CN106976804B - 双摆吊车能耗最优轨迹规划方法 - Google Patents
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Abstract
一种双摆吊车能耗最优轨迹规划方法，属于欠驱动机械系统自动控制技术领域。该方法包括：充分考虑吊车系统的双摆特性及实际生产中对能耗的需求，设计了一种针对双摆吊车系统的能耗最优轨迹规划方法，实现了双摆吊车定位与消摆的控制目标。首先，为方便分析计算，对系统动力学方程进行变换。接下来根据系统各状态量约束、初始状态及目标状态，构造相应的优化问题。最后将优化问题转化成凸优化问题的形式并利用凸优化工具进行求解。本方法可确保双摆吊车系统由初始状态到达目标状态，运行过程中消耗的能量最小且系统状态均约束在给定的范围内，同时有效抑制并消除系统的残余摆动。
Description
技术领域
本发明属于欠驱动机械系统自动控制技术领域，特别是涉及一种适用于双摆吊车系统的能耗最优轨迹规划方法。
背景技术
在过去的几十年间，欠驱动机械系统的自动控制研究得到了研究人员广泛关注[1],[2]。由于欠驱动系统具有高灵活性、低能耗、低成本、机械结构简单等优点，目前在现代工业领域的应用十分广泛，比如无人机[3]、移动机器人[4]、机械手指[5]、水下机器蛇[6]等。但是，由于欠驱动系统的控制量维数少于待控自由度的个数，目前针对欠驱动系统的控制问题依然存在难点与挑战。因此，针对欠驱动系统的研究具有理论和实际的双重意义。
桥式吊车系统是一种目前在工业工程领域应用十分广泛的典型欠驱动系统。桥式吊车系统的结构可简化为一个做平移运动的台车及与台车相连的负载，其控制目标主要为实现台车的定位及负载的消摆。目前，针对吊车系统的控制问题，国内外学者提出了许多控制方法[7]-[17]。
上述方法均未考虑负载与吊钩组成的二级摆动效应，而是简单地将吊车系统假设为单摆系统。然而，在实际应用中，在某些情况下，如负载形状较大，或者吊钩质量相对于负载质量无法直接忽略，吊钩与负载的质心不能简化为同一点，且吊钩与负载之间可能发生相对摆动，即产生双摆效应。因此，双摆吊车模型能更精确地描述现实中的吊车系统，针对双摆吊车的研究也更具实际与理论意义。然而，相比于一般的桥式吊车系统，双摆吊车系统动力学特性更加复杂，其控制问题更加难以解决。现阶段，针对双摆吊车系统的研究依然很少[18]-[23]，仍存在许多尚未解决的问题，能耗问题即为其中之一。因此，考虑到当今社会中日趋紧迫的能源问题，及在现代工业中备受重视的能耗指标，亟待设计出一种能耗最优的控制策略，能够在存在状态量约束的条件下，实现欠驱动双摆吊车系统的高性能定位消摆控制。
发明内容
本发明的目的为解决欠驱动双摆吊车系统能耗最优问题，设计一种能耗最优轨迹规划方法。
本发明致力于提出一种新型的能耗最优轨迹规划方法，充分考虑实际应用中的需要，实现台车的精确定位及吊钩与负载的消摆，同时确保在运行过程中状态量均约束在给定的安全范围内，实现了双摆吊车系统的高性能定位与消摆控制。最后，利用双摆吊车实验平台验证了本发明方法的有效性与良好控制性能。
本发明提供的欠驱动双摆吊车系统能耗最优轨迹规划方法包括：
第1、根据状态量约束构造优化问题
对双摆吊车系统进行线性化处理后，可求得：
其中，M,m1,m2,l1,l2分别表示台车质量、吊钩质量、负载质量、吊绳长度、吊钩与负载质心间的距离；d1,d2表示阻尼系数；F表示作用在台车上的驱动力；x为双摆吊车系统的台车位移，为台车速度，为台车加速度，θ1为吊钩的摆角，θ2为负载的摆角，为吊钩摆角的角速度，为负载摆角的角速度，为吊钩摆角的角加速度，为负载摆角的角加速度；g表示重力加速度；将台车的加速度作为系统的控制输入量，定义则系统动力学方程(3)的状态空间形式为：
其中，为双摆吊车系统的状态向量，为双摆吊车系统的状态向量的一阶导数，符号表示矩阵/向量转置；A,B为系数矩阵/向量，表达式如下：
根据双摆吊车系统定位与消摆的控制目标，考虑系统初始状态、目标状态及状态约束条件，构造如下以系统能耗为代价函数的优化问题：
