CN105700536A - 基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法,其具体步骤如下：一、建立系统动力学模型；二、自适应滑模控制器设计；三、高阶滑模观测器设计；四、MATLAB数值仿真分析。通过仿真结果分析证明了本发明的控制方法有效的抑制了系绳的空间摆动，并消除了绳系点偏置带来的主动星姿态耦合运动，控制律具有较好的鲁棒性，在此类空间任务中具有广泛的应用前景。

Description

基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法

技术领域

本发明涉及一种空间目标绳系拖曳离轨过程中，主动星与目标星处于自由伴飞状态时的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，属于航天工程中绳系卫星技术领域。

背景技术

空间目标的绳系拖曳离轨技术是航天工程界提出的一种新型辅助离轨策略，面向的应用对象包括空间碎片、废弃卫星等空间垃圾处理以及非合作目标的轨道转移等。绳系拖曳离轨的一般过程是由携带飞网等捕获设备的主动星通过轨道机动靠近目标星，释放展开飞网进行捕获，随后通过卷扬机构控制收紧系绳形成拖曳系统，进而依靠主动星的轨道机动实现目标的变轨操作。

主动星、绳系、拖曳目标形成的联合体是一类特殊的空间绳系系统(TetheredSatelliteSystem，TSS)，TSS技术作为一项可能改变整个航天系统面貌的关键技术，在各种航天任务中具有广泛的用途。相比传统的变轨方式，绳系拖曳变轨具有如下的优点：1)无需在目标上附加推进设备，避免对接等危险操作；2)利用绳系的长度，可以实现远距离捕获，避免碰撞危险；3)利用绳系的柔性及绳长可变性进行缓冲，可以容忍目标更大的速度和位置误差；4)绳系拖曳可以减小捕获后目标对主动星姿态的扰动。

目前对于空间目标绳系拖曳技术的研究多集中于目标捕获阶段，对于拖曳变轨阶段的动力学与控制相关研究还处于起步阶段。在空间目标绳系拖曳过程中，由于主动星的机动，可能引起系统状态包括系绳张力，星间相对速度等参数的突变，从而造成系绳的松弛、缠绕及星体间碰撞等风险，这对系绳的摆振和绳端星姿态控制都提出了一定的要求。

本发明正是针对这一难点问题，提出一种应用于空间绳系系统拖曳离轨过程的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，旨在为此类空间任务的设计和系统仿真提供可靠方法和依据。

发明内容

本发明的目的是针对同步轨道目标航天器，提出一种利用绳系拖曳至坟墓轨道的离轨过程主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，保证系统在霍曼变轨第一次脉冲和第二次脉冲之间的自由飞行过程中，不会出现可能的两种失效或不安全状态，即系绳的缠绕和主动星与目标星的碰撞，同时保持主动星姿态稳定。

本发明的技术方案：

本发明设计了一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法,具体步骤如下：

步骤一、建立系统动力学模型

首先，建立轨道坐标系S_o：z轴沿地心连线方向由地球指向TSS质心，x轴位于TSS质心轨道平面内与z轴垂直并指向轨道运动方向，y轴遵循右手准则。为描述绳端卫星姿态运动，另外定义TSS本体坐标系S_b，z轴沿着系绳指向主星，x轴垂直系绳且在轨道平面内，三轴单位矢量依次为e_bx，e_by和e_bz，两个坐标系的转换关系为

S_o系到S_b系的坐标转换矩阵为

为方便书写，将正弦函数sin和余弦函数cos分别简写为S和C。本发明中对三角函数关系较复杂的公式都做此处理。

定义主动星本体坐标系S_b1：记S_b1相对轨道坐标系S_o的滚动、俯仰和偏航角分别为θ₁、ψ₁(3-1-2旋转顺序)，当姿态角为零时，主动星本体坐标系与轨道坐标系重合。

为进行控制律设计，必须先得到控制对象的动力学模型，本发明中飞网拖曳系统的动力学建模参照了常用的TSS系统建模方法。

为突出关键问题，得到便于控制分析的模型，对其进行如下假设：

a、忽略目标星的姿态运动，将其视为质点；

b、主要考虑系绳和主星的面内姿态运动，即主星的滚转角、偏航角，系绳的面外摆角为小角度；

c、不考虑系绳的弹性和质量；

d、主动星具有推力控制和力矩控制，推力过质心；

e、忽略除重力外的其余空间干扰力作用。

利用上述假设，整个飞网拖曳系统可以由包含系绳长度l，系绳面内摆角系绳面外摆角θ和主动星姿态θ₁和ψ₁来描述，将动力学方程线性化，消去高阶项可以得到系统的动力学方程。

①关于系绳的绳长l：

②关于系绳面内摆角

③关于系绳面外摆角θ：

④主动星的姿态动力学和运动学方程为：

$I_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1+{\mathrm{\ω}}_1\×I_1{\mathrm{\ω}}_1=d_1\×F_{te}+T_1+T_{G1}---\left(6\right)$

其中R_c为TSS质心位矢；m₁，m₂分别为主星、子星的质量，m为系统总质量；l为绳长矢量；d₁为主星系绳安装点相对于质心的位置矢量，即文献中常见的绳系点偏置矢量，ω_o为轨道角速度；ω₁为主星的绝对角速度，μ为引力常数，l₀为系绳原长；和θ是绳的面内和面外摆角；I₁表示主星和子星在本体系中的惯性张量；F_te为系绳张力，方向沿系绳方向由主星指向子星，即与TSS本体系轴e_bz方向相反；T₁为主星上的控制力矩；下标x、y、z表示在S_b1坐标系相应轴的投影。

其中T_G1是主动星的重力梯度力矩，可以写为如下形式：

Q_θ为主动星推力对应于各变量的广义力，包括除球形地球引力外的其他广义摄动力的作用。根据广义力计算公式可以得到，对应于主动星推力F的广义力为

$Q_{q_i}=F\·\frac{\∂r}{\∂q_i}---\left(9\right)$

其中为虚位移。

引入主动星控制力P_m，在系绳本体坐标系中表示为[0F_outF_in]^T，(轨道坐标系到系绳本体坐标系的坐标转换矩阵见式(2)。即F_in沿着系绳方向，F_out垂直系绳方向，如此施加控制力可以使各通道解耦。

利用广义力计算公式(9)可得

$Q_{l,P_m}=m_2{m}^{-1}{F}_{in}---\left(10\right)$

$Q_{\mathrm{\θ},P_m}=-m_2{m}^{-1}{\mathrm{lF}}_{out}---\left(12\right)$

F_d,l、和F_d,θ是绳系点偏置耦合力，形式比较复杂，此文中未详细给出，已有的偏置控制律正是通过这些耦合力对TSS状态进行控制。为简化偏置耦合力，假定绳系点在主动星的正下方，即仅偏置向量的分量d_1z不等于0，此时TSS的平衡状态为主动星姿态角为0，且系绳沿当地铅垂方向。实际拖曳任务中，若绳系点有偏差，而张力可测，则可通过力矩补偿方式使TSS的平衡状态不变。另外，将任务目标限定于将同步轨道目标航天器拖曳至坟墓轨道，即将轨道高度提升300公里以上，则变轨过程中轨道偏心率很小，可以认为是圆轨道。在偏置耦合力当中引入上述假设，并忽略包括二阶导数在内的高阶小量，可得偏置耦合力的计算公式为：

将上述各量代入动力学方程式(3)至(6)，并将其在平衡状态

附近展开线性化，最终得到：

其中F_in和F_out分别为主动星的面内和面外推力，为处理方便，采用如下的时间和长度无量纲单位：

$\begin{array}{cc}\hat{t}={\mathrm{\ω}}_{o}t,& \mathrm{\Λ}={\mathrm{ll}}_t^{-1}\end{array}$

其中l_t为单位绳长，可取为变轨前的TSS绳长。

则系统动力学方程进一步简化为：

其中为考虑主动星控制力后的等效张力。

动力学方程各通道之间仍存在耦合，例如主动星的姿态控制与传统卫星控制相比，其姿态运动受到系绳张力的影响，影响大小不仅和张力大小有关，也和系绳摆角及主动星姿态角相关。考虑到动力学建模过程中所做简化而带来的不确定性，所设计的控制器必须具备一定的鲁棒性。本发明采用自适应滑模控制器+滑模观测器的控制方法对各通道进行控制器设计，下文详细给出控制器设计过程。

步骤二、自适应滑模控制器设计

对于实际系统而言，系统的聚合扰动是和系统的状态相关的，事先无法估计其上界。若采用保守的办法确定一个较大的上界，又容易造成控制器的颤振以及控制器能量的不必要增大。因此为解决聚合扰动上界难以准确估计的问题，在这里设计自适应滑模控制器。

对于标准系统

$\stackrel{\·\·}{x}=u+\mathrm{\Δ}u---\left(28\right)$

Δu为聚合扰动项，包括内扰动，即系统参数的不确定性和外扰动，即外输入的不确定性。系统控制任务为，将广义位移和广义速度控制到零，即

$\begin{array}{cc}\underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }x=0,& \underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }\stackrel{\·}{x}=0\end{array}---\left(29\right)$

显然系统是可控的。采用以下方法设计滑模控制器。

首先设计线性滑模切换函数

$S=\stackrel{\·}{x}+\mathrm{\λ}x---\left(30\right)$

其中λ＞0。

考虑采用如下形式的自适应滑模控制器

$u=-K_{D}S-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{x}-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}sign\left(S\right)---\left(31\right)$

式中为自适应切换增益，可以采用如下自适应估计律计算

$\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\left|S\right|---\left(32\right)$

其中κ＞0为切换增益的自适应增益变化敏感系数，其值越小，自适应增益变化得越快。(32)式的原理可以简单叙述为：以状态偏离滑动面的大小作为自适应切换增益的变化速度依据，只要系统状态不在滑动面上，切换增益便持续增加；系统运动轨迹偏离滑动面越大，自适应切换增益增大越快，这样，系统的干扰抑制能力得到增强，趋势系统状态更快的运动到滑动面。

