CN110543183A - 一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控制方法，针对具有集中不确定性的刚性飞行器姿态跟踪问题，设计了固定时间滑模面，保证了状态的固定时间收敛；引入神经网络逼近总不确定的函数，设计了固定时间控制器。本发明在外界干扰，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的因素下，实现飞行器系统的姿态跟踪误差和角速度误差固定时间一致最终有界的控制。

Description

一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控 制方法

技术领域

本发明涉及一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控制方法，特别是存在外部干扰，转动惯量矩阵不确定，执行器饱和和故障的刚性飞行器姿态跟踪方法。

背景技术

刚性飞行器姿态控制系统在刚性飞行器的健康，可靠的运动中扮演着重要的角色。在复杂的航天环境中，刚性飞行器姿态控制系统会受到各种外部干扰以及刚性飞行器在长期不断任务时存在的老化和失效等故障等影响。为了有效维持系统的性能，需要使其对外部干扰以及执行器故障具有较强的鲁棒性；另外，刚性飞行器还存在转动惯量矩阵不确定，因此控制饱和也是飞行器经常出现的问题。综上所述，刚性飞行器在执行任务时，需要一种在短时间内使系统稳定收敛，高精度的容错控制方法。

滑模控制在解决系统不确定性和外部扰动方面被认为是一个有效的鲁棒控制方法。滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。终端滑模控制是一种可以实现有限时间稳定性的传统滑模控制的改进方案。然而，现存的有限时间技术估计收敛时间需要知道系统的初始信息，这对于设计者是很难知道的。近年来，固定时间技术得到了广泛的应用，固定时间控制方法与现存的有限时间控制方法相比，具有无需知道系统的初始信息，也能保守估计系统的收敛时间的优越性。

神经网络是线性参数化近似方法的中一种，可以被任意的其他近似方法取代，比如RBF神经网络，模糊逻辑系统等等。利用神经网络逼近不确定的性质，有效的结合固定时间滑模控制技术，减少外部干扰及系统参数不确定性对系统控制性能的影响，实现刚性飞行器姿态的固定时间控制。

发明内容

为了克服现有的刚性飞行器姿态控制系统存在的未知非线性问题，本发明提供一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控制方法，并且在系统存在外部干扰，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的情况下，实现系统状态的固定时间一致最终有界的控制方法。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立刚性飞行器的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：

1.1刚性飞行器系统的运动学方程为：

其中q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T和q₄分别为单位四元数的矢量部分和标量部分且满足q₁,q₂,q₃分别为映射在空间直角坐标系x,y,z轴上的值；分别是q_v和q₄的导数；Ω∈R³是刚性飞行器的角速度；I₃是R^3×3单位矩阵；表示为：

1.2刚性飞行器系统的动力学方程为：

其中J∈R^3×3是刚性飞行器的转动惯性矩阵；是刚性飞行器的角加速度；u＝[u₁,u₂,u₃]^T∈R³和d∈R³是控制力矩和外部扰动；D＝diag(D₁,D₂,D₃)∈R^3×3是3×3对称对角的执行器效率矩阵，满足0＜D_i(t)≤1，i＝1,2,3；sat(u)＝[sat(u₁),sat(u₂),sat(u₃)]^T为执行器产生的实际控制力矩，sat(u_i)为带有饱和特性的执行器，表示为sat(u_i)＝sgn(u_i)min{u_mi,|u_i|}，u_mi为最大提供的控制力矩，sgn(u_i)为符号函数，min{u_mi,|u_i|}为两者的最小值；为了表示控制约束，sat(u)表示为sat(u)＝g(u)+d_s(u)，g(u)＝[g₁(u₁),g₂(u₂),g₃(u₃)]^T，g_i(u_i)为双曲正切函数

d_s(u)＝[d_s1(u₁),d_s2(u₂),d_s3(u₃)]^T为近似误差矢量；根据中值定理，g_i(u_i)＝m_iu_i，0＜m_i≤1；定义H＝DM＝diag(δ₁m₁,δ₂m₂,δ₃m₃)∈R^3×3为3×3对称对角矩阵，M＝diag(m₁,m₂,m₃)∈R^3×3为3×3对称对角矩阵；Dsat(u)重新表示为：Dsat(u)＝Hu+Dd_s(u)，满足0＜h₀≤D_im_i≤1,i＝1,2,3，h₀为未知正常数；Ω^×表示为：

