CN104035337B - 一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，它有四大步骤：步骤1：柔性机械臂的动力学建模；步骤2：PDE模型分解；步骤3：控制律设计；步骤4：设计结束。本发明首先利用哈密尔顿原理，求出整个系统的PDE模型；再利用奇异摄动理论将原PDE模型分解为表征整体刚性运动的集中慢子系统和描述系统振动的快子系统；然后分别针对快、慢子系统设计滑模控制律，并利用李雅普诺夫函数，对所设计的控制律进行收敛性分析，以验证其合理性及稳定性。最后，根据奇异摄动原理得出复合控制律。

Description

一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，它是针对柔性机械臂的偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)动力学模型(以下简称PDE模型)，而给出一种滑模控制设计方法，属于机械臂控制技术领域。

背景技术

由于具有质量轻、速度快、能耗低等优点，柔性机械臂越来越多地应用于航天和工业领域。以往，关于柔性机械臂控制方法的研究大都基于常微分方程(Ordinary Differential Equation,ODE)动力学模型(以下简称ODE模型)。ODE模型在形式上简单并为控制律设计提供了方便。然而，由于ODE模型是通过忽略高阶振荡模态获得的，它难以精确描述柔性系统的分布式参数特性并可能造成溢出不稳定性。因此，针对柔性机械臂的PDE模型进行控制律的设计有重要的现实意义。

由于柔性机械臂的动力学模型复杂，很多学者研究了对模型的简化和分解的方法。一个典型的方法是基于奇异摄动理论，将系统模型分解为快、慢两个子系统：一个是反映系统整体运动的慢子系统，另一个是反映高频模态的快子系统。但是，研究大多是基于ODE模型，所带来的控制问题同样也是存在。在这种技术背景下，针对柔性机械臂的PDE模型，本发明给出一种基于奇异摄动理论的滑模控制的设计方法。采用这种方法，可以实现角度跟踪并且抑制柔性机械臂的振动，从而为之后柔性机械臂的研究打下良好的基础。

发明内容

1、发明目的

本发明的目的是提供一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，它是针对柔性机械臂的PDE模型，克服现有研究方法的不足，给出一种滑模控制律及其具体的设计方法，使得在外界干扰不确定的情况下，实现对柔性机械臂的有效控制。

2、技术方案

本发明设计思想是：针对柔性机械臂的PDE模型，利用奇异摄动理论将原PDE模型分解为表征整体刚性运动的慢子系统和描述系统振动的快子系统。分别针对快、慢子系统设计滑模控制律。利用李雅普诺夫函数，对所设计的控制律进行收敛性分析，以验证其合理性及稳定性。最后，根据奇异摄动原理得出复合控制律。

下面结合流程框图1中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：柔性机械臂动力学建模

本发明所针对的柔性机械臂的模型如图2所示，利用哈密尔顿原理，通过对系统的分析，可以求出其PDE模型。

建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形。为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)。

柔性机械臂的自然边界条件为

y(0)＝y_x(0)＝0 (1)

其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数。

定义

z(x)＝xθ+y(x) (2)

其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数。

由式(1)和式(2)可得z(0)＝y(0)，从而

z(0)＝0，z_x(0)＝θ， $\frac{{\∂}^{n}z}{{\∂x}^n}=\frac{{\∂}^{n}y}{{\∂x}^n}(n\≥2)---\left(3\right)$

由可得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)。

系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{\ρ}\stackrel{\·}{z}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{m\stackrel{\·}{z}}^2\left(L\right)$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}$

$W_{\mathrm{nc}}=(\mathrm{\τ}+d_1)\mathrm{\θ}+(F+d_2)z\left(L\right)+{\∫}_0^{L}f\left(x\right)z\left(x\right)\mathrm{dx}$

其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰。

由哈密尔顿原理可得柔性机械臂的PDE模型如下

$\mathrm{\ρ}(x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right))=-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(4a\right)$

$I_h\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)=\mathrm{\τ}+d_1---\left(4b\right)$

$m\stackrel{\·\·}{y}\left(L\right)+\mathrm{mL}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)=F+d_2---\left(4c\right)$

y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0 (4d)

