CN114019796B - 一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法，包括以下具体步骤：建立包含执行机构动态的移动机器人跟踪控制系统模型；基于系统运动学模型设计移动机器人固定时间跟踪运动学控制器；基于包含执行机构动态的移动机器人系统动力学模型设计固定时间跟踪动力学控制器。本发明所述控制方法不仅具有好的跟踪控制性能，而且可以确保输入约束满足系统执行机构的要求，解决固定时间控制初始控制信号过大的问题。

Description

一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及移动机器人控制技术领域，尤其涉及一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法。

背景技术

移动机器人集信息采集、动态规划、行为决策与控制等多种功能于一体，由于具有机械结构简单、运动灵活及较强的外部环境自适应能力等特点，使得移动机器人在军事、工业、农业以及民用等领域获得了广泛的应用。

高性能的跟踪控制是移动机器人完成这些应用的前提，其中跟踪误差的收敛速度是实现移动机器人高性能跟踪控制的一项关键技术指标。

固定时间控制可以使得移动机器人系统跟踪误差做到固定时间收敛，且其收敛时间与系统状态的初始值无关。然而，为了达到系统状态的固定时间收敛，在固定时间控制的初始阶段固定时间控制器输出的控制信号往往存在幅值过大的问题，这极易使系统发生输入受限问题，导致系统控制性能变差，严重时甚至会引起系统失稳。

发明内容

本发明目的就是为了弥补已有技术的缺陷，提供一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法，本发明采用固定时间控制理论设计使得系统跟踪误差固定时间收敛的运动学控制器及动力学控制器，同时解决了固定时间控制中初始控制信号过大的问题。

本发明是通过以下技术方案实现的：

一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法，具体步骤如下：

步骤1、建立包含执行机构动态的移动机器人跟踪控制系统模型；

步骤2、基于系统运动学模型设计移动机器人固定时间跟踪运动学控制器；

步骤3、基于包含执行机构动态的移动机器人系统动力学模型设计固定时间跟踪动力学控制器。

步骤1所述的建立包含执行机构动态的移动机器人跟踪控制系统模型，具体过程如下：

1.1所述移动机器人在满足非完整约束的情况下，其运动学模型可描述为

式中，q＝[x,y,θ]^T∈R³为移动机器人的位姿矢量，其中，x，y分别表示移动机器人在X轴向及Y轴向的坐标，θ为移动机器人的方向角；q&为移动机器人位姿矢量的一阶导数；

μ＝[v,ω]^T为由移动机器人的线速度和角速度构成的矢量，其中，v为线速度，ω为角速度。

1.2依据Lagrange建模方法，移动机器人的动力学模型可描述为

式中，

为移动机器人的正定惯性矩阵，其中，m和I分别表示移动机器人的质量和惯量；

为移动机器人位姿矢量的二阶导数；

为移动机器人的离心力和哥氏力矩阵；G(q)∈R³为移动机器人系统的重力项，对于在平面运动的移动机器人该项为零；

为未知地面摩擦项；τ_d∈R³为系统外部有界扰动项；

为控制力矩变换阵，其中，r₁和2b分别表示移动机器人驱动轮的半径和两驱动轮的间距；τ＝[τ_r,τ_l]^T∈R²为移动机器人两驱动轮控制力矩所组成的矢量，τ_r，τ_l分别表示由移动机器人右轮和左轮直流驱动电机所产生的驱动力矩；A^T(q)＝[-sinθ,cosθ,0]^T∈R³为与系统非完整约束相关的矩阵；

为系统Lagrange乘子。

1.3将(1)式及其及一阶导数代入(2)式中并左乘S^T(q)，同时结合S^TA^T(q)＝0，可得：

式中，

为μ的一阶导数；

1.4假设移动机器人的左右驱动轮由直流电机驱动，在忽略直流电机电感的情况下，电机的动态方程可表示为

式中，下标j＝l,r表示左、右轮电机；τ_mj为电机产生的力矩；K_Tj为电机的力矩常数；i_j为相电流；u_j为相电压；R_j为电机绕组电阻；K_bj为反电动势系数；

为电机转子机械角速度。

1.5驱动轮角速度和电机转子机械角速度间的关系可表示为

式中，

为驱动轮的角速度；N为传动比。

1.6驱动轮控制力矩可表示为

τ_j＝Nτ_mj (6)

