CN107024865B - 欠驱动桅杆式起重机定位消摆非线性控制方法 - Google Patents

Abstract

一种欠驱动桅杆式起重机定位消摆非线性控制方法，属于机电系统控制领域。该方法包括：根据起重机的动力学模型构造能量函数，并充分利用可驱动变量（吊杆旋转角和俯仰角）和不可驱动变量（负载径向摆角和切向摆角）之间的耦合关系，构造李雅普诺夫候选函数，从而设计出一种新型的非线性控制器。除此之外，为对吊杆转动的超调量进行有效限制，在控制器中加入限幅项，防止吊杆在目标位置附近来回摆动。此方法可以实现准确定位控制与快速消摆控制。

Description

欠驱动桅杆式起重机定位消摆非线性控制方法

技术领域

本发明属于机电系统控制领域，可以对动力学模型十分复杂的三维欠驱动桅杆式起重机系统进行有效的消摆和定位控制。

背景技术

在实际应用中，大多数机械系统都是欠驱动的。所谓欠驱动，就是系统独立的驱动量少于系统的自由度。近几十年来，学者们为解决类似系统的控制问题做出了巨大的努力，其研究对象包括欠驱动机器人系统^[1,2]、吊车系统^[3,4]、旋转激励平移振荡器系统^[5]等。其中，吊车是一种典型的欠驱动系统，被广泛应用于建筑工地、码头和工厂等地完成货物的装卸工作。然而，由于人工操作的不确定性，有时很难将货物准确地运送到指定地点。更严重的是，错误的操作可能会导致一系列危险意外的发生。因此，在实际应用中，亟待设计有效的自动控制方法解决上述问题。

对于欠驱动桥式起重机系统，已有的控制方法可分为开环控制、闭环控制两类。具体而言，开环控制方法包括轨迹规划^[3,6]和输入整形^[7]等。而闭环控制方法往往可以更加有效地处理外界干扰，获得较好的控制效果，例如基于能量的控制方法^[8,9]、滑模控制^[10]、自适应控制^[11]等。

在各式吊车系统中，桅杆式起重机在实际应用中十分常见，并且在日常生活中扮演着重要角色，比如进行路面维修、货物搬运等任务。可是，通常桅杆式起重机都是由人工来操作，这会导致运行效率低和吊杆无法准确定位等问题。与已被广泛研究的桥式起重机相比，桅杆式起重机状态量之间存在着更强的耦合。具体而言，它具有俯仰和旋转两方向的运动，会产生复杂的离心力，导致其动力学方程呈现出高度的非线性和复杂性，使得控制器设计的难度进一步增加。

目前，为了解决桅杆式起重机的控制问题，一些有趣而富有意义的工作正积极展开。在文献[12],[13]中，桅杆式起重机的控制过程被分为两部分，首先将状态变量转移到平衡点附近，然后保证吊杆稳定在期望位置附近并且消除负载的摆动。开环轨迹规划方法^[14-16],如直接转移变换(Straight Transfer Transformation，STT)模型，都可以有效地对桅杆式起重机进行控制。此外，Samin等人在文献[17],[18]中讨论了三种输入整形方法，包括指定负振幅(Specified NegativeAmplitude，SNA)整形器、正定零振动(PositiveZero Vibration，PZV)整形器和正定零振动双微分(Positive Zero-Vibration-Derivative-Derivative，PZVDD)整形器。按照上述方法对输入信号进行整形，可以在吊杆旋转过程中减弱负载的摆动幅度。值得一提的是，上述介绍的控制方法都需要在平衡点附近将起重机非线性模型线性化，并在线性模型的基础上设计控制器。然而，如果状态变量(如摆角)在外界扰动的影响下偏离平衡点，控制器的控制效果将会被大大减弱。文献[19]提出一种开环最优控制方法，通过使用二次规划方法求得非线性方程的最优控制量，以实现起重机的消摆与定位。文献[20]基于前馈控制方法，将经过滤波的输入整形器应用于桅杆式起重机系统，成功实现消摆目标。与开环控制相比，闭环控制方法增强了系统的鲁棒性并且可以在存在干扰的情况下取得较好的控制效果。因此，近年来研究人员开始着力进行闭环方法的研究。为了减小负载的摆动幅度，Masoud等人提出一种基于延迟位置反馈的消摆控制方法^[21]。而在文献[22]中，提出了一类基于积分器的部分状态反馈控制策略，可以在保证准确定位的同时实现负载消摆。考虑到模型参数的可变性，文献[23]设计出解决可变绳长问题的控制方法，在完成定位消摆的同时保证了系统的鲁棒性。除了上述基于模型的控制器之外，一系列智能算法，例如神经网络^[24]、模糊控制^[25]等，也都成功应用于桅杆式起重机控制中，进一步优化并提升了控制效果。