步骤2：PDE模型的分解

首先引入摄动参数并定义变量y＝ε²w。将变量代入系统模型式(4)可得：

$I_h\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EI\ϵ}}^2{w}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)=\mathrm{\τ}+d_1---\left(5\right)$

$x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}\left(x\right)=-{\mathrm{aw}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(6\right)$

${\mathrm{m\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}\left(L\right)+\mathrm{mL}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\ρaw}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)=F+d_2---\left(7\right)$

w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (8)

令摄动参数ε＝0，可得慢系统方程为：

$I_h{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s={\mathrm{\τ}}_s+d_1---\left(9\right)$

$x{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=-{\mathrm{aw}}_{\mathrm{sxxxx}}\left(x\right)---\left(10\right)$

$\mathrm{mL}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s-{\mathrm{\ρaw}}_{\mathrm{sxxx}}\left(L\right)=F_s+d_2---\left(11\right)$

w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (12)

引入伸长时标w＝w_s+w_f,τ＝τ_s+τ_f,F＝F_s+F_f，并且在时标u下，θ′(u)和θ″(u)为0。可得快系统方程为：

τ_f＝0 (13)

w″_f(x,u)＝-aw_fxxxx(x,u) (14)

mw″_f(L,u)+aρw_fxxx(L,u)＝F_f (15)

w_f(0,u)＝w_fx(0,u)＝w_fxx(L,u)＝0 (16)

将代入到式(14)和(15)式得：

${\stackrel{\·\·}{y}}_f\left(x\right)=-\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{\ρ}}{y}_{\mathrm{fxxxx}}\left(x\right)---\left(17\right)$

$m{\stackrel{\·\·}{y}}_f\left(L\right)-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)=F_f---\left(18\right)$

其中下标s和f表示系统的慢变量和快变量，

步骤3：控制律的设计

由式(10)和式(11)可得

$(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=F_s+d_2---\left(19\right)$

针对慢系统式(9)和式(19)，采用滑模控制，取误差信息为e＝θ(t)-θ_d(t)，则滑模函数 $s_s=\mathrm{ce}+\stackrel{\·}{e},$ c>0。

取Lyapunov函数为V_s＝V_s1+V_s2，其中采用指数趋近律，设计控制律为：

${\mathrm{\τ}}_s=-I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}{s}_s-k_1{s}_s---\left(20\right)$

$F_s=-(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}{s}_s-k_2{s}_s---\left(21\right)$

其中k₁>0，η₁>|d₁|_max，k₂>0，η₂>|d₂|_max。

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_s={\stackrel{\·}{V}}_{s1}+{\stackrel{\·}{V}}_{s2}=I_h{s}_s{\stackrel{\·}{s}}_s+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)s_s{\stackrel{\·}{s}}_s\\ =I_h{s}_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{e})+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)s_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{e})\\ =I_h{s}_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)s_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)\\ =s_s(I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)+{\mathrm{\τ}}_s+d_1)+s_s((\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)+F_s+d_2)\\ =-{\mathrm{\η}}_1\left|s_s\right|-k_1{s}^2+d_1{s}_s-{\mathrm{\η}}_2\left|s_s\right|-k_2{s}^2+d_2{s}_s\\ =-{\mathrm{\η}}_1\left|s_s\right|+d_1{s}_s-{\mathrm{\η}}_2\left|s_s\right|-(k_1+k_2){s_s}^2+d_2{s}_s\\ \≤-\frac{2(k_1+k_2)}{I_h+\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2}{V}_s=-{2\mathrm{kV}}_s\end{array}$

其中 $k=\frac{k_1+k_2}{I_h+\mathrm{mL}+1/2{\mathrm{\ρL}}^2}>0.$

则可见，V_s(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k。慢系统的闭环系统是指数稳定的。

针对快系统式(17)和式(18)，采用滑模控制，取滑模函数为则

采用指数趋近律，设计控制律为：

F_f＝-η₃sgn(s_f)-k₃s_f (22)

其中k₃>0，η₃>0。

为了抑制机械臂的变形和振动，选取Lyapunov函数为：

$V_f\left(t\right)=\frac{\mathrm{\ρ}}{2}{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{{\mathrm{ms}}_f}^2$

