CN107942670B - 一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，该方法基于双柔性空间机械臂的柔性补偿奇异摄动模型，由慢、快变两个可独立设计的子控制器组合而成。慢变子控制器包含有一类指数趋近滑模控制律及附加设计的模糊鲁棒控制项，可实现对传统滑模控制固有抖振的有效削弱及系统刚性运动轨迹的精确跟踪；快变子控制器则采用了最优控制理论进行设计，以抑制系统所产生的柔性振动。本发明提出的一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，对系统的参数不确定性保持有很强的鲁棒性，其刚、柔性运动控制效果亦符合预期控制要求。

Description

一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法

技术领域

本发明涉及机械臂智能控制及数值仿真领域，具体涉及一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法。

背景技术

空间机械臂是一种探索、开发外层空间的重要工具，其独特的太空应用优势使其在各类高危、复杂空间任务中扮演重要角色，极大地加速了人类太空探索的步伐。相比于地面固定基座式机械臂，漂浮空间机械臂动力学模型的非线性更高、耦合性更强，其在各类复杂工况下的控制问题更为棘手。更有文献指出，为了获得更高的系统操控精度，有必要在空间机械臂动力学建模与控制问题研究上充分考虑系统各类固有柔性的影响，其中就包括了关节柔性和基座柔性。

Kostas等研究关节存在柔性的情况，为一类空间机械臂建立了系统动力学模型，并提出一种能最大限度保证机械臂在无震荡情况下实现末端执行器轨迹有效追踪的静态反馈控制方法。元波等为基座弹性影响下空间机械臂系统设计合理的鲁棒控制方案，使其能在基座弹性振动、外部干扰、模型不确定同时影响下，保证机械臂实现良好轨迹追踪。这些单独考虑关节柔性或基座柔性的研究工作虽可通过选取适当的控制方案在系统柔性振动影响最低的情况下保证空间机械臂的轨迹跟踪精度；不过一旦系统各构件存在有较大的固有柔性，这些控制方案往往难以有效消除系统柔性振动对其刚性运动所带来的负面影响。

为此，陈志勇等采用奇异摄动方法将柔性关节机械臂模型分解为表示系统刚性轨迹运动的慢变子系统和表示系统关节柔性振动的快变子系统，并对两个子系统分别提出抗力矩饱和控制及力矩微分反馈控制，以较好地实现系统轨迹的精确追踪及柔性振动抑制目的。Ulrich等提出了一种柔性关节空间机械臂基于奇异摄动技术的改进自适应控制方法。Meng等将基座携带有大型柔性附件的机械臂视为柔性基空间机械臂系统，通过耦合映射法获得柔性附件与机械臂耦合后的耦合运动图，并采用轨迹规划方法实现在规划路径下系统柔性振动最小。Xu等将搭载有太阳能帆板、无线反射器等大型柔性附件的刚性空间机械臂载体视为浮动柔性基座空间机械臂，着重开展了此类系统目标航天器抓取的动力学建模与分析工作，并通过优化运动时间、采用高阶多项式算法及同时考虑轨迹规划及控制规则设计等方案抑制基座的柔性振动。以上兼顾机械臂轨迹追踪运动控制与柔性振动抑制的复合控制方法虽能在系统存在单一柔性(关节柔性或者基座柔性)下实现系统刚性运动控制及柔性振动抑制的预期要求，但对于基座、关节均存在柔性的空间机械臂而言，其控制效果却大打折扣，甚至会出现控制失灵、失效等问题。

目前，有关基座、关节双柔性影响下空间机械臂的动力学控制方法虽有出现但并不多见，尤其是针对系统模型存在不确定性的工况。因此，如何设计更多特定有效的控制策略来解决此类不确定双柔性空间机械臂的控制问题已成为当务之急。