上述自适应滑模控制器虽然是稳定的，但仍然存在一些问题：1)由于控制律中存在符号函数sign(*)，控制量在滑动面附近是不连续的，从而造成系统的颤振；2)由于控制器的颤振及各种误差影响，系统的运动无法完全的收敛到滑动面上，这样在自适应律(32)的作用下，增益会不断地增大；相应的，控制量也会随之增大，直到超出执行机构输出能力。若控制时间较长，还可能发生控制算法的发散；3)切换增益完全由自适应算法确定，若系统的干扰变化较快，则可能造成切换增益不能及时抑制扰动，进而影响系统动态性能。

为解决控制器的颤振及自适应增益持续增大的问题，将自适应滑模控制律(31)及自适应律(32)改进为以下形式

$u=-K_{D}S-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{x}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})sat\left(S\right)---\left(33\right)$

式中通常取为一较小的常数；ε₀＞0为切换增益中的常值部分，用以进一步增强系统对干扰的鲁棒性。sat(*)为饱和函数，定义为

$sat\left(S\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S}{r},& ({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S\≤r\\ sign\left(S\right),& ({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S>r\end{array}\right.---\left(35\right)$

式中r为边界层厚度。其值越小，饱和函数的特性越接近符号函数，相应的控制误差也越小，但产生颤振的可能越大。其越大，颤振可能性越小，但控制误差会增大。也可采用反正切函数tanh(*)来代替符号函数，相较而言，反正切函数可以使得控制器在滑动面附近更加的平滑。反正切自适应滑模控制律为

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\Λ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(36\right)$

其中η为反正切敏感系数，其值越大，反正切函数性能越接近符号函数，但是过大的η也会导致颤振。

该系统是一致有界稳定的。系统的误差界于控制参数和r的选取有关。和r的取值越小，系统的控制误差越小；但过小的r会导致系统颤振，过小的会导致自适应增益持续增大。在避免这两种情况的前提下，两参数的取值越小越好。

结合上述内容，各通道控制器设计如下：

a、绳长Λ

基于动力学方程式(22)，绳长通道方程可写为：

(M₀+ΔM)Λ″＝f_c+f_d+f_non(37)

其中M₀＝1；f_c为广义控制量：

f_d为空间干扰力影响项；f_non为高阶非线性项。绳长通道为追踪控制，式(37)可进一步写为聚合扰动形式的追踪误差方程：

ΔΛ″＝u+Δu-Λ″_c(39)

其中ΔΛ＝Λ-Λ_c，Λ_c为系绳面内摆角控制所期望的绳长变化律，将在系绳面内摆角通道设计，此外

$u=\frac{f_c}{M_0}$

$\mathrm{\Δ}u=\frac{-{\mathrm{\ΔMf}}_c}{M_0(M_0+\mathrm{\Δ}M)}+\frac{f_d}{(M_0+\mathrm{\Δ}M)}+\frac{f_{non}}{(M_0+\mathrm{\Δ}M)}$

首先设计线性滑模切换函数：

S_Λ＝ΔΛ′+λ_ΛΔΛ(40)

其中S_Λ和λ_Λ的下标表明此为绳长通道的参数值，简明起见，下文叙述中如无歧义将忽略表明通道的下标。

根据改进自适应滑模控制器式(36)和(34)可得绳长通道的控制律和自适应分别为：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\Δ\Λ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)+{\mathrm{\Λ}}_c^{\′\′}---\left(41\right)$

将式(38)代入式(41)可得等效的张力控制律为：

若

若

即控制器在所需张力为负时放松系绳，转由主动星控制力实现系绳的绳长变化。

b、系绳面内摆角

基于动力学方程式(23)，面内摆角通道方程可写为：

其中M₀＝1

整理为聚合扰动形式：

首先设计线性滑模切换函数：

然后得到系绳面内摆角通道的控制律和自适应律为：

将式(45)代入式(48)可得等效的绳长速率控制律为：

式(50)即绳长通道所需跟踪的绳长变化速率，期望的绳长可由式(50)积分得到，而期望的绳长加速率可由式(50)微分得到。

c、系绳面外摆角θ

基于动力学方程式(24)，面内摆角通道方程可写为：

(M₀+ΔM)θ″＝f_c+f_d+f_non(51)

其中M₀＝1

整理为聚合扰动形式：

θ″＝u+Δu(53)

首先设计线性滑模切换函数：

S＝θ′+λθ(54)

然后得到系绳面外摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\θ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(55\right)$

将式(52)代入式(55)可得等效的主动星面外控制律为：

d、主动星滚转角

基于动力学方程式(25)，主动星滚转角方程可写为：

其中注意到，由于轨道角速度很小，姿态动力学中的轨道角速度相关项可全部并入高阶项f_non，而重力梯度项可并入外干扰项f_d，因此有：

主星滚转角通道为跟踪控制，将式(58)整理为聚合扰动形式的跟踪误差方程：

其中 为系绳面外摆角控制所期望的主动星滚转角，即式(57)。期望的主动星滚转角速度和角加速度可由式(57)分别微分一次和两次得到。

首先设计线性滑模切换函数：

则主动星滚转角通道的控制律和自适应律为：

将式(59)代入式(62)可得等效的主动星滚转控制力矩为：

e、主动星俯仰角θ₁

基于动力学方程式(26)，主动星俯仰角通道方程可写为：

(M₀+ΔM)θ″₁＝f_c+f_d+f_non(65)

其中方程右侧同滚转角通道处理得到：

整理为聚合扰动形式：

θ″₁＝u+Δu(67)

首先设计线性滑模切换函数：

S＝θ′₁+λθ₁(68)

然后得到面内摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\θ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(69\right)$

将式(66)代入式(69)可得等效的主动星俯仰控制力矩为：

f、主动星偏航角ψ₁

基于动力学方程式(27)，主动星偏航角通道方程可写为：

(M₀+ΔM)ψ″₁＝f_c+f_d+f_non(72)

其中方程右侧同滚转角通道处理得到：

$f_c={\stackrel{\‾}{T}}_{1z}---\left(73\right)$

整理为聚合扰动形式：

ψ″₁＝u+Δu(74)

首先设计线性滑模切换函数：

S＝ψ′₁+λψ₁(75)

然后得到面内摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\ψ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(76\right)$

将式(73)代入式(76)可得等效的主动星滚转角控制律为：

${\stackrel{\‾}{T}}_{1z}={\stackrel{\‾}{I}}_{1z}\[-K_{D}S-{\mathrm{\λ\ψ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)\]---\left(78\right)$

步骤三、高阶滑模观测器设计

尽管控制器精度可以通过调节控制器参数的方法实现，但是参数调节过度则容易引起控制器颤振问题。也就是说，控制精度与控制器的颤振之间存在矛盾。

为尽量避免颤振，并在此前提下提高控制器精度，则需要对系统的扰动加以补偿，而这需要采用合理的技术对系统扰动进行估计。为此，考虑设计高阶滑模观测器，用以估计系统的不确定聚合扰动Δu，然后在控制器中加以补偿。通过这种方法，可以进一步提高控制系统精度。

高阶滑模观测器在估计聚合扰动的同时，还可以估计系统的速度，并用于反馈。这样，系统的控制方案中仅需对位移进行测量即可，而无需速度测量，这可以大大简化系统配置，或作为速度测量无法实现时的有效备份方案。

对于标准系统

$\stackrel{\·\·}{x}=u+\mathrm{\Δ}u---\left(79\right)$

假定系统位移x和控制量u可测，观测器的设计目的为：以x和u为输入，估计系统的聚合扰动Δu及速度若记聚合扰动Δu及速度的观测量分别为和则观测器的设计目标是在有限的时间内使

观测器算法

首先将系统(79)，重新写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=u+\mathrm{\Δ}u\end{array}\right.---\left(80\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x\\ x_2=\stackrel{\·}{x}\end{array}\right.---\left(81\right)$

在此基础上，高阶滑模观测器可写为如下形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\mathrm{\χ}}_1\\ {\mathrm{\χ}}_1={\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2-{\mathrm{\γ}}_3{\left|{\hat{x}}_1-x_1\right|}^{2/3}sign({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=u+\mathrm{\Δ}\hat{u}\\ \mathrm{\Δ}\hat{u}=-{\mathrm{\γ}}_2{\left|{\hat{x}}_2-{\mathrm{\χ}}_1\right|}^{1/2}sign({\hat{x}}_2-{\mathrm{\χ}}_1)+{\hat{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_3=-{\mathrm{\γ}}_{1}sign({\hat{x}}_3-\mathrm{\Δ}\hat{u})\end{array}\right.---\left(82\right)$

其中γ₁＞0，γ₂＞0和γ₃＞0为观测器参数。对于式(82)给出的高阶滑模观测器，假设系统位移x和控制量u有界并且lebesgue可测，则通过选择合适的观测器参数，可以使得状态观测值以及扰动估计值在有限的时间内收敛到其真实值。

如前文所述，观测器的作用在于通过系统位置和控制信号的输入，为控制器提供系统速度和未知扰动的估计值。同时，观测器可以证明是稳定的。

步骤四、MATLAB数值仿真分析

本发明数值仿真软件的编写平台为Matlab的Simulink平台，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值仿真软件。

结合上述发明内容，研究实现数值仿真的算法，设计软件编写逻辑，编写计算软件。通过合理的算例设计，结合仿真结果对本发明所设计的主动星姿态系绳摆振联合控制律的控制效果进行分析。

其中，在步骤一中所述的“常用的TSS建模方法”，是指整个绳系卫星系统可以由系统变量包括主动星的姿态，系绳的绳长，面内摆角和面外摆角来描述。

关于系绳长度l：

关于系绳面内摆角

关于系绳面外摆角θ：

姿态动力学方程由动量矩定理得到：

$I_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1+{\mathrm{\ω}}_1\×I_1{\mathrm{\ω}}_1=d_1\×F_{te}+T_1+T_{1d}---\left(86\right)$

上述的常用TSS建模方法是本技术领域常用的技术手段，过程这里就不在赘述了。

其中，在步骤一中所述的假设条件b“系绳的面外摆角为小角度”，是考虑到从系绳的动力学方程中可以看出系绳的摆动不仅和星体姿态运动耦合(F_d,l，和F_d,θ)，也和联合体的轨道运动耦合(ω_o)，且是一组高度非线性的方程组，控制器设计非常困难，所以需要从动力学的角度进行简化。考虑到飞网拖拽过程中轨道要素慢变，将系绳摆动和轨道运动解耦是合理的。从控制器设计的角度，要尽量选择不依赖于模型的控制器，即控制器必须具有较强的自适应能力或鲁棒性。