式中，τ_j为驱动轮控制力矩。

1.7由式(3)—式(7)可得包含电机动态的移动机器人动力学模型：

式中，u＝[u_r,u_l]^T为由驱动轮电机相电压构成的矢量，u_r为右轮电机的相电压，u_l为左轮电机的相电压；

1.8在移动机器人的实际控制中，由于相关物理参数难以精确获得。因此，考虑移动机器人相关物理参数的不确定因素，式(8)可进一步描述为

式中，

a₁₀＝a₁-Δa₁；a₂₀＝a₂-Δa₂；b₁₀＝b₁-Δb₁；b₂₀＝b₂-Δb₂；

a₁₀、a₂₀、b₁₀和b₂₀分别为

a₁、a₂、b₁和b₂的名义值，

Δa₁、Δa₂、Δb₁和Δb₂为相应参数的不确定部分；

假设||f||≤d₁，d₁为未知正常数。

1.9当考虑直流电机的输入约束时，式(9)可重写为

式中，sat(u)＝[sat(u_r),sat(u_l)]^T，其中，sat(·)为饱和函数。

1.10为方便处电机的输入约束，定义如下函数：

式中，u_mj为直流电机控制输入的上界；sign(·)为符号函数；u_j(j＝r,l)为电机的控制输入。

1.11由式(11)可得sat(u_j)＝Θ(u_j)u_j。由0<Θ(u_j)≤1可知，存在一个常数ρ满足：0<ρ≤min(Θ(u_j))≤1。

1.12定义移动机器人的输出信号为

式中，d为正常数；x_m为移动机器人输出的X轴向坐标；y_m为移动机器人输出的Y轴向坐标。

1.13移动机器人跟踪的参考信号给定为

式中，x_mr为参考信号的X轴向坐标；y_mr为参考信号的Y轴向坐标；x_r虚拟移动机器人的X轴向坐标；y_r为虚拟移动机器人的Y轴向坐标；θ_r为虚拟移动机器人的方向角。且x_r，y_r及θ_r满足关系：

