CN105137999A - 一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，用于解决飞行器具有不确定参数和外界扰动时输入饱和跟踪控制难以实现的技术问题。该方法首先建立具有时变不确定参数和外部扰动的飞行器模型，通过沿时变路径线性化将原非线性系统转化为线性变参数误差系统；然后，采用张量积模型转换方法得到误差系统的凸多面体描述形式，并且当系统状态约束在某个局部范围时，将控制量的饱和效应同样采用凸多面体结构直接描述；最后，基于鲁棒H_∞理论，通过求解有限个数线性矩阵不等式得到输入饱和控制器，该控制器在系统状态局部范围内实现指令的精确跟踪及对扰动的有效抑制。特别地，若令状态约束矩阵等于控制矩阵，则能够避免控制器饱和现象的发生。

Description

一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法

技术领域

本发明涉及一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，主要应用于具有不确定参数和外部扰动的飞行器在大飞行包线下的输入饱和跟踪控制以及对外部扰动的有效抑制，属于飞行器控制技术领域。

背景技术

现代高性能飞行器，特别是对于像无人机这类无人驾驶的飞行器，为了追求更高的升阻比与机动性能，执行机构的饱和受限问题是不可避免。再者，飞行器模型中的不确定因素和外界环境的干扰，导致设计饱和控制率来实现对指令信号的鲁棒跟踪以及对外部扰动的有效抑制更加困难。在现有技术中，低增益控制方法能够避免饱和现象，但是当系统趋于稳态时控制信号会远小于其最大容许值，导致控制器容许的控制能力没有被充分利用，闭环系统无法获得最佳性能。低增益高增益混合控制能有效的解决上述问题，即在远离和接近稳态时分别让低增益和高增益控制器起主导作用，既能得到较大的收敛域又能改善系统的动态性能。此外，通过设计辅助系统来弱化输入饱和对系统动态的影响，如Butt等人(W.Butt,L.Yan,andA.Kendrick,“Adaptivedynamicsurfacecontrolofahypersonicflightvehiclewithimprovedtracking,”AsianJournalofControl,15(2):594-605,2011)提出了一种非线性自适应动态面方法，应用径向基神经网络估计飞行器模型中的不确定非线性函数，解决执行机构的受限问题。Xu等人(B.Xu,S.Wang,D.Gao,Y.Zhang,andZ.Shi,“Commandfilterbasedrobustnonlinearcontrolofhypersonicaircraftwithmagnitudeconstraintsonstatesandactuators,”JournalofIntelligent&RoboticSystems,73(1-4):233-247,2014)针对存在参数不确定和状态量与执行器幅值受限的飞行器系统，设计了基于指令滤波器的鲁棒非线性控制器，这些方法属于间接法的范畴，设计过程复杂并且往往只能实现闭环系统信号一致最终有界。

另一方面，飞行器飞行包线广，飞行环境复杂多变导致其气动参数、环境变量等变化剧烈，如果设计一个固定的控制率来满足期望的飞行品质往往是有很大的保守性，甚至在某些情况下是不可实现的。因此，需要设计随飞行轨迹变化而变化的具有自主切换和调节能力的控制率。

发明内容

针对具有不确定参数，外部干扰，及控制输入饱和限制飞行器系统，为实现对时变指令信号的鲁棒跟踪和对外部干扰的有效抑制，本发明提出一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，通过以下步骤实现：

第一步，考虑飞行速度V，航迹角μ，攻角α组成的飞行器非线性纵向动力学模型，被跟踪指令信号慢时变，沿时变轨迹Θ＝{V₀(t),μ₀(t),α₀(t)}线性化得到线性变参数误差系统，该系统具有参数不确定性和外部干扰；第二步，采用张量积模型转换方法得到线性变参数误差系统的凸多面体形式，并且将饱和跟踪控制器直接描述为 $\mathrm{\σ}\left(u\right)=\mathrm{\σ}\left(Kx\right)={\mathrm{\Σ}}_{s=1}^{2^m}{\mathrm{\η}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)x,$ 其中0≤η_s≤1且进而得到误差闭环系统；第三步，基于鲁棒H_∞理论，控制率具有时变参数依赖的形式求解线性矩阵不等式得到满足期望性能指标的控制增益矩阵K_i和状态约束矩阵H_i；进一步将矩阵的对角与非对角元素分解减少计算线性矩阵不等式的个数。

