CN110347173A - 一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法 - Google Patents
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Abstract
一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，它属于航天器姿态跟踪控制技术领域。本发明解决了存在建模不确定性、外部干扰和输入饱和效应的情况下，航天器姿态跟踪控制系统的鲁棒性较差，导致对航天器姿态跟踪控制效果差的问题。本发明方法的具体实施过程为：步骤一、建立地心惯性坐标系oIxIyIzI、航天器本体坐标系oBxByBzB和期望参考坐标系oRxRyRzR；步骤二、根据步骤一建立的坐标系，获得采用姿态四元数描述的航天器姿态运动学和动力学方程，以及航天器误差姿态运动学方程和动力学方程，即姿态跟踪控制系统；步骤三、基于步骤二，以积分终端滑模面为基础，设计考虑未知外部干扰力矩和转动惯量不确定性的姿态跟踪控制器。本发明可以应用于航天器姿态跟踪控制。
Description
技术领域
本发明属于航天器姿态跟踪控制技术领域，具体涉及一种航天器姿态跟踪控制方法。
背景技术
航天器的姿态控制是指在满足相关姿态运动学、动力学方程的约束条件下，根据航天任务的具体要求，对目标航天器施加外部作用以改变其相对于惯性参考系或其他参考坐标系的指向的控制技术。为了确保航天器的正常工作，除了配备功能完整的硬件系统之外，还需设计能够明确处理各种系统不确定性的姿态控制算法。
近年来滑模控制受到了航天领域研究人员的青睐，并获得了广泛地研究和应用。在设计滑模变结构控制器时，首先需要利用系统状态变量构造滑模面，并确保在滑模面上系统状态将最终收敛于期望的平衡点；然后通过设计控制输入信号，使得系统状态能够在有限时间内运动至滑模面上。Young和Utkin等(Young K D,Utkin V I,Ozguner U.Acontrol engineer’s guide to sliding mode control[J].IEEE Transactions onControl Systems Technology,1999,7(3):328–342)(Utkin V I.Sliding mode controldesign principles and applications to electric drives[J].IEEE Transactions onIndustrial Electronics,1993,40(1):23–36)总结了滑模控制方法在不同领域的应用情况，同时为了处理系统中存在的外部干扰，分别利用高增益切换函数和滑模观测器设计了鲁棒控制器。Banga等(Banga H,Hab C K,Kim J H.Flexible spacecraft attitudemaneuver by application of sliding mode control[J].Acta Astronautica,2005,57(11):841–850.)和Pukdeboon等(Pukdeboon C,Zinober A S I.Optimal sliding modecontrollers for spacecraft attitude manoeuvres[C].Proceedings of the 6th IFACSymposium on Robust Control Design,Haifa,Israel,2009:173–178.)以积分滑模面为基础设计控制器，前述文献中滑模面均为系统状态的线性函数，因此仅能确保控制系统是渐近稳定的，而终端滑模控制方法则以非线性的终端滑模面为基础设计控制器，使得系统状态能够在有限时间内运动至期望平衡点，进而能够显著提高系统的收敛速度和稳态控制精度。此外，相对于基于齐次方法(Bhat S P,Bernstein D S.Finite time stability ofcontinuous autonomous systems[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2000,38(3):751–766)(Hong Y,Xu Y,Huang J.Finite-time control for robotmanipulators[J].Systems and Control Letters,2002,46(4):243–253)(Du H,LiS.Finite-time attitude stabilization for a spacecraft using homogeneousmethod[J].Journal of Guidance Control and Dynamics,2012,35(3):740–748)和加幂积分方法(Lin W,Qian C.Adding one power integrator:a tool for globalstabilization of high-order lower-triangular systems[J].Systems and ControlLetters,2000,39(5):339–351.)(Huang X,Lin W.Yang B.Global finite-timestabilization of a class of uncertain nonlinear systems[J].Automatica,2005,41(5):881–888.)(Shen Y,Huang Y.Global finite-time stabilisation for a class ofnonlinear systems[J].International Journal of Systems Science,2012,43(1):73–78)设计的有限时间控制方法，终端滑模控制方法能够直接处理多种系统不确定性，因此更适于解决航天器的姿态控制问题。