定系统模型的状态轨迹跟踪误差e_TS的时域响应曲线图；

图5为本发明具体实例中非线性运动微分模型的状态轨迹跟踪误差e_NON的时域响应曲线图；

图6为本发明具体实例中参数不确定项ΔA时域响应曲线图；

图7为本发明具体实例中干扰上界c₀的时域响应曲线图；

图8为本发明具体实例中控制器的输出φ的时域响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式详细说明本发明，

基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法，包括以下步骤

一、建立微陀螺仪的无量纲非线性运动微分方程

微振动陀螺仪一般包含三个组成部分：被弹性材料所支撑的质量块，静电驱动装置和感测装置。静电驱动电路主要功能是驱动和维持微振动陀螺仪振动时幅值的恒定；感测电路用来感知质量块的位置和速度。微陀螺仪可以看成一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振动系统。图1显示了在笛卡尔坐标系下简化的微振动陀螺仪模型，Z轴微陀螺仪，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿Z轴运动。实际的质量块弹簧有阻尼振动系统会存在非线性弹簧效应。由于微陀螺仪制造缺陷和加工误差的存在，会造成x轴和y轴的刚度动态耦合和阻尼动态耦合。考虑到制造误差和非线性弹簧效应的存在，实际微陀螺仪的非线性数学模型可简化近似为：

$m{\stackrel{\·\·}{x}}^{*}+d_{\mathrm{xx}}{\stackrel{\·}{x}}^{*}+(d_{\mathrm{xy}}-2m{{\mathrm{\Ω}}_z}^{*}){\stackrel{\·}{y}}^{*}+(k_{\mathrm{xx}}-m{\mathrm{\Ω}}_z^{*2})x^{*}+k_{\mathrm{xy}}{y}^{*}+k_{x^3}{x}^{*3}={u_x}^{*}$ $\left(1\right)$

$m{\stackrel{\·\·}{y}}^{*}+d_{\mathrm{yy}}{\stackrel{\·}{y}}^{*}+(d_{\mathrm{xy}}+2m{{\mathrm{\Ω}}_z}^{*}){\stackrel{\·}{x}}^{*}+(k_{\mathrm{yy}}-m{\mathrm{\Ω}}_z^{*2})y^{*}+k_{\mathrm{xy}}{x}^{*}+k_{y^3}{y}^{*3}={u_y}^{*}$

其中m是质量块质量，x^*,y^*是质量块在旋转坐标系中的坐标，d_xx,d_yy是两轴阻尼系数，k_xx,k_yy是两轴弹簧系数，是两轴非线性弹簧系数，d_xy是耦合阻尼系数，k_xy是耦合弹簧系数，u_x ^*,u_y ^*是两轴的控制输入，Ω_z ^*是Z轴的输入角速度。

微振动陀螺仪两轴的固有频率范围一般在KHz范围，而输入角速度可能只在几度每小时到几度每秒的范围内，两者存在大的时间量级区别，不易实现数值仿真。为了解决以上问题，对模型进行非量纲化处理。由于质量块的位移范围在亚毫米范围内，故合理的参考长度可取1μm；微陀螺仪的两轴的固有频率一般在千赫兹范围内，故参考频率可取1KHz。，设非量纲时间t^*＝ω₀t，方程（1）两边同除以两轴共振频率的平方ω₀ ²、参考长度q₀和质量块质量m，得到微陀螺仪的无量纲非线性运动方程的微分形式：

${\stackrel{\·\·}{q}}_m=(2S-D){\stackrel{\·}{q}}_m+({\mathrm{\Ω}}_z^2-K_1)q_m-K_3{q_m}^3+u_m---\left(2\right)$