其中，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件；J为系统运行过程中的总能耗，其具体表达式为F为作用在台车上的驱动力；tf表示设定的运送时间；vmax,amax表示台车速度与加速度的约束上界；θ1max,θ2max,θ1vmax,θ2vmax分别表示吊钩摆角、负载摆角、吊钩角速度、负载角速度的约束上界；控制目标为系统从初始时刻t＝0开始，由初始状态向量χ(0)到达目标状态向量χ(tf)，tf为消耗的时间，xf为台车的目标位置。
第2、将原优化问题转化为凸优化问题并求解
首先，选择采样周期τ，对原系统状态空间表达式进行离散化，结果如下：
χ(k+1)＝Hχ(k)+Gu(k) (12)
其中，k代表离散时间变量，χ(k)为k时刻的离散系统状态量，χ(k+1)为k+1时刻的离散系统状态量；H∈R6×6与G∈R6×1是离散系统参数矩阵，计算方法如下：
引入辅助矩阵和其具体表达式为：
其中，kf为离散时间变量的终止步数；接下来，为方便计算，定义系数矩阵表达式如下：
Ωvx＝diag{Φvx,Φvx,…,Φvx}
其中，符号“diag{·}”表示以中括号内表达式“·”为元素的对角矩阵，为单位向量，具体表达式如下：
Φvx＝[0,1,0,0,0,0]
定义辅助系数矩阵具体表达式如下：
其中，是kf阶单位矩阵；引入辅助系数向量其具体表达式为：
引入辅助向量其具体表达式为：
其中，表示kf维元素均为1的向量；引入ε∈R+为辅助变量，具体表达式为符号表示任意变量“·”的2范数的平方。
利用辅助矩阵R,K,L、辅助系数向量r,k,s1,s2及辅助变量ε，将优化问题(11)转化成如下凸优化问题的形式：
其中，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件；kf为离散时间变量的终止步数；为待求解的控制输入序列，由每个时刻的控制输入信号u组成， 为系统能耗函数经过转化后的凸函数形式。通过求解式(26)，可得到最优的系统能耗，及相应的台车位移轨迹xop(0),xop(1),…,xop(kf-1)和速度轨迹完成轨迹规划过程。式(26)中凸优化问题可直接利用凸优化工具箱CVX(MATLAB软件中的凸优化工具箱，MATLAB Software for Disciplined ConvexProgramming)进行求解。
第3、轨迹跟踪
利用搭载于台车上的传感设备，实时测量台车位置与速度信号；通过第2步求解得到待跟踪的台车能耗最优位置参考轨迹xop(0),xop(1),…,xop(kf-1)及对应的速度参考轨迹分别计算实时反馈的台车位置信号、速度信号与位置参考轨迹、速度参考轨迹的偏差；将所得偏差信号作为常规的PD(比例微分，proportional-derivative)控制器的输入信号，通过调节PD控制器的控制增益，产生驱动电机的实时控制信号，控制吊车的水平运动，完成双摆吊车控制目标。
本发明方法的理论依据及推导过程
第1、给定状态量约束并构造优化问题
双摆吊车系统的动力学模型表示如下：
其中，M,m1,m2,l1,l2分别表示台车质量、吊钩质量、负载质量、吊绳长度、吊钩与负载质心间的距离；d1,d2表示阻尼系数；x(t),θ1(t),θ2(t),F(t)分别表示台车位移、吊钩摆角、负载摆角、作用在台车上的驱动力；分别表示台车速度、台车加速度、吊钩角速度、吊钩角加速度、负载角速度、负载角加速度；变量后面(t)表示该变量关于时间t的函数；为简明期间，略去大多数变量后面的(t)；g表示重力加速度。
针对式(1)，当摆角θ1(t)与θ2(t)满足θi≤5°,i＝1,2时，可利用如下线性近似：
将其改写为如下形式：
接着，式(3)的后两个方程可进一步化为：
将台车的加速度作为系统的控制输入量，定义则式(4)可表示为如下的状态空间形式：
其中，χ(t)为系统状态向量A,B为系数矩阵/向量：
为方便表示，定义aij,i＝4,6,j＝3,4,5,6，具体为：
为完成能耗最优轨迹规划，考虑到吊车系统在实际工作时的目标、物理约束及安全性，本发明将系统地考虑如下几个方面的约束：
1)考虑实际电机的饱和问题，台车速度与加速度均应限制在合适的范围，即
其中，vmax,amax表示台车速度与加速度的约束上界。
2)为解决由吊钩与负载剧烈摆动导致的安全问题，吊钩与负载的摆角及角速度均应限制在安全的范围内，即
其中θ1max,θ2max,θ1vmax,θ2vmax分别表示吊钩摆角、负载摆角、吊钩角速度、负载角速度的约束上界。
