CN104199291B - 基于耗散理论的tora系统自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

基于耗散理论的TORA系统自适应控制方法。该方法包括：选取一种旋转小球可在竖直平面内转动的双自旋航天器的简化模型；根据所选系统模型确定系统的控制目标；最终提出一种自适应控制方法，可镇定控制转动小球和平移振荡小车，同时能够在线估计系统的未知参数。相比已有的控制方法，该方法不仅能够达到控制TORA系统的目的，而且可在线估计系统的未知参数，简单易行，减少了调节增益的时间，大大提高了系统的控制效率。

Description

基于耗散理论的TORA系统自适应控制方法

技术领域

本发明涉及一种非线性欠驱动领域的自动控制方法，具体是一种基于耗散理论的欠驱动TORA系统的自适应控制方法。

背景技术

目前，在我们的生活中，大部分的系统均为非线性系统。因此，近年来，非线性系统的控制问题受到了广泛的关注[1-4]。非线性系统中的欠驱动系统更因其诸多优点而成为控制领域的热点问题。所谓欠驱动系统，指系统的独立控制变量个数小于系统自由度个数的一类非线性系统，通常欠驱动系统通过较少的控制输入实现对更多被控状态量的控制。因此，欠驱动系统在节约能量、降低造价、减轻重量、增强系统灵活度等方面都较完全驱动系统优越。其中，具有旋转激励的平移振荡器(Translation oscillators with arotating actuator,TORA)是一种典型的非线性欠驱动系统，由一个不可驱动的平移振荡器和一个可驱动的转动小球组成，该模型原本是双自旋航天器的简化模型，作为一个非线性基准系统，通常用于分析、设计非线性控制器或用于检验所设计非线性控制器的性能。对于TORA系统的控制而言，当不可驱动的平移振荡器受到外界干扰时，通过可驱动转动小球对平移振荡器进行间接控制，使其收敛于稳定平衡点位置，同时，转动小球最终也被镇定于稳定平衡点位置。遗憾的是，由于TORA系统的欠驱动特性，难以同时兼顾这两个方面。

目前，欠驱动TORA系统的控制方法主要有基于能量的控制方法[5]、基于无源性的控制方法[6,7]和反馈线性化及Backstepping控制[8]等。就目前而言，绝大多数的控制方法都无法在线估计系统的参数，当系统参数改变时，需重新反复调节控制器的增益，以达到控制TORA系统的目的。然而，调节增益的过程无疑大大降低了对欠驱动TORA系统的控制效率。鉴于此原因，本发明针对TORA系统的镇定控制问题，提出了一种自适应镇定控制方法。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术存在的上述不足，提供一种具有在线估计能力的自适应镇定控制方法，本方法克服了上述现有技术的不足，可通过系统响应在线估计系统的参数，旨在提高控制系统的控制效率，同时扩大相同增益控制器的使用范围。

本发明致力于通过分析TORA系统的无源性，构造一种新颖的能量函数，设计出基于耗散理论的自适应控制器，该控制器可在线估计不可驱动小车质量、转动小球质量和弹簧的劲度系数等系统参数，大大提高了控制器的控制效率。

本发明提供的基于耗散理论的TORA系统自适应控制方法，为解决上述技术问题包括以下步骤：

步骤1、被控系统的选取

对于已有的双自旋航天器的简化模型主要有：旋转小球可在水平面内转动、旋转小球可在竖直平面内转动、旋转小球沿斜平面转动等模型。本发明所考虑的模型为旋转小球可在竖直平面内转动的双自旋航天器的简化模型。该简化模型由可驱动的旋转小球和一个与弹簧连接的移动小车组成为，小球在电机驱动力的作用下可在竖直平面内转动，简便起见，本发明称该模型为TORA系统，该系统的动力学模型表示如下：

其中，M为平移小车质量；m为转动小球的质量；转动半径为r；k为弹簧的劲度系数；J为小球关于其质心的转动惯量；g表示重力加速度；x(t)和θ(t)分别是小车距离初始位置的位移和小球逆时针转离竖直向下方向的角度；t表示时间，变量后面的(t)表示该变量为关于时间的变量，为简明起见，公式中略去大部分变量中的(t)；和分别表示转动小球的角速度和角加速度；τ(t)为作用在转动小球上的输入转矩。

步骤2、控制目标的确定

对于步骤1所给出的TORA系统，本发明的控制目标是当平移振荡小车受到外界干扰时，使用一种控制方法可以通过控制旋转小球间接地控制平移振荡小车，将小车镇定到稳定点的同时旋转小球也将稳定于稳定平衡点的位置，即：

