CN109421042B - 柔性铰空间站机械臂的鲁棒自适应滑模控制方法 - Google Patents

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CN109421042B CN201710726721.4A CN201710726721A CN109421042B CN 109421042 B CN109421042 B CN 109421042B CN 201710726721 A CN201710726721 A CN 201710726721A CN 109421042 B CN109421042 B CN 109421042B
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Abstract

本发明公开了柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制方法。本发明首先由拉格朗日第二类方法并结合系统动量、动量矩守恒关系，分析、建立了柔性铰空间站机械臂系统载体位置、姿态均不受控的系统动力学模型；而后，针对空间站机械臂实际应用中各关节铰具有较强柔性的实际情况，引入了关节柔性补偿控制器并结合奇异摄动理论的双时间刻度分解，导出了适用于控制系统设计的奇异摄动数学模型。进而，利用该模型，将柔性铰空间站机械臂系统分解成两个独立的快慢变子系统，针对慢变子系统设计鲁棒自适应滑模控制，针对快变子系统设计了力矩微分反馈控制器。以达到既消除柔性铰柔性给空间站机械臂的定位精度、稳定性带来的负面影响又能够有效地克服传统滑模控制的抖振问题的控制目标。

Description

柔性铰空间站机械臂的鲁棒自适应滑模控制方法
技术领域
本发明属于空间站机械臂控制技术领域。具体涉及一种柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制方法。
背景技术
空间站机械臂主要工作于微重力的太空环境中，并能较好地协助(或替代)宇航员完成各种极具危险的空间作业任务，已成为人类深空探索的重要载体工具。目前世界各国均在空间站机械臂的研究上投入了大量的人力、物力和财力，并因此取得了不少的科研成果。不过纵观上述研究成果，我们不难发现：其中的绝大部分工作均局限于刚性关节空间机器人的研究，而对于柔性关节空间站机械臂的研究较少。空间站机械臂的柔性化趋势除了臂杆柔性外，关节铰的柔性也是机械臂控制系统研究中重要的课题之一。与传统刚性空间站机械臂相比，关节柔性的空间站机械臂的控制难点在于其机械臂各关节铰的驱动器输出转角与机械臂实际的转角因关节柔性而表现出来的不同步性。这相当于在驱动装置和被驱动装置中设置了力矩滤波器，严重降低了机器人系统的带宽，成为机器人性能的瓶颈。研究和实践也表明，关节柔性已给空间站机械臂的定位精度、稳定性带来负面的影响。因此控制器的设计需要考虑关节柔性的影响。
有关具有柔性铰的机器人控制方法在相关专利CN102566417和CN102591207中已披露。但是这些控制方法，多仅涉及地面固定基座的柔性关节机器人的控制方法，而对载体空间站基座漂浮情况下的的柔性铰空间站机械臂控制方法，则是现有控制技术中有待解决的问题。
发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制方法，以达到既消除柔性铰柔性给空间站机械臂的定位精度、稳定性带来的负面影响又能够有效地克服传统滑模控制的抖振问题的控制目标。
本发明的技术解决方案的原理是：首先，由拉格朗日第二类方法并结合系统动量、动量矩守恒关系，分析、建立了柔性铰空间站机械臂系统载体位置、姿态均不受控的系统动力学模型；而后，针对空间站机械臂实际应用中各关节铰具有较强柔性的实际情况，引入了关节柔性补偿控制器并结合奇异摄动理论的双时间刻度分解，导出了适用于控制系统设计的奇异摄动数学模型。进而，利用该模型，将柔性铰空间站机械臂系统分解成两个独立的快慢变子系统，针对慢变子系统设计鲁棒自适应滑模控制，针对快变子系统设计了力矩微分反馈控制器。以达到既消除柔性铰柔性给空间站机械臂的定位精度、稳定性带来的负面影响又能够有效地克服传统滑模控制的抖振问题的控制目标。
本发明的柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制方法，包括如下步骤：
步骤A：建立柔性铰空间站机械臂的动力学模型
利用拉格朗日法，可解得载体位置、姿态均不受控的柔性铰空间站机械臂系统完全驱动形式的动力学方程
Figure 27374DEST_PATH_IMAGE001
（1）
Figure 972196DEST_PATH_IMAGE002
（2）
