CN104876128B - 带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法 - Google Patents

Abstract

一种带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法，首先引入两个结合台车位移与负载摆角的广义信号，将台车精确定位与有效消除负载摆动的双重目标转换为对广义信号的调节控制，基于此构造出一个新的类似能量函数；为使台车跟踪误差以及负载摆角始终在允许的范围内，将两个“势函数”与新的类似能量的函数结合起来，设计出一种新型的储能函数。该方法对不同绳长、负载质量、目标位置以及外部扰动具有强鲁棒性；台车在X、Y轴方向上的位移被限定在合适的范围内，增强了系统的暂态控制性能；在整个运输过程中由负载摆动产生的位移被限定在一个允许的范围内，从而直接限制了摆角的幅值。

Description

带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法

技术领域

本发明涉及一种用于欠驱动三维桥式吊车系统控制的带有状态约束的增强耦合非线性的控制方法，属于三维桥式吊车系统非线性控制技术领域。

背景技术

随着社会的进步，桥式吊车系统作为大型的运输工具已广泛的应用在石油、化工、港口、铁路、建筑工地等场合。到目前为止，由于吊车系统高性能控制方法的缺失，大多数吊车仍由有经验的工作人员操作。但是，训练这些操作人员需要耗费大量的时间并且人工操作具有效率低下、定位精度差、易发生误操作等缺点。考虑到人工操作的弊端，国内外众多学者致力于高性能控制方法的研究。吊车系统的控制目标为快速精确的将台车运送至目标位置同时有效抑制并消除负载的摆动(参见文献1)。然而，桥式吊车系统是一类典型的欠驱动系统，操作人员仅能操作台车的运动而无法直接对负载的摆动施加控制，因此同时得到台车的精确定位和抑制负载摆动的目标是非常困难的(参见文献2)。

近年来，研究人员针对欠驱动吊车系统的消摆定位控制问题提出了一系列有意义的控制方法。其中，最常用的控制方法为无反馈信号的开环控制方法。典型的开环控制方法有：最优控制(参见文献3、4和5)、输入整形(参见文献6-11)、轨迹规划方法(参见文献12-16)。CN102795544B公开的《基于轨迹在线规划的桥式吊车高效消摆控制方法》。这些开环控制方法具有算法简单、易于实现的优点。然而，开环控制方法的性能严重的依赖于吊车模型的精确程度，当模型参数(如绳长)不确定时此方法很难消除由吊车系统内部或者外部扰动引起的误差，其控制性能会大打折扣。与开环控制方法相比，闭环控制方法引入了反馈信号。因此，闭环控制方法对内部或外部扰动不敏感。文献17以及文献18利用吊车系统自身的无源特性提出了比例微分(PD)控制器、能量平方(E²)耦合控制器、动能耦合(KEC)控制器，得到了非线性控制器耦合性越强吊车系统的暂态响应性能越好的结论。其中PD控制器结构简单，易于工程实现，但其消摆性能较差；E²耦合控制器和KEC耦合控制器可以改善消摆控制性能，但是结构较复杂且严重依赖吊车系统模型参数，不易于工程实现。为增强耦合，文献19-21针对二维桥式吊车系统提出了一系列增强耦合非线性的控制方法，通过在控制率中添加一些与模型参数相关的项，改善了系统暂态控制性能，但相应的增加了其设计方法的复杂性，并且这些方法极易受到系统模型参数不确定性的影响。CN104129712A公开的《一种增强抗摆的桥式吊车调节控制方法》、CN102765665A公开的《基于负载广义运动的桥式吊车非线性耦合控制方法》。文献22和23提出了在系统参数(如负载质量、绳长)不确定的情况时，利用目标轨迹自适应跟踪的方法，可以同时保证台车精确定位与有效消除负载摆动的自适应控制方法，根据系统响应对吊绳长度等参数进行在线估计，并实时的调整控制输出，提高了整个系统对外界环境的适应性，且该方法额外考虑了复杂摩擦力以及空气阻力的影响。文献24和25研究出了一种可以保证系统稳定性的自适应滑模控制方法，在一定程度上缓解了常规滑模控制方法的抖振问题，但在证明系统稳定性时，需忽略闭环系统中的部分非线性耦合项，若系统的状态偏离平衡点，这些方法的控制性能将大打折扣。除了上述的基于模型的控制方法外，智能控制方法如模糊控制(参见文献26和27)已成功的应用于吊车系统中。

以上增强耦合非线性的控制方法都是针对二维桥式吊车系统提出的，仅能保证误差信号(包括台车位移与目标位置之差和摆角)渐进收敛于0，而无法保证运输过程中误差信号的范围。吊车在轨道上运动，而这个轨道的长度是受实际物理约束的。当设定的目标点接近轨道的边缘或者控制增益没有调节好时，台车可能会超出允许的范围，造成碰撞事故(参见文献29)；从安全性的角度来说，负载的摆角应控制在一定的范围内，因此台车运输过程中，保证误差信号的范围在设定范围内是非常重要的。在实际应用中，二维桥式吊车一次只能沿着一个方向移动，工作效率较低。为提高系统的工作效率，需要将负载的X轴方向(水平方向)运送与Y轴方向(竖直方向)运送同时进行，因此研究三维桥式吊车系统具有很重要的意义。三维桥式吊车系统有两个控制输入(施加于台车上的力F_x、F_y，见图1)，4个系统待控自由度(台车位移x、y，负载摆角θ_x、θ_y，见图1)。相较二维吊车系统而言三维吊车系统具有更多的状态变量，并且每个状态变量的耦合性、非线性更强，使得其控制器的设计更加的困难。

针对二维桥式吊车系统已有的控制方法应用于三维桥式吊车系统中存在的无法保证误差信号范围、工作效率低的问题，提出一种带有状态约束的三维桥式吊车系统增强耦合非线性的控制方法，该方法稳定性高、鲁棒性和暂态控制性能好，并且可保证整个运输过程中误差信号始终在允许的范围内。

其中:

文献1：A.Khatamianfar,and A.V.Savkin.“A new tracking control approachfor 3D overhead crane systems using model predictive control,”in Proceedingsof the European Control Conference,2014:796-801.

