CN104528528A - 基于消摆信号的桥式起重机非线性控制方法 - Google Patents

Abstract

基于消摆信号的桥式起重机非线性控制方法。针对欠驱动桥式起重机系统，提出了一种基于消摆信号的非线性控制方法，该方法相比已有方法具有良好的暂态性能和抑制负载摆动的性能。该方法包括：设计了一个具有消摆功能的消摆信号，并在此基础上构造了一个新颖的定位误差信号；提出了一种既可用于调节控制也可用于轨迹跟踪控制的控制方法。相比已有的控制方法，该方法不仅放宽了控制器的使用范围，而且提高了系统的暂态性能，大大提高了系统的控制效率。实验结果进一步验证了本发明所提出的控制方法的控制效果，具有广阔的应用前景。

Description

基于消摆信号的桥式起重机非线性控制方法

技术领域

本发明涉及一种非线性欠驱动领域的自动控制方法，具体是一种基于消摆信号的欠驱动桥式起重机非线性控制方法。

背景技术

桥式起重机是一种典型的非线性、强耦合、欠驱动系统，它具有负载能力强、操作灵活、节能显著等优点，已经被广泛地应用于各种工业场所，比如工厂、车间、码头等，完成货物的运送与集成加工等任务。桥式起重机的任务是实现货物的快速、准确、无大幅摆动点对点运送。然而，对于桥式起重机而言，台车的运动无疑会引起负载的摆动，这不仅会降低整体的效率，影响负载在落吊过程中的精确放置，还可能引发碰撞而造成安全事故。

就目前而言，绝大多数的起重机还依靠人工操作，系统的操作效率完全依赖于工人的熟练程度及工作经验。在操作起重机时，一方面需要实现台车的快速准确定位，以满足运送负载的要求；另一方面，则需要有效地抑制负载的摆动，实现“无摆”或“微摆”操作。然而，对于人工操作这种常规的操作方式存在诸多不足，比如：生产效率低、消摆效果差、定位精度差、对操作人员的技术要求高、长期工作可能引发疲劳等等。因此，亟需提出安全高效自动消摆定位的自动控制方法，以提高系统的工作效率。

许多学者对桥式起重机的自动控制展开了研究[1-7]，对于已有桥式起重机系统的控制方法大多只考虑台车的精确定位，而忽略了运输过程中负载摆动的抑制以及残余摆动的消除。特别地，当台车到达目标位置时，现有方法无法保证负载无残余摆动，从而降低了系统的运输效率。如文献[3]所提出的数种基于能量的控制方法，在负载消摆方面效果均不理想。不仅如此，现有方法大多用途单一，只能用于调节控制或只能用于轨迹跟踪控制[1][3][5-7]。鉴于此原因，本发明针对有效消除负载摆动的问题提出了一种抗摆定位控制方法，该方法既可用于桥式起重机的调节控制也可用于桥式起重机的轨迹跟踪控制，以提高桥式起重机的工作效率及安全性能。

发明内容

本发明的目的是解决已有控制方法存在消摆性能差、运输效率低、用途单一的不足，为欠驱动桥式起重机系统提供一种具有增强消摆性能的控制方法，本方法不仅适用于调节控制，而且适用于轨迹跟踪控制，克服了上述现有技术的不足，具有定位精度高、消摆效果好、运输效率高、用途广泛等优点。

本发明通过分析台车运动与负载摆动之间的耦合关系，提出了一种具有抑制摆动功能的消摆信号，根据该消摆信号构造出一种新颖的定位误差信号，在此基础上提出了一种既可用于调节控制，又能用于轨迹跟踪控制的桥式起重机控制方法，旨在提高控制系统的暂态性能，同时增强抑制负载摆动的能力。

