CN111506095A - 一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法 - Google Patents

一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法 Download PDF

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CN111506095A CN202010333570.8A CN202010333570A CN111506095A CN 111506095 A CN111506095 A CN 111506095A CN 202010333570 A CN202010333570 A CN 202010333570A CN 111506095 A CN111506095 A CN 111506095A
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Abstract

本发明提供一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，包括：基于牛顿‑欧拉法建立追踪器与目标器的位姿动力学方程；根据建立的两刚体各自位姿动力学方程以及两刚体特征点间的相对位姿和相对速度，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程；根据建立的相对位姿动力学方程，设计固定时间扰动观测器；根据建立的固定时间非奇异终端滑动变量，设计非线性饱和补偿器，以解决执行器饱和效应；结合建立的固定时间扰动观测器以及非线性饱和补偿器，得到基于模型的鲁棒自适应控制器。本发明涉及三维空间中自主运动体的控制以及航天器领域。

Description

一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法
技术领域
本发明涉及三维空间中自主运动体的控制以及航天器技术领域，特别涉及一种基于扰动观测器的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法。
背景技术
高精度自主相对位姿控制是空间交会、空中加油、舰载机着舰等许多实际工程任务的重要技术。由于航天器、航空器和水下航行器的体积一般较大，在相对运动建模和自主运动控制设计中，需要考虑其特征点的位姿运动，如航天器上的对接口、航母上的着舰点等任务的控制系统设计，进而提高系统建模与控制精度。此外，由于一些实际任务执行时间短，执行器输出由于制造因素而受限制，需要研究先进的相对运动控制策略，以保证系统具有满意的控制性能，并处理响应时间和控制输入的约束。
有限/固定时间控制技术是控制系统设计中保证有限响应时间性能的有效方法。因此，有限响应时间要求的问题可以用有限时间或固定时间的控制方法来解决。特别是近年来，人们对有限/固定时间控制理论和应用进行了大量的研究。比如提出的一般连续自治系统的有限时间稳定性和有限时间输入状态稳定性定理。由于在传统的基于Lyapunov的控制器技术中引入了非线性状态反馈信号，因此可以根据控制器中的参数计算系统状态的收敛时间上界。研究针对受扰线性系统，提出了一种固定时间收敛的super-twisting控制器，并给出了收敛时间的估计方法。此外，在非对称控制输入约束条件下，针对多变量非线性系统设计了一种自适应固定时间控制器。除了上述关于线性和非线性系统在许多不同条件下的有限时间和固定时间系统设计的理论结果外，在一些工程场景下也有许多有限/固定时间控制设计，例如基于有限时间无源性方法的航天器姿态控制，自主水下机器人的有限时间输出反馈控制，航天器近距离操作的无源自适应有限时间控制，不确定机械系统的有限时间跟踪控制，航天器绕飞任务的自适应固定时间控制，机器人的固定时间跟踪控制等。
除了控制系统的收敛时间要求外，执行器饱和也是实际控制器设计中的一个重要问题。系统控制输入幅值的限制可能是执行器自身结构或能量限制的结果，也可能是控制系统安全性要求的结果。在这种情况下，控制器输出信号大于实际驱动系统的输出，则存在执行器饱和。由于执行器的工作能力有限，总是存在一个临界输出幅值，超过这个临界输出幅值，系统将无法稳定。因此，在理论设计和工程实践中必须考虑执行器饱和问题。近年来，有许多方法可以用来处理执行器饱和问题，如线性抗饱和补偿器、非线性抗饱和补偿器和基于连续有界函数的约束控制器。然而，这些控制方法不能同时处理执行器饱和固定时间收敛的要求，因此在Lyapunov框架下，提出一种控制器同时解决系统执行器饱和问题和满足状态固定时间收敛的需求具有较大的难度。
因此，在执行器饱和和固定时间收敛要求下，对三维空间中两刚体特征点之间的相对运动进行建模和控制具有重要意义。本发明则研究了同时受模型不确定性、未知动态耦合、执行器饱和、固定时间收敛要求的两个刚体特征点之间的相对位移和旋转运动控制问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，在设计的控制器下，能够实现在控制输入饱和和模型不确定性条件下的目标特征点位置跟踪和姿态同步，而且系统状态的收敛时间与初始状态是无关的，并由控制器参数估计；引入固定时间扰动观测器对未知有界扰动进行估计和补偿，在固定时间内观测误差收敛到零，还引入抗饱和补偿器解决了执行器饱和问题。
为解决上述技术问题，本发明的实施例提供如下方案：
一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，包括以下步骤：
基于牛顿-欧拉法建立追踪器与目标器的位姿动力学方程；
根据建立的两刚体各自位姿动力学方程以及两刚体特征点间的相对位姿和相对速度，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程；
根据建立的相对位姿动力学方程，设计固定时间扰动观测器；
根据建立的固定时间非奇异终端滑动变量，设计非线性饱和补偿器，以解决执行器饱和效应；
结合建立的固定时间扰动观测器以及非线性饱和补偿器，得到基于模型的鲁棒自适应控制器。
优选地，所述基于牛顿-欧拉法建立追踪器与目标器的位姿动力学方程的步骤包括：基于牛顿-欧拉法推导动力学模型，具体包括：
