CN111948943B - 一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法。在多时间尺度下，研究带有扰动及系统不确定性的柔性机械臂的运动控制问题。由于柔性机械臂具有多时间尺度特性，应用传统方法设计控制器容易导致病态数值问题，基于奇异摄动理论，将柔性机械臂建模为带有奇异摄动参数的奇异摄动系统并将其分解为描述刚体运动和柔性振动的快、慢子系统。慢时间尺度下，考虑外界扰动及参数不确定性对系统影响，设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器(慢控制器)实现对柔性机械臂的轨迹跟踪。快时间尺度下，为消除未建模动态及慢时间尺度下振动状态等对控制器设计影响，设计鲁棒滑模控制器实现对柔性振动抑制。最后，利用奇异摄动理论将慢控制器与快控制器组合，实现轨迹跟踪和振动抑制的双重控制目标。实验结果表明该方法鲁棒性强控制效果好。

Description

一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法

技术领域

本发明涉及柔性机械臂的控制技术领域，特别是一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法。

背景技术

先进制造技术的发展对机器人性能提出了更高的要求，各种轻质材料不断应用到机器人生产制造当中。柔性机械臂由于具有质量轻、探测范围广、运行速度快等优点成为当前研究热点。然而，柔性的存在大大降低系统结构阻尼，使其在运动过程中不可避免的带来柔性振动问题。柔性振动不能得到有效抑制，容易造成轨迹跟踪和控制精度降低，甚至产生共振造成系统失效。因此，研究柔性机械臂的运动控制问题，既包含提高柔性机械臂末端轨迹跟踪定位精度，还应包含对柔性机械臂柔性振动的快速抑制。

由于柔性机械臂不同位置振动随时间变化不同，使得柔性机械臂运动方程是与时间、位置相关的分布式耦合偏微分方程形式，具有无穷维、非线性、耦合度高等特性，难以直接求解。一般先通过Newton-Euler法、Lagrange法等建立偏微分动力学方程，进而利用Assumed-mode法、有限元(段)法等描述柔性振动，将系统转化为常微分方程，大大降低控制器设计难度。已有方法多将带有柔性特征的机械臂作为整体考虑，通过忽略臂杆柔性或将柔性视为外界扰动直接设计控制器，取得很好的控制效果，该方法控制器设计过程往往需要同时、主观确定多个控制器参数，使得控制器设计过程复杂、增加设计难度。

柔性机械臂具有多时间尺度特性，将柔性机械臂建模为带有奇异摄动参数的奇异摄动系统并将其分解为描述刚体运动和柔性振动的快、慢子系统，针对分解后的快、慢子系统分别设计控制器，将二者组合，跟踪精度高、控制效果好。实验结果表明，利用奇异摄动方法设计控制器具有较好的控制效果，然而多没有考虑外界扰动和参数不确定性对系统影响，抗干扰能力差。且该方法大多基于Assumed-mode法利用前两阶模态描述柔性机械臂振动，没有考虑高阶模态及分解过程慢振动状态对系统设计影响。因此，设计一种考虑外界扰动和参数变化的柔性机械臂运动控制方法具有重要意义。

发明内容

本发明的目的在于提供一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法，包括：

步骤1：基于奇异摄动理论，将柔性机械臂建模为带有奇异摄动参数的奇异摄动系统并将其分解为描述刚体运动和柔性振动的快、慢子系统；

步骤2：慢时间尺度下，设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器即慢控制器实现对柔性机械臂的轨迹跟踪；

步骤3：快时间尺度下，设计鲁棒滑模控制器即快控制器实现对柔性振动抑制；

步骤4：利用奇异摄动理论将慢控制器与快控制器组合，实现轨迹跟踪和振动抑制的双重控制目标。

基于奇异摄动理论，将柔性机械臂建模为带有奇异摄动参数的奇异摄动系统并将其分解为描述刚体运动和柔性振动的快、慢子系统。

慢时间尺度下，考虑外界扰动及参数不确定性对系统影响，设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器(慢控制器)实现对柔性机械臂的轨迹跟踪。