1.3刚性飞行器系统期望的运动学方程为：

其中q_dv＝[q_d1,q_d2,q_d3]^T和q_d4分别为期望的单位四元数的矢量部分和标量部分且满足Ω_d∈R³为期望的角速度；分别为q_dv,q_d4的导数，为q_dv的转置；表示为：

1.4由四元数描述的刚性飞行器相对姿态运动：

Ω_e＝Ω-CΩ_d (12)

其中e_v＝[e₁,e₂,e₃]^T和e₄分别为姿态跟踪误差的矢量部分和标量部分；Ω_e＝[Ω_e1,Ω_e2,Ω_e3]^T∈R³为角速度误差；为相应的方向余弦矩阵并且满足||C||＝1和 为C的导数；

根据式(1)-(12)，刚性飞行器姿态跟踪误差动力学和运动学方程为：

其中和分别为e_v和e₄的导数；为e_v的转置；和分别为Ω_d和Ω_e的导数；(Ω_e+CΩ_d)^×与Ω^×等价；和分别表示为：

1.5转动惯性矩阵J满足J＝J₀+ΔJ，其中J₀和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(15)重新写成：

进一步得到：

1.6对式(13)进行微分，得到：

其中为e_v的二阶导数；

步骤2，针对外部扰动，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的刚性飞行器系统，设计所需的滑模面，过程如下：

选择固定时间滑模面为：

其中，λ₁和λ₂为正常数；m₁,n₁,p₁,r₁为正奇数，满足m₁＞n₁,p₁＜r₁＜2p₁，i＝1,2,3；sgn(e_i),均为符号函数；

步骤3，设计神经网络固定时间控制器，过程如下：

3.1定义神经网络为：

G_i(X_i)＝W_i ^*TΦ(X_i)+ε_i (22)

其中为输入矢量，Φ_i(X_i)∈R⁴为神经网络基函数，W_i ^*∈R⁴为理想的权值矢量，定义为：

其中W_i∈R⁴为权值矢量，ε_i为近似误差，满足|ε_i|≤ε_N,i＝1,2,3，ε_N为很小的正常数；为W_i ^*取其最小值所有的集合；

3.2考虑固定时间控制器被设计为：

其中为3×3对称的对角矩阵， 为Θ_i的估计值Φ(X)＝[Φ(X₁),Φ(X₂),Φ(X₃)]^T；K₁＝diag(k₁₁,k₁₂,k₁₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；K₂＝diag(k₂₁,k₂₂,k₂₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；K₃＝diag(k₃₁,k₃₂,k₃₃)∈R^3×3为对称的对角矩阵；k₁₁,k₁₂,k₁₃,k₂₁,k₂₂,k₂₃,k₃₁,k₃₂,k₃₃为正常数；0＜r₃＜1,r₄＞1；Γ＝diag(Γ₁,Γ₂,Γ₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；||W_i ^*||为W_i ^*的二范数； sgn(S₁),sgn(S₂),sgn(S₃)均为符号函数；

