CN105152017A - 三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器及方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器及方法，包括：定义台车的目标轨迹x_d、y_d，通过引入两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y，构造新的储能函数，根据所述储能函数的导数形式，设计增强耦合非线性的跟踪控制器；本发明有益效果：通过引入两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号，构造了一个新的储能函数，通过储能函数的导数形式，提出了增强耦合非线性跟踪控制方法，可对目标轨迹进行跟踪控制，并且该方法提升了控制器的暂态控制性能。

Description

三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器及方法

技术领域

本发明涉及欠驱动三维桥式吊车系统的控制技术领域，尤其涉及一种欠驱动三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器及方法。

背景技术

由于桥式吊车系统具有负载能力强、运送效率高、操作方便、能耗小等优点，现已广泛应用在建筑工地、海港、码头等重要场合。桥式吊车系统的独立控制输入的维数小于系统的待控自由度，因此是一类典型的欠驱动系统。由于省略了部分驱动器，欠驱动系统具有结构简单、重量轻、成本低的优点。然而，由于惯性和外部扰动的影响，负载会产生摆动，这会给欠驱动吊车系统的控制带来极大的挑战。目前，负载摆动的抑制与消除一般由有经验的操作人员通过降低台车的速度来实现，但这会降低吊车系统的工作效率。并且，长期连续工作易引起操作人员的疲劳，导致误操作。因此，设计高效自动消摆定位控制方法代替人工操作，提高系统的运输效率以及安全性能是具有十分重要的意义的。

为提高桥式吊车系统的安全性能以及运输效率，国内外学者开展了大量的研究，并取得了很多有意义的成果。在现有文献中，Fang等人通过分析系统的能量，提出了三种调节控制方法(PD控制方法、E²控制方法、TKE控制方法)，并得到系统状态耦合性越强，控制器的暂态性能越好的结论。基于此，Sun等人针对二维桥式吊车系统提出了一系列增强耦合非线性的调节控制方法。然而，以上调节控制方法均存在着随着目标位置变长负载摆动幅值增大的问题。并且，当分析系统状态的收敛性时，需要对系统的动力学模型进行线性化处理或者忽略一些特定项。上述研究均是针对二维桥式吊车系统提出的，相比之下，三维桥式吊车系统的状态量更多，并且各个状态之间的耦合性、非线性更强，因此其控制方法的研究更具挑战性。

为实现台车的定位与负载消摆的双重目标，现有文献提出了一系列的控制方法，比如：

通过对操作经验、系统数学分析的综合考虑，规划出一条平滑的S形轨迹，然后通过设计自适应控制器对其进行跟踪。充分考虑了系统摩擦力以及空气阻力的影响，为三维桥式吊车系统设计一种自适应轨迹跟踪控制器。通过引入势函数，保证跟踪误差始终在预先设定的范围内等等。但是以上所有的跟踪控制方法仅可保证台车的位移渐近收敛至目标轨迹、负载摆角渐近收敛至0，但无法保证吊车系统的暂态性能。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提出了一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器及方法，该方法综合考虑操作经验、系统的数学分析、物理约束、运输效率等因素，为台车选择了两条目标轨迹，所提控制方法可对目标轨迹进行跟踪控制，具有良好的控制性能以及对系统参数变化、外部扰动具有很强的鲁棒性，并且提升了控制器的暂态控制性能。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器，包括：

定义台车的目标轨迹x_d、y_d，通过引入两个反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y，构造新的储能函数，根据所述储能函数的导数形式，设计增强耦合非线性的跟踪控制器如下：

$F_x=-k_{d1}{\mathrm{\ξ}}_x-k_{p1}{\∫}_0^t{\mathrm{\ξ}}_{x}dt+f_{rx}+(m+M_x){\stackrel{\·\·}{x}}_d+\mathrm{\λ}(m+M_x)(C_x{C}_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y);$

$F_y=-k_{d2}{\mathrm{\ξ}}_y-k_{p2}{\∫}_0^t{\mathrm{\ξ}}_{y}dt+f_{ry}+(m+M_y){\stackrel{\·\·}{y}}_d+\mathrm{\γ}(m+M_y){\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y;$

其中，f_rx、f_ry为台车与桥架间的摩擦力；m、M_x以及M_y分别表示负载质量、台车质量以及台车和桥架的质量之和；S_x、C_x、S_y以及C_y分别代表sinθ_x、cosθ_x、sinθ_y以及cosθ_y；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ、γ、k_d1、k_d2、k_p1、k_p2∈R⁺为正的控制增益。

所述台车的目标轨迹具体表达式为

$x_d=\frac{p_{dx}}{2}+\frac{k_{vx}^2}{4k_{ax}}ln\[\frac{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\ϵ}}_x)}{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\ϵ}}_x-2p_{dx}{k}_{ax}/k_{vx}^2)}\];$

$y_d=\frac{p_{dy}}{2}+\frac{k_{vy}^2}{4k_{ay}}ln\[\frac{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\ϵ}}_y)}{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\ϵ}}_y-2p_{dy}{k}_{ay}/k_{vy}^2)}\];$

其中，k_vx、k_ax分别为台车在X方向上最大允许速度、加速度；k_vy、k_ay分别代表台车在Y方向上最大允许速度、加速度；p_dx、p_dy分别表示台车在X、Y方向上的目标位置；ε_x、ε_y为引入的调整参数，用于优化台车在X、Y方向上的初始加速度。

引入的两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y具体表达式为

${\mathrm{\ξ}}_x={\stackrel{\·}{e}}_x+\mathrm{\λ}g\left({\mathrm{\θ}}_x\right)f\left({\mathrm{\θ}}_y\right);$

${\mathrm{\ξ}}_y={\stackrel{\·}{e}}_y+\mathrm{\γ}\mathrm{\Ψ}\left({\mathrm{\θ}}_y\right);$