快时间尺度下，为消除未建模动态及慢时间尺度下振动状态等对控制器设计影响，设计鲁棒滑模控制器(快控制器)实现对柔性振动抑制

利用奇异摄动理论将慢控制器与快控制器组合，实现轨迹跟踪和振动抑制的双重控制目标。

本发明与现有技术相比，其显著优点：(1)基于奇异摄动理论，本发明提出一种新的柔性机械臂组合控制方法，且控制效果好，系统闭环稳定；(2)充分利用滑模控制优势，慢时间尺度下设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器，自适应性和抗干扰能力强，轨迹跟踪精度高；(3)充分考虑慢振动状态及高阶模态对系统影响，设计鲁棒滑模控制器，鲁棒性强，振动抑制效果好。

附图说明

图1为根据本发明实施例的组合控制器结构图。

图2为根据本发明实施例的轨迹跟踪曲线图。

图3为根据本发明实施例的轨迹跟踪角速度曲线图。

图4为根据本发明实施例的外界扰动曲线。

图5为根据本发明实施例的参数自适应变化曲线图。

图6为根据本发明实施例的一阶模态位移曲线图。

图7为根据本发明实施例的一阶模态振动速度曲线图。

图8为根据本发明实施例的二阶模态位移曲线图。

图9为根据本发明实施例的二阶模态振动速度曲线图。

图10为根据本发明实施例的控制器输出曲线。

具体实施方式

本发明首先基于奇异摄动理论得到柔性机械臂的慢、快子系统。在慢时间尺度下，为实现柔性机械臂的轨迹跟踪，考虑参数不确定性及外界扰动对系统影响，设计基于扰动观测器的自适应滑模控制器，跟踪响应速度快、误差小跟踪精度高，且能抑制外界扰动对系统影响；在快时间尺度下，为实现对柔性振动的快速抑制，考虑高阶模态及慢时间尺度下振动状态等系统不确定性影响，设计鲁棒滑模控制器。实验结果表明，本发明设计的一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法跟踪精度高、振动抑制速度快，具有较好的控制效果。

下面结合说明书附图对本发明作进一步说明。

如图1所示，本发明提出一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：基于奇异摄动理论，将柔性机械臂建模为带有奇异摄动参数的奇异摄动系统并将其分解为描述刚体运动和柔性振动的快、慢子系统。

步骤2：慢时间尺度下，考虑外界扰动及参数不确定性对系统影响，设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器(慢控制器)实现对柔性机械臂的轨迹跟踪。

步骤3：快时间尺度下，为消除未建模动态及慢时间尺度下振动状态等对控制器设计影响，设计鲁棒滑模控制器(快控制器)实现对柔性振动抑制

步骤4：利用奇异摄动理论将慢控制器与快控制器组合，实现轨迹跟踪和振动抑制的双重控制目标。

步骤1基于奇异摄动理论，将柔性机械臂模型在分解为快、慢子系统的分解过程包括：

步骤1-1：针对柔性机械臂系统，利用Assumed-mode法描述柔性机械臂柔性振动，选取前两阶模态能够满足精度要求，结合Lagrange法建立柔性机械臂的动力学模型：

其中，M为相应转矩广义矩阵且正定对称，C₁、C₂为阻尼力、离心力/哥式力，S₁、S₂为刚柔耦合、非线性项，K为刚度矩阵，θ为机械臂旋转角，q为横向模态向量，τ为控制力矩，f为外界慢变扰动。

步骤1-2：由于柔性振动存在，使得柔性机械臂具有多时间尺度特性。本发明基于奇异摄动理论设计控制器，首先将系统构建为奇异摄动系统形式，定义：

N为M的逆矩阵。将式(2)代入式(1)，进一步展开得到：

步骤1-3：定义奇异摄动参数ε＝1/k，其中k为刚度矩阵K中元素的最小值，构建带有奇异摄动参数ε的柔性机械臂奇异摄动系统模型，定义中间变量z＝q/ε，β＝εK，z描述柔性机械臂振动状态，β描述带有奇异摄动理论参数的刚度系数变化情况。则上式可改写为：

步骤1-4：基于奇异摄动理论，忽略系统柔性，令ε＝0，可得：

步骤1-5：将式(8)代入式(7)，求得慢时间尺度下振动状态：

其中，z^s描述慢时间尺度下系统振动状态。进一步将式(9)代入式(5)，能够得到慢子系统模型：

其中，上标s表示慢时间尺度下系统动态，τ^s为慢控制器输出，θ^s为θ的估计值，耦合项

定义

上式可改写为：

f变化较慢，假定其仅存在于慢子系统中，即f＝f^s。

步骤1-6：定义变量

在κ时间尺度下，慢动态视为常量，即：

dθ/dκ＝d²θ/dκ²＝0 (12)

dz^s/dκ＝d²z^s/dκ²＝0 (13)