定义三个坐标系和向量，其中fo＝{Oxiyizi}是惯性坐标系，ft＝{Pxtytzt}是目标器的固定坐标系，原点位于特征点P，fc＝{Qxyz}是追踪器的固定坐标系，原点Q位于追踪器的特征点，C点和T点分别是追踪器和目标器的质心；其中， P和Q也能够位于特征点延长线的任何位置；
在追踪器坐标系fc中对位置和姿态运动进行建模，将坐标系fc下的追踪器姿态运动学统一重写为：
Figure RE-GDA0002535491910000031
其中，p＝[rT,σT]T；q＝[vT,ωT]T；A＝diag{-S(ω),O3}，B＝diag{I3,G(σ)}；
r和v是坐标系fc的位置和速度相对于坐标系fo在坐标系fc中的描述；σ和ω是基于修正的罗德里格斯参数描述的追踪器本体系姿态和角速度；I3和 O3是三维单位矩阵和零矩阵，S(a)表示任意a∈R3的斜对称矩阵；R3表示三维空间实数集；
追踪器质心的位置矢量在坐标系fo表示为：
rc＝Rc(r+l)
其中，l是从点Q到追踪器质心C的常值位置矢量，Rc是从fc到fo的旋转矩阵；
由牛顿第二定律，坐标系fo中表示的位置动力学为：
Figure RE-GDA0002535491910000032
式中，m是追踪器的质量；f是追踪器的控制力；w代表干扰；
对
Figure RE-GDA0002535491910000033
中的rc在坐标系fc中求两次时间导数得到：
Figure RE-GDA0002535491910000034
将
Figure RE-GDA0002535491910000035
代入
Figure RE-GDA0002535491910000036
得到点Q的位置动力学为：
Figure RE-GDA0002535491910000041
基于刚体欧拉动力学方程，追踪器相对于质心C的姿态动力学为：
Figure RE-GDA0002535491910000042
式中J为追踪器的惯性矩阵；τ为追踪器的控制力矩；δ为追踪器的未知干扰动力矩；
根据理论力学中的平行轴定理，追踪器相对于点Q的惯性矩阵为Jc＝J+m(lTlI3-llT)，从而可以得到：
Jcω＝Jω+ml×ω×l＝Jω-ml×l×ω
对ω求时间导数得到:
Figure RE-GDA0002535491910000043
再由
Figure RE-GDA0002535491910000044
得出：
Figure RE-GDA0002535491910000045
将
Figure RE-GDA0002535491910000046
代入
Figure RE-GDA0002535491910000047
得到：
Figure RE-GDA0002535491910000048
将Jcω＝Jω+ml×ω×l＝Jω-ml×l×ω和
Figure RE-GDA0002535491910000049
代入
Figure RE-GDA00025354919100000410
得到：
Figure RE-GDA00025354919100000411
将
Figure RE-GDA00025354919100000412
代入
Figure RE-GDA00025354919100000413
得到：
Figure RE-GDA00025354919100000414
将Jcω＝Jω+ml×ω×l＝Jω-ml×l×ω和
Figure RE-GDA00025354919100000415
代入
Figure RE-GDA00025354919100000416
得到在坐标系fc中所表示的追踪器特征点的姿态动力学为：
Figure RE-GDA00025354919100000417
优选地，所述建立追踪器与目标器的位姿动力学方程的步骤包括：
由
Figure RE-GDA0002535491910000051
和
Figure RE-GDA0002535491910000052
得到在追踪器的本体固定坐标系中表示的位姿运动学方程：
Figure RE-GDA0002535491910000053
其中，p＝[rT,σT]T；q＝[vT,ωT]T；A＝diag{-S(ω),O3}；
B＝diag{I3,G(σ)}；
Figure RE-GDA0002535491910000054
u＝[fT,τT]T；d＝[wT,δT]T；
Figure RE-GDA0002535491910000055
Figure RE-GDA0002535491910000056
r和v是坐标系fc，即追踪器的本体坐标系的位置和速度相对于坐标系fo，即惯性坐标系在坐标系fc中的描述；σ和ω是追踪器本体系姿态和角速度；I3和O3是三阶单位矩阵和零矩阵，S(a)表示任意a∈R3的斜对称矩阵；f和τ是控制力和控制扭矩；w和δ是干扰力和转矩输入；
在目标器坐标系中描述不受控目标特征点的位姿运动学和动力学：
Figure RE-GDA0002535491910000057
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000058
At＝diag{-S(ωt),O3}；Bt＝diag{I3,G(σt)}
Figure RE-GDA0002535491910000059
Figure RE-GDA00025354919100000510
rt,vt,σt,ωt是坐标系ft，即目标器的本体坐标系相对于坐标系fo在ft中描述的位置、速度、姿态和角速度；mt和Jt是目标的质量和惯性矩阵；lt是特征点到质心的位置矢量；wt和δt有界干扰力和转矩输入。
优选地，所述根据建立的两刚体各自位姿动力学方程以及两刚体特征点间的相对位姿和相对速度，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程的步骤包括：
坐标系fc，即追踪器的本体固定坐标系中两个刚体上的特征点之间的相对姿态和相对速度表示为：
Figure RE-GDA0002535491910000061
其中，re,σe,ve,ωe分别是坐标系fc中两刚体特征点间的相对位置、相对姿态、相对速度、相对角速度，其中：
Figure RE-GDA0002535491910000062
R是从坐标系ft到fc的旋转矩阵，表示为:
Figure RE-GDA0002535491910000063