其中 $q_m=\frac{q^{*}}{q_0}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 为微分方程的状态变量， ${\stackrel{\·}{q}}_m=\frac{q^{*}}{{\mathrm{\ω}}_0{q}_0}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\\ \stackrel{\·}{y}\end{array}\right],$ ${\stackrel{\·\·}{q}}_m=\frac{q^{*}}{{\mathrm{\ω}}_0^2{q}_0}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}\\ \stackrel{\·\·}{y}\end{array}\right],$ $q^{*}=\left[\begin{array}{c}{x}^{*}\\ y^{*}\end{array}\right],$ $u_m=\frac{u^{*}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2{q}_0}=\left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\end{array}\right]$ 为微分方程的输入， $u^{*}=\left[\begin{array}{c}{u_x}^{*}\\ {u_y}^{*}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\Ω}}_z=\frac{{{\mathrm{\Ω}}_z}^{*}}{{\mathrm{\ω}}_0},$ $S=\left[\begin{array}{cc}0& {\mathrm{\Ω}}_z\\ -{\mathrm{\Ω}}_z& 0\end{array}\right],$ $D=\frac{D^{*}}{m{\mathrm{\ω}}_0},$ $D^{*}=\left[\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{xx}}& d_{\mathrm{xy}}\\ d_{\mathrm{xy}}& d_{\mathrm{yy}}\end{array}\right],$ $K_1=\left[\begin{array}{cc}{w_x}^2& w_{\mathrm{xy}}\\ w_{\mathrm{xy}}& {w_y}^2\end{array}\right],$ ${w_x}^2=\frac{k_{\mathrm{xx}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},$ ${w_y}^2=\frac{k_{\mathrm{yy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},$ $w_{\mathrm{xy}}=\frac{k_{\mathrm{xy}}}{m{{\mathrm{\ω}}_0}^2},$ $K_3=\left[\begin{array}{cc}{k_{x^3}}^{*}& 0\\ 0& {k_{y^3}}^{*}\end{array}\right],$ ${k_{x^3}}^{*}=\frac{k_{x^3}{q}_0^2}{m{\mathrm{\ω}}_0^2},$ ${k_{y^3}}^{*}=\frac{k_{y^3}{q}_0^2}{m{\mathrm{\ω}}_0^2}.$

二、基于微陀螺仪TS模型，建立微陀螺仪全局不确定系统状态方程

在微陀螺仪无量纲非线性运动微分方程（2）的基础上，建立其T-S模糊模型。该模型由9条IF-THEN规则组成，规则形式如下：

$\mathrm{Rulei}:\mathrm{IFxisabout}{M}_{i1}\mathrm{andyisabout}{M}_{i2}\mathrm{and}\stackrel{\·}{x}\mathrm{isabout}{M}_{i3}\stackrel{\·}{y}\mathrm{isabout}{M}_{i4}$

$\mathrm{THEN}\stackrel{\·}{q}\left(t\right)=(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i\left(t\right))q\left(t\right)+B_{i}u\left(t\right)+H_i\mathrm{dis}\left(t\right),i=\mathrm{1,2},\·\·\·,9$

通过单点模糊化、乘积推理和中心平均加权反模糊化得到微陀螺仪全局不确定系统状态方程

$\stackrel{\·}{q}\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i[(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)q\left(t\right)+B_{i}u\left(t\right)+H_i\mathrm{dis}\left(t\right)]$

$={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i{A}_{i}q\left(t\right)+{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i\mathrm{\Δ}{A}_{i}q\left(t\right)+{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i{B}_{i}u\left(t\right)+{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i{H}_i\mathrm{dis}\left(t\right)---\left(3\right)$

$=\mathrm{Aq}\left(t\right)+\mathrm{\ΔAq}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+\mathrm{Hdis}\left(t\right)$

其中 $A_i=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}^i& a_{12}^i& a_{13}^i& a_{14}^i\\ a_{21}^i& a_{22}^i& a_{23}^i& a_{24}^i\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],$ $A={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i{A}_i=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],$

