CN107450584A - 一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法 - Google Patents

一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法 Download PDF

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Abstract

一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法，针对具有集中不确定性的飞行器姿态稳定问题，利用滑模控制方法，再结合自适应控制，设计了固定时间自适应控制器。固定时间滑模面的设计保证系统的固定时间收敛，并且收敛时间与系统初始状态无关。另外，自适应更新律用来估计系统不确定性和干扰的上界，因此上界信息无需预先知道。本发明在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统状态的固定时间一致最终有界的控制方法。

Description

一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法
技术领域
本发明涉及一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法，特别是存在外界干扰和转动惯性矩阵不确定性的飞行器姿态控制方法。
背景技术
飞行控制系统是无人机的核心，无人机要完成自主飞行，需要控制系统对内回路(姿态回路)和外回路(水平位置和高度回路)都具有良好的控制特性。无人机的飞行控制律设计决定了它的飞行性能。这些性能包括各种飞行性能，例如：起飞着陆性能、作业飞行性能、飞行安全可靠性、飞行可监控性、系统的自动化性、可维护性等。而无人机飞行控制系统的性能要求越来越复杂，经典控制方法难以处理、协调系统的多变量输入输出特性。随着现代控制理论的发展，滑模变结构控制作为一种典型的非线性控制方法能够有效改善飞行器的稳定性和操纵性，从而提高执行任务的能力。因此，研究无人机姿态系统的滑模变结构控制方法具有十分重要的意义。
滑模控制在解决系统不确定性和外部扰动方面被认为是一个有效的鲁棒控制方法。滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。并且终端滑模控制能够保证有限时间收敛。然而，现存的有限时间技术估计收敛时间需要知道系统的初始信息，这对于设计者是很难知道的，固定时间控制方法与现存的有限时间方法相比，具有无需知道系统的初始信息，也能保守估计系统的收敛时间的优越性。
然而，在上述提出的大部分方法中，飞行器姿态系统的运动学和动力学模型参数都必须提前已知。因此，当系统存在不确定因素时，上述提出的方法不能直接应用于对飞行器的姿态控制。众所周知，由于自适应控制方法可以估计不确定因素的上界，因此无需预先知道上界信息。基于上述原因，许多自适应控制方法被用来控制空间飞行器系统。
发明内容
为了克服现有的飞行器姿态控制系统存在的未知非线性问题，本发明提供一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法，并且在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统状态的固定时间一致最终有界的控制方法。
为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：
一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立飞行器的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：
1.1飞行器姿态系统的运动学模型表达形式为：
其中qv＝[q1,q2,q3]T和q4分别的单位四元数的矢量部分和标量部分且满足分别是qv和q4的导数；Ω∈R3是飞行器的角速度；I3是R3×3单位矩阵；×是运算符号，将运算符号×应用于a＝[a1,a2,a3]T，得：
1.2飞行器姿态系统的动力学模型表达形式为：
其中J∈R3×3是飞行器的转动惯性矩阵；是飞行器的角加速度；u∈R3和d∈R3是控制力矩和外部扰动；
1.3假设转动惯性矩阵J＝J0+ΔJ，其中J0和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(4)重新写成：
进一步得到：
1.4对式(1)进行微分，得到：
其中为干扰和不确定性的集合，满足且c1,c2,c3为正常数；
步骤2，在存在转动惯量不确定和外部扰动的情况下，基于飞行器的姿态控制系统，设计所需的滑模面，过程如下：
选择固定时间滑模面S∈R3为：
其中，α1和β1为正常数；m1,n1,p1,r1为正奇数，满足m1＞n1和p1＜r1＜2p1；Sau＝[Sau1,Sau2,Sau3]T，Saui可以表示为：
i＝1,2,3，υ为正常数；函数定义为
步骤3，设计固定时间自适应控制器，其过程如下：
3.1考虑固定时间自适应控制器被设计为：
其中 Fe定义为：
K＞0，m2,n2,p2,r2为正奇数，满足m2＞n2，p2＜r2＜2p2；分别为c1,c2,c3的估计；||·||表示值的二范数；
3.2设计自适应参数的更新律：
其中η1,η2,η3,ε1,ε2,ε3为正常数；分别为的导数；
步骤4，固定时间稳定性证明，其过程如下：
4.1证明飞行器系统所有信号都是一致最终有界，设计李雅普诺夫函数为如下形式：
其中i＝1,2,3；ST是S的转置；
对式(15)进行求导，并将(7)代入，得到：
对任意的正常数δ1,δ2,δ3，存在下列不等式：
因此，式(15)表达为：
其中min{·}表示最小值；
则判定飞行器系统所有信号都是一致最终有界的，因此，存在一个正常数γ2，使得成立；
4.2证明固定时间收敛，设计李雅普诺夫函数为如下形式：
对式(21)进行求导，并将(7)和(9)代入，得到：
如果式(22)写成
其中
基于以上分析，飞行器系统状态在固定时间一致最终有界。
本发明在转动惯性矩阵不确定性和外界干扰的因素，基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法，实现系统稳定控制，保证系统状态实现固定时间一致最终有界。本发明的技术构思为：针对含有转动惯性矩阵不确定性和外界干扰的飞行器控制系统，利用滑模控制方法，再结合自适应控制，设计了固定时间自适应控制器。固定时间滑模面的设计不仅保证系统的固定时间收敛，并且收敛时间与系统的初始值无关。另外，自适应更新律用来估计系统不确定性和干扰的上界，因此上界信息无需预先知道。本发明在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统状态的固定时间一致最终有界的控制方法。