3)控制目标为系统从初始时刻t＝0开始，由初始状态向量χ(0)到达目标状态向量χ(tf)，消耗的时间为tf，设定初始状态向量与目标状态向量为：
其中，xf为台车的目标位置。
综上，考虑系统能耗方程：
可构造如下优化问题：
其中，J表示系统运行过程中的总能耗，其表达式见式(10)，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件。然而，直接求解式(11)较为困难，因此，接下来将考虑将其转化为一种容易求解的凸优化问题，之后便可应用凸优化求解方法进行直接求解。
第2、将原优化问题转化为凸优化问题并求解
本部分通过对系统离散化的方法，将优化问题转化成一种凸优化问题的形式，并通过相应工具进行求解。
首先，选择采样周期τ，对式(5)进行离散化，结果如下：
χ(k+1)＝Hχ(k)+Gu(k) (12)
其中，H∈R6×6与G∈R6×1是离散系统参数矩阵，计算方法如下：
χ(k)为离散系统状态量，k代表离散时间变量，对式(12)进行迭代，可将k时刻的系统状态量χ(k)表示成如下的形式：
根据给定的运送时间tf得到相应的步数kf＝tf/τ，定义状态序列为输入序列为则通过式(14)可将状态序列表示为：
其中，和为辅助矩阵，其具体表达式为：
通过式(15)，利用给定的输入序列可以得到相应的状态序列。
接下来，由系统状态向量及式(15)可以得到吊钩摆角序列与角速度序列和负载摆角序列与角速度序列和及台车速度序列与加速度序列和将各状态序列用输入序列表示为：
其中，是kf阶单位矩阵，为系数矩阵，表达式如下：
Ωvx＝diag{Φvx,Φvx,…,Φvx}
其中，单位向量的定义如下：
Φvx＝[0,1,0,0,0,0]
优化问题(11)中的代价函数为非凸函数，利用式(3)可对其进行如下处理：
由式(17)可知，转化后的J为凸函数，再接着利用式(16)，可将凸函数J转换为：
其中，为系统能耗函数经过转换后的凸函数形式，辅助矩阵辅助向量辅助变量ε∈R的详细定义如下：
接下来将式(8)中初始条件与终止条件表示为：
其中，辅助矩阵与辅助向量k∈R6×1为：
最后将式(7)中约束条件表示为：
Lu≤s1,Lu≥s2 (22)
其中，定义如下辅助矩阵与
因此，式(14)中的优化问题可转化为：
其中，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件。
通过求解式(26)，可得到最优的系统能耗，及相应的能耗最优控制信号序列，表示如下：
uop(0),uop(1),…,uop(kf-1) (27)
其中，uop(k)表示时刻k时系统的控制输入信号，将所得最优控制信号(27)代入式(14)，计算可得相应的待跟踪的台车位移轨迹：
xop(0),xop(1),…,xop(kf-1) (28)
和相应的速度轨迹：
其中，xop(k),分别表示k时刻的台车待跟踪的位移信号与速度信号，至此，轨迹规划过程得以完成。式(26)中的优化问题可直接利用凸优化工具箱CVX(MATLAB软件中的凸优化工具箱，MATLAB Software for Disciplined Convex Programming)加以求解。
第3、轨迹跟踪
利用搭载于台车上的传感设备，实时测量台车位置与速度信号。通过第2步求解得到待跟踪的台车能耗最优位置参考轨迹(28)及对应的速度参考轨迹(29)，分别计算实时反馈的台车位置信号、速度信号与能耗最优位置参考轨迹、速度参考轨迹的偏差。将所得偏差信号作为常规的PD(比例微分，proportional-derivative)控制器的输入信号，通过调节PD控制器的控制增益，产生驱动电机的实时控制信号，控制吊车的水平运动，完成双摆吊车控制目标。
本发明的优点和有益效果：
针对双摆吊车系统，本发明提出了一种能耗最优轨迹规划方法；相比于现有控制方法，本发明首次提出了一种能够在满足状态量约束条件下达到能耗最优的轨迹规划方法，实现了双摆吊车系统定位与消摆的控制目标，即可使得系统各状态量均保持在给定的范围内，有效地抑制并消除残余摆动，运行过程实现了能耗最优，具有良好的实际应用前景。
附图说明：
图1为本发明方法的实验结果。
具体实施方式：
实施例1：
第1、实验步骤描述
第1.1、根据状态量约束构造优化问题