通过对上述已有方法的综合分析，一些重要的问题凸显出来并急需设计有效的解决方法：1)现有闭环控制方法均需要先对系统模型线性化，接着再进行控制器设计。然而，一旦系统受到未知干扰导致系统状态偏离平衡点，线性化后的模型将无法准确描述其当前实际运行状态，也就无法对起重机进行有效控制。2)大多数闭环控制器都未具体说明如何解决吊杆移动超调的问题。当控制增益选择不恰当时，可能产生严重的超调，使吊杆来回移动，进而引发潜在的危险和不必要的能量损耗。

综上所述，为解决非线性模型线性化带来的问题以及有效地限制吊杆的超调幅度，亟需一种稳定的非线性控制器，以取得更好的控制效果。

发明内容

本发明的目的是针对已存在的桅杆式起重机系统控制方法的不足之处，设计出一种新型的非线性控制器，保证桅杆式起重机系统平稳有效地运行。

考虑到起重机动力学模型为非线性的，本发明通过对系统储能函数的分析，在控制器中加入精心构造的耦合项以提高控制性能，并且能够限制旋转超调。另一方面，此种控制方法并不需要将起重机动力学模型线性化或者忽略特殊的非线性项，即使状态变量都远离平衡点时也能实现较好的控制效果。对于其闭环稳定性，可以利用李雅普诺夫方法和拉塞尔不变性原理进行严格的理论证明。此外，基于硬件平台的实验结果也验证了本发明方法的可行性和有效性。

本发明提供的欠驱动桅杆式起重机消摆定位控制方法包括：

第1、定义误差信号、状态向量和超调约束

定义起重机吊杆的俯仰角误差e₁与旋转角误差e₂分别为

e₁＝φ₁-φ_1d,e₂＝φ₂-φ_2d

其中，φ₁,φ₂分别表示吊杆的俯仰角和旋转角，φ_1d,φ_2d分别表示吊杆的俯仰角和旋转角的目标值；定义起重机状态向量为其中，θ₁,θ₂分别为负载在径向和切向两个方向上的摆角；符号“”表示矩阵/向量转置；定义吊杆在俯仰和旋转两个方向上所允许出现的最大超调量分别为ζ₁,ζ₂,即要求φ₁-φ_1d＜ζ₁,φ₂-φ_2d＜ζ₂。

第2、定义控制目标

在运动过程中，控制目标要求吊杆俯仰角φ₁和旋转角φ₂到达目标值，同时消除负载的径向摆角θ₁和切向摆角θ₂；除此之外，φ₁和φ₂的超调量不得超过ζ₁和ζ₂；具体表达形式如下：

其中，分别代表吊杆在俯仰和旋转方向上的角速度以及负载径向摆角和切向摆角的角速度。

第3、控制器设计

设计非线性控制器u₁,u₂如下：

其中，k_p1,k_p2,k_d1,k_d2,β₁,β₂,k_h1,k_h2均为正的控制增益，M,m,M_B分别为吊杆质量、负载质量和基座质量，L,L_B分别为吊杆长度和基座长度，g为重力加速度。

