CN102540881A - 基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，它有五大步骤：步骤一：双连杆柔性机械臂动力学建模；步骤二：双连杆柔性机械臂动力学模型分解；步骤三：自适应边界控制律设计；步骤四：闭环系统全局稳定性的验证；步骤五：设计结束。本发明首先考虑到关节角运动和弹性振荡的频率不同，采用奇异摄动的方法将偏微分动力学模型分解为快慢子系统；然后，在慢子系统上设计慢自适应边界控制律，使关节电机能够运动到期望位置；在快子系统上设计快自适应边界控制律来抑制弹性振荡；最后，将快慢子系统组成混合控制器，实现双连杆柔性机械臂关节角和振荡的控制，保证闭环系统的全局稳定性。

Description

基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法

(一)技术领域

本发明提供一种基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，特别是指基于双连杆柔性机械臂的偏微分模型的自适应边界控制律的设计方法，属于机械臂控制技术领域。

(二)背景技术

由于具有质量轻、速度快、能耗低等优点，柔性机械臂越来越多地应用于航天和工业领域。然而，与刚性机械臂不同，柔性机械臂在运动过程中会产生严重的弹性振荡，因而给控制律的设计造成了困难。以往，关于柔性机械臂控制的研究大都基于常微分(OrdinaryDifferential Equation，ODE)动力学模型。ODE模型在形式上简单并为控制律设计提供了方便。然而，由于ODE模型是通过忽略高阶振荡模态获得的，因此它难以精确描述柔性系统的分布式参数特性并可能造成溢出不稳定性。因此，基于柔性机械臂的偏微分动力学模型进行边界控制律设计有重要的现实意义。

传统的基于偏微分动力学模型的边界控制律往往要求模型参数准确，然而在实际工作环境下，系统的运行状态一般是变化的，比如柔性机械臂自由端所带负载的质量是变化的。于是，传统的边界控制律难以使系统达到满意的性能，甚至可能造成系统不稳定。在这种技术背景下，针对双连杆柔性机械臂的偏微分动力学模型，本发明给出了一种自适应边界控制律的设计方法。采用这种控制能够保证闭环系统在系统参数变化情况下的全局稳定性。

(三)发明内容

1、目的：本发明的目的是：针对双连杆柔性机械臂的偏微分动力学模型，给出一种自适应边界控制律及其具体的设计方法，使得闭环系统在系统参数不确定的情况下实现全局稳定，即关节电机运动到期望角度并且柔性连杆上的振荡得到抑制，以克服现有控制技术的不足。

2、技术方案：本发明基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，特别是基于双连杆柔性机械臂的偏微分模型的自适应边界控制律的设计方法，其设计思想是：针对双连杆柔性机械臂的偏微分动力学模型，首先考虑到关节角运动和弹性振荡的频率不同，采用奇异摄动的方法将偏微分动力学模型分解为快慢子系统。然后，在慢子系统上设计慢自适应边界控制律，使关节电机能够运动到期望位置；在快子系统上设计快自适应边界控制律来抑制弹性振荡。最后，将快慢子系统组成混合控制器，实现双连杆柔性机械臂关节角和振荡的控制。按照本说明书给出的技术方案设计自适应边界控制律，能够保证闭环系统的全局稳定性。

下面结合流程框图2中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，特别是基于双连杆柔性机械臂的偏微分模型的自适应边界控制律的设计方法，其具体步骤如下：

步骤一：双连杆柔性机械臂动力学建模

双连杆柔性机械臂的动力学建模采用哈密尔顿原理的方法。首先，给出系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

$E_k=\frac{1}{2}{I}_{h1}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1}^2+\frac{1}{2}{m}_{h2}{[L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+w_1\left(L_1\right)]}^2+\frac{1}{2}{I}_{h2}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2)}^2$

$+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_1}{\mathrm{\ρ}}_1{(x_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(x_1\right))}^{2}d{x}_1+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_2}{\mathrm{\ρ}}_2{\left[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\sin {\mathrm{\θ}}_2\right]}^{2}d{x}_2$

$+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_2}{\mathrm{\ρ}}_{\text{2}}{[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\mathrm{\θ}}_2+(x_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2\left(x_2\right))]}^{2}d{x}_2$

$+\frac{1}{2}{I}_{t1}{[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]}^2+\frac{1}{2}{m}_{t1}{(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))}^2$

$+\frac{1}{2}{I}_{t2}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_{2x}\left(L_2\right))}^2+\frac{1}{2}{m}_{t2}{\left[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\sin {\mathrm{\θ}}_2\right]}^2$

$+\frac{1}{2}{m}_{t2}{[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\mathrm{\θ}}_2+L_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)]}^2,$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_1}E{I}_1{w}_{1\mathrm{xx}}^2\left(x_1\right)d{x}_1+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_2}E{I}_2{w}_{2\mathrm{xx}}^2\left(x_2\right)d{x}_2,$

W_nc＝τ₁θ₁+τ₂(θ₂-w_1x(L₁))+u₁w₁(L₁)+u₂w₂(L₂)

将系统动能E_k，势能E_n和非保守力做功W_nc的表达式代入哈密尔顿原理，

${\∫}_{t_1}^{t_2}({\mathrm{\δE}}_k-\mathrm{\δ}{E}_p+\mathrm{\δ}{W}_{\mathrm{nc}})\mathrm{dt}=0$

可以得到双连杆柔性机械臂的偏微分动力学模型如下

$A\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+B{F}_1\left(t\right)=\mathrm{C\τ}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·\·}{w}+D{w}_{\mathrm{xxxx}}=-x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+x{F}_2+F_3---\left(2\right)$

EZ＝F₄(3)

其中，A∈R^2×2，θ∈R^2×1，B∈R^2×3，F₁(t)∈R^3×1，C∈R^2×2，τ∈R^2×1，w∈R^2×1，D∈R^2×2，x∈R^2×2，F₂(t)∈R^2×1，F₃(t)∈R^2×1，E∈R^4×4，Z∈R^4×1，F₄(t)∈R^4×1，R^m×n表示m×n维的实数矩阵。另外，上述矩阵的具体表达式给出如下。

A＝diag(I_h1，I_t1I_h2)，

θ＝[θ_h1，θ_h2]^T，

$B=\left[\begin{array}{ccc}-E{I}_1& 0& 0\\ 0& -I_{h2}E{I}_1& -I_{t1}E{I}_2\end{array}\right],$

