CN104020664A - 一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，它有四大步骤：步骤1：柔性机械臂的动力学建模；步骤2：干扰观测器的设计；步骤3：观测器稳定性的验证；步骤4：设计结束。本发明首先利用哈密尔顿原理，求出整个系统的PDE模型；然后基于该模型，设计合理的干扰观测器以估计外界的未知干扰；最后，通过设计合适的李雅普诺夫函数，对所设计的观测器进行分析，进而验证其稳定性。

Description

一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，它是针对柔性机械臂的偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)动力学模型(以下简称PDE模型)，而给出一种干扰观测器的设计方法，属于机械臂控制技术领域。

背景技术

由于具有质量轻、速度快、能耗低等优点，柔性机械臂越来越多地应用于航天和工业领域。以往，关于柔性机械臂观测器的研究大都基于常微分方程(Ordinary Differential Equation,ODE)动力学模型(以下简称ODE模型)。ODE模型在形式上简单并为控制律设计提供了方便。然而，由于ODE模型是通过忽略高阶振荡模态获得的，它难以精确描述柔性系统的分布式参数特性并可能造成溢出不稳定性。因此，针对柔性机械臂的PDE模型进行干扰观测器的设计有重要的现实意义。

传统的基于PDE模型的研究往往忽略了外部干扰的影响，然而在实际工作环境下，系统运行时一般都会受到来自外界干扰的影响，比如柔性机械臂驱动电机的干扰等。于是，传统的研究方式将会降低系统的性能。在这种技术背景下，针对柔性机械臂的PDE模型，本发明给出了一种干扰观测器的设计方法。采用这种方法，可以实现对未知干扰的观测，从而为之后控制律的研究打下良好的基础。

发明内容

1、发明目的

本发明是一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，其目的是：针对柔性机械臂的PDE模型，克服现有研究方法的不足，给出一种干扰观测器及其具体的设计方法，使得在外界干扰不确定的情况下，实现对干扰的准确估计。

2、技术方案

本发明设计思想是：针对柔性机械臂的PDE模型，设计合适的干扰观测器，再利用李雅普诺夫函数，对所设计的观测器进行收敛性分析，以验证其合理性及稳定性。

下面结合流程框图1中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：柔性机械臂动力学建模

本发明所针对的柔性机械臂的模型如图2所示，利用哈密尔顿原理，通过对系统的分析，可以求出其PDE模型。

建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形。为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)。

柔性机械臂的自然边界条件为

y(0)＝y_x(0)＝0          (1)

其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数。

定义

z(x)＝xθ+y(x)          (2)

其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数。

由式(1)和式(2)可得z(0)＝y(0)，从而

$z\left(0\right)=0,z_x\left(0\right)=\mathrm{\θ},\frac{{\∂}^{n}z}{{\∂x}^n}=\frac{{\∂}^{n}y}{{\∂x}^n}(n\≥2)---\left(3\right)$

由可得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)。

系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\mathrm{\ρ}{\stackrel{.}{z}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}m{\stackrel{.}{z}}^2\left(L\right)$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}$

$W_{\mathrm{nc}}=(\mathrm{\τ}+d_1)\mathrm{\θ}+(F+d_2)z\left(L\right)+{\∫}_0^{L}f\left(x\right)z\left(x\right)\mathrm{dx}$

其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰。

由哈密尔顿原理可得柔性机械臂的PDE模型如下

$\mathrm{\ρ}\stackrel{..}{z}\left(x\right)=-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(4a\right)$

$\mathrm{\τ}+d_1=I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)---\left(4b\right)$

$F+d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)---\left(4c\right)$

y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0       (4d)

步骤2：干扰观测器设计

根据柔性机械臂系统的模型信息，用估计输出与实际输出的差值对估计值进行修正，从而设计出合适的干扰观测器，对系统受到的未知干扰进行准确的估计。

设计观测器的基本思想就是用估计输出与实际输出的差值对估计值进行修正，因此，取 ${\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1),{\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2).$ 其中，L₁>0，L₂>0，为对d₁的估计，为对d₂的估计。