其中，x(t)和θ(t)分别是小车距离初始位置的位移和小球逆时针转离竖直向下方向的角度；和分别表示转动小球的角速度和平移振荡小车的速度；T表示向量的转置。

步骤3、能量函数的选择

为实现同时镇定平移振荡小车和旋转小球的目的，本发明定义如下李雅普诺夫候选函数V(t)：

其中，V₀(t)为式(11)所定义的正定函数，表示参数估计误差。本发明的目的是利用该李雅普诺夫提出具有在线估计功能的自适应控制方法，达到对TORA系统控制的目的。

步骤4、控制律的提出

为实现步骤2所述的控制目标，基于步骤3所选择的新颖的李雅普诺夫候选函数，确定一种既能控制旋转小球又能控制平移振荡小车的自适应控制方法τ(t)如下：

其中，k_E,k_v,k_p,k_d∈R⁺为控制增益；Y∈R²代表已知向量，是系统的可测向量；表示对系统参数ω的估计，它由以下自适应机制来在线更新：

其中，为估计向量关于时间的导数；Γ＝diag{γ₁,γ₂}表示更新增益矩阵，代表控制增益。本发明所提出的自适应机制可在线估计不可驱动小车质量、转动小球质量和弹簧的劲度系数等系统参数，克服了现有技术的不足。

步骤5、控制方法的实现

通过借助传感器在线获取小球的旋转角度θ(t)，角速度小车的位移x(t)以及小车的速度根据控制律(17)实时计算出相应的控制信号，控制TORA系统中旋转小球的转矩，实现控制的目标。

本发明的理论依据分析

1、系统动力学模型

对于模型已知的TORA系统(如附图1所示)，系统由可驱动的旋转小球和一个与弹簧连接的移动小车组成，小球在电机驱动力的作用下可在竖直平面内转动，该系统的动力学模型表示如下[5]：

其中，M为平移小车质量；m为转动小球的质量；转动半径为r；k为弹簧的劲度系数；J为小球关于其质心的转动惯量；g表示重力加速度；x(t)和θ(t)分别是小车距离初始位置的位移和小球逆时针转离竖直向下方向的角度；t表示时间，变量后面的(t)表示该变量为关于时间的变量，为简明起见，公式中略去大部分变量中的(t)；和分别表示转动小球的角速度和角加速度；τ(t)为作用在转动小球上的输入转矩。

对式子(1)和(2)整理可得：

其中，m(θ)和分别代表如下的辅助函数：

为方便接下来控制律的设计，将系统动力学模型(1)和(2)化为如下紧凑的矩阵形式

其中：

G(q)＝[kx mgr sinθ]^Tq＝[x θ]^Tu＝[0 τ]^T

显然，M(q)是正定对称矩阵，且对M(q)关于时间的导数与恒有

2、系统的耗散性

对于式(1)和(2)所描述的TORA系统，系统的总能量E(t)为：

其中，S.K.E代表系统的动能；S.P.E代表系统的势能。对式(8)两边关于时间进行求导，并利用式(6)和(7)进行化简后可以得到：

对式(9)两边关于时间进行积分可得：

从式(10)可以看出，TORA系统(6)是以τ(t)为输入，为输出的无源耗散系统[10]，该性质是随后控制律设计的基础。

为实现同时镇定旋转小球与平移振荡小车的目的，构造如下正定函数V₀(t)：

其中，E(t)为式(8)所定义的系统能量；k_E,k_v,为控制增益；m(θ)为式(5)所定义的辅助函数；对式(11)两边关于时间进行求导，并利用(3)-(9)进行整理可得：

其中，f(t)代表如下的辅助函数：

由式(13)可知f(t)含有系统未知参数M,m,k,r且满足线性参数化条件，因此可以将辅助函数f(t)写成如下形式：

f(t)＝Y^Tω (14)

其中，代表已知向量，是系统的可测向量

Y＝[xcosθ -gsinθ]^T (15)