Figure 324680DEST_PATH_IMAGE003
（3）
其中，
Figure 63966DEST_PATH_IMAGE004
为空间站机械臂的正定、对称惯性矩阵；
Figure 501900DEST_PATH_IMAGE005
为包含科氏力、离心力的2阶列向量；
Figure 188097DEST_PATH_IMAGE006
为载体姿态及关节角组成的列向量；
Figure 457404DEST_PATH_IMAGE007
；
Figure 570854DEST_PATH_IMAGE008
为关节电机转角列向量，
Figure 496084DEST_PATH_IMAGE009
为关节电机的正定、对称转动惯量矩阵。
Figure 782709DEST_PATH_IMAGE010
为关节电机的实际驱动力矩列向量，
Figure 109785DEST_PATH_IMAGE011
为系统的扭转刚度矩阵。
步骤B：建立基于关节柔性补偿的控制系统数学模型
对于柔性铰空间站机械臂最大控制难点是其机械臂各关节铰的驱动器输出转角与该关节铰实际转角存在不同步性，这相当于在关节驱动器和被驱动连杆间设置了一个力矩滤波器，关节刚度越小，滤波器的带宽也越窄。为补偿关节柔性所带来的影响，需提高关节的等效刚度，为此引入一种关节柔性补偿器。
设计控制规律
Figure 456453DEST_PATH_IMAGE012
（4）
Figure 603401DEST_PATH_IMAGE013
（5）
其中，
Figure 631399DEST_PATH_IMAGE014
为待定参数矩阵，用于调节滤波器的低频增益。
Figure 875299DEST_PATH_IMAGE015
为新定义的控制量，
Figure 330551DEST_PATH_IMAGE016
为柔性补偿控制器。
Figure 289761DEST_PATH_IMAGE017
为对角、正定的柔性补偿系数矩阵。取
Figure 855872DEST_PATH_IMAGE018
并将式4和式5代入式1、式2和式3可得
Figure 891961DEST_PATH_IMAGE019
（6）
因此，只要柔性补偿矩阵
Figure 580431DEST_PATH_IMAGE020
选取恰当可以将关节的等效刚度调整到期望的数值，使快慢变子系统在时间尺度上的差距增大。
Figure 701971DEST_PATH_IMAGE015
的设计将于与无补偿的奇异摄动控制一样，由快慢变子系统的控制律构成。
基于奇异摄动法，新的控制量
Figure 71772DEST_PATH_IMAGE015
分解为
Figure 290264DEST_PATH_IMAGE021
（7）
其中，
Figure 87319DEST_PATH_IMAGE022
分别为柔性补偿之后的快慢变子系统的控制规律。
引入
Figure 696155DEST_PATH_IMAGE023
，使得
Figure 666385DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 677066DEST_PATH_IMAGE023
为非常小的常数，
Figure 645022DEST_PATH_IMAGE025
为与慢变子系统具有相似的数量级的对角正定参数矩阵，将式7代入式6，得快变子系统为
Figure 803471DEST_PATH_IMAGE026
（8）
为确保快变子系统式8的稳定，设计快变子系统控制律为
Figure 515075DEST_PATH_IMAGE027
（9）
其中，
Figure 708159DEST_PATH_IMAGE023
为新的奇异摄动因子，
Figure 847016DEST_PATH_IMAGE028
的选取需要使快变子系统式8稳定。
若设
Figure 164865DEST_PATH_IMAGE029
，则
Figure 742477DEST_PATH_IMAGE030
且
Figure 727750DEST_PATH_IMAGE031
。综合式1和式8可得慢变子系统
Figure 37509DEST_PATH_IMAGE032
（10）
步骤C：柔性铰空间站机械臂的鲁棒自适应滑模控制
本步骤针对慢变子系统提出了一种鲁棒自适应滑模控制算法，该算法能够有效地克服传统滑模控制的抖振问题。
设
Figure 904971DEST_PATH_IMAGE033
分别为式10中
Figure 958378DEST_PATH_IMAGE034
的不精确参考值，则式10可变换为
Figure 798158DEST_PATH_IMAGE035
（11）
其中，
Figure 344064DEST_PATH_IMAGE036
为系统模型的不确定项。假设