式中，v_r和ω_r分别为虚拟移动机器人的线速度和角速度，v_r>0。

步骤2所述的基于系统运动学模型的移动机器人固定时间跟踪控制器设计，具体过程如下：

2.1系统运动学控制器设计。首先，定义跟踪误差：

式中，E_p为跟踪误差；e_p1为X轴向的跟踪误差；e_p2为Y轴向的跟踪误差。对式(15)求导可得：

式中，

为E_p的一阶导数；

为Y_mr的一阶导数；

为Y_m的一阶导数。

2.2为保证E_p的固定时间收敛，设计系统运动学控制器为

式中，

运动学控制器设计参数：k₁>0，k₂>0，k₃>0，0<a₁<1，a₂>1；

2.3设计李亚普诺夫函数

对该函数进行求导可得：

由式(18)可得E_p固定时间收敛且的收敛时间T₁满足关系：

步骤3所述的基于包含执行机构动态的移动机器人系统动力学模型固定时间跟踪控制器设计，具体过程如下：

3.1定义速度跟踪误差：

式中，e_v1为线速度跟踪误差；e_v2为角速度跟踪误差。

3.2对式(19)求导可得：

式中，

为E_v的一阶导数；

为μ的一阶导数；

为μ_c的一阶导数。

3.3将式(10)代入式(20)可得：

式中，

3.4ψ的范数满足关系

d₂＝max{1,d₁}为未知常数，

3.5由式(21)，系统的动力学控制器可设计为

式中，k₄>0，k₅>0，k₆>0，0<a₃<1，a₄>1为动力学控制器设计参数；

分别为ρ，d₂的估计值，其自适应律设计为

3.6设计李亚普诺夫函数

式中，

3.7对上式求导可得：

将式(22)代入式(25)可得：

3.8当选择合适的参数k₆使k₆min{a₁₀,a₂₀}>1时，式(26)可写为

由式(24)及式(27)可知，||E_v||，

是有界的，再由ρ及d₂的有界性可得

及

也是有界的，从而可保证

的有界性，即

ζ为某一正常数。

3.9为证明E_v固定时间收敛，设计李亚普诺夫函数

3.10对式(28)求导并代入式(22)可得：

式中，

3.11由式(29)可得E_v固定时间收敛且收敛时间T₂满足关系：

3.12由步骤2及步骤3可知，移动机器人可在固定时间T＝max{T₁，T₂}内实现对参考信号的跟踪。

本发明的优点是：本发明不仅具有好的跟踪控制性能，而且可以确保输入约束满足系统执行机构的要求，解决固定时间控制初始控制信号过大的问题。

附图说明

图1为本发明控制方法工作流程示意图；

图2为没有输入约束情况下x_m跟踪效果示意图；

图3为没有输入约束情况下y_m跟踪效果示意图；

图4为有输入约束情况下x_m跟踪效果示意图；

图5为有输入约束情况下y_m跟踪效果示意图；

图6为没有输入约束情况下控制信号示意图；

图7为有输入约束情况下控制信号示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

如图1-图7，一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法，包括以下具体技术步骤：

步骤1，建立包含执行机构动态的移动机器人跟踪控制系统模型，具体过程如下：

1.1所述移动机器人在满足非完整约束的情况下，其运动学模型可描述为

式中，q＝[x,y,θ]^T∈R³为移动机器人的位姿矢量，其中，x，y分别表示移动机器人在X轴向及Y轴向的坐标，θ为移动机器人的方向角；

为移动机器人位姿矢量的一阶导数；

μ＝[v,ω]^T为由移动机器人的线速度和角速度构成的矢量，其中，v为线速度，ω为角速度。

1.2依据Lagrange建模方法，移动机器人的动力学模型可描述为

式中，

为移动机器人的正定惯性矩阵，其中，m和I分别表示移动机器人的质量和惯量；

为移动机器人位姿矢量的二阶导数；

为移动机器人的离心力和哥氏力矩阵；G(q)∈R³为移动机器人系统的重力项，对于在平面运动的移动机器人该项为零；

为未知地面摩擦项；τ_d∈R³为系统外部有界扰动项；

为控制力矩变换阵，其中，r₁和2b分别表示移动机器人驱动轮的半径和两驱动轮的间距；τ＝[τ_r,τ_l]^T∈R²为移动机器人两驱动轮控制力矩所组成的矢量，τ_r，τ_l分别表示由移动机器人右轮和左轮直流驱动电机所产生的驱动力矩；A^T(q)＝[-sinθ,cosθ,0]^T∈R³为与系统非完整约束相关的矩阵；

为系统Lagrange乘子。

1.3将(1)式及其及一阶导数代入(2)式中并左乘S^T(q)，同时结合S^TA^T(q)＝0，可得：

式中，

为μ的一阶导数；

1.4假设移动机器人的左右驱动轮由直流电机驱动，在忽略直流电机电感的情况下，电机的动态方程可表示为

式中，下标j＝l,r表示左、右轮电机；τ_mj为电机产生的力矩；K_Tj为电机的力矩常数；i_j为相电流；u_j为相电压；R_j为电机绕组电阻；K_bj为反电动势系数；θ&_mj为电机转子机械角速度。

1.5驱动轮角速度和电机转子机械角速度间的关系可表示为

式中，

为驱动轮的角速度；N为传动比。

1.6驱动轮控制力矩可表示为

τ_j＝Nτ_mj (6)

式中，τ_j为驱动轮控制力矩。

1.7由式(3)—式(7)可得包含电机动态的移动机器人动力学模型：

式中，u＝[u_r,u_l]^T为由驱动轮电机相电压构成的矢量，u_r为右轮电机的相电压，u_l为左轮电机的相电压；

1.8在移动机器人的实际控制中，由于相关物理参数难以精确获得。因此，考虑移动机器人相关物理参数的不确定因素，式(8)可进一步描述为

式中，

a₁₀＝a₁-Δa₁；a₂₀＝a₂-Δa₂；b₁₀＝b₁-Δb₁；b₂₀＝b₂-Δb₂；

a₁₀、a₂₀、b₁₀和b₂₀分别为

a₁、a₂、b₁和b₂的名义值，

Δa₁、Δa₂、Δb₁和Δb₂为相应参数的不确定部分；

假设||f||≤d₁，d₁为未知正常数。

1.9当考虑直流电机的输入约束时，式(9)可重写为

式中，sat(u)＝[sat(u_r),sat(u_l)]^T，其中，sat(·)为饱和函数。

1.10为方便处电机的输入约束，定义如下函数：

式中，u_mj为直流电机控制输入的上界；sign(·)为符号函数；u_j(j＝r,l)为电机的控制输入。

1.11由式(11)可得sat(u_j)＝Θ(u_j)u_j。由0<Θ(u_j)≤1可知，存在一个常数ρ满足：0<ρ≤min(Θ(u_j))≤1。

1.12定义移动机器人的输出信号为

式中，d为正常数；x_m为移动机器人输出的X轴向坐标；y_m为移动机器人输出的Y轴向坐标。

1.13移动机器人跟踪的参考信号给定为

式中，x_mr为参考信号的X轴向坐标；y_mr为参考信号的Y轴向坐标；x_r虚拟移动机器人的X轴向坐标；y_r为虚拟移动机器人的Y轴向坐标；θ_r为虚拟移动机器人的方向角。且x_r，y_r及θ_r满足关系：