代表系统的参数向量：

基于上述分析，设计如下控制律：

其中，k_E,k_v,k_p,k_d∈R⁺为控制增益；表示对参数ω的估计，它由以下自适应机制来在线更新：

其中，Γ＝diag{γ₁,γ₂}表示更新增益矩阵，其中为正的控制增益。

可以证明，控制律(17)可以达到同时镇定旋转小球和平移振荡小车的目的。

为证明上述结论，我们进行如下稳定性分析。

该部分将通过严格的数学分析，说明控制律(17)能够将平移振荡小车和旋转小球镇定到稳定平衡点位置，即：

其中，T表示向量的转置。

为证明结论(19)，首先定义如下信号：

其中，表示参数估计误差。进一步定义如下李雅普诺夫候选函数V(t)：

V₀(t)为式(11)所定义的正定函数，对式(21)关于时间进行求导，然后结合控制律(17)及式(20)进行整理可得：

利用式(18)所示的参数更新规律，可以将最终改写为：

所以，即闭环系统是李雅普诺夫稳定的，从而可知闭环系统的所有状态信号均有界，即：

为证明系统状态最终收敛于稳定平衡点，令Φ为如下不变集：

由式(23)可知，在不变集Φ中：

进一步可知在不变集Φ中：

其中，为常数。为确定在不变集中的值，分如下两种情况进行分析：

假设1：在不变集Φ中则x(t)为常数，那么则结合式(1)，(2)及(27)可知x(t)＝0。根据自适应机制(18)及式(26)结论可知故均为常数。进一步，将控制器(17)代入(2)并整理得

因此，对于θ∈(-π,π]，等式(28)有唯一解θ(t)＝0。

假设2：在不变集Φ中不恒等于零，则在不变集Φ中至少存在一个点使得又由可知连续，所以存在一个的领域使得在领域中

在领域中进行如下分析：把控制律(17)代入到方程(4)并结合(26)(27)结论可得：

其中辅助变量a,b定义如下：

根据自适应机制(18)及式(26)结论可知故a,b均为常数。则进一步由式(26)结论θ＝c可知x(t)为常数，故与假设在邻域中存在某点矛盾，故假设不成立。

综合上述分析可知：不变集Φ中仅包含稳定平衡点

于是，根据LaSalle不变性原理[10]可知，本发明所提出的控制方法能够达到同时控制旋转小球和平移振荡小车的目的，系统状态在本发明控制律的作用下随时间推移渐近收敛到稳定平衡点处。

本发明的优点和有益效果：

本发明基于双自旋航天器的简化模型，提出了一种自适应镇定控制器。本发明所提出的自适应控制器在结构上要比已有控制方法简单，且本方法简单易行，比已有方法更易于实现。此外，已有控制方法大多无法估计系统的参数，当系统改变时需重新调节控制器的控制增益以达到镇定的目的；相比之下，对于本发明所提出的方法可以在线估计系统的参数，无需重新计算控制器的控制增益，从而大大提高控制效率。综上，本发明所提出的控制方法可保证同时镇定旋转小球和平移振荡小车，不仅如此，还可以在线估计系统的未知参数，具有更好的应用价值。

附图说明

图1为本发明所针对的模型结构图

图2为情形1未加控制输入时的系统状态图

图3为情形1本发明控制效果图

图4为情形2未加控制输入时的系统状态图

图5为情形2本发明控制效果图

具体实施方式

本发明提供的基于耗散理论的TORA系统自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1、被控系统的选取

对于已有的双自旋航天器的简化模型主要有：旋转小球可在水平面内转动、旋转小球可在竖直平面内转动、旋转小球沿斜平面转动等模型。本发明所考虑的模型为旋转小球可在竖直平面内转动的双自旋航天器的简化模型。该简化模型由可驱动的旋转小球和一个与弹簧连接的移动小车组成为，小球在电机驱动力的作用下可在竖直平面内转动，简便起见，本发明称该模型为TORA系统，该系统的动力学模型表示如下：

其中，M为平移小车质量；m为转动小球的质量；转动半径为r；k为弹簧的劲度系数；J为小球关于其质心的转动惯量；g表示重力加速度；x(t)和θ(t)分别是小车距离初始位置的位移和小球逆时针转离竖直向下方向的角度；t表示时间，变量后面的(t)表示该变量为关于时间的变量，为简明起见，公式中略去大部分变量中的(t)；和分别表示转动小球的角速度和角加速度；τ(t)为作用在转动小球上的输入转矩。

步骤2、控制目标的确定

对于步骤1所给出的TORA系统，本发明的控制目标是当平移振荡小车受到外界干扰时，使用一种控制方法可以通过控制旋转小球间接地控制平移振荡小车，将小车镇定到稳定点的同时旋转小球也将稳定于稳定平衡点的位置，即：

其中，x(t)和θ(t)分别是小车距离初始位置的位移和小球逆时针转离竖直向下方向的角度；t表示时间，变量后面的(t)表示该变量为关于时间的变量；和分别表示转动小球的角速度和平移振荡小车的速度。