其中，在步骤一中所述的假设条件c“不考虑系绳的弹性和质量”，是因为考虑两者建立动力学方程变得异常复杂，不利于控制律设计，同时绳系拖曳系统中系绳较短，系绳刚度较大，系绳质量和弹性变形的影响很小。忽略系绳的弹性和质量是合理的。

其中，在步骤二中所述的“上述自适应滑模控制器虽然是稳定的”，控制律的稳定性可以用如下的方法证明：

构造一个正定无界的Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{S}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\κ\Δ\ϵ}}^2---\left(87\right)$

式中

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}=\widetilde{\mathrm{\ϵ}}-\mathrm{\ϵ}---\left(88\right)$

即为自适应增益误差。

对式(87)求时间导数可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S\stackrel{\·}{S}+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}\\ =S\[-K_{D}S-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}sign\left(S\right)+\mathrm{\Δ}u\]+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}\\ =-K_D{S}^2-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}Ssign\left(S\right)+S\mathrm{\Δ}u+(\widetilde{\mathrm{\ϵ}}-\mathrm{\ϵ})\left|S\right|\\ =-K_D{S}^2+S\mathrm{\Δ}u-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2+\left|S\right|\left|\mathrm{\Δ}u\right|-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2+\left|S\right|{\left|\mathrm{\Δ}u\right|}_{\max }-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ =-K_D{S}^2+\left({\left|\mathrm{\Δ}u\right|}_{\max }-\mathrm{\ϵ}\right)\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2\≤0\end{array}---\left(89\right)$

由此可见V随时间减小，最终趋向于0，而由式(87)，S也将趋向于0，即滑动面的到达运动是稳定，由于滑动面本身定义无改变，如定常增益滑模控制器中证明所述，滑动面的运动也是稳定的，即控制器的稳定性得到证明。

需要注意的是，由于上述分析不能证明即自适应增益未必会收敛于干扰上界，但这并不影响系统的稳定性。

其中，步骤二中所述的“该系统是一致有界稳定的”，控制律的稳定性可以用如下的方法证明：

构造一个正定无界的Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{S}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\κ\Δ\ϵ}}^2---\left(90\right)$

其时间导数为

$\stackrel{\·}{V}=S\stackrel{\·}{S}+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}---\left(91\right)$

当时控制律和(31)相同，其稳定性已经得到证明，当

考察其中的项，此项是有关的一个二次函数。记则者一项可以写为

$f\left(y\right)=-\frac{y^2}{r}+y---\left(93\right)$

由于此函数显然有最大值，对f(y)求导可得

$\frac{df\left(y\right)}{dy}=1-\frac{2y}{r}---\left(94\right)$

其最大值在导数为0，即此时最大值可以计算得到

$f\left(y\right){|}_{max}=\frac{r}{4}---\left(95\right)$

将式(95)代入式(92)可得

其中

可知系统是一致有界稳定的。

反正切函数取代符号函数的控制律稳定性证明不再具体给出。

其中，步骤三中所述的“同时，观测器可以证明是稳定的”，其稳定性证明如下：

稳定性证明可以基于一般的n阶系统，无需限于二阶系统。对于如下动力学系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ ...\\ x_n=f(t,x)+b_{1}u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(97\right)$

其中x∈Rⁿ为系统状态变量，u∈R为控制输入，b₁为控制输入参数，可任意调节，f(t,x)为系统内有关时间t和状态x的函数，一般未知。系统(97)可可以写为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=Ax+B\[f(t,x,{\mathrm{\Δ}}_u)+b_{0}u\]\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(98\right)$

其中b₀为系统的控制输入增益的标称值，Δ_u＝b₁-b₀为输入的不确定值，f(t,x,Δ_u)为内扰动和外扰动之和，即聚合扰动项。A，B，C的表达式分别如下：

对系统(97)，使用如下的观测器形式对该系统进行观测：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1=v_1\\ v_1=-{\mathrm{\λ}}_{n+1}{L}^{1/(n+1)}{\left|{\hat{x}}_1-x_1\right|}^{n/(n+1)}sign({\hat{x}}_1-x_1)+{\hat{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=v_2\\ v_2=-{\mathrm{\λ}}_n{L}^{1/n}{\left|{\hat{x}}_2-v_1\right|}^{n-1/n}sign({\hat{x}}_2-v_1)+{\hat{x}}_3\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n-1}=v_{n-1}\\ v_{n-1}=-{\mathrm{\λ}}_3{L}^{1/3}{\left|{\hat{x}}_{n-1}-v_{n-2}\right|}^{2/3}sign({\hat{x}}_{n-1}-v_{n-2})+{\hat{x}}_n\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_n=\hat{f}+b_{0}u\\ \hat{f}=-{\mathrm{\λ}}_2{L}^{1/2}{\left|{\hat{x}}_n-v_{n-1}\right|}^{1/2}sign({\hat{x}}_n-v_{n-1})+{\hat{x}}_{n+1}\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n+1}=-{\mathrm{\λ}}_{1}L{\left|{\hat{x}}_{n+1}-\hat{f}\right|}^{1/2}\end{array}\right.---\left(99\right)$

式中为状态变量x_i的观测值，为对不确定函数变量f(t,x,Δ_u)的估计值，λ_i(i＝1,2,...,n)为观测器参数，L为Lipshitz常数，且满足显然，当n＝2时，式(99)给出的观测器即为本研究采用的观测器式(82)。

为证明在有限的时间内状态观测值与扰动估计收敛到真实值，首先定义：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_1-x_1\\ {\mathrm{\ζ}}_2={\hat{x}}_2-x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_n-x_n\\ {\mathrm{\ζ}}_{n+1}={\hat{x}}_{n+1}-f(t,x,\mathrm{\Δ}u)\end{array}\right.---\left(100\right)$

根据上述定义，由式(98)和(99)可得

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_2-v_1={\hat{x}}_2-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1={\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1\\ {\hat{x}}_3-v_2={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2={\mathrm{\ζ}}_3-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\hat{x}}_n-v_{n-1}={\hat{x}}_n-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n-1}={\hat{x}}_n-{\stackrel{\·}{x}}_{n-1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}={\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}\\ {\hat{x}}_{n+1}-\hat{f}={\hat{x}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_n+b_{0}u={\hat{x}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{x}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n+b_{0}u={\hat{x}}_{n+1}-f-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n={\mathrm{\ζ}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n\end{array}\right.---\left(101\right)$

利用上式，可将观测器(99)改写为以下形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1=-{\mathrm{\λ}}_{n+1}{L}^{1/(n+1)}{\left|{\mathrm{\ζ}}_1\right|}^{n/(n+1)}sign\left({\mathrm{\ζ}}_1\right)+{\mathrm{\ζ}}_2\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2=-{\mathrm{\λ}}_n{L}^{1/n}{\left|{\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1\right|}^{(n-1)/n}sign({\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1)+{\mathrm{\ζ}}_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n=-{\mathrm{\λ}}_2{L}^{1/2}{\left|{\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}\right|}^{1/2}sign({\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1})+{\mathrm{\ζ}}_{n+1}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n+1}\∈-{\mathrm{\λ}}_{1}Lsign({\mathrm{\ζ}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n)+\[-L,L\]\end{array}\right.---\left(102\right)$

对于上述结构，由相关分析可知，上式中的变量ζ_i具有扩张不变性，即：

$\begin{array}{cc}t\→kt,{\mathrm{\ζ}}_i\→k^{n-i+1}{\mathrm{\ζ}}_i& \∀k>0,i=0,1,\mathrm{...},n\end{array}---\left(103\right)$

由此可知，此系统是均匀的，且均匀度为-1。因而在有限的时间内，有ζ_i→0，此时可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_1-x_1\→0\⇒{\hat{x}}_1\→x_1\\ {\mathrm{\ζ}}_2={\hat{x}}_2-x_2\→0\⇒{\hat{x}}_2\→x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_n-x_n\→0\⇒{\hat{x}}_n\→x_n\\ {\mathrm{\ζ}}_{n+1}={\hat{x}}_{n+1}-f(t,x,{\mathrm{\Δ}}_u)\→0\⇒{\hat{x}}_{n+1}\→f(t,x,\mathrm{\Δ}u)\end{array}\right.---\left(104\right)$

因此有限时间内，状态观测值会收敛到其真实值x_i。而将代入观测器方程也可得到至此观测器的稳定性得到证明。

本发明的有益效果是在空间目标系绳拖曳离轨过程中，有效的抑制了系绳的空间摆动，并消除了绳系点偏置带来的主动星姿态耦合运动，控制律具有较好的鲁棒性。

附图说明

图1本发明所述方法流程框图。

图2带高阶滑模观测器的自适应滑模控制器框图。

图中u₀代表初始控制量，u为系统控制量，为聚合扰动Δu的观测量，为速度的观测量，F为控制力，x为系统位移。

图3系绳长度变化示意图。

图4系绳张力变化示意图。

图5飞网联合体轨道高度改变量示意图。

图6系绳面内摆角变化示意图。

图7系绳面外摆角变化示意图。

具体实施方式

本发明是一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法,下面将结合附图详细说明本发明的优选实施方式。

首先建立系统动力学模型，采用自适应滑模控制器+滑模观测器的控制方法对各通道进行控制器设计,最后对所发明的控制方法进行仿真验证。本发明所述方法流程框图如图1所示。

步骤一、建立系统动力学模型

首先，建立轨道坐标系S_o：z轴沿地心连线方向由地球指向TSS质心，x轴位于TSS质心轨道平面内与z轴垂直并指向轨道运动方向，y轴遵循右手准则。为描述绳端卫星姿态运动，另外定义TSS本体坐标系S_b，z轴沿着系绳指向主星，x轴垂直系绳且在轨道平面内，三轴单位矢量依次为e_bx，e_by和e_bz，两个坐标系的转换关系为

S_o系到S_b系的坐标转换矩阵为

为方便书写，将正弦函数sin和余弦函数cos分别简写为S和C。本发明中对三角函数关系较复杂的公式都做此处理。

定义主动星本体坐标系S_b1：记S_b1相对轨道坐标系S_o的滚动、俯仰和偏航角分别为θ₁、ψ₁(3-1-2旋转顺序)，当姿态角为零时，主动星本体坐标系与轨道坐标系重合。