然而，终端滑模控制方法存在如下两个主要缺陷：在平衡点处控制输入信号为无穷大，即产生了控制奇异问题，以及在远离平衡点时系统收敛速度较慢的问题。针对上述问题，Man等(Man Z H,Yu X H.Terminal sliding mode control ofMIMO linear systems[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems-I:Fundamental Theory and Applications,1997,44(11):1065–1070)设计了具有分层式结构的终端滑模面，并通过设计切换控制器解决了在期望平衡点处产生的控制奇异问题。Feng等(Feng Y,Yu X,Han F.On nonsingular terminal sliding mode control ofnonlinear systems[J].Automatica,2013,49(6):1715–1722)通过对控制器中的奇异项施加限幅作用，避免了在平衡点处控制输入信号取值为无穷大，并且严格分析了状态空间中系统状态的运动轨迹。为加快系统的收敛速度，文献(Wu S,Radice G,Gao Y.Quaternion-based finite time control for spacecraft attitude tracking[J].ActaAstronautica,2011,69(1):48–58.)(Zhao D Y,Li S Y,Gao F.A new terminal slidingmode control for robotic manipulators[J].International Journal of Control,2009,82(10):1804–1813.)(Yang L,Yang J Y.Nonsingular fast terminal slidingmode control for nonlinear dynamical systems[J].International Journal ofRobust and Nonlinear Control,2011,21(16):1865–1879)通过在终端滑模面中加入系统状态的线性项和非线性项构造了快速终端滑模面。Wang和Zou等(Wang L,Chai T,ZhaiL.Neural-network-based terminal sliding mode control of robotic manipulatorsincluding actuator dynamics[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2009,56(9):3296–3304.)(Zou A M,Kumar K D,Hou Z G,et al.Finite-time attitudetracking control for Spacecraft using terminal sliding mode and Chebyshevneural network[J].IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics,Part B,Cybernetics,2011,41(4):950–963.)则通过令终端滑模面在原点的邻域内切换至一般的滑模面，而设计了具有切换形式的非奇异终端滑模面。
航天器姿态控制系统中不可避免地受到多种系统不确定性的影响，并且通常难以获得其先验信息。Lee等(Lee D,Vukovich G.Robust adaptive terminal sliding modecontrol on SE(3)for autonomous spacecraft rendezvous and docking[J].NonlinearDynamics,2016,83(4):2263–2279)基于边界层法和自适应控制方法设计了航天器近距离交会对接控制器，并假设包含外部干扰和模型不确定性在内的系统不确定性具有常数上界。Sun等(Sun L,Zheng Z.Adaptive relative pose control for autonomousspacecraft rendezvous and proximity operations with thrust misalignment andmodel uncertainties[J].Advances in Space Research,2017,59(7):1861–1871)采用线性算子对系统不确定性进行线性化表示，进而设计了自适应控制器。Wheeler等(WheelerG,Su C Y,Stepanenko Y.A sliding adaptation mode controller with improved lawsfor the upper bounds on the norm of uncertainties[C].IEEE Workshop onVariable Structure Systems,1996:154–159.)针对上界函数为系统状态的多项式函数的不确定性，基于先验信息及线性滑模面设计了控制器，并证明了控制系统的最终一致有界稳定性。