步骤3、能量函数的选择

为实现同时镇定平移振荡小车和旋转小球的目的，本发明定义如下李雅普诺夫候选函数V(t)：

其中，V₀(t)为式(11)所定义的正定函数，表示参数估计误差。

步骤4、控制律的提出

为实现步骤2所述的控制目标，基于步骤3所选择李雅普诺夫候选函数，确定一种既能控制旋转小球又能控制平移振荡小车的自适应控制方法τ(t)如下：

其中，k_E,k_v,k_p,k_d∈R⁺为控制增益；表示对参数ω的估计，它由以下自适应机制来在线更新：

其中，Γ＝diag{γ₁,γ₂},表示更新增益矩阵。该自适应机制可在线估计不可驱动小车质量、转动小球质量和弹簧的劲度系数等系统参数，克服了现有技术的不足，可大大提高对参数不同的TORA系统的镇定控制。

步骤5、控制方法的实现

通过借助传感器在线获取小球的旋转角度θ(t)，角速度小车的位移x(t)以及小车的速度根据控制律(17)实时计算出相应的控制信号，控制TORA系统中旋转小球的转矩，实现控制的目标。

本实施例的仿真实验效果描述如下：

为了验证本发明所提出控制方法的有效性，根据上述步骤，选择文献[9]所设计的TORA系统参数，进行了仿真实验验证。仿真中，小车质量、小球质量、劲度系数、小球旋转半径以及小球关于其质心的转动惯量分别为：

M＝1.3608kg，m＝0.096kg，k＝186.3N/m，r＝0.0592m，J＝0.0002175kg·m²

本仿真实验分两部分进行，仿真环境选为Matlab/Simulink，分别选取不同的初始状态以验证本发明对于不同初始状态的镇定控制效果。此外，在仿真中与未加控制输入时的状态结果进行对比。对于不同的初始状态，控制的目标均为保证系统状态随时间的推移收敛到稳定平衡点位置，即：

经过充分调试后，本发明所设计的控制量的控制增益选取为：

k_E＝1，k_v＝0.036，k_p＝0.01，k_d＝0.002，γ₁＝γ₂＝0.02

情形1：系统的初始状态选为

仿真结果为附图2与附图3，附图2给出了未加控制输入时，小车的位移及旋转小球的摆角随时间变化的曲线；附图3给出了在本发明所提出控制方法的作用下，小车的位移及旋转小球的摆角随时间变化的曲线。由附图2可以看出，在未加入控制输入时，小车和小球表现出持续震荡的状态，而且将继续下去，系统明显不稳定。相比之下，在本发明所提出控制方法的作用下，系统状态快速地收敛于稳定平衡点的位置，充分表明本发明具有良好的控制性能。

情形2：系统的初始状态选为

仿真结果为附图4与附图5，附图4给出了未加控制输入时，小车的位移及旋转小球的摆角随时间变化的曲线；附图5给出了在本发明所提出控制方法的作用下，小车的位移及旋转小球的摆角随时间变化的曲线。由附图2可以看出，在未加入控制输入时，与情形1相似，小车和小球表现出持续震荡的状态。相比之下，虽然改变了系统的初始状态，但在本发明所提出控制方法的作用下，系统状态快速地收敛于稳定平衡点的位置，进一步明本发明具有良好的控制性能。

本说明书所引用的参考文献如下：

1.Wu X,He X,Sun N,Fang Y.A novel anti-swing control method for 3-Doverhead cranes[C]//Proceedings of the 2014American Control Conference,Portland,Oregon,USA,pp.2821-2826,2014.

2.Wu X,He X,Wang M.A new anti-swing control law for overhead cranesystems[C]//Proceedings of the 9th IEEE Conference on Industrial Electronicsand Applications,Hangzhou,China,pp.678-683,2014.

3.Wu X,He X,and Sun N.An analytical trajectory planning method forunderactuated overhead cranes with constraints[C]//Proceedings of the 33rdChinese Control Conference,Nanjing,China,pp.1966-1971,2014.

4.Ailon A.Simple tracking controllers for autonomous VTOL aircraftwith bounded inputs[J].IEEE Transac-tions on Automatic Control,2010,55(3):737-743.

5.高丙团.TORA的动力学建模及基于能量的控制设计[J].自动化学报,2008,34(9):1221-1224.