本发明与现有技术相比的优点在于：通过用凸多面体形式直接描述具有饱和限制的控制输入，可以直接代入开环系统进行分析设计，不需要设计其他的辅助系统；运用所给出的控制方法，使得系统状态在某个局部范围内实现对指令信号的跟踪和对外部扰动的抑制，并且对于时变指令仍能满足期望的性能。

附图说明

图1是本发明一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法的流程图

图2是具有输入饱和的跟踪控制结构图

具体实施方式

参照图1，本发明一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法具体实施方式包括如下具体步骤：

步骤1，考虑飞行速度，攻角和航迹角组成的飞行器纵向动力学模型：

$\stackrel{\·}{V}=-gsin\mathrm{\μ}+\frac{{\stackrel{\‾}{F}}_{x}cos\mathrm{\α}+{\stackrel{\‾}{F}}_{z}sin\mathrm{\α}}{m}$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}=2{\mathrm{\ω}}_{E}sin\mathrm{\ψ}cos\mathrm{\λ}+(\frac{V}{R}-\frac{g}{V})cos\mathrm{\μ}+\frac{{\stackrel{\‾}{F}}_{x}sin\mathrm{\α}-{\stackrel{\‾}{F}}_{z}cos\mathrm{\α}}{mV}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}=q-\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}$

其中，λ＝λ^*+xcosψ/R_E， $R=R_E+h,{\stackrel{\‾}{F}}_x=F_x+{\mathrm{dF}}_x,{\stackrel{\‾}{F}}_z=F_z+{\mathrm{dF}}_z,$ 并且V,μ,α,q,x,h分别为飞行速度、俯仰航迹角、攻角、俯仰角速度、飞行距离和飞行高度，F_x,F_z为由气动力和推力得到的广义力，dF_x,dF_z为弹性模态和外部扰动导致的扰动力，飞行器质量m，重力加速度g，地球自转角速度ω_E，地球半径R_E和飞行器所在的纬度λ^*在实际系统中都具有不确定性，但假设其上下界已知；考虑被跟踪指令信号慢时变情形，通过沿时变路径Θ＝{V₀(t),μ₀(t),α₀(t)}线性化得到线性变参数误差系统：

$\stackrel{\·}{x}=A\left(\mathrm{\Θ}\right)x+B\left(\mathrm{\Θ}\right)\left(\mathrm{\σ}\right(u)+d)$

$Z=\left[\begin{array}{c}Cx\\ D\mathrm{\σ}\left(u\right)\end{array}\right],D^{T}D=I---\left(2\right)$

其中，系统状态x^T＝[ΔVΔμΔα]，控制输入u^T＝[ΔF_xΔF_zΔq]，未知外部扰动d^T＝[dF_xdF_z0]∈L₂，σ(·)为标准的饱和函数，即σ(u)＝sign(u)min{1,|u|}，并且系统矩阵A(Θ)和B(Θ)写为如下形式：

[A(Θ)B(Θ)]＝[A₀(Θ)±ΔA(Θ)B₀(Θ)±ΔB(Θ)]＝[A₀(Θ)B₀(Θ)]+E(Θ)Σ(t)[F_a(Θ)F_b]