F₁(t)＝[w_1xx(0)，w_1xx(L₁)，w_2xx(L₂)]^T，

C＝diag(1，I_t1+I_h2)，

τ＝[τ₁，τ₂]^T，

w＝[w₁(x₁)，w₂(x₂)]^T，

D＝diag(EI₁/ρ₁，EI₂/ρ₂)，

x＝diag(x₁，x₂)，

$F_2\left(t\right)={[0,{\stackrel{\·\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]}^T,$

F₃(t)＝[0，f₁(t)]^T，

E＝diag(EI₁，EI₁，EI₂，EI₂)，

Z＝[w_1xx(L₁)，w_1xxx(L₁)，w_2xx(L₂)，w_2xxx(L₂)]^T，

F₄(t)＝[f₂(t)，f₃(t)，f₄(t)，f₅(t)]^T，

其中，f₁(t)～f₅(t)均为非线性函数，其具体表达式给出如下：

$f_1\left(t\right)=-[L_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right)]{\cos \mathrm{\θ}}_2+[L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2,$

$f_2\left(t\right)=E{I}_2{w}_{2\mathrm{xx}}\left(0\right)-I_{t1}[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]-[L_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)][L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\mathrm{\θ}}_2$

$-{\mathrm{\ρ}}_2[L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\mathrm{\θ}}_2{\∫}_0^{L_2}(x_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2)d{x}_2-I_{h2}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2),$

$f_3\left(t\right)=({\mathrm{\ρ}}_2{L}_2+m_{h2}+m_{t2})(L_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right))+{\mathrm{\ρ}}_2{\∫}_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2)\cos {\mathrm{\θ}}_2\right]d{x}_2-m_{t2}{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2$

$-{\mathrm{\ρ}}_2{\∫}_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2\right]d{x}_2+m_{t2}[L_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2-L_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2^2\sin {\mathrm{\θ}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)\cos {\mathrm{\θ}}_2],$

$f_4\left(t\right)=-I_{t2}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_{2x}\left(L_2\right)),$

$f_5\left(t\right)=m_{t2}[(L_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\mathrm{\θ}}_2+L_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)]$

$-m_{t2}(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2.$

以上表达式中的各个参数的物理意义说明如下：

步骤二：双连杆柔性机械臂动力学模型分解

第一步得到的双连杆柔性机械臂偏微分动力学模型极为复杂，难以设计自适应边界控制律。因此，要对模型进行进一步化简。考虑到关节运动和弹性振荡频率相差较大，本发明采用奇异摄动方法对模型进行快、慢子系统分解。

选取奇异摄动变量为ρ_i/EI_i，引入小参数ε满足

$\frac{E{I}_i}{{\mathrm{\ρ}}_i}=\frac{{\mathrm{\σ}}_i}{{\mathrm{\ϵ}}^2}---\left(4\right)$

其中，

i＝1，2。

将式(4)代入式(2)和式(3)，可得

${\mathrm{\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}+\stackrel{\‾}{D}{w}_{\mathrm{xxxx}}={\mathrm{\ϵ}}^2(-x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+x{F}_2\left(t\right)+F_3\left(t\right))---\left(5\right)$

$\stackrel{\‾}{E}Z={\mathrm{\ϵ}}^2{F}_4\left(t\right)---\left(6\right)$

其中，

$\stackrel{\‾}{D}=\mathrm{diag}({\mathrm{\σ}}_1,{\mathrm{\σ}}_2),$

$\stackrel{\‾}{E}=\mathrm{diag}({\mathrm{\ρ}}_1{\mathrm{\σ}}_1,{\mathrm{\ρ}}_1{\mathrm{\σ}}_1,{\mathrm{\ρ}}_2{\mathrm{\σ}}_2,{\mathrm{\ρ}}_2{\mathrm{\σ}}_2)$

为了获得慢变子系统，我们令式(5)和式(6)中ε＝0，可以得到

w_xxxx＝0(7)

Z＝0(8)

从式(3)，式(7)和式(8)，得到

w_ixxxx(x_i)＝0(9)

w_i(0)＝w_ix(0)＝w_ixx(L_i)＝w_ixxx(L_i)＝0(10)

进而，可以求出

F₁(t)≡0(11)

把式(11)代入式(1)，便得到慢变子系统，如式(12)所示

${A\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=C{\mathrm{\τ}}_s---\left(12\right)$

其中，下标“s”用来表示慢时标下的变量。

为了得到快变子系统，引入时标变换“T＝t/ε”。定义快时标下的变量为w_f＝[w_f1(x₁)，w_f2(x₂)]^T，其中，“f”表示快时标下的变量。另外，定义如下关系

w_f＝w    (13)

$w_f^{\′}=\frac{\∂}{\∂T}{w}_f=\mathrm{\ϵ}\frac{\∂}{\∂t}w=\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{w}---\left(14\right)$

在快时标下，慢变量θ看做常量，于是有

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=0\mathrm{and}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=0---\left(15\right)$

由式(1)，得

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=A^{-1}(\mathrm{C\τ}-B{F}_1\left(t\right))$

将上式代入式(5)，不难得到

${\mathrm{\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}+\stackrel{\‾}{D}{w}_{\mathrm{xxxx}}=-{\mathrm{\ϵ}}^{2}x\stackrel{\‾}{C}\mathrm{\τ}+{\mathrm{\ϵ}}^{2}x\stackrel{\‾}{B}{F}_1\left(t\right)+{\mathrm{\ϵ}}^{2}x{F}_2\left(t\right)+{\mathrm{\ϵ}}^2{F}_3\left(t\right)---\left(16\right)$

其中，

$\stackrel{\‾}{B}=A^{-1}B,$

$\stackrel{\‾}{C}=A^{-1}C$

将式(13)-式(15)代入式(16)和式(6)，可以得到快变子系统的动力学模型，如式(17)-式(19)所示。

$w_f^{\′\′}+\stackrel{\‾}{D}{w}_{\mathrm{fxxxx}}=-{\mathrm{\ϵ}}^{2}x\stackrel{\‾}{C}{\mathrm{\τ}}_f+xB{F}_{f1}\left(T\right)+x{F}_{f2}\left(T\right)+F_{f3}\left(T\right)---\left(17\right)$