定义辅助参数向量 $w_1={\stackrel{\∩}{d}}_1-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}),w_2={\stackrel{\∩}{d}}_2-P_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right));$ 其中， $P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{.}{\mathrm{\θ}},$ $P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{.}{z}\left(L\right),$ 则 ${\stackrel{.}{P}}_1=(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right);$

由(4b)可得则由上述各式可求得

${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1)=L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\end{array}---\left(5\right)$

同理，由(4c)可得 $d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-F,$ 则

${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2)=L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-,L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right)\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\end{array}---\left(6\right)$

故干扰观测器设计为

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\\ {\stackrel{\∩}{d}}_1=w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(7a\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\\ {\stackrel{\∩}{d}}_2=w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right))\end{array}---\left(7b\right)$

由式(7a)和(7b)可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1{w}_1\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{F\τ})-L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right)))\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2{w}_2\end{array}---\left(9\right)$

定义干扰误差由于干扰均为慢时变干扰，可认为 ${\stackrel{.}{d}}_2=0,$ 则可得

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1={\stackrel{.}{d}}_1-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1---\left(10\right)$

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2={\stackrel{.}{d}}_2-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2---\left(11\right)$

所以，由式(7a)至(11)以及和的表达式，可得观测误差方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{w}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =-L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))+L_1{w}_1-L_1{L}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})\\ =L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{d}_1=-L_1{\tilde{d}}_1\end{array}---\left(12\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{w}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =-L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))+L_2{w}_2-L_{2}m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\\ =L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})\\ =L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_2{d}_2=-L_2{\tilde{d}}_2\end{array}---\left(13\right)$

即通过设计L₁、L₂，使估计值按指数逼近干扰d₁、d₂。

针对定义 ${\stackrel{\·}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{..}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right),$ 分别取 $P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=c_1\stackrel{.}{\mathrm{\θ}},$ c₁>0， $P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=c_2\stackrel{.}{z}\left(L\right),$ c₂>0，则可得

$L_1=\frac{c_1}{I_h},L_2=\frac{c_2}{m}---\left(14\right)$

在仿真过程中，观测器的参数选为c₁＝5，c₂＝5；因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)；控制输入力矩选取τ＝sin(t)(N·m)，F＝sin(t)(N·m)；参数估计的初始值均为0.5(N·m)，系统其他物理参数如表1所示。

表1柔性机械臂物理参数的数值

步骤3：观测器稳定性的验证

基于上面设计的干扰观测器，设计合适的李雅普诺夫函数V_o(t)，验证证明该观测器以指数形式收敛于零，是稳定的。

设计系统的李雅普诺夫函数为

V_o(t)＝V₁(t)+V₂(t)

其中， $V_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2,V_2\left(t\right)=\frac{1}{2}m{{\tilde{d}}_2}^2;$ 则

${\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)=I_h{\tilde{d}}_1{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=I_h{\tilde{d}}_1(-L_1{\tilde{d}}_1)=-L_1{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2$

${\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=m{\tilde{d}}_2{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=m{\tilde{d}}_2(-L_2{\tilde{d}}_2)=-L_{2}m{{\tilde{d}}_2}^2=-c_2{{\tilde{d}}_2}^2$

则

${\stackrel{.}{V}}_o\left(t\right)={\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)+{\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2-c_2{{\tilde{d}}_2}^2\≤-{\mathrm{\λ}}_0{V}_o\left(t\right)$