其中，A₀(Θ)，B₀(Θ)，ΔA(Θ)，ΔB(Θ)已知，E(Θ)＝ΔB(Θ)，F_a(Θ)＝ΔB^-1(Θ)ΔA(Θ)，F_b＝I，Σ(t)＝diag[ε_i(t)]，|ε_i(t)|≤1，可见 $\mathrm{\Σ}\left(t\right)\∈\mathrm{\Ω}=\left\{\mathrm{\Σ}\left(t\right)\right|\mathrm{\Σ}{\left(t\right)}^T\mathrm{\Σ}\left(t\right)\≤1,\∀t\}.$

步骤2，采用张量积模型转换方法将线性变参数误差系统(2)化为相应的凸多面体形式，考虑系统矩阵：

其中，是一个时变的3维参数向量，是闭的超立方体中的一个元素。通过如下两步得到期望的凸多面体张量积模型：Step1.将系统矩阵在一个紧的超矩形网格进行离散化；Step2.采用带有NN(non-negative)和SN(sumnormalized)变换的扩张高阶奇异值分解技术从上步的离散系统中提取最小的基础系统，其中NN和SN变换保证了得到的线性时不变顶点系统构成采样系统的一个凸包。于是，得到系统矩阵的张量代数形式：

其中，行向量n＝1,2,3包含权重函数 $w_{n,i_n}\left({\mathrm{\&Theta;}}_n\right),i_n=1,...,I_n,w_{n,i_n}\left({\mathrm{\&Theta;}}_n\right)$ 是定义在的第n维的第i_n个权重函数。Θ_n表示向量Θ的第n个元素。I_n<∞表示用在的第n维的权重函数的个数。系数张量由线性时不变顶点系统构成。具体地，定义转换结果为：

其中，r＝I₁×I₂×I₃，权重函数p_i(t)满足：0≤p_i(t)≤1。

步骤3，令h_i为矩阵H的第i行，定义对称多面体：

令为m×m对角矩阵的集合，其对角元素为1或者0。例如，当m＝2时，

可见，集合中有2^m个元素。将集合中各个元素称为E_s，s＝1,2,…,2^m，并且记显然当时亦为集合中的元素。于是，给定矩阵对于如果有：

$\mathrm{\&sigma;}\left(Kx\right)\&Element;co\{E_{s}Kx+E_s^{-}Hx:s\&Element;\&lsqb;1,2^m\&rsqb;\}.$

进一步可写为：

$\mathrm{\&sigma;}\left(Kx\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{s=1}^{2^m}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)x---\left(4\right)$

其中，0≤η_s≤1且

步骤4，如图2所示，综合线性变参数误差系统(2)，系统矩阵凸多面体实现(3)和饱和控制量直接描述式(4)，得到闭环系统：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\&lsqb;A_c\left(p\right)+{\mathrm{\&Delta;A}}_c(p,t)\&rsqb;x+\&lsqb;B\left(p\right)+\mathrm{\&Delta;}B(p,t)\&rsqb;d$

z＝C_cx(5)

其中，

$A_c\left(p\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{A}_{0i}+\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H),{\mathrm{\&Delta;A}}_c(p,t)=\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{E}_i\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_c\left(p\right)$

$F_c\left(p\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}+F_b\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H),C_c=\left[\begin{array}{c}C\\ D\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)\end{array}\right].$

那么，闭环系统(5)内稳定并且满足H_∞性能指标||T_zd(s)||<γ，当且仅当Riccati代数不等式：

${\&lsqb;A_c\left(p\right)+{\mathrm{\&Delta;A}}_c(p,t)\&rsqb;}^{T}P+P\&lsqb;A_c\left(p\right)+{\mathrm{\&Delta;A}}_c(p,t)\&rsqb;+{\mathrm{\&gamma;}}^{-2}P\&lsqb;B\left(p\right)+\mathrm{\&Delta;}B(p,t)\&rsqb;{\&lsqb;B\left(p\right)+\mathrm{\&Delta;}B(p,t)\&rsqb;}^{T}P+C_c^T{C}_c<0---\left(6\right)$