根据建立的动力学方程以及上述两刚体特征点间的相对位姿和相对速度公式，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程。
优选地，所述相对位姿动力学方程表示为：
Figure RE-GDA0002535491910000064
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000065
Ae＝A；Be＝diag{I3G(σe)}；；re,σe,ve,ωe分别是坐标系fc中两刚体特征点间的相对位置、相对姿态、相对速度、相对角速度；
Figure RE-GDA0002535491910000066
gej＝(MejSe+Cej)(q-qe)；j＝{0,Δ}，Se＝diag{S(ωe),S(ωe)}，Re＝diag{R,R}，
Figure RE-GDA0002535491910000067
m0,mΔ分别表示已知和未知部分质量，J0,JΔ分别表示已知和未知部分惯性矩阵，两个刚体的位置和姿态连续运动，使得未知的集中扰动δ满足利普希茨连续性，因此假设||δ||≤δ1和
Figure RE-GDA0002535491910000068
已知充分大的常数δ1＞0和δ2＞0。
优选地，所述根据建立的相对位姿动力学方程，设计固定时间扰动观测器的步骤包括：
固定时间扰动观测器表示为：
Figure RE-GDA0002535491910000071
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000072
和
Figure RE-GDA0002535491910000073
分别是qe和δe的估计值； 0＜a1＜1,0＜a2＜1,b1＞1,b2＞1,γ＞δ2；m1,m2,n1和n2的选择使得A1＝[-m1,1；-m2,0]和 A2＝[-n1,1；-n2,0]是Hurwitz矩阵。
优选地，所述根据建立的固定时间非奇异终端滑动变量，设计非线性饱和补偿器的步骤包括：
定义固定时间非奇异终端滑动变量为：
Figure RE-GDA0002535491910000074
其中，α1＞0,α2＞0而β＝[β1,β2,…β6]T设计为：
Figure RE-GDA0002535491910000075
且
Figure RE-GDA0002535491910000076
γ1＞1,0＜γ2＜1；κ是一个小的正常数；
对
Figure RE-GDA0002535491910000077
中的s相对时间求导，得到：
Figure RE-GDA0002535491910000078
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000079
Figure RE-GDA00025354919100000710
Figure RE-GDA00025354919100000711
将
Figure RE-GDA00025354919100000712
代入
Figure RE-GDA00025354919100000713
得：
Figure RE-GDA00025354919100000714
其中，uΔ＝u-u0表示执行器饱和效应；
设计非线性饱和补偿器以解决饱和效应：
Figure RE-GDA0002535491910000081
式中，
Figure RE-GDA0002535491910000082
表示补偿器的状态向量，k是正定常量增益。
优选地，所述结合建立的固定时间扰动观测器以及非线性饱和补偿器，得到基于模型的鲁棒自适应控制器的步骤包括：
考虑追踪器的执行器饱和，执行器输出u＝[u1,u2,…u6]T受到以下非对称约束：
Figure RE-GDA0002535491910000083
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000084
和
Figure RE-GDA0002535491910000085
是已知的执行器输出的上下限；
执行器输出定义为：
Figure RE-GDA0002535491910000086
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000087
是待设计的控制指令；
固定时间控制器设计为：
Figure RE-GDA0002535491910000088
式中，
Figure RE-GDA0002535491910000089
本发明的上述方案至少包括以下有益效果：
上述方案中，对三维空间中两刚体特征点的相对位姿建模和协调控制进行研究，通过建立两刚体特征点间的相对位姿动力学模型，提出了一种基于扰动观测器的双刚体特征点饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，可以实现在控制输入受限和模型不确定性条件下的目标特征点位置跟踪和姿态同步。本发明引入固定时间扰动观测器对未知有界扰动进行估计和补偿，在固定时间内观测误差收敛到零。针对执行器饱和问题，提出了一种新的固定时间饱和补偿器，将固定时间扰动观测器、固定时间饱和补偿器与非奇异终端滑模控制器相结合，在Lyapunov框架下，通过调整设计参数，严格证明了两个特征点之间的相对位置跟踪误差和姿态同步误差最终在固定时间内收敛到零的小邻域。
附图说明
图1是本发明实施例提供的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法的流程图；
图2是本发明实施例中两刚体相对位姿运动的场景示意图；
图3a和图3b是本发明实施例中控制器的相对位置和速度随时间变化的曲线图；
图4a和图4b是本发明实施例中控制器控制相对姿态和角速度随时间变化的曲线图；
图5a和图5b是本发明实施例中控制器控制力和力矩随时间变化的曲线图；
图6a和图6b是本发明实施例中饱和补偿器的状态随时间变化的曲线图；
图7a和图7b是本发明实施例中扰动观测器的观测状态随时间变化的曲线图。
具体实施方式
为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。
本发明的实施例提供了一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，如图1所示，所述方法包括以下步骤：