为进行控制律设计，必须先得到控制对象的动力学模型，本发明中飞网拖曳系统的动力学建模参照了常用的TSS系统建模方法。

为突出关键问题，得到便于控制分析的模型，对其进行如下假设：

a、忽略目标星的姿态运动，将其视为质点；

b、主要考虑系绳和主星的面内姿态运动，即主星的滚转角、偏航角，系绳的面外摆角为小角度；

c、不考虑系绳的弹性和质量；

d、主动星具有推力控制和力矩控制，推力过质心；

e、忽略除重力外的其余空间干扰力作用。

利用上述假设，整个飞网拖曳系统可以由包含系绳长度l，系绳面内摆角系绳面外摆角θ和主动星姿态θ₁和ψ₁来描述，将动力学方程线性化，消去高阶项可以得到系统的动力学方程。

①关于系绳的绳长l：

②关于系绳面内摆角

③关于系绳面外摆角θ：

④主动星的姿态动力学和运动学方程为：

$I_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1+{\mathrm{\ω}}_1\×I_1{\mathrm{\ω}}_1=d_1\×F_{te}+T_1+T_{G1}$

其中R_c为TSS质心位矢；m₁，m₂分别为主星、子星的质量，m为系统总质量；l为绳长矢量；d₁为主星系绳安装点相对于质心的位置矢量，即文献中常见的绳系点偏置矢量，ω_o为轨道角速度；ω₁为主星的绝对角速度，μ为引力常数，l₀为系绳原长；和θ是绳的面内和面外摆角；I₁表示主星和子星在本体系中的惯性张量；F_te为系绳张力，方向沿系绳方向由主星指向子星，即与TSS本体系轴e_bz方向相反；T₁为主星上的控制力矩；下标x、y、z表示在S_b1坐标系相应轴的投影。

其中T_G1是主动星的重力梯度力矩，可以写为如下形式：

Q_θ为主动星推力对应于各变量的广义力，包括除球形地球引力外的其他广义摄动力的作用。根据广义力计算公式可以得到，对应于主动星推力F的广义力为

$Q_{q_i}=F\·\frac{\∂r}{\∂q_i}$

其中为虚位移。

引入主动星控制力P_m，在系绳本体坐标系中表示为[0F_outF_in]^T，(轨道坐标系到系绳本体坐标系的坐标转换矩阵见式(2)。即F_in沿着系绳方向，F_out垂直系绳方向，如此施加控制力可以使各通道解耦。

利用广义力计算公式(9)可得

$Q_{l,P_m}=m_2{m}^{-1}{F}_{in}$

$Q_{\mathrm{\θ},P_m}=-m_2{m}^{-1}{\mathrm{lF}}_{out}$

F_d,l、和F_d,θ是绳系点偏置耦合力，形式比较复杂，此文中未详细给出，已有的偏置控制律正是通过这些耦合力对TSS状态进行控制。为简化偏置耦合力，假定绳系点在主动星的正下方，即仅偏置向量的分量d_1z不等于0，此时TSS的平衡状态为主动星姿态角为0，且系绳沿当地铅垂方向。实际拖曳任务中，若绳系点有偏差，而张力可测，则可通过力矩补偿方式使TSS的平衡状态不变。另外，将任务目标限定于将同步轨道目标航天器拖曳至坟墓轨道，即将轨道高度提升300公里以上，则变轨过程中轨道偏心率很小，可以认为是圆轨道。在偏置耦合力当中引入上述假设，并忽略包括二阶导数在内的高阶小量，可得偏置耦合力的计算公式为：

将上述各量代入动力学方程式(3)至(6)，并将其在平衡状态

附近展开线性化，最终得到：

其中F_in和F_out分别为主动星的面内和面外推力，为处理方便，采用如下的时间和长度无量纲单位：

$\begin{array}{cc}\hat{t}={\mathrm{\ω}}_{o}t,& \mathrm{\Λ}={\mathrm{ll}}_t^{-1}\end{array}$

其中l_t为单位绳长，可取为变轨前的TSS绳长。

则系统动力学方程进一步简化为：

其中为考虑主动星控制力后的等效张力。

动力学方程各通道之间仍存在耦合，例如主动星的姿态控制与传统卫星控制相比，其姿态运动受到系绳张力的影响，影响大小不仅和张力大小有关，也和系绳摆角及主动星姿态角相关。考虑到动力学建模过程中所做简化而带来的不确定性，所设计的控制器必须具备一定的鲁棒性。本发明采用自适应滑模控制器+滑模观测器的控制方法对各通道进行控制器设计，下文详细给出控制器设计过程。

步骤二、控制器设计

对于实际系统而言，系统的聚合扰动是和系统的状态相关的，事先无法估计其上界。若采用保守的办法确定一个较大的上界，又容易造成控制器的颤振以及控制器能量的不必要增大。因此为解决聚合扰动上界难以准确估计的问题，在这里设计自适应滑模控制器。

对于标准系统

$\stackrel{\·\·}{x}=u+\mathrm{\Δ}u$

Δu为聚合扰动项，包括内扰动，即系统参数的不确定性和外扰动，即外输入的不确定性。系统控制任务为，将广义位移和广义速度控制到零，即

$\begin{array}{cc}\underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }x=0,& \underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }\stackrel{\·}{x}=0\end{array}$

显然系统是可控的。采用以下方法设计滑模控制器。

首先设计线性滑模切换函数

$S=\stackrel{\·}{x}+\mathrm{\λ}x$

其中λ＞0。

考虑采用如下形式的自适应滑模控制器

$u=-K_{D}S-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{x}-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}sign\left(S\right)$

式中为自适应切换增益，可以采用如下自适应估计律计算

$\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\left|S\right|$

其中κ＞0为切换增益的自适应增益变化敏感系数，其值越小，自适应增益变化得越快。(32)式的原理可以简单叙述为：以状态偏离滑动面的大小作为自适应切换增益的变化速度依据，只要系统状态不在滑动面上，切换增益便持续增加；系统运动轨迹偏离滑动面越大，自适应切换增益增大越快，这样，系统的干扰抑制能力得到增强，趋势系统状态更快的运动到滑动面。

上述自适应滑模控制器虽然是稳定的，但仍然存在一些问题：1)由于控制律中存在符号函数sign(*)，控制量在滑动面附近是不连续的，从而造成系统的颤振；2)由于控制器的颤振及各种误差影响，系统的运动无法完全的收敛到滑动面上，这样在自适应律(32)的作用下，增益会不断地增大；相应的，控制量也会随之增大，直到超出执行机构输出能力。若控制时间较长，还可能发生控制算法的发散；3)切换增益完全由自适应算法确定，若系统的干扰变化较快，则可能造成切换增益不能及时抑制扰动，进而影响系统动态性能。

为解决控制器的颤振及自适应增益持续增大的问题，将自适应滑模控制律(31)及自适应律(32)改进为以下形式

$u=-K_{D}S-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{x}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})sat\left(S\right)$

式中通常取为一较小的常数；ε₀＞0为切换增益中的常值部分，用以进一步增强系统对干扰的鲁棒性。sat(*)为饱和函数，定义为

$sat\left(S\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S}{r},& ({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S\≤r\\ sign\left(S\right),& ({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S>r\end{array}\right.$

式中r为边界层厚度。其值越小，饱和函数的特性越接近符号函数，相应的控制误差也越小，但产生颤振的可能越大。其越大，颤振可能性越小，但控制误差会增大。也可采用反正切函数tanh(*)来代替符号函数，相较而言，反正切函数可以使得控制器在滑动面附近更加的平滑。反正切自适应滑模控制律为

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\Λ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)$

其中η为反正切敏感系数，其值越大，反正切函数性能越接近符号函数，但是过大的η也会导致颤振。

该系统是一致有界稳定的。系统的误差界于控制参数和r的选取有关。和r的取值越小，系统的控制误差越小；但过小的r会导致系统颤振，过小的会导致自适应增益持续增大。在避免这两种情况的前提下，两参数的取值越小越好。

结合上述内容，各通道控制器设计如下：

a、绳长Λ

基于动力学方程式(22)，绳长通道方程可写为：

(M₀+ΔM)Λ″＝f_c+f_d+f_non

其中M₀＝1；f_c为广义控制量：

f_d为空间干扰力影响项；f_non为高阶非线性项。绳长通道为追踪控制，式(37)可进一步写为聚合扰动形式的追踪误差方程：

ΔΛ″＝u+Δu-Λ″_c

其中ΔΛ＝Λ-Λ_c，Λ_c为系绳面内摆角控制所期望的绳长变化律，将在系绳面内摆角通道设计，此外

$u=\frac{f_c}{M_0}$

$\mathrm{\Δ}u=\frac{-{\mathrm{\ΔMf}}_c}{M_0(M_0+\mathrm{\Δ}M)}+\frac{f_d}{(M_0+\mathrm{\Δ}M)}+\frac{f_{non}}{(M_0+\mathrm{\Δ}M)}$

首先设计线性滑模切换函数：

S_Λ＝ΔΛ′+λ_ΛΔΛ

其中S_Λ和λ_Λ的下标表明此为绳长通道的参数值，简明起见，下文叙述中如无歧义将忽略表明通道的下标。

根据改进自适应滑模控制器式(36)和(34)可得绳长通道的控制律和自适应分别为：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\Δ\Λ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)+{\mathrm{\Λ}}_c^{\′\′}$

将式(38)代入式(41)可得等效的张力控制律为：

若

若

即控制器在所需张力为负时放松系绳，转由主动星控制力实现系绳的绳长变化。

b、系绳面内摆角

基于动力学方程式(23)，面内摆角通道方程可写为：

其中M₀＝1

整理为聚合扰动形式：

首先设计线性滑模切换函数：

然后得到系绳面内摆角通道的控制律和自适应律为：

将式(45)代入式(48)可得等效的绳长速率控制律为：

式(50)即绳长通道所需跟踪的绳长变化速率，期望的绳长可由式(50)积分得到，而期望的绳长加速率可由式(50)微分得到。

c、系绳面外摆角θ

基于动力学方程式(24)，面内摆角通道方程可写为：

(M₀+ΔM)θ″＝f_c+f_d+f_non

其中M₀＝1

整理为聚合扰动形式：

θ″＝u+Δu

首先设计线性滑模切换函数：

S＝θ′+λθ

然后得到系绳面外摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\θ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)$