存在一个正定解P。已知不等式(6)对于任意Σ(t)∈Ω且成立，当且仅当存在一个适当的标量λ>0，使得如下Riccati代数方程：

$\begin{array}{c}{\&lsqb;A_c\left(p\right)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}B\left(p\right)F_b^T{F}_c\left(p\right)\&rsqb;}^{T}P+P\&lsqb;A_c\left(p\right)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}B\left(p\right)F_b^T{F}_c\left(p\right)\&rsqb;\\ +{\mathrm{\&gamma;}}^{-2}P\&lsqb;B\left(p\right)R^2{B}^T\left(p\right)+{\mathrm{\&lambda;}}^{2}E\left(p\right)E^T\left(p\right)\&rsqb;P+C_c^T{C}_c+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{F}_c^T\left(p\right)F_c\left(p\right)<0\end{array}$

存在一个正定解P，其中进一步代入A_c(p)，F_c(p)和C_c表达式得到：

$\begin{array}{c}{\&lsqb;\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{A}_{0i}+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}\&rsqb;}^{T}P\\ +P\&lsqb;\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{A}_{0i}+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}\&rsqb;\\ +{\mathrm{\&gamma;}}^{-2}P\&lsqb;(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2})\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}^T+{\mathrm{\&lambda;}}^2\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{E}_i\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{P}_i{E}_i^T\&rsqb;P\\ +C^{T}C+\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s{(E_{s}K+E_s^{-}H)}^T(D^{T}D+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}I)\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)\\ +{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}\&lsqb;\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}^T\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}+\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}^T\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)+\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s{(E_{s}K+E_s^{-}H)}^T\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}\&rsqb;\\ \&le;\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s{p}_i{p}_j({\tilde{A}}_{s,i,j}^{T}P+P{\tilde{A}}_{s,i,j}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-2}P{\tilde{B}}_i{\tilde{B}}_i^{T}P+{\tilde{C}}_{s,i}^T{\tilde{C}}_{s,i})<0\end{array}$

其中，

${\tilde{A}}_{s,i,j}=A_{0i}+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_{s}K+E_s^{-}H)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}$

${\tilde{B}}_i=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}}{B}_{0i}& {\mathrm{\&lambda;E}}_i\end{array}\right]$

${\tilde{C}}_{s,i}^T=\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& {(E_{s}K+E_s^{-}H)}^T{D}^T& \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}{(E_{s}K+E_s^{-}H)}^T& \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}{F}_{ai}^T\end{array}\right].$

取Q＝P^-1，Y＝KQ和Z＝HQ，且不等式左右分别乘以P^-1，得到系统满足鲁棒H_∞性能的充分条件是：

$\left[\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}{\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_{s}Y+E_s^{-}Z)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;}^T\\ +\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_{s}Y+E_s^{-}Z)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;\end{array}\right)& \left[\begin{array}{cc}\sqrt{1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}}{B}_{0i}& {\mathrm{\&lambda;E}}_i\end{array}\right]& {*}^T\\ {*}^T& -\mathrm{\&gamma;}I& 0\\ \left[\begin{array}{c}\mathrm{CQ}\\ D(E_{s}Y+E_s^{-}Z)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}(E_{s}Y+E_s^{-}Z)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}{F}_{ai}Q\end{array}\right]& 0& -\mathrm{\&gamma;}I\end{array}\right]<0$

存在正定解Q，其中i,j∈[1,r]，s∈[1,2^m]，*为矩阵元素相应的对称项。根据解得的矩阵(Q,Y,Z)计算控制增益矩阵K＝YQ^-1和状态约束矩阵H＝ZQ^-1。进一步令Y＝Z则能够完全避免控制器饱和现象的发生。

步骤5，为了降低解的保守性和获得更好的H_∞性能，令控制率具有时变参数依赖形式：

$u\left(t\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^r{p}_i{K}_{i}x\left(t\right)=\stackrel{\&OverBar;}{K}x---\left(7\right)$