发明内容

本发明的目的在于提供一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，以克服现有技术中存在的缺陷。

为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，包括如下步骤：

步骤S1：根据平面两连杆漂浮双柔性空间机械臂建立系统动力学方程；

步骤S2：通过引入摄动因子，从所述系统动力学方程分解建立一慢变子系统模型；

步骤S3：通过设定快变时标，建立一快变子系统模型；

步骤S4：建立所述慢变子系统模型的滑模切换函数；

步骤S5：将所述慢变子系统模型的控制方式由传统等速趋近律替换为指数趋近律，以克服传统滑模控制所产生的固有抖振；

步骤S6：引入鲁棒控制项消除所述慢变子系统模型系统建模误差影响；

步骤S7：引入模糊控制器对所述鲁棒控制项进行平滑处理；

步骤S8：通过采用基于二次线性最优控制律的最优控制方法对所述快变子系统模型进行主动控制。

在本发明一实施例中，在所述步骤S1中，所述系统动力学方程为：

其中，D(q,x′)和

分别为机械臂对应的4×4对称、正定惯量阵及包含机械臂科氏力、离心力的4阶列向量；J_m＝diag[J_1m,J_2m]为由两柔性关

节处驱动电机转动惯量所组成的对角、正定矩阵；q＝[θ₀,θ₁,θ₂]^T为系统各分

体转角所组成的列向量；k_m＝diag[k_1m,k_2m]为关节线性扭转弹簧刚度系数所组

成的对角、正定矩阵，σ＝θ_m-θ为关节扭转变形列向量，θ＝[θ₁,θ₂]^T为两臂

杆转角列向量；τ_q＝[τ₀,(k_mσ)^T]^T，τ₀为基座姿态控制力矩，k_mσ为弹性控制

力矩列向量；τ_m＝[τ_1m,τ_2m]^T为柔性关节处两电机的实际驱动控制力矩列向量。

在本发明一实施例中，在所述步骤S2中，记τ_m为：

τ_m＝(I+k_c)τ_n-k_ck_mσ；

其中，k_c为一个2×2阶的正定、对角补偿阵，I为2×2阶单位矩阵，τ_n为一2阶控制列向量；

引入所述摄动因子μ＝1/min(k₀,k_1m,k_2m)，同时，令

ε_x＝x′/μ，ε_σ＝σ/μ，且记σ、x′为系统快变量，q为系统慢变量；令μ趋向于0，则所述慢变子系统模型为：

其中，

和

分别为

的子矩阵；

为用于实现刚性轨迹跟踪的2阶慢变控制项。

在本发明一实施例中，在所述步骤S3中，记所述快变时标为：

并同时记

则所述快变子系统模型为：

dZ_k/dt_k＝A_kZ_k+B_kτ_k；

其中，

为

后两项，

为

的子矩阵；τ_k为用于振动抑制的2阶快变控制项。

在本发明一实施例中，在所述步骤S4中，记q＝[θ₀,θ₁,θ₂]^T为系统的实际输出量，q_d＝[θ_0d,θ_1d,θ_2d]^T为二阶连续可导的目标输出量，所述滑模切换函数为：