受到技术发展水平的制约，航天器星载执行机构的物理特性通常受到一定限制，若不对其进行相应处理，系统的控制性能将会受到很大影响。因此，有必要对存在控制输入受限情况下的航天器姿态跟踪控制问题做进一步研究。基于Nussbaum型函数设计控制器以解决控制方向不确定的问题。Shen等(Shen Q,Wang D W,Zhu S Q,et al.Finite timefault tolerant attitude stabilization for spacecraft with actuator saturation[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2015,51(3):2390–2404.)通过将控制输入饱和问题建模为期望控制信号与未知非零系数的乘积，并以此设计了新型的自适应控制器对该未知系数进行估计和补偿。De Ruiter(De Ruiter A HJ.Adaptive spacecraft attitude control with actuator saturation[J].Journal ofGuidance Control and Dynamics,2012,33(5):1692–1696.)针对航天器姿态跟踪问题，利用自适应控制方法对外部干扰力矩和模型不确定性进行在线处理，并给出了控制系统的吸引域以确保在该吸引域内控制输入信号满足期望的饱和约束。
虽然现有方法在航天器姿态跟踪控制领域的研究取得了一定的进展，但是在存在建模不确定性、外部干扰和输入饱和效应的情况下，航天器姿态跟踪控制系统的鲁棒性仍然较差，导致对刚体航天器姿态跟踪控制效果较差。
发明内容
本发明的目的是为解决在存在建模不确定性、外部干扰和输入饱和效应的情况下，航天器姿态跟踪控制系统的鲁棒性较差，导致对航天器姿态跟踪控制效果差的问题，而提出了一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法。
本发明为解决上述技术问题采取的技术方案是：一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立地心惯性坐标系oIxIyIzI、航天器本体坐标系oBxByBzB和期望参考坐标系oRxRyRzR；
步骤二、根据步骤一建立的坐标系，获得采用姿态四元数描述的航天器姿态运动学和动力学方程，以及航天器误差姿态运动学方程和动力学方程，即姿态跟踪系统；
步骤三、基于步骤二，以积分终端滑模面为基础，设计考虑未知外部干扰力矩和转动惯量不确定性的姿态跟踪控制器。
本发明的有益效果是：本发明的一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，本发明考虑外部干扰力矩、模型不确定性和控制输入饱和效应等系统不确定性的影响；在无法获得系统不确定性先验信息的情况下，基于积分终端滑模面、快速非奇异终端滑模面和非连续自适应控制方法设计了姿态跟踪控制器。
在本发明设计的姿态跟踪控制器的作用下，航天器系统均能够在有限时间内实现对期望姿态信号的跟踪，并获得了较高的稳态控制精度，克服了传统航天器姿态跟踪控制系统的鲁棒性较差，对航天器姿态跟踪控制效果差的问题，并通过仿真结果验证了其有效性；
本发明的航天器姿态跟踪控制系统能够在20秒内达到稳态，且误差四元数矢量部分和误差角速度的稳态精度分别为：2×10-5和5×10-5rad/s，其在系统响应速度及稳态控制精度方面具有更好的控制性能。控制器(23)能够同时处理外部干扰力矩、模型不确定性和控制输入饱和等系统不确定性，且无需系统不确定性的先验信息。因此，本发明所设计控制器具有更好的控制性能；
本发明所设计的姿态跟踪控制器能够显著削弱执行器的抖振，进一步验证了本发明所设计姿态跟踪控制器的有效性和优越性。
附图说明
图1是本发明的一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法的流程图；
图2是本发明建立的各坐标系的示意图；
图3为采用本发明方法的误差四元数标量部分的响应曲线图；
图4为采用本发明方法的误差四元数矢量部分的响应曲线图；
图5为采用本发明方法的误差角速度的响应曲线图；
图6为采用本发明方法的闭环姿态跟踪控制系统控制力矩u的响应曲线图；
图7为采用本发明方法的自适应参数(cl，l＝0,1,2,3)的响应曲线图；
图8为传统方法的误差四元数矢量部分的响应曲线图；
图9为传统方法的误差角速度的响应曲线图；
图10为传统方法的闭环姿态跟踪控制系统控制力矩u的响应曲线图。
具体实施方式
具体实施方式一：如图1所示，本实施方式所述的一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立地心惯性坐标系oIxIyIzI、航天器本体坐标系oBxByBzB和期望参考坐标系oRxRyRzR；
步骤二、根据步骤一建立的坐标系，获得采用姿态四元数描述的航天器姿态运动学和动力学方程，以及航天器误差姿态运动学方程和动力学方程，即姿态跟踪系统；
步骤三、基于步骤二，以积分终端滑模面为基础，设计考虑未知外部干扰力矩和转动惯量不确定性的姿态跟踪控制器。
具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一的具体过程为：
建立如下坐标系：(章仁为.卫星轨道姿态动力学与控制[M].北京：北京航天航天大学出版社,2006:147–155)
地心惯性坐标系oIxIyIzI：地心惯性坐标系的坐标原点位于地球球心，地心惯性坐标系的oIxIyI平面位于赤道面，oIxI轴指向空间中的春分点方向，oIzI轴垂直于赤道面并指向地球的北极点方向，oIyI轴与oIxI轴和oIzI轴共同构成右手直角坐标系；
航天器本体坐标系oBxByBzB：航天器本体坐标系的坐标原点位于被控航天器的质心，航天器本体坐标系的坐标轴与航天器的三个惯性主轴重合；
期望参考坐标系oRxRyRzR：期望参考坐标系由航天器的跟踪目标或具体的航天任务决定。
当根据航天器的跟踪目标建立期望参考坐标系时，期望参考坐标系为航天器轨道坐标系，航天器轨道坐标系是以航天器的质心为原点的，航天器轨道坐标系的x轴是航天器的质心到地心的指向，y轴在航天器的轨道平面上，与x轴垂直，并指向航天器的运动方向，z轴与x和y构成右手直角坐标系。当航天任务是姿态跟踪时，期望参考坐标系为航天器的本体坐标系。建立的各坐标系的示意图如图2所示。