根据双摆吊车系统定位与消摆的控制目标，考虑系统初始状态、目标状态及状态约束条件，构造如下以系统能耗为代价函数的优化问题：
其中，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件。J为系统运行过程中的总能耗，其具体表达式见式(10)。为双摆吊车系统的状态向量，符号表示矩阵/向量转置，x为双摆吊车系统的台车位移，为台车速度，为台车加速度，θ1为吊钩的摆角，θ2为负载的摆角，为吊钩摆角的角速度，为负载摆角的角速度。tf表示设定的运送时间。vmax,amax表示台车速度与加速度的约束上界。θ1max,θ2max,θ1vmax,θ2vmax分别表示吊钩摆角、负载摆角、吊钩角速度、负载角速度的约束上界。控制目标为系统从初始时刻t＝0开始，由初始状态向量χ(0)到达目标状态向量χ(tf)，tf为消耗的时间，xf为台车的目标位置。
第1.2、将原优化问题转化为凸优化问题并求解
通过对系统离散化的方法，将优化问题(11)转化成如下凸优化问题的形式：
其中，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件。kf为离散时间变量的终止步数。为待求解的控制输入序列，由每个时刻的控制输入信号u组成，为辅助矩阵，k∈R6×1,为辅助向量，ε∈R为辅助变量，R,K,L,r,k,s1,s2,ε的具体表达式见式(19)，(21)，(23)，(24)，(25)。J为系统能耗函数经过转化后的凸函数形式。通过求解式(26)，可得到最优的系统能耗，及相应的台车位移轨迹(28)和速度轨迹(29)，完成轨迹规划过程。式(26)中凸优化问题可直接利用凸优化工具箱CVX(MATLAB软件中的凸优化工具箱，MATLAB Software for Disciplined Convex Programming)进行求解。
第1.3、轨迹跟踪
利用搭载于台车上的传感设备，实时测量台车位置与速度信号。通过第2步求解得到待跟踪的台车能耗最优位置参考轨迹(28)及对应的速度参考轨迹(29)，分别计算实时反馈的台车位置信号、速度信号与能耗最优位置参考轨迹、速度参考轨迹的偏差，将所得偏差信号作为常规的PD(比例微分，proportional-derivative)控制器的输入信号。本发明所使用的PD控制器具体表达式如下：
其中，F代表作用在台车上的驱动力，xref,分别表示通过第1.2步求解得到的能耗最优位置参考轨迹(28)及速度参考轨迹(29)，kP,kD为待调整的正的控制增益。通过调节该控制器的控制增益，产生驱动电机的实时控制信号，控制吊车的水平运动，完成双摆吊车控制目标。
第2、实验结果与分析
为了进一步验证本发明所提出方法的有效性，按照实验步骤描述，在双摆吊车实验平台[24]上进行实验。实验中，台车质量M，吊钩质量m1，负载质量m2，吊绳长度l1，吊钩与负载质心距离l2，重力加速度g具体选取为：
M＝6.5kg,m1＝2.0kg,m2＝0.5kg
l1＝0.53m,l2＝0.4m,g＝9.8m/s2
终止条件选取为：
xf＝0.6m
约束条件选取为：
amax＝1m/s2,vmax＝0.5m/s
θ1max＝2.5deg,θ2max＝2.5deg
采样周期τ和设定的运送时间tf选取为：
τ＝0.05s,tf＝4.8s
计算可得相应的离散时间终止步数kf＝tf/τ＝960。
在实验中，式(30)中的控制增益选取如下：
kP＝750,kD＝150
附图1给出了相应的实验结果，附图1中，由上而下的子图分别刻画了台车位移、吊钩摆角以及负载摆角，其中实线代表实验结果，虚线代表数值仿真结果。点画线代表相应的约束条件，从上到下依次刻画了台车的目标位置、吊钩摆角约束、负载摆角约束。通过比较附图1中的实验结果与仿真结果可知，本发明方法的控制效果在实验与仿真中保持基本一致，证明了本方法的有效性。从附图1中可看出，利用本发明，台车在设定时间tf＝4.8s内精确地收敛至0.6m，运行过程中两级摆角均小于给定约束2.5deg，且最终有效地消除了负载与吊钩的摆动，实现了定位与消摆的控制目标，验证了本发明方法的有效性与可行性，并具有良好的控制性能。
这一系列实验结果均验证了本发明方法的有效性与可行性，并具有良好的控制性能。