将式(52)代入式(55)可得等效的主动星面外控制律为：

d、主动星滚转角

基于动力学方程式(25)，主动星滚转角方程可写为：

其中注意到，由于轨道角速度很小，姿态动力学中的轨道角速度相关项可全部并入高阶项f_non，而重力梯度项可并入外干扰项f_d，因此有：

主星滚转角通道为跟踪控制，将式(58)整理为聚合扰动形式的跟踪误差方程：

其中 为系绳面外摆角控制所期望的主动星滚转角，即式(57)。期望的主动星滚转角速度和角加速度可由式(57)分别微分一次和两次得到。

首先设计线性滑模切换函数：

则主动星滚转角通道的控制律和自适应律为：

将式(59)代入式(62)可得等效的主动星滚转控制力矩为：

e、主动星俯仰角θ₁

基于动力学方程式(26)，主动星俯仰角通道方程可写为：

(M₀+ΔM)θ″₁＝f_c+f_d+f_non

其中方程右侧同滚转角通道处理得到：

整理为聚合扰动形式：

θ″₁＝u+Δu

首先设计线性滑模切换函数：

S＝θ′₁+λθ₁

然后得到面内摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\θ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)$

将式(66)代入式(69)可得等效的主动星俯仰控制力矩为：

f、主动星偏航角ψ₁

基于动力学方程式(27)，主动星偏航角通道方程可写为：

(M₀+ΔM)ψ″₁＝f_c+f_d+f_non

其中方程右侧同滚转角通道处理得到：

$f_c={\stackrel{\‾}{T}}_{1z}$

整理为聚合扰动形式：

ψ″₁＝u+Δu

首先设计线性滑模切换函数：

S＝ψ′₁+λψ₁

然后得到面内摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\ψ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)$

将式(73)代入式(76)可得等效的主动星滚转角控制律为：

${\stackrel{\‾}{T}}_{1z}={\stackrel{\‾}{I}}_{1z}\[-K_{D}S-{\mathrm{\λ\ψ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)\]$

步骤三、高阶滑模观测器设计

尽管控制器精度可以通过调节控制器参数的方法实现，但是参数调节过度则容易引起控制器颤振问题。也就是说，控制精度与控制器的颤振之间存在矛盾。

为尽量避免颤振，并在此前提下提高控制器精度，则需要对系统的扰动加以补偿，而这需要采用合理的技术对系统扰动进行估计。为此，考虑设计高阶滑模观测器，用以估计系统的不确定聚合扰动Δu，然后在控制器中加以补偿。通过这种方法，可以进一步提高控制系统精度。

高阶滑模观测器在估计聚合扰动的同时，还可以估计系统的速度，并用于反馈。这样，系统的控制方案中仅需对位移进行测量即可，而无需速度测量，这可以大大简化系统配置，或作为速度测量无法实现时的有效备份方案。

问题陈述

对于标准系统

$\stackrel{\·\·}{x}=u+\mathrm{\Δ}u$

假定系统位移x和控制量u可测，观测器的设计目的为：以x和u为输入，估计系统的聚合扰动Δu及速度若记聚合扰动Δu及速度的观测量分别为和则观测器的设计目标是在有限的时间内使

观测器算法

首先将系统(79)，重新写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=u+\mathrm{\Δ}u\end{array}\right.$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x\\ x_2=\stackrel{\·}{x}\end{array}\right.$

在此基础上，高阶滑模观测器可写为如下形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\mathrm{\χ}}_1\\ {\mathrm{\χ}}_1={\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2-{\mathrm{\γ}}_3{\left|{\hat{x}}_1-x_1\right|}^{2/3}sign({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=u+\mathrm{\Δ}\hat{u}\\ \mathrm{\Δ}\hat{u}=-{\mathrm{\γ}}_2{\left|{\hat{x}}_2-{\mathrm{\χ}}_1\right|}^{1/2}sign({\hat{x}}_2-{\mathrm{\χ}}_1)+{\hat{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_3=-{\mathrm{\γ}}_{1}sign({\hat{x}}_3-\mathrm{\Δ}\hat{u})\end{array}\right.$

其中γ₁＞0，γ₂＞0和γ₃＞0为观测器参数。对于式(82)给出的高阶滑模观测器，假设系统位移x和控制量u有界并且lebesgue可测，则通过选择合适的观测器参数，可以使得状态观测值以及扰动估计值在有限的时间内收敛到其真实值。

同时，观测器可以证明是稳定的。

如前文所述，观测器的作用在于通过系统位置和控制信号的输入，为控制器提供系统速度和未知扰动的估计值，加入观测器后控制系统的原理图请参见图2。

步骤四、MATLAB数值仿真分析

本发明数值仿真软件的编写平台为Matlab的Simulink平台，Matlab系列产品在航天工程领域已经得到了非常广泛的应用，被证明是在动力学和控制相关问题研制开发过程中十分可靠的数值仿真软件。

假定飞网联合体处于霍曼变轨第一次脉冲和第二次脉冲之间的自由飞行段，即处于椭圆轨道，其轨道半径、轨道半径提升高度、飞网联合体的质量、惯量和绳长等参数如表1所示，空间干扰力考虑地球不规则引力，太阳光压，以及日月三体引力，考虑轨道摄动力。仿真采用常用的TSS动力学模型，仅忽略系绳的弹性变形(系绳长度短，纵向变形也非常小)。

表1飞网抓捕联合体参数

考虑理想的单摆模型，及主动星和目标星视为质点，忽略系绳弹性和质量，忽略空间干扰力，则系绳小角度理想摆动方程可以写为

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+4{\mathrm{\ω}}_o^2\mathrm{\θ}=0---\left(106\right)$

若飞网联合体变轨过程中，系绳的摆角较小，则可以以式(105)和(106)作为参考运动进行系绳空间摆动的控制，如此做的优势在于可以减小控制消耗，并减少由于星本体控制力造成的变轨误差。

表2飞网抓捕联合体仿真初值

以表2所列为仿真初值，绳长通道各控制参数取值为：

其中为椭圆轨道的平均轨道角速度，即在本问题中，飞网联合体的运动近乎在圆轨道上，可以由同步轨道角速度取代。

系绳面内、外摆角通道控制参数取为：

姿态角通道控制参数与绳长通道相同，相应的观测器参数为：

γ_1,Λ＝2.1，γ_2,Λ＝4.2，γ_3,Λ＝8.4(109)

观测器初值中，由于广义位移假定可测，则观测器位移初值取为系统初值，而速度初值设为0。仿真步长0.5s，总时长半个轨道周期，仿真结果如图3至图7所示。

如图3所示，跟踪控制的绳长变化范围约为97.5～100m；如图4所示，张力峰值为10的负3次方数量级,可见跟踪控制的控制消耗非常小。结果充分证明，采用跟踪控制时，由于所需主动星控制力较小，变轨精度也较高，如图5所示。此外，图6与图7代表了跟踪控制的系绳摆角运动情况，可以发现，跟踪控制可以消除动力学非线性和轨道干扰力带来的系绳摆动发散趋势，在无需摆角镇定为零的任务要求下，具有广泛的应用前景。

其中，在步骤一中所述的“常用的TSS建模方法”，是指整个绳系卫星系统可以由系统变量包括主动星的姿态，系绳的绳长，面内摆角和面外摆角来描述。

关于系绳长度l：

关于系绳面内摆角

关于系绳面外摆角θ：

姿态动力学方程由动量矩定理得到：

$I_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1+{\mathrm{\ω}}_1\×I_1{\mathrm{\ω}}_1=d_1\×F_{te}+T_1+T_{1d}$

上述的常用TSS建模方法是本技术领域常用的技术手段，这里就不在赘述了。

其中，在步骤一中所述的假设条件b“系绳的面外摆角为小角度”，是考虑到从系绳的动力学方程中可以看出系绳的摆动不仅和星体姿态运动耦合(F_d,l，和F_d,θ)，也和联合体的轨道运动耦合(ω_o)，且是一组高度非线性的方程组，控制器设计非常困难，所以需要从动力学的角度进行简化。考虑到飞网拖拽过程中轨道要素慢变，将系绳摆动和轨道运动解耦是合理的。从控制器设计的角度，要尽量选择不依赖于模型的控制器，即控制器必须具有较强的自适应能力或鲁棒性。

其中，在步骤一中所述的假设条件c“不考虑系绳的弹性和质量”，是因为考虑两者建立动力学方程变得异常复杂，不利于控制律设计，同时绳系拖曳系统中系绳较短，系绳刚度较大，系绳质量和弹性变形的影响很小。忽略系绳的弹性和质量是合理的。

其中，在步骤二中所述的“上述自适应滑模控制器虽然是稳定的”，控制律的稳定性可以用如下的方法证明：

构造一个正定无界的Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{S}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\κ\Δ\ϵ}}^2$

式中

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}=\widetilde{\mathrm{\ϵ}}-\mathrm{\ϵ}$

即为自适应增益误差。

对式(87)求时间导数可得

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S\stackrel{\·}{S}+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}\\ =S\[-K_{D}S-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}sign\left(S\right)+\mathrm{\Δ}u\]+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}\\ =-K_D{S}^2-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}Ssign\left(S\right)+S\mathrm{\Δ}u+(\widetilde{\mathrm{\ϵ}}-\mathrm{\ϵ})\left|S\right|\\ =-K_D{S}^2+S\mathrm{\Δ}u-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2+\left|S\right|\left|\mathrm{\Δ}u\right|-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2+\left|S\right|{\left|\mathrm{\Δ}u\right|}_{\max }-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ =-K_D{S}^2+\left({\left|\mathrm{\Δ}u\right|}_{\max }-\mathrm{\ϵ}\right)\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2\≤0\end{array}$

由此可见V随时间减小，最终趋向于0，而由式(87)，S也将趋向于0，即滑动面的到达运动是稳定，由于滑动面本身定义无改变，如定常增益滑模控制器中证明所述，滑动面的运动也是稳定的，即控制器的稳定性得到证明。