文献2：N.Sun,Y.Fang.“A partially saturated nonlinear controller foroverhead cranes with experimental implementation,”in Proceedings of the2013IEEE International Conferance on Robotics and Automation,2013:4458-4463.

文献3：B.Tuan,H.Chen,and X.Zhang.“A practical optimal controller forunderactuated gantry crane systems,”in Proceedings of the InternationalSymposium on Systems and Control in Aerospace and A Astronautics,2006,726-730.

文献4：X.Zhang,Y.Fang,and N.Sun.“Minimum-time trajectory planning forunderactuated overhead crane systems with state and control constraints,”IEEETransactions on Industrial Electronics,2014,61(12):6915-6925.

文献5：W.Piazzi,and A.Visioli.“Optimal dynamic-inversion–based controlof an overhead crane,”IET Control Theory and Applications,2002,149(5):405-411.

文献6：A.Khalid,J.Huey,W.Singhose,J.Lawrence,and D.Frakes.“Humanoperator performance testing using an input-shaped bridge crane,”ASME Journalof Dynamic Systems,Measurement and Control,2006,128(4):835-841.

文献7：K.Sorensen,W.Singhose,and S.Dickerson.“A controller enablingprecise positioning and sway reduction in bridge and gantry cranes,”ControlEngineering Practice,2007,15(7):825-837.

文献8：K.Dooroo,and W.Singhose.“Performance studies of human operatorsdriving double-pendulum bridge cranes,”Control Engineering Practice,2010,18(6):567-576.

文献9：K.Sorensen,and W.Singhose.“Command-induced vibration analysisusing input shaping principles,”Automatica,2008,44(9):2392-2397.

文献10：S.Garrido,M.Abderrahim,A.Gimenez,R.Diez,and C.Balaguer.“Anti-swing input shaping control of an automatic construction crane,”IEEETransactions on Automation Science and Engineering,2008,5(3):549-557.

文献11：D.Blackburn,W.Singhose,J.Kitchen.“Command shaping fornonlinear crane dynamics,”Journal of Vibration and Control,2010,16(4):477-501.

文献12：N.Sun,Y.Fang,X.Zhang,and Y.Yuan.“Transportation task-orientedtrajectory planning for underactuated overhead cranes using geometricanalysis,”IET Control Theory and Applications,2012,6(10):1410-1423.

文献13：N.Sun,Y.Fang,Y.Zhang,and B.Ma.“A novel kinematic coupling-based trajectory planning method for overhead cranes,”IEEE/ASME Transactionson Mechatronics,2012,17(1):166-173.

文献14：N.Uchiyama,H.Ouyang,and S.Sano.“Simple rotary crane dynamicsmodeling and open-loop control for residual load sway suppression by onlyhorizontal boom motion,”IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2013,23(8):1223-1236.

文献15：N.Sun,Y.Fang,X.Zhang,and Y.Yuan.“Phase plane analysis basedmotion planning for underactuated overhead cranes,”in Proceedings of the2011IEEE International Conference on Robotics and Automation,2011:3283-3488.

文献16：N.Sun,and Y.Fang.“An efficient online trajectory generatingmethod for underactuated crane systems,”International Journal of Robust andNonlinear Control,2014,24(11):1653-1663.

文献17：Y.Fang,W.Dixon.D.Dawson,and E.Zergeroglu.“Nonlinear couplingcontrol laws for an underactuated overhead crane system,”IEEE/ASMETransactions on Mechatronics,2008,130(3):1-7.

文献18：Y.Fang.“Lyapunov-based control for mechaniacal and vision–based systems,”Clemson University,PHD Dissertation,2002.

文献19：N.Sun,Y.Fang,and X.Zhang.“Energy coupling output feedbackcontrol of 4-D of underactuated cranes with saturated inputs,”Automatica,2013,49(5):1318-1325.

文献20：N.Sun,and Y.Fang.“New energy analytical results for theregulation of underactuated overhead cranes:An end-effector motion-basedapproach,”IEEE Transactions on Industrial Electronics,2012,29(12):4723-4734.

文献21：N.Sun,Y.Fang,and X.Wu.“An enhanced coupling nonlinear controlmethod for bridge cranes,”IET Control Theory and Applications,2014,8(13):1215-1223.

文献22：Y.Fang,B.Ma,P.Wang,and X.Zhang.“A motion planning-basedadaptive control method for an underactuated crane system,”IEEE Transactionson Control systems Technology,2012,20(1)：241-248.

文献23：孙宁,方勇纯,王鹏程,张雪波.“欠驱动三维桥式吊车系统自适应跟踪控制器设计,”自动化学报,2010,36(9):1287-1294.

文献24：Q.H.Ngo.,Hong,and K.Shik.“Sliding-mode antisway control of anoffshore container crane,”IEEE/ASME Transactions on Mechatronic,2012,17(12):201-209.

文献25：Q.H.Ngo.,Hong,and K.Shik.“Adaptive sliding mode control ofcontainer cranes,”IET Control Theory and Applications,2012,6(5):662-668.