其中，e_x、e_y分别表示台车在X、Y方向上的定位误差；分别表示e_x、e_y关于时间的导数；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ,γ∈R⁺为正的控制增益；Ψ(θ_y)＝-θ_y；g(θ_x)＝sinθ_x；f(θ_y)＝-cosθ_y。

构造新的储能函数具体表达式为

$E_L\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\ξ}}^{T}M\left(q\right)\mathrm{\ξ}+mgl(1-C_x{C}_y);$

其中，ξ为新的状态变量，其表达式为

$\begin{array}{c}\mathrm{\ξ}={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\ξ}}_x& {\mathrm{\ξ}}_y& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}\right]}^T\\ ={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\·}{e}}_x+\mathrm{\λ}g\left({\mathrm{\θ}}_x\right)f\left({\mathrm{\θ}}_y\right)& {\stackrel{\·}{e}}_y+\mathrm{\γ}\mathrm{\Ψ}\left({\mathrm{\θ}}_y\right)& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_x& {\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_y\end{array}\right]}^T\end{array};$

q∈R⁴为状态量，M(q)∈R^4×4代表惯量矩阵；m表示负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度。

一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，包括以下步骤：

(1)假设在整个运输过程中，负载摆角始终在如下范围内：

-π/2<θ_x,θ_y<π/2；

其中，θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；

(2)定义台车的目标轨迹x_d、y_d以及负载摆动的目标轨迹θ_x＝0、θ_y＝0，得到三维桥式吊车系统的目标状态量；

(3)引入两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y，构造三维桥式吊车系统新的状态变量以及新的储能函数；

(4)求取所述储能函数关于时间的导数，使其包含与负载摆动θ_x、θ_y相关的信息；得到三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器；

(5)将实际检测的台车位移x、y，负载摆角θ_x、θ_y，以及台车的目标轨迹x_d、y_d的信号输入到增强耦合非线性的跟踪控制器中，输出驱动台车运动的力矩，可保证台车快速准确地跟踪上目标轨迹，同时有效地抑制并消除负载的摆动。

所述步骤(2)中定义的台车目标轨迹具体表达式为

$x_d=\frac{p_{dx}}{2}+\frac{k_{vx}^2}{4k_{ax}}ln\&lsqb;\frac{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\&epsiv;}}_x)}{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\&epsiv;}}_x-2p_{dx}{k}_{ax}/k_{vx}^2)}\&rsqb;;$

$y_d=\frac{p_{dy}}{2}+\frac{k_{vy}^2}{4k_{ay}}ln\&lsqb;\frac{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\&epsiv;}}_y)}{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\&epsiv;}}_y-2p_{dy}{k}_{ay}/k_{vy}^2)}\&rsqb;;$

其中，k_vx、k_ax分别为台车在X方向上最大允许速度、加速度；k_vy、k_ay分别代表台车在Y方向上最大允许速度、加速度；p_dx、p_dy分别表示台车在X、Y方向上的目标位置；ε_x、ε_y为引入的调整参数，用于优化台车在X、Y方向上的初始加速度。

所述步骤(2)中设定负载摆动的目标轨迹为

θ_x＝θ_y＝0；

得到三维桥式吊车系统的目标状态量为

q_d＝[x_dy_d00]^T；

所述步骤(3)中引入的两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y具体表达式为

${\mathrm{\&xi;}}_x={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right);$

${\mathrm{\&xi;}}_y={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right);$

其中，e_x、e_y分别表示台车在X、Y方向上的定位误差；分别表示e_x、e_y关于时间的导数；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ,γ∈R⁺为正的控制增益；Ψ(θ_y)＝-θ_y；g(θ_x)＝sinθ_x；f(θ_y)＝-cosθ_y。

所述步骤(3)中三维桥式吊车系统新的状态变量可写为

$\begin{array}{c}\mathrm{\&xi;}={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&xi;}}_x& {\mathrm{\&xi;}}_y& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T\\ ={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T\end{array};$

新的储能函数为

$E_L\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\&xi;}}^{T}M\left(q\right)\mathrm{\&xi;}+mgl(1-C_x{C}_y);$

其中，q∈R⁴为状态量，M(q)∈R^4×4代表惯量矩阵；m表示负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度。

所述步骤(4)中三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器具体表达式为

$F_x=-k_{d1}{\mathrm{\&xi;}}_x-k_{p1}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt+f_{rx}+(m+M_x){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}(m+M_x)(C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y);$

$F_y=-k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y-k_{p2}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt+f_{ry}+(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+\mathrm{\&gamma;}(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;$

其中，f_rx、f_ry为台车与桥架间的摩擦力；m、M_x以及M_y分别表示负载质量、台车质量以及台车和桥架的质量之和；S_x、C_x、S_y以及C_y分别代表sinθ_x、cosθ_x、sinθ_y以及cosθ_y；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ、γ、k_d1、k_d2、k_p1、k_p2∈R⁺为正的控制增益。

本发明的有益效果是：

1)本发明利用Lyapunov方法和Barbalat定理对闭环系统在平衡点处的稳定性进行了严格的理论分析，由仿真结果可知，本发明所提控制方法对绳长、目标位置、负载质量发生变化以及存在外部扰动时具有很强的鲁棒性。

2)通过将本方法与调节控制方法(PD控制方法、E²控制方法、TKE控制方法)以及自适应跟踪控制方法相比，得出本方法可提升控制器的暂态控制性能的结论。并且，本方法可保证台车的平滑启动，解决了调节控制方法存在的弊端。

3)在整个证明过程中，没有对三维桥式吊车系统的动力学模型进行任何近似或线性化处理，为控制器良好控制性能提供了理论支持。

4)本发明通过引入两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号，构造了一个新的储能函数，通过储能函数的导数形式，提出了增强耦合非线性跟踪控制方法，该方法提升了控制器的暂态控制性能。

附图说明

图1为三维桥式吊车系统模型图；

图2(a)为本发明控制方法得到的台车位移x、负载摆角θ_x(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图2(b)为本发明控制方法得到的台车位移y、负载摆角θ_y(t)、控制输入F_y(t)仿真图；