S1、基于牛顿-欧拉法建立追踪器与目标器的位姿动力学方程；
S2、根据建立的两刚体各自位姿动力学方程以及两刚体特征点间的相对位姿和相对速度，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程；
S3、根据建立的相对位姿动力学方程，设计固定时间扰动观测器；
S4、根据建立的固定时间非奇异终端滑动变量，设计非线性饱和补偿器，以解决执行器饱和效应；
S5、结合建立的固定时间扰动观测器以及非线性饱和补偿器，得到基于模型的鲁棒自适应控制器。
本发明实施例所述的对三维空间中两刚体特征点的相对位姿建模和协调控制进行研究，通过建立两刚体特征点间的相对位姿动力学模型，提出了一种基于扰动观测器的双刚体特征点饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，可以实现在控制输入受限和模型不确定性条件下的目标特征点位置跟踪和姿态同步。引入固定时间扰动观测器对未知有界扰动进行估计和补偿，在固定时间内观测误差收敛到零。针对执行器饱和问题，提出了一种新的固定时间饱和补偿器，将固定时间扰动观测器、固定时间饱和补偿器与非奇异终端滑模控制器相结合，在Lyapunov框架下，通过调整设计参数，严格证明了两个特征点之间的相对位置跟踪误差和姿态同步误差最终在固定时间内收敛到零的小邻域。
为了更好地理解本发明实施例提供的基于扰动观测器的双刚体特征点饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，对其进行详细说明，具体可以包括以下步骤：
S1、基于牛顿-欧拉法建立追踪器与目标器的位姿动力学方程。
基于牛顿-欧拉法推导动力学模型，具体包括：
如图2所示，定义三个坐标系和向量，其中fo＝{Oxiyizi}是惯性坐标系， ft＝{Pxtytzt}是目标器的固定坐标系，原点位于特征点P，fc＝{Qxyz}是追踪器的固定坐标系，原点Q位于追踪器的特征点，C点和T点分别是追踪器和目标器的质心；其中，P和Q也能够位于特征点延长线的任何位置；
在追踪器坐标系fc中对位置和姿态运动进行建模，将坐标系fc下的追踪器姿态运动学统一重写为：
Figure RE-GDA0002535491910000101
其中，p＝[rT,σT]T；q＝[vT,ωT]T；A＝diag{-S(ω),O3}，B＝diag{I3,G(σ)}；
r和v是坐标系fc的位置和速度相对于坐标系fo在坐标系fc中的描述；σ和ω是基于修正的罗德里格斯参数描述的追踪器本体系姿态和角速度；I3和 O3是三维单位矩阵和零矩阵，S(a)表示任意a∈R3的斜对称矩阵；R3表示三维空间实数集；
追踪器质心的位置矢量在坐标系fo表示为：
rc＝Rc(r+l) (2)
其中，l是从点Q到追踪器质心C的常值位置矢量，Rc是从fc到fo的旋转矩阵；
由牛顿第二定律，坐标系fo中表示的位置动力学为：
Figure RE-GDA0002535491910000111
式中，m是追踪器的质量；f是追踪器的控制力；w代表干扰；
对(2)中的rc在坐标系fc中求两次时间导数得到：
Figure RE-GDA0002535491910000112
将(4)代入(3)可得到点Q的位置动力学为：
Figure RE-GDA0002535491910000113
基于刚体欧拉动力学方程，追踪器相对于质心C的姿态动力学为：
Figure RE-GDA0002535491910000114
式中J为追踪器的惯性矩阵；τ为追踪器的控制力矩；δ为追踪器的未知干扰动力矩；
根据理论力学中的平行轴定理，追踪器相对于点Q的惯性矩阵为 Jc＝J+m(lTlI3-llT)，从而可以得到：
Jcω＝Jω+ml×ω×l＝Jω-ml×l×ω (7)
对(7)中ω求时间导数得到:
Figure RE-GDA0002535491910000115
再由(5)得出：
Figure RE-GDA0002535491910000116
将(9)代入(8)得到：
Figure RE-GDA0002535491910000117
将(7)和(10)代入(6)得到：
Figure RE-GDA0002535491910000118
将(11)代入(6)得到：
Figure RE-GDA0002535491910000119
将(7)和(8)代入(12)得到在坐标系fc中所表示的追踪器特征点的姿态动力学为：
Figure RE-GDA00025354919100001110
进一步地，建立追踪器与目标器的位姿动力学方程的步骤包括：
由(5)和(13)得到在追踪器的本体固定坐标系中表示的位姿运动学方程：
Figure RE-GDA0002535491910000121
其中，p＝[rT,σT]T；q＝[vT,ωT]T；A＝diag{-S(ω),O3}；
B＝diag{I3,G(σ)}；
Figure RE-GDA0002535491910000122
u＝[fT,τT]T；d＝[wT,δT]T；
Figure RE-GDA0002535491910000123
Figure RE-GDA0002535491910000124
r和v是坐标系fc，即追踪器的本体坐标系的位置和速度相对于坐标系 fo，即惯性坐标系在坐标系fc中的描述；σ和ω是追踪器本体系姿态和角速度；I3和O3是三阶单位矩阵和零矩阵，S(a)表示任意a∈R3的斜对称矩阵；f和τ是控制力和控制扭矩；w和δ是干扰力和转矩输入；
在目标器坐标系中描述不受控目标特征点的位姿运动学和动力学：
Figure RE-GDA0002535491910000125
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000126
At＝diag{-S(ωt),O3}；Bt＝diag{I3,G(σt)}
Figure RE-GDA0002535491910000127
Figure RE-GDA0002535491910000128
rt,vt,σt,ωt是坐标系ft，即目标器的本体坐标系相对于坐标系fo在ft中描述的位置、速度、姿态和角速度；mt和Jt是目标的质量和惯性矩阵；lt是特征点到质心的位置矢量；wt和δt有界干扰力和转矩输入。