$\stackrel{\‾}{E}{Z}_f=F_{f4}\left(T\right)---\left(18\right)$

w_f1(0)＝w_f1x(0)＝w_f2(0)＝w_f2x(0)＝0(19)

其中，

F_f1(T)＝[ε²w_f1xx(0)，ε²w_f1xx(L₁)，ε²w_f2xx(L₂)]，

F_f2(T)＝[0，w″_f1x(L₁)]^T，

F_f3(T)＝[0，f_f1(T)]^T，

F_f4(T)＝[f_f2(T)，f_f3(T)，f_f4(T)，f_f5(T)]^T

另外，

f_f1(T)＝-w′_f1(L₁)cosθ₂，

$f_{f2}\left(T\right)={\mathrm{\ϵ}}^{2}E{I}_2{w}_{f2\mathrm{xx}}\left(0\right)-I_{t1}{w}_{f1x}^{\′\′}\left(L_1\right)-w_{f1}^{\′}\left(L_1\right)w_{f2}^{\′}\left(L_2\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{\text{2}}$

$-{\mathrm{\ρ}}_2{w}_{f1}^{\′}\left(L_1\right)\sin {\mathrm{\θ}}_2{\∫}_0^{L_2}{w}_{f2}^{\′}d{x}_2,$

$f_{f3}\left(T\right)=({\mathrm{\ρ}}_2{L}_2+m_{h2}+m_{t2})w_{f1}^{\′\′}\left(L_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_2{\∫}_0^{L_2}{w}_{f2}^{\′\′}\cos {\mathrm{\θ}}_{2}d{x}_2+m_{t2}{w}_{f2}^{\′\′}\left(L_2\right)\cos {\mathrm{\θ}}_2,$

f_f4(T)＝-I_t2w″_f2(L₂)，

f_f5(T)＝m_t2(w″_f1(L₁)cosθ₂+w″_f2(L₂))

步骤三：自适应边界控制律设计

针对慢变子系统(12)，本发明采用自适应滑模控制方法设计边界控制律，其中，滑模面选为

$s=\stackrel{\·}{e}+\mathrm{\λe}$

其中，e＝θ_s-θ_d是关节位置误差，λ＝diag(λ₁，λ₂)是设计参数。在此基础上，慢变子系统的控制律设计如下：

${\mathrm{\τ}}_s=-\mathrm{\λ}\widehat{\stackrel{\‾}{A}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s-k_s\mathrm{sat}\left(s\right)---\left(20\right)$

在式(20)中，λ，k_s∈R^2×2为正的对角矩阵，χ₁＝I_t1I_h2/(I_t1+I_h2)是不确定的参数，

是动态参数估计，为χ₁的估计值。自适应律为：

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1={{\mathrm{\γ}}_1}^{-1}{\mathrm{\λ}}_2{s}_2\mathrm{\θ}---\left(21\right)$

其中，γ₁∈R⁺。

另外，式(20)中的饱和函数sat(s)定义为

$\mathrm{sat}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}s/\mathrm{\Δ},& \left|\right|s\left|\right|\≤\mathrm{\Δ}\\ \mathrm{sgn}\left(s\right),& \left|\right|s\left|\right|>\mathrm{\Δ}\end{array}\right.$

其中，Δ∈R⁺。饱和函数用来抑制滑模控制中的振荡现象。

快变子系统自适应边界控制律设计为

${\mathrm{\τ}}_f=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}^2}[\hat{G}{F}_{f1}\left(T\right)+\hat{H}{L}^{-1}{w}_{\mathrm{fL}}^{\′\′}]+k_f{w}_{\mathrm{fL}}^{\′\′}---\left(22\right)$

其中，k_f∈R^2×2是对角的正定矩阵， $\hat{G}=\left[\begin{array}{ccc}-E{I}_1& 0& 0\\ 0& -E{I}_1{\widehat{\mathrm{\χ}}}_2& -E{I}_2{\widehat{\mathrm{\χ}}}_3\end{array}\right],$ $\hat{H}=\mathrm{diag}(I_{h1},{\widehat{\mathrm{\χ}}}_4),{\widehat{\mathrm{\χ}}}_2,{\widehat{\mathrm{\χ}}}_3,$ 分别为χ₂，χ₃，χ₄的估计值。参数自适应律给出如下：

${\widehat{\mathrm{\χ}}}_2^{\′}=-{\mathrm{\γ}}_2^{-1}E{I}_1{w}_{f2}^{\′}\left(L_2\right)w_{f1\mathrm{xx}}\left(L_1\right)---\left(23\right)$

${\widehat{\mathrm{\χ}}}_3^{\′}=-{\mathrm{\γ}}_3^{-1}E{I}_2{w}_{f2}^{\′}\left(L_2\right)w_{f2\mathrm{xx}}\left(L_2\right)---\left(24\right)$

${\widehat{\mathrm{\χ}}}_4^{\′}=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}^2{L}_2}{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{w}_{f2}^{\′}\left(L_2\right)w_{f2}^{\′\′}\left(L_2\right)---\left(25\right)$

其中，γ₂，γ₃和γ₄均为正的常数。

在已设计的慢变自适应边界控制律和快变自适应边界控制律的基础上，本发明给出整个系统的自适应边界控制律的表达式为

$\mathrm{\τ}=-\mathrm{\λ}\widehat{\stackrel{\‾}{A}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}-k_s\mathrm{sat}\left(s\right)+\hat{G}{F}_1\left(t\right)+\hat{H}{L}^{-1}{\stackrel{..}{w}}_L+\mathrm{\ϵ}{k}_f{\stackrel{\·}{w}}_L---\left(26\right)$

自适应律给出如下：

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1={{\mathrm{\γ}}_1}^{-1}{\mathrm{\λ}}_2{s}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{h2}---\left(27\right)$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_2=-{\mathrm{\γ}}_2^{-1}E{I}_1{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{1\mathrm{xx}}\left(L_1\right)---\left(28\right)$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_3=-{\mathrm{\γ}}_3^{-1}E{I}_2{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{2\mathrm{xx}}\left(L_2\right)---\left(29\right)$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_4={\mathrm{\γ}}_4^{-1}\frac{{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)}{L_2}---\left(30\right)$