Figure 902084DEST_PATH_IMAGE037
有界，即
Figure 555920DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 515785DEST_PATH_IMAGE039
为模型不确定的上界。
设
Figure 167347DEST_PATH_IMAGE040
为机械臂关节铰的期望位置轨迹，
Figure 9401DEST_PATH_IMAGE041
为相应的期望速度和加速度，则位置和速度跟踪误差分别为
Figure 404610DEST_PATH_IMAGE042
。
滑模控制器是由等效控制项和切换控制项组成，等效控制项是用于维持系统在滑模面上运动，其性能由滑动模态面决定。切换控制项作用于滑模趋近运动阶段，迫使系统状态到达滑模面，性能是由滑模趋近律决定。
滑模面设计如下
Figure 218982DEST_PATH_IMAGE043
（12）
式中，参数
Figure 103762DEST_PATH_IMAGE044
均为正奇数，且满足
Figure 370795DEST_PATH_IMAGE045
。该滑模面在远离平衡点和接近平衡点都具有良好的收敛速度，且在有限时间内收敛到零。
当
Figure 569695DEST_PATH_IMAGE046
时，由式11和式12可得滑模控制器中的等效控制项
Figure 300891DEST_PATH_IMAGE047
（13）
为克服惯常使用的等速趋近律
Figure 294254DEST_PATH_IMAGE048
，存在抖振现象与需要预知系统不确定的上界的缺陷，设计如下利用自适应连续趋近律而设计的滑模切换控制项
Figure 110901DEST_PATH_IMAGE049
（14）
式中，
Figure 113492DEST_PATH_IMAGE050
为不确定上界
Figure 636877DEST_PATH_IMAGE051
的估计值；
Figure 863459DEST_PATH_IMAGE052
分别为双曲正弦函数
Figure 105084DEST_PATH_IMAGE053
的增益和斜度，斜度
Figure 708104DEST_PATH_IMAGE054
值越大，函数
Figure 85996DEST_PATH_IMAGE053
越接近于切换函数
Figure 686741DEST_PATH_IMAGE055
。
各参数的自适应律设计如下
Figure 209471DEST_PATH_IMAGE056
（15）
Figure 553865DEST_PATH_IMAGE057
（16）
Figure 786263DEST_PATH_IMAGE058
（17）
因此，对于慢变子系统跟踪的控制器为
Figure 620227DEST_PATH_IMAGE059
（18）
步骤D：对柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制闭环系统进行全局稳定性验证
定理1: 针对慢变子系统式10，如果设计控制律式18及对应的参数自适应律式15、式16和式17，则可使系统运动轨迹渐进跟踪到滑模面
Figure 570865DEST_PATH_IMAGE060
，进而在有限时间内收敛到平衡点。
在证明之前先引入如下引理
引理：对于任意矢量
Figure 515687DEST_PATH_IMAGE061
和正矢量
Figure 868171DEST_PATH_IMAGE062
存在如下不等式
Figure 810720DEST_PATH_IMAGE063
（19）
定义如下Lyapunov函数
Figure 310971DEST_PATH_IMAGE064
（20）
上式对时间求导，可得
Figure 997167DEST_PATH_IMAGE065
（21）
将控制律式18代入慢变子系统式10，可得
Figure 266475DEST_PATH_IMAGE066
（22）
将式22及自适应律式15、式16和式17代入式21,可得
Figure 379924DEST_PATH_IMAGE067
（23）
其中，
Figure 305155DEST_PATH_IMAGE068
；
Figure 591780DEST_PATH_IMAGE069
。
因此，所设计的自适应趋近律滑模控制系统是渐近稳定的。
选取柔性铰空间站机械臂的惯性参数：
Figure 918856DEST_PATH_IMAGE070
Figure 937627DEST_PATH_IMAGE071
设柔性铰空间站机械臂系统各关节角的期望轨迹为（单位：rad）：
Figure 412471DEST_PATH_IMAGE072
.