其中，e＝q_d-q为位置误差，

为速度误差，c为3×3阶对角、正定常值矩阵。

在本发明一实施例中，记

分别为慢变子系统中

的名义值，

和

为相应的建模误差，且满足

则所述慢变子系统动力学方程可转换为

其中，

为因建模误差所产生的系统不确定性函数；

基于传统等速趋近律为：

记慢变子系统控制律为：

其中，ε＝diag[ε₀,ε₁,ε₂]为一个正定、对角常值阵；sgn(S)＝[sgn(s₀),sgn(s₁),sgn(s₂)]^T，s_i为S的子元素，且

所述指数趋近律为：

其中，k_s＝diag[k_s0,k_s1,k_s2]为一个正定、对角常值矩阵，且附加元素

为指数趋近项，其通解为

则：

所述慢变子系统控制律为：

其中，f(t)有界且满足：

其中，f_max＞0。

在本发明一实施例中，在所述步骤S6中，通过所述鲁棒控制项：

替代慢变子控制律的f(t)，且所述慢变子系统控制律为：

在本发明一实施例中，在所述步骤S7中，所述模糊控制器对所述鲁棒控制项τ_rob做如下平滑处理：

其中，δ₀＞0为模糊控制器输出。

在本发明一实施例中，在所述步骤S8中，所述二次线性最优控制律为：

其中，Z_k为快变子系统模型的状态变量，R_k为2×2的对称、正定加权矩阵，P_k为Riccati方程的唯一解，且该Riccati方程为：

相较于现有技术，本发明具有以下有益效果：本发明提出的一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，综合考虑空间机械臂中基座柔性、关节柔性及参数不确定性的影响，采用基于指数趋近律的模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法对系统进行控制。利用指数趋近滑模替代等速趋近滑模得到的方案可大大削弱滑模控制的固有抖振；附加设计的鲁棒控制项可有效镇定系统参数不确定性对空间机械臂轨迹跟踪所产生的不利影响，而模糊控制器则可对鲁棒控制项进行必要的平滑处理，以避免原刚性运动离散鲁棒控制信号对系统柔性振动的负面激励；二次型最优控制则解决了机械臂基座、关节柔性振动的实时抑制问题。

附图说明

图1是本发明一实施例中双柔性空间机械臂的模型图。

图2是本发明一实施例中双柔性机械臂混合控制的控制结构框图。

图3是本发明一实施例中模糊控制器输入量||S||的隶属度函数。

图4是本发明一实施例中模糊控制器输出量δ₀的隶属度函数。

图5是本发明一实施例中在等速趋近滑模控制作用下基座及两关节角的轨迹追踪曲线。

图6是本发明一实施例中在等速趋近滑模控制作用下柔性基座及柔性关节的振动曲线。

图7是本发明一实施例中采用本发明提供的控制方案作用下基座及两关节角的轨迹追踪曲线。

图8是本发明一实施例中采用本发明提供的控制方案作用下柔性基座的振动曲线。

图9是本发明一实施例中采用本发明提供的控制方案作用下柔性关节1的振动曲线。

图10是本发明一实施例中采用本发明提供的控制方案作用下柔性关节2的振动曲线。

图11是本发明一实施例中采用本发明提供的控制方案作用下基座的轨迹追踪误差曲线。

图12是本发明一实施例中采用本发明提供的控制方案作用下关节1的轨迹追踪误差曲线。

图13是本发明一实施例中采用本发明提供的控制方案作用下关节2的轨迹追踪误差曲线。

图14是本发明一实施例中开-关鲁棒项时的轨迹跟踪误差曲线对比图。

图15是本发明一实施例中关闭模糊控制器时柔性基座及柔性关节的振动曲线。图16是本发明一实施例中模糊控制器的实际输出曲线。

【附图标注说明】：o为惯性坐标系原点；W₀为机械臂基座；W_i为机械臂第i(i＝1,2)个连杆；W_p为机械臂末端负载；o_c0为基座质心；o_ci为连杆i(i＝1,2)的质心；o₀与o_c0重合；o_i为第i(i＝1,2)个关节铰的中心；r₀为基座位置矢量；r_i为各分体(或联合体)质心o_ci(i＝0,1,2)在系统惯性坐标系oxy下的位置矢量；x₀为过o_c0与o₁的基座的对称轴；x_i为连杆i(i＝1,2)的对称轴；θ₀为机械臂基座转角；θ_i为连杆W_i(i＝1,2)的转角；θ_im为第i(i＝1,2)个柔性关节处驱动电机的实际转角。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的技术方案进行具体说明。

在本实施中，如图1所示，为平面两连杆漂浮双柔性空间机械臂模型。m_i、J_i分别为W_i(i＝0,1,2)的质量、转动惯量，m_p、J_p分别为W_p的质量及转动惯量；k₀和k_im(i＝1,2)分别为基座线性伸缩弹簧、第i个关节线性扭转弹簧的刚度系数。空间机械臂惯性参数及期望轨迹初始构形如表1和表2所示。q＝[θ₀,θ₁,θ₂]^T为系统基座姿态角、两连杆转角所组成的列向量，θ_m＝[θ_1m,θ_2m]^T为柔性关节处驱动电机转角组成的列向量，x′为基座沿x₀轴方向的线弹性变形量。