步骤四：闭环系统全局稳定性的验证

根据奇异摄动理论，只要每个闭环子系统是稳定的，那么整个系统就是稳定的。因此，要证明闭环系统的全局稳定性，只需验证快、慢闭环子系统的稳定性即可。

设计慢变子系统的李雅普诺夫函数为

$V_s=\frac{1}{2}{s}^T\stackrel{\‾}{A}s+\frac{1}{2}{\mathrm{\γ}}_1{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_1^2---\left(31\right)$

其中，

根据本发明设计的慢变子系统的自适应边界控制律，从式(31)不难得到

${\stackrel{\·}{V}}_s=s^T({\mathrm{\τ}}_s+\mathrm{\λ}\stackrel{\‾}{A}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s)-{\mathrm{\γ}}_1{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_1{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1$

$=-k_s{s}^T\mathrm{sat}\left(s\right)+{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_1({\mathrm{\λ}}_2{s}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{sh}2}-{\mathrm{\γ}}_1{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1)$

$=-k_s{s}^T\mathrm{sat}\left(s\right)\≤0---\left(32\right)$

根据李雅普诺夫稳定性定理可知，慢变闭环子系统是稳定的。

设计快变子系统的李雅普诺夫函数为

$V_f=\frac{1}{2{\mathrm{\ϵ}}^2}{w}_{\mathrm{fL}}^{\′T}H{L}^{-1}{w}_{\mathrm{fL}}^{\′}+\frac{1}{2}\underset{j=2}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_j{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_j^2---\left(33\right)$

在本发明设计的快变子系统的自适应边界控制律的基础上，通过式(33)容易求出

V′_f＝-k_f||w′_fL||²≤0(34)

因此，快变闭环子系统也是稳定的。

步骤五：设计结束

整个设计过程重点考虑三个方面的需求，分别是双连杆柔性机械臂的偏微分动力学建模，模型的快、慢子系统分解，以及关节角和弹性振荡的同时控制。围绕这三个方面，首先在上述第一步中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的偏微分动力学模型；第二步考虑系统变量在不同时域的特性，重点给出了快、慢子系统分解的方法；第三步在所得到的快、慢子系统的基础上，分别设计了自适应边界控制律，并进一步给出了整个系统的自适应边界控制律；第四步中给出了一种验证闭环系统全局稳定的方法。经过上述各步骤后，设计结束。

3、优点和功效：本发明基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，特别是基于双连杆柔性机械臂的偏微分模型的自适应边界控制律的设计方法，其功效是：与目前存在的处理方法相比，这种方法在设计控制律时，不仅考虑了柔性机械臂的空间上的分布参数特性，而且还考虑了模型参数的不确定性。其优点是：能够仅利用边界输入和反馈，在参数不确定的情况下，实现柔性机械臂这种分布式参数系统的稳定控制。

(四)附图说明

图1：双连杆柔性机械臂示意图

图2：本发明自适应边界控制律设计流程示意图

图3：本发明实施方式中的双连杆柔性机械臂关节运动轨迹图

图4：本发明实施方式中的双连杆柔性机械臂第一个柔性连杆末端的弹性形变图

图5：本发明实施方式中的双连杆柔性机械臂第二个柔性连杆末端的弹性形变图

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图1中，坐标轴X₀Y₀表示固定的惯性坐标系，坐标轴X₁Y₁和X₂Y₂是两个柔性连杆的随动坐标系。M是负载质量；θ₁是第一个臂杆旋转角度；θ_h1是第一个关节旋转角度；θ₂是第二个臂杆旋转角度；θ_h2是第二个关节旋转角度；w₁是第一个臂杆的弹性形变；w₂是第二个臂杆的弹性形变。

图3-图5中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图3中的纵坐标表示关节的角度，单位是弧度；图3中的虚线表示第一个关节的角运动轨迹，实线表示第二个关节的角运动轨迹；图4中的纵坐标分别表示第一个柔性连杆末端的弹性形变，单位是米；图5中的纵坐标分别表示第一个柔性连杆末端的弹性形变，单位是米。

(五)具体实施方式

图1是双连杆柔性机械臂示意图；见图2，本发明基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，特别是基于双连杆柔性机械臂的偏微分模型的自适应边界控制律的设计方法，其具体步骤如下：

步骤一：双连杆柔性机械臂动力学建模

首先根据哈密尔顿原理求双连杆柔性机械臂的连续型的偏微分模型。其中双连杆柔性机械臂的物理参数数值由表1给出。则偏微分动力学模型给出如下

$A\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+B{F}_1\left(t\right)=\mathrm{C\τ}---\left(35\right)$

$\stackrel{\·\·}{w}+D{w}_{\mathrm{xxxx}}=-x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+x{F}_2+F_3---\left(36\right)$

EZ＝F₄(37)

其中，常值矩阵A，B，C，D，E的值给出如下

$A=\left[\begin{array}{cc}0.05& 0\\ 0& 0.006\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& -0.12& -0.4\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0.16\end{array}\right]$

$D=\left[\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& 20\end{array}\right]$

$E=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 4& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right]$

其他时变矩阵的表达式给出如下

θ＝[θ_h1，θ_h2]^T，

F₁(t)＝[w_1xx(0)，w_1xx(L₁)，w_2xx(L₂)]^T，

τ＝[τ₁，τ₂]^T，

w＝[w₁(x₁)，w₂(x₂)]^T，

x＝diag(x₁，x₂)，

$F_2\left(t\right)={[0,{\stackrel{\·\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]}^T,$

F₃(t)＝[0，f₁(t)]^T，

Z＝[w_1xx(L₁)，w_1xxx(L₁)，w_2xx(L₂)，w_2xxx(L₂)]^T，

F₄(t)＝[f₂(t)，f₃(t)，f₄(t)，f₅(t)]^T，

其中，非线性函数f₁(t)～f₅(t)的表达式给出如下

$f_1\left(t\right)=-[0.6{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right)]{\cos \mathrm{\θ}}_2+[L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2,$

$f_2\left(t\right)=4w_{2\mathrm{xx}}\left(0\right)-0.1[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]-[0.6{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)][0.6{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\mathrm{\θ}}_2$

$-0.2[0.6{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\mathrm{\θ}}_2{\∫}_0^{L_2}(x_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2)d{x}_2-0.06({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2),$

$f_3\left(t\right)=2.8(0.6{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right))+0.2{\∫}_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2)\cos {\mathrm{\θ}}_2\right]d{x}_2-2{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2$

$-0.2{\∫}_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2\right]d{x}_2+2[L_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2-L_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2^2\sin {\mathrm{\θ}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)\cos {\mathrm{\θ}}_2],$