并设定系统初始构形为（单位：rad）：
Figure 440470DEST_PATH_IMAGE073
仿真时系统名义参数取为
Figure 622053DEST_PATH_IMAGE074
控制过程结束。
本发明整个设计过程重点考虑三个方面，分别是柔性铰空间站机械臂的动力学建模、基于关节柔性补偿的控制系统数学模型及慢变子系统鲁棒自适应滑模控制律和快变子系统控制律组成的联合控制律设计。
本发明的优点在于与传统基于奇异摄动法相比，本发明将柔性补偿思想与奇异摄动理论相融合，克服了惯常奇异摄动法受关节柔性大小限制这一问题，使得该方法可适用于那些具有较大关节柔性的柔性铰空间站机械臂的控制；另外，所设计的慢变子系统鲁棒自适应滑模控制律，不但克服了在设计中需要预知系统不确定的上界的缺陷，又消除了滑模变结构控制器抖振的缺点，可补偿系统的不确定参数，有效、稳定地控制柔性铰空间站机械臂系统完成所指定的各连杆关节角运动任务。
附图说明
图1为本发明的柔性铰空间站机械臂系统示意图；
图2为本发明的柔性铰空间站机械臂控制原理图；
图3 是本发明的柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制方法中的控制过程流程图；
图4为开启柔性补偿器时，空间站机械臂各连杆关节角
Figure 139622DEST_PATH_IMAGE075
的轨迹跟踪情况；
图5为关闭柔性补偿器时，空间站机械臂各连杆关节角
Figure 773865DEST_PATH_IMAGE075
的轨迹跟踪情况；
图6为关闭柔性补偿器时，空间站机械臂各连杆关节铰的电机输出控制力矩。
具体实施方式
下面将结合附图和技术方案对本发明做进一步的详细说明。
图1为本发明的柔性铰空间站机械臂系统示意图；图1中的标号、符号和线条等说明：系统由自由漂浮的空间站载体
Figure 405222DEST_PATH_IMAGE076
，两个弹性关节
Figure 706891DEST_PATH_IMAGE077
和两个刚性机械臂
Figure 333044DEST_PATH_IMAGE078
及末端载荷
Figure 516901DEST_PATH_IMAGE079
组成；文中所使用的符号约定如下：
Figure 886702DEST_PATH_IMAGE080
分别为载体的质量、转动惯量及其质心到第1个关节铰中心的距离；
Figure 42877DEST_PATH_IMAGE081
分别为连杆
Figure 902249DEST_PATH_IMAGE082
的质量、转动惯量及其长度；
Figure 511085DEST_PATH_IMAGE083
分别为末端负载的质量及转动惯量；
Figure 481315DEST_PATH_IMAGE084
为柔性关节
Figure 491996DEST_PATH_IMAGE082
驱动电机的等效转动惯量、
Figure 459952DEST_PATH_IMAGE085
为各关节铰的扭转刚度；
Figure 618401DEST_PATH_IMAGE086
分别为载体及连杆1质心的位置矢量，
Figure 330005DEST_PATH_IMAGE088
为连杆2与末端负载联合体质心的位置矢量，
Figure 195193DEST_PATH_IMAGE090
分别为系统总质心及负载质心的位置矢量；
图2是本发明本发明柔性铰空间站机械臂控制原理图。如图2所示，引入了关节柔性补偿控制器
Figure 396367DEST_PATH_IMAGE091
并结合奇异摄动技术导出了系统奇异摄动数学模型。针对快变子系统式8，设计了快变子系统控制律
Figure 979795DEST_PATH_IMAGE092
来抑制关节柔性引起的系统弹性振动。针对慢变子系统式10，设计了慢变子系统控制律
Figure 495090DEST_PATH_IMAGE094
及对应的参数自适应律式15、式16和式17，则可使系统运动轨迹渐进跟踪到滑模面式12。因此，利用关节柔性补偿控制器
Figure 277101DEST_PATH_IMAGE091
、快变子系统控制律
Figure 586860DEST_PATH_IMAGE092
及慢变子系统控制律
Figure 719901DEST_PATH_IMAGE095
可计算出系统的控制方程式
Figure 773308DEST_PATH_IMAGE097
并将其应用于上述带柔性铰空间站机械臂数学模型150中，就可可有效补偿关节柔性及参数不确定性对系统控制精度的影响，从而能够准确地控制柔性铰空间站机械臂系统完成所指定的轨迹运动；
图4为开启柔性补偿器时，空间站机械臂各连杆关节角
Figure 613088DEST_PATH_IMAGE075
的轨迹跟踪情况；
图5为关闭柔性补偿器时，空间站机械臂各连杆关节角
Figure 176572DEST_PATH_IMAGE075
的轨迹跟踪情况；
图6为关闭柔性补偿器时，空间站机械臂各连杆关节铰的电机输出控制力矩；