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_f\left(t\right)=\mathrm{\ρ}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+{\mathrm{ms}}_f{\stackrel{\·}{s}}_f\\ =\mathrm{\ρ}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+s_{f}m\stackrel{\·\·}{y}\left(L\right)\\ =-\mathrm{EI}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)y_{\mathrm{fxxxx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+s_f({\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+F_f)\\ =-\stackrel{\·}{y}\left(L\right){\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+s_f({\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+F_f)\\ =s_f{F}_f=-{\mathrm{\η}}_3\left|s_f\right|-k_3{s}_f^2\≤-{2k}_3{V}_f\end{array}$

则可见，V_f(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k₃。可知快系统的闭环系统是指数稳定的。

由快、慢子系统控制律，可得到复合控制律：

$\mathrm{\τ}={\mathrm{\τ}}_s+{\mathrm{\τ}}_f=-I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}{s}_s-k_1{s}_s---\left(23\right)$

$F=F_s+F_f=-(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}{s}_s-k_2{s}_s-{\mathrm{\η}}_3\mathrm{sgn}\left(s_f\right)-k_3{s}_f---\left(24\right)$

根据奇异摄动原理，按快慢系统分别设计稳定的控制律，所得到复合控制律是稳定的。

在仿真过程中，控制律的参数选为c＝15，k₁＝30，η₁＝5，k₂＝5，η₂＝5,k₃＝40,η₃＝5。输入控制律为式(23)和式(24)。因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)。系统其他物理参数如表1所示。

表1柔性机械臂物理参数的数值

步骤4：设计结束

整个设计过程重点考虑三个方面，分别是柔性机械臂的动力学建模，PDE模型的分解及控制律的设计。围绕这三个方面，首先在上述步骤1中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的PDE模型；步骤2运用奇异摄动原理对原PDE模型进行了分解；步骤3考虑系统外界干扰的不确定性，给出了滑模控制律的设计方法并得到复合控制律。经过上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明的优点在于与目前存在的处理方法相比，这种方法在设计时，不仅考虑了柔性机械臂的空间上的分布参数特性，而且降低了分布参数模型分析、设计的复杂程度。在简化模型的基础上设计出了具有抗干扰性能的滑模控制律。

附图说明

图1：本发明实施步骤流程框图

图2：本发明中柔性机械臂示意图

图3：本发明实施方式中的柔性机械臂的角度跟踪图

图4：本发明实施方式中的柔性机械臂末端变形图

图5：本发明实施方式中的柔性机械臂的控制输入信号图

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图2中，坐标轴XOY表示固定的惯性坐标系，坐标轴xOy表示随动坐标系。EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，θ为关节角度，τ(t)为首端控制力矩输入，F(t)为末端控制力矩输入，y(x,t)为机械臂的弹性变形，d₁(t)为首端控制输入慢时变干扰，d₂(t)为末端控制输入慢时变干扰。图3-图5中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图3中的纵坐标表示角度位置；图3中的实线表示角度预期值，虚线分别角度实际值；图4中的纵坐标分别表示末端变形值。图5中的纵坐标分别表示控制输入信号幅值。

具体实施方式

下面将结合附图和技术方案对本发明做进一步的详细说明。

见图1，本发明一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：柔性机械臂动力学建模

本发明所针对的柔性机械臂的模型如图2所示，利用哈密尔顿原理，通过对系统的分析，可以求出其PDE模型。

建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形。为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)。

柔性机械臂的自然边界条件为

y(0)＝y_x(0)＝0 (1)

其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数。

定义

z(x)＝xθ+y(x) (2)

其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数。

由式(1)和式(2)可得z(0)＝y(0)，从而

z(0)＝0，z_x(0)＝θ， $\frac{{\∂}^{n}z}{{\∂x}^n}=\frac{{\∂}^{n}y}{{\∂x}^n}(n\≥2)---\left(3\right)$

由可得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)。

系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{\ρ}\stackrel{\·}{z}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{m\stackrel{\·}{z}}^2\left(L\right)$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}$

$W_{\mathrm{nc}}=(\mathrm{\τ}+d_1)\mathrm{\θ}+(F+d_2)z\left(L\right)+{\∫}_0^{L}f\left(x\right)z\left(x\right)\mathrm{dx}$