3.3设计更新律为：

其中γ_i＞0,τ_i＞0,i＝1,2,3，为的导数，Φ(X_i)选择为以下的sigmoid函数：

其中l₁,l₂,l₃和l₄为近似参数，Φ(X_i)满足0＜Φ(X_i)＜Φ₀，并且为两者中的最大值；

步骤4，固定时间稳定性证明，过程如下：

4.1证明刚性飞行器系统所有信号都是一致最终有界，设计李雅普诺夫函数为如下形式：

其中S^T是S的转置；是的转置；

对式(27)进行微分，得到：

其中为两者中的最小值； 为的二范数；

因此，刚性飞行器系统所有信号都是一致最终有界的；

4.2证明固定时间收敛，设计李雅普诺夫函数为如下形式：

对式(29)进行微分，得到：

其中 均为取其最小值；υ₂为一个大于零的上界值；

基于以上分析，刚性飞行器系统的姿态跟踪误差和角速度误差在固定时间一致最终有界。

本发明在外界干扰，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的因素下，运用自适应神经网络跟踪控制方法，实现系统稳定跟踪，保证系统姿态跟踪误差和角速度误差固定时间一致最终有界。本发明的技术构思为：针对含外部干扰，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的刚性飞行器系统，利用滑模控制方法，再结合神经网络，设计了固定时间控制器。固定时间滑模面的设计保证系统状态的固定时间收敛。本发明在系统存在外界干扰，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的情况下，实现系统姿态跟踪误差和角速度误差的固定时间一致最终有界的控制方法。

本发明的有益效果为：在系统存在外界干扰，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的情况下，实现系统姿态跟踪误差和角速度误差的固定时间一致最终有界，并且收敛时间与系统的初始状态无关。

附图说明

图1为本发明的刚性飞行器姿态跟踪误差示意图；

图2为本发明的刚性飞行器角速度误差示意图；

图3为本发明的刚性飞行器滑模面示意图；

图4为本发明的刚性飞行器控制力矩示意图；

图5为本发明的刚性飞行器参数估计示意图；

图6为本发明的控制流程示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图6，一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控制方法，所述控制方法包括以下步骤：

步骤1，建立刚性飞行器的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：

1.7刚性飞行器系统的运动学方程为：

其中q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T和q₄分别为单位四元数的矢量部分和标量部分且满足q₁,q₂,q₃分别为映射在空间直角坐标系x,y,z轴上的值；分别是q_v和q₄的导数；Ω∈R³是刚性飞行器的角速度；I₃是R^3×3单位矩阵；表示为：

1.8刚性飞行器系统的动力学方程为：

其中J∈R^3×3是刚性飞行器的转动惯性矩阵；是刚性飞行器的角加速度；u＝[u₁,u₂,u₃]^T∈R³和d∈R³是控制力矩和外部扰动；D＝diag(D₁,D₂,D₃)∈R^3×3是3×3对称对角的执行器效率矩阵，满足0＜D_i(t)≤1，i＝1,2,3；sat(u)＝[sat(u₁),sat(u₂),sat(u₃)]^T为执行器产生的实际控制力矩，sat(u_i)为带有饱和特性的执行器，表示为sat(u_i)＝sgn(u_i)min{u_mi,|u_i|}，u_mi为最大提供的控制力矩，sgn(u_i)为符号函数，min{u_mi,|u_i|}为两者的最小值；为了表示控制约束，sat(u)表示为sat(u)＝g(u)+d_s(u)，g(u)＝[g₁(u₁),g₂(u₂),g₃(u₃)]^T，g_i(u_i)为双曲正切函数

d_s(u)＝[d_s1(u₁),d_s2(u₂),d_s3(u₃)]^T为近似误差矢量；根据中值定理，g_i(u_i)＝m_iu_i，0＜m_i≤1；定义H＝DM＝diag(δ₁m₁,δ₂m₂,δ₃m₃)∈R^3×3为3×3对称对角矩阵，M＝diag(m₁,m₂,m₃)∈R^3×3为3×3对称对角矩阵；Dsat(u)重新表示为：Dsat(u)＝Hu+Dd_s(u)，满足0＜h₀≤D_im_i≤1,i＝1,2,3，h₀为未知正常数；Ω^×表示为：

1.9刚性飞行器系统期望的运动学方程为：

其中q_dv＝[q_d1,q_d2,q_d3]^T和q_d4分别为期望的单位四元数的矢量部分和标量部分且满足Ω_d∈R³为期望的角速度；分别为q_dv,q_d4的导数，为q_dv的转置；表示为：