图3(a)为基于PD控制器方法得到的台车位移x、负载摆角θ_x(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图3(b)为基于PD控制器方法得到的台车位移y、负载摆角θ_y(t)、控制输入F_y(t)仿真图；

图4(a)为基于E²控制器方法得到的台车位移x、负载摆角θ_x(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图4(b)为基于E²控制器方法得到的台车位移y、负载摆角θ_y(t)、控制输入F_y(t)仿真图；

图5(a)为基于TKE控制器方法得到的台车位移x、负载摆角θ_x(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图5(b)为基于TKE控制器方法得到的台车位移y、负载摆角θ_y(t)、控制输入F_y(t)仿真图；

图6(a)为基于自适应跟踪控制器方法得到的台车位移x、负载摆角θ_x(t)、控制输入F_x(t)仿真图；

图6(b)为基于自适应跟踪控制器方法得到的台车位移y、负载摆角θ_y(t)、控制输入F_y(t)仿真图；

图7(a)和图7(b)分别为本发明方法针对不同吊绳长度的仿真结果图；

图8(a)和图8(b)分别为本发明方法针对不同负载质量的仿真结果图；

图9(a)和图9(b)分别为本发明方法针对不同目标位置的仿真结果图；

图10(a)和图10(b)分别为本发明方法针对不同外部扰动的仿真结果图。

具体实施方式：

下面结合附图与实例对本发明做进一步说明：

本发明公开了一种欠驱动三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器，包括：

定义台车的目标轨迹x_d、y_d，其中，

$x_d=\frac{p_{dx}}{2}+\frac{k_{vx}^2}{4k_{ax}}ln\&lsqb;\frac{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\&epsiv;}}_x)}{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\&epsiv;}}_x-2p_{dx}{k}_{ax}/k_{vx}^2)}\&rsqb;;$

$y_d=\frac{p_{dy}}{2}+\frac{k_{vy}^2}{4k_{ay}}ln\&lsqb;\frac{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\&epsiv;}}_y)}{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\&epsiv;}}_y-2p_{dy}{k}_{ay}/k_{vy}^2)}\&rsqb;;$

其中，k_vx、k_ax分别为台车在X方向上最大允许速度、加速度；k_vy、k_ay分别代表台车在Y方向上最大允许速度、加速度；p_dx、p_dy分别表示台车在X、Y方向上的目标位置；ε_x、ε_y为引入的调整参数，用于优化台车在X、Y方向上的初始加速度。

通过引入两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y，具体表达式为

${\mathrm{\&xi;}}_x={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right);$

${\mathrm{\&xi;}}_y={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right);$

其中，e_x、e_y分别表示台车在X、Y方向上的定位误差；分别表示e_x、e_y关于时间的导数；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ,γ∈R⁺为正的控制增益；Ψ(θ_y)＝-θ_y；g(θ_x)＝sinθ_x；f(θ_y)＝-cosθ_y。

构造新的储能函数具体表达式为

$E_L\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\&xi;}}^{T}M\left(q\right)\mathrm{\&xi;}+mgl(1-C_x{C}_y);$

其中，ξ为新的状态变量，其表达式为

$\begin{array}{c}\mathrm{\&xi;}={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&xi;}}_x& {\mathrm{\&xi;}}_y& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T\\ ={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T\end{array};$

q∈R⁴为状态量，M(q)∈R^4×4代表惯量矩阵；m表示负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度。

根据所述储能函数的导数形式，设计增强耦合非线性的跟踪控制器如下：

$F_x=-k_{d1}{\mathrm{\&xi;}}_x-k_{p1}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt+f_{rx}+(m+M_x){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}(m+M_x)(C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y);$

$F_y=-k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y-k_{p2}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt+f_{ry}+(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+\mathrm{\&gamma;}(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;$

其中，f_rx、f_ry为台车与桥架间的摩擦力；m、M_x以及M_y分别表示负载质量、台车质量以及台车和桥架的质量之和；S_x、C_x、S_y以及C_y分别代表sinθ_x、cosθ_x、sinθ_y以及cosθ_y；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ、γ、k_d1、k_d2、k_p1、k_p2∈R⁺为正的控制增益。

本发明还公开了一种欠驱动三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，包括以下内容：

1.三维桥式吊车系统动力学模型

图1为三维桥式吊车系统模型图。对于固定绳长的三维桥式吊车系统而言，其动力学模型可描述如下：

$M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+C(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})\stackrel{\&CenterDot;}{q}+G\left(q\right)=F;---\left(1\right)$

式中，q∈R⁴为状态量、M(q)∈R^4×4代表惯量矩阵、表示向心-柯氏力矩阵、G(q)∈R⁴为重力向量、F∈R⁴表示控制向量。它们的具体表达式为

q＝[xyθ_xθ_y]^T；

$M\left(q\right)=\left[\begin{array}{cccc}m+M_x& 0& {\mathrm{mlC}}_x{C}_y& -{\mathrm{mlS}}_x{S}_y\\ 0& m+M_y& 0& {\mathrm{mlC}}_y\\ {\mathrm{mlC}}_x{C}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2{C}_y^2& 0\\ -{\mathrm{mlS}}_x{S}_y& {\mathrm{mlC}}_y& 0& {\mathrm{ml}}^2\end{array}\right];$

$C(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -{\mathrm{mlS}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-{\mathrm{mlC}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y& -{\mathrm{mlC}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-{\mathrm{mlS}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{mlS}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\\ 0& 0& -{\mathrm{ml}}^2{S}_y{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y& -{\mathrm{ml}}^2{S}_y{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x\\ 0& 0& {\mathrm{ml}}^2{S}_y{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& 0\end{array}\right];$

G(q)＝[00mglS_xC_ymglC_xS_y]^T；

$F={\left[\begin{array}{cccc}{F}_x-f_{rx}& F_y-f_{ry}& -d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& -d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T;$