其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰。

由哈密尔顿原理可得柔性机械臂的PDE模型如下

$\mathrm{\ρ}(x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right))=-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(4a\right)$

$I_h\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)=\mathrm{\τ}+d_1---\left(4b\right)$

$m\stackrel{\·\·}{y}\left(L\right)+\mathrm{mL}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)=F+d_2---\left(4c\right)$

y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0 (4d)

步骤2：PDE模型的分解

首先引入摄动参数并定义变量y＝ε²w。将变量代入系统模型式(4)可得：

$I_h\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EI\ϵ}}^2{w}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)=\mathrm{\τ}+d_1---\left(5\right)$

$x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}\left(x\right)=-{\mathrm{aw}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(6\right)$

${\mathrm{m\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}\left(L\right)+\mathrm{mL}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\ρaw}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)=F+d_2---\left(7\right)$

w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (8)

令摄动参数ε＝0，可得慢系统方程为：

$I_h{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s={\mathrm{\τ}}_s+d_1---\left(9\right)$

$x{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=-{\mathrm{aw}}_{\mathrm{sxxxx}}\left(x\right)---\left(10\right)$

$\mathrm{mL}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s-{\mathrm{\ρaw}}_{\mathrm{sxxx}}\left(L\right)=F_s+d_2---\left(11\right)$

w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (12)

引入伸长时标w＝w_s+w_f,τ＝τ_s+τ_f,F＝F_s+F_f，并且在时标u下，θ′(u)和θ″(u)为0。可得快系统方程为：

τ_f＝0 (13)

w″_f(x,u)＝-aw_fxxxx(x,u) (14)

mw″_f(L,u)+aρw_fxxx(L,u)＝F_f (15)

w_f(0,u)＝w_fx(0,u)＝w_fxx(L,u)＝0 (16)

将代入到式(14)和(15)式得：

${\stackrel{\·\·}{y}}_f\left(x\right)=-\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{\ρ}}{y}_{\mathrm{fxxxx}}\left(x\right)---\left(17\right)$

$m{\stackrel{\·\·}{y}}_f\left(L\right)-{\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)=F_f---\left(18\right)$

其中下标s和f表示系统的慢变量和快变量，

步骤3：控制律的设计

由式(10)和式(11)可得

$(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=F_s+d_2---\left(19\right)$

针对慢系统式(9)和式(19)，采用滑模控制，取误差信息为e＝θ(t)-θ_d(t)，则滑模函数 $s_s=\mathrm{ce}+\stackrel{\·}{e},$ c>0。

取Lyapunov函数为V_s＝V_s1+V_s2，其中采用指数趋近律，设计控制律为：

${\mathrm{\τ}}_s=-I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}{s}_s-k_1{s}_s---\left(20\right)$

$F_s=-(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}{s}_s-k_2{s}_s---\left(21\right)$

其中k₁>0，η₁>|d₁|_max，k₂>0，η₂>|d₂|_max。

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_s={\stackrel{\·}{V}}_{s1}+{\stackrel{\·}{V}}_{s2}=I_h{s}_s{\stackrel{\·}{s}}_s+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)s_s{\stackrel{\·}{s}}_s\\ =I_h{s}_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{e})+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)s_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{e})\\ =I_h{s}_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)+(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)s_s(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)\\ =s_s(I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)+{\mathrm{\τ}}_s+d_1)+s_s((\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)+F_s+d_2)\\ =-{\mathrm{\η}}_1\left|s_s\right|-k_1{s}^2+d_1{s}_s-{\mathrm{\η}}_2\left|s_s\right|-k_2{s}^2+d_2{s}_s\\ =-{\mathrm{\η}}_1\left|s_s\right|+d_1{s}_s-{\mathrm{\η}}_2\left|s_s\right|-(k_1+k_2){s_s}^2+d_2{s}_s\\ \≤-\frac{2(k_1+k_2)}{I_h+\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2}{V}_s=-{2\mathrm{kV}}_s\end{array}$

其中 $k=\frac{k_1+k_2}{I_h+\mathrm{mL}+1/2{\mathrm{\ρL}}^2}>0.$

则可见，V_s(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k。慢系统的闭环系统是指数稳定的。

针对快系统式(17)和式(18)，采用滑模控制，取滑模函数为则

采用指数趋近律，设计控制律为：

F_f＝-η₃sgn(s_f)-k₃s_f (22)