考虑柔性机械臂的双时间尺度特性，定义变量z^f＝z-z^s，z^f为快时间尺度下，系统振动状态。在边界层区域，令ε＝0，联立方程式(6)、(9)、(12)、(13)，能够得到柔性机械臂的快子系统模型：

τ^f为快控制器输出，

步骤1-7：将慢控制器τ^s与快控制器τ^f相组合，得到组合控制器：

τ＝τ^s+τ^f (15)

根据奇异摄动理论，慢、快子系统与原系统之间的关系为：

θ＝θ^s+O(ε) (16)

q＝1/k(z^s+z^f)+O(ε) (17)

其中，O(ε)为ε的高阶无穷小。从式中可以看出，柔性机械臂旋转角θ^s≈θ，系统振动模态q≈1/k(z^s+z^f)。从式(16)可以看出，慢时间尺度下，机械臂位置与原系统位置近似相等，因此，可直接利用原系统机械臂旋转角直接设计控制器。从式(17)可以看出，快时间尺度下，原系统振动状态与慢、快振动状态之和(z^s+z^f)成近似线性关系，已有成果大多忽略慢振动状态影响，造成快控制器振动抑制效果差，从而使得跟踪精度降低。

步骤2所述慢时间尺度下，设计慢控制器实现对柔性机械臂的轨迹跟踪，具体包括：

步骤2-1：慢时间尺度下，系统易受到外界扰动影响，滑模控制对外界扰动及参数变化不敏感，因此，为实现轨迹跟踪控制目标，本发明设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器。扰动观测器设计为：

其中

为扰动估计值，D(θ)为增益向量。

步骤2-2：定义中间变量

能够得到：

步骤2-3：针对慢变扰动，假设

定义扰动观测误差：

联立方程(11)、(19)，求得：

进一步求得观测误差方程：

通过设计增益矩阵D(θ)估计慢变扰动。

步骤2-4：考虑参数测量误差影响，设计自适应律：

针对分解后得到的柔性机械臂慢子系统，参数J有界，即J_min＜J＜J_max，进一步将自适应律(23)改进为：

步骤2-5：基于扰动观测结果和自适应参数估计值设计滑模控制器：

其中k_s，η为慢控制器参数，且k_s＞0，η＞0。

步骤2-6：由慢子系统(11)，定义轨迹跟踪误差：

e^s(t)＝θ^s(t)-θ^d(t) (26)

其中，θ^d为理想运动轨迹。定义慢子系统滑模函数：

其中c＞0。进一步求得：

步骤2-7：定义Lyapunov函数：

其中

进一步得到：

步骤2-8：考虑滑模抖振对系统影响，利用饱和函数设计准滑动模态抑制滑模抖振，饱和函数设计为：

其中Λ₁为饱和边界。

步骤2-9：慢子系统控制器改进为：

步骤3所述快时间尺度下，设计快控制器实现对柔性机械臂的振动抑制，具体包括：

步骤3-1：本发明利用Assumed-mode法忽略高阶模态选取前两阶模态描述柔性机械臂振动状态。为消除高阶模态未建模误差及慢时间尺度下振动状态影响，在快时间尺度下，本发明设计鲁棒滑模控制器实现对柔性机械臂的振动抑制。在快时间尺度下，重新定义变量：

则快子系统可重写为：

其中，v为未建模动态，|v|＜V,V＞0，为v上界。x＝[x₁ x₂]^T，

步骤3-2：设计滑模函数：

s＝Gx (36)

其中，G＞0，为滑模函数参数矩阵，满足Hurwitz条件。

步骤3-3：设计滑模控制律：

τ^f＝-(GB^f)^-1[GA^fx+η₂sgn(s)+GVsgn(s)] (37)