其中，m、M_x以及M_y分别表示负载质量、台车质量、台车和桥架的质量之和；l为吊绳长度；g为重力加速度；S_x、C_x、S_y以及C_y分别代表sinθ_x、cosθ_x、sinθ_y以及cosθ_y；F_x、F_y分别为施加于台车X、Y方向上的驱动力；f_rx、f_ry为台车与桥架间的摩擦力；d_θx、d_θy为空气阻力系数；x(t)、y(t)分别表示台车在X、Y方向上的位移；θ_x(t)表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y(t)表示负载与XZ平面的夹角。

根据摩擦力的性质，选择以下的模型近似表示台车与桥架间的摩擦力：

$\begin{array}{c}{f}_{rx}=f_{r0x}\tanh \left(\stackrel{\&CenterDot;}{x}/{\mathrm{\&eta;}}_x\right)+k_{rx}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\right|\stackrel{\&CenterDot;}{x}\\ f_{ry}=f_{r0y}\tanh \left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}/{\mathrm{\&eta;}}_y\right)+k_{ry}\left|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right|\stackrel{\&CenterDot;}{y}\end{array};---\left(2\right)$

其中f_r0i,η_i∈R⁺,k_ri∈R¹,i＝x,y,为摩擦力相关的系数。

不难证明惯量矩阵M(q)与向心-柯氏力矩阵存在下列关系：

${\mathrm{\&delta;}}^T(\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{M}\left(q\right)-C(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q}))\mathrm{\&delta;}=0,\&ForAll;\mathrm{\&delta;}\&Element;R^4;---\left(3\right)$

为便于接下来控制器的设计与稳定性分析，将(1)式写为

$(M_x+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+{\mathrm{mlC}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-{\mathrm{mlS}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{mlS}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-2{\mathrm{mlC}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{mlS}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2=F_x-f_{rx}---\left(4\right)$

$(M_y+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+{\mathrm{mlC}}_y\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{mlS}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2=F_y-f_{ry}---\left(5\right)$

${\mathrm{mlC}}_x{C}_y\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+{\mathrm{ml}}^2{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-2{\mathrm{ml}}^2{S}_y{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y+{\mathrm{mglS}}_x{C}_y=-d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}{C}_y^2\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}};---\left(6\right)$

${\mathrm{mlS}}_x{S}_y\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}-{\mathrm{mlC}}_y\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{ml}}^2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{ml}}^2{S}_y{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-{\mathrm{mglC}}_x{S}_y=-d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;---\left(7\right)$

为了安全起见，吊车实际运行时吊绳长度应保持不变，且负载摆角应保持在允许的范围内。基于此，对负载摆角作如下合理的假设。

假设1：在整个运输过程中，负载摆角应满足：

-π/2<θ_x,θ_y<π/2；(8)

2.增强耦合非线性跟踪控制器设计

在此，针对三维桥式吊车系统，提出了一种增强耦合非线性的跟踪控制方法，并且对闭环系统的稳定性进行了严格的理论分析。

台车目标轨迹的选取

为实现对台车的平稳控制，台车的运行轨迹应该为光滑连续的S形曲线或是由一系列整形过的脉冲组成。经过对操作经验、系统的数学分析、物理约束、运行效率的考虑，选择如下的轨迹作为台车的目标轨迹：

$x_d=\frac{p_{dx}}{2}+\frac{k_{vx}^2}{4k_{ax}}ln\&lsqb;\frac{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\&epsiv;}}_x)}{\cosh (2k_{ax}t/k_{vx}-{\mathrm{\&epsiv;}}_x-2p_{dx}{k}_{ax}/k_{vx}^2)}\&rsqb;;---\left(9\right)$

$y_d=\frac{p_{dy}}{2}+\frac{k_{vy}^2}{4k_{ay}}ln\&lsqb;\frac{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\&epsiv;}}_y)}{\cosh (2k_{ay}t/k_{vy}-{\mathrm{\&epsiv;}}_y-2p_{dy}{k}_{ay}/k_{vy}^2)}\&rsqb;;---\left(10\right)$

式中，k_vx、k_ax分别为台车在X方向上最大允许速度、加速度；k_vy、k_ay分别代表台车在Y方向上最大允许速度、加速度；p_dx、p_dy分别表示台车在X、Y方向上的目标位置；ε_x、ε_y的引入是为了调整、优化台车在X、Y方向上的初始加速度。

台车的目标轨迹(9)、(10)具有如下的性质：

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{x}_d\left(t\right)=p_{dx},\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{y}_d\left(t\right)=p_{dy},\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\left(t\right)=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d\left(t\right)=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\left(t\right)=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d\left(t\right)=0;---\left(11\right)$

$0\&le;{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\left(t\right)\&le;k_{vx},0\&le;{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d\left(t\right)\&le;k_{vy};---\left(12\right)$

$\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\left(t\right)\right|\&le;k_{ax},\left|{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d\left(t\right)\right|\&le;k_{ay};---\left(13\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d\&Element;L_2,{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&Element;L_2,{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d\&Element;L_2,{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d\&Element;L_2;---\left(14\right)$

在吊车运行的过程中，由于吊车系统的欠驱动特性，无法对负载的摆动进行直接的控制，只能通过台车运动与负载摆动之间的耦合关系来抑制负载的摆动，因此无法为负载的摆动规划具体的运行轨迹。因此，设定负载摆动的目标轨迹为

θ_x＝θ_y＝0；(15)

那么三维桥式吊车系统的目标状态量可写为

q_d＝[x_dy_d00]^T；(16)

增强耦合非线性的跟踪控制器设计

为促进接下来控制器的设计，定义跟踪误差为

e＝[x-x_dy-y_dθ_xθ_y]^T＝[e_xe_yθ_xθ_y]^T；(17)