其中k₃>0，η₃>0。

为了抑制机械臂的变形和振动，选取Lyapunov函数为：

$V_f\left(t\right)=\frac{\mathrm{\ρ}}{2}{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}{{\mathrm{ms}}_f}^2$

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_f\left(t\right)=\mathrm{\ρ}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+{\mathrm{ms}}_f{\stackrel{\·}{s}}_f\\ =\mathrm{\ρ}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+s_{f}m\stackrel{\·\·}{y}\left(L\right)\\ =-\mathrm{EI}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)y_{\mathrm{fxxxx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+\mathrm{EI}{\∫}_0^L{y}_{\mathrm{xx}}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{\mathrm{xx}}\left(x\right)\mathrm{dx}+s_f({\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+F_f)\\ =-\stackrel{\·}{y}\left(L\right){\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+s_f({\mathrm{EIy}}_{\mathrm{fxxx}}\left(L\right)+F_f)\\ =s_f{F}_f=-{\mathrm{\η}}_3\left|s_f\right|-k_3{s}_f^2\≤-{2k}_3{V}_f\end{array}$

则可见，V_f(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k₃。可知快系统的闭环系统是指数稳定的。

由快、慢子系统控制律，可得到复合控制律：

$\mathrm{\τ}={\mathrm{\τ}}_s+{\mathrm{\τ}}_f=-I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}{s}_s-k_1{s}_s---\left(23\right)$

$F=F_s+F_f=-(\mathrm{mL}+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}{s}_s-k_2{s}_s-{\mathrm{\η}}_3\mathrm{sgn}\left(s_f\right)-k_3{s}_f---\left(24\right)$

根据奇异摄动原理，按快慢系统分别设计稳定的控制律，所得到复合控制律是稳定的。

在仿真过程中，控制律的参数选为c＝15，k₁＝30，η₁＝5，k₂＝5，η₂＝5,k₃＝40,η₃＝5。输入控制律为式(23)和式(24)。因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)。系统其他物理参数如表1所示。

表1柔性机械臂物理参数的数值

步骤4：设计结束

整个设计过程重点考虑三个方面，分别是柔性机械臂的动力学建模，PDE模型的分解及控制律的设计。围绕这三个方面，首先在上述步骤1中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的PDE模型；步骤2运用奇异摄动原理对原PDE模型进行了分解；步骤3考虑系统外界干扰的不确定性，给出了滑模控制律的设计方法并得到复合控制律。经过上述各步骤后，设计结束。

综上所述，针对柔性机械臂的PDE模型，利用上述设计的滑模控制律，可以在外界干扰不确定的情况下，实现对柔性机械臂的有效控制。图3—图5分别为本发明实施方式中的柔性机械臂的角度跟踪图、末端变形图和控制输入信号图。

Claims (1)

1.一种基于奇异摄动理论的柔性机械臂滑模控制设计方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤1：柔性机械臂动力学建模

利用哈密尔顿原理，通过对柔性机械臂的系统分析，求出其PDE模型；

建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形，为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)；

柔性机械臂的自然边界条件为

y(0)＝y_x(0)＝0 (1)

其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数；

定义

z(x)＝xθ+y(x) (2)

其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数；

由式(1)和式(2)得z(0)＝y(0)，从而

$z\left(0\right)=0,z_x\left(0\right)=\mathrm{\θ},\frac{{\∂}^{n}z}{\∂x^n}=\frac{{\∂}^{n}y}{\∂x^n},n\≥2---\left(3\right)$

由得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)；

系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下：

$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\mathrm{\ρ}{\stackrel{\·}{z}}^2\left(x\right)dx+\frac{1}{2}m{\stackrel{\·}{z}}^2\left(L\right)$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{EIz}}_{xx}^2\left(x\right)dx$

$W_{nc}=(\mathrm{\τ}+d_1)\mathrm{\θ}+(F+d_2)z\left(L\right)+{\∫}_0^{L}f(x,t)z\left(x\right)dx$