图3 是本发明的柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制方法中的控制过程流程图，具体内容如下：
步骤210：建立柔性铰空间站机械臂的动力学模型
利用拉格朗日法，可解得载体位置、姿态均不受控的柔性铰空间站机械臂系统完全驱动形式的动力学方程。
Figure 734592DEST_PATH_IMAGE001
（1）
Figure 326111DEST_PATH_IMAGE002
（2）
Figure 82714DEST_PATH_IMAGE003
（3）
其中，
Figure 999855DEST_PATH_IMAGE004
为空间站机械臂的正定、对称惯性矩阵；
Figure 841909DEST_PATH_IMAGE005
为包含科氏力、离心力的2阶列向量；
Figure 237118DEST_PATH_IMAGE006
为载体姿态及关节角组成的列向量；
Figure 51490DEST_PATH_IMAGE007
；
Figure 936270DEST_PATH_IMAGE008
为关节电机转角列向量，
Figure 203303DEST_PATH_IMAGE009
为关节电机的正定、对称转动惯量矩阵。
Figure 464520DEST_PATH_IMAGE010
为关节电机的实际驱动力矩列向量，
Figure 133399DEST_PATH_IMAGE011
为系统的扭转刚度矩阵。
步骤220：建立基于关节柔性补偿的控制系统数学模型
对于柔性铰空间站机械臂最大控制难点是其机械臂各关节铰的驱动器输出转角与该关节铰实际转角存在不同步性，这相当于在关节驱动器和被驱动连杆间设置了一个力矩滤波器，关节刚度越小，滤波器的带宽也越窄。为补偿关节柔性所带来的影响，需提高关节的等效刚度，为此引入一种关节柔性补偿器。
设计控制规律
Figure 126763DEST_PATH_IMAGE012
（4）
Figure 943409DEST_PATH_IMAGE013
（5）
其中，
Figure 680421DEST_PATH_IMAGE014
为待定参数矩阵，用于调节滤波器的低频增益。
Figure 266123DEST_PATH_IMAGE015
为新定义的控制量，
Figure 695967DEST_PATH_IMAGE016
为柔性补偿控制器。
Figure 937593DEST_PATH_IMAGE017
为对角、正定的柔性补偿系数矩阵。取
Figure 275033DEST_PATH_IMAGE018
并将式4和式5代入式1、式2和式3可得
Figure 918504DEST_PATH_IMAGE019
（6）
因此，只要柔性补偿矩阵
Figure 253670DEST_PATH_IMAGE020
选取恰当可以将关节的等效刚度调整到期望的数值，使快慢变子系统在时间尺度上的差距增大。
Figure 47839DEST_PATH_IMAGE015
的设计将于与无补偿的奇异摄动控制一样，由快慢变子系统的控制律构成。
基于奇异摄动法，新的控制量
Figure 126653DEST_PATH_IMAGE015
分解为
Figure 624630DEST_PATH_IMAGE021
（7）
其中，
Figure 458594DEST_PATH_IMAGE022
分别为柔性补偿之后的快慢变子系统的控制规律。
引入
Figure 409233DEST_PATH_IMAGE023
，使得
Figure 354055DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 706539DEST_PATH_IMAGE023
为非常小的常数，
Figure 649087DEST_PATH_IMAGE025
为与慢变子系统具有相似的数量级的对角正定参数矩阵，将式7代入式6，得快变子系统为
Figure 149339DEST_PATH_IMAGE026
（8）
为确保快变子系统式8的稳定，设计快变子系统控制律为
Figure 569956DEST_PATH_IMAGE027
（9）
其中，
Figure 42525DEST_PATH_IMAGE028
的选取需要使快变子系统式8稳定。
若设
Figure 218292DEST_PATH_IMAGE029
，则
Figure 143522DEST_PATH_IMAGE030
且
Figure 430147DEST_PATH_IMAGE031
。综合式1和式8可得慢变子系统。
Figure 491644DEST_PATH_IMAGE032
（10）
步骤230：柔性铰空间站机械臂的鲁棒自适应滑模控制
本步骤针对慢变子系统提出了一种鲁棒自适应滑模控制算法，该算法能够有效地克服传统滑模控制的抖振问题。
设
Figure 775995DEST_PATH_IMAGE033
分别为式10中