式中，v_r和ω_r分别为虚拟移动机器人的线速度和角速度，v_r>0。

步骤2，基于系统运动学模型的移动机器人固定时间跟踪控制器设计，具体过程如下：

2.1系统运动学控制器设计。首先，定义跟踪误差：

式中，E_p为跟踪误差；e_p1为X轴向的跟踪误差；e_p2为Y轴向的跟踪误差。对式(15)求导可得：

式中，

为E_p的一阶导数；

为Y_mr的一阶导数；

为Y_m的一阶导数。

2.2为保证E_p的固定时间收敛，设计系统运动学控制器为

式中，

运动学控制器设计参数：k₁>0，k₂>0，k₃>0，0<a₁<1，a₂>1；

2.3设计李亚普诺夫函数

对该函数进行求导可得：

由式(18)可得E_p固定时间收敛且的收敛时间T₁满足关系：

步骤3，基于包含执行机构动态的移动机器人系统动力学模型固定时间跟踪控制器设计，具体过程如下：

3.1定义速度跟踪误差：

式中，e_v1为线速度跟踪误差；e_v2为角速度跟踪误差。

3.2对式(19)求导可得：

式中，

为E_v的一阶导数；

为μ的一阶导数；

为μ_c的一阶导数。

3.3将式(10)代入式(20)可得：

式中，

3.4ψ的范数满足关系

d₂＝max{1,d₁}为未知常数，

3.5由式(21)，系统的动力学控制器可设计为

式中，k₄>0，k₅>0，k₆>0，0<a₃<1，a₄>1为动力学控制器设计参数；

分别为ρ，d₂的估计值，其自适应律设计为

3.6设计李亚普诺夫函数

式中，

3.7对上式求导可得：

将式(22)代入式(25)可得：

3.8当选择合适的参数k₆使k₆min{a₁₀,a₂₀}>1时，式(26)可写为

由式(24)及式(27)可知，||E_v||，

是有界的，再由ρ及d₂的有界性可得

及

也是有界的，从而可保证

的有界性，即

ζ为某一正常数。

3.9为证明E_v固定时间收敛，设计李亚普诺夫函数

3.10对式(28)求导并代入式(22)可得：

式中，

3.11由式(29)可得E_v固定时间收敛且收敛时间T₂满足关系：

3.12由步骤2及步骤3可知，移动机器人可在固定时间T＝max{T₁，T₂}内实现对参考信号的跟踪。

为验证所设计方法的有效性，本发明给出了考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法及没有考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法的对比效果图。为便于对比分析，系统中所有参数设置相同：

参考的线速度和角速度v_r和ω_r分别设置为v_r＝0.1m/s，ω_r＝0.1rad/s；d＝0.1；u_mr＝u_ml＝20V；移动机器人系统物理参数设置为r＝0.1m，b＝0.3m，I＝4.3kg·m²，m＝8kg，N＝6，K_Tr＝K_Tl＝0.21N·M/A；R_r＝R_l＝6.4Ω；K_br＝K_bl＝0.05V/rad·s^-1；系统运动学控制器参数设置为k₁＝0.2，k₂＝0.1，k₃＝1，a₁＝0.8，a₂＝1.1；系统动力学控制器参数设置为k₄＝6，k₅＝6，k₆＝6，a₃＝0.3，a₄＝1.3；系统参数的不确定部分设置为

Δa₁＝0.05a₁₀、Δa₂＝0.05a₂₀、Δb₁＝0.05b₁₀和Δb₂＝0.05b₂₀。

从图2--图7可以看出，在考虑输入约束的情况下本发明所述方法跟踪控制效果与不考虑输入约束的跟踪控制效果基本一致，能够很好地实现对给定信号的给定时间跟踪控制。但不考虑输入约束的控制信号在控制的初始阶段出现了过大的控制输入信号，这极易使系统发生输入受限问题，导致控制性能下降，严重的情况下会使系统失稳。