文献26：M.Park,D.Chwa,and S.Hong.“Antisway tracking control ofoverhead cranes with system uncertainty and actuator nonlinearity using anadaptive fuzzy sliding-mode control,”IEEE Transaction on IndustrialElectronics,2008,55(11):3972-3984.

文献27：W.Chen,and M.Saif.“Output feedback controller design for aclass of MIMO nonlinear systems using high-order sliding-mode differentiatorswith application to a laboratory 3-D crane,”IEEE Transactions on IndustrialElectronics,2008,55(11):3985-3997.

文献28：B.Gao.“Nonlinear control of a class of underactuatedmechanical systems,”Harbin Institute of Nonlinear Technology,PHDDissertation,2007.

文献29：N.Sun,Y.Fang,and H.Chen.“Adaptive control of underactuatedcrane systems subject to bridge length limitation and parametricuncertainties,”in Proceedings of the 33rd Chinese Control Conference,2014:3568-3573.

发明内容

本发明针对已有的欠驱动吊车系统的消摆定位控制方法存在的无法保证误差信号范围、二维桥式吊车系统工作效率低的问题，提出一种稳定性高、鲁棒性和暂态控制性能好的带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法,该方法可保证三维桥式吊车系统的误差信号在预先设定的范围内并渐进收敛至0。

本发明的带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法，是：

首先引入两个结合台车位移与负载摆角的广义信号，将台车精确定位与有效消除负载摆动的双重目标转换为对广义信号的调节控制，基于此构造出一个新的类似能量函数；为使台车跟踪误差以及负载摆角始终在允许的范围内，将两个“势函数”与新的类似能量的函数结合起来，设计出一种新型的储能函数；具体步骤如下：

步骤1：对实际的吊车系统进行物理建模，得到物理模型，负载通过缆绳与台车相连，台车在作用力F_x的作用下沿X轴方向移动，在作用力F_y的作用下沿Y轴方向移动，固定绳长的三维桥式吊车系统动力学模型为：

$(M_x+m)\stackrel{\·\·}{x}+\mathrm{ml}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_x{C}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y{S}_x{S}_y-2\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_x{S}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2{S}_x{C}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y^2{S}_x{C}_y=F_x-f_{\mathrm{rx}},---\left(1\right)$

$(M_y+m)\stackrel{\·\·}{y}-\mathrm{ml}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_y+\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y^2{S}_y=F_y-f_{\mathrm{ry}},---\left(2\right)$

$m\stackrel{\·\·}{x}l{C}_x{C}_y+m{l}^2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_y^2-2m{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_y{S}_y+\mathrm{mgl}{S}_x{C}_y=0,---\left(3\right)$

$-m\stackrel{\·\·}{x}l{S}_x{S}_y-m\stackrel{\·\·}{y}l{C}_y+m{l}^2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_y+m{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x^2{C}_y{S}_y+\mathrm{mgl}{C}_x{S}_y=0,---\left(4\right)$

其中，M_x、M_y、m分别代表台车质量、台车与轨道质量之和、负载质量；l和g分别为绳长及重力加速度；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；F_x和F_y为控制输入；f_rx与f_ry代表X、Y轴方向的摩擦力；S_x,S_y,C_x,C_y为sinθ_x,sinθ_y,cosθ_x,cosθ_y的缩写；

式(1)-(4)写为矢量形式：

$M\left(q\right)\stackrel{\·\·}{q}+V_m(q,\stackrel{\·}{q})\stackrel{\·}{q}+G\left(q\right)=U,---\left(5\right)$

其中，q＝[x y θ_x θ_y]^T∈R⁴代表状态向量；x(t)、y(t)为台车在X、Y轴方向上台车的位移；

M(q)∈R^4*4为惯性矩阵；表示科里奥利-向心矩阵；G(q)为重力向量；U∈R⁴代表控制输入向量；这些矩阵/向量详细写为：

$M\left(q\right)=\left[\begin{array}{cccc}{M}_x+m& 0& \mathrm{ml}{C}_x{C}_y& -\mathrm{ml}{S}_x{S}_y\\ 0& M_y+m& 0& -\mathrm{ml}{C}_y\\ \mathrm{ml}{C}_x{C}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2{C}_y^2& 0\\ -\mathrm{ml}{S}_x{S}_y& -\mathrm{ml}{C}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2\end{array}\right],$

$V_m(q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_x{S}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_x{C}_y& -\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_x{S}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{S}_x{C}_y\\ 0& 0& 0& \mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{S}_y\\ 0& 0& -m{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y{C}_y{S}_y& -m{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_y{S}_y\\ 0& 0& m{l}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x{C}_y{S}_y& 0\end{array}\right],$

G(q)＝[0 0 mglS_xC_y mglC_xS_y]^T，

U＝[F_x-f_rx F_y-f_ry 0 0]^T，

M(q)与满足以下结论：

${\mathrm{\ξ}}^T[\frac{1}{2}\stackrel{\·}{M}\left(q\right)-V_m(q,\stackrel{\·}{q})]\mathrm{\ξ}=0,\∀\mathrm{\ξ}\∈R^4,---\left(6\right)$

其中，表示M(q)关于时间的导数；

基于负载一直是在台车下方摆动的事实，进行以下合理假设：

假设1：在整个运输过程中，负载在X和Y轴方向的摆角一直在(–π/2,π/2)范围内，即

-π/2<θ_x<π/2

-π/2<θ_y<π/2 ， (7)

步骤2：固定绳长的三维吊车系统中有两个控制输入F_x和F_y以及四个自由度x、y、θ_x和θ_y，吊车控制系统的目的是实现快速精确的定位以及有效地消除负载摆动，在控制中，需要考虑x(t)与θ_x(t),θ_y(t)的耦合关系以及y(t)与θ_x(t),θ_y(t)的耦合关系；