$f_4\left(t\right)=-2({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_{2x}\left(L_2\right)),$

$f_5\left(t\right)=2[(L_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\mathrm{\θ}}_2+0.6{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)]$

$-2(0.6{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2.$

然后，根据所得到的偏微分动力学模型，利用Matlab 7.12环境下的.m语言编程实现双连杆柔性机械臂的仿真平台的搭建。仿真中用到的各个物理参数的数值由表2给出。值得注意的是，虽然在仿真平台中，物理参数的数值是给出的，但是在自适应边界控制律设计过程中，这些参数是假设未知的，即在未知系统参数的情况下设计控制律。

步骤二：双连杆柔性机械臂的动力学模型分解

为了方便自适应边界控制律的设计，将双连杆柔性机械臂的偏微分动力学模型进行快、慢子系统的分解。奇异摄动参数选为ε＝0.1。利用步骤二中所阐述的方法，容易得到柔性机械臂的快、慢子系统。

慢子系统表达式给出如下：

$A{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=C{\mathrm{\τ}}_s$

其中，

和

分别为慢时标下的关节角运动加速度和慢时标下的控制输入，常值矩阵A和C的值为

$A=\left[\begin{array}{cc}0.05& 0\\ 0& 0.006\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0.16\end{array}\right]$

快变子系统表达式给出如下：

$w_f^{\′\′}+\stackrel{\‾}{D}{w}_{\mathrm{fxxxx}}=-{\mathrm{\ϵ}}^{2}x\stackrel{\‾}{C}{\mathrm{\τ}}_f+xB{F}_{f1}\left(T\right)+x{F}_{f2}\left(T\right)+F_{f3}\left(T\right)---\left(38\right)$

$\stackrel{\‾}{E}{Z}_f=F_{f4}\left(T\right)---\left(39\right)$

w_f1(0)＝w_f1x(0)＝w_f2(0)＝w_f2x(0)＝0(40)

其中，

表示w_f在快时标下相对于时间的二阶导数，表示w_f在快时标下相对于空间的四阶导数，常值矩阵B，

和

给出如下

$B=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& -0.12& -0.4\end{array}\right]$

$\stackrel{\‾}{C}=\left[\begin{array}{cc}20& 0\\ 0& 26.7\end{array}\right]$

$\stackrel{\‾}{D}=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0\\ 0& 0.2\end{array}\right]$

$\stackrel{\‾}{E}=\left[\begin{array}{cccc}0.02& 0& 0& 0\\ 0& 0.02& 0& 0\\ 0& 0& 0.04& 0\\ 0& 0& 0& 0.04\end{array}\right]$

函数矩阵F_f1(T)～F_f4(T)的具体表达式给出如下

F_f1(T)＝[0.01w_f1xx(0)，0.01w_f1xx(L₁)，0.01w_f2xx(L₂)]，

F_f2(T)＝[0，w″_f1x(L₁)]^T，

F_f3(T)＝[0，f_f1(T)]^T，

F_t4(T)＝[f_f2(T)，f_f3(T)，f_f4(T)，f_f5(T)]^T

其中，非线性函数f_f1(T)～f_f4(T)如下

f_f1(T)＝-w″_f1(L₁)cosθ₂，

$f_{f2}\left(T\right)=0.04w_{f2\mathrm{xx}}\left(0\right)-0.1w_{f1x}^{\′\′}\left(L_1\right)-w_{f1}^{\′}\left(L_1\right)w_{f2}^{\′}\left(L_2\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{\text{2}}$

$-0.2w_{f1}^{\′}\left(L_1\right)\sin {\mathrm{\θ}}_2{\∫}_0^{L_2}{w}_{f2}^{\′}d{x}_2,$

$f_{f3}\left(T\right)=2.8w_{f1}^{\′\′}\left(L_1\right)+0.2{\∫}_0^{L_2}{w}_{f2}^{\′\′}\cos {\mathrm{\θ}}_{2}d{x}_2+2w_{f2}^{\′\′}\left(L_2\right)\cos {\mathrm{\θ}}_2,$

f_f4(T)＝-2w″_f2(L₂)，

f_f5(T)＝2(w″_f1(L₁)cosθ₂+w″_f2(L₂))

步骤三：自适应边界控制律设计

自适应边界控制律形式为

$\mathrm{\τ}=-\mathrm{\λ}\widehat{\stackrel{\‾}{A}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}-k_s\mathrm{sat}\left(s\right)+\hat{G}{F}_1\left(t\right)+\hat{H}{L}^{-1}{\stackrel{..}{w}}_L+\mathrm{\ϵ}{k}_f{\stackrel{\·}{w}}_L---\left(41\right)$

自适应律为

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1={{\mathrm{\γ}}_1}^{-1}{\mathrm{\λ}}_2{s}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{h2},$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_2=-{\mathrm{\γ}}_2^{-1}E{I}_1{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{1\mathrm{xx}}\left(L_1\right),$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_3=-{\mathrm{\γ}}_3^{-1}E{I}_2{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{2\mathrm{xx}}\left(L_2\right),$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_4={\mathrm{\γ}}_4^{-1}\frac{{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)}{L_2}$

选取合适参数使得自适应边界控制律(41)和自适应律(42)能够控制柔性机械臂的关节电机运动到期望位置，并有效抑制柔性臂杆上的弹性振荡。首先，滑模面中的参数选为λ＝diag(10，2)。其次，控制律参数选为k_s＝diag(0.6，0.3)，k_f＝diag(61，1.5)。最后，自适应律参数选为γ₁＝50，γ₂＝0.05，γ₃＝0.2，γ₄＝100。参数估计

的初始值均设为0。

步骤四：闭环系统全局稳定性的验证

由于自适应边界控制律中的所有参数都选为正数，因而符合步骤四的理论分析结果。依据李雅普诺夫稳定性原理，这组参数能够保证闭环系统是全局渐进稳定的，所以接着进行下一步。

步骤五：设计结束

总结上面四步的设计和分析，可以得出结论：采用本技术方案进行设计，并选择参数λ＝diag(10，2)，k_s＝diag(0.6，0.3)，k_f＝diag(61，1.5)，γ₁＝50，γ₂＝0.05，γ₃＝0.2，γ₄＝100能够满足设计目标，即双连杆柔性机械臂的两个关节稳定地运动到期望位置，同时两个柔性连杆上的弹性振荡得到有效抑制。控制效果如图3-图5所示。图3中虚线表示第一个关节的运动轨迹，实线表示第二个关节的运动轨迹。图4和图5分别表示第一个臂杆末端和第二个臂杆末端的弹性振荡。图1为双连杆柔性机械臂示意图。