需要注意的是，由于上述分析不能证明即自适应增益未必会收敛于干扰上界，但这并不影响系统的稳定性。

其中，步骤二中所述的“该系统是一致有界稳定的”，控制律的稳定性可以用如下的方法证明：

构造一个正定无界的Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{S}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\κ\Δ\ϵ}}^2$

其时间导数为

$\stackrel{\·}{V}=S\stackrel{\·}{S}+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}$

当时控制律和(31)相同，其稳定性已经得到证明，当

考察其中的项，此项是有关的一个二次函数。记则者一项可以写为

$f\left(y\right)=-\frac{y^2}{r}+y$

由于此函数显然有最大值，对f(y)求导可得

$\frac{df\left(y\right)}{dy}=1-\frac{2y}{r}$

其最大值在导数为0，即此时最大值可以计算得到

$f\left(y\right){|}_{max}=\frac{r}{4}$

将式(95)代入式(92)可得

其中

可知系统是一致有界稳定的。

反正切函数取代符号函数的控制律稳定性证明不再具体给出。

其中，步骤三中所述的“同时，观测器可以证明是稳定的”，其稳定性证明如下：

稳定性证明可以基于一般的n阶系统，无需限于二阶系统。对于如下动力学系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ ...\\ x_n=f(t,x)+b_{1}u\\ y=x_1\end{array}\right.$

其中x∈Rⁿ为系统状态变量，u∈R为控制输入，b₁为控制输入参数，可任意调节，f(t,x)为系统内有关时间t和状态x的函数，一般未知。系统(97)可可以写为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=Ax+B\[f(t,x,{\mathrm{\Δ}}_u)+b_{0}u\]\\ y=Cx\end{array}\right.$

其中b₀为系统的控制输入增益的标称值，Δ_u＝b₁-b₀为输入的不确定值，f(t,x,Δ_u)为内扰动和外扰动之和，即聚合扰动项。A，B，C的表达式分别如下：

对系统(97)，使用如下的观测器形式对该系统进行观测：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1=v_1\\ v_1=-{\mathrm{\λ}}_{n+1}{L}^{1/(n+1)}{\left|{\hat{x}}_1-x_1\right|}^{n/(n+1)}sign({\hat{x}}_1-x_1)+{\hat{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=v_2\\ v_2=-{\mathrm{\λ}}_n{L}^{1/n}{\left|{\hat{x}}_2-v_1\right|}^{n-1/n}sign({\hat{x}}_2-v_1)+{\hat{x}}_3\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n-1}=v_{n-1}\\ v_{n-1}=-{\mathrm{\λ}}_3{L}^{1/3}{\left|{\hat{x}}_{n-1}-v_{n-2}\right|}^{2/3}sign({\hat{x}}_{n-1}-v_{n-2})+{\hat{x}}_n\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_n=\hat{f}+b_{0}u\\ \hat{f}=-{\mathrm{\λ}}_2{L}^{1/2}{\left|{\hat{x}}_n-v_{n-1}\right|}^{1/2}sign({\hat{x}}_n-v_{n-1})+{\hat{x}}_{n+1}\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n+1}=-{\mathrm{\λ}}_{1}L{\left|{\hat{x}}_{n+1}-\hat{f}\right|}^{1/2}\end{array}\right.$

式中为状态变量x_i的观测值，为对不确定函数变量f(t,x,Δ_u)的估计值，λ_i(i＝1,2,...,n)为观测器参数，L为Lipshitz常数，且满足显然，当n＝2时，式(99)给出的观测器即为本研究采用的观测器式(82)。

为证明在有限的时间内状态观测值与扰动估计收敛到真实值，首先定义：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_1-x_1\\ {\mathrm{\ζ}}_2={\hat{x}}_2-x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_n-x_n\\ {\mathrm{\ζ}}_{n+1}={\hat{x}}_{n+1}-f(t,x,\mathrm{\Δ}u)\end{array}\right.$

根据上述定义，由式(98)和(99)可得

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_2-v_1={\hat{x}}_2-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1={\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1\\ {\hat{x}}_3-v_2={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2={\mathrm{\ζ}}_3-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\hat{x}}_n-v_{n-1}={\hat{x}}_n-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n-1}={\hat{x}}_n-{\stackrel{\·}{x}}_{n-1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}={\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}\\ {\hat{x}}_{n+1}-\hat{f}={\hat{x}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_n+b_{0}u={\hat{x}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{x}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n+b_{0}u={\hat{x}}_{n+1}-f-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n={\mathrm{\ζ}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n\end{array}\right.$

利用上式，可将观测器(99)改写为以下形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1=-{\mathrm{\λ}}_{n+1}{L}^{1/(n+1)}{\left|{\mathrm{\ζ}}_1\right|}^{n/(n+1)}sign\left({\mathrm{\ζ}}_1\right)+{\mathrm{\ζ}}_2\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2=-{\mathrm{\λ}}_n{L}^{1/n}{\left|{\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1\right|}^{(n-1)/n}sign({\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1)+{\mathrm{\ζ}}_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n=-{\mathrm{\λ}}_2{L}^{1/2}{\left|{\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}\right|}^{1/2}sign({\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1})+{\mathrm{\ζ}}_{n+1}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n+1}\∈-{\mathrm{\λ}}_{1}Lsign({\mathrm{\ζ}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n)+\[-L,L\]\end{array}\right.$

对于上述结构，由相关分析可知，上式中的变量ζ_i具有扩张不变性，即：

$\begin{array}{cc}t\→kt,{\mathrm{\ζ}}_i\→k^{n-i+1}{\mathrm{\ζ}}_i& \∀k>0,i=0,1,\mathrm{...},n\end{array}$

由此可知，此系统是均匀的，且均匀度为-1。因而在有限的时间内，有ζ_i→0，此时可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_1-x_1\→0\⇒{\hat{x}}_1\→x_1\\ {\mathrm{\ζ}}_2={\hat{x}}_2-x_2\→0\⇒{\hat{x}}_2\→x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_n-x_n\→0\⇒{\hat{x}}_n\→x_n\\ {\mathrm{\ζ}}_{n+1}={\hat{x}}_{n+1}-f(t,x,{\mathrm{\Δ}}_u)\→0\⇒{\hat{x}}_{n+1}\→f(t,x,\mathrm{\Δ}u)\end{array}\right.$

因此有限时间内，状态观测值会收敛到其真实值x_i。而将代入观测器方程也可得到至此观测器的稳定性得到证明。

综上所述，本发明设计并得到了主动星姿态和系绳摆振的联合控制律，该控制律有效的抑制了空间目标拖曳过程中系绳的空间摆动，并消除了绳系点偏置带来的主动星姿态耦合运动，控制律具有较好的鲁棒性。

以上所述仅是本发明的具体实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明方法的前提下，还可以做出若干改进，或者对其中部分技术特征进行等同替换，这些改进和替换也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法,其特征在于：其具体步骤如下：

步骤一、建立系统动力学模型

首先，建立轨道坐标系S_o：z轴沿地心连线方向由地球指向TSS质心，x轴位于TSS质心轨道平面内与z轴垂直并指向轨道运动方向，y轴遵循右手准则；为描述绳端卫星姿态运动，另外定义TSS本体坐标系S_b，z轴沿着系绳指向主星，x轴垂直系绳且在轨道平面内，三轴单位矢量依次为e_bx，e_by和e_bz，两个坐标系的转换关系为

S_o系到S_b系的坐标转换矩阵为

为方便书写，将正弦函数sin和余弦函数cos分别简写为S和C，对三角函数关系较复杂的公式都做此处理；

定义主动星本体坐标系S_b1：记S_b1相对轨道坐标系S_o的滚动、俯仰和偏航角分别为θ₁、ψ₁，即3-1-2旋转顺序，当姿态角为零时，主动星本体坐标系与轨道坐标系重合；

为便于控制分析的模型，现进行如下假设：

a、忽略目标星的姿态运动，将其视为质点；

b、考虑系绳和主星的面内姿态运动，即主星的滚转角、偏航角，系绳的面外摆角为小角度；

c、不考虑系绳的弹性和质量；

d、主动星具有推力控制和力矩控制，推力过质心；

e、忽略除重力外的其余空间干扰力作用；

利用上述假设，整个飞网拖曳系统由包含系绳长度l，系绳面内摆角系绳面外摆角θ和主动星姿态θ₁和ψ₁来描述，将动力学方程线性化，消去高阶项得到系统的动力学方程；

①关于系绳的绳长l：

②关于系绳面内摆角

③关于系绳面外摆角θ：

④主动星的姿态动力学和运动学方程为：

$I_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_1+{\mathrm{\ω}}_1\×I_1{\mathrm{\ω}}_1=d_1\×F_{te}+T_1+T_{G1}---\left(6\right)$

其中，R_c为TSS质心位矢；m₁，m₂分别为主星、子星的质量，m为系统总质量；l为绳长矢量；d₁为主星系绳安装点相对于质心的位置矢量，即文献中常见的绳系点偏置矢量，ω_o为轨道角速度；ω₁为主星的绝对角速度，μ为引力常数，l₀为系绳原长；和θ是绳的面内和面外摆角；I₁表示主星和子星在本体系中的惯性张量；F_te为系绳张力，方向沿系绳方向由主星指向子星，即与TSS本体系轴e_bz方向相反；T₁为主星上的控制力矩；下标x、y、z表示在S_b1坐标系相应轴的投影；

其中T_G1是主动星的重力梯度力矩，写为如下形式：

Q_θ为主动星推力对应于各变量的广义力，包括除球形地球引力外的其他广义摄动力的作用；根据广义力计算公式得到，对应于主动星推力F的广义力为

$Q_{q_i}=F\·\frac{\∂r}{\∂q_i}---\left(9\right)$

其中为虚位移；

引入主动星控制力P_m，在系绳本体坐标系中表示为[0F_outF_in]^T；即F_in沿着系绳方向，F_out垂直系绳方向，如此施加控制力能使各通道解耦；

利用广义力计算公式(9)得

$Q_{l,P_m}=m_2{m}^{-1}{F}_{in}---\left(10\right)$

$Q_{\mathrm{\θ},P_m}=-m_2{m}^{-1}{\mathrm{lF}}_{out}---\left(12\right)$

F_d,l、和F_d,θ是绳系点偏置耦合力，为简化偏置耦合力，假定绳系点在主动星的正下方，即仅偏置向量的分量d_1z不等于0，此时TSS的平衡状态为主动星姿态角为0，且系绳沿当地铅垂方向；实际拖曳任务中，若绳系点有偏差，而张力可测，则通过力矩补偿方式使TSS的平衡状态不变；另外，将任务目标限定于将同步轨道目标航天器拖曳至坟墓轨道，即将轨道高度提升300公里以上，认为是圆轨道；在偏置耦合力当中引入上述假设，并忽略包括二阶导数在内的高阶小量，得偏置耦合力的计算公式为：