本发明的优点为：在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统状态的固定时间一致最终有界，并且收敛时间与系统的初始状态无关。
附图说明
图1为本发明基于不同初值的飞行器姿态四元数示意图；
图2为本发明基于不同初值的角速度示意图；
图3为本发明基于不同初值的滑模面示意图；
图4为本发明基于不同初值的控制力矩示意图；
图5为本发明基于不同初值的参数估计示意图；
图6为本发明的控制流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
参照图1-图6，一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法，所述控制方法包括以下步骤：
步骤1，建立飞行器的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：
1.1飞行器姿态系统的运动学模型表达形式为：
其中qv＝[q1,q2,q3]T和q4分别的单位四元数的矢量部分和标量部分且满足分别是qv和q4的导数；Ω∈R3是飞行器的角速度；I3是R3×3单位矩阵；×是运算符号，将运算符号×应用于a＝[a1,a2,a3]T，得：
1.2飞行器姿态系统的动力学模型表达形式为：
其中J∈R3×3是飞行器的转动惯性矩阵；是飞行器的角加速度；u∈R3和d∈R3是控制力矩和外部扰动；
1.3假设转动惯性矩阵J＝J0+ΔJ，其中J0和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(4)重新写成：
进一步得到：
1.4对式(1)进行微分，得到：
其中为干扰和不确定性的集合，满足且c1,c2,c3为正常数；
步骤2，在存在转动惯量不确定和外部扰动的情况下，基于飞行器的姿态控制系统，设计所需的滑模面，过程如下：
选择固定时间滑模面S∈R3为：
其中，α1和β1为正常数；m1,n1,p1,r1为正奇数，满足m1＞n1和p1＜r1＜2p1；Sau＝[Sau1,Sau2,Sau3]T，Saui可以表示为：
i＝1,2,3，υ为正常数；函数定义为
步骤3，设计固定时间自适应控制器，其过程如下：
3.1考虑固定时间自适应控制器被设计为：
其中 Fe定义为：
K＞0，m2,n2,p2,r2为正奇数，满足m2＞n2，p2＜r2＜2p2；分别为c1,c2,c3的估计；||·||表示值的二范数；
3.2设计自适应参数的更新律：
其中η1,η2,η3,ε1,ε2,ε3为正常数；分别为的导数；
步骤4，固定时间稳定性证明，其过程如下：
4.1证明飞行器系统所有信号都是一致最终有界，设计李雅普诺夫函数为如下形式：
其中i＝1,2,3；ST是S的转置；
对式(15)进行求导，并将(7)代入，得到：
对任意的正常数δ1,δ2,δ3，存在下列不等式：
因此，式(15)表达为：
其中min{·}表示最小值；
则判定飞行器系统所有信号都是一致最终有界的，因此，存在一个正常数γ2，使得成立；
4.2证明固定时间收敛，设计李雅普诺夫函数为如下形式：
对式(21)进行求导，并将(7)和(9)代入，得到：
如果式(22)写成
其中
基于以上分析，飞行器系统状态在固定时间一致最终有界。
为验证所提方法的有效性，本方法针对飞行器系统进行仿真验证。系统初始化参数设置如下：
系统的初始值：(i)q(0)＝[0.3,-0.2,-0.3,0.8832]T,Ω(0)＝[1,0,-3]T弧度/秒,(ii)q(0)＝[0.5,-0.5,-0.5,0.5]T,Ω(0)＝[-2,-1,2]T弧度/秒；转动惯性矩阵的标称部分J0＝[40,1.2,0.9；1.2,17,1.4；0.9,1.4,15]千克*平方米，惯性矩阵的不确定部ΔJ＝diag[sin(0.1t),2sin(0.2t),3sin(0.3t)]；外部扰动d(t)＝[0.2sin(0.1t),0.3sin(0.2t),0.5sin(0.2t)]T牛*米；滑模面的参数如下：m1＝9,n1＝5,p1＝7,r1＝9,α1i＝1,β1i＝1,i＝1,2,3；控制器的参数如下：m2＝11,n2＝9,p2＝5,r2＝7,K＝2；更新律参数如下：ηi＝1,εi＝0.001,i＝1,2,3，i＝1,2,3，
基于不同初始值的飞行器姿态四元数和角速度的响应示意图分别如图1和图2所示，可以看出在不同的初始值情况下，姿态四元数和角速度都能在2.6秒左右收敛到平衡点的一个零域内；基于不同初始值的滑模面响应示意图如图3所示，可以看出在不同的初始值情况下，滑模面都能在2.4秒左右收敛到平衡点的一个零域内；基于不同初始值的控制力矩和参数估计响应示意图分别如图4和图5所示。
因此，本发明在系统存在不确定性和干扰的情况下，实现系统状态的固定时间一致最终有界，并且收敛时间与系统的初始状态无关。
以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于固定时间滑模的飞行器自适应姿态控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：
步骤1，建立飞行器的运动学和动力学模型，初始化系统状态以及控制参数，过程如下：
1.1飞行器姿态系统的运动学模型表达形式为：
<mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>v</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中qv＝[q1,q2,q3]T和q4分别的单位四元数的矢量部分和标量部分且满足 分别是qv和q4的导数；Ω∈R3是飞行器的角速度；I3是R3×3单位矩阵；×是运算符号，将运算符号×应用于a＝[a1,a2,a3]T，得：
<mrow> <msup> <mi>a</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
1.2飞行器姿态系统的动力学模型表达形式为：
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其中J∈R3×3是飞行器的转动惯性矩阵；是飞行器的角加速度；u∈R3和d∈R3是控制力矩和外部扰动；
1.3假设转动惯性矩阵J＝J0+ΔJ，其中J0和ΔJ分别表示J的标称部分和不确定部分，则式(4)重新写成：
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进一步得到：
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1.4对式(1)进行微分，得到：