表1.双连杆柔性机械臂物理参数的数值

Claims (1)

1.基于柔性机械臂的偏微分模型的边界控制律的设计方法，特别是基于双连杆柔性机械臂的偏微分模型的自适应边界控制律的设计方法，其特征在于：其具体步骤如下：

步骤一：双连杆柔性机械臂动力学建模

双连杆柔性机械臂的动力学建模采用哈密尔顿原理的方法，首先，给出系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

$E_k=\frac{1}{2}{I}_{h1}{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1}^2+\frac{1}{2}{m}_{h2}{[L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+w_1\left(L_1\right)]}^2+\frac{1}{2}{I}_{h2}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2)}^2$

$+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_1}{\mathrm{\ρ}}_1{(x_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(x_1\right))}^{2}d{x}_1+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_2}{\mathrm{\ρ}}_2{\left[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\sin {\mathrm{\θ}}_2\right]}^{2}d{x}_2$

$+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_2}{\mathrm{\ρ}}_{\text{2}}{[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\mathrm{\θ}}_2+(x_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2\left(x_2\right))]}^{2}d{x}_2$

$+\frac{1}{2}{I}_{t1}{[{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]}^2+\frac{1}{2}{m}_{t1}{(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))}^2$

$+\frac{1}{2}{I}_{t2}{({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_{2x}\left(L_2\right))}^2+\frac{1}{2}{m}_{t2}{\left[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\sin {\mathrm{\θ}}_2\right]}^2$

$+\frac{1}{2}{m}_{t2}{[(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\mathrm{\θ}}_2+L_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)]}^2,$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_1}E{I}_1{w}_{1\mathrm{xx}}^2\left(x_1\right)d{x}_1+\frac{1}{2}{\∫}_0^{L_2}E{I}_2{w}_{2\mathrm{xx}}^2\left(x_2\right)d{x}_2,$

W_nc＝τ₁θ₁+τ₂(θ₂-w_1x(L₁))+u₁w₁(L₁)+u₂w₂(L₂)

将系统动能E_k，势能E_p和非保守力做功W_nc的表达式代入哈密尔顿原理，

${\∫}_{t_1}^{t_2}({\mathrm{\δE}}_k-\mathrm{\δ}{E}_p+\mathrm{\δ}{W}_{\mathrm{nc}})\mathrm{dt}=0$

可以得到双连杆柔性机械臂的偏微分动力学模型如下

$A\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+B{F}_1\left(t\right)=\mathrm{C\τ}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·\·}{w}+D{w}_{\mathrm{xxxx}}=-x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+x{F}_2+F_3---\left(2\right)$

EZ＝F₄(3)

其中，A∈R^2×2，θ∈R^2×1，B∈R^2×3，F₁(t)∈R^3×1，C∈R^2×2，τ∈R^2×1，w∈R^2×1，D∈R^2×2，x∈R^2×2，F₂(t)∈R^2×1，F₃(t)∈R^2×1，E∈R^4×4，Z∈R^4×1，F₄(t)∈R^4×1，R^m×n表示m×n维的实数矩阵；另外，上述矩阵的具体表达式给出如下：

A＝diag(I_h1，I_t1I_h2)，

θ＝[θ_h1，θ_h2]^T，

$B=\left[\begin{array}{ccc}-E{I}_1& 0& 0\\ 0& -I_{h2}E{I}_1& -I_{t1}E{I}_2\end{array}\right],$

F₁(t)＝[w_1xx(0)，w_1xx(L₁)，w_2xx(L₂)]^T，

C＝diag(1，I_t1+I_h2)，

τ＝[τ₁，τ₂]^T，

w＝[w₁(x₁)，w₂(x₂)]^T，

D＝diag(EI₁/ρ₁，EI₂/ρ₂)，

x＝diag(x₁，x₂)，

$F_2\left(t\right)={[0,{\stackrel{\·\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]}^T,$

F₃(t)＝[0，f₁(t)]^T，

E＝diag(EI₁，EI₁，EI₂，EI₂)，

Z＝[w_1xx(L₁)，w_1xxx(L₁)，w_2xx(L₂)，w_2xxx(L₂)]^T，

F₄(t)＝[f₂(t)，f₃(t)，f₄(t)，f₅(t)]^T，

其中，f₁(t)～f₅(t)均为非线性函数，其具体表达式给出如下：

$f_1\left(t\right)=-[L_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right)]{\cos \mathrm{\θ}}_2+[L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2,$

$f_2\left(t\right)=E{I}_2{w}_{2\mathrm{xx}}\left(0\right)-I_{t1}[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_{1x}\left(L_1\right)]-[L_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)][L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\mathrm{\θ}}_2$

$-{\mathrm{\ρ}}_2[L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)]\sin {\mathrm{\θ}}_2{\∫}_0^{L_2}(x_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2)d{x}_2-I_{h2}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2),$

$f_3\left(t\right)=({\mathrm{\ρ}}_2{L}_2+m_{h2}+m_{t2})(L_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right))+{\mathrm{\ρ}}_2{\∫}_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2)\cos {\mathrm{\θ}}_2\right]d{x}_2-m_{t2}{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2$

$-{\mathrm{\ρ}}_2{\∫}_0^{L_2}\left[(x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·}{w}}_2){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2\right]d{x}_2+m_{t2}[L_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2\cos {\mathrm{\θ}}_2-L_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2^2\sin {\mathrm{\θ}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)\cos {\mathrm{\θ}}_2],$

$f_4\left(t\right)=-I_{t2}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_{2x}\left(L_2\right)),$

$f_5\left(t\right)=m_{t2}[(L_1{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·\·}{w}}_1\left(L_1\right))\cos {\mathrm{\θ}}_2+L_2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2+{\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)]$

$-m_{t2}(L_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1+{\stackrel{\·}{w}}_1\left(L_1\right)){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2\sin {\mathrm{\θ}}_2;$