其中e_x、e_y分别表示台车在X、Y方向上的定位误差。

基于吊车系统的能量形式，构造如下正定函数：

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^{T}M\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{e}+mgl(1-C_x{C}_y);---\left(18\right)$

对(18)式关于时间求导，并将(3)式代入，可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{E}\left(t\right)={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^T\&lsqb;\frac{1}{2}\stackrel{\&CenterDot;}{M}\stackrel{\&CenterDot;}{e}+\stackrel{\&CenterDot;}{M}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}\&rsqb;+{\mathrm{mglS}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{C}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x+{\mathrm{mglC}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\\ ={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^T\&lsqb;F-G+C{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_d-M{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_d\&rsqb;+{\mathrm{mglS}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x+{\mathrm{mglC}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\\ ={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x\&lsqb;F_x-f_{rx}-\left(m+M_x\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\&rsqb;+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y\&lsqb;F_y-f_{ry}-\left(m+M_y\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d\&rsqb;\\ +ml\left(S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{mlC}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2\end{array};---\left(19\right)$

由于吊车系统的欠驱动特性，的前两项并不包含与负载摆动相关的信息。为了解决这个问题，引入如下两个广义的信号：

${\mathrm{\&xi;}}_x={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right);---\left(20\right)$

${\mathrm{\&xi;}}_y={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right);---\left(21\right)$

其中，λ,γ∈R⁺为正的控制增益。

对(20)、(21)式关于时间求导，得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_x={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_x+{\mathrm{\&lambda;g}}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;---\left(22\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_y={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_y+{\mathrm{\&gamma;\&Psi;}}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;---\left(23\right)$

对(20)、(21)式关于时间积分，可得

${\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt={\&Integral;}_0^t\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&rsqb;dt=e_x+\mathrm{\&lambda;}{\&Integral;}_0^{t}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)dt;---\left(24\right)$

${\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt={\&Integral;}_0^t\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)\&rsqb;dt=e_y+\mathrm{\&gamma;}{\&Integral;}_0^t\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)dt;---\left(25\right)$

那么构造的新的状态变量可写为

$\begin{array}{c}\mathrm{\&xi;}={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&xi;}}_x& {\mathrm{\&xi;}}_y& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T\\ ={\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_x+\mathrm{\&lambda;}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y+\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T\end{array};---\left(26\right)$

受(18)式结构的启发，定义一个新的正定函数：

$E_L\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\&xi;}}^{T}M\left(q\right)\mathrm{\&xi;}+mgl(1-C_x{C}_y);---\left(27\right)$

其关于时间的导数可计算为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_L\left(t\right)={\mathrm{\&xi;}}_x\&lsqb;F_x-f_{rx}-\left(m+M_x\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}\left(m+M_x\right)\left(g^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x+g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)\&rsqb;\\ +{\mathrm{\&xi;}}_y\&lsqb;F_y-f_{ry}-\left(m+M_y\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+\mathrm{\&gamma;}\left(m+M_y\right){\mathrm{\&Psi;}}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\&rsqb;\\ +ml\left(S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{mlC}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2\\ +{\mathrm{\&lambda;mlC}}_x{C}_y{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2+{\mathrm{\&lambda;mlC}}_x{C}_{y}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\\ -{\mathrm{\&lambda;mlS}}_x{S}_y{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{\&lambda;mlS}}_x{S}_{y}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2+{\mathrm{\&gamma;mlC}}_y{\mathrm{\&Psi;}}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2\end{array};---\left(28\right)$

由假设1可知，C_y>0。因此，为保证(28)式中最后一项非正，需满足：

Ψ'(θ_y)≤0；(29)

因此选取Ψ(θ_y)的表达式如下：

$\mathrm{\&Psi;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)=-{\mathrm{\&theta;}}_y\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&Psi;}}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right)=-1;---\left(30\right)$

注意到，若选择g(θ_x)＝sinθ_x以及f(θ_y)＝–cosθ_y，有

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&lambda;mlC}}_x{C}_y{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2+{\mathrm{\&lambda;mlC}}_x{C}_{y}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\\ -{\mathrm{\&lambda;mlS}}_x{S}_y{g}^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{\&lambda;mlS}}_x{S}_{y}g\left({\mathrm{\&theta;}}_x\right)f^{\&prime;}\left({\mathrm{\&theta;}}_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2\\ =-\mathrm{\&lambda;}ml{\left(C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)}^2\&le;0\end{array};---\left(31\right)$

故本文选择g(θ_x)、f(θ_y)的表达式为

g(θ_x)＝sinθ_x,f(θ_y)＝-cosθ_y；(32)

进一步，根据(28)式的结构以及(30)、(32)的结论，设计的控制器表达式为

$F_x=-k_{d1}{\mathrm{\&xi;}}_x-k_{p1}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt+f_{rx}+(m+M_x){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}(m+M_x)(C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y);---\left(33\right)$

$F_y=-k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y-k_{p2}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt+f_{ry}+(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+\mathrm{\&gamma;}(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;---\left(34\right)$

闭环系统的稳定性分析

定理1：增强耦合非线性的跟踪控制器(33)、(34)可保证台车位移、速度、加速度渐近收敛至目标轨迹，负载摆角、角速度、角加速度渐近收敛到0，即

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\left[\begin{array}{cccccccc}x& y& \stackrel{\&CenterDot;}{x}& \stackrel{\&CenterDot;}{y}& {\mathrm{\&theta;}}_x& {\mathrm{\&theta;}}_y& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x& {\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccccccc}{x}_d& y_d& {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d& {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T;---\left(35\right)$

证明：选择以下正定函数作为Lyapunov候选函数：

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\&xi;}}^{T}M\mathrm{\&xi;}+mgl(1-C_x{C}_y)+\frac{1}{2}{k}_{p1}{\left({\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt\right)}^2+\frac{1}{2}{k}_{p2}{\left({\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt\right)}^2;---\left(36\right)$