本发明提供的基于消摆信号的桥式起重机非线性控制方法，为解决上述技术问题包括以下步骤：

步骤1、消摆信号的选取

为了提高桥式起重机系统抑制运输过程中负载摆动的性能，利用台车与负载之间的耦合关系提出如下具有消摆功能的消摆信号x_e：

$x_e={\∫}_0^t\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(9\right)$

其中，θ(t)为吊绳与竖直方向的夹角；关于时间的积分；变量后的(t)表示该参数是时变的，为简明起见，公式中已略去(t)。

步骤2、新颖误差信号的确定

基于上述消摆信号，定义如下新颖的误差信号ξ(t)，及其前两阶导数信号

$\mathrm{\ξ}\left(t\right)=x_d-x+k_{\mathrm{\θ}}{\∫}_0^t\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(10\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}\left(t\right)={\stackrel{\·}{x}}_d-\stackrel{\·}{x}+k_{\mathrm{\θ}}\mathrm{\θ}---\left(11\right)$

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ξ}}\left(t\right)={\stackrel{\·\·}{x}}_d-\stackrel{\·\·}{x}+k_{\mathrm{\θ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}---\left(12\right)$

其中，x_d(t)表示台车的参考轨迹(x_d为常量时为调节控制；x_d为变量时为跟踪控制)， 分别表示参考轨迹的速度与加速度；分别为台车的位移、速度及加速度；为负载摆动的角速度；分别为ξ(t)关于时间的一阶、二阶导数；k_θ表示正的控制增益。

对于台车的参考轨迹x_d(t)，当x_d为常量时为调节控制，即直接选取x_d＝p_d，其中p_d为台车的目标位置；当x_d(t)为变量时为跟踪控制，x_d(t)需满足如下条件：

1)x_d(t)及其前两阶导数信号需均有界，即

2)在有限的时间t_f内，x_d(t)收敛于目标位置p_d，其中起始时间为0时刻，起始位置为0；

3)当台车到达目标位置以后，即当t≥t_f时，

步骤3、控制器的确定

确定一种定位精度高、消摆效果好，而且既可用于调节控制也可用于轨迹跟踪控制的非 线性耦合控制器F_x(t)如下：

其中，k_ξ,k_e为正的控制增益；分别表示如下的函数：

F_x＝F-F_r  (5)

m(θ)＝M+msin²θ  (6)

式中，F(t)表示电机所提供的驱动力；F_r(t)表示台车与桥架之间的摩擦力；M,m分别为台车与负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度。

步骤4、控制方法的实现

首先，将本发明应用于实际桥式起重机之前，需选择合适的摩擦力补偿环节用于补偿台车与桥架之间的摩擦力，经过大量实验，本发明选择如下轨道摩擦力补偿项以补偿台车与桥架之间的摩擦力F_r(t)：

$F_r\left(t\right)=f_{r0}\tanh (\stackrel{\·}{x}\left(t\right)/\mathrm{\γ})-k_r\left|\stackrel{\·}{x}\left(t\right)\right|\stackrel{\·}{x}\left(t\right)---\left(37\right)$

其中：f_r0,k_r,γ为摩擦参数，通过离线实验事先标定获得；tanh(·)为双曲正切函数；为台车速度

接下来借助传感器获取所需的状态信号，根据实际的起重机系统选取合适的系统参数及控制增益，根据式(15)实时计算得到相应的控制信号，即可实现对起重机系统的实时控制，完成系统的运输任务。

本发明的理论依据分析

1、系统动力学模型

对于模型已知的二维欠驱动桥式起重机系统，台车可沿水平桥架做往复运动以完成对货物的运输，该系统的动力学模型表示如下[1][6]：

$(M+m)\stackrel{\·\·}{x}+\mathrm{ml}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}-\mathrm{ml}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^2\sin \mathrm{\θ}=F-F_r---\left(1\right)$

$m{l}^2\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+\mathrm{ml}\stackrel{\·\·}{x}\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{mgl}\sin \mathrm{\θ}=0---\left(2\right)$

其中，M,m分别为台车和负载质量；x(t)表示距离初始位置的台车位移，表示台车的加速度；t表示时间，变量后的(t)表示该参数是时变的，为简明起见，公式中已略去(t)；θ(t)表示负载与竖直方向的夹角，为角速度，为角加速度；g为重力加速度；l为吊绳的长度；F(t)表示电机所提供的驱动力；F_r(t)表示台车与桥架之间的摩擦力。