以上表达式中的各个参数的物理意义说明如下：

步骤二：双连杆柔性机械臂动力学模型分解

第一步得到的双连杆柔性机械臂偏微分动力学模型极为复杂，难以设计自适应边界控制律，因此，要对模型进行进一步化简；考虑到关节运动和弹性振荡频率相差较大，采用奇异摄动方法对模型进行快、慢子系统分解；

选取奇异摄动变量为ρ_i/EI_i，引入小参数ε满足

$\frac{E{I}_i}{{\mathrm{\ρ}}_i}=\frac{{\mathrm{\σ}}_i}{{\mathrm{\ϵ}}^2}---\left(4\right)$

其中，

i＝1，2；

将式(4)代入式(2)和式(3)，得

${\mathrm{\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}+\stackrel{\‾}{D}{w}_{\mathrm{xxxx}}={\mathrm{\ϵ}}^2(-x\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+x{F}_2\left(t\right)+F_3\left(t\right))---\left(5\right)$

$\stackrel{\‾}{E}Z={\mathrm{\ϵ}}^2{F}_4\left(t\right)---\left(6\right)$

其中，

$\stackrel{\‾}{D}=\mathrm{diag}({\mathrm{\σ}}_1,{\mathrm{\σ}}_2),$

$\stackrel{\‾}{E}=\mathrm{diag}({\mathrm{\ρ}}_1{\mathrm{\σ}}_1,{\mathrm{\ρ}}_1{\mathrm{\σ}}_1,{\mathrm{\ρ}}_2{\mathrm{\σ}}_2,{\mathrm{\ρ}}_2{\mathrm{\σ}}_2)$

为了获得慢变子系统，我们令式(5)和式(6)中ε＝0，得到

w_xxxx＝0(7)

Z＝0(8)

从式(3)，式(7)和式(8)，得到

w_ixxxx(x_i)＝0(9)

w_i(0)＝w_ix(0)＝w_ixx(L_i)＝w_ixxx(L_i)＝0(10)

进而，求出

F₁(t)≡0(11)

把式(11)代入式(1)，便得到慢变子系统，如式(12)所示

${A\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_s=C{\mathrm{\τ}}_s---\left(12\right)$

其中，下标“s”用来表示慢时标下的变量；

为了得到快变子系统，引入时标变换“T＝t/ε”；定义快时标下的变量为w_f＝[w_f1(x₁)，w_f2(x₂)]^T，其中，“f”表示快时标下的变量；另外，定义如下关系

w_f＝w    (13)

$w_f^{\′}=\frac{\∂}{\∂T}{w}_f=\mathrm{\ϵ}\frac{\∂}{\∂t}w=\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{w}---\left(14\right)$

在快时标下，慢变量θ看做常量，于是有

$\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=0\mathrm{and}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=0---\left(15\right)$

由式(1)，得

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=A^{-1}(\mathrm{C\τ}-B{F}_1\left(t\right))$

将上式代入式(5)，不难得到

${\mathrm{\ϵ}}^2\stackrel{\·\·}{w}+\stackrel{\‾}{D}{w}_{\mathrm{xxxx}}=-{\mathrm{\ϵ}}^{2}x\stackrel{\‾}{C}\mathrm{\τ}+{\mathrm{\ϵ}}^{2}x\stackrel{\‾}{B}{F}_1\left(t\right)+{\mathrm{\ϵ}}^{2}x{F}_2\left(t\right)+{\mathrm{\ϵ}}^2{F}_3\left(t\right)---\left(16\right)$

其中，

$\stackrel{\‾}{B}=A^{-1}B,$

$\stackrel{\‾}{C}=A^{-1}C$

将式(13)-式(15)代入式(16)和式(6)，得到快变子系统的动力学模型，如式(17)-式(19)所示；

$w_f^{\′\′}+\stackrel{\‾}{D}{w}_{\mathrm{fxxxx}}=-{\mathrm{\ϵ}}^{2}x\stackrel{\‾}{C}{\mathrm{\τ}}_f+xB{F}_{f1}\left(T\right)+x{F}_{f2}\left(T\right)+F_{f3}\left(T\right)---\left(17\right)$

$\stackrel{\‾}{E}{Z}_f=F_{f4}\left(T\right)---\left(18\right)$

w_f1(0)＝w_f1x(0)＝w_f2(0)＝w_f2x(0)＝0(19)

其中，

F_f1(T)＝[ε²w_f1xx(0)，ε²w_f1xx(L₁)，ε²w_f2xx(L₂)]，

F_f2(T)＝[0，w″_f1x(L₁)]^T，

F_f3(T)＝[0，f_f1(T)]^T，

F_f4(T)＝[f_f2(T)，f_f3(T)，f_f4(T)，f_f5(T)]^T

另外，

f_f1(T)＝-w″_f1(L₁)cosθ₂，

$f_{f2}\left(T\right)={\mathrm{\ϵ}}^{2}E{I}_2{w}_{f2\mathrm{xx}}\left(0\right)-I_{t1}{w}_{f1x}^{\′\′}\left(L_1\right)-w_{f1}^{\′}\left(L_1\right)w_{f2}^{\′}\left(L_2\right)\sin {\mathrm{\θ}}_{\text{2}}$

$-{\mathrm{\ρ}}_2{w}_{f1}^{\′}\left(L_1\right)\sin {\mathrm{\θ}}_2{\∫}_0^{L_2}{w}_{f2}^{\′}d{x}_2,$

$f_{f3}\left(T\right)=({\mathrm{\ρ}}_2{L}_2+m_{h2}+m_{t2})w_{f1}^{\′\′}\left(L_1\right)+{\mathrm{\ρ}}_2{\∫}_0^{L_2}{w}_{f2}^{\′\′}\cos {\mathrm{\θ}}_{2}d{x}_2+m_{t2}{w}_{f2}^{\′\′}\left(L_2\right)\cos {\mathrm{\θ}}_2,$

f_f4(T)＝-I_t2w″_f2(L₂)，

f_f5(T)＝m₁₂(w″_f1(L₁)cosθ₂+w″_f2(L₂))；

步骤三：自适应边界控制律设计

针对慢变子系统(12)，采用自适应滑模控制方法设计边界控制律，其中，滑模面选为

$s=\stackrel{\·}{e}+\mathrm{\λe}$

其中，e＝θ_s-θ_d是关节位置误差，λ＝diag(λ₁，λ₂)是设计参数；在此基础上，慢变子系统的控制律设计如下：

${\mathrm{\τ}}_s=-\mathrm{\λ}\widehat{\stackrel{\‾}{A}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s-k_s\mathrm{sat}\left(s\right)---\left(20\right)$