对(36)式关于时间求导，并将(28)、(33)、(34)的结论代入可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)\\ =-k_{d1}{\mathrm{\&xi;}}_x^2-k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y^2-\mathrm{\&lambda;}ml{\left(C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)}^2+ml\left(S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\\ -{\mathrm{mlC}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2\\ \&le;-\frac{3d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}}{4}{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2+\frac{m^2{l}^2}{d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-\frac{3d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}}{4}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2+\frac{\left({\mathrm{mlS}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{mlC}}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d\right)}{d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}}-k_{d1}{\mathrm{\&xi;}}_x^2-k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y^2-\mathrm{\&lambda;}ml{\left(C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)}^2\end{array};---\left(37\right)$

对(37)式关于时间求积分，并整理可得

$V\left(t\right)\&le;V\left(0\right)-{\&Integral;}_0^t\frac{3d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}}{4}{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^{2}d\mathrm{\&tau;}+{\&Integral;}_0^t\frac{m^2{l}^2}{d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d^{2}d\mathrm{\&tau;}-{\&Integral;}_0^t\frac{3d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}}{4}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^{2}d\mathrm{\&tau;}+{\&Integral;}_0^t\frac{{\left({\mathrm{mlS}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{mlC}}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d\right)}^2}{d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}}d\mathrm{\&tau;};---\left(38\right)$

由(13)-(14)、(36)以及(38)可得

$V\left(t\right)\&Element;L_{\mathrm{\&infin;}}\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&xi;}}_x,{\mathrm{\&xi;}}_y,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y,{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt,{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt\&Element;L_{\mathrm{\&infin;}};---\left(39\right)$

由(4)-(5)、(20)-(21)、(33)-(34)以及(39)式的结论，可得

$F_x,F_y,\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x},\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y},{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x,{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y,\stackrel{\&CenterDot;}{x},\stackrel{\&CenterDot;}{y}\&Element;L_{\mathrm{\&infin;}};---\left(40\right)$

结合式(13)、(22)-(23)以及(39)-(40)，可推知

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_x,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_y\&Element;L_{\mathrm{\&infin;}};---\left(41\right)$

对(38)式整理可得

$\begin{array}{c}{k}_{d1}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_x^{2}d\mathrm{\&tau;}+k_{d2}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_y^{2}d\mathrm{\&tau;}+{\&Integral;}_0^t\frac{3d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}}{4}{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^{2}d\mathrm{\&tau;}+{\&Integral;}_0^t\frac{3d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}}{4}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^{2}d\mathrm{\&tau;}\\ \&le;V\left(0\right)-V\left(t\right)-\mathrm{\&lambda;}ml{\&Integral;}_0^t{\left(C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)}^{2}d\mathrm{\&tau;}+{\&Integral;}_0^t\frac{m^2{l}^2}{d_{{\mathrm{\&theta;}}_x}}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d^{2}d\mathrm{\&tau;}+{\&Integral;}_0^t\frac{\left({\mathrm{mlS}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{mlC}}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d\right)}{d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}}d\mathrm{\&tau;}\\ \&Element;L_{\mathrm{\&infin;}}\end{array};---\left(42\right)$

那么,由式(42)可得

${\mathrm{\&xi;}}_x,{\mathrm{\&xi;}}_y,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\&Element;L_2;---\left(43\right)$

则结合式(39)-(41)、(43)以及Barbalat定理，可得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\mathrm{\&xi;}}_x=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\mathrm{\&xi;}}_y=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y=0;---\left(44\right)$

将式(33)-(34)分别代入式(4)-(5),则(4)-(5)可改写为

$\begin{array}{c}\left(M_x+m\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+{\mathrm{mlC}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-{\mathrm{mlS}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{mlS}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-2{\mathrm{mlC}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{mlS}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2\\ =-k_{d1}{\mathrm{\&xi;}}_x-k_{p1}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt+\left(m+M_x\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}\left(m+M_x\right)C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-\mathrm{\&lambda;}\left(m+M_x\right)S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\end{array};---\left(45\right)$

$(M_y+m)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+{\mathrm{mlC}}_y{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{mlS}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2=-k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y-k_{p2}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt+(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+\mathrm{\&lambda;}(m+M_y){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;---\left(46\right)$

对式(6)-(7)、(45)-(46)进行相应的整理，可得

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=g_1+g_2;---\left(47\right)$

其中，g₁、g₂的表达式为

$g_1=\frac{\left(\begin{array}{c}-{\mathrm{mlM}}_y{C}_y^2{S}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-{\mathrm{mlM}}_y{S}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2+\left(M_y+{\mathrm{mS}}_y^2\right)\left(k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y\left(m+M_y\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-\mathrm{\&lambda;}\left(m+M_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)\\ {\mathrm{mC}}_y{S}_x{S}_y\left(\left(m+M_x\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}\left(m+M_x\right)C_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x-\mathrm{\&lambda;}\left(m+M_x\right)S_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-k_{d1}{\mathrm{\&xi;}}_x\right)\end{array}\right)}{M_x{M}_y+M_x{\mathrm{mS}}_y^2+M_y{\mathrm{mC}}_y^2};$

$g_2=\frac{\&lsqb;-{\mathrm{mgM}}_y{C}_y^2{S}_x{C}_x(M_y+{\mathrm{mS}}_y^2)-{\mathrm{mk}}_{p1}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_x{\mathrm{dtC}}_y{S}_x{S}_y-k_{p2}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt(M_y+{\mathrm{mS}}_y^2)\&rsqb;}{M_x{M}_y+M_x{\mathrm{mS}}_y^2+M_y{\mathrm{mC}}_y^2}$

由(39)-(41)、(45)可得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{g}_1=0,{\stackrel{\&CenterDot;}{g}}_2\&Element;L_{\mathrm{\&infin;}};---\left(48\right)$

由(22)可知

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_x=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;C}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x+{\mathrm{\&lambda;S}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;---\left(49\right)$