第4、控制方法实现

利用固定在吊杆和伺服电机上的编码器测量吊杆的俯仰角φ₁和旋转角φ₂，以及负载的摆角θ₁和θ₂，并利用式(16)，得到作用在吊杆俯仰方向和旋转方向上的输入力矩，驱动吊杆移动到指定位置并快速消除负载摆动。

本发明方法的理论依据及推导过程

第1、系统非线性动力学模型及控制目标

基于拉格朗日方法建立的起重机系统动力学方程如下所示：

其中，分别为负载径向摆角及其相应的角速度和角加速度，分别指负载切向摆角及其相应的角速度和角加速度，分别表示吊杆俯仰角及其相应的角速度和角加速度，分别代表吊杆旋转角及其相应的角速度和角加速度，t表示时间，变量后面(t)表示该变量为关于时间t的函数；为简明起见，略去大多数变量后面的(t)；u₁(t),u₂(t)分别为俯仰和旋转方向上的驱动力矩，m,M和M_B分别表示负载质量、吊杆质量和基座质量，l代表绳长，L指吊杆长度，L_B则为基座长度，g表示重力加速度，I_b是基座的转动惯量，此外，J_x,J_y,J_z表示吊杆在三维空间内的转动惯量。

为方便后文进行控制器的设计，可以将上述动力学方程转化为矩阵-向量形式：

其中，是系统的状态向量，和分别为系统状态向量关于时间的一阶导数和二阶导数，符号“”表示矩阵/向量转置，为惯性矩阵，向量的具体表达式将在后文中进行详细描述，u是系统的控制输入向量，其中，各矩阵/向量的具体表达形式如下所示：

其中，

m₄₄＝mL²(sinφ₁)²+ml²(θ₁ ²+θ₂ ²)+2mlLθ₁sinφ₁+J_x(sinφ₁)²+J_z(cosφ₁)²+I_b,

m₁₂＝m₂₁＝ml²θ₁θ₂,m₁₃＝m₃₁＝mlL(-θ₁sinφ₁+cosφ₁),m₁₄＝m₄₁＝-ml²θ₂,

m₂₃＝m₃₂＝-mlLθ₂sinφ₁,m₂₄＝m₄₂＝ml²θ₁+mlLsinφ₁,m₃₄＝m₄₃＝-mlLθ₂cosφ₁.

其中，

本发明的目标为：在不进行线性化的前提下，设计出一种非线性控制器，可以在实现起重机定位和负载消摆的同时，有效限制吊杆运动的超调量。从自动控制的角度来看，利用数学公式可将该目标描述如下：

其中，分别表示吊杆的俯仰角和旋转角及其相应的角速度，分别表示负载的径向摆角和切向摆角及其相应的角速度，φ_1d,φ_2d分别表示吊杆的俯仰角和旋转角的目标值，ζ₁,ζ₂分别为吊杆在俯仰和旋转两个方向上所允许出现的最大超调值。