S2、根据建立的两刚体各自位姿动力学方程以及两刚体特征点间的相对位姿和相对速度，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程。
坐标系fc，即追踪器的本体固定坐标系中两个刚体上的特征点之间的相对姿态和相对速度表示为：
Figure RE-GDA0002535491910000131
其中，re,σe,ve,ωe分别是坐标系fc中两刚体特征点间的相对位置、相对姿态、相对速度、相对角速度，其中：
Figure RE-GDA0002535491910000132
R是从坐标系ft到fc的旋转矩阵，表示为:
Figure RE-GDA0002535491910000133
根据建立的动力学方程以及上述两刚体特征点间的相对位姿和相对速度公式(16)，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程。
考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程为：
Figure RE-GDA0002535491910000134
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000135
Ae＝A；Be＝diag{I3G(σe)}；；re,σe,ve,ωe分别是坐标系fc中两刚体特征点间的相对位置、相对姿态、相对速度、相对角速度；
Figure RE-GDA0002535491910000136
gej＝(MejSe+Cej)(q-qe)；j＝{0,Δ}，Se＝diag{S(ωe),S(ωe)}，Re＝diag{R,R}，
Figure RE-GDA0002535491910000137
m0,mΔ分别表示已知和未知部分质量，J0,JΔ分别表示已知和未知部分惯性矩阵，由于两个刚体的位置和姿态连续运动，使得未知的集中扰动δ满足利普希茨连续性，因此假设||δ||≤δ1和
Figure RE-GDA0002535491910000138
已知充分大的常数δ1＞0和δ2＞0。
本实施例中，满足假设m和J是不确定但恒定的参数，而mt和Jt是完全未知但恒定的。此外，追踪器的参数可被视为m＝m0+mΔ和J＝J0+JΔ，已知部分m0和J0以及未知部分mΔ和JΔ。外部扰动是未知的，但分别以
Figure RE-GDA0002535491910000139
和
Figure RE-GDA00025354919100001310
为界并且
Figure RE-GDA00025354919100001311
和
Figure RE-GDA00025354919100001312
是未知恒定的，向量l和lt是常数，但是l是已知的，lt是未知的。
S3、根据建立的相对位姿动力学方程，建立固定时间扰动观测器。
固定时间扰动观测器表示为：
Figure RE-GDA0002535491910000141
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000142
和
Figure RE-GDA0002535491910000143
分别是qe和δe的估计值； 0＜a1＜1,0＜a2＜1,b1＞1,b2＞1,γ＞δ2；m1,m2,n1和n2的选择使得A1＝[-m1,1；-m2,0]和 A2＝[-n1,1；-n2,0]是Hurwitz矩阵。
为了下文系统的分析，引入定理：
定理1：假设已知常数δ1＞0,δ2＞0的||δ||≤δ1和
Figure RE-GDA0002535491910000144
则qe和δ可由(18) 观测到，观测误差
Figure RE-GDA0002535491910000145
和
Figure RE-GDA0002535491910000146
在固定时间内可以收敛到零，而收敛时间满足：
Figure RE-GDA0002535491910000147
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000148
0＜c1＜1,c2＞0；P1,P2,Q1,和Q2是对称正定矩阵，因此 A1 TP1+P1A1＝-Q1和
Figure RE-GDA0002535491910000149
λm(·)和λM(·)分别是矩阵的最小和最大特征值。
对观测误差
Figure RE-GDA00025354919100001410
和
Figure RE-GDA00025354919100001411
进行时间求导数得：
Figure RE-GDA00025354919100001412
根据已公开发表文献[Basin M,Yu P,Shtessel Y.Finite and fixed-timedifferentiators utilising HOSM techniques.IET Control Theory andApplications, 2017,11(8):1144–1152.]中稳定性分析过程可知当t≥T0时，观测误差
Figure RE-GDA00025354919100001414
和
Figure RE-GDA00025354919100001415
可以收敛到零，扰动观测器的收敛时间T0与初始状态无关。
S4、根据建立的固定时间非奇异终端滑动变量，设计非线性饱和补偿器。
定义固定时间非奇异终端滑动变量为：
Figure RE-GDA00025354919100001413
其中，α1＞0,α2＞0而β＝[β1,β2,…β6]T设计为：
Figure RE-GDA0002535491910000151
且
Figure RE-GDA0002535491910000152
γ1＞1,0＜γ2＜1；κ是一个小的正常数；
对(19)中的s相对时间求导，得到：
Figure RE-GDA0002535491910000153
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000154
Figure RE-GDA0002535491910000155
Figure RE-GDA0002535491910000156
将(20)代入(17)得：
Figure RE-GDA0002535491910000157
其中，uΔ＝u-u0表示执行器饱和效应；
设计非线性饱和补偿器以解决饱和效应：