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其中为干扰和不确定性的集合，满足且c1,c2,c3为正常数；
步骤2，在存在转动惯量不确定和外部扰动的情况下，基于飞行器的姿态控制系统，设计所需的滑模面，过程如下：
选择固定时间滑模面S∈R3为：
<mrow> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，α1和β1为正常数；m1,n1,p1,r1为正奇数，满足m1＞n1和p1＜r1＜2p1；Sau＝[Sau1,Sau2,Sau3]T，Saui可以表示为：
υ为正常数；函数定义为
步骤3，设计固定时间自适应控制器，其过程如下：
3.1考虑固定时间自适应控制器被设计为：
<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>K</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;u</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中 Fe定义为：
K＞0，m2,n2,p2,r2为正奇数，满足m2＞n2，p2＜r2＜2p2；分别为c1,c2,c3的估计；||·||表示值的二范数；
3.2设计自适应参数的更新律：
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>S</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>S</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>S</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中η1,η2,η3,ε1,ε2,ε3为正常数；分别为的导数；
步骤4，固定时间稳定性证明，其过程如下：
4.1证明飞行器系统所有信号都是一致最终有界，设计李雅普诺夫函数为如下形式：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中i＝1,2,3；ST是S的转置；
对式(15)进行求导，并将(7)代入，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mi>v</mi> </msub> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>v</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>J</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msup> <msub> <mi>J</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mi>v</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>J</mi> <mn>0</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mi>u</mi> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>F</mi> <mi>e</mi> <msub> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>K</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对任意的正常数δ1,δ2,δ3，存在下列不等式：
<mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
因此，式(15)表达为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>3</mn> </munderover> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>c</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中min{·}表示最小值；
<mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>{</mo> <mn>2</mn> <mi>K</mi> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>;</mo> </mrow>
则判定飞行器系统所有信号都是一致最终有界的，因此，存在一个正常数γ2，使得成立；
4.2证明固定时间收敛，设计李雅普诺夫函数为如下形式：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(21)进行求导，并将(7)和(9)代入，得到：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mover> <mi>S</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>S</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>K</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mfrac> </msup> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;u</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 3
如果式(22)写成
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>V</mi> <mn>2</mn> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msubsup> <mi>V</mi> <mn>2</mn> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
基于以上分析，飞行器系统状态在固定时间一致最终有界。
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