化简方程(2)可得：

$l\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+g\sin \mathrm{\θ}+\stackrel{\·\·}{x}\cos \mathrm{\θ}=0---\left(3\right)$

利用方程(3)并整理方程(1)可得：

其中，分别表示如下的函数：

F_x＝F-F_r  (5)

m(θ)＝M+msin²θ  (6)

考虑到实际起重机系统负载不可能到达桥架上方，故做如下假设[1][3]:

假设1：在传送过程中，负载摆角满足：

$-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}<\mathrm{\&theta;}\left(t\right)<\frac{\mathrm{\&pi;}}{2},\&ForAll;t\&GreaterEqual;0---\left(8\right)$

2、控制律设计与稳定性分析

本发明所提供的基于消摆信号的桥式起重机非线性控制方法包括：

第2.1、消摆信号的提出

为了提高桥式起重机的消摆功能，本发明提出如下具有消摆功能的消摆信号：

$x_e={\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(9\right)$

其中，θ(t)为吊绳与竖直方向的夹角；关于时间的积分。

本发明的控制目标是使台车快速定位到目标位置，同时使运送过程中负载的摆动尽可能地小并且当台车到达目标位置以后负载无残余摆动。为此，定义如下误差ξ(t)，及其前两阶导数信号

$\mathrm{\&xi;}\left(t\right)=x_d-x+k_{\mathrm{\&theta;}}{\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(10\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-\stackrel{\&CenterDot;}{x}+k_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&theta;}---\left(11\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+k_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(12\right)$

其中，x_d表示台车的参考轨迹；k_θ表示正的控制增益。利用式(12)，将式(3)及(4)改写如下：

$l\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+g\sin \mathrm{\&theta;}+({\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}+k_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})\cos \mathrm{\&theta;}=0---\left(13\right)$

为方便后续控制律的设计与分析，将式(13)及(14)分别称为θ-子系统及ξ-子系统。

基于式(13)与(14)及控制目标，设计如下非线性耦合控制律：

其中，k_ξ,k_e为正的控制增益。

可以证明，控制律(15)能够使得台车准确地到达目标位置，同时并有效地抑制负载的摆动并消除负载的残余摆动。

第2.2、稳定性分析

接下来将通过严格的数学分析，说明当控制增益k_θ,k_e满足

$\frac{k_e}{k_{\mathrm{\&theta;}}}<1---\left(16\right)$

时，控制律(15)能保证台车准确地移动到目标位置p_d，同时使负载的摆动趋于零，即：

$\underset{t\&RightArrow;\&infin;}{\lim }{\left[\begin{array}{cccc}x\left(t\right)& \stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)& \mathrm{\&theta;}\left(t\right)& \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}{p}_d& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(17\right)$

其中，上标T表示向量的转置。

为证明结论(17)，首先定义如下信号e(t)：

$e\left(t\right)={\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}+k_{\mathrm{\&xi;}}\mathrm{\&xi;}& k_{\mathrm{\&xi;}}\mathrm{\&xi;}\end{array}\right]}^T---\left(18\right)$

将控制律(15)代入到方程(14)可得如下ξ-子系统：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}+2k_{\mathrm{\&xi;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}+2k_{\mathrm{\&xi;}}^2\mathrm{\&xi;}+k_e\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=0---\left(19\right)$

并考虑如下李雅普诺夫函数V_ξ(t)：

$V_{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|e\left|\right|}^2=\frac{1}{2}{(\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}+k_{\mathrm{\&xi;}}\mathrm{\&xi;})}^2+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{\&xi;}}^2{\mathrm{\&xi;}}^2---\left(20\right)$

其中，||·||表示向量的欧几里得范数。对式(20)关于时间进行求导，并利用式(19)进行整理可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)\&le;-\left|\right|e\left|\right|\left(k_{\mathrm{\&xi;}}\right|\left|e\right||-k_e|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left|\right)---\left(21\right)$