在式(20)中，λ，k_s∈R^2×2为正的对角矩阵，

χ₁＝I_t1I_h2/(I_t1+I_h2)是不确定的参数，

是动态参数估计，

为χ₁的估计值；自适应律为：

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1={{\mathrm{\γ}}_1}^{-1}{\mathrm{\λ}}_2{s}_2\mathrm{\θ}---\left(21\right)$

其中，γ₁∈R⁺；

另外，式(20)中的饱和函数sat(s)定义为

$\mathrm{sat}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}s/\mathrm{\Δ},& \left|\right|s\left|\right|\≤\mathrm{\Δ}\\ \mathrm{sgn}\left(s\right),& \left|\right|s\left|\right|>\mathrm{\Δ}\end{array}\right.$

其中，Δ∈R⁺；饱和函数用来抑制滑模控制中的振荡现象；

快变子系统自适应边界控制律设计为

${\mathrm{\τ}}_f=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}^2}[\hat{G}{F}_{f1}\left(T\right)+\hat{H}{L}^{-1}{w}_{\mathrm{fL}}^{\′\′}]+k_f{w}_{\mathrm{fL}}^{\′\′}---\left(22\right)$

其中，k_f∈R^2×2是对角的正定矩阵， $\hat{G}=\left[\begin{array}{ccc}-E{I}_1& 0& 0\\ 0& -E{I}_1{\widehat{\mathrm{\χ}}}_2& -E{I}_2{\widehat{\mathrm{\χ}}}_3\end{array}\right],$ $\hat{H}=\mathrm{diag}(I_{h1},{\widehat{\mathrm{\χ}}}_4),$

分别为χ₂，χ₃，χ₄的估计值；参数自适应律给出如下：

${\widehat{\mathrm{\χ}}}_2^{\′}=-{\mathrm{\γ}}_2^{-1}E{I}_1{w}_{f2}^{\′}\left(L_2\right)w_{f1\mathrm{xx}}\left(L_1\right)---\left(23\right)$

${\widehat{\mathrm{\χ}}}_3^{\′}=-{\mathrm{\γ}}_3^{-1}E{I}_2{w}_{f2}^{\′}\left(L_2\right)w_{f2\mathrm{xx}}\left(L_2\right)---\left(24\right)$

${\widehat{\mathrm{\χ}}}_4^{\′}=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}^2{L}_2}{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{w}_{f2}^{\′}\left(L_2\right)w_{f2}^{\′\′}\left(L_2\right)---\left(25\right)$

其中，γ₂，γ₃和γ₄均为正的常数；

在已设计的慢变自适应边界控制律和快变自适应边界控制律的基础上，给出整个系统的自适应边界控制律的表达式为

$\mathrm{\τ}=-\mathrm{\λ}\widehat{\stackrel{\‾}{A}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}-k_s\mathrm{sat}\left(s\right)+\hat{G}{F}_1\left(t\right)+\hat{H}{L}^{-1}{\stackrel{..}{w}}_L+\mathrm{\ϵ}{k}_f{\stackrel{\·}{w}}_L---\left(26\right)$

自适应律给出如下：

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1={{\mathrm{\γ}}_1}^{-1}{\mathrm{\λ}}_2{s}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{h2}---\left(27\right)$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_2=-{\mathrm{\γ}}_2^{-1}E{I}_1{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{1\mathrm{xx}}\left(L_1\right)---\left(28\right)$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_3=-{\mathrm{\γ}}_3^{-1}E{I}_2{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right)w_{2\mathrm{xx}}\left(L_2\right)---\left(29\right)$

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_4={\mathrm{\γ}}_4^{-1}\frac{{\stackrel{\·}{w}}_2\left(L_2\right){\stackrel{\·\·}{w}}_2\left(L_2\right)}{L_2}---\left(30\right)$

；

步骤四：闭环系统全局稳定性的验证

根据奇异摄动理论，只要每个闭环子系统是稳定的，那么整个系统就是稳定的；因此，要证明闭环系统的全局稳定性，只需验证快、慢闭环子系统的稳定性即可；

设计慢变子系统的李雅普诺夫函数为

$V_s=\frac{1}{2}{s}^T\stackrel{\‾}{A}s+\frac{1}{2}{\mathrm{\γ}}_1{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_1^2---\left(31\right)$

其中，

根据本发明设计的慢变子系统的自适应边界控制律，从式(31)不难得到

${\stackrel{\·}{V}}_s=s^T({\mathrm{\τ}}_s+\mathrm{\λ}\stackrel{\‾}{A}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_s)-{\mathrm{\γ}}_1{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_1{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1$

$=-k_s{s}^T\mathrm{sat}\left(s\right)+{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_1({\mathrm{\λ}}_2{s}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{sh}2}-{\mathrm{\γ}}_1{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\χ}}}}_1)$

$=-k_s{s}^T\mathrm{sat}\left(s\right)\≤0---\left(32\right)$

根据李雅普诺夫稳定性定理可知，慢变闭环子系统是稳定的；

设计快变子系统的李雅普诺夫函数为

$V_f=\frac{1}{2{\mathrm{\ϵ}}^2}{w}_{\mathrm{fL}}^{\′T}H{L}^{-1}{w}_{\mathrm{fL}}^{\′}+\frac{1}{2}\underset{j=2}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_j{\widetilde{\mathrm{\χ}}}_j^2---\left(33\right)$

设计的快变子系统的自适应边界控制律的基础上，通过式(33)容易求出

V′_f＝-k_f||w′_fL||²≤0(34)

因此，快变闭环子系统也是稳定的；

步骤五：设计结束

整个设计过程重点考虑三个方面的需求，分别是双连杆柔性机械臂的偏微分动力学建模，模型的快、慢子系统分解，以及关节角和弹性振荡的同时控制；围绕这三个方面，首先在上述第一步中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的偏微分动力学模型；第二步考虑系统变量在不同时域的特性，重点给出了快、慢子系统分解的方法；第三步在所得到的快、慢子系统的基础上，分别设计了自适应边界控制律，并进一步给出了整个系统的自适应边界控制律；第四步中给出了一种验证闭环系统全局稳定的方法；经过上述各步骤后，设计结束。

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