将(49)代入(44),可得如下结论：

由(44)、(48)的结论，不难得到

由拓展Barbalat定理可得

$\begin{array}{c}\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_x=0\&DoubleRightArrow;\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\mathrm{\&lambda;C}}_x{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x+{\mathrm{\&lambda;S}}_x{S}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)=0\\ \&DoubleRightArrow;\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}=0\end{array};---\left(52\right)$

同理，由(7)、(46)可得

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}={\mathrm{\&beta;}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2;---\left(53\right)$

其中：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&beta;}}_1=\frac{-k_{d2}{\mathrm{\&xi;}}_y+\mathrm{\&lambda;}\left(m+M_y\right){\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y-{\mathrm{mS}}_x{S}_y{C}_y\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+\left(m+M_y\right){\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d}{M_y+{\mathrm{mS}}_y^2}\\ {\mathrm{\&beta;}}_2=\frac{{\mathrm{mlS}}_y{C}_y^2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2-k_{p2}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt+{\mathrm{mlS}}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y^2+{\mathrm{mgC}}_x{S}_y{C}_{{}_y}^2-\frac{d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}}{l}{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y}{M_y+{\mathrm{mS}}_y^2}\end{array};---\left(54\right)$

由(40)-(41)以及(44)的结论可推知

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\mathrm{\&beta;}}_1=0,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_2\&Element;L_{\mathrm{\&infin;}};---\left(55\right)$

由式(23)可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_y=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-\mathrm{\&gamma;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y;---\left(56\right)$

将式(56)代入式(53)，可得

对(57)式而言，由于根据拓展Barbalat定理可得

$\begin{array}{c}\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&xi;}}}_y=0\&DoubleRightArrow;\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-\mathrm{\&gamma;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y\right)=0\\ \&DoubleRightArrow;\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=0\end{array};---\left(58\right)$

由(7)式可得

${\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y=\frac{{\mathrm{mlS}}_x{S}_y\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}-{\mathrm{mlC}}_y\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\mathrm{ml}}^2{S}_y{C}_y{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x^2+d_{{\mathrm{\&theta;}}_y}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y}{{\mathrm{ml}}^2}+\frac{{\mathrm{gC}}_x{S}_y}{l};---\left(59\right)$

由(8)、(39)、(44)、(52)、(58)的结论以及拓展Barbalat定理可得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_y=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{S}_y=0\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&theta;}}_y=0;---\left(60\right)$

由(6)式可得

其中

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\mathrm{\&alpha;}}_1=0,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2\&Element;L_{\mathrm{\&infin;}};---\left(62\right)$

根据式(44)以及拓展Barbalat定理可得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_x=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\mathrm{\&alpha;}}_2=0\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&theta;}}_x=0;---\left(63\right)$

将(11)、(44)、(60)式代入(20)式，易得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d=0;---\left(64\right)$

将(11)、(44)、(60)式代入(21)式，可得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\stackrel{\&CenterDot;}{y}=\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d=0;---\left(65\right)$

由(11)、(44)、(52)、(63)、(45)式的结论可得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{x}dt=0;---\left(66\right)$

整理(24),可得

由(39)、(64)以及(66)可以得到

根据Barbalat定理，有

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{e}_x=0\&DoubleRightArrow;\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }x=\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{x}_d;---\left(69\right)$

由式(11)、(44)、(58)、(60)以及(46)可得

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&xi;}}_{y}dt=0;---\left(70\right)$

由(25)式可得

根据(44)、(65)、(70)的结论，可导出

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\mathrm{\&sigma;}}_1=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&sigma;}}}_2=0,\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_y=0;---\left(72\right)$

利用拓展Barbalat定理，可知

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{e}_y=0\&DoubleRightArrow;\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }y=\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }{y}_d;---\left(73\right)$

结合式(44)、(52)、(58)、(60)、(63)-(65)、(69)以及(73)可证得定理1结论。

3.数值仿真

本小节将通过数值仿真验证所提增强耦合非线性的跟踪控制方法的有效性。首先，为验证所提控制方法的暂态控制性能，与现有的PD控制方法、E²控制方法、TKE控制方法以及自适应跟踪控制方法进行对比。紧接着将验证当吊绳长度、负载质量、目标位置发生变化时以及出现外部扰动时所设计控制器的控制效果。仿真环境为Matlab/Simulink。

系统参数定义如下：

M_x＝7kg,M_y＝7kg,m＝1.025kg,g＝9.8m/s²,

p_dx＝0.7m,p_dy＝0.5m,d_θx＝d_θy＝3,k_ax＝0.3m/s²,；

k_vx＝0.3m/s,k_ay＝0.2m/s²,k_vy＝0.2m/s

表1所示为PD控制器、E²控制器、TKE控制器、自适应跟踪控制器、本文设计控制器的控制增益。

表1控制增益

控制器

kp1

kd1

kp2

kd2

λ

γ

kE

kv

PD控制器

25

25

18

35

NA

NA

NA

NA

E2控制器

15

18

15

18

NA

NA

1

1

TKE控制器	40	25	40	25	NA	NA	1	1
									自适应跟踪控制器	20	30	50	50	NA	NA	NA	NA
所设计控制器	50	50	100	30	0.4	0.5	NA	NA

仿真1：对比实验：仿真结果如图2(a)-图6(b)所示。由图2(a)-图6(b)可知这五种控制器均可驱动台车至目标位置。所设计控制器负载摆动的幅值最小，并且当台车停止运行时，无残余摆动。由图3(a)和图3(b)可知，PD控制器有明显的残余摆动，使得系统能耗大大增加。