1.10由四元数描述的刚性飞行器相对姿态运动：

Ω_e＝Ω-CΩ_d (12)

其中e_v＝[e₁,e₂,e₃]^T和e₄分别为姿态跟踪误差的矢量部分和标量部分；Ω_e＝[Ω_e1,Ω_e2,Ω_e3]^T∈R³为角速度误差；为相应的方向余弦矩阵并且满足||C||＝1和 为C的导数；

根据式(1)-(12)，刚性飞行器姿态跟踪误差动力学和运动学方程为：

其中和分别为e_v和e₄的导数；为e_v的转置；和分别为Ω_d和Ω_e的导数；(Ω_e+CΩ_d)^×与Ω^×等价；和分别表示为：

1.11转动惯性矩阵J满足J＝J₀+ΔJ，其中J₀和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(15)重新写成：

进一步得到：

1.12对式(13)进行微分，得到：

其中为e_v的二阶导数；

步骤2，针对外部扰动，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的刚性飞行器系统，设计所需的滑模面，过程如下：

选择固定时间滑模面为：

其中，λ₁和λ₂为正常数；m₁,n₁,p₁,r₁为正奇数，满足m₁＞n₁,p₁＜r₁＜2p₁，i＝1,2,3；sgn(e_i),均为符号函数；

步骤3，设计神经网络固定时间控制器，过程如下：

3.1定义神经网络为：

G_i(X_i)＝W_i ^*TΦ(X_i)+ε_i (22)

其中为输入矢量，Φ_i(X_i)∈R⁴为神经网络基函数，W_i ^*∈R⁴为理想的权值矢量，定义为：

其中W_i∈R⁴为权值矢量，ε_i为近似误差，满足|ε_i|≤ε_N,i＝1,2,3，ε_N为很小的正常数；为W_i ^*取其最小值所有的集合；

3.2考虑固定时间控制器被设计为：

其中为3×3对称的对角矩阵， 为Θ_i的估计值Φ(X)＝[Φ(X₁),Φ(X₂),Φ(X₃)]^T；K₁＝diag(k₁₁,k₁₂,k₁₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；K₂＝diag(k₂₁,k₂₂,k₂₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；K₃＝diag(k₃₁,k₃₂,k₃₃)∈R^3×3为对称的对角矩阵；k₁₁,k₁₂,k₁₃,k₂₁,k₂₂,k₂₃,k₃₁,k₃₂,k₃₃为正常数；0＜r₃＜1,r₄＞1；Γ＝diag(Γ₁,Γ₂,Γ₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；||W_i ^*||为W_i ^*的二范数； sgn(S₁),sgn(S₂),sgn(S₃)均为符号函数；