Figure RE-GDA0002535491910000158
式中，
Figure RE-GDA0002535491910000159
表示补偿器的状态向量，k是正定常量增益。
为了下文对系统的分析，引入定理：
定理2：考虑(20)中的滑动变量s。如果达到了
Figure RE-GDA00025354919100001513
则pe和qe可以在固定时间内收敛到0。
定理3：如果存在一个连续函数V(x)≥0，并且它的时间导数
Figure RE-GDA00025354919100001510
其中λ1＞0,λ2＞0,γ1＞1和0＜γ2＜1。V(x)收敛到平衡点的到达时间Tr由
Figure RE-GDA00025354919100001511
限定。这个界限可以用一个规定的常数来设定，这个常数不依赖于初始状态x0，而只依赖于设计参数λj和γj(j＝1,2)。当
Figure RE-GDA00025354919100001514
时，由(17)中的第一个子方程导出得：
Figure RE-GDA00025354919100001512
选择函数
Figure RE-GDA0002535491910000161
然后根据
Figure RE-GDA0002535491910000162
取时间导数，得到：
Figure RE-GDA0002535491910000163
从定理3，可以得出pe在固定时间内趋于零的结论。此外，从
Figure RE-GDA00025354919100001612
和pe＝0，还可以得出qe在固定时间内收敛到0的结论。
S5、结合建立的固定时间扰动观测器以及非线性饱和补偿器，得到基于模型的鲁棒自适应控制器。
考虑追踪器的执行器饱和，执行器输出u＝[u1,u2,…u6]T受到以下非对称约束：
Figure RE-GDA0002535491910000164
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000165
和
Figure RE-GDA0002535491910000166
是已知的执行器输出的上下限；
执行器输出定义为：
Figure RE-GDA0002535491910000167
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000168
是待设计的控制指令；
固定时间控制器设计为：
Figure RE-GDA0002535491910000169
式中，
Figure RE-GDA00025354919100001610
接着，采用计算机数值仿真对本实施例提供的基于扰动观测器的双刚体特征点饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法的有效性进行验证，仿真平台基于 win10x64位操作系统下的Matlab软件进行。
考虑两个航天器的物理参数分别是：
Figure RE-GDA00025354919100001611
Figure RE-GDA0002535491910000171
mt＝5425.6(kg),m＝58.2(kg)
m0＝60(kg),J0＝diag{35,40,40}(kgm2)
两个刚性航天器对接端口在其本体固连坐标系内表示的位置矢量分别为：
lt＝[0,0.3,0]T(m),l＝[0.2,0,0]T(m)
地球扁率引起的引力和摄动力以及追踪器和目标器的重力梯度力矩分别为：
fg＝mag,
Figure RE-GDA0002535491910000172
fgt＝mtagt,
Figure RE-GDA0002535491910000173
对于追踪器和目标器，大气阻力、太阳辐射和第三体效应引起的外部干扰分别假设为：
wf＝[1+2sin(ωot),0.8+3cos(ωot),1+4sin(ωot)]T×10-4(N),
δf＝[2+4sin(ωot),1+5cos(ωot),1.5+3sin(ωot)]T×10-5(Nm),
wl＝[0.5+2sin(ωott),0.5+3cos(ωott),0.5+4sin(ωott)]T×10-3(N),
δl＝[1.5+4sin(ωott),1+5cos(ωott),1.5+3sin(ωott)]T×10-4(Nm),
其中，
Figure RE-GDA0002535491910000181
和
Figure RE-GDA0002535491910000182
分别是追踪器和目标器的平均轨道速度；rci和
Figure RE-GDA0002535491910000183
分别是向量rc＝Rc(r+l)和
Figure RE-GDA0002535491910000184
的第i项；Rc和Rt＝RRc是基于MRP 的旋转矩阵，分别表示从追踪器和目标器的本体坐标系到地心惯性坐标系；
Figure RE-GDA0002535491910000185
为二次纬向调和系数，μg＝398600.4418(km3/s2)为地球引力常数，
Figure RE-GDA0002535491910000186
是地球的平均赤道半径。因此，除了控制输入外，两个航天器的外力和力矩如下：w＝fg+wf,δ＝τg+δf,wt＝fgt+wl,δt＝τgt+δl。
追踪器运动和相对运动的初始条件分别设置为：
r(0)＝[1,1,1]T×7.078×108(m),v(0)＝[0.2,0.3,-0.2]T(m/s),σ(0)＝0,
ω(0)＝0(rad/s),re(0)＝[5,5,-5]T(m),ve(0)＝[-0.03,-0.02,0.03]T(m/s),
σe(0)＝[0.8,-0.9,0.7]T,ωe(0)＝[0.02,0.02,-0.02]T
六自由度控制输入的非对称约束为：
umax＝[20,20,20,3,3,3]T,umin＝[15,15,15,5,5,5]T
饱和补偿器和扰动观测器的初始状态均设为0，且可调参数设置为：
k＝0.5,α1＝α2＝0.25,m1＝m2＝0.06,n1＝n2＝0.05,
Figure RE-GDA0002535491910000187
Figure RE-GDA0002535491910000188
γ＝0.0015,κ＝0.3