综合线性变参数误差系统(2)，系统矩阵凸多面体实现(3)和饱和控制量直接描述式(7)得到如下的闭环系统：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\&lsqb;{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_c\left(p\right)+\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_c(p,t)\&rsqb;x+\&lsqb;B\left(p\right)+\mathrm{\&Delta;}B(p,t)\&rsqb;d$

$z={\stackrel{\&OverBar;}{C}}_{c}x---\left(8\right)$

其中，

${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_c\left(p\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{A}_{0i}+\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{B}_{0i}\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_s\stackrel{\&OverBar;}{K}+E_s^{-}\stackrel{\&OverBar;}{H}),\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_c(p,t)=\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{E}_i\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right){\stackrel{\&OverBar;}{F}}_c\left(p\right),$

${\stackrel{\&OverBar;}{F}}_c\left(p\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{F}_{ai}+F_b\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_s\stackrel{\&OverBar;}{K}+E_s^{-}\stackrel{\&OverBar;}{H}),{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_c=\left[\begin{array}{c}C\\ D\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_s\stackrel{\&OverBar;}{K}+E_s^{-}\stackrel{\&OverBar;}{H})\end{array}\right],$

并且 $\stackrel{\&OverBar;}{K}={\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^r{p}_j{K}_j$ 和 $\stackrel{\&OverBar;}{H}={\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^r{p}_j{H}_j.$ 闭环系统(8)满足鲁棒H_∞性能的充分条件为线性矩阵不等式：

$\left[\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}{\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_s{Y}_j+E_s^{-}{Z}_j)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;}^T\\ +\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_s{Y}_j+E_s^{-}{Z}_j)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;\end{array}\right)& \left[\begin{array}{cc}\sqrt{1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}}{B}_{0i}& {\mathrm{\&lambda;E}}_i\end{array}\right]& {*}^T\\ {*}^T& -\mathrm{\&gamma;}I& 0\\ \left[\begin{array}{c}CQ\\ D(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}{F}_{ai}Q\end{array}\right]& 0& -\mathrm{\&gamma;}I\end{array}\right]<0---\left(9\right)$

存在正定解Q。其中，i,j∈[1,r]，s∈[1,2^m]，*为矩阵元素相应的对称项。根据解得的矩阵(Q,Y_i,Z_i)计算控制增益矩阵K_i＝Y_iQ^-1和状态约束矩阵H_i＝Z_iQ^-1。进一步为了减少计算线性矩阵不等式的个数，分别考虑矩阵的对角与非对角元素，即通过如下的分解：

$\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s{p}_i{p}_j({\tilde{A}}_{s,i,j}^{T}P+P{\tilde{A}}_{s,i,j}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-2}P{\tilde{B}}_i{\tilde{B}}_i^{T}P+{\tilde{C}}_{s,i}^T{\tilde{C}}_{s,i})$

$=\underset{s=1}{\overset{2^m}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&eta;}}_s\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i^2({\tilde{A}}_{s,i,i}^{T}P+P{\tilde{A}}_{s,i,i}+{\mathrm{\&gamma;}}^{-2}P{\tilde{B}}_i{\tilde{B}}_i^{T}P+{\tilde{C}}_{s,i}^T{\tilde{C}}_{s,i})\\ +\underset{i=1}{\overset{r}{\&Sigma;}}\underset{j<i}{\overset{r}{\&Sigma;}}{p}_i{p}_j({\tilde{A}}_{s,i,j}^{T}P+P{\tilde{A}}_{s,i,j}+{\tilde{A}}_{s,j,i}^{T}P+P{\tilde{A}}_{s,j,i})\end{array}\right]$