引入广义信号ζ_x,ζ_y为：

其中，λ,r∈R⁺代表控制系数；f(θ_x)为与θ_x相关的待确定函数；g(θ_y)和w(θ_y)代表与θ_y相关的待确定函数；

根据负载在X、Y轴的位移表达式选择信号ζ_x,ζ_y，负载在X、Y方向的位移上的表达式为：

x_m＝x+lsinθ_x cosθ_y，

y_m＝y-lsinθ_y，

对式(8)关于时间进行求导，得：

在此，对式(8)关于时间积分，得：

其中，e_x和e_y表示X、Y轴方向上定位误差；p_dx和p_dy代表台车在X、Y方向的目标位置；

从而，构造的新的状态变量为：

将新的状态变量X(t)替代代入式(5),三维桥式吊车的动力学模型表示为：

$\begin{array}{c}M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{X}\left(t\right)+V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})X\left(t\right)\\ =U-G\left(q\right)+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;}(M_x+m)[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&CenterDot;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ r(M_y+m){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\\ \mathrm{\&lambda;ml}{C}_{x}C{\mathrm{\&theta;}}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ -\mathrm{\&lambda;ml}{S}_x{S}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]-\mathrm{rml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\end{array}\right]\end{array},---\left(13\right)$

三维吊车系统的能量包括动能和势能，具有以下的形式：

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}^{T}M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{q}+\mathrm{mgl}(1-C_x{C}_y),---\left(14\right)$

基于能量E(t)的形式，定义一个新的类似能量的函数为：

$E_X\left(t\right)=\frac{1}{2}{X}^T\left(t\right)M\left(q\right)X\left(t\right)+\mathrm{mgl}(1-C_x{C}_y),---\left(15\right)$

对式(15)关于时间求导，并将式(6)和(13)代入，得：

基于式(16)的结构，本发明的带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法设计如下：

其中和P代表与的边界；引入式(17)、(18)第一项以及的目的是保证台车的精确定位；引入式(17)、(18)的最后一项m_x和m_y的目的是保证负载位移始终在允许的范围内；k_p,k_d,k_q,k_ξ,k_ex,k_ey∈R⁺为待调整的控制增益；为了保证中如下项非负，

$\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ -\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\&le;0\end{array},---\left(19\right)$

整理得：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2{C}_x{C}_y{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{C}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ -\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)-\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{S}_x{S}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\&le;0\end{array},---\left(20\right)$

令f(θ_x)＝-sinθ_x，g(θ_y)＝cosθ_y，可得：

$\begin{array}{c}-\mathrm{\&lambda;ml}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x}^2{C}_x^2{C}_y^2+2\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{C}_y{S}_x{S}_y-\mathrm{\&lambda;ml}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y}^2{S}_x^2{S}_y^2\\ =-\mathrm{\&lambda;ml}{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y)}^2\&le;0\end{array},---\left(21\right)$

满足式(20)；

同理为保证非负，需保证的以下项非负，即：

$-\mathrm{rml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{C}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&le;0,---\left(22\right)$

其中，由假设1得到：

$-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<{\mathrm{\&theta;}}_x<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<{\mathrm{\&theta;}}_y<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},---\left(23\right)$

得

C_x>0,C_y>0， (24)

为保证w(θ_y)应满足

w'(θ_y)≥0， (25)

选择w(θ_y)的形式为：

$w^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)=\cos {\mathrm{\&theta;}}_y\&DoubleRightArrow;w\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)=\sin {\mathrm{\&theta;}}_y,---\left(26\right)$

从而，控制方法(17)、(18)的表达式为：

本发明对不同绳长、负载质量、目标位置以及外部扰动具有强鲁棒性；台车在X、Y轴方向上的位移被限定在合适的范围内，增强了系统的暂态控制性能；在整个运输过程中由负载摆动产生的位移被限定在一个允许的范围内，从而直接限制了摆角的幅值。

附图说明

图1为三维桥式吊车系统的示意图。

图2为本发明的性能仿真结果示意图。

图3(a)和图3(b)为PD控制器仿真结果示意图。

图4(a)和图4(b)为本发明针对不同绳长时的性能仿真结果示意图。

图5(a)和图5(b)为本发明针对不同负载质量的性能仿真结果示意图。

图6(a)和图6(b)为本发明针对不同目标位置的性能仿真结果示意图。

图7(a)和图7(b)为本发明针对外部扰动的性能仿真结果示意图。

具体实施方式

本发明的带有状态约束的增强耦合非线性的控制方法，用于图1所示的三维桥式吊车系统。首先引入两个结合台车位移与负载摆角的广义信号，将台车精确定位与有效地消除负载摆动的双重目标转换为对广义信号的调节控制，基于此构造出一个新的类似能量函数；为使台车跟踪误差以及负载摆角始终在允许的范围内，将两个“势函数”与新的类似能量的函数结合起来，设计出一种新型的储能函数，在此基础上提出一种带有状态约束的增强耦合非线性的控制方法。采用Lyapunov定理以及LaSalle不变性原理证明了闭环系统在平衡点处的稳定性。最后通过数值仿真验证了所提控制算法的正确性与有效性。具体描述为以下过程。

一.对实际的吊车系统进行物理建模，可得图1所示的物理模型，负载通过缆绳与台车相连，台车在作用力F_x的作用下沿X轴方向移动，在作用力F_y的作用下沿Y轴方向移动，固定绳长的三维桥式吊车系统动力学模型为：

$(M_x+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y-2\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{S}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2{S}_x{C}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{S}_x{C}_y=F_x-f_{\mathrm{rx}},---\left(1\right)$