其中 ${\mathrm{\λ}}_0=\min (\frac{{2c}_1}{I_h},\frac{{2c}_2}{m});$

所以，上述不等式的解为

$V_o\left(t\right)\≤V_o\left(0\right)e^{-{\mathrm{\λ}}_{0}t}$

即当t→∞时，V_o(t)以指数形式收敛于零，系统是稳定的。

步骤4：设计结束

整个设计过程重点考虑三个方面，分别是柔性机械臂的动力学建模，干扰观测器的设计，及其稳定性分析。围绕这三个方面，首先在上述步骤1中利用哈密尔顿原理求出了整个系统的PDE模型；步骤2考虑系统外界干扰的不确定性，重点给出了干扰观测器的设计方法；步骤3在所得到的观测器的基础上，给出了一种验证观测器稳定性的方法，对所设计的观测器进行了分析。经过上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明的优点在于与目前存在的处理方法相比，这种方法在设计时，不仅考虑了柔性机械臂的空间上的分布参数特性，而且还考虑了外界干扰的不确定性。在实际工程中，由于观测噪声，很难通过微分速度信号来得到加速度信号，本发明通过设计辅助参数向量，在不需要加速度信号的情况下，设计干扰观测器，实现柔性机械臂这种分布式参数系统的干扰观测。

附图说明

图1：本发明实施步骤流程框图

图2：本发明中柔性机械臂示意图

图3：本发明实施方式中的柔性机械臂干扰观测图

图4：本发明实施方式中的柔性机械臂干扰观测误差图

图中的标号、符号和线条等说明如下：

图2中，坐标轴XOY表示固定的惯性坐标系，坐标轴xOy表示随动坐标系。EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，θ为关节角度，τ(t)为首端控制力矩输入，F(t)为末端控制力矩输入，y(x,t)为机械臂的弹性变形，d₁(t)为首端控制输入慢时变干扰，d₂(t)为末端控制输入慢时变干扰。图3–图4中的横坐标表示仿真时间，单位是秒；图3中的纵坐标表示外界干扰；图3中的虚线分别表示干扰d₁(t)、d₂(t)的估计值，实线分别表示外界干扰d₁(t)、d₂(t)的实际值；图4中的纵坐标分别表示干扰d₁(t)、d₂(t)的估计误差。

具体实施方式

下面将结合附图和技术方案对本发明做进一步的详细说明。

见图1，本发明一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：柔性机械臂动力学建模

柔性机械臂的模型如图2所示，其动力学建模采用哈密尔顿原理的方法。需要提前说明的是，建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形。为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)。

柔性机械臂的自然边界条件为

y(0)＝y_x(0)＝0          (1)

其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数。

定义

z(x)＝xθ+y(x)          (2)

其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数。

由式(1)和式(2)可得z(0)＝y(0)，从而

$z\left(0\right)=0,z_x\left(0\right)=\mathrm{\θ},\frac{{\∂}^{n}z}{{\∂x}^n}=\frac{{\∂}^{n}y}{{\∂x}^n}(n\≥2)---\left(3\right)$

由可得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)。

系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\mathrm{\ρ}{\stackrel{.}{z}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}m{\stackrel{.}{z}}^2\left(L\right)$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}$

$W_{\mathrm{nc}}=(\mathrm{\τ}+d_1)\mathrm{\θ}+(F+d_2)z\left(L\right)+{\∫}_0^{L}f\left(x\right)z\left(x\right)\mathrm{dx}$

其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰。

由哈密尔顿原理可得柔性机械臂的PDE模型如下

$\mathrm{\ρ}\stackrel{..}{z}\left(x\right)=-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(4a\right)$

$\mathrm{\τ}+d_1=I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)---\left(4b\right)$

$F+d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)---\left(4c\right)$

y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0       (4d)

步骤2：干扰观测器设计

设计观测器的基本思想就是用估计输出与实际输出的差值对估计值进行修正，因此，取 ${\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1),{\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2).$ 其中，L₁>0，L₂>0，为对d₁的估计，为对d₂的估计。

定义辅助参数向量 $w_1={\stackrel{\∩}{d}}_1-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}),w_2={\stackrel{\∩}{d}}_2-P_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right));$ 其中， $P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{.}{\mathrm{\θ}},$ $P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{.}{z}\left(L\right),$ 则 ${\stackrel{.}{P}}_1=(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right);$