6.Jankovic M,Fontaine D,Kokotovic Petar V.TORA example:cascade-andpassivity-based control designs[J].IEEE Transactions on Control SystemsTechnology,1996,4(3):292-297.

7.Avis J M,Nersesov S G,Nathan R.Decentralised energy-based hybridcontrol for the multi-RTAC system[J].International Journal of Control,2010,83(8):1701-1709.

8.高丙团,贾智勇,陈宏钧,张晓华.TORA的动力学建模与Backstepping控制[J].控制与决策,2007,22(11):1284-1288.

9.Bupp R T,Bernstein D S,Coppola V T.A benchmark problem fornonlinear control design[J].International Journal of Robust NonlinearControl,1998,307-310.

10.Khalil H K.Nonlinear systems[M],Upper Saddle River,NJ:PrenticeHall,2002.

本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也及于本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。

Claims (1)

1.基于耗散理论的TORA系统自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1、被控系统的选取；

模型为旋转小球可在竖直平面内转动的双自旋航天器的简化模型；该简化模型由可驱动的旋转小球和一个与弹簧连接的平移振荡小车组成为，旋转小球在电机驱动力的作用下可在竖直平面内转动，称该模型为TORA系统，该系统的动力学模型表示如下：

$(M+m)\stackrel{\·\·}{x}+mr\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}cos\mathrm{\θ}-mr{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}^{2}sin\mathrm{\θ}+kx=0---\left(1\right)$

$mr\stackrel{\·\·}{x}cos\mathrm{\θ}+({\mathrm{mr}}^2+J)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+mgrsin\mathrm{\θ}=\mathrm{\τ}---\left(2\right)$

其中，M为平移振荡小车质量；m为旋转小球的质量；转动半径为r；k为弹簧的劲度系数；J为小球关于其质心的转动惯量；g表示重力加速度；x(t)和θ(t)分别是小车距离初始位置的位移和小球逆时针转离竖直向下方向的角度；t表示时间，变量后面的(t)表示该变量为关于时间的变量，为简明起见，公式中略去大部分变量中的(t)；和分别表示旋转小球的角速度和角加速度；τ(t)为作用在旋转小球上的输入转矩；

步骤2、控制目标的确定；

对于步骤1所给出的TORA系统，控制目标是当平移振荡小车受到外界干扰时，使用一种控制方法可以通过控制旋转小球间接地控制平移振荡小车，将小车镇定到稳定点的同时旋转小球也将稳定于稳定平衡点的位置，即：

$\underset{t\→\mathrm{\∞}}{\lim }{\left[\begin{array}{cccc}x\left(t\right)& \stackrel{\·}{x}\left(t\right)& \mathrm{\θ}\left(t\right)& \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(19\right)$

其中，表示平移振荡小车的速度；T表示向量的转置；

步骤3、能量函数的选择；

为实现同时镇定平移振荡小车和旋转小球的目的，定义如下李雅普诺夫候选函数V(t)：

$V\left(t\right)=V_0\left(t\right)+\frac{1}{2}{k}_v{\widetilde{\mathrm{\ω}}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\ω}}---\left(21\right)$

其中，V₀(t)为正定函数，表示参数估计误差；利用该李雅普诺夫提出具有在线估计功能的自适应控制方法，达到对TORA系统控制的目的；

步骤4、控制律的提出；

为实现步骤2所述的控制目标，基于步骤3所选择的新颖的李雅普诺夫候选函数，确定一种既能控制旋转小球又能控制平移振荡小车的自适应控制方法τ(t)如下：

$\mathrm{\τ}=\frac{-k_p\mathrm{\θ}-k_d\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}-k_v{Y}^T\widehat{\mathrm{\ω}}}{k_E+k_v}---\left(17\right)$

其中，k_E,k_v,k_p,k_d∈R⁺为控制增益；Y∈R²代表已知向量，是系统的可测向量；表示对系统参数ω的估计，它由以下自适应机制来在线更新：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}=\mathrm{\Γ}Y\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}---\left(18\right)$

其中，为估计向量关于时间的导数；Γ＝diag{γ₁,γ₂}表示更新增益矩阵，γ₁,γ₂∈R⁺代表控制增益；所提出的自适应机制可在线估计不可驱动小车质量、旋转小球质量和弹簧的劲度系数系统参数，克服了现有技术的不足；

步骤5、控制方法的实现；

通过借助传感器在线获取小球的旋转角度θ(t)，角速度小车的位移x(t)以及小车的速度根据控制律(17)实时计算出相应的控制信号，控制TORA系统中旋转小球的转矩，实现控制的目标。