具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式二不同的是：所述步骤二的具体过程为：
考虑到姿态四元数的无奇异性，本发明主要基于姿态四元数(Shuster M D.Asurvey of attitude representations[J].The Journal of the AstronauticalSciences,1993,41(4):439–517.)描述航天器的姿态运动。
定义为航天器本体坐标系相对于地心惯性坐标系的姿态四元数，其中，q0为姿态四元数q的标量部分，qv为姿态四元数q的矢量部分，上角标T代表矩阵的转置，并且
定义ω＝[ω1,ω2,ω3]T为航天器本体坐标系相对于地心惯性坐标系的角速度，ω1、ω2和ω3均为ω中的分量；
将ω表示在航天器本体坐标系上，那么，根据文献(Shuster M D.A survey ofattitude representations[J].The Journal of the Astronautical Sciences,1993,41(4):439–517)，则航天器的姿态运动学和动力学方程表示为：
其中：代表q的一阶导数，代表ω的一阶导数，ω×代表ω的反对称矩阵，J为航天器的转动惯量矩阵，u为作用于航天器系统的控制输入信号，d表示外部干扰性因素(太阳光压和地球重力梯度力矩等)作用于航天器的外部干扰力矩(Boskovic J D,Li S M,Mehra R K.Robust tracking control designfor spacecraft under control input saturation[J].Journal of Guidance Controland Dynamics,2004,27(4):627–633.)；d1、d2和d3均为d中的分量；
中间变量E(q)的表达式为：
其中：I3×3代表单位矩阵，代表qv的反对称矩阵；
定义为期望参考坐标系相对于地心惯性坐标系的姿态四元数，其中，qd0为姿态四元数qd的标量部分，为姿态四元数qd的矢量部分，ωd＝[ωd1,ωd2,ωd3]T为期望参考坐标系相对于地心惯性坐标系的角速度，ωd1、ωd2和ωd3为ωd中的分量；
将ωd表示在期望参考坐标系上，定义为qd的对偶四元数；
那么，航天器本体坐标系相对于期望参考坐标系的误差四元数和误差角速度通过公式(4)和公式(5)计算：
其中，ο代表四元数乘法，代表qdv的反对称矩阵，表示从期望参考坐标系到航天器本体坐标系的坐标变换矩阵；qd0为的标量部分，为的矢量部分；
为姿态四元数的标量部分，为姿态四元数的矢量部分，和为中的分量，和为中的分量；
且与存在如下关系：
那么，将航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程表示为：
其中：为的一阶导数，为的一阶导数；
由于存在转动惯量不确定性，将公式(2)中的转动惯量矩阵J表示为J＝J0+ΔJ，其中，J0为已知的对称正定矩阵，J0表示转动惯量矩阵J的标称部分；ΔJ为未知的对称正定矩阵，ΔJ表示由于燃料消耗以及建模不确定因素而产生的转动惯量不确定性；则将公式(8)整理公式(9)的形式：
其中，中间变量F和ΔF的表达式分别为：
δ＝ΔF+d (12)
δ为同时包含外部干扰力矩和模型不确定性的姿态跟踪控制系统综合不确定性。
对于三维向量表示由矢量生成的反对称矩阵，且有
假设外部干扰力矩d的一阶导数是有界的，且存在正常数使得成立。
首先引入快速非奇异终端滑模面：
其中，k＝1,2,3，α1＞0，α2＞0，r1＝(2-γ)ηγ-1，r2＝(γ-1)ηγ-2，0＜γ＜1以及0＜η＜1。
航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程可以表示为：
u＝u1+u2 (47)
其中，k2＞d2,max
针对滑模面(41)和(44)，假设系统中同时存在外部干扰力矩d和模型不确定性ΔJ，则根据航天器姿态动力学方程(46)可得：
将δ重写如下：
此时，可以参考控制器(47)设计u和u1：
u＝u1+u2 (52)
将式(53)代入式(50)得
J0σ＝δ+u2 (54)
对式(54)求导得
可以表示为
其中，d/dt(ΔJ)＝03×3。与相比，的形式更为复杂，并含有误差角速度及其导数以及控制输入信号的导数等，致使其先验信息更难以获得。由于u1中包含了等项，使得δ在原点处不可导，因此难以设计因此，考虑到控制算法的可实现性，需要对控制器(52)做出适当改进；
具体实施方式四中将主要基于积分终端滑模面、快速非奇异终端滑模面、非连续自适应控制方法、二阶滑模微分器设计姿态跟踪控制器。
具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式三不同的是：所述步骤三的具体过程为：
积分终端滑模面s如下：
其中，s1,s2,s3均为s中的分量，z代表一阶滤波器的状态变量(z具有零初始状态，即z(0)＝03×1)，是z的一阶导数，α1＞0，α2＞0，μ≥1；
为中间变量，和为中的分量；
利用积分终端滑模面(13)设计快速非奇异终端滑模面σ如下：
f(s)＝[f(s1),f(s2),f(s3)]T (18)
其中，σ1、σ2和σ3为σ中的分量，α3＞0，α4＞0，是s的一阶导数，0＜γ1＜1以及0＜η1＜1； f(s)为中间变量，f(s1)、f(s2)和f(s3)为f(s)中的分量，为f(sk)的一阶导数，sk为s中的分量，为sk的一阶导数；
由于σ包含使得σ不可测。针对该问题：
构造指令滤波器(Hu J C,Zhang H H.A simple saturated control frameworkfor spacecraft with bounded disturbance[J].International Journal of Robustand Nonlinear Control,2016,26(3):367–384)来获取的在线估计值：