Figure 250839DEST_PATH_IMAGE034
的不精确参考值，则式10可变换为
Figure 278837DEST_PATH_IMAGE035
（11）
其中，
Figure 460420DEST_PATH_IMAGE036
为系统模型的不确定项。假设
Figure 712410DEST_PATH_IMAGE037
有界，即
Figure 612233DEST_PATH_IMAGE038
，其中
Figure 178343DEST_PATH_IMAGE039
为模型不确定的上界。
设
Figure 539399DEST_PATH_IMAGE040
为机械臂关节铰的期望位置轨迹，
Figure 899973DEST_PATH_IMAGE041
为相应的期望速度和加速度，则位置和速度跟踪误差分别为
Figure 349409DEST_PATH_IMAGE042
。
滑模控制器是由等效控制项和切换控制项组成，等效控制项是用于维持系统在滑模面上运动，其性能由滑动模态面决定。切换控制项作用于滑模趋近运动阶段，迫使系统状态到达滑模面，性能是由滑模趋近律决定。
滑模面设计如下
Figure 719210DEST_PATH_IMAGE043
（12）
式中，参数
Figure 609806DEST_PATH_IMAGE044
均为正奇数，且满足
Figure 469178DEST_PATH_IMAGE045
。该滑模面在远离平衡点和接近平衡点都具有良好的收敛速度，且在有限时间内收敛到零。
当
Figure 78013DEST_PATH_IMAGE046
时，由式11和式12可得滑模控制器中的等效控制项
Figure 251506DEST_PATH_IMAGE047
（13）
为克服惯常使用的等速趋近律
Figure 386821DEST_PATH_IMAGE048
，存在抖振现象与需要预知系统不确定的上界的缺陷，设计如下利用自适应连续趋近律而设计的滑模切换控制项
Figure 354777DEST_PATH_IMAGE049
（14）
式中，
Figure 450909DEST_PATH_IMAGE050
为不确定上界
Figure 224830DEST_PATH_IMAGE051
的估计值；
Figure 90018DEST_PATH_IMAGE052
分别为双曲正弦函数
Figure 291192DEST_PATH_IMAGE053
的增益和斜度，斜度
Figure 874620DEST_PATH_IMAGE054
值越大，函数
Figure 124336DEST_PATH_IMAGE053
越接近于切换函数
Figure 171926DEST_PATH_IMAGE055
。
各参数的自适应律设计如下
Figure 481685DEST_PATH_IMAGE056
（15）
Figure 552409DEST_PATH_IMAGE057
（16）
Figure 671062DEST_PATH_IMAGE058
（17）
步骤240：对柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制闭环系统进行全局稳定性验证
Figure 510842DEST_PATH_IMAGE059
（18）
定理1: 针对慢变子系统式10，如果设计控制律式18及对应的参数自适应律式15、式16和式17，则可使系统运动轨迹渐进跟踪到滑模面
Figure 53819DEST_PATH_IMAGE060
，进而在有限时间内收敛到平衡点。
在证明之前先引入如下引理
引理：对于任意矢量
Figure 346260DEST_PATH_IMAGE061
和正矢量
Figure 203358DEST_PATH_IMAGE062
存在如下不等式
Figure 959961DEST_PATH_IMAGE063
（19）
证明：定义如下Lyapunov函数
Figure 611522DEST_PATH_IMAGE064
（20）
上式对时间求导，可得
Figure 656839DEST_PATH_IMAGE065
（21）
将控制律式18代入慢变子系统式10，可得
Figure 114365DEST_PATH_IMAGE066
（22）
将式22及自适应律式15、式16和式17代入式21,可得
Figure 663158DEST_PATH_IMAGE067
（23）
其中，
Figure 813516DEST_PATH_IMAGE068
；
Figure 80550DEST_PATH_IMAGE069
。
因此，所设计的自适应趋近律滑模控制系统是渐近稳定的。
选取柔性铰空间站机械臂的惯性参数：
Figure 279450DEST_PATH_IMAGE070
Figure 745066DEST_PATH_IMAGE071
设柔性铰空间站机械臂系统各关节角的期望轨迹为（单位：rad）：
Figure 4009DEST_PATH_IMAGE072
.