$\mathrm{\Δ}{A}_i=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{a}_{11}^i& \mathrm{\Δ}{a}_{12}^i& {\mathrm{\Δa}}_{13}^i& \mathrm{\Δ}{a}_{14}^i\\ \mathrm{\Δ}{a}_{21}^i& {\mathrm{\Δa}}_{22}^i& \mathrm{\Δ}{a}_{23}^i& {\mathrm{\Δa}}_{24}^i\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],$ $\mathrm{\ΔA}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i{\mathrm{\ΔA}}_i=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{a}_{11}& \mathrm{\Δ}{a}_{12}& \mathrm{\Δ}{a}_{13}& \mathrm{\Δ}{a}_{14}\\ \mathrm{\Δ}{a}_{21}& {\mathrm{\Δa}}_{22}& {\mathrm{\Δa}}_{23}& \mathrm{\Δ}{a}_{24}\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$

$B_i=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],B={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i{B}_i=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],$ $H_i=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],H={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^9{\mathrm{\μ}}_i{H}_i=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],$

为状态方程的状态变量，u＝[u_x;u_y]状态方程的输入，

dis(t)＝[dis_x;dis_y]， ${\mathrm{\μ}}_i=\frac{{\mathrm{\η}}_i}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^4{\mathrm{\η}}_i},$ ${\mathrm{\η}}_i=M_{i1}\left(x\right)M_{i2}\left(y\right)M_{i3}\left(\stackrel{\·}{x}\right)M_{i4}\left(\stackrel{\·}{y}\right),$ M_i1(x)、M_i2(y)、和分别是状态变量x、y、和关于模糊集合M_i1、M_i2、M_i3和M_i4的隶属度函数，ΔA_i(t)是参数不确定项，dis(t)是外界干扰。

三、判断微陀螺仪全局不确定系统模型是否满足连续、匹配、有界和可控条件

3-1）连续条件：dis是连续函数；

3-2）匹配条件：存在函数G满足H＝BG；

3-3）有界条件：存在正常数c₀满足‖f‖＝‖Gdis‖≤c₀,f＝Gdis，c₀为外界干扰上界；

3-4）可控条件：设A为稳定矩阵，如果A不是稳定矩阵，则在控制器中加入状态反馈控制项u₁＝-K₁x，K₁使A₁＝A-BK₁稳定。

其中， $\mathrm{dis}\left(t\right)=[{\mathrm{dis}}_x;{\mathrm{dis}}_y]=\left[\begin{array}{cc}10\sin 2\mathrm{\πt}& 10\sin 2\mathrm{\πt}\end{array}\right]$ 是连续函数；根据H和B，存在 $G=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right];$ f＝Gdis满足有界条件；如果A可控，控制器中无需加入状态反馈控制项。

四、基于不确定系统变结构控制理论设计控制器，使全局不确定系统模型轨迹跟踪参考模型轨迹，具体过程为

4-1）根据匹配条件和有界条件，全局不确定系统状态方程式（3）可以写为：

$\stackrel{\·}{q}\left(t\right)=\mathrm{Aq}\left(t\right)+\mathrm{\ΔAq}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+\mathrm{Hdis}\left(t\right)$

$=\mathrm{Aq}\left(t\right)+\mathrm{\ΔAq}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+\mathrm{BGdis}\left(t\right)---\left(4\right)$