z1(0)＝s(0)，z2(0)＝03×1, (22)
其中：z1＝[z1,1,z1,2,z1,3]T和z2＝[z2,1,z2,2,z2,3]T分别为s和的在线估计值，是z1的一阶导数，是z2的一阶导数；ξ和ωn分别为阻尼系数和自然频率，定义e0＝s-z1和分别为对于s和的估计误差；
那么，根据文献(Hu J C,Zhang H H.A simple saturated control frameworkfor spacecraft with bounded disturbance[J].International Journal of Robustand Nonlinear Control,2016,26(3):367–384)可知，若选取合适的参数，e0和e1能够在有限时间内收敛到零。
根据滑模面(13)和(17)的结构特点，构建如下增广系统以约束执行器的动态特性：
u＝sat(u1)+u2 (23)
sat(u1)＝[sat(u1,1),sat(u1,2),sat(u1,3)]T (25)
sat(uc)＝[sat(uc,1),sat(uc,2),sat(uc,3)]T (26)
其中：u1代表作用于姿态跟踪控制系统的控制输入信号的一部分，u2代表一阶滤波器的输出，是u2的一阶导数，uc代表通过饱和函数之前的控制信号，sat(·)代表饱和函数，·代表饱和函数的自变量，k1≥1，u1＝[u1,1,u1,2,u1,3]T，u1,1、u1,2和u1,3为u1中的分量，uc＝[uc,1,uc,2,uc,3]T，uc,1、uc,2和uc,3为uc中的分量；
k＝1,2,3，Xmax为函数sat(xk)绝对值的最大值，a为常数，且有0＜a＜Xmax，tanh为双曲正切函数；
u2＝[u2,1,u2,2,u2,3]T，u2具有零初始状态，即u2(0)＝03×1，函数sat(u1)和sat(uc)的最大值分别为U1,max和Uc,max，并且Umax为u的最大值，因此，可通过选取合适的设计参数使其满足U1,max+Uc,max≤Umax。
注1：利用对函数sat(xk)(k＝1,2,3)求导得
并且，有如下等式成立：
所以，dsat(xk)/dt在其定义域内是连续函数，sat(xk)(xk∈R)是可导函数。
注2：式(24)具有一阶滤波器的形式，u2为该滤波器的输出，而饱和函数sat(uc)则可看作该滤波器的输入。那么，u2各分量始终有界，且根据一阶滤波器的结构特性，u2上界取决于参数Uc,max和k1。进而可知，通过选取恰当的参数U1,max，使得U1,max+Uc,max≤Umax成立，则u中各分量的绝对值均能满足期望的幅值约束。
基于公式(17)和z2，构造滑模面作为σ的在线估计值：
其中，
对式(28)左乘J0得：
其中，Δu1＝sat(u1)-u1，Δu1为限幅之前控制器输出与限幅之后控制器输出的差值；
假设航天器的转动惯量矩阵J、角速度ωd、ωd的一阶导数和ωd的二阶导数均有界，系统中存在有界的转动惯量不确定性ΔJ，且dΔJ/dx＝0，外部干扰力矩d是有界的，且存在未知正常数d2,max，使得||d||2≤d2,max成立，||·||2代表2范数；
同时假设：||ΔJ||2≤||J0||2且Δu1+δ-J0e1满足如下关系：
其中：c0、c1、c2和c3均为未知有界正常数；
基于式(13)、(17)、(23)、(24)以及非连续自适应控制方法(Lu K F,Xia Y Q,Fu MY.Controller design for rigid spacecraft attitude tracking with actuatorsaturation[J].Information Sciences,2013,220(20):343–366.)(Shen Q,Wang D W,ZhuS Q,et al.Finite time fault tolerant attitude stabilization for spacecraftwith actuator saturation[J].IEEE Transactions on Aerospace and ElectronicSystems,2015,51(3):2390–2404.)，可以设计航天器姿态跟踪控制器如下：
其中，和分别为c0、c1、c2和c3的估计值，且和具有零初始值；k2、τ1、τ2、pl和χl均为正常数，0＜ρ＜1，为中间变量，为的一阶导数；
将式(31)、(32)和(24)代入式(29)得：
对式(36)求导得
公式(31)～(35)与公式(23)～(27)共同组成姿态跟踪控制器；
注3：将航天器误差姿态动力学方程重写如下：
那么，的2-范数满足如下关系式：
其中，利用了等式此外，根据假设(航天器的转动惯量矩阵J、期望角速度ωd及其一阶导数和二阶导数均有界。系统中存在有界的转动惯量不确定性ΔJ，并且dΔJ/dx＝0。外部干扰力矩d是有界的，并且存在未知正常数d2,max，使得||d||2≤d2,max成立)，ωd、ΔJ和d均有界，由此可知，式(61)的右端包含的最高次幂为
根据δ的定义公式(12)，对求导得：
由于并且根据假设可知是有界的，那么，式(62)的右端所包含的的最高次幂主要由和两项决定，进一步利用式(61)以及如下关系式：
可得
其中，υ0、υ1、υ2和υ3均为未知有界正数。
同理，可以证明下式成立：
其中，和均为未知且有界的正常数。
进一步对求导得
利用式(23)可以求出如下所示：
其中，由式(57)可知：恒成立。
利用式(31)可得：
其中，与式(20)具有相同的定义形式。根据式(14)和(24)可知和是有界的。所以，中的最高次幂为且主要来自于和等项。
因此，
并且
由于在大多数情况下，均有||ΔJ||2≤||J0||2成立。所以，