由(4b)可得则由上述各式可求得

${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1)=L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\end{array}---\left(5\right)$

同理，由(4c)可得 $d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-F,$ 则

${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2)=L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-,L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right)\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\end{array}---\left(6\right)$

故干扰观测器设计为

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\\ {\stackrel{\∩}{d}}_1=w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(7a\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\\ {\stackrel{\∩}{d}}_2=w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right))\end{array}---\left(7b\right)$

由式(7a)和(7b)可得

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1{w}_1\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{F\τ})-L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right)))\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2{w}_2\end{array}---\left(9\right)$

定义干扰误差由于干扰均为慢时变干扰，可认为 ${\stackrel{.}{d}}_2=0,$ 则可得

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1={\stackrel{.}{d}}_1-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1---\left(10\right)$

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2={\stackrel{.}{d}}_2-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2---\left(11\right)$

所以，由式(7a)至(11)以及和P₂(z(L),)的表达式，可得观测误差方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{w}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =-L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))+L_1{w}_1-L_1{L}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})\\ =L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{d}_1=-L_1{\tilde{d}}_1\end{array}---\left(12\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{w}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =-L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))+L_2{w}_2-L_{2}m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\\ =L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})\\ =L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_2{d}_2=-L_2{\tilde{d}}_2\end{array}---\left(13\right)$

即通过设计L₁、L₂，使估计值按指数逼近干扰d₁、d₂。

针对定义 ${\stackrel{\·}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{..}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right),$ 分别取c₁>0， $P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=c_2\stackrel{.}{z}\left(L\right),$ c₂>0，则可得

$L_1=\frac{c_1}{I_h},L_2=\frac{c_2}{m}---\left(14\right)$

在仿真过程中，观测器的参数选为c₁＝5，c₂＝5；因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)；控制输入力矩选取τ＝sin(t)(N·m)，F＝sin(t)(N·m)；参数估计的初始值均为0.5(N·m)，系统其他物理参数如表1所示。

表1柔性机械臂物理参数的数值

步骤3：观测器稳定性的验证

设计系统的李雅普诺夫函数为

V_o(t)＝V₁(t)+V₂(t)

其中， $V_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2,V_2\left(t\right)=\frac{1}{2}m{{\tilde{d}}_2}^2;$ 则

${\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)=I_h{\tilde{d}}_1{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=I_h{\tilde{d}}_1(-L_1{\tilde{d}}_1)=-L_1{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2$

${\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=m{\tilde{d}}_2{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=m{\tilde{d}}_2(-L_2{\tilde{d}}_2)=-L_{2}m{{\tilde{d}}_2}^2=-c_2{{\tilde{d}}_2}^2$

则

${\stackrel{.}{V}}_o\left(t\right)={\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)+{\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2-c_2{{\tilde{d}}_2}^2\≤-{\mathrm{\λ}}_0{V}_o\left(t\right)$

其中 ${\mathrm{\λ}}_0=\min (\frac{{2c}_1}{I_h},\frac{{2c}_2}{m});$

所以，上述不等式的解为

$V_o\left(t\right)\≤V_o\left(0\right)e^{-{\mathrm{\λ}}_{0}t}$

即当t→∞时，V_o(t)以指数形式收敛于零，系统是稳定的。

图3是本发明实施方式中的柔性机械臂干扰观测图，图4是本发明实施方式中的柔性机械臂干扰观测误差图。

步骤4：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面，首先是实现了柔性机械臂的动力学建模，其次针对未知的外界干扰设计了合适的干扰观测器，最后利用李雅普诺夫函数，对设计出的观测器进行稳定性分析。

综上所述，针对柔性机械臂的PDE模型，利用上述干扰观测器，可以在不需要加速度信号且外界干扰不确定的情况下，实现对干扰的准确估计。

Claims (1)