将上述各量代入动力学方程式(3)至(6)，并将其在平衡状态

附近展开线性化，最终得到：

其中F_in和F_out分别为主动星的面内和面外推力，为处理方便，采用如下的时间和长度无量纲单位：

$\hat{t}={\mathrm{\ω}}_{o}t,\mathrm{\Λ}={\mathrm{ll}}_t^{-1}$

其中l_t为单位绳长，取为变轨前的TSS绳长；

则系统动力学方程进一步简化为：

其中为考虑主动星控制力后的等效张力；

动力学方程各通道之间仍存在耦合，考虑到动力学建模过程中所做简化而带来的不确定性，所设计的控制器必须具备一定的鲁棒性；

步骤二、自适应滑模控制器设计

对于标准系统

$\stackrel{\·\·}{x}=u+\mathrm{\Δ}u---\left(28\right)$

Δu为聚合扰动项，包括内扰动，即系统参数的不确定性和外扰动，即外输入的不确定性；系统控制任务为，将广义位移和广义速度控制到零，即

$\underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }x=0,\underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }\stackrel{\·}{x}=0---\left(29\right)$

显然系统是可控的，采用以下方法设计滑膜控制器；

首先设计线性滑模切换函数

$S=\stackrel{\·}{x}+\mathrm{\λ}x---\left(30\right)$

其中λ＞0；

考虑采用如下形式的自适应滑模控制器

$u=-K_{D}S-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{x}-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}sign\left(S\right)---\left(31\right)$

式中为自适应切换增益，采用如下自适应估计律计算

$\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\left|S\right|---\left(32\right)$

其中，κ＞0为切换增益的自适应增益变化敏感系数，值越小，自适应增益变化得越快；(32)式简单叙述为：以状态偏离滑动面的大小作为自适应切换增益的变化速度依据，只要系统状态不在滑动面上，切换增益便持续增加；系统运动轨迹偏离滑动面越大，自适应切换增益增大越快，这样，系统的干扰抑制能力得到增强，趋势系统状态更快的运动到滑动面；

为解决控制器的颤振及自适应增益持续增大的问题，将自适应滑模控制律(31)及自适应律(32)改进为以下形式：

$u=-K_{D}S-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{x}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})sat\left(S\right)---\left(33\right)$

式中取一常数；ε₀＞0为切换增益中的常值部分，用以进一步增强系统对干扰的鲁棒性；sat(*)为饱和函数，定义为

$sat\left(S\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S}{r},& ({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S\≤r\\ sign\left(S\right),& ({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})S>r\end{array}\right.---\left(35\right)$

式中r为边界层厚度；其值越小，饱和函数的特性越接近符号函数，相应的控制误差也越小，但产生颤振的可能越大；其越大，颤振可能性越小，但控制误差会增大；也采用反正切函数tanh(*)来代替符号函数，相较而言，反正切函数使得控制器在滑动面附近更加的平滑，反正切自适应滑膜控制律为：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{\Λ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(36\right)$

其中η为反正切敏感系数，其值越大，反正切函数性能越接近符号函数，但是过大的η也会导致颤振；

系统的误差界于控制参数和r的选取有关；和r的取值越小，系统的控制误差越小；但过小的r会导致系统颤振，过小的会导致自适应增益持续增大；在避免这两种情况的前提下，两参数的取值越小越好；

结合上述内容，各通道控制器设计如下：

a、绳长Λ

基于动力学方程式(22)，绳长通道方程写为：

(M₀+ΔM)Λ″＝f_c+f_d+f_non(37)

其中M₀＝1；f_c为广义控制量：

f_d为空间干扰力影响项，f_non为高阶非线性项；绳长通道为追踪控制，式(37)进一步写为聚合扰动形式的追踪误差方程：

ΔΛ″＝u+Δu-Λ″_c(39)

其中ΔΛ＝Λ-Λ_c，Λ_c为系绳面内摆角控制所期望的绳长变化律，将在系绳面内摆角通道设计，此外

$u=\frac{f_c}{M_0}$

$\mathrm{\Δ}u=\frac{-{\mathrm{\ΔMf}}_c}{M_0(M_0+\mathrm{\Δ}M)}+\frac{f_d}{(M_0+\mathrm{\Δ}M)}+\frac{f_{non}}{(M_0+\mathrm{\Δ}M)}$

首先设计线性滑模切换函数：

S_Λ＝ΔΛ′+λ_ΛΔΛ(40)

其中S_Λ和λ_Λ的下标表明此为绳长通道的参数值，下文叙述中如无歧义将忽略表明通道的下标；

根据改进自适应滑模控制器式(36)和(34)得绳长通道的控制律和自适应分别为：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\Δ\Λ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)+{\mathrm{\Λ}}_c^{\′\′}---\left(41\right)$

将式(38)代入式(41)得等效的张力控制律为：

若

若

即控制器在所需张力为负时放松系绳，转由主动星控制力实现系绳的绳长变化；

b、系绳面内摆角

基于动力学方程式(23)，面内摆角通道方程写为：

其中M₀＝1

整理为聚合扰动形式：

首先设计线性滑模切换函数：

然后得到系绳面内摆角通道的控制律和自适应律为：

将式(45)代入式(48)得等效的绳长速率控制律为：

式(50)即绳长通道所需跟踪的绳长变化速率，期望的绳长由式(50)积分得到，而期望的绳长加速率由式(50)微分得到；

c、系绳面外摆角θ

基于动力学方程式(24)，面内摆角通道方程写为：

(M₀+ΔM)θ″＝f_c+f_d+f_non(51)

其中M₀＝1

整理为聚合扰动形式：

θ″＝u+Δu(53)

首先设计线性滑模切换函数：

S＝θ′+λθ(54)

然后得到系绳面外摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\θ}}^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(55\right)$

将式(52)代入式(55)得等效的主动星面外控制律为：

d、主动星滚转角

基于动力学方程式(25)，主动星滚转角方程写为：

其中由于轨道角速度很小，姿态动力学中的轨道角速度相关项全部并入高阶项f_non，而重力梯度项并入外干扰项f_d，因此有：

主星滚转角通道为跟踪控制，将式(58)整理为聚合扰动形式的跟踪误差方程：

其中为系绳面外摆角控制所期望的主动星滚转角，即式(57)；期望的主动星滚转角速度和角加速度由式(57)分别微分一次和两次得到；

首先设计线性滑模切换函数：

则主动星滚转角通道的控制律和自适应律为：

将式(59)代入式(62)得等效的主动星滚转控制力矩为：

e、主动星俯仰角θ₁

基于动力学方程式(26)，主动星俯仰角通道方程写为：

(M₀+ΔM)θ″₁＝f_c+f_d+f_non(65)

其中方程右侧同滚转角通道处理得到：

整理为聚合扰动形式：

θ″₁＝u+Δu(67)

首先设计线性滑模切换函数：

S＝θ′₁+λθ₁(68)

然后得到面内摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\θ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(69\right)$

将式(66)代入式(69)得等效的主动星俯仰控制力矩为：

f、主动星偏航角ψ₁

基于动力学方程式(27)，主动星偏航角通道方程写为：

(M₀+ΔM)ψ″₁＝f_c+f_d+f_non(72)

其中方程右侧同滚转角通道处理得到：

$f_c={\stackrel{\‾}{T}}_{1z}---\left(73\right)$

整理为聚合扰动形式：

ψ″₁＝u+Δu(74)

首先设计线性滑模切换函数：

S＝ψ′₁+λψ₁(75)

然后得到面内摆角通道的控制律和自适应律：

$u=-K_{D}S-{\mathrm{\λ\ψ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)---\left(76\right)$

将式(73)代入式(76)得等效的主动星滚转角控制律为：

${\stackrel{\‾}{T}}_{1z}={\stackrel{\‾}{I}}_{1z}\[-K_{D}S-{\mathrm{\λ\ψ}}_1^{\′}-({\mathrm{\ϵ}}_0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})\tanh \left(\mathrm{\η}S\right)\]---\left(78\right)$

步骤三、高阶滑模观测器设计

为避免颤振，并在此前提下提高控制器精度，则需要对系统的扰动加以补偿，而这需要采用合理的技术对系统扰动进行估计，为此，考虑设计高阶滑模观测器，用以估计系统的不确定聚合扰动Δu，然后在控制器中加以补偿；

高阶滑模观测器在估计聚合扰动的同时，还要估计系统的速度，并用于反馈，这样系统的控制方案中仅需对位移进行测量即可，而无需速度测量，简化系统配置，或作为速度测量无法实现时的有效备份方案；对于标准系统

$\stackrel{\·\·}{x}=u+\mathrm{\Δ}u---\left(79\right)$

假定系统位移x和控制量u可测，观测器的设计目的为：以x和u为输入，估计系统的聚合扰动Δu及速度若记聚合扰动Δu及速度的观测量分别为和则观测器的设计目标是在有限的时间内使观测器算法

首先将系统(79)，重新写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=u+\mathrm{\Δ}u\end{array}\right.---\left(80\right)$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x\\ x_2=\stackrel{\·}{x}\end{array}\right.---\left(81\right)$

在此基础上，高阶滑模观测器写为如下形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\mathrm{\χ}}_1\\ {\mathrm{\χ}}_1={\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2-{\mathrm{\γ}}_3{\left|{\hat{x}}_1-x_1\right|}^{2/3}sign({\hat{x}}_1-x_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=u+\mathrm{\Δ}\hat{u}\\ \mathrm{\Δ}\hat{u}=-{\mathrm{\γ}}_2{\left|{\hat{x}}_2-{\mathrm{\χ}}_1\right|}^{1/2}sign({\hat{x}}_2-{\mathrm{\χ}}_1)+{\hat{x}}_3\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_3=-{\mathrm{\γ}}_{1}sign({\hat{x}}_3-\mathrm{\Δ}\hat{u})\end{array}\right.---\left(82\right)$