并设定系统初始构形为（单位：rad）：
Figure 758339DEST_PATH_IMAGE073
仿真时系统名义参数取为
Figure 557667DEST_PATH_IMAGE074
步骤250：控制过程结束。

Claims (1)

1.柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制方法，包括如下步骤：
步骤A：建立柔性铰空间站机械臂的动力学模型
利用拉格朗日法，可解得载体位置、姿态均不受控的柔性铰空间站机械臂系统完全驱动形式的动力学方程
Figure 406720DEST_PATH_IMAGE001
（1）
Figure 50191DEST_PATH_IMAGE002
（2）
Figure 447674DEST_PATH_IMAGE003
（3）
其中，
Figure 176596DEST_PATH_IMAGE004
为空间站机械臂的正定、对称惯性矩阵；
Figure 255410DEST_PATH_IMAGE005
为包含科氏力、离心力的2阶列向量；
Figure 815705DEST_PATH_IMAGE006
为载体姿态及关节角组成的列向量；
Figure 321772DEST_PATH_IMAGE007
；
Figure 537990DEST_PATH_IMAGE008
为关节电机转角列向量，
Figure 482812DEST_PATH_IMAGE009
为关节电机的正定、对称转动惯量矩阵；
Figure 835296DEST_PATH_IMAGE010
为关节电机的实际驱动力矩列向量，
Figure 777845DEST_PATH_IMAGE011
为系统的扭转刚度矩阵；
步骤B：建立基于关节柔性补偿的控制系统数学模型
设计控制规律
Figure 278096DEST_PATH_IMAGE012
（4）
Figure 698713DEST_PATH_IMAGE013
（5）
其中，
Figure 233600DEST_PATH_IMAGE014
为待定参数矩阵，用于调节滤波器的低频增益；
Figure 81470DEST_PATH_IMAGE015
为新定义的控制量，
Figure 69017DEST_PATH_IMAGE016
为柔性补偿控制器；
Figure 293325DEST_PATH_IMAGE017
为对角、正定的柔性补偿系数矩阵；取
Figure 620402DEST_PATH_IMAGE018
并将式（4）和式（5）代入式（1）、式（2）和式（3）可得
Figure 967069DEST_PATH_IMAGE019
（6）
基于奇异摄动法，新的控制量
Figure 379596DEST_PATH_IMAGE015
分解为
Figure 142016DEST_PATH_IMAGE020
（7）
其中，
Figure 382986DEST_PATH_IMAGE021
分别为柔性补偿之后的快慢变子系统的控制规律；
引入
Figure 838238DEST_PATH_IMAGE022
，使得
Figure 800377DEST_PATH_IMAGE023
，
Figure 366488DEST_PATH_IMAGE022
为非常小的常数，
Figure 402577DEST_PATH_IMAGE024
为与慢变子系统具有相似的数量级的对角正定参数矩阵，将式（7）代入式（6），得快变子系统为
Figure 91047DEST_PATH_IMAGE025
（8）
为确保快变子系统式（8）的稳定，设计快变子系统控制律为
Figure 478166DEST_PATH_IMAGE026
（9）
其中，
Figure 582389DEST_PATH_IMAGE022
为新的奇异摄动因子，
Figure 800880DEST_PATH_IMAGE027
的选取需要使快变子系统式（8）稳定；
若设
Figure 597935DEST_PATH_IMAGE028
，则
Figure 206771DEST_PATH_IMAGE029
且
Figure 504897DEST_PATH_IMAGE030
；综合式（1）和式（8）可得慢变子系统
Figure 515578DEST_PATH_IMAGE031
（10）
步骤C：柔性铰空间站机械臂的鲁棒自适应滑模控制
设
Figure 545851DEST_PATH_IMAGE032