此外，对于指令滤波器(21)，若其参数选取恰当，即可在有限时间内实现e0＝s-z1＝03×1和并且，存在有界常数ξ4和ξ5，使得在控制过程中||s-z1||2≤ξ0和成立。进一步利用以及式(72)
可知||d(Δu1+δ)/dt||2中的最高次幂为因此，假设(||ΔJ||2≤||J0||2且Δu1+δ-J0e1满足如下关系：其中，c0、c1、c2和c3均为未知有界正常数)是合理的。
注4：由于本发明主要以滑模面(13)和(28)为基础设计控制器，使得式(68)中仅包含和等可导项，保证了Δu1+δ的可导性，有效避免了控制奇异问题。
对于公式(7)和(8)，若姿态跟踪控制系统中同时存在外部干扰力矩d和转动惯量不确定性ΔJ，滑模面的定义如公式(13)、(17)和(28)，指令滤波器的定义如公式(21)和(22)，那么在公式(23)～(27)以及公式(31)～(35)的姿态跟踪控制器的作用下，有如下结论成立：
1)s在有限时间内收敛到原点的邻域；
其中：表示σ稳态值的保守上界，表示中间变量；
2)和在有限时间内收敛到期望平衡点的邻域；
其中：Qk表示中间变量，k＝1,2,3；
结论证明：定义Lyapunov函数
其中，为对cl(l＝0,1,2,3)的估计误差。
对式(74)求导并代入(32)、(36)和(60)得
将式(75)整理为
基于假设(||ΔJ||2≤||J0||2且Δu1+δ-J0e1满足如下关系：其中，c0、c1、c2和c3均为未知有界正常数)以及式(33)可得
那么，式(76)可整理为
其中， 以及
将式(78)重写为如下两种形式：
其中，将不断向原点收敛，且直至τ1≤κ/sT s和τ2≤κ/(sT s)(1+ρ)/2均成立时该收敛过程结束。那么，将在有限时间内收敛到原点的邻域，且其保守上界可以表示为
其中，k＝1,2,3。
由于始终有界，且能够在有限时间内收敛到零，所以存在φ1,k＞0，满足|e1,k|≤φ1,k。考虑到以及因此，滑模变量σ也将在有限时间内收敛至原点的邻域，令表示σ稳态值的保守上界，则有
(82)中所得结果同样适用于的情况。
对于滑模变量s，将σk(k＝1,2,3)重写为
(83)可整理为如下两种形式：
所以，sk(k＝1,2,3)将不断趋近于原点，直到α3≤|σk/sk|和α4≤|σk|/|sk|γ1均满足时该收敛过程结束。那么，滑模变量s稳态值的保守上界可以表示为：
其中，k＝1,2,3，α3、α4、γ1和η1如公式(17)～(20)所定义。基于引理1以及滑模变量s的有限时间有界属性，即可得出姿态误差和角速度误差能够在有限时间内收敛到原点的邻域的结论，且其稳态值的保守上界为
其中，k＝1,2,3，如公式(38)所定义，α1、α2、γ和η如公式(13)～(16)所定义。
结论1)和2)得证。
引理1：对于航天器姿态跟踪控制系统公式(7)和(8)，若成立，且有α1＞0以及α2＞0，那么，和将在有限时间内收敛于期望平衡点的邻域。
证明：为证明滑模面公式(13)的有限时间收敛特性，令所以，
当时，根据式(13)可知
可分析得到和稳态值的上界为
其中，k＝1,2,3，为Δk上界，并且α1、α2、γ和μ如式(13)和(14)所定义。考虑到滑模面公式(13)的结构特点，在和两种情况下，系统跟踪误差稳态值的上界仍可以表示为公式(88)和(89)。
引理1证毕。
注5：滑模面公式(13)的二阶可导特性使得中各项均可导，避免了式(56)中出现的问题。此外，本节针对滑模面公式(13)、(28)，设计了如式(23)和(24)所示的控制输入信号。其中，u1的作用在于：直接消去式(29)中的F、-α2J0z、-J0e1、α3J0s和α4J0f(s)等项，并利用饱和函数sat(u1)对其进行限幅；u2的作用在于：通过针对其一阶导数进行设计，以处理系统不确定性d(Δu1+δ-J0e1)/dt+Δuc。根据式(31)可知，u2连续且饱和。因此，若能够设计合适的控制信号uc使得增广控制系统公式(7)、(8)、(23)和(24)是稳定的，则可以确保u是饱和的。
注6：相对于文献(Feng Y,Han F,Yu X.Chattering free full-order sliding-mode control[J].Automatica,2014,50(4):1310–1314.)，由于利用指令滤波器对s的一阶导数进行直接估计，获得了滑模变量σ的估计值并以此为基础设计控制器以同时处理外部干扰力矩、模型不确定性和控制输入饱和等系统不确定性，增强了控制器的鲁棒性。
此外，为估计也可根据文献(Lu K F,Xia Y Q,Zhu Z,et al.Sliding modeattitude tracking of rigid spacecraft with disturbances[J].Journal of theFranklin Institute,2012,349(2):413–440.)、(Hu Q L,Li B,Qi J.Disturbanceobserver based finite-time attitude control for rigid spacecraft under inputsaturation[J].Aerospace Science and Technology,2014,39:13–21.)构造如下二阶滑模微分器：
其中，s如公式(13)所定义，y0＝[y0,1,y0,2,y0,3]T、y1＝[y1，1,y1，2,y1，3]T和y2＝[y2，1,y2，2,y2，3]T分别为对s、和的实时估计，v0＝[v0,1,v0,2,v0,3]T，v1＝[v1,1,v1，2,v1，3]T，λ0、λ1和λ2为正常数，以及存在正常数L使得成立。虽然，在选取合适的系统参数条件下，二阶滑模微分器(90)能够在有限时间内实现对s、和的精确跟踪，但仍然需要已知s二阶导数的上界L。与此同时，在应用指令滤波器公式(21)在线估计时，则只需令其状态变量的初始值为z1(0)＝s(0)以及z2(0)＝03×1，因此更适宜用来解决本节所面临的问题。