$=\mathrm{Aq}\left(t\right)+\mathrm{\ΔAq}\left(t\right)+B(u\left(t\right)+f)$

4-2）微陀螺仪的控制目标是让质量块在X轴和Y轴以给定的幅值和频率振动，设计参考模型，让微陀螺仪全局不确定系统状态轨迹跟踪参考模型轨迹，定义参考模型为：

${\stackrel{\·}{q}}_r=A_r{q}_r---\left(5\right)$

其中

$A_r=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -{\mathrm{\ω}}_x^2& 0\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{\ω}}_y^2\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],{\stackrel{\·}{q}}_r=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_r\\ {\stackrel{\·\·}{y}}_r\\ {\stackrel{\·}{x}}_r\\ {\stackrel{\·}{y}}_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_x{\mathrm{\ω}}_x^2\sin \left({\mathrm{\ω}}_{x}t\right)\\ A_y{\mathrm{\ω}}_y^2\sin \left({\mathrm{\ω}}_{y}t\right)\\ A_x{\mathrm{\ω}}_x\cos \left({\mathrm{\ω}}_{x}t\right)\\ A_y{\mathrm{\ω}}_y\cos \left({\mathrm{\ω}}_{y}t\right)\end{array}\right],q_r=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_r\\ {\stackrel{\·}{y}}_r\\ x_r\\ y_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_x{\mathrm{\ω}}_x\cos \left({\mathrm{\ω}}_{x}t\right)\\ A_y{\mathrm{\ω}}_y\cos \left({\mathrm{\ω}}_{y}t\right)\\ A_x\sin \left({\mathrm{\ω}}_{x}t\right)\\ A_y\sin \left({\mathrm{\ω}}_{y}t\right)\end{array}\right].$

其中，q_r为参考轨迹；A_x和A_y分别为两轴的振动幅值，ω_x和ω_y分别为两轴的振动频率；

4-3）由于干扰上界未知，定义干扰上界c₀的估计值为 干扰上界的估计误差为， ${\tilde{c}}_0={\hat{c}}_0-c_0;$

4-4）由于参数不确定项未知，定义参数不确定项ΔA的估计值为 参数不确定项的估计误差为 $\mathrm{\Δ}\tilde{A}=\mathrm{\Δ}\hat{A}-\mathrm{\ΔA},$ 其中， $\mathrm{\Δ}\tilde{A}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1& \mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2& 0& 0\end{array}\right],$ 估计误差第一行 $\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1=\mathrm{\Δ}{\hat{a}}_1-\mathrm{\Δ}{a}_1,\mathrm{\Δ}{\hat{a}}_1=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{11}& \mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{12}& \mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{13}& \mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{14}\end{array}\right],$

$\mathrm{\Δ}{a}_1=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{a}_{11}& \mathrm{\Δ}{a}_{12}& \mathrm{\Δ}{a}_{13}& \mathrm{\Δ}{a}_{14}\end{array}\right],$ 估计误差第二行 $\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2=\mathrm{\Δ}{\hat{a}}_2-\mathrm{\Δ}{a}_2,$

$\mathrm{\Δ}{\hat{a}}_2=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{21}& \mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{22}& \mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{23}& \mathrm{\Δ}{\hat{a}}_{24}\end{array}\right],$ $\mathrm{\Δ}{a}_2=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{a}_{21}& \mathrm{\Δ}{a}_{22}& \mathrm{\Δ}{a}_{23}& \mathrm{\Δ}{a}_{24}\end{array}\right];$

4-5）设计控制器，控制器由等效控制器，鲁棒控制器和切换控制器3部分组成，控制器的输出φ为，

φ＝u_eq+u_s+u_n+f          （6）

其中

等效控制器 $u_{\mathrm{eq}}={\left(\mathrm{CB}\right)}^{-1}({\mathrm{CA}}_r{q}_r\left(t\right)-\mathrm{CAq}\left(t\right)-\mathrm{C\Δ}\hat{A}q\left(t\right)),$ 鲁棒控制器

$u_s=-{\left(\mathrm{CB}\right)}^{-1}\mathrm{Ks},$ 切换控制器 $u_n=-\frac{B^T{C}^{T}s}{\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|}{\hat{c}}_0$

s为滑模函数，s＝Ce，C为滑模系数

e为跟踪误差函数，e＝q-q_r

K为正定对称矩阵，

将控制器的输出φ作为微陀螺仪的控制输入u；

4-6）对跟踪误差函数e求导得

$\stackrel{\·}{e}=\stackrel{\·}{q}-{\stackrel{\·}{q}}_r=\mathrm{Aq}\left(t\right)+\mathrm{\ΔAq}\left(t\right)+B(u\left(t\right)+f)-A_r{q}_r\left(t\right)---\left(7\right)$