可以得到不等式(9)的等价条件(10)和(11)：

$\left[\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}{\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;}^T\\ +\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;\end{array}\right)& \left[\begin{array}{cc}\sqrt{1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}}{B}_{0i}& {\mathrm{\&lambda;\&lambda;E}}_i\end{array}\right]& {*}^T\\ {*}^T& -\mathrm{\&gamma;}I& 0\\ \left[\begin{array}{c}CQ\\ D(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}{F}_{ai}Q\end{array}\right]& 0& -\mathrm{\&gamma;}I\end{array}\right]<0---\left(10\right)$

其中，i∈[1,r]，s∈[1,2^m]，*为矩阵元素相应的对称项。以及

$\begin{array}{c}{\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_s{Y}_j+E_s^{-}{Z}_j)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;}^T\\ +\&lsqb;A_{0i}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0i}(E_s{Y}_j+E_s^{-}{Z}_j)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\&rsqb;\\ +{\&lsqb;A_{0j}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0j}(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0j}{F}_{ai}Q\&rsqb;}^T\\ +\&lsqb;A_{0j}Q+(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1})B_{0j}(E_s{Y}_i+E_s^{-}{Z}_i)+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0j}{F}_{ai}Q\&rsqb;<0\end{array}---\left(11\right)$

其中，i<j∈[1,r]，s∈[1,2^m]。条件(10)与(11)所需计算的不等式个数比较条件(9)减少了r(r-1)·2^m-1个。

Claims (5)

1.一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，其特征在于包含如下步骤：

(a)考虑飞行速度、攻角和航迹角动态组成的具有不确定参数和外部扰动的飞行器模型，被跟踪指令信号慢时变，通过沿时变路径线性化将原非线性系统的跟踪问题转化为对应线性变参数误差系统的鲁棒H_∞问题；

(b)采用张量积模型转换方法得到(a)中线性变参数误差系统的凸多面体形式，并且当系统状态约束在某局部范围内时，将控制量的饱和效应同样采用凸多面体结构直接描述，进一步得到其闭环系统；

(c)针对(b)中闭环系统，基于鲁棒H_∞理论求解有限个数的线性矩阵不等式得到输入饱和跟踪控制器，该控制器在系统状态局部范围内能实现对指令信号的有效跟踪以及对外部扰动的抑制；特别地，若令状态约束矩阵等于控制增益矩阵则能够完全避免控制器饱和现象的发生。

2.根据权利要求1所述的一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，其特征在于：所述步骤(a)中，考虑飞行器的速度V、攻角α和航迹角μ动态组成的飞行器纵向动力学模型，该模型具有非线性、强耦合、多变量和不确定的特征，假设被跟踪指令信号慢时变，通过沿时变路径Θ＝{V₀(t),μ₀(t),α₀(t)}线性化得到线性变参数误差系统，期望通过设计饱和控制器使得误差闭环系统稳定并且能够抑制外部干扰。

3.根据权利要求1所述的一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，其特征在于：所述步骤(b)中，采用张量积模型转换方法将线性变参数误差系统化为相应的凸多面体形式：

其中，r＝I₁×I₂×I₃，权重函数p_i(t)满足：0≤p_i(t)≤1；此外，给定矩阵对于如果有 $\mathrm{\&sigma;}\left(Kx\right)\&Element;co\{E_{s}Kx+E_s^{-}Hx:s\&Element;\&lsqb;1,2^m\&rsqb;\},$ 即：

$\mathrm{\&sigma;}\left(Kx\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{s=1}^{2^m}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H)x$