3.3设计更新律为：

其中γ_i＞0,τ_i＞0,i＝1,2,3，为的导数，Φ(X_i)选择为以下的sigmoid函数：

其中l₁,l₂,l₃和l₄为近似参数，Φ(X_i)满足0＜Φ(X_i)＜Φ₀，并且为两者中的最大值；

步骤4，固定时间稳定性证明，过程如下：

4.1证明刚性飞行器系统所有信号都是一致最终有界，设计李雅普诺夫函数为如下形式：

其中S^T是S的转置；是的转置；

对式(27)进行微分，得到：

其中为两者中的最小值； 为的二范数；

因此，刚性飞行器系统所有信号都是一致最终有界的；

4.2证明固定时间收敛，设计李雅普诺夫函数为如下形式：

对式(29)进行微分，得到：

其中 均为取其最小值；υ₂为一个大于零的上界值；

基于以上分析，刚性飞行器系统的姿态跟踪误差和角速度误差在固定时间一致最终有界。

为验证所提方法的有效性，本方法针对飞行器系统进行仿真验证。系统初始化参数设置如下：

系统的初始值：q(0)＝[0.3,-0.2,-0.3,0.8832]^T,Ω(0)＝[1,0,-1]^T弧度/秒；q_d(0)＝[0,0,0,1]^T；期望角速度弧度/秒；转动惯性矩阵的标称部分J₀＝[40,1.2,0.9；1.2,17,1.4；0.9,1.4,15]千克*平方米，惯性矩阵的不确定部ΔJ＝diag[sin(0.1t),2sin(0.2t),3sin(0.3t)]；外部扰动d(t)＝[0.2sin(0.1t),0.3sin(0.2t),0.5sin(0.2t)]^T牛*米；滑模面的参数如下：λ₁＝0.5,λ₂＝0.5,m₁＝11,n₁＝5,p₁＝3,r₁＝5；控制器的参数如下：K₁＝K₂＝K₃＝I₃；更新律参数如下：γ_i＝2,τ_i＝0.1,i＝1,2,3，sigmoid函数的参数选择如下：l₁＝2,l₂＝10,l₃＝4,l₄＝-1。最大的控制力矩u_mi＝10牛*米，执行器效率值选择为：

刚性飞行器的姿态跟踪误差和角速度误差的响应示意图分别如图1和图2所示，可以看出跟踪姿态误差和角速度误差都能在4秒左右收敛到平衡点的一个零域内；刚性飞行器的滑模面响应示意图如图3所示，可以看出滑模面能在3秒左右收敛到平衡点的一个零域内；刚性飞行器的控制力矩如图4所示，可以看出控制力矩限幅在10牛*米内；参数估计响应示意图分别如图5所示。

因此，本发明在系统存在外界干扰,转动惯量不确定,执行器饱和和故障的情况下，实现系统姿态跟踪误差和角速度误差的固定时间一致最终有界，并且收敛时间与系统的初始状态无关。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种考虑执行器受限问题的刚体飞行器固定时间姿态跟踪控制方法，其特征在于：所述方法包括以下步骤：

步骤1，建立刚性飞行器的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：

1.1刚性飞行器系统的运动学方程为：

其中q_v＝[q₁,q₂,q₃]^T和q₄分别为单位四元数的矢量部分和标量部分且满足q₁,q₂,q₃分别为映射在空间直角坐标系x,y,z轴上的值；分别是q_v和q₄的导数；Ω∈R³是刚性飞行器的角速度；I₃是R^3×3单位矩阵；表示为：

1.2刚性飞行器系统的动力学方程为：

其中J∈R^3×3是刚性飞行器的转动惯性矩阵；是刚性飞行器的角加速度；u＝[u₁,u₂,u₃]^T∈R³和d∈R³是控制力矩和外部扰动；D＝diag(D₁,D₂,D₃)∈R^3×3是3×3对称对角的执行器效率矩阵，满足0＜D_i(t)≤1，i＝1,2,3；sat(u)＝[sat(u₁),sat(u₂),sat(u₃)]^T为执行器产生的实际控制力矩，sat(u_i)为带有饱和特性的执行器，表示为sat(u_i)＝sgn(u_i)min{u_mi,|u_i|}，u_mi为最大提供的控制力矩，sgn(u_i)为符号函数，min{u_mi,|u_i|}为两者的最小值；为了表示控制约束，sat(u)表示为sat(u)＝g(u)+d_s(u)，g(u)＝[g₁(u₁),g₂(u₂),g₃(u₃)]^T，g_i(u_i)为双曲正切函数

d_s(u)＝[d_s1(u₁),d_s2(u₂),d_s3(u₃)]^T为近似误差矢量；根据中值定理，g_i(u_i)＝m_iu_i，0＜m_i≤1；定义H＝DM＝diag(δ₁m₁,δ₂m₂,δ₃m₃)∈R^3×3为3×3对称对角矩阵，M＝diag(m₁,m₂,m₃)∈R^{3 ×3}为3×3对称对角矩阵；Dsat(u)重新表示为：Dsat(u)＝Hu+Dd_s(u)，满足0＜h₀≤D_im_i≤1,i＝1,2,3，h₀为未知正常数；Ω^×表示为：