对滑模函数s求导，并将控制器的输出φ作为微陀螺仪的控制输入u代入式（7）得到

$\stackrel{\·}{s}=\mathrm{CAq}\left(t\right)+\mathrm{C\ΔAq}\left(t\right)+\mathrm{CB\φ}-C{A}_r{q}_r\left(t\right)---\left(8\right)$

对式（8）进行整理，得到

$\stackrel{\·}{s}=\mathrm{CAq}\left(t\right)+\mathrm{C\ΔAq}\left(t\right)+\mathrm{CB}({\left(\mathrm{CB}\right)}^{-1}({\mathrm{CA}}_r{q}_r\left(t\right)-\mathrm{CAq}\left(t\right)-\mathrm{C\Δ}\hat{A}q\left(t\right))-{\left(\mathrm{CB}\right)}^{-1}\mathrm{Ks}-\frac{B^T{C}^{T}s}{\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|}{\hat{c}}_0+f)-{\mathrm{CA}}_r{q}_r\left(t\right)$ $\left(9\right)$

$=\mathrm{CAq}\left(t\right)+\mathrm{C\ΔAq}\left(t\right)+{\mathrm{CA}}_r{q}_r\left(t\right)-\mathrm{CAq}\left(t\right)-\mathrm{C\Δ}\hat{A}q\left(t\right)-\mathrm{Ks}-\mathrm{CB}\frac{B^T{C}^{T}s}{\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|}{\hat{c}}_0+\mathrm{CBf}-{\mathrm{CA}}_r{q}_r\left(t\right)$

$=\mathrm{C\ΔAq}\left(t\right)-\mathrm{C\Δ}\hat{A}q\left(t\right)-\mathrm{Ks}-\mathrm{CB}\frac{B^T{C}^{T}s}{\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|}{\hat{c}}_0+\mathrm{CBf}$

$=-\mathrm{C\Δ}\hat{A}q\left(t\right)-\mathrm{Ks}-\mathrm{CB}\frac{B^T{C}^{T}s}{\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|}{\hat{c}}_0+\mathrm{CBf}$

五、根据Lyapunov函数理论设计自适应控制算法，确保系统渐进稳定

本发明的控制目标是使滑模函数s、干扰上界的估计误差和参数不确定项的估计误差渐进稳定；具体步骤为

5-1）根据控制目标，定义Lyapunov函数V为：

$V=\frac{s^{T}s}{2}+\frac{{{\tilde{c}}_0}^2}{{2r}_1}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1\mathrm{\Δ}{{\tilde{a}}_1}^T}{{2r}_2}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2\mathrm{\Δ}{{\tilde{a}}_2}^T}{{2r}_3}---\left(10\right)$

5-2）对Lyapunov函数V求导，得到

$\stackrel{\·}{V}=s^T\stackrel{\·}{s}+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_1}^T}{r_2}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_2}^T}{r_3}---\left(11\right)$

把式（8）求得的代入，得到

$\stackrel{\·}{V}=s^T(\mathrm{CAq}+\mathrm{C\ΔAq}+\mathrm{CB\φ}-{\mathrm{CA}}_r{q}_r)+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_1}^T}{r_2}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_2}^T}{r_3}$

把式（9）代入上式，得到

$\stackrel{\·}{V}=-s^T\mathrm{C\Δ}\tilde{A}q-s^T\mathrm{Ks}-\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|{\hat{c}}_0+s^T\mathrm{CBf}+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_1}^T}{r_2}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_2}^T}{r_3}$

$=-s^{T}C\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1& \mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2& 0& 0\end{array}\right]q-s^T\mathrm{Ks}-\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|{\hat{c}}_0+s^T\mathrm{CBf}+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_1}^T}{r_2}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_2}^T}{r_3}$

$=-s^{T}C{P}_1\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_{1}q-s^{T}C{P}_2\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_{2}q-s^T\mathrm{Ks}-\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|{\hat{c}}_0+s^T\mathrm{CBf}+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_1\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_1}^T}{r_2}+\frac{\mathrm{\Δ}{\tilde{a}}_2\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_2}^T}{r_3}$