$(M_y+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y+\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{S}_y=F_y-f_{\mathrm{ry}},---\left(2\right)$

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}l{C}_x{C}_y+m{l}^2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_y^2-2m{l}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y{S}_y+\mathrm{mgl}{S}_x{C}_y=0,---\left(3\right)$

$-m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}l{S}_x{S}_y-m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}l{C}_y+m{l}^2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y+m{l}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2{C}_y{S}_y+\mathrm{mgl}{C}_x{S}_y=0,---\left(4\right)$

其中，M_x、M_y、m分别代表台车质量、台车与轨道质量之和、负载质量；l和g分别为绳长及重力加速度；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；F_x和F_y为控制输入；f_rx与f_ry代表X、Y轴方向的摩擦力；S_x,S_y,C_x,C_y为sinθ_x,sinθ_y,cosθ_x,cosθ_y的缩写；

式(1)-(4)可以写为矢量形式：

$M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})\stackrel{\&CenterDot;}{q}+G\left(q\right)=U,---\left(5\right)$

其中，q＝[x y θ_x θ_y]^T∈R⁴代表状态向量；x(t)、y(t)为台车在X、Y轴方向上台车的位移；

M(q)∈R^4*4为惯性矩阵；表示科里奥利-向心矩阵；G(q)为重力向量；U∈R⁴代表控制输入向量；这些矩阵/向量详细写为：

$M\left(q\right)=\left[\begin{array}{cccc}{M}_x+m& 0& \mathrm{ml}{C}_x{C}_y& -\mathrm{ml}{S}_x{S}_y\\ 0& M_y+m& 0& -\mathrm{ml}{C}_y\\ \mathrm{ml}{C}_x{C}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2{C}_y^2& 0\\ -\mathrm{ml}{S}_x{S}_y& -\mathrm{ml}{C}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2\end{array}\right],$

$V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{S}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{S}_x{C}_y& -\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{S}_y-\mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{S}_x{C}_y\\ 0& 0& 0& \mathrm{ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_y\\ 0& 0& -m{l}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y{S}_y& -m{l}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_y{S}_y\\ 0& 0& m{l}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_y{S}_y& 0\end{array}\right],$

G(q)＝[0 0 mglS_xC_y mglC_xS_y]^T，

U＝[F_x-f_rx F_y-f_ry 0 0]^T，

M(q)与满足以下结论(参见文献17和18)：

${\mathrm{\&xi;}}^T[\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{M}\left(q\right)-V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})]\mathrm{\&xi;}=0,\&ForAll;\mathrm{\&xi;}\&Element;R^4,---\left(6\right)$

其中，表示M(q)关于时间的导数。

基于负载一直是在台车下方摆动的事实，可以进行以下合理假设：

假设1：在整个运输过程中，负载在X和Y轴方向的摆角一直在(–π/2, π/2)范围内，即

-π/2<θ_x<π/2

-π/2<θ_y<π/2 ， (7)

二.带有状态约束的非线性耦合控制方法

固定绳长的三维吊车系统中有两个控制输入(F_x和F_y)以及四个自由度(x、y、θ_x和θ_y)，吊车控制的目的是实现快速精确的定位以及有效地消除负载摆动，在控制中，需要考虑x(t)与θ_x(t),θ_y(t)的耦合关系以及y(t)与θ_x(t),θ_y(t)的耦合关系；

引入广义信号ζ_x,ζ_y为：

其中，λ,r∈R⁺代表控制系数；f(θ_x)为与θ_x相关的待确定函数；g(θ_y)和w(θ_y)代表与θ_y相关的待确定函数；

备注1：根据负载在X和Y轴的位移表达形式(见式(41)-(42))选择信号ζ_x,ζ_y。

对式(8)关于时间进行求导，得：

在此，对式(8)关于时间积分，得：

其中，e_x和e_y表示X、Y轴方向上定位误差；p_dx和p_dy代表台车在X、Y方向的目标位置。

从而，可以构造的新的状态变量为：

将新的状态变量X(t)替代代入式(5),三维桥式吊车的动力学模型可以表示为：

$\begin{array}{c}M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{X}\left(t\right)+V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})X\left(t\right)\\ =U-G\left(q\right)+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;}(M_x+m)[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&CenterDot;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ r(M_y+m){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\\ \mathrm{\&lambda;ml}{C}_{x}C{\mathrm{\&theta;}}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ -\mathrm{\&lambda;ml}{S}_x{S}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]-\mathrm{rml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\end{array}\right]\end{array},---\left(13\right)$

三维吊车系统的能量包括动能和势能，具有以下的形式：

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}^{T}M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{q}+\mathrm{mgl}(1-C_x{C}_y),---\left(14\right)$

基于能量E(t)的形式，定义一个新的类似能量的函数为：

$E_X\left(t\right)=\frac{1}{2}{X}^T\left(t\right)M\left(q\right)X\left(t\right)+\mathrm{mgl}(1-C_x{C}_y),---\left(15\right)$

对式(15)关于时间求导，并将式(6)和(13)代入，得：

基于式(16)的结构，非线性控制方法设计如下：

其中和P代表与的边界；引入式(17)、(18)第一项以及的目的是保证台车的精确定位；引入式(17)、(18)的最后一项m_x和m_y的目的是保证负载位移始终在允许的范围内；k_p,k_d,k_q,k_ξ,k_ex,k_ey∈R⁺为待调整的控制增益；为了保证中如下项非负，

$\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ -\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y[{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\&le;0\end{array},---\left(19\right)$

整理得：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2{C}_x{C}_y{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{C}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\\ -\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)-\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{S}_x{S}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)]\&le;0\end{array},---\left(20\right)$