本实施方式考虑了执行器饱和效应、未知模型不确定性、未知外界环境干扰、控制器奇异和控制器抖振等问题，设计了一种有限时间饱和控制器，并给出了相应的理论证明。
数值仿真分析
为了验证本发明所设计控制算法的有效性，进行如下仿真。
航天器系统的初始参数均根据文献(Lu K,Xia Y Q.Adaptive attitudetracking control for rigid spacecraft with finite-time convergence[J].Automatica,2013,49(12):3591–3599.)确定，包括：
q(0)＝[0.8832,0.3,-0.2,-0.3]T
ω(0)＝[0.06,-0.04,0.05]T rad/s
d＝[0.1sin(1t),0.2sin(1.2t),0.3sin(1.5t)]T N·m
qd(0)＝[1,0,0,0]T
ωd＝[0.05sin(0.01πt),0.05sin(0.02πt),0.05sin(0.03πt)]T rad/s
为了考虑模型不确定性对姿态跟踪控制系统的影响，根据文献(Lu K,Xia YQ.Adaptive attitude tracking control for rigid spacecraft with finite-timeconvergence[J].Automatica,2013,49(12):3591–3599.)选取ΔJ为
针对控制器公式(23)，选取各控制参数为α1＝1，α2＝0.3，α3＝2，α4＝0.4，η＝0.0001，η1＝0.001，γ＝0.9，γ1＝0.4，ωn＝6，k1＝1，k2＝0.5，k3＝0.3，k4＝2，k5＝0.01，τ1＝5，τ2＝1，ρ＝0.4，U1,max＝Uc,max＝1N·m，p0＝p1＝p2＝p3＝0.1以及χ0＝χ1＝χ2＝χ3＝0.001，并且其仿真结果如图3至7所示。图3和图4分别为误差四元数标量部分和矢量部分的响应曲线。姿态跟踪系统能够在20秒内达到稳态，且稳态值的上界为1.5×10-5。图5为误差角速度的响应曲线，且其稳态值的上界为5×10-5rad/s。图6为闭环姿态跟踪系统控制力矩u的响应曲线，由仿真结果可知，u能够始终位于±2N·m范围，满足了控制输入饱和约束，并且未发生明显抖振。图7为自适应参数的响应曲线，由仿真结果可知，各自适应参数在控制过程中均保持有界。
传统方法[(Lu K F,Xia Y Q,Fu M Y.Controller design for rigidspacecraft attitude tracking with actuator saturation[J].InformationSciences,2013,220(20):343–366.)以及(Shen Q,Wang D W,Zhu S Q,et al.Finite timefault tolerant attitude stabilization for spacecraft with actuator saturation[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2015,51(3):2390–2404.)]设计的非连续的姿态跟踪控制器如下：
ur＝-τ1s-τ2sigρ(s) (93)
其中，滑模变量s如公式(41)所定义。针对控制器(91)，选择各控制参数为α1＝1，α2＝0.3，τ1＝2，τ2＝0.4，γ＝0.9，ρ＝0.5，η＝0.0001，k1＝1，p0＝p1＝p2＝0.1以及χ0＝χ1＝χ2＝0.001，并且传统方法的仿真结果如图8至10所示。图8为误差四元数矢量部分的响应曲线。由仿真结果可知，能够在20秒内到达稳态，且其稳态值的上界为5×10-4。图9为误差角速度的响应曲线，且其稳态值的上界为1.5×10-3rad/s。图10为控制输入信号u的响应曲线，且发生了较为明显的抖振。
本发明的上述算例仅为详细地说明本发明的计算模型和计算流程，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动，这里无法对所有的实施方式予以穷举，凡是属于本发明的技术方案所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明的保护范围之列。
Claims (4)
1.一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立地心惯性坐标系oIxIyIzI、航天器本体坐标系oBxByBzB和期望参考坐标系oRxRyRzR；
步骤二、根据步骤一建立的坐标系，获得采用姿态四元数描述的航天器姿态运动学和动力学方程，以及航天器误差姿态运动学方程和动力学方程，即姿态跟踪系统；
步骤三、基于步骤二，以积分终端滑模面为基础，设计考虑未知外部干扰力矩和转动惯量不确定性的姿态跟踪控制器。
2.根据权利要求1所述的一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤一的具体过程为：
建立如下坐标系：
地心惯性坐标系oIxIyIzI：地心惯性坐标系的坐标原点位于地球球心，地心惯性坐标系的oIxIyI平面位于赤道面，oIxI轴指向空间中的春分点方向，oIzI轴垂直于赤道面并指向地球的北极点方向，oIyI轴与oIxI轴和oIzI轴共同构成右手直角坐标系；
航天器本体坐标系oBxByBzB：航天器本体坐标系的坐标原点位于被控航天器的质心，航天器本体坐标系的坐标轴与航天器的三个惯性主轴重合；
期望参考坐标系oRxRyRzR：期望参考坐标系由航天器的跟踪目标或具体的航天任务决定。
3.根据权利要求2所述的一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤二的具体过程为：