考虑到起重机在实际应用中，其负载始终位于吊杆下方，另外参考诸多文献，如[3,4],[6-25]，作如下假设：

假设1：在起重机运行过程中，负载的径向摆角θ₁(t)和切向摆角θ₂(t)以及吊杆的俯仰角φ₁(t)和旋转角φ₂(t)的变化范围始终在(-π/2,π/2)之间。

第2、控制器设计

为方便进一步推导分析，首先定义起重机吊杆的俯仰角误差e₁(t)与旋转角误差e₂(t)分别为

其中，分别表示吊杆的俯仰角和旋转角及其相应的角速度，φ_1d,φ_2d分别表示吊杆的俯仰角和旋转角的目标值，分别为俯仰角误差和旋转角误差关于时间的一阶导数。

其次，通过对系统进行仔细分析，得到其机械能E的表达式如下：

然后，对式(10)关于时间求导，并代入式(1)-(4)，经过严格的数学推理可知

基于上述能量函数的表达形式，可设计李雅普诺夫候选函数W(t)如下：

其中，表示控制增益。对W(t)关于时间求导，可以得到

为了消去式中的交叉项并保证是非正定的，首先设计如下控制器：

其中为控制增益。将式(14)代入式(13)中，可以得到

从上式中可以看出W(t)的变化仅与可驱动变量φ₁(t)和φ₂(t)有关。尽管利用控制器(14)已证明闭环系统在平衡点附近是稳定的，但是系统的欠驱动状态变量，即负载摆角，所提供的反馈信息并没有得到充分利用。除此之外，一般闭环反馈控制方法[例如(14)]的普遍问题就是无法在理论上限制超调。例如，当吊杆接近目标位置时，可能会出现吊杆往复运动，甚至出现严重超调。

为避免上述问题，本发明提出如下的新型非线性控制器：

其中为控制增益，分别表示φ₁(t),φ₂(t)的超调限制。此新型非线性控制器增加了两个额外项。两式中的第一项用来确保最大超调误差始终保持在某一确定范围内并且快速收敛于零。而两式中另一非线性耦合部分和则将不可驱动变量融入到控制器中，以提高控制效果。

第3、稳定性分析

这部分将利用李雅普诺夫方法和拉塞尔不变性原理，对闭环反馈系统进行严格的稳定性分析，验证控制器(16)的有效性。

为实现控制目标，首先选取如下标量函数V(t)作为李雅普诺夫候选函数：

对V(t)关于时间求导并利用式(11)，可以得到

于是将控制器(16)代入上式(18)中，经过计算整理可知

即：

V(t)≤V(0)＜＜+∞ (20)

根据V(t)的具体形式可知，V(t)始终是非负定的，即V(t)≥0。另外，由于V(0)是有界的，很容易得到如下结论：

不失一般性，将吊杆俯仰角和旋转角的初始值选定为0，即：φ₁(0)＝0,φ₂(0)＝0。于是，可以发现|φ₁(0)|＜φ_1d+ζ₁,|φ₂(0)|＜φ_2d+ζ₂。假设φ₁(t)或φ₂(t)逐渐增长至φ_1d+ζ₁或φ_2d+ζ₂,这也就意味着V(t)→∞[见式(18)]，此结论与式(20)相矛盾。因此，超调幅度将会被限制在给定范围内，即

|φ₁|＜φ_1d+ζ₁,|φ₂|＜φ_2d+ζ₂ (22)