其中，0≤η_s≤1且于是，综合线性变参数误差系统，系统矩阵对应的凸多面体实现和饱和控制量直接描述式，得到闭环系统：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\&lsqb;A_c\left(p\right)+{\mathrm{\&Delta;A}}_c(p,t)\&rsqb;x+\&lsqb;B\left(p\right)+\mathrm{\&Delta;}B(p,t)\&rsqb;d$

z＝C_cx

其中， $A_c\left(p\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^r{p}_i{A}_{0i}+{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^r{p}_i{B}_{0i}{\mathrm{\&Sigma;}}_{s=1}^{2^m}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H),{\mathrm{\&Delta;A}}_c(p,t)=E\left(p\right)\mathrm{\&Sigma;}\left(t\right)F_c\left(p\right),$ $F_c\left(p\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^r{p}_i{F}_{ai}+F_b{\mathrm{\&Sigma;}}_{s=1}^{2^m}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H),F_c\left(p\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^r{p}_i{F}_{ai}+F_b{\mathrm{\&Sigma;}}_{s=1}^{2^m}{\mathrm{\&eta;}}_s(E_{s}K+E_s^{-}H).$

4.根据权利要求1所述的一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，其特征在于：所述步骤(c)中，闭环系统内稳定并且满足H_∞性能指标‖T_zd(s)‖<γ的充分条件是线性矩阵不等式：

$\left[\begin{array}{ccc}\left(\left[\begin{array}{c}{A}_{0i}Q+\left(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\right)B_{0i}\left(E_{s}Y+E_s^{-}Z\right)\\ +{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\end{array}\right]+{*}^T\right)& \left[\begin{array}{cc}\sqrt{1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}}{B}_{0i}& {\mathrm{\&lambda;E}}_i\end{array}\right]& {*}^T\\ {*}^T& -\mathrm{\&gamma;}I& 0\\ \left[\begin{array}{c}CQ\\ D\left(E_{s}Y+E_s^{-}Z\right)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}\left(E_{s}Y+E_s^{-}Z\right)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}{F}_{ai}Q\end{array}\right]& 0& -\mathrm{\&gamma;}I\end{array}\right]<0$

存在正定解Q，其中i,j∈[1,r]，s∈[1,2^m]，*为矩阵元素相应的对称项，根据解得的矩阵(Q,Y,Z)计算控制增益矩阵K＝YQ^-1和状态约束矩阵H＝ZQ^-1，令Y＝Z则能够完全避免控制器饱和现象的发生。

5.根据权利要求1所述的一种具有输入饱和的飞行器跟踪控制直接法，其特征在于：进一步降低解的保守性及获得更好的H_∞性能，考虑控制率具有时变参数依赖形式：

$u\left(t\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^r{p}_i{K}_{i}x\left(t\right)=\stackrel{\&OverBar;}{K}x$

为了减少需要计算的线性矩阵不等式个数，将矩阵的对角与非对角元素分解，得到闭环系统满足鲁棒H_∞性能的充分条件为求解如下线性矩阵不等式：

$\left[\begin{array}{ccc}\left(\left[\begin{array}{c}{A}_{0i}Q+\left(1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}\right)B_{0i}\left(E_{s}Y+E_s^{-}Z\right)\\ +{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}{\mathrm{\&gamma;}}^{-1}{B}_{0i}{F}_{aj}Q\end{array}\right]+{*}^T\right)& \left[\begin{array}{cc}\sqrt{1+{\mathrm{\&lambda;}}^{-2}}{B}_{0i}& {\mathrm{\&lambda;E}}_i\end{array}\right]& {*}^T\\ {*}^T& -\mathrm{\&gamma;}I& 0\\ \left[\begin{array}{c}CQ\\ D\left(E_{s}Y+E_s^{-}Z\right)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}\left(E_{s}Y+E_s^{-}Z\right)\\ \sqrt{2}{\mathrm{\&lambda;}}^{-1}{F}_{ai}Q\end{array}\right]& 0& -\mathrm{\&gamma;}I\end{array}\right]<0$

其中，i∈[1,r]，s∈[1,2^m]，*为矩阵元素相应的对称项，并且

其中，i<j∈[1,r]，s∈[1,2^m]，根据解得的矩阵(Q,Y_i,Z_i)计算控制增益矩阵K_i＝Y_iQ^-1和状态约束矩阵H_i＝Z_iQ^-1，并且减少的不等式个数为r(r-1)·2^m-1。