仿真结果如图3a-图3b、图4a-图4b、图5a-图5b、图6a-图6b、图7a-图 7b所示，其中，如图3a-图3b所示，两航天器对接端口之间的相对位置和相对速度在30(s)内收敛到零的小邻域，稳态相对位置和相对速度误差分别小于2×10-5(m)和2×10-4(m/s)。这意味着相对平动运动控制良好，精度高，稳定性好。图4a-图4b所示，两航天器对接口之间的相对姿态和相对角速度在 20(s)内收敛到零的小邻域，稳态相对姿态和相对角速度误差分别小于5× 10-6和2×10-4(rad/s)。这意味着相对旋转同步也得到了很好的控制，具有较高的精度和较快的稳定性。图5a-图5b表明，控制力和扭矩总是受到规定的不对称限制的约束。图6a-图6b、图7a-图7b表示饱和补偿器和扰动观测器在相对运动系统中工作时具有满意的性能，其中补偿器和扰动观测误差的状态也在 30(s)内收敛到零的小邻域。通过仿真验证了所提出的控制策略的有效性。
以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
基于牛顿-欧拉法建立追踪器与目标器的位姿动力学方程；
根据建立的两刚体各自位姿动力学方程以及两刚体特征点间的相对位姿和相对速度，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程；
根据建立的相对位姿动力学方程，设计固定时间扰动观测器；
根据建立的固定时间非奇异终端滑动变量，设计非线性饱和补偿器，以解决执行器饱和效应；
结合建立的固定时间扰动观测器以及非线性饱和补偿器，得到基于模型的鲁棒自适应控制器。
2.根据权利要求1所述的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，所述基于牛顿-欧拉法建立追踪器与目标器的位姿动力学方程的步骤包括：基于牛顿-欧拉法推导动力学模型，具体包括：
定义三个坐标系和向量，其中fo＝{Oxiyizi}是惯性坐标系，ft＝{Pxtytzt}是目标器的固定坐标系，原点位于特征点P，fc＝{Qxyz}是追踪器的固定坐标系，原点Q位于追踪器的特征点，C点和T点分别是追踪器和目标器的质心；其中，P和Q也能够位于特征点延长线的任何位置；
在追踪器坐标系fc中对位置和姿态运动进行建模，将坐标系fc下的追踪器姿态运动学统一重写为：
Figure FDA0002465814310000011
其中，p＝[rT,σT]T；q＝[vT,ωT]T；A＝diag{-S(ω),O3}，B＝diag{I3,G(σ)}；
r和v是坐标系fc的位置和速度相对于坐标系fo在坐标系fc中的描述；σ和ω是基于修正的罗德里格斯参数描述的追踪器本体系姿态和角速度；I3和O3是三维单位矩阵和零矩阵，S(a)表示任意a∈R3的斜对称矩阵；R3表示三维空间实数集；
追踪器质心的位置矢量在坐标系fo表示为：
rc＝Rc(r+l)
其中，l是从点Q到追踪器质心C的常值位置矢量，Rc是从fc到fo的旋转矩阵；
由牛顿第二定律，坐标系fo中表示的位置动力学为：
Figure FDA0002465814310000021
式中，m是追踪器的质量；f是追踪器的控制力；w代表干扰；
对
Figure FDA0002465814310000022
中的rc在坐标系fc中求两次时间导数得到：
Figure FDA0002465814310000023
将
Figure FDA0002465814310000024
代入
Figure FDA0002465814310000025
得到点Q的位置动力学为：
Figure FDA0002465814310000026
基于刚体欧拉动力学方程，追踪器相对于质心C的姿态动力学为：
Figure FDA0002465814310000027
式中J为追踪器的惯性矩阵；τ为追踪器的控制力矩；δ为追踪器的未知干扰动力矩；
根据理论力学中的平行轴定理，追踪器相对于点Q的惯性矩阵为Jc＝J+m(lTlI3-llT)，从而可以得到：
Jcω＝Jω+ml×ω×l＝Jω-ml×l×ω
对ω求时间导数得到:
Figure FDA0002465814310000028
再由
Figure FDA0002465814310000029
得出：
Figure FDA00024658143100000210
将
Figure FDA00024658143100000211
代入
Figure FDA00024658143100000212
得到：
Figure FDA00024658143100000213
将Jcω＝Jω+ml×ω×l＝Jω-ml×l×ω和
Figure FDA00024658143100000214
代入
Figure FDA00024658143100000215
得到：
Figure FDA00024658143100000216
将
Figure FDA00024658143100000217
代入
Figure FDA00024658143100000218
得到：
Figure FDA0002465814310000031
将Jcω＝Jω+ml×ω×l＝Jω-ml×l×ω和
Figure FDA0002465814310000032
代入
Figure FDA0002465814310000033
得到在坐标系fc中所表示的追踪器特征点的姿态动力学为：
Figure FDA0002465814310000034
3.根据权利要求2所述的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，所述建立追踪器与目标器的位姿动力学方程的步骤包括：
由
Figure FDA0002465814310000035
和
Figure FDA0002465814310000036
得到在追踪器的本体固定坐标系中表示的位姿运动学方程：
Figure FDA0002465814310000037
其中，p＝[rT,σT]T；q＝[vT,ωT]T；A＝diag{-S(ω),O3}；
B＝diag{I3,G(σ)}；
Figure FDA0002465814310000038
u＝[fT,τT]T；d＝[wT,δT]T；
Figure FDA0002465814310000039
Figure FDA00024658143100000310