其中γ₁＞0，γ₂＞0和γ₃＞0为观测器参数；对于式(82)给出的高阶滑模观测器，假设系统位移x和控制量u有界并且lebesgue可测，则通过选择合适的观测器参数，使得状态观测值以及扰动估计值在有限的时间内收敛到其真实值；

步骤四、MATLAB数值仿真分析

数值仿真软件的编写平台为Matlab的Simulink平台，结合仿真结果对所设计的主动星姿态系绳摆振联合控制律的控制效果进行分析。

2.根据权利要求1所述的一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，其特征在于：在步骤一中所述的假设条件b系绳的面外摆角为小角度，是考虑到从系绳的动力学方程中看出系绳的摆动不仅和星体姿态运动耦合(F_d,l，和F_d,θ)，也和联合体的轨道运动耦合(ω_o)，且是一组高度非线性的方程组，控制器设计非常困难，所以需要从动力学的角度进行简化；考虑到飞网拖拽过程中轨道要素慢变，将系绳摆动和轨道运动解耦是合理的，从控制器设计的角度，要选择不依赖于模型的控制器，即控制器必须具有较强的自适应能力或鲁棒性。

3.根据权利要求1所述的一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，其特征在于：在步骤一中所述的假设条件c不考虑系绳的弹性和质量，是因为考虑两者建立动力学方程变得异常复杂，不利于控制律设计，同时绳系拖曳系统中系绳较短，系绳刚度较大，系绳质量和弹性变形的影响小；忽略系绳的弹性和质量是合理的。

4.根据权利要求1所述的一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，其特征在于：在步骤二中所述的上述自适应滑模控制器虽然是稳定的，控制律的稳定性能用如下的方法证明：

构造一个正定无界的Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{S}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\κ\Δ\ϵ}}^2---\left(83\right)$

式中

$\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}=\widetilde{\mathrm{\ϵ}}-\mathrm{\ϵ}---\left(84\right)$

即为自适应增益误差；

对式(83)求时间导数得到

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=S\stackrel{\·}{S}+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}\\ =S\[-K_{D}S-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}sign\left(S\right)+\mathrm{\Δ}u\]+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\stackrel{\·}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}\\ =-K_D{S}^2-\widetilde{\mathrm{\ϵ}}Ssign\left(S\right)+S\mathrm{\Δ}u+(\widetilde{\mathrm{\ϵ}}-\mathrm{\ϵ})\left|S\right|\\ =-K_D{S}^2+S\mathrm{\Δ}u-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2+\left|S\right|\left|\mathrm{\Δ}u\right|-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2+\left|S\right|{\left|\mathrm{\Δ}u\right|}_{\max }-\mathrm{\ϵ}\left|S\right|\\ =-K_D{S}^2+({\left|\mathrm{\Δ}u\right|}_{\max }-\mathrm{\ϵ})\left|S\right|\\ \≤-K_D{S}^2\≤0\end{array}---\left(85\right)$

由此可见V随时间减小，最终趋向于0，而由式(83)，S也将趋向于0，即滑动面的到达运动是稳定，由于滑动面本身定义无改变，滑动面的运动也是稳定的，即控制器的稳定性得到证明；

需要注意的是，由于上述分析不能证明即自适应增益未必会收敛于干扰上界，但这并不影响系统的稳定性。

5.根据权利要求1所述的一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，其特征在于：步骤二中所述的该系统是一致有界稳定的，控制律的稳定性用如下的方法证明：

构造一个正定无界的Lyapunov函数

$V=\frac{1}{2}{S}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\κ\Δ\ϵ}}^2---\left(86\right)$

其时间倒数为

$\stackrel{\·}{V}=S\stackrel{\·}{S}+\mathrm{\κ}\mathrm{\Δ}\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}---\left(87\right)$

当时控制律和(31)相同，其稳定性已经得到证明，当

考察其中的项，此项是有关的一个二次函数；记则者一项写为

$f\left(y\right)=-\frac{y^2}{r}+y---\left(89\right)$

由于此函数显然有最大值，对f(y)求导得到

$\frac{df\left(y\right)}{dy}=1-\frac{2y}{r}---\left(90\right)$

其最大值在导数为0，即此时最大值计算得到

$f\left(y\right){|}_{\max }=\frac{r}{4}---\left(91\right)$

将式(91)代入式(88)得到

其中

系统是一致有界稳定的；

反正切函数取代符号函数的控制律稳定性证明不再具体给出。

6.根据权利要求1所述的一种基于绳系拖曳系统的主动星姿态和系绳摆振联合控制方法，其特征在于：步骤三中所述的同时，观测器证明是稳定的，其稳定性证明如下：

稳定性证明基于的n阶系统，无需限于二阶系统；对于如下动力学系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ \mathrm{...}\\ x_n=f(t,x)+b_{1}u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(93\right)$

其中x∈Rⁿ为系统状态变量，u∈R为控制输入，b₁为控制输入参数，可任意调节，f(t,x)为系统内有关时间t和状态x的函数，式(93)写为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=Ax+B\[f(t,x,{\mathrm{\Δ}}_u)+b_{0}u\]\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(94\right)$

其中b₀为系统的控制输入增益的标称值，Δ_u＝b₁-b₀为输入的不确定值，f(t,x,Δ_u)为内扰动和外扰动之和，即聚合扰动项，A，B，C的表达式分别如下：

对系统(93)，使用如下的观测器形式对该系统进行观测：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1=v_1\\ v_1=-{\mathrm{\λ}}_{n+1}{L}^{1/(n+1)}{\left|{\hat{x}}_1-x_1\right|}^{n/(n+1)}sign({\hat{x}}_1-x_1)+{\hat{x}}_2\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2=v_2\\ v_2=-{\mathrm{\λ}}_n{L}^{1/n}{\left|{\hat{x}}_2-x_1\right|}^{n-1/n}sign({\hat{x}}_2-v_1)+{\hat{x}}_3\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n-1}=v_{n-1}\\ v_{n-1}=-{\mathrm{\λ}}_3{L}^{1/3}{\left|{\hat{x}}_{n-1}-x_{n-1}\right|}^{2/3}sign({\hat{x}}_{n-1}-x_{n-2})+{\hat{x}}_n\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_n=\hat{f}+b_{0}u\\ \hat{f}=-{\mathrm{\λ}}_2{L}^{1/2}{\left|{\hat{x}}_n-v_{n-1}\right|}^{1/2}sign({\hat{x}}_n-v_{n-1})+{\hat{x}}_{n+1}\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n+1}=-{\mathrm{\λ}}_{1}L{\left|{\hat{x}}_{n+1}-\hat{f}\right|}^{1/2}\end{array}\right.---\left(95\right)$

式中为状态变量x_i的观测值，为对不确定函数变量f(t,x,Δ_u)的估计值，λ_i为观测器参数，L为Lipshitz常数，且满足显然，当n＝2时，式(95)给出的观测器采用的观测器式(82)；i＝1,2,...,n；

为证明在有限的时间内状态观测值与扰动估计收敛到真实值，首先定义：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_1-x_1\\ {\mathrm{\ζ}}_2={\hat{x}}_2-x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_n-x_n\\ {\mathrm{\ζ}}_{n+1}={\hat{x}}_{n+1}-f(t,x,{\mathrm{\Δ}}_u)\end{array}\right.---\left(96\right)$

根据上述定义，由式(94)和(95)得到

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_2-v_1={\hat{x}}_2-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-{\stackrel{\·}{x}}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1={\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1\\ {\hat{x}}_3-v_2={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3-{\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2={\mathrm{\ζ}}_3-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2\\ .\\ .\\ .\\ {\hat{x}}_n-v_{n-1}={\hat{x}}_n-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_{n-1}={\hat{x}}_n-{\stackrel{\·}{x}}_{n-1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}={\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}\\ {\hat{x}}_{n+1}-\hat{f}={\hat{x}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_n+b_{0}u={\hat{x}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{x}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n+b_{0}u={\hat{x}}_{n+1}-f-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n={\mathrm{\ζ}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n\end{array}\right.---\left(97\right)$

利用上式，将观测器(95)改写为以下形式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1=-{\mathrm{\λ}}_{n+1}{L}^{1/(n+1)}{\left|{\mathrm{\ζ}}_1\right|}^{n(n+1)}sign\left({\mathrm{\ζ}}_1\right)+{\mathrm{\ζ}}_2\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2=-{\mathrm{\λ}}_n{L}^{1/n}{\left|{\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1\right|}^{(n-1)/n}sign({\mathrm{\ζ}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1)+{\mathrm{\ζ}}_3\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n=-{\mathrm{\λ}}_2{L}^{1/2}{\left|{\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1}\right|}^{1/2}sign({\mathrm{\ζ}}_n-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n-1})+{\mathrm{\ζ}}_{n+1}\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_{n+1}\∈-{\mathrm{\λ}}_{1}Lsign({\mathrm{\ζ}}_{n+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_n)+\[-L,L\]\end{array}\right.---\left(98\right)$

对于上述结构，由相关分析得知，上式中的变量ζ_i具有扩张不变性，即：

$\begin{array}{cc}t\→kt,{\mathrm{\ζ}}_i\→k^{n-i+1}{\mathrm{\ζ}}_i& \∀k>0,i=0,1,...,n\end{array}---\left(99\right)$

由此可知，此系统是均匀的，且均匀度为-1；因而在有限的时间内，有ζ_i→0，此时得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_1-x_1\→0\⇒{\hat{x}}_1\→x_1\\ {\mathrm{\ζ}}_2={\hat{x}}_2-x_2\→0\⇒{\hat{x}}_2\→x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ζ}}_1={\hat{x}}_n-x_n\→0\⇒{\hat{x}}_n\→x_n\\ {\mathrm{\ζ}}_{n+1}={\hat{x}}_{n+1}-f(t,x,{\mathrm{\Δ}}_u)\→0\⇒{\hat{x}}_{n+1}\→f(t,x,\mathrm{\Δ}u)\end{array}\right.---\left(100\right)$

因此有限时间内，状态观测值会收敛到其真实值x_i；而将代入观测器方程也能得到至此观测器的稳定性得到证明。