设计参数不确定项的自适应律为

$\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\hat{a}}}_1}^T=\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_1}^T=r_{2}q{s}^{T}C{P}_1,\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\hat{a}}}_2}^T=\mathrm{\Δ}{{\stackrel{\·}{\tilde{a}}}_2}^T=r_{3}q{s}^{T}C{P}_2,$

其中r₂,r₃是自适应参数， $P_1={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T,P_2={\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\end{array}\right]}^T;$

5-3）将上述参数不确定项的自适应律带入，继续化简得到

$\stackrel{\·}{V}=-s^T\mathrm{Ks}-\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|{\hat{c}}_0+s^T\mathrm{CBf}+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0$

$\≤-s^T\mathrm{Ks}-\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|{\hat{c}}_0+\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|\left|\right|f\left|\right|+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0$

$\≤-s^T\mathrm{Ks}-\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|({\hat{c}}_0-c_0)+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0$

$=-s^T\mathrm{Ks}-\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|{\tilde{c}}_0+\frac{1}{r_1}{\tilde{c}}_0{\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0$

设计干扰上界的自适应律为

${\stackrel{\·}{\hat{c}}}_0={\stackrel{\·}{\tilde{c}}}_0=r_1\left|\right|B^T{C}^{T}s\left|\right|,$ 其中r₁是自适应参数；

最终根据Lyapunov稳定性理论，滑模函数，干扰上界的估计误差和参数不确定项的估计误差均渐进稳定。

六、对本发明的微陀螺仪进行仿真

在实例仿真中，微陀螺仪参数如下选择：

m＝0.57e-8kg,ω₀＝1kHz,q₀＝10e-6m,d_xx＝0.429e-6Ns/m，

d_yy＝0.0429e-6Ns/m，d_xy＝0.0429e-6Ns/m，k_xx＝80.98N/m，

$k_{\mathrm{yy}}=71.62N/m,k_{\mathrm{xy}}=5N/m,k_{x^3}=3.56e6N/m,k_{y^3}=3.56e6N/m,$

Ω_z＝5.0rad/s，x_r＝A_xsin(ω_xt)，y_r＝A_ysin(ω_yt)，A_x＝1，A_y＝1.2,

ω_x＝6.71KHz,ω_y＝5.11KHz,dis_x＝10sin(2πt),dis_y＝10sin(2πt)

滑模函数s、基于T-S模型的状态轨迹跟踪误差函数e_TS和非线性运动微分方程的状态轨迹跟踪误差函数e_NON的时域变化曲线分别如图3、图4和图5所示，上图为X轴时域变化曲线，下图为Y轴时域变化曲线，结果表明，基于本发明T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法能使滑模函数s和T-S模型轨迹跟踪误差函数e_TS很快地收敛到零，整个控制系统渐进稳定，控制方案作用于非线性模型，非线性运动微分方程的状态轨迹跟踪误差函数e_NON快速地收敛到零，验证了控制方案在非线性模型上的有效性。图6和图7分别为参数不确定项ΔA和干扰上界c₀的时域变化曲线，结果表明参数不确定项和干扰上界能够渐进收敛于稳定，调节时间短。将控制器的输出φ作为控制输入，时域响应图如图8所示，上图为X轴的控制输入，下图为Y轴的控制输入，显示几乎没振荡。

具体实例的仿真结果表明，本发明的基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法，能在干扰和参数不确定项存在的情况下对微陀螺仪非线性模型进行有效的控制，对参数进行有效的估计。

Claims (1)