1.3刚性飞行器系统期望的运动学方程为：

其中q_dv＝[q_d1,q_d2,q_d3]^T和q_d4分别为期望的单位四元数的矢量部分和标量部分且满足Ω_d∈R³为期望的角速度；分别为q_dv,q_d4的导数，为q_dv的转置；表示为：

1.4由四元数描述的刚性飞行器相对姿态运动：

Ω_e＝Ω-CΩ_d (12)

其中e_v＝[e₁,e₂,e₃]^T和e₄分别为姿态跟踪误差的矢量部分和标量部分；Ω_e＝[Ω_e1,Ω_e2,Ω_e3]^T∈R³为角速度误差；为相应的方向余弦矩阵并且满足||C||＝1和 为C的导数；

根据式(1)-(12)，刚性飞行器姿态跟踪误差动力学和运动学方程为：

其中和分别为e_v和e₄的导数；为e_v的转置；和分别为Ω_d和Ω_e的导数；(Ω_e+CΩ_d)^×与Ω^×等价；和分别表示为：

1.5转动惯性矩阵J满足J＝J₀+ΔJ，其中J₀和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(15)重新写成：

进一步得到：

1.6对式(13)进行微分，得到：

其中为e_v的二阶导数；

步骤2，针对外部扰动，转动惯量不确定，执行器饱和和故障的刚性飞行器系统，设计所需的滑模面，过程如下：

选择固定时间滑模面为：

其中，λ₁和λ₂为正常数；m₁,n₁,p₁,r₁为正奇数，满足m₁＞n₁,p₁＜r₁＜2p₁，sgn(e_i),均为符号函数；

步骤3，设计神经网络固定时间控制器，其过程如下：

3.1定义神经网络为：

G_i(X_i)＝W_i ^*TΦ(X_i)+ε_i (22)

其中为输入矢量，Φ_i(X_i)∈R⁴为神经网络基函数，W_i ^*∈R⁴为理想的权值矢量，定义为：

其中W_i∈R⁴为权值矢量，ε_i为近似误差，满足|ε_i|≤ε_N,i＝1,2,3，ε_N为很小的正常数；为W_i ^*取其最小值所有的集合；

3.2考虑固定时间控制器被设计为：

其中为3×3对称的对角矩阵， 为Θ_i的估计值Φ(X)＝[Φ(X₁),Φ(X₂),Φ(X₃)]^T；K₁＝diag(k₁₁,k₁₂,k₁₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；K₂＝diag(k₂₁,k₂₂,k₂₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；K₃＝diag(k₃₁,k₃₂,k₃₃)∈R^3×3为对称的对角矩阵；k₁₁,k₁₂,k₁₃,k₂₁,k₂₂,k₂₃,k₃₁,k₃₂,k₃₃为正常数；0＜r₃＜1,r₄＞1；Γ＝diag(Γ₁,Γ₂,Γ₃)∈R^3×3为3×3对称的对角矩阵；||W_i ^*||为W_i ^*的二范数； sgn(S₁),sgn(S₂),sgn(S₃)均为符号函数；

3.3设计更新律为：

其中γ_i＞0,τ_i＞0,i＝1,2,3，为的导数，Φ(X_i)选择为以下的sigmoid函数：

其中l₁,l₂,l₃和l₄为近似参数，Φ(X_i)满足0＜Φ(X_i)＜Φ₀，并且为两者中的最大值；

步骤4，固定时间稳定性证明，其过程如下：

4.1证明刚性飞行器系统所有信号都是一致最终有界，设计李雅普诺夫函数为如下形式：

其中S^T是S的转置；是的转置；

对式(27)进行微分，得到：

其中为两者中的最小值； 为的二范数；

因此，刚性飞行器系统所有信号都是一致最终有界的；

4.2证明固定时间收敛，设计李雅普诺夫函数为如下形式：

对式(29)进行微分，得到：

其中 均为取其最小值；υ₂为一个大于零的上界值；

基于以上分析，刚性飞行器系统的姿态跟踪误差和角速度误差在固定时间一致最终有界。