表1双柔性空间机械臂的动力学参数

参数	数值及单位
		[m<sub>0</sub>,m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>,m<sub>p</sub>]	[60,6,6,3]kg
[J<sub>0</sub>,J<sub>1</sub>,J<sub>2</sub>,J<sub>p</sub>]	[30,3,3,1.5]kg·m<sup>2</sup>
		[J<sub>1m</sub>,J<sub>2m</sub>]	[0.09,0.09]kg·m<sup>2</sup>
[k<sub>1m</sub>,k<sub>2m</sub>]	[50,50]N·m/rad
		k<sub>0</sub>	500N/m

表2双柔性空间机械臂的期望轨迹及仿真初始值

参数	数值及单位
		基座期望轨迹	θ<sub>0d</sub>＝sin(πt/4)/(2π)rad
关节1期望轨迹	θ<sub>1d</sub>＝t/10-sin(πt/4)/(2π)rad
		关节2期望轨迹	θ<sub>2d</sub>＝1-t/10+sin(πt/4)/(2π)rad
柔性基座弹簧变形量	x′(0)＝0m
		基座姿态角及关节转角	q(0)＝[0.1,0.2,1.2]<sup>T</sup>rad
电机转角	θ<sub>m</sub>(0)＝[0.2；1.2]<sup>T</sup>rad

进一步的，在本实施例中，记仿真中假设机械臂名义模型为D′＝0.3D，C′＝0.3C；控制参数设置为k_c＝diag[30,30]，c＝diag[4,4,4]，k_s＝diag[1,1,1]，f_max＝20，R_k＝diag[1,1]，Q_k＝diag[0.01]_6×6；在等速趋近滑模控制实验中，取ε＝diag[0.5,0.5,0.5]；在所提基于指数趋近律的模糊鲁棒滑模控制实验中，取ε＝diag[0.02,0.02,0.02]。

根据图2的控制结构框图，进行控制方案的设计与仿真。以图1所示平面两连杆漂浮双柔性空间机械臂为研究对象，系统动力学方程为：

其中，D(q,x′)和

分别为机械臂对应的4×4对称、正定惯量阵及包含机械臂科氏力、离心力的4阶列向量；J_m＝diag[J_1m,J_2m]为由两柔性关节处驱动电机转动惯量所组成的对角、正定矩阵；q＝[θ₀,θ₁,θ₂]^T为系统各分体转角所组成的列向量；k_m＝diag[k_1m,k_2m]为关节线性扭转弹簧刚度系数所组成的对角、正定矩阵，σ＝θ_m-θ为关节扭转变形列向量，θ＝[θ₁,θ₂]^T为两臂杆转角列向量；τ_q＝[τ₀,(k_mσ)^T]^T，τ₀为基座姿态控制力矩，k_mσ为弹性控制力矩列向量；τ_m＝[τ_1m,τ_2m]^T为柔性关节处两电机的实际驱动控制力矩列向量。

在本实施例中，在系统控制器设计上，将整体动力学方程中的τ_m设计为：

τ_m＝(I+k_c)τ_n-k_ck_mσ

其中，k_c为一个2×2阶的正定、对角补偿阵，I为2×2阶单位矩阵，τ_n为后续要设计的2阶控制列向量。

进一步的，引入摄动因子μ＝1/min(k₀,k_1m,k_2m)，同时，令

ε_x＝x′/μ，ε_σ＝σ/μ，且定义σ、x′为系统快变量，q为系统慢变量。令μ趋向于0，整理后可得慢变子系统模型为：

其中，

和

分别为

的子矩阵；

为用于实现刚性轨迹跟踪的2阶慢变控制项，文中顶上带横杠的变量表示其在μ＝0时的慢变值。

进一步的，记快变时标

并同时定义

可导出快变子系统模型为：

dZ_k/dt_k＝A_kZ_k+B_kτ_k

其中，

为

后两项，

为

的子矩阵；τ_k为用于振动抑制的2阶快变控制项。

在本实施例中，在实际任务执行过程中，载体基座姿态调整时的燃料消耗、外部载荷的抓取与释放操作等均会使整个空间机器人系统出现参数不确定的情况，而为了消除上述不确定性对系统刚性运动轨迹跟踪精度的影响，本实施例中拟为慢变子系统设计一种基于机器人名义模型的指数趋近滑模模糊鲁棒镇定控制方案。