定义为航天器本体坐标系相对于地心惯性坐标系的姿态四元数，其中，q0为姿态四元数q的标量部分，qv为姿态四元数q的矢量部分，上角标T代表矩阵的转置，并且
定义ω＝[ω1,ω2,ω3]T为航天器本体坐标系相对于地心惯性坐标系的角速度，ω1、ω2和ω3均为ω中的分量；
将ω表示在航天器本体坐标系上，则航天器的姿态运动学和动力学方程表示为：
其中：代表q的一阶导数，代表ω的一阶导数，ω×代表ω的反对称矩阵，J为航天器的转动惯量矩阵，u为作用于航天器系统的控制输入信号，d表示外部干扰性因素作用于航天器的外部干扰力矩；d1、d2和d3均为d中的分量；
中间变量E(q)的表达式为：
其中：I3×3代表单位矩阵，代表qv的反对称矩阵；
定义为期望参考坐标系相对于地心惯性坐标系的姿态四元数，其中，qd0为姿态四元数qd的标量部分，为姿态四元数qd的矢量部分，ωd＝[ωd1,ωd2,ωd3]T为期望参考坐标系相对于地心惯性坐标系的角速度，ωd1、ωd2和ωd3为ωd中的分量；
将ωd表示在期望参考坐标系上，定义为qd的对偶四元数；
那么，航天器本体坐标系相对于期望参考坐标系的误差四元数和误差角速度通过公式(4)和公式(5)计算：
其中，代表四元数乘法，代表qdv的反对称矩阵，表示从期望参考坐标系到航天器本体坐标系的坐标变换矩阵；qd0为的标量部分，为的矢量部分；
为姿态四元数的标量部分，为姿态四元数的矢量部分，和为中的分量，和为中的分量；
且与存在如下关系：
那么，将航天器的误差姿态运动学方程和动力学方程表示为：
其中：为的一阶导数， 为的一阶导数；
由于存在转动惯量不确定性，将公式(2)中的转动惯量矩阵J表示为J＝J0+ΔJ，其中，J0为已知的对称正定矩阵，ΔJ为未知的对称正定矩阵，ΔJ表示转动惯量不确定性；则将公式(8)整理公式(9)的形式：
其中，中间变量F和ΔF的表达式分别为：
δ＝ΔF+d (12)
δ为同时包含外部干扰力矩和模型不确定性的姿态跟踪控制系统综合不确定性。
4.根据权利要求3所述的一种基于非连续自适应控制的航天器姿态跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤三的具体过程为：
积分终端滑模面s如下：
其中，s1,s2,s3均为s中的分量，z代表一阶滤波器的状态变量，是z的一阶导数，α1＞0，α2＞0，μ≥1；
r1＝(2-γ)ηγ-1，r2＝(γ-1)ηγ-2，0＜γ＜1，0＜η＜1，k＝1,2,3， 为中间变量，和为中的分量；
利用积分终端滑模面(13)设计快速非奇异终端滑模面σ如下：
f(s)＝[f(s1),f(s2),f(s3)]T (18)
其中，σ1、σ2和σ3为σ中的分量，α3＞0，α4＞0，是s的一阶导数， 0＜γ1＜1以及0＜η1＜1；f(s)为中间变量，f(s1)、f(s2)和f(s3)为f(s)中的分量，为f(sk)的一阶导数，sk为s中的分量，为sk的一阶导数；
构造指令滤波器来获取的在线估计值：
z1(0)＝s(0)，z2(0)＝03×1, (22)
其中：z1＝[z1,1,z1,2,z1,3]T和z2＝[z2,1,z2,2,z2,3]T分别为s和的在线估计值，是z1的一阶导数，是z2的一阶导数；ξ和ωn分别为阻尼系数和自然频率，定义e0＝s-z1和分别为对于s和的估计误差；
根据滑模面(13)和(17)的结构特点，构建如下增广系统以约束执行器的动态特性：
u＝sat(u1)+u2 (23)
sat(u1)＝[sat(u1,1),sat(u1,2),sat(u1,3)]T (25)
sat(uc)＝[sat(uc,1),sat(uc,2),sat(uc,3)]T (26)
其中：u1代表作用于姿态跟踪控制系统的控制输入信号的一部分，u2代表一阶滤波器的输出，是u2的一阶导数，uc代表通过饱和函数之前的控制信号，sat(·)代表饱和函数，·代表饱和函数的自变量，k1≥1，u1＝[u1,1,u1,2,u1,3]T，u1,1、u1,2和u1,3为u1中的分量，uc＝[uc,1,uc,2,uc,3]T，uc,1、uc,2和uc,3为uc中的分量；
k＝1,2,3，Xmax为函数sat(xk)绝对值的最大值，a为常数，且有0＜a＜Xmax，tanh为双曲正切函数；
基于公式(17)和z2，构造滑模面作为σ的在线估计值：
其中，
对式(28)左乘J0得：
其中，Δu1＝sat(u1)-u1，Δu1为限幅之前控制器输出与限幅之后控制器输出的差值；
假设航天器的转动惯量矩阵J、角速度ωd、ωd的一阶导数和ωd的二阶导数均有界，系统中存在有界的转动惯量不确定性ΔJ，且dΔJ/dx＝0，外部干扰力矩d是有界的，且存在未知正常数d2,max，使得||d||2≤d2,max成立，||·||2代表2范数；
同时假设：||ΔJ||2≤||J0||2且Δu1+δ-J0e1满足如下关系：
其中：c0、c1、c2和c3均为未知有界正常数；
基于式(13)、(17)、(23)、(24)以及非连续自适应控制方法，设计航天器姿态跟踪控制器如下：
其中，和分别为c0、c1、c2和c3的估计值，且和具有零初始值；k2、τ1、τ2、pl和χl均为正常数，0＜ρ＜1，为中间变量，为的一阶导数；
将式(31)、(32)和(24)代入式(29)得：
对式(36)求导得
对于公式(7)和(8)，若姿态跟踪控制系统中同时存在外部干扰力矩d和转动惯量不确定性ΔJ，滑模面的定义如公式(13)、(17)和(28)，指令滤波器的定义如公式(21)和(22)，那么在公式(23)～(27)以及公式(31)～(35)的姿态跟踪控制器的作用下，有如下结论成立：
1)s在有限时间内收敛到原点的邻域；
其中：表示σ稳态值的保守上界，表示中间变量；
2)和在有限时间内收敛到期望平衡点的邻域；
其中：Qk表示中间变量，k＝1,2,3；
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