r和v是坐标系fc，即追踪器的本体坐标系的位置和速度相对于坐标系fo，即惯性坐标系在坐标系fc中的描述；σ和ω是追踪器本体系姿态和角速度；I3和O3是三阶单位矩阵和零矩阵，S(a)表示任意a∈R3的斜对称矩阵；f和τ是控制力和控制扭矩；w和δ是干扰力和转矩输入；
在目标器坐标系中描述不受控目标特征点的位姿运动学和动力学：
Figure FDA00024658143100000311
其中，
Figure FDA00024658143100000312
At＝diag{-S(ωt),O3}；Bt＝diag{I3,G(σt)}
Figure FDA00024658143100000313
Figure FDA0002465814310000041
rt,vt,σt,ωt是坐标系ft，即目标器的本体坐标系相对于坐标系fo在ft中描述的位置、速度、姿态和角速度；mt和Jt是目标的质量和惯性矩阵；lt是特征点到质心的位置矢量；wt和δt有界干扰力和转矩输入。
4.根据权利要求3所述的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，所述根据建立的两刚体各自位姿动力学方程以及两刚体特征点间的相对位姿和相对速度，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程的步骤包括：
坐标系fc，即追踪器的本体固定坐标系中两个刚体上的特征点之间的相对姿态和相对速度表示为：
Figure FDA0002465814310000042
其中，re,σe,ve,ωe分别是坐标系fc中两刚体特征点间的相对位置、相对姿态、相对速度、相对角速度，其中：
Figure FDA0002465814310000043
R是从坐标系ft到fc的旋转矩阵，表示为:
Figure FDA0002465814310000044
根据建立的动力学方程以及上述两刚体特征点间的相对位姿和相对速度公式，建立考虑模型不确定性的相对位姿动力学方程。
5.根据权利要求4所述的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，所述相对位姿动力学方程表示为：
Figure FDA0002465814310000045
其中，
Figure FDA0002465814310000046
Ae＝A；Be＝diag{I3 G(σe)}；；re,σe,ve,ωe分别是坐标系fc中两刚体特征点间的相对位置、相对姿态、相对速度、相对角速度；
Figure FDA0002465814310000051
gej＝(MejSe+Cej)(q-qe)；j＝{0,Δ}，Se＝diag{S(ωe),S(ωe)}，Re＝diag{R,R}，
Figure FDA0002465814310000052
m0,mΔ分别表示已知和未知部分质量，J0,JΔ分别表示已知和未知部分惯性矩阵，两个刚体的位置和姿态连续运动，使得未知的集中扰动δ满足利普希茨连续性，因此假设||δ||≤δ1和
Figure FDA0002465814310000053
已知充分大的常数δ1＞0和δ2＞0。
6.根据权利要求5所述的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，所述根据建立的相对位姿动力学方程，设计固定时间扰动观测器的步骤包括：
固定时间扰动观测器表示为：
Figure FDA0002465814310000054
其中，
Figure FDA0002465814310000055
和
Figure FDA0002465814310000056
分别是qe和δe的估计值；0＜a1＜1,0＜a2＜1,b1＞1,b2＞1,γ＞δ2；m1,m2,n1和n2的选择使得A1＝[-m1,1；-m2,0]和A2＝[-n1,1；-n2,0]是Hurwitz矩阵。
7.根据权利要求6所述的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，所述根据建立的固定时间非奇异终端滑动变量，设计非线性饱和补偿器的步骤包括：
定义固定时间非奇异终端滑动变量为：
Figure FDA0002465814310000057
其中，α1＞0,α2＞0而β＝[β1,β2,…β6]T设计为：
Figure FDA0002465814310000058
且
Figure FDA0002465814310000059
γ1＞1,0＜γ2＜1；κ是一个小的正常数；
对
Figure FDA00024658143100000510
中的s相对时间求导，得到：
Figure FDA0002465814310000061
其中，
Figure FDA0002465814310000062
Figure FDA0002465814310000063
Figure FDA0002465814310000064
将
Figure FDA0002465814310000065
代入
Figure FDA0002465814310000066
得：
Figure FDA0002465814310000067
其中，uΔ＝u-u0表示执行器饱和效应；
设计非线性饱和补偿器以解决饱和效应：
Figure FDA0002465814310000068
式中，θ表示补偿器的状态向量，k是正定常量增益。
8.根据权利要求7所述的双刚体特征点间饱和固定时间相对位姿跟踪控制方法，其特征在于，所述结合建立的固定时间扰动观测器以及非线性饱和补偿器，得到基于模型的鲁棒自适应控制器的步骤包括：
考虑追踪器的执行器饱和，执行器输出u＝[u1,u2,…u6]T受到以下非对称约束：
Figure FDA0002465814310000069
其中，
Figure FDA00024658143100000610
和
Figure FDA00024658143100000611
是已知的执行器输出的上下限；
执行器输出定义为：
Figure FDA00024658143100000612
其中，
Figure FDA00024658143100000613
是待设计的控制指令；
固定时间控制器设计为：
Figure FDA00024658143100000614
式中，
Figure FDA0002465814310000071
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