令f(θ_x)＝-sinθ_x，g(θ_y)＝cosθ_y，可得：

$\begin{array}{c}-\mathrm{\&lambda;ml}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x}^2{C}_x^2{C}_y^2+2\mathrm{\&lambda;ml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{C}_y{S}_x{S}_y-\mathrm{\&lambda;ml}{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y}^2{S}_x^2{S}_y^2\\ =-\mathrm{\&lambda;ml}{({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y)}^2\&le;0\end{array},---\left(21\right)$

满足式(20)。

同理为保证非负，需保证的以下项非负，即：

$-\mathrm{rml}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{C}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&le;0,---\left(22\right)$

其中，由假设1得到：

$-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<{\mathrm{\&theta;}}_x<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<{\mathrm{\&theta;}}_y<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},---\left(23\right)$

得

C_x>0,C_y>0， (24)

为保证w(θ_y)应满足

w'(θ_y)≥0， (25)

选择w(θ_y)的形式为：

$w^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)=\cos {\mathrm{\&theta;}}_y\&DoubleRightArrow;w\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)=\sin {\mathrm{\&theta;}}_y,---\left(26\right)$

从而，控制方法(17)、(18)的表达式为：

三.稳定性分析

定理1：台车在控制器(27)、(28)的作用下可以精确的到达目标位置并且有效地消除负载摆角，即为：

${\underset{t\&RightArrow;\&infin;}{\lim }\left[\begin{array}{cccccccc}x\left(t\right)& y\left(t\right)& \stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)& \stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(t\right)& {\mathrm{\&theta;}}_x\left(t\right)& {\mathrm{\&theta;}}_y\left(t\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x\left(t\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\left(t\right)\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccccccc}{p}_{\mathrm{dx}}& p_{\mathrm{dy}}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T,---\left(29\right)$

证明：基于E_X(t)和的结构形式，本发明选择一个新的候补Lyapunov函数为：

其中，V_p表示“势函数”；

对(30)式关于时间进行求导，可得：

根据Lyapunov稳定性定理，此闭环系统在原点处是Lyapunov稳定的(换句话说，候选Lyapunov函数是非增的)，即：

$V\left(t\right)\&le;V\left(0\right),\&ForAll;t\&GreaterEqual;0,---\left(32\right)$

因此有，

V(t)∈L_∞， (33)

由式(8),(10),(11),(27),(28),(30)以及(31)得：

为证明的有界性，考虑以下两种情况：

情况1)当时，由式(34)可知∈L_∞。在这种情况下，有以及可得

情况2)当时。在这种情况下，

综上所述，可得：

由(34)、(35)的结果可得：

F_x∈L_∞， (36)

同理可得：

将(10)、(21)、(11)、(26)式代入(37)、(38)式可得：

由图1可知，负载在X、Y方向的位移上的表达式为：

x_m＝x+lsinθ_x cosθ_y， (41)

y_m＝y-lsinθ_y， (42)

其中x_m和y_m分别表示负载在X、Y方向上的位移。式(41)、(42)的最后一项lsinθ_xcosθ_y以及lsinθ_y是由负载摆动引起的位移。由于负载相对台车做的是单摆运动，因此-lsinθ_xcosθ_y以及lsinθ_y分别代表由负载摆动引起的位移。当λ＝r＝l时，由式(39)、(40)可知台车位移以及在整个运输过程中负载摆动引起的位移均被限定在一个特定的范围内。换句话说，台车位移误差以及由负载摆动引起位移被限定在设定的范围内。即：

$|e_y+l{\&Integral;}_0^t\sin {\mathrm{\&theta;}}_y\mathrm{d\&tau;}|<P-p_{\mathrm{dy}},---\left(44\right)$

为便于接下来的证明，定义集合

$S=\left\{(x,y,\stackrel{\&CenterDot;}{x},\stackrel{\&CenterDot;}{y},{\mathrm{\&theta;}}_x,{\mathrm{\&theta;}}_y,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y)\right|\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(x\right)=0\},---\left(45\right)$

设Q为S中的最大不变集。很明显在Q中有

表明

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}+r{\mathrm{\&theta;}}_y=0\&DoubleRightArrow;\stackrel{\&CenterDot;}{y}=-r{\mathrm{\&theta;}}_y,---\left(47\right)$

假设θ_y≠0，则有

这与(34)式结论中y∈L_∞相矛盾，所以假设不成立。也就是说在Q中有

θ_y＝0， (49)

将(46)以及(49)式代入(1)-(3)式可得：

$F_x-f_{\mathrm{rx}}=0,F_y-f_{\mathrm{ry}}=0,\sin {\mathrm{\&theta;}}_x=0\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&theta;}}_x=0,---\left(50\right)$

由(46)、(49)和(50)式可得：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{e}=\stackrel{\&CenterDot;}{x}=0\\ \stackrel{\&CenterDot;}{y}=0\end{array}\right.,---\left(51\right)$

非线性摩擦力f_rx和f_ry的表达式为(参见文献19-23)：

$\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{rx}}=f_{\mathrm{rox}}\tanh \left(\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_x}\right)-k_{\mathrm{rx}}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\right|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\\ f_{\mathrm{ry}}=f_{\mathrm{roy}}\tanh \left(\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_y}\right)-k_{\mathrm{ry}}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\end{array},---\left(52\right)$

由式(52)式可知当台车停止时，非线性摩擦力f_rx＝0以及f_ry＝0。则由(50)式可得：

F_x＝0,F_y＝0， (53)

由(27)、(28)、(46)、(49)、(50)和(53)可得：

在实际运行中，负载摆角足够小，因此非线性系统动态模型中的高次项可省略并且可做以下近似：

sinθ_x≈θ_x,sinθ_y≈θ_y,cosθ_x≈1,cosθ_y≈1， (56)