其中，表示z(L)对时间的一阶导数；和分别表示对时间t的一阶和二阶导数；(*)_x和(*)_xx分别表示x的一阶和二阶导数；

f(x,t)表示机械臂上的分布式干扰，取f(x,t)＝0；

其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰；

由哈密尔顿原理得柔性机械臂的PDE模型如下

$\mathrm{\ρ}(x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\stackrel{\·\·}{y}(x\left)\right)=-{\mathrm{EIy}}_{xxxx}\left(x\right)---\left(4a\right)$

$I_h\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIy}}_{xx}\left(0\right)=\mathrm{\τ}+d_1---\left(4b\right)$

$m\stackrel{\·\·}{y}\left(L\right)+mL\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIy}}_{xxx}\left(L\right)=F+d_2---\left(4c\right)$

y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0 (4d)

步骤2：PDE模型的分解

首先引入摄动参数并定义变量y(x)＝ε²w(x,t)，将变量代入系统模型式(4a)-(4d)得：其中，a为一个正的常数，调节a使ε任意小；

$I_h\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EI\ϵ}}^2{w}_{xx}\left(0\right)=\mathrm{\τ}+d_1---\left(5\right)$

$x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}\left(x\right)=-{\mathrm{aw}}_{xxxx}\left(x\right)---\left(6\right)$

${\mathrm{m\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}\left(L\right)+mL\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\ρaw}}_{xxx}\left(L\right)=F+d_2---\left(7\right)$

w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (8)

令摄动参数ε＝0，得慢系统方程为：

$I_h{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s={\mathrm{\τ}}_s+d_1---\left(9\right)$

$x{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=-{\mathrm{aw}}_{sxxxx}\left(x\right)---\left(10\right)$

$mL{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s-{\mathrm{\ρaw}}_{sxxx}\left(L\right)=F_s+d_2---\left(11\right)$

w(0)＝w_x(0)＝w_xx(L)＝0 (12)

引入伸长时标w＝w_s+w_f,τ＝τ_s+τ_f,F＝F_s+F_f，并且在时标u下，θ′(u)和θ″(u)为0，得快系统方程为：

τ_f＝0 (13)

w″_f(x,u)＝-aw_fxxxx(x,u) (14)

mw″_f(L,u)+aρw_fxxx(L,u)＝F_f (15)

w_f(0,u)＝w_fx(0,u)＝w_fxx(L,u)＝0 (16)

将代入到式(14)和(15)式得：

其中，w″_f表示w_f对时标u的二阶导数；表示w_f对时标t的二阶导数；

${\stackrel{\·\·}{y}}_f\left(x\right)=-\frac{EI}{\mathrm{\ρ}}{y}_{fxxxx}\left(x\right)---\left(17\right)$

$m{\stackrel{\·\·}{y}}_f\left(L\right)-{\mathrm{EIy}}_{fxxx}\left(L\right)=F_f---\left(18\right)$

其中下标s和f表示系统的慢变量和快变量，

步骤3：控制律的设计

由式(10)和式(11)得

$(mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=F_s+d_2---\left(19\right)$

针对慢系统式(9)和式(19)，采用滑模控制，取误差信息为e＝θ(t)-θ_d(t)，则滑模函数c＞0；其中，θ_d为目标角度的期望值；

取Lyapunov函数为V_s＝V_s1+V_s2，其中采用指数趋近律，设计控制律为：

${\mathrm{\τ}}_s=-I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_{1}sgn{s}_s-k_1{s}_s---\left(20\right)$

$F_s=-(mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_{2}sgn{s}_s-k_2{s}_s---\left(21\right)$