其中，为V_ξ(t)关于时间的导数。因此，如果下式成立：

$\left|\right|e\left|\right|\&GreaterEqual;\frac{k_e}{k_{\mathrm{\&xi;}}}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right|---\left(22\right)$

则有因此，由式(21)与(22)可知存在一个类函数β(·,·)[8]，使得如下结论成立：

$\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|\&le;\mathrm{\&beta;}\left(\right|\left|e\left(0\right)\right||,t)+\frac{k_e}{k_{\mathrm{\&xi;}}}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\right|---\left(23\right)$

因此，以为输入，e(t)为输出的ξ-子系统(19)为输入-状态稳定。

为分析θ-子系统的稳定性，考虑如下李雅普诺夫函数V_θ(t)：

$V_{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=\frac{1}{2}l{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}^2+g(1-\cos \mathrm{\&theta;})---\left(24\right)$

对式(24)关于时间进行求导，并利用式(13)与(19)进行整理可得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)=\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\cos \mathrm{\&theta;}(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-k_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})\\ \&le;-\left|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right|\cos \mathrm{\&theta;}\left[(k_{\mathrm{\&theta;}}+k_e)\right|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}|-2k_{\mathrm{\&xi;}}|\left|e\right||-|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\left|\right]\end{array}---\left(25\right)$

其中，是V_θ(t)关于时间的导数。因此，只要满足：

$\left|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\right|\&GreaterEqual;\frac{2k_{\mathrm{\&xi;}}}{k_{\mathrm{\&theta;}}+k_e}\left|\right|e\left|\right|\frac{1}{k_{\mathrm{\&theta;}}+k_e}\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\right|---\left(26\right)$

则有因此，由式(25)与(26)可知存在一个类函数β(·,·)[8]，使得如下结论成立：

$\left|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(t\right)\right|\&le;\mathrm{\&beta;}\left(\right|\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)|,t)+\frac{2k_{\mathrm{\&xi;}}}{k_{\mathrm{\&theta;}}+k_e}\left|\right|e\left|\right|+\frac{1}{k_{\mathrm{\&theta;}}+k_e}\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\right|---\left(27\right)$

其中，的初始值。因此，从式(27)可知，若把作为输入，作为输出，则θ-子系统(13)为输入-状态稳定。

为说明整个系统的稳定性，将θ-子系统(13)及ξ-子系统(19)的组合看作一个互联系统。由于控制增益k_e,k_θ满足小增益条件[8]：

$\frac{k_e}{k_{\mathrm{\&theta;}}}<1---\left(28\right)$

因此，以作为输入的整个系统也输入-状态稳定。

为证明整个系统在有限时间后变为渐近稳定，令Ω为如下不变集：

$\mathrm{\&Omega;}=\left\{(x,\stackrel{\&CenterDot;}{x},\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})\right|\mathrm{\&xi;}=0,\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}=0,\mathrm{\&theta;}=0,x_d=p_d,{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=0\}---\left(29\right)$

由上述分析可知，在不变集Ω中，下式成立：

$\mathrm{\&xi;}=p_d-x+k_{\mathrm{\&theta;}}{\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}=0,\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}=-\stackrel{\&CenterDot;}{x}+k_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&theta;}=0,\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=0---\left(30\right)$

由式(30)可知，在不变集Ω中，θ(t)＝c，其中c为待定常数。由式(30)可知：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=0,\stackrel{\&CenterDot;}{x}=k_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&theta;}=k_{\mathrm{\&theta;}}c\&DoubleRightArrow;\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=0---\left(31\right)$

将上述结论(31)代入方程(3)可得：

$g\sin \mathrm{\&theta;}=0\&DoubleRightArrow;\mathrm{\&theta;}\left(t\right)=0---\left(32\right)$

故在不变集Ω中有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=0,p_d-x+k_{\mathrm{\&theta;}}{\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}=0---\left(33\right)$

对于方程(3)，实际的桥式起重机通常满足：

$l\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+\mathrm{g\&theta;}=0\&DoubleRightArrow;\mathrm{\&theta;}=-\frac{l\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}{g}---\left(34\right)$