η₂为控制器参数矩阵。

步骤3-4：定义Lyapunov函数：

由式(36)、(37)、(38)得到：

步骤3-5：同样采用饱和函数设计准滑动模态消除滑模抖振对系统影响：

其中Λ2为饱和边界。快子系统控制器改进为：

τ^f＝-(GB^f)^-1[GA^fx+ηsat₂(s)+GVsat₂(s)] (41)

步骤4所述利用奇异摄动理论将慢控制器与快控制器组合，实现轨迹跟踪和振动抑制的双重控制目标，具体包括：

本发明考虑系统带有外界扰动及系统不确定存在情况下，在多时间尺度下设计带有扰动观测器和鲁棒项的双重滑模控制器，跟踪轨迹同时快速抑制柔性振动。将慢控制器(32)与快控制器(41)组合得到：

其中，τ^s和τ^f为不同时间尺度下设计的慢、快控制器。

为验证该组合控制器方法的有效性，本发明在Matlab环境下仿真实验。选取理想跟踪轨迹：θ^d＝tanh(t)

外界扰动

参数变化范围2.23＜J＜2.25，在慢时间尺度下，设计控制器参数：c＝10，k_s＝10，η₁＝2，扰动观测器参数D＝0.5，自适应律参数γ＝500，饱和函数临界参数Λ₁＝0.04。在快时间尺度下，设计控制器参数G＝[0 0 0.5 1]，0.1，V＝＝[0 0 5000]^T，饱和函数临界参数为Λ₂＝0.2。为验证本发明提出的方法的有效性，将实验结果与未处理扰动和系统不确定性的实验结果做对比。

图2、图3为系统轨迹跟踪曲线及相应的角速度，从图中可以看出，本发明设计控制器充分考虑外界扰动和系统不确定性影响，跟踪响应速度快，跟踪误差小。图4为外界扰动及其估计值曲线，图5为参数自适应变化曲线。

图6、7为柔性机械臂一阶模态振动位移及其振动速度曲线图，图8、9为二阶模态振动位移及其振动速度曲线图，图10为控制器输出曲线。从图中可以看出3秒左右一阶模态得到抑制，1秒左右二阶模态得到抑制，振动抑制速度快。从二阶模态振动曲线可以看出，高阶模态振动频率高，对系统影响较大。若不考虑外界扰动及系统不确定对系统影响直接设计控制器，难以实现对柔性机械臂的振动抑制控制。在本发明设计的组合控制器作用下，轨迹跟踪精度高，柔性振动抑制速度快，效果好。

Claims (4)

1.一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法，其特征在于，包括：

步骤1：基于奇异摄动理论，将柔性机械臂建模为带有奇异摄动参数的奇异摄动系统并将其分解为描述刚体运动和柔性振动的快、慢子系统；

步骤2：慢时间尺度下，设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器即慢控制器实现对柔性机械臂的轨迹跟踪；具体包括：

步骤2-1：设计带有扰动观测器的自适应滑模控制器；扰动观测器设计为：

其中

为扰动估计值，D(θ)为增益向量；定义

C₁为阻尼力，θ为机械臂旋转角；

步骤2-2：定义中间变量

能够得到：

步骤2-3：针对慢变扰动，假设

定义扰动观测误差：

联立方程(11)、(19)，求得：

进一步求得观测误差方程：

通过设计增益矩阵D(θ)估计慢变扰动；

步骤2-4：设计自适应律：

针对分解后得到的柔性机械臂慢子系统，参数J有界，即J_min＜J＜J_max，进一步将自适应律(23)改进为：

步骤2-5：基于扰动观测结果和自适应参数估计值设计滑模控制器：

其中k_s，η为慢控制器参数，且k_s＞0，η＞0；

步骤2-6：由慢子系统(11)，定义轨迹跟踪误差：

e^s(t)＝θ^s(t)-θ^d(t) (26)

其中，θ^d为理想运动轨迹；定义慢子系统滑模函数：

其中c>0；进一步求得：

步骤2-7：定义Lyapunov函数：

其中

进一步得到：

步骤2-8：利用饱和函数设计准滑动模态抑制滑模抖振：

其中Λ₁为饱和边界；

步骤2-9：慢子系统控制器改进为：

步骤3：快时间尺度下，设计鲁棒滑模控制器即快控制器实现对柔性振动抑制；

步骤4：利用奇异摄动理论将慢控制器与快控制器组合，实现轨迹跟踪和振动抑制的双重控制目标。

2.根据权利要求1所述的一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法，其特征在于，所述基于奇异摄动理论，将柔性机械臂模型在分解为快、慢子系统的分解过程包括：