因此，(3)式可写为：

${\&Integral;}_0^t\sin {\mathrm{\&theta;}}_x\cos {\mathrm{\&theta;}}_y\mathrm{dt}=-\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}{g}-\frac{l}{g}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x=0,---\left(57\right)$

将(57)代入(54)式可得：

e_x＝0， (58)

由(55)、(58)式可得：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=p_{\mathrm{dx}}\\ y\left(t\right)=p_{\mathrm{dy}}\end{array}\right.,---\left(59\right)$

综上可知，在Q中仅有一个平衡点，即：

${\left[\begin{array}{cccccccc}x\left(t\right)& y\left(t\right)& \stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)& \stackrel{\&CenterDot;}{y}\left(t\right)& {\mathrm{\&theta;}}_x\left(t\right)& {\mathrm{\&theta;}}_y\left(t\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x\left(t\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\left(t\right)\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccccccc}{p}_{\mathrm{dx}}& p_{\mathrm{dy}}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T,---\left(60\right)$

由LaSalle不变性原理可得，此闭环系统是渐近稳定的。

四.仿真结果与分析

本发明采用matlab/simulink来验证所提控制方法的性能。桥式吊车系统的参数设定如下：

m＝3kg,M_x＝7kg,M_y＝22kg,l＝0.7m

采样周期为0.001s，目标位置选择为：

[p_dx p_dy]^T＝[0.6 0.4]^T m

为不失一般性设定初始状态为0，调整的控制增益如下：

P＝0.405,λ＝r＝l＝0.7,k_d＝15,

k_p＝7,k_q＝30,k_ξ＝48,k_ex＝k_ey＝0.01

这部分的目的是验证本发明所提控制方法的暂态性以及鲁棒性。图2(a)和图2(b)以及图3(a)和图3(b)仿真中将增强耦合非线性控制方法与PD控制方法对比，验证了所提控制方法的暂态性能；图4(a)和图4(b)以及图5(a)和图5(b)仿真实验中验证了所提控制器关于不同绳长和负载质量的鲁棒性；图5(a)和图5(b)以及图6(a)和图6(b)验证了本发明控制方法关于不同的目标位置的性能；图7(a)和图7(b)最后进一步验证了本发明控制方法关于外部扰动的鲁棒性。

与PD控制器相比，本发明的方法：

1)因引入了反馈信号(台车位移，负载摆角)，对不同绳长/负载质量/目标位置以及外部扰动具有强鲁棒性；

2)台车在X、Y轴方向的位移被限定在合适的范围内，增强了系统的暂态控制性能；

3)由仿真结果可知在整个运输过程中由负载摆动产生的位移被限定在一个允许的范围内，从而直接限制了摆角的幅值；

4)利用Lyapunov方法及LaSalle不变性原理对系统的稳定性进行了严格的数学分析，为系统优异的控制性能提供了理论支持。

Claims (1)

1.一种带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法，其特征是：

首先引入两个结合台车位移与负载摆角的广义信号，将台车精确定位与有效消除负载摆动的双重目标转换为对广义信号的调节控制，基于此构造出一个新的能量函数；为使台车跟踪误差以及负载摆角始终在允许的范围内，将两个“势函数”与新的能量函数结合起来，设计出一种储能函数；具体步骤如下：

步骤1：对实际的吊车系统进行物理建模，得到物理模型，负载通过缆绳与台车相连，台车在作用力F_x的作用下沿X轴方向移动，在作用力F_y的作用下沿Y轴方向移动，固定绳长的三维桥式吊车系统动力学模型为：

$(M_x+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+ml{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y-ml{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y-2ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{S}_y-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2{S}_x{C}_y-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{S}_x{C}_y=F_x-f_{rx},---\left(1\right)$

$(M_y+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-ml{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y+ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{S}_y=F_y-f_{ry},---\left(2\right)$

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}{\mathrm{lC}}_x{C}_y+{\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_y^2-2{\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y{S}_y+{\mathrm{mglS}}_x{C}_y=0,---\left(3\right)$

$-m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}{\mathrm{lS}}_x{S}_y-m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}{\mathrm{lC}}_y+{\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y+{\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2{C}_y{S}_y+{\mathrm{mglC}}_x{S}_y=0,---\left(4\right)$

其中，M_x、M_y、m分别代表台车质量、台车与轨道质量之和、负载质量；l和g分别为绳长及重力加速度；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；F_x和F_y为控制输入；f_rx与f_ry代表X、Y轴方向的摩擦力；S_x,S_y,C_x,C_y为sinθ_x,sinθ_y,cosθ_x,cosθ_y的缩写；

式(1)-(4)写为矢量形式：

$M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})\stackrel{\&CenterDot;}{q}+G\left(q\right)=U,---\left(5\right)$

其中，q＝[x y θ_x θ_y]^T∈R⁴代表状态向量；x(t)、y(t)为台车在X、Y轴方向上台车的位移；

M(q)∈R^4*4为惯性矩阵；表示科里奥利-向心矩阵；G(q)为重力向量；U∈R⁴代表控制输入向量；这些矩阵/向量详细写为：

$M\left(q\right)=\left[\begin{array}{cccc}{M}_x+m& 0& {\mathrm{mlC}}_x{C}_y& -{\mathrm{mlS}}_x{S}_y\\ 0& M_y+m& 0& -{\mathrm{mlC}}_y\\ {\mathrm{mlC}}_x{C}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2{C}_y^2& 0\\ -{\mathrm{mlS}}_x{S}_y& -{\mathrm{mlC}}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2\end{array}\right],$