进一步的，记

为慢变子系统中

的名义值，

和

为相应的建模误差，且满足

则慢变子系统动力学方程可转换为：

其中，

为因建模误差所产生的系统不确定性函数。

进一步的，记q＝[θ₀,θ₁,θ₂]^T为系统的实际输出量，q_d＝[θ_0d,θ_1d,θ_2d]^T为二阶连续可导的目标输出量，选择滑模切换函数为：

其中，e＝q_d-q为位置误差，

为速度误差，c为3×3阶对角、正定常值矩阵。

进一步的，在本实施例中，初步设计基于等速趋近律

的慢变子控制方案为：

其中，ε＝diag[ε₀,ε₁,ε₂]为一个正定、对角常值阵；sgn(S)＝[sgn(s₀),sgn(s₁),sgn(s₂)]^T，s_i为S的子元素，且

所设计的滑模将容易满足到达条件

即，上述等速趋近律滑模控制能保证系统基座姿态、机械臂各关节沿目标轨迹进行运动。

进一步的，在本实施例中，若欲使系统具有较快的收敛速度，上述方案中ε各元素需选取较大的数值，但此种做法往往产生过于离散的系统控制信号，极易激励起系统基座、关节的高频弹性振动。为此，下面拟对上述控制方案进行改进，即通过在原滑模切换函数中引入指数趋近项来削弱滑模控制的固有抖振。

为此，在本实施例中，将等速趋近律修正为指数趋近律形式

其中，k_s＝diag[k_s0,k_s1,k_s2]为一个正定、对角常值矩阵，且附加元素

为指数趋近项，其通解为

进一步的，结合慢变子系统动力学方程，可进一步得：

再次设计慢变子系统控制律为：

进一步的，鉴于f(t)是一个不确定的时变函数，上述控制律显然无法直接应用于实际系统的控制。不失一般性，设f(t)有界且满足：

其中，f_max＞0。

进一步的，在本实施例中，引入鲁棒控制项

来替代慢变子控制律的f(t)，并将控制律改写为：

继续对原趋近律做如下修正，得：

并再次计算滑模到达条件：

可见，改进得到的鲁棒滑模控制律在系统参数不确定性的影响下能使系统满足滑模可达性条件。式中用于镇定系统不确定性影响的鲁棒控制信号τ_rob仍具有一定的离散性，这不仅不利于滑模抖振的消除，而且还极有可能成为引起系统基座、关节弹性振动的又一激发因素。为此，在本实施例中，引入模糊控制器对上述τ_rob做如下平滑处理：

以确保鲁棒控制信号的光滑、连续性。其中，δ₀＞0为后续引入的模糊控制器输出。

在本实施例中，所提模糊控制器是一个以||S||为输入量，以δ₀为输出量的单输入单输出控制单元。根据实际控制需求，该模糊控制器应在||S||较大时输出较小的δ₀，在||S||较小时输出较大的δ₀。选用模糊集{PS,PM,PL}＝{正小,正中,正大}，并采用图3和图4所示的隶属度函数分别对||S||和δ₀进行模糊化；模糊推理阶段使用的模糊推理规则为：

当||S||为PS时，δ₀对应为PL；

当||S||为PM时，δ₀对应为PM；

当||S||为PL时，δ₀对应为PS；

最后，推理得到的δ₀模糊量采用重心法进行去模糊、数字化。

在本实施例中，为抑制基座及关节的振动，本实施例中对快变子系统采用最优控制方法进行主动控制。根据控制需求，所提最优控制方法应在确保快变子系统稳定的同时尽量使控制器所消耗的能量降到最低。快变子系统的控制性能及控制器能量的要求可采用以下二次型性能指标函数来描述：