分别为式（10）中
Figure 641983DEST_PATH_IMAGE033
的不精确参考值，则式（10）可变换为
Figure 88008DEST_PATH_IMAGE034
（11）
其中，
Figure 281092DEST_PATH_IMAGE035
为系统模型的不确定项；假设
Figure 419949DEST_PATH_IMAGE036
有界，即
Figure 3377DEST_PATH_IMAGE037
，其中
Figure 318340DEST_PATH_IMAGE038
为模型不确定的上界；
设
Figure 303613DEST_PATH_IMAGE039
为机械臂关节铰的期望位置轨迹，
Figure 675689DEST_PATH_IMAGE040
为相应的期望速度和加速度，则位置和速度跟踪误差分别为
Figure 746413DEST_PATH_IMAGE041
；
滑模面设计如下
Figure 799820DEST_PATH_IMAGE042
（12）
式中，参数
Figure 701917DEST_PATH_IMAGE043
均为正奇数，且满足
Figure 182577DEST_PATH_IMAGE044
；该滑模面在远离平衡点和接近平衡点都具有良好的收敛速度，且在有限时间内收敛到零；
当
Figure 475018DEST_PATH_IMAGE045
时，由式（11）和式（12）可得滑模控制器中的等效控制项
Figure 394432DEST_PATH_IMAGE046
（13）
利用自适应连续趋近律得到滑模切换控制项
Figure 88719DEST_PATH_IMAGE047
（14）
式中，
Figure 802597DEST_PATH_IMAGE048
为不确定上界
Figure 847913DEST_PATH_IMAGE049
的估计值；
Figure 243122DEST_PATH_IMAGE050
分别为双曲正弦函数
Figure 854232DEST_PATH_IMAGE051
的增益和斜度，斜度
Figure 942274DEST_PATH_IMAGE052
值越大，函数
Figure 209307DEST_PATH_IMAGE051
越接近于切换函数
Figure 204945DEST_PATH_IMAGE053
；
各参数的自适应律设计如下
Figure 873824DEST_PATH_IMAGE054
（15）
Figure 195084DEST_PATH_IMAGE055
（16）
Figure 683834DEST_PATH_IMAGE056
（17）
因此，对于慢变子系统跟踪的控制器为
Figure 686425DEST_PATH_IMAGE057
（18）
步骤D：对柔性铰空间站机械臂鲁棒自适应滑模控制闭环系统进行全局稳定性验证
定理1: 针对慢变子系统式（10），如果设计控制律式（18）及对应的参数自适应律式（15）、式（16）和式（17），则可使系统运动轨迹渐进跟踪到滑模面
Figure 269197DEST_PATH_IMAGE058
，进而在有限时间内收敛到平衡点；
在证明之前先引入如下引理
引理：对于任意矢量
Figure 433463DEST_PATH_IMAGE059
和正矢量
Figure 737405DEST_PATH_IMAGE060
存在如下不等式
Figure 278108DEST_PATH_IMAGE061
（19）
定义如下Lyapunov函数
Figure 655999DEST_PATH_IMAGE062
（20）
上式对时间求导，可得
Figure 319062DEST_PATH_IMAGE063
（21）
将控制律式（18）代入慢变子系统式（10），可得
Figure 782404DEST_PATH_IMAGE064
（22）
将式（22）及自适应律式（15）、式（16）和式（17）代入式（21）,可得
Figure 83080DEST_PATH_IMAGE002
（23）
其中，
Figure 687092DEST_PATH_IMAGE066
；
Figure 193160DEST_PATH_IMAGE067
；
自适应趋近律滑模控制系统是渐近稳定，控制过程结束。
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