$V_m\left(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q}\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{S}_y-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{S}_x{C}_y& -ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{S}_y-ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{S}_x{C}_y\\ 0& 0& 0& ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_y\\ 0& 0& -{\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y{S}_y& -{\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_y{S}_y\\ 0& 0& {\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_y{S}_y& 0\end{array}\right],$

G(q)＝[0 0 mglS_xC_y mglC_xS_y]^T，

U＝[F_x-f_rx F_y-f_ry 0 0]^T，

M(q)与满足以下结论：

${\mathrm{\&xi;}}^T\&lsqb;\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{M}\left(q\right)-V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})\&rsqb;\mathrm{\&xi;}=0,\&ForAll;\mathrm{\&xi;}\&Element;R^4,---\left(6\right)$

其中，表示M(q)关于时间的导数；

基于负载一直是在台车下方摆动的事实，进行以下合理假设：

假设1：在整个运输过程中，负载在X和Y轴方向的摆角一直在(–π/2,π/2)范围内，即

$\begin{array}{c}-\mathrm{\&pi;}/2<{\mathrm{\&theta;}}_x<\mathrm{\&pi;}/2\\ -\mathrm{\&pi;}/2<{\mathrm{\&theta;}}_y<\mathrm{\&pi;}/2\end{array},---\left(7\right)$

步骤2：固定绳长的三维吊车系统中有两个控制输入F_x和F_y以及四个自由度x、y、θ_x和θ_y，吊车控制系统的目的是实现快速精确的定位以及有效地消除负载摆动，在控制中，需要考虑x(t)与θ_x(t),θ_y(t)的耦合关系以及y(t)与θ_x(t),θ_y(t)的耦合关系；

引入广义信号ζ_x,ζ_y为：

其中，λ,r∈R⁺代表控制系数；f(θ_x)为与θ_x相关的待确定函数；g(θ_y)和w(θ_y)代表与θ_y相关的待确定函数；

根据负载在X、Y轴的位移表达式选择信号ζ_x,ζ_y，负载在X、Y方向的位移上的表达式为：

x_m＝x+lsinθ_xcosθ_y，

y_m＝y-lsinθ_y，

对式(8)关于时间进行求导，得：

在此，对式(8)关于时间积分，得：

其中，e_x和e_y表示X、Y轴方向上定位误差；p_dx和p_dy代表台车在X、Y方向的目标位置；

从而，构造的新的状态变量为：

将新的状态变量X(t)替代代入式(5),三维桥式吊车的动力学模型表示为：

$\begin{array}{c}M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{X}\left(t\right)+V_m(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})X\left(t\right)\\ =U-G\left(q\right)+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;}(M_x+m)\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&rsqb;\\ r(M_y+m){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\\ {\mathrm{\&lambda;mlC}}_x{\mathrm{C\&theta;}}_y\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&rsqb;\\ -{\mathrm{\&lambda;mlS}}_x{S}_y\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&rsqb;-rml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\end{array}\right]\end{array},---\left(13\right)$

三维吊车系统的能量包括动能和势能，具有以下的形式：

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}^{T}M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{q}+mgl(1-C_x{C}_y),---\left(14\right)$

基于能量E(t)的形式，定义一个新的能量函数为：

$E_X\left(t\right)=\frac{1}{2}{X}^T\left(t\right)M\left(q\right)X\left(t\right)+mgl(1-C_x{C}_y),---\left(15\right)$

对式(15)关于时间求导，并将式(6)和(13)代入，得：

基于式(16)的结构，本发明的带有状态约束的三维桥式吊车增强耦合非线性控制方法设计如下：

其中和P代表与的边界；引入式(17)、(18)第一项以及的目的是保证台车的精确定位；引入式(17)、(18)的最后一项m_x和m_y的目的是保证负载位移始终在允许的范围内；k_p,k_d,k_q,k_ξ,k_ex,k_ey∈R⁺为待调整的控制增益；为了保证中如下项非负，

$\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;}ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&rsqb;\\ -\mathrm{\&lambda;}ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&rsqb;\&le;0\end{array},---\left(19\right)$

整理得：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&lambda;}ml{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x}^2{C}_x{C}_y{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)+\mathrm{\&lambda;}ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{C}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\\ -\mathrm{\&lambda;}ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y{f}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)-\mathrm{\&lambda;}ml{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y}^2{S}_x{S}_{y}f\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&le;0\end{array},---\left(20\right)$

令f(θ_x)＝-sinθ_x，g(θ_y)＝cosθ_y，可得：

$\begin{array}{c}-\mathrm{\&lambda;}ml{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x}^2{C}_x^2{C}_y^2+2\mathrm{\&lambda;}ml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{C}_x{C}_y{S}_x{S}_y-\mathrm{\&lambda;}ml{{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y}^2{S}_x^2{S}_y^2\\ =-\mathrm{\&lambda;}ml{\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{C}_x{C}_y-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{S}_x{S}_y\right)}^2\&le;0\end{array},---\left(21\right)$

满足式(20)；

同理为保证非负，需保证的以下项非负，即：

$-rml{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2{C}_y{w}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&le;0,---\left(22\right)$

其中，由假设1得到：

$-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<{\mathrm{\&theta;}}_x<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<{\mathrm{\&theta;}}_y<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},---\left(23\right)$

得

C_x＞0,C_y＞0， (24)

为保证w(θ_y)应满足

w'(θ_y)≥0， (25)

选择w(θ_y)的形式为：

$w^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)={\mathrm{cos\&theta;}}_y\&DoubleRightArrow;w\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)={\mathrm{sin\&theta;}}_y,---\left(26\right)$

从而，控制方法(17)、(18)的表达式为：