对式(34)两边关于时间求积分(考虑零初始条件)，有如下结论：

${\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}=-\frac{l\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}+\stackrel{\&CenterDot;}{x}}{g}=0\&DoubleRightArrow;p_d-x=0\&DoubleRightArrow;x=p_d---\left(35\right)$

因此，综合上述分析可知，在不变集Ω为：

$\mathrm{\&Omega;}\left\{(x,\stackrel{\&CenterDot;}{x},\mathrm{\&theta;},\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}})\right|x=p_d,\stackrel{\&CenterDot;}{x}=0,\mathrm{\&theta;}=0,\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}=0\}---\left(36\right)$

故由拉塞尔不变性原理可知，系统状态渐近收敛于不变集Ω，进一步说明本发明所提的控制方法能保证台车准确地到达目标位置，同时保证台车到达目标位置以后负载无残余摆动。

本发明的优点和有益效果：

本发明针对被广泛应用的桥式起重机系统，提出了一种既能用于跟踪控制，又能用于调节控制的非线性控制方法。本发明首先提出了一种具有抗摆功能的消摆信号，通过该信号的引入增强了闭环系统的消摆功能；随后，基于该消摆信号提出了一种具有增强消摆功能的桥式起重机非线性控制方法。相比已有方法，本方法既可用于跟踪控制也可用于调节控制，而现有方法只能用于跟踪控制或调节控制，本发明放宽了使用范围，极大地提高了其实用性，在实际的操作过程中将极大地提高生产效率。综上，本发明所提出的非线性控制方法放宽了使用范围，提高了实用性，具有广阔的实际应用价值。

附图说明

图1为桥式起重机的结构图

图2为本发明提出方法的跟踪控制效果图

图3为本发明提出方法的调节控制效果图

图4为文献[3]中方法的调节控制效果图

具体实施方式

参照附图： 

本发明所述的基于消摆信号的桥式起重机非线性控制方法，包括以下步骤：

步骤1、消摆信号的选取

为了提高桥式起重机系统抑制运输过程中负载摆动的性能，利用台车与负载之间的耦合关系提出如下具有消摆功能的消摆信号x_e：

$x_e={\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(9\right)$

其中，θ(t)为吊绳与竖直方向的夹角；关于时间的积分；，变量后的(t)表示该参数是时变的，为简明起见，公式中已略去(t)。

步骤2、新颖误差信号的确定

基于上述消摆信号，定义如下新颖的误差信号ξ(t)，及其前两阶导数信号

$\mathrm{\&xi;}\left(t\right)=x_d-x+k_{\mathrm{\&theta;}}{\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(10\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-\stackrel{\&CenterDot;}{x}+k_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&theta;}---\left(11\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+k_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(12\right)$

其中，x_d(t)表示台车的参考轨迹(x_d为常量时为调节控制；x_d为变量时为跟踪控制)， 分别表示参考轨迹的速度与加速度；分别为台车的位移、速度及加速度；为负载摆动的角速度；分别为ξ(t)关于时间的一阶、二阶导数；k_θ表示正的控制增益。

对于台车的参考轨迹x_d(t)，当x_d为常量时为调节控制，即直接选取x_d＝p_d，其中p_d为台车的目标位置；当x_d(t)为变量时为跟踪控制，选取文献[6]所设计的轨迹作为x_d(t)：

$x_d\left(t\right)=\frac{p_d}{2}+\frac{1}{2k_2}\left[\frac{\cosh (k_{1}t-\mathrm{\&epsiv;})}{\cosh (k_{1}t-\mathrm{\&epsiv;}-k_2{p}_d)}\right]---\left(37\right)$

其中，k₁,k₂,ε分别为相应的轨迹参数；ln(·)表示自然对数函数；cosh(·)表示双曲余弦函数。

步骤3、控制器的确定

确定一种定位精度高、消摆效果好，而且既可用于调节控制也可用于轨迹跟踪控制的非线性耦合控制器F_x(t)如下：

其中，k_ξ,k_e为正的控制增益；分别表示如下的函数：

F_x＝F-F_r  (5)

m(θ)＝M+msin²θ  (6)