步骤1-1：基于Assumed-mode法和Lagrange法建立柔性机械臂的动力学模型：

其中，M为相应转矩广义矩阵且正定对称，C₁、C₂为阻尼力、离心力/哥式力，S₁、S₂为刚柔耦合、非线性项，K为刚度矩阵，θ为机械臂旋转角，q为横向模态向量，τ为控制力矩，f为外界慢变扰动；

步骤1-2：将系统构建为奇异摄动系统形式，定义：

N为M的逆矩阵；将式(2)代入式(1)，进一步展开得到：

步骤1-3：定义奇异摄动参数ε＝1/k，其中k为刚度矩阵K中元素的最小值，构建带有奇异摄动参数ε的柔性机械臂奇异摄动系统模型；定义中间变量z＝q/ε，β＝εK，z描述柔性机械臂振动状态，β描述带有奇异摄动理论参数的刚度系数变化情况；则上式可改写为：

步骤1-4：基于奇异摄动理论，忽略系统柔性，令ε＝0，可得：

步骤1-5：将式(8)代入式(7)，求得慢时间尺度下振动状态：

其中，z^s描述慢时间尺度下系统振动状态；进一步将式(9)代入式(5)，能够得到慢子系统模型：

其中，上标s表示慢时间尺度下系统动态，τ^s为慢控制器输出，θ^s为θ的估计值，耦合项

定义

上式改写为：

f变化较慢，假定其仅存在于慢子系统中，即f＝f^s；

步骤1-6：定义变量

在κ时间尺度下，慢动态视为常量，即：

dθ/dκ＝d²θ/dκ²＝0 (12)

dz^s/dκ＝d²z^s/dκ²＝0 (13)

定义变量z^f＝z-z^s，z^f为快时间尺度下系统振动状态；在边界层区域，令ε0，联立方程式(6)、(9)、(12)、(13)，能够得到柔性机械臂的快子系统模型：

τ^f为快控制器输出，

步骤1-7：将慢控制器τ^s与快控制器τ^f相组合，得到组合控制器：

τ＝τ^s+τ^f (15)

根据奇异摄动理论，慢、快子系统与原系统之间的关系为：

θ＝θ^s+O(ε) (16)

q＝1/k(z^s+z^f)+O(ε) (17)

其中，O(ε)为ε的高阶无穷小。

3.根据权利要求1所述的一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法，其特征在于，所述快时间尺度下，设计快控制器实现对柔性机械臂的振动抑制，具体包括：

步骤3-1：在快时间尺度下，重新定义变量：

z^s描述慢时间尺度下系统振动状态；z^f为快时间尺度下系统振动状态；κ为时间尺度参数；

则快子系统可重写为：

其中，v为未建模动态，|v|＜V,V＞0，为v上界；x＝[x₁ x₂]^T，

步骤3-2：设计滑模函数：

s＝Gx (36)

其中，G＞0，为滑模函数参数矩阵，满足Hurwitz条件；

步骤3-3：设计滑模控制律：

τ^f＝-(GB^f)^-1[GA^fx+η₂sgn(s)+GVsgn(s)] (37)

η₂为控制器参数矩阵；

步骤3-4：定义Lyapunov函数：

由式(36)、(37)、(38)得到：

步骤3-5：同样采用饱和函数设计准滑动模态消除滑模抖振对系统影响：

其中Λ2为饱和边界；快子系统控制器改进为：

τ^f＝-(GB^f)^-1[GA^fx+ηsat₂(s)+GVsat₂(s)] (41)。

4.根据权利要求1所述的一种柔性机械臂的组合滑模运动控制方法，其特征在于，所述利用奇异摄动理论将慢控制器与快控制器组合，实现轨迹跟踪和振动抑制的双重控制目标，具体包括：

步骤4-1：在多时间尺度下设计带有扰动观测器和鲁棒项的双重滑模控制器，跟踪轨迹同时快速抑制柔性振动，将慢控制器(32)与快控制器(41)组合得到：

其中，τ^s和τ^f为不同时间尺度下设计的慢、快控制器；C₁为阻尼力。

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