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[24]N.Sun,Y.Fang,H.Chen,and B.Lu,Amplitude-saturated nonlinear outputfeedback antiswing control for underactuated cranes with double-pendulumcargo dynamics.IEEE Transactions on Industrial Electronics,64(3):2135-2146,2017。
Claims (1)
1.一种双摆吊车能耗最优轨迹规划方法，其特征在于该方法包括：
第1、根据状态量约束构造能耗最优问题
首先定义双摆吊车系统的各系统参数；M,m1,m2,l1,l2分别表示台车质量、吊钩质量、负载质量、吊绳长度、吊钩与负载质心间的距离；d1,d2表示阻尼系数；F表示作用在台车上的驱动力；x为双摆吊车系统的台车位移，为台车速度，为台车加速度，θ1为吊钩的摆角，θ2为负载的摆角，为吊钩摆角的角速度，为负载摆角的角速度，为吊钩摆角的角加速度，为负载摆角的角加速度；g表示重力加速度；对双摆吊车系统进行线性化处理后，将台车的加速度作为系统的控制输入量，定义则可将系统写成状态空间形式；其中，双摆吊车系统的状态向量定义为符号表示矩阵/向量转置；
根据双摆吊车系统定位与消摆的控制目标，考虑系统初始状态、目标状态及状态约束条件，构造如下以系统能耗为代价函数的优化问题：
其中，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件；J为系统运行过程中的总能耗，其具体表达式为F为作用在台车上的驱动力；tf表示设定的运送时间；vmax,amax表示台车速度与加速度的约束上界；θ1max,θ2max,θ1vmax,θ2vmax分别表示吊钩摆角、负载摆角、吊钩角速度、负载角速度的约束上界；控制目标为系统从初始时刻t＝0开始，由初始状态向量χ(0)到达目标状态向量χ(tf)，tf为消耗的时间，xf为台车的目标位置；
第2、将原能耗最优问题转化为凸优化问题并求解
首先，选择采样周期τ，对原系统状态空间表达式进行离散化，离散时间变量为k；则χ(k)为k时刻的离散系统状态量，χ(k+1)为k+1时刻的离散系统状态量；离散系统参数矩阵为H∈R6×6与G∈R6×1；引入辅助矩阵和其具体表达式为：
其中，kf为离散时间变量的终止步数；定义系数矩阵Ωvx 表达式如下：
Ωvx＝diag{Φvx,Φvx,…,Φvx}
其中，符号“diag{·}”表示以中括号内表达式“·”为元素的对角矩阵，Φvx,∈R1×6为单位向量，具体表达式如下：
Φvx＝[0,1,0,0,0,0]
定义辅助系数矩阵具体表达式如下：
其中，是kf阶单位矩阵；引入辅助系数向量k∈R6×1,其具体表达式为：
引入辅助向量其具体表达式为：
其中，表示kf维元素均为1的向量；引入ε∈R+为辅助变量，具体表达式为符号表示任意变量“·”的2范数的平方；
利用辅助矩阵R,K,L、辅助系数向量r,k,s1,s2及辅助变量ε，将优化问题(11)转化成如下凸优化问题的形式：
其中，min表示使最小，subject to后面为需要考虑的约束条件；kf为离散时间变量的终止步数；为待求解的控制输入序列，由每个时刻的控制输入信号u组成， 为系统能耗函数经过转化后的凸函数形式；通过求解式(26)，可得到最优的系统能耗，及相应的台车位移轨迹xop(0),xop(1),…,xop(kf-1)和速度轨迹完成轨迹规划过程；式(26)中凸优化问题可直接利用MATLAB凸优化工具箱CVX进行求解；
第3、轨迹跟踪
利用搭载于台车上的传感设备，实时测量台车位置与速度信号；通过第2步求解得到待跟踪的台车位移参考轨迹xop(0),xop(1),…,xop(kf-1)及对应的速度参考轨迹分别计算实时反馈的台车位置信号、速度信号与位置参考轨迹、速度参考轨迹的偏差；将所得偏差信号作为常规的比例微分控制器的输入信号，通过调节PD控制器的控制增益，产生驱动电机的实时控制信号，控制吊车的水平运动，完成双摆吊车控制目标。
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