式中，F(t)表示电机所提供的驱动力；F_r(t)表示台车与桥架之间的摩擦力；M,m分别为台车与负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度。

步骤4、控制方法的实现

首先，将本发明应用于实际桥式起重机之前，需选择合适的摩擦力补偿环节用于补偿台车与桥架之间的摩擦力，经过大量实验，本发明选择如下轨道摩擦力补偿项以补偿台车与桥架之间的摩擦力F_r(t)：

$F_r\left(t\right)=f_{r0}\tanh (\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)/\mathrm{\&gamma;})-k_r\left|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\right|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)---\left(37\right)$

其中：f_r0,k_r,γ为摩擦参数，通过离线实验事先标定获得；tanh(·)为双曲正切函数；为台车速度

接下来借助传感器获取所需的状态信号，根据实际的起重机系统选取合适的系统参数及控制增益，根据式(15)实时计算得到相应的控制信号，即可实现对起重机系统的实时控制，完成系统的运输任务。

本实施例的实验结果描述：

为了验证本发明所提出控制方法的有效性，根据上述步骤，选择附图1结构图所示的桥式起重机实验平台上进行了实验验证。实验中，台车质量、负载质量、吊绳长度、目标位置及初始位置分别为：

M＝7kg,m＝1.025kg,l＝0.8m,p_d＝0.6m,x(0)＝0

其中，M,m分别表示台车与负载质量；g为重力加速度；l表示吊绳长度。

参考轨迹(37)及摩擦力补偿项(38)中的参数分别设为：

k₁＝1,k₂＝2,ε＝3,f_r0＝4.4,k_r＝-0.5,γ＝0.01

实验中，本发明方法控制增益选择如下：

k_ξ＝1.4,k_e＝2,k_θ＝3

本实验分两部分进行验证，第一部分验证本发明的跟踪控制效果，第二部分验证本发明的跟踪控制性能。

1、跟踪控制验证，选择式(37)作为被跟踪的参考轨迹x_d(t)。

附图2给出了本发明所提出控制方法跟踪控制的效果图。实线给出了台车位移、负载摆角及控制量随时间变化的曲线，虚线则表示台车的参考轨迹x_d(t)。从附图2可以看出，本发明具有良好的跟踪控制性能，能够很好的跟踪已有参考轨迹，同时能够很好地抑制负载的摆动。

2、调节控制验证，选取目标位置x_d＝p_d＝0.6m，并将本发明方法与文献[3](具体表达式 见文献[3])所提的控制方法进行了对比。

附图3和附图4分别给出了本发明所提出控制方法和文献[3]所提出的控制方法的调节控制的效果图。实线给出了台车位移、负载摆角及控制量随时间变化的曲线，虚线则表示台车的目标位置p_d。通过对比附图3和附图4可以看出，本发明所设计的控制方法相比已有控制方法，具有更好的暂态性能，且能更好地抑制负载的摆动。不仅如此，当台车到达目标位置以后，本发明方法能保证负载无残余摆动，从而可以实现快速落吊以完成运送任务，然而，对于已有方法无法保证负载无残余摆动，延长了运送时间，降低了运输效率。通过对比进一步说明本发明具有良好的实际应用价值。

综合上述实验结果可知，本发明所提出的控制方法解决了现有控制方法消摆性能差、运输效率低、用途单一的不足，在负载消摆与台车定位方面取得了良好的效果，具有很好的实际应用价值。

本说明书使用了以下参考文献：

1.Wu X,He X,Wang M.A new anti-swing control law for overhead crane systems[C]//Proceedings of the 9th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications,Hangzhou,China,pp.678-683,2014. 

2.Wu X,He X,and Sun N.An analytical trajectory planning method for underactuated overhead cranes with constraints[C]//Proceedings of the 33rd Chinese Control Conference,Nanjing,China,pp.1966-1971,2014. 

3.Fang Y,Dixon W E,Dawson D M,Zergeroglu E.Nonlinear coupling control laws for an underactuated overhead crane system[J].IEEE/ASME Trans.on Mechatronics,8(3):418–423,2003.