其中，Q_k、R_k分别为合理选取的6×6的对称、半正定加权矩阵及2×2的对称、正定加权矩阵，且分别表征状态变量Z_k及快变控制τ_k对性能指标J_k的影响程度。

进一步的，指标函数中第一项反映出系统的控制性能，第二项则反映出控制器消耗能量的大小。一般来说，状态Z_k衰减越快，系统的振动越小，控制性能就越好，但控制器所消耗的能量却越大。为解决这一矛盾，需设计合适的控制器τ_k使J_k最小。为此，计算如下Riccati方程：

中的唯一解P_k，并在此基础上设计快变子系统的最优反馈控制律：

系统控制中以基座姿态角及关节角的期望轨迹作为系统控制输入，以基座姿态角、关节转角、驱动电机转角的实际值作为系统控制输出，使用所提控制方案对双柔性空间机械臂进行仿真控制，仿真结果如图5～图15所示。

在本实施例中，图5和图6是采用传统等速趋近滑模慢变控制与最优快变控制得到的仿真结果。可以看出，等速趋近滑模控制虽能很好地保证系统刚性运动的轨迹跟踪，但是由于滑模慢变控制器本身存在抖振现象，空间机械臂的基座及关节均出现了不规则的柔性振动，且难以通过最优快变控制进行抑制。

在本实施例中，在所提基于指数趋近律的模糊鲁棒滑模慢变控制与最优快变控制的综合作用下，基座姿态角及两关节角轨迹追踪情况如图7所示，其中虚线表示目标轨迹，实线表示实际追踪轨迹。图8～图10是柔性基座及各柔性关节的振动抑制情况，图11～图13是系统轨迹跟踪误差曲线图。从以上仿真结果看，系统基座姿态及机械臂两关节均能在3s内迅速追踪上目标轨迹，且跟踪误差均稳定在±4×10^-3rad范围内，基座及关节的柔性振动均在3s后得到有效抑制，且基座变形值稳定在距离零线附近±2×10^-3m范围内，关节变形值稳定在距离零线附近±0.2rad范围内。图14为开启及关闭经平滑处理后的鲁棒模糊控制项τ_rob时的系统跟踪误差对比图，其中e₀、e₁和e₂分别表示基座姿态、关节1转角和关节2转角的跟踪误差。可以看出，在系统存在不确定参数的工况下，若关掉鲁棒控制项τ_rob，系统难以跟踪上其目标轨迹，其跟踪误差将在零线附近严重波动。图8～图10和图15对比结果表明，模糊控制器对鲁棒控制项τ_rob的平滑处理是十分必要的，其可有效避免因原鲁棒控制信号不连续而产生的系统柔性振动问题。图16为模糊控制器的实时输出曲线，该曲线将趋向于一个稳定值0.87，该值可为鲁棒控制项τ_rob中小正数δ₀的人工尝试选取提供必要的数值参考。再者，若在其他控制器开启状态下关闭最优快变控制律后再次进行仿真控制，则空间机械臂控制系统会因系统柔性振动无法得到及时、有效抑制而失效。

以上是本发明的较佳实施例，凡依本发明技术方案所作的改变，所产生的功能作用未超出本发明技术方案的范围时，均属于本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤S1：根据平面两连杆漂浮双柔性空间机械臂建立系统动力学方程；