基于上述结论，可以推断出

u₁,u₂∈L_∞

接下来将利用拉塞尔不变性原理来完成证明。为此，定义集合Φ：

同时，定义Γ为Φ中的最大不变子集，根据式(19)可知，在Γ中，

其中，λ₁,λ₂为待确定的常数；于是，在集合Γ中，可以得到

将式(23)代入式(3)中,可以求得如下等式：

为进行后续分析，将式(26)等号左右两侧重新改写为

并且，对其关于时间进行积分，可得到如下结果：

其中，λ₃为待确定的常数。如果常数则当t→∞时，易知

此结论与式(23)中和等结论相矛盾。于是，通过反证法可以求得

利用式(28)，可以将式(24)改写为

由式(22)可以推论出式(29)中的第一项不会为零。于是，最终得到如下结论：

与式(26)的计算方法相同，将式(23)代入式(4)中并加以整理，可得到

其中，λ₄为待确定常数。对式(31)进行与上文类似的推导[见式(26)-(30)]，可以得到如下结论：

将不变集Γ中的结论代入式(1)和(2)，可以得到如下方程组：

联立(33)和(34)两式可知如下结论：

接下来，将式(36)代入式(26)，能够得到如下等式：

然后，对式(37)关于时间积分两次可以得到

其中，λ₅和λ₆是待确定的常数。假设λ₅≠0，则当t→∞时，

上式与结论sinφ₁(t),cosφ₁(t),θ₁(t)∈L_∞[见式(23)]相矛盾，因此λ₅＝0。于是，进一步化简式(38)，可以计算出

这是一个以θ₁(t)为变量的一元二次方程，由于φ₁＝φ_1d[见式(30)]为定值，可以推出θ₁(t)必为一常数。由此可知

进一步，通过将结论(30),(32)和(39)代入式(2)，并消去多余的项，可以得到如下方程：

由于恒成立，可以进一步地得到如下结论：

最后，将上述结论(39)及(40)代入式(35)，可计算求得如下结果：

通过总结上述结论，可知集合Γ仅包括闭环平衡点，于是利用拉塞尔不变性原理^[8]可以证明闭环系统渐近稳定，即本发明所设计的控制器可以实现预期目标。

本发明的优点与价值：

为解决桅杆式起重机旋转定位和负载消摆等相关问题，本发明设计出一种非线性控制方法，可以实现对起重机进行有效控制。另外，本控制器引入了两个非线性项，可以保证对反馈信息的充分利用和对吊杆超调量的有效限制，得到更好的控制效果，有望应用于实际大型起重机系统中，具有良好的现实工程意义。

附图说明

图1为本发明所提方法的实验结果，其中俯仰角、旋转角、径向摆角、切向摆角、俯仰控制量和旋转控制量分别对应φ₁、φ₂、θ₁、θ₂、u₁和u₂；图中，实线从上到下依次刻画了俯仰角、旋转角、径向摆角、切向摆角、俯仰控制量和旋转控制量，虚线从上到下依次表示俯仰角、旋转角的目标值φ_1d＝0.6rad,φ_2d＝0.6rad；

图2为文献[23]中线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator,LQR)最优控制方法的实验结果，其中俯仰角、旋转角、径向摆角、切向摆角、俯仰控制量和旋转控制量分别对应φ₁、φ₂、θ₁、θ₂、u₁和u₂；图中，实线从上到下依次刻画了俯仰角、旋转角、径向摆角、切向摆角、俯仰控制量和旋转控制量，虚线从上到下依次表示俯仰角、旋转角的目标值φ_1d＝0.6rad,φ_2d＝0.6rad。

具体实施方式：

第1、实验步骤描述

第1.1、定义误差信号、状态向量和超调约束

定义起重机吊杆的俯仰角误差e₁与旋转角误差e₂分别为

e₁＝φ₁-φ_1d,e₂＝φ₂-φ_2d

其中，φ₁,φ₂分别表示吊杆的俯仰角和旋转角，φ_1d,φ_2d分别表示吊杆的俯仰角和旋转角的目标值；定义起重机状态向量为其中，θ₁,θ₂分别为负载在径向和切向两个方向上的摆角；符号“”表示矩阵/向量转置；定义吊杆在俯仰和旋转两个方向上所允许出现的最大超调值分别为ζ₁,ζ₂,即要求φ₁-φ_1d＜ζ₁,φ₂-φ_2d＜ζ₂。

第1.2、定义控制目标

在运动过程中，控制目标要求吊杆俯仰角φ₁和旋转角φ₂到达指定位置，同时消除负载的径向摆角θ₁和切向摆角θ₂；除此之外，φ₁和φ₂的超调量不得超过ζ₁和ζ₂；具体表达形式如下：

其中，分别代表吊杆在俯仰和旋转方向上的角速度以及负载径向摆角和切向摆角的角速度。

第1.3、控制器设计

设计非线性控制器u₁,u₂如下：

其中，k_p1,k_p2,k_d1,k_d2,β₁,β₂,k_h1,k_h2均为正的控制增益，M,m,M_B分别为吊杆质量，负载质量和基座质量，L,L_B分别为吊杆长度和基座长度；g为重力加速度。

第1.4、控制方法实现

利用固定在吊杆和伺服电机上的编码器测量吊杆的俯仰角φ₁和旋转角φ₂，以及负载的摆角θ₁和θ₂，并利用式(16)，得到作用在吊杆俯仰方向和旋转方向上的输入力矩，驱动吊杆移动到指定位置并快速消除负载摆动。

第2、实验结果描述

为验证本发明所设计的控制方法的有效性，按照上述步骤，在实验室自主搭建的桅杆式起重机平台上进行实验。在实验中，负载质量、吊杆质量、基座质量、重力加速度、吊绳长度、吊杆长度以及基座长度的取值分别如下：

m＝0.34kg,M＝2kg,M_B＝4.8kg,g＝9.8m/s²,

l＝0.175m,L＝0.65m,L_B＝0.15m.