4.Sorensen K L,Singhose W E.Command-induced vibration analysis using input shaping principles[J].Automatica,2008,44(9):2392–2397.

5.Sun N,Fang Y,Zhang X.Energy coupling output feedback control of 4-DOF underactuated cranes with saturated inputs[J].Automatica,2013,49(5):1318–1325.

6.Fang Y,Ma B,Wang P,Zhang X.A motion planning-based adaptive control method for an underactuated crane system,IEEE Trans.on Control Systems Technology,2012,20(1):241–248.

7.Liu D,Yi J,Zhao D,Wang W.Adaptive sliding mode fuzzy control for a two-dimensional overhead crane[J].Mechatronics,2005,15(5):505–522.

8.Khalil H K.Nonlinear systems[M],Upper Saddle River,NJ:Prentice Hall,2002. 

本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不 应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也及于本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。

Claims (1)

1.基于消摆信号的桥式起重机非线性控制方法，包括以下步骤：

步骤1、消摆信号的选取

为了提高桥式起重机系统抑制运输过程中负载摆动的性能，利用台车与负载之间的耦合关系提出如下具有消摆功能的消摆信号x_e：

$x_e={\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(9\right)$

其中，θ(t)为吊绳与竖直方向的夹角；关于时间的积分；变量后的(t)表示该参数是时变的，为简明起见，公式中已略去(t)；

步骤2、新颖误差信号的确定

基于上述消摆信号，定义如下新颖的误差信号ξ(t)，及其前两阶导数信号 $\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right),\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right):$

$\mathrm{\&xi;}\left(t\right)=x_d-x+k_{\mathrm{\&theta;}}{\&Integral;}_0^t\mathrm{\&theta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(10\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-\stackrel{\&CenterDot;}{x}+k_{\mathrm{\&theta;}}\mathrm{\&theta;}---\left(11\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+k_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}---\left(12\right)$

其中，x_d(t)表示台车的参考轨迹(x_d为常量时为调节控制；x_d为变量时为跟踪控制)，分别表示参考轨迹的速度与加速度；分别为台车的位移、速度及加速度；为负载摆动的角速度；分别为ξ(t)关于时间的一阶、二阶导数；k_θ表示正的控制增益；

对于台车的参考轨迹x_d(t)，当x_d为常量时为调节控制，即直接选取x_d＝p_d，其中p_d为台车的目标位置；当x_d(t)为变量时为跟踪控制，x_d(t)需满足如下条件：

1)x_d(t)及其前两阶导数信号需均有界，即

2)在有限的时间t_f内，x_d(t)收敛于目标位置p_d，其中起始时间为0时刻，起始位置为0；

3)当台车到达目标位置以后，即当t≥t_f时，

步骤3、控制器的确定

确定一种定位精度高、消摆效果好，而且既可用于调节控制也可用于轨迹跟踪控制的非线性耦合控制器F_x(t)如下：

其中，k_ξ,k_e为正的控制增益；分别表示如下的函数：

F_x＝F-F_r  (5)

m(θ)＝M+msin²θ  (6)

式中，F(t)表示电机所提供的驱动力；F_r(t)表示台车与桥架之间的摩擦力；M,m分别为台车与负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度；

步骤4、控制方法的实现

首先，将本发明应用于实际桥式起重机之前，需选择合适的摩擦力补偿环节用于补偿台车与桥架之间的摩擦力，经过大量实验，本发明选择如下轨道摩擦力补偿项以补偿台车与桥架之间的摩擦力F_r(t)：

$F_r\left(t\right)=f_{r0}\tanh (\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)/\mathrm{\&gamma;})-k_r\left|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\right|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)---\left(37\right)$

其中：f_r0,k_r,γ为摩擦参数，通过离线实验事先标定获得；tanh(·)为双曲正切函数；为台车速度；

接下来借助传感器获取所需的状态信号，根据实际的起重机系统选取合适的系统参数及控制增益，根据式(15)实时计算得到相应的控制信号，即可实现对起重机系统的实时控制，完成系统的运输任务。