1.一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤1：柔性机械臂动力学建模

柔性机械臂的动力学建模采用哈密尔顿原理的方法，建模时用到的状态变量θ(t)、y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形；为了表示方便，以下分析中θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)；

柔性机械臂的自然边界条件为

y(0)＝y_x(0)＝0          (1)

其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数，

定义

z(x)＝xθ+y(x)          (2)

其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数；

由式(1)和式(2)得z(0)＝y(0)，从而

$z\left(0\right)=0,z_x\left(0\right)=\mathrm{\θ},\frac{{\∂}^{n}z}{{\∂x}^n}=\frac{{\∂}^{n}y}{{\∂x}^n}(n\≥2)---\left(3\right)$

由得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)；

系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

$E_k=\frac{1}{2}{I}_h{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2+\frac{1}{2}{\∫}_0^L\mathrm{\ρ}{\stackrel{.}{z}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}+\frac{1}{2}m{\stackrel{.}{z}}^2\left(L\right)$

$E_p=\frac{1}{2}{\∫}_0^L{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}^2\left(x\right)\mathrm{dx}$

$W_{\mathrm{nc}}=(\mathrm{\τ}+d_1)\mathrm{\θ}+(F+d_2)z\left(L\right)+{\∫}_0^{L}f\left(x\right)z\left(x\right)\mathrm{dx}$

其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰；

由哈密尔顿原理得柔性机械臂的PDE模型如下

$\mathrm{\ρ}\stackrel{..}{z}\left(x\right)=-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxxx}}\left(x\right)---\left(4a\right)$

$\mathrm{\τ}+d_1=I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)---\left(4b\right)$

$F+d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)---\left(4c\right)$

y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0     (4d)

步骤2：干扰观测器设计

设计观测器的基本思想就是用估计输出与实际输出的差值对估计值进行修正，因此，取 ${\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1),{\stackrel{\stackrel{.}{\∩}}{d}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2),$ 其中，L₁>0，L₂>0，为对d₁的估计，为对d₂的估计；

定义辅助参数向量 $w_1={\stackrel{\∩}{d}}_1-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}),w_2={\stackrel{\∩}{d}}_2-P_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right));$ 其中， $P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{.}{\mathrm{\θ}},$ $P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{.}{z}\left(L\right),$ 则 ${\stackrel{.}{P}}_1=(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right);$

由(4b)得则由上述各式求得

${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=L_1(d_1-{\stackrel{\∩}{d}}_1)=L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\end{array}---\left(5\right)$

同理，由(4c)可得 $d_2=m\stackrel{..}{z}\left(L\right)-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-F,$ 则

${\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=L_2(d_2-{\stackrel{\∩}{d}}_2)=L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2={\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)-{\mathrm{EIZ}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-,L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right)\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\end{array}---\left(6\right)$

故干扰观测器设计为

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1\\ {\stackrel{\∩}{d}}_1=w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\end{array}---\left(7a\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})-L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2\\ {\stackrel{\∩}{d}}_2=w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right))\end{array}---\left(7b\right)$

由式(7a)和(7b)得

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_1=L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})-L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))\\ =L_1({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1{w}_1\end{array}---\left(8\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{w}}_2=L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(0\right)-\mathrm{F\τ})-L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}\left(L\right)))\\ =L_2({-\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2{w}_2\end{array}---\left(9\right)$

定义干扰误差由于干扰均为慢时变干扰，认为 ${\stackrel{.}{d}}_2=0,$ 则得

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1={\stackrel{.}{d}}_1-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1---\left(10\right)$

${\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2={\stackrel{.}{d}}_2-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2---\left(11\right)$