其中k₁＞0，η₁＞|d₁|_max，k₂＞0，η₂＞|d₂|_max；

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_s={\stackrel{\·}{V}}_{s1}+{\stackrel{\·}{V}}_{s2}=I_h{s}_s{\stackrel{\·}{s}}_s+\left(mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2\right)s_s{\stackrel{\·}{s}}_s\\ =I_h{s}_s\left(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{e}\right)+\left(mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2\right)s_s\left(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{e}\right)\\ =I_h{s}_s\left(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d\right)+\left(mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2\right)s_s\left(c\stackrel{\·}{e}+\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d\right)\\ =s_s\left(I_h\left(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d\right)+{\mathrm{\τ}}_s+d_1\right)+s_s\left(\left(mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2\right)\left(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d\right)+F_s+d_2\right)\\ =-{\mathrm{\η}}_1\left|s_s\right|-k_1{s}^2+d_1{s}_s-{\mathrm{\η}}_2\left|s_s\right|-k_2{s}^2+d_2{s}_s\\ =-{\mathrm{\η}}_1\left|s_s\right|+d_1{s}_s-{\mathrm{\η}}_2\left|s_s\right|-\left(k_1+k_2\right){s_2}^2+d_2{s}_s\\ \≤-\frac{2\left(k_1+k_2\right)}{I_h+mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2}{V}_s=-2{\mathrm{kV}}_s\end{array}$

其中则V_s(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k，慢系统的闭环系统是指数稳定的；

针对快系统式(17)和式(18)，采用滑模控制，取滑模函数为则采用指数趋近律，设计控制律为：

F_f＝-η₃sgn(s_f)-k₃s_f (22)

其中k₃＞0，η₃＞0；

为了抑制机械臂的变形和振动，选取Lyapunov函数为：

$V_f\left(t\right)=\frac{\mathrm{\ρ}}{2}{\∫}_0^L{\stackrel{\·}{y}}^2\left(x\right)dx+\frac{EI}{2}{\∫}_0^L{y}_{xx}^2\left(x\right)dx+\frac{1}{2}{{\mathrm{ms}}_f}^2$

则

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_f\left(t\right)=\mathrm{\ρ}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right)dx+EI{\∫}_0^L{y}_{xx}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{xx}\left(x\right)dx+{\mathrm{ms}}_f{\stackrel{\·}{s}}_f\\ =\mathrm{\ρ}{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)\stackrel{\·\·}{y}\left(x\right)dx+EI{\∫}_0^L{y}_{xx}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{xx}\left(x\right)dx+s_{f}m\stackrel{\·\·}{y}\left(L\right)\\ =-EI{\∫}_0^L\stackrel{\·}{y}\left(x\right)y_{fxxxx}\left(x\right)dx+EI{\∫}_0^L{y}_{xx}\left(x\right){\stackrel{\·}{y}}_{xx}\left(x\right)dx+s_f\left({\mathrm{EIy}}_{fxxx}\left(L\right)+F_f\right)\\ =-\stackrel{\·}{y}\left(L\right){\mathrm{EIy}}_{fxxx}\left(L\right)+s_f\left({\mathrm{EIy}}_{fxxx}\left(L\right)+F_f\right)\\ =s_f{F}_f=-{\mathrm{\η}}_3\left|s_f\right|-k_3{s}_f^2\≤-2k_3{V}_f\end{array}$

则V_f(t)指数收敛至零，收敛速度取决于k₃，

可知快系统的闭环系统是指数稳定的；

由快、慢子系统控制律，得到复合控制律：

$\mathrm{\τ}={\mathrm{\τ}}_s+{\mathrm{\τ}}_f=-I_h(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}{s}_s-k_1{s}_s---\left(23\right)$

$F=F_s+F_f=-(mL+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρL}}^2)(c\stackrel{\·}{e}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d)-{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}{s}_s-k_2{s}_s-{\mathrm{\η}}_3\mathrm{sgn}\left(s_f\right)-k_3{s}_f---\left(24\right)$

根据奇异摄动原理，按快慢系统分别设计稳定的控制律，所得到复合控制律是稳定的；

在仿真过程中，控制律的参数选为c＝15，k₁＝30，η₁＝5，k₂＝5，η₂＝5,k₃＝40,η₃＝5；输入控制律为式(23)和式(24)；因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝1+0.1sin(t)(N·m)；系统其他物理参数如表1所示；

表1 柔性机械臂物理参数的数值

步骤4：设计结束

整个设计过程重点考虑三个方面，分别是柔性机械臂的动力学建模，PDE模型的分解及控制律的设计；围绕这三个方面，首先在上述步骤1中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的PDE模型；步骤2运用奇异摄动原理对原PDE模型进行了分解；步骤3考虑系统外界干扰的不确定性，给出了滑模控制律的设计方法并得到复合控制律；经过上述各步骤后，设计结束。