步骤S2：通过引入摄动因子，从所述系统动力学方程分解建立一慢变子系统模型；

步骤S3：通过设定快变时标，建立一快变子系统模型；

步骤S4：建立所述慢变子系统模型的滑模切换函数；

步骤S5：将所述慢变子系统模型的控制方式由传统等速趋近律替换为指数趋近律，以克服传统滑模控制所产生的固有抖振；

步骤S6：引入鲁棒控制项消除所述慢变子系统模型系统建模误差影响；

步骤S7：引入模糊控制器对所述鲁棒控制项进行平滑处理；

步骤S8：通过采用基于二次线性最优控制律的最优控制方法对所述快变子系统模型进行主动控制；

在所述步骤S1中，所述系统动力学方程为：

其中，D(q,x′)和

分别为机械臂对应的4×4对称、正定惯量阵及包含机械臂科氏力、离心力的4阶列向量；J_m＝diag[J_1m,J_2m]为由两柔性关节处驱动电机转动惯量所组成的对角、正定矩阵；q＝[θ₀,θ₁,θ₂]^T为系统各分体转角所组成的列向量；k_m＝diag[k_1m,k_2m]为关节线性扭转弹簧刚度系数所组成的对角、正定矩阵，σ＝θ_m-θ为关节扭转变形列向量，θ＝[θ₁,θ₂]^T为两臂杆转角列向量；τ_q＝[τ₀,(k_mσ)^T]^T，τ₀为基座姿态控制力矩，k_mσ为弹性控制力矩列向量；τ_m＝[τ_1m,τ_2m]^T为柔性关节处两电机的实际驱动控制力矩列向量；k₀为基座线性伸缩弹簧；θ_m＝[θ_1m,θ_2m]^T为柔性关节处驱动电机转角组成的列向量，x′为基座沿x₀轴方向的线弹性变形量；

在所述步骤S2中，记τ_m为：

τ_m＝(I+k_c)τ_n-k_ck_mσ；

其中，k_c为一个2×2阶的正定、对角补偿阵，I为2×2阶单位矩阵，τ_n为一2阶控制列向量；

引入所述摄动因子μ＝1/min(k₀,k_1m,k_2m)，同时，令

ε_x＝x′/μ，ε_σ＝σ/μ，且记σ、x′为系统快变量，q为系统慢变量；令μ趋向于0，则所述慢变子系统模型为：

其中，

和

分别为

的子矩阵；

为用于实现刚性轨迹跟踪的2阶慢变控制项；

在所述步骤S4中，记q＝[θ₀,θ₁,θ₂]^T为系统的实际输出量，q_d＝[θ_0d,θ_1d,θ_2d]^T为二阶连续可导的目标输出量，所述滑模切换函数为：

其中，e＝q_d-q为位置误差，

为速度误差，c为3×3阶对角、正定常值矩阵；

记

分别为慢变子系统中

的名义值，

和

为相应的建模误差，且满足

则所述慢变子系统动力学方程可转换为

其中，

为因建模误差所产生的系统不确定性函数；

基于传统等速趋近律为：

记慢变子系统控制律为：

其中，ε＝diag[ε₀,ε₁,ε₂]为一个正定、对角常值阵；sgn(S)＝[sgn(s₀),sgn(s₁),sgn(s₂)]^T，s_i为S的子元素，且

所述指数趋近律为：

其中，k_s＝diag[k_s0,k_s1,k_s2]为一个正定、对角常值矩阵，且附加元素

为指数趋近项，其通解为

则：

所述慢变子系统控制律为：

其中，f(t)有界且满足：

其中，f_max＞0。

2.根据权利要求1所述的一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，其特征在于，在所述步骤S3中，记所述快变时标为：

并同时记

则所述快变子系统模型为：

dZ_k/dt_k＝A_kZ_k+B_kτ_k；

其中，

为

后两项，

为

的子矩阵；τ_k为用于振动抑制的2阶快变控制项。

3.根据权利要求1所述的一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，其特征在于，在所述步骤S6中，通过所述鲁棒控制项：

替代慢变子控制律的f(t)，且所述慢变子系统控制律为：

4.根据权利要求3所述的一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，其特征在于，在所述步骤S7中，所述模糊控制器对所述鲁棒控制项τ_rob做如下平滑处理：

其中，δ₀＞0为模糊控制器输出。

5.根据权利要求2所述的一种双柔性空间机械臂模糊鲁棒滑模削抖运动控制方法，其特征在于，在所述步骤S8中，所述二次线性最优控制律为：

其中，Z_k为快变子系统模型的状态变量，R_k为2×2的对称、正定加权矩阵，P_k为Riccati方程的唯一解，且该Riccati方程为：

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