所以，由式(7a)至(11)以及和的表达式，得观测误差方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_1=-{\stackrel{.}{w}}_1-{\stackrel{.}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})\\ =-L_1(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ}-P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))+L_1{w}_1-L_1{L}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}\\ =L_1(w_1+P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}}))-L_1(I_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xx}}\left(0\right)-\mathrm{\τ})\\ =L_1{\stackrel{\∩}{d}}_1-L_1{d}_1=-L_1{\tilde{d}}_1\end{array}---\left(12\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{\stackrel{\∩}{d}}}_2=-{\stackrel{.}{w}}_2-{\stackrel{.}{P}}_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right))\\ =-L_2(-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ}-P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))+L_2{w}_2-L_{2}m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}\\ =L_2(w_2+P_2(z\left(L\right)\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{z\θ}}\left(L\right)))-L_2(m\stackrel{..}{\mathrm{z\θ}}-{\mathrm{EIz}}_{\mathrm{xxx}}\left(L\right)-\mathrm{F\τ})\\ =L_2{\stackrel{\∩}{d}}_2-L_2{d}_2=-L_2{\tilde{d}}_2\end{array}---\left(13\right)$

即通过设计L₁、L₂，使估计值按指数逼近干扰d₁、d₂；

针对定义 ${\stackrel{\·}{P}}_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=L_1{I}_h\stackrel{..}{\mathrm{\θ}},{\stackrel{..}{P}}_2(z\left(L\right),\stackrel{.}{z}\left(L\right))=L_{2}m\stackrel{..}{z}\left(L\right),$ 分别取 $P_1(\mathrm{\θ},\stackrel{.}{\mathrm{\θ}})=c_1\stackrel{.}{\mathrm{\θ}},$ c₁>0， $P_2(z\left(L\right),\stackrel{\·}{z}\left(L\right))=c_2\stackrel{.}{z}\left(L\right),$ c₂>0，则得

$L_1=\frac{c_1}{I_h},L_2=\frac{c_2}{m}---\left(14\right)$

在仿真过程中，观测器的参数选为c₁＝5，c₂＝5；因为干扰是慢时变的，所以选取d₁(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)；控制输入力矩选取τ＝sin(t)(N·m)，F＝sin(t)(N·m)；参数估计的初始值均为0.5(N·m)，系统其他物理参数如表1所示；

表1柔性机械臂物理参数的数值

步骤3：观测器稳定性的验证

设计系统的李雅普诺夫函数为

V_o(t)＝V₁(t)+V₂(t)

其中， $V_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2,V_2\left(t\right)=\frac{1}{2}m{{\tilde{d}}_2}^2;$ 则

${\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)=I_h{\tilde{d}}_1{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_1=I_h{\tilde{d}}_1(-L_1{\tilde{d}}_1)=-L_1{I}_h{{\tilde{d}}_1}^2=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2$

${\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=m{\tilde{d}}_2{\stackrel{.}{\stackrel{~}{d}}}_2=m{\tilde{d}}_2(-L_2{\tilde{d}}_2)=-L_{2}m{{\tilde{d}}_2}^2=-c_2{{\tilde{d}}_2}^2$

则

${\stackrel{.}{V}}_o\left(t\right)={\stackrel{.}{V}}_1\left(t\right)+{\stackrel{.}{V}}_2\left(t\right)=-c_1{{\tilde{d}}_1}^2-c_2{{\tilde{d}}_2}^2\≤-{\mathrm{\λ}}_0{V}_o\left(t\right)$

其中 ${\mathrm{\λ}}_0=\min (\frac{{2c}_1}{I_h},\frac{{2c}_2}{m});$

所以，上述不等式的解为

$V_o\left(t\right)\≤V_o\left(0\right)e^{-{\mathrm{\λ}}_{0}t}$

即当t→∞时，V_o(t)以指数形式收敛于零，系统是稳定的；

步骤4：设计结束

整个设计过程重点考虑三个方面，首先是实现了柔性机械臂的动力学建模，其次针对未知的外界设计了合适的干扰观测器，最后利用李雅普诺夫函数，对设计出的观测器进行稳定性分析；综上所述，针对柔性机械臂的PDE模型，利用上述干扰观测器，在外界干扰不确定的情况下，实现对干扰的准确估计。