将本发明所提出的控制方法与LQR最优控制方法^[23]进行对比，比较吊杆的定位效果和负载的消摆效果。在所有实验中，吊杆俯仰角和旋转角的初始状态都设置为0rad，即φ₁(0)＝0rad,φ₂(0)＝0rad，对应的目标值分别选取为φ_1d＝0.6rad,φ_2d＝0.6rad。此外，为避免吊杆突然启动引起负载摆角过大，本实验此处加入软启动，具体表达形式如下：

φ_1d＝0.6tanh(1.3t)[rad],φ_2d＝0.6tanh(1.15t)[rad]

首先，本发明所提出的非线性控制器(16)选取参数如下：

k_p1＝16,k_d1＝0.2,k_h1＝2.15,k_p2＝2.9,k_d2＝0.75,k_h2＝1.55,

β₁＝β₂＝0.01,ζ₁＝ζ₂＝0.005

对于LQR最优控制方法，经过MATLAB工具箱的计算，得到其具体的表达式为：

附图1和附图2给出了实验结果。本发明所提控制器在4s内就可以使俯仰角和旋转角到达指定位置，并且负载的径向摆角和切向摆角在6s内即可收敛于零。而LQR方法虽然可以使吊杆到达指定角度位置，但存在稳态误差，负载摆动幅度较大，10s左右才能够完全收敛。综上所述，相比对比方法，本发明方法可以在更短的时间内取得更好的控制效果。

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Claims (1)

1.一种欠驱动桅杆式起重机定位消摆非线性控制方法，其特征在于该方法包括：

第1、定义误差信号、状态向量和超调约束

定义起重机吊杆的俯仰角误差e₁与旋转角误差e₂分别为

e₁＝φ₁-φ_1d,e₂＝φ₂-φ_2d

其中，φ₁,φ₂分别表示吊杆的俯仰角和旋转角，φ_1d,φ_2d分别表示吊杆的俯仰角和旋转角的目标值；定义起重机状态向量为其中，θ₁,θ₂分别为负载在径向和切向两个方向上的摆角；符号表示矩阵/向量转置；定义吊杆在俯仰和旋转两个方向上所允许出现的最大超调量分别为ζ₁,ζ₂,即要求φ₁-φ_1d＜ζ₁,φ₂-φ_2d＜ζ₂；

第2、定义控制目标

在运动过程中，控制目标要求吊杆俯仰角φ₁和旋转角φ₂到达目标值，同时消除负载的径向摆角θ₁和切向摆角θ₂；除此之外，φ₁和φ₂的超调量不得超过ζ₁和ζ₂；具体表达形式如下：

φ₁＜φ_1d+ζ₁,φ₂＜φ_2d+ζ₂

其中，t表示时间，分别代表吊杆在俯仰和旋转方向上的角速度以及负载径向摆角和切向摆角的角速度；

第3、控制器设计

设计非线性控制器u₁,u₂如下：

其中，k_p1,k_p2,k_d1,k_d2,β₁,β₂,k_h1,k_h2均为正的控制增益，M,m,M_B分别为吊杆质量、负载质量和基座质量，L,L_B分别为吊杆长度和基座长度，g为重力加速度；

第4、控制方法实现

利用固定在吊杆和伺服电机上的编码器测量吊杆的俯仰角φ₁和旋转角φ₂，以及负载的摆角θ₁和θ₂，并利用式(16)，得到作用在吊杆俯仰方向和旋转方向上的输入力矩，驱动吊杆移动到指定位置并快速消除负载摆动。