1.基于T-S模糊模型的微陀螺仪滑模自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤

1)建立微陀螺仪的无量纲非线性运动微分方程；所述无量纲非线性运动微分方程通过如下步骤完成：

1-1)考虑到制造误差和非线性弹簧效应的存在，实际微陀螺仪的非线性数学模型可简化近似为：

其中m是质量块质量，x^*,y^*是质量块在旋转坐标系中状态变量，d_xx,d_yy是两轴阻尼系数，k_xx,k_yy是两轴弹簧系数，是两轴非线性弹簧系数，d_xy是耦合阻尼系数，k_xy是耦合弹簧系数，u_x ^*,u_y ^*是两轴的控制输入，Ω_z ^*是z轴的输入角速度；

1-2)设非量纲时间t^*＝ω₀t，将所述方程(1)两边同除以两轴固有频率ω₀的平方ω₀ ²、参考长度q₀和质量块质量m，得到微陀螺仪的无量纲非线性运动微分方程为：

其中为微分方程的状态变量，为微分方程的输入，t为时间，

2)基于微陀螺仪T-S模型，建立微陀螺仪全局不确定系统状态方程；所述微陀螺仪全局不确定系统状态方程通过如下步骤完成：

2-1)在微陀螺仪无量纲非线性运动微分方程(2)的基础上，建立其T-S模糊模型，所述模型由9条IF-THEN规则组成，规则形式如下：

规则i：如果x是M_i1并且y是M_i2并且是M_i3并且是M_i4，

则

其中，M_i1、M_i2、M_i3和M_i4为模糊集合，ΔA_i(t)是参数不确定项，

2-2)通过单点模糊化、乘积推理和中心平均加权反模糊化得到微陀螺仪全局不确定系统状态方程

其中， 为状态方程的状态变量，u(t)＝[u_x；u_y]为状态方程的输入，dis(t)＝[dis_x；dis_y]，ΔA是参数不确定项，dis(t)是外界干扰；

3)判断微陀螺仪全局不确定系统模型是否满足连续，匹配，可控和有界条件；所述条件如下：

3-1)连续条件：dis(t)是连续函数；

3-2)匹配条件：存在函数G满足H＝BG；

3-3)有界条件：存在正常数c₀满足||f||＝||Gdis(t)||≤c₀,f＝Gdis(t),c₀为干扰上界；

3-4)可控条件：设A为稳定矩阵，如果A不是稳定矩阵，则在控制器中加入状态反馈控制项u₁＝-K₁x，K₁使A₁＝A-BK₁稳定，如果A可控，控制器中无需加入状态反馈控制项;

4)基于不确定系统变结构控制理论设计控制器，使全局不确定系统模型轨迹跟踪参考模型轨迹；所述控制器设计如下：

4-1)根据匹配条件和有界条件，全局不确定系统状态方程式(3)可写为：

其中，f＝Gdis(t)

4-2)微陀螺仪的控制目标是让质量块在X轴和Y轴以给定的幅值和频率振动，设计参考模型为：

其中，

q_r为参考轨迹；A_x和A_y分别为两轴的振动幅值，ω_x和ω_y分别为两轴的振动频率；

4-3)设计控制器，由等效控制器，鲁棒控制器和切换控制器3部分组成，输出φ为

φ＝u_eq+u_s+u_n+f  (6) 

其中u_eq为等效控制器的输出，u_s为鲁棒控制器的输出，u_n为切换控制器的输出

s为滑模函数，s＝Ce，C为滑模系数，

e为跟踪误差函数，e＝q-q_r

为参数不确定项的估计值，为干扰上界的估计值

K为正定对称矩阵，

将控制器的输出φ作为微陀螺仪的控制输入u；

5)根据Lyapunov函数理论设计自适应控制算法，确保系统渐进稳定；

所述Lyapunov函数V为：

参数不确定项的自适应律为：

其中r₂,r₃是自适应参数，为干扰上界的估计误差， 为参数不确定项的估计误差，P₁＝[1 0 0 0]^T，P₂＝[0 1 0 0]^T，为参数不确定项的估计误差的导数，为参数不确定项的 估计误差的导数；

干扰上界的自适应律为：其中r₁是自适应参数，为干扰上界的估计误差的导数。