表2仿真1：控制性能比较

表2中包含如下性能指标：

1)p_fx、p_fy分别表示台车在X、Y方向上最终到达的位置。

2)θ_xmax、θ_ymax代表负载的最大摆幅。

3)θ_xres、θ_yres表示负载的残余摆角。

4)F_xmax、F_ymax分别代表台车在X、Y方向上最大驱动力。

5)t_sx表示摆角θ_x进入范围|θ_x|≤0.5°的时间；t_sy表示摆角θ_y进入范围|θ_y|≤0.5°的时间。

6)分别代表台车在X、Y方向上的能耗。

仿真2：鲁棒性实验。共进行四组仿真测试，其中第一组仿真为验证所提控制方法对不同绳长的鲁棒性，考虑l＝0.7m,0.4m,2m三种情形；第二组仿真考虑m＝1.025kg,2kg,4kg三种情况验证了所提控制算法对不同负载质量的鲁棒性；第三组仿真为测试所提控制方法对不同目标位置的鲁棒性，考虑p_dx＝0.7m,1.2m,2m,p_dy＝0.5m,1m,1.7m三种情况；最后，第四组仿真将测试在不同外部扰动下本方法的控制效果。这四组仿真的控制增益如表1所示。

仿真结果如图7(a)-图10(b)所示。由图7(a)-图10(b)可知，所设计控制器在不同绳长、负载质量、目标位置、外部扰动的情况下仍可精确地驱动台车至目标位置，同时有效地抑制并消除负载摆动。并且，由图9(a)和图9(b)可知负载摆动的幅值并未随着目标位置的变长而增大，表示所提控制算法可解决调节控制方法的缺点。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (10)

1.一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器，其特征是，包括：

一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器，包括：

定义台车的目标轨迹x_d、y_d，通过引入两个反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y，构造新的储能函数，根据所述储能函数的导数形式，设计增强耦合非线性的跟踪控制器如下：

其中，f_rx、f_ry为台车与桥架间的摩擦力；m、M_x以及M_y分别表示负载质量、台车质量以及台车和桥架的质量之和；S_x、C_x、S_y以及C_y分别代表sinθ_x、cosθ_x、sinθ_y以及cosθ_y；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ、γ、k_d1、k_d2、k_p1、k_p2∈R⁺为正的控制增益。

2.如权利要求1所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器，其特征是，所述台车的目标轨迹具体表达式为

其中，k_vx、k_ax分别为台车在X方向上最大允许速度、加速度；k_vy、k_ay分别代表台车在Y方向上最大允许速度、加速度；p_dx、p_dy分别表示台车在X、Y方向上的目标位置；ε_x、ε_y为引入的调整参数，用于优化台车在X、Y方向上的初始加速度。

3.如权利要求1所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器，其特征是，引入的两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y具体表达式为

其中，e_x、e_y分别表示台车在X、Y方向上的定位误差； 分别表示e_x、e_y关于时间的导数；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ,γ∈R⁺为正的控制增益；Ψ(θ_y)＝-θ_y；g(θ_x)＝sinθ_x；f(θ_y)＝-cosθ_y。

4.如权利要求3所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器，其特征是，

构造新的储能函数具体表达式为

其中，ξ为新的状态变量，其表达式为

q∈R⁴为状态量，M(q)∈R^4×4代表惯量矩阵；m表示负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度。

5.一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，其特征是，包括以下步骤：

(1)假设在整个运输过程中，负载摆角始终在如下范围内：

-π/2＜θ_x,θ_y＜π/2；

其中，θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；

(2)定义台车的目标轨迹x_d、y_d以及负载摆动的目标轨迹θ_x＝0、θ_y＝0，得到三维桥式吊车系统的目标状态量；

(3)引入两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y，构造三维桥式吊车系统新的状态变量以及新的储能函数；

(4)求取所述储能函数关于时间的导数，使其包含与负载摆动θ_x、θ_y相关的信息；得到三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器；

(5)将实际检测的台车位移x、y，负载摆角θ_x、θ_y，以及台车的目标轨迹x_d、y_d的信号输入到增强耦合非线性的跟踪控制器中，输出驱动台车运动的力矩，使得台车准确跟踪目标轨迹，同时抑制负载的摆动。

6.如权利要求5所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，其特征是，所述步骤(2)中定义的台车目标轨迹具体表达式为

其中，k_vx、k_ax分别为台车在X方向上最大允许速度、加速度；k_vy、k_ay分别代表台车在Y方向上最大允许速度、加速度；p_dx、p_dy分别表示台车在X、Y方向上的目标位置；ε_x、ε_y为引入的调整参数，用于优化台车在X、Y方向上的初始加速度。

7.如权利要求5所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，其特征是，所述步骤(2)中设定负载摆动的目标轨迹为

θ_x＝θ_y＝0；

得到三维桥式吊车系统的目标状态量为

q_d＝[x_dy_d00]^T。

8.如权利要求5所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，其特征是，所述步骤(3)中引入的两个可反映台车速度与负载摆动信息的广义信号ξ_x、ξ_y具体表达式为

其中，e_x、e_y分别表示台车在X、Y方向上的定位误差； 分别表示e_x、e_y关于时间的导数；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ,γ∈R⁺为正的控制增益；Ψ(θ_y)＝-θ_y；g(θ_x)＝sinθ_x；f(θ_y)＝-cosθ_y。

9.如权利要求8所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，其特征是，所述步骤(3)中三维桥式吊车系统新的状态变量为

新的储能函数为

其中，q∈R⁴为状态量，M(q)∈R^4×4代表惯量矩阵；m表示负载质量；l为吊绳长度；g为重力加速度。

10.如权利要求5所述的一种三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制方法，其特征是，所述步骤(4)中三维桥式吊车系统增强耦合非线性跟踪控制器具体表达式为

其中，f_rx、f_ry为台车与轨道间的摩擦力；m、M_x以及M_y分别表示负载质量、台车质量以及台车和桥架的质量之和；S_x、C_x、S_y以及C_y分别代表sinθ_x、cosθ_x、sinθ_y以及cosθ_y；θ_x表示负载在XZ平面的投影与轴线所形成的夹角；θ_y表示负载与XZ平面的夹角；λ、γ、k_d1、k_d2、k_p1、k_p2∈R⁺为正的控制增益。