因此，本发明所述控制方法不仅具有好的控制性能，而且可以确保输入约束满足系统执行机构的要求，解决固定时间控制初始控制信号过大的问题。

Claims (1)

1.一种考虑输入约束的移动机器人固定时间跟踪控制方法，其特征在于：具体包括以下步骤：

步骤1、建立包含执行机构动态的移动机器人跟踪控制系统模型；

步骤2、基于系统运动学模型设计移动机器人固定时间跟踪运动学控制器；

步骤3、基于包含执行机构动态的移动机器人系统动力学模型设计固定时间跟踪动力学控制器；

步骤1所述的建立包含执行机构动态的移动机器人跟踪控制系统模型，具体过程如下：

1.1移动机器人在满足非完整约束的情况下，将其运动学模型描述为

式中，q＝[x,y,θ]^T∈R³为移动机器人的位姿矢量，其中，x，y分别表示移动机器人在X轴向和Y轴向的坐标，θ为移动机器人的方向角；

为移动机器人位姿矢量的一阶导数；

μ＝[v,ω]^T为由移动机器人的线速度和角速度构成的矢量，其中，v为线速度，ω为角速度；

1.2依据Lagrange建模方法，将移动机器人的动力学模型描述为

式中，

为移动机器人的正定惯性矩阵，其中，m和I分别表示移动机器人的质量和惯量；

为移动机器人位姿矢量的二阶导数；

为移动机器人的离心力和哥氏力矩阵；G(q)∈R³为移动机器人系统的重力项；

为未知地面摩擦项；τ_d∈R³为系统外部有界扰动项；

为控制力矩变换阵，其中，r₁和b分别表示移动机器人驱动轮的半径和两驱动轮

的间距；τ＝[τ_r,τ_l]^T∈R²为移动机器人两驱动轮控制力矩所组成的矢量，τ_r、τ_l分别表示由移动机器人右轮和左轮直流驱动电机所产生的驱动力矩；A^T(q)＝[-sinθ,cosθ,0]^T∈R³为与系统非完整约束相关的矩阵；

为系统Lagrange乘子；

1.3将(1)式及其及一阶导数代入(2)式中并左乘S^T(q)，同时结合S^TA^T(q)＝0，得：

式中，

为μ的一阶导数；

1.4假设移动机器人的左右驱动轮由直流电机驱动，在忽略直流电机电感的情况下，电机的动态方程表示为

式中，下标j＝l,r表示左、右轮电机；τ_mj为电机产生的力矩；K_Tj为电机的力矩常数；i_j为相电流；u_j为相电压；R_j为电机绕组电阻；K_bj为反电动势系数；

为电机转子机械角速度；

1.5驱动轮角速度和电机转子机械角速度间的关系表示为

式中，

驱动轮的角速度；N为传动比；

1.6驱动轮控制力矩表示为

τ_j＝Nτ_mj (6)

式中，τ_j为驱动轮控制力矩；

1.7由式(3)—(7)得包含电机动态的移动机器人动力学模型：

式中，u＝[u_r,u_l]^T为由驱动轮电机相电压构成的矢量，u_r为右轮电机的相电压，u_l为左轮电机的相电压；

1.8考虑移动机器人相关物理参数的不确定因素，式(8)进一步描述为

式中，

a₁₀＝a₁-Δa₁；a₂₀＝a₂-Δa₂；b₁₀＝b₁-Δb₁；b₂₀＝b₂-Δb₂；

a₁₀、a₂₀、b₁₀和b₂₀分别为

a₁、a₂、b₁和b₂的名义值，

Δa₁、Δa₂、Δb₁和Δb₂为相应参数的不确定部分；

假设||f||≤d₁，d₁为未知正常数；

1.9当考虑直流电机的输入约束时，式(9)重写为

式中，sat(u)＝[sat(u_r),sat(u_l)]^T，其中，sat(·)为饱和函数；

1.10定义如下函数：

式中，u_mj为直流电机控制输入的上界；sign(·)为符号函数；u_j(j＝r,l)为电机的控制输入；

1.11由式(11)得sat(u_j)＝Θ(u_j)u_j，由0＜Θ(u_j)≤1知，存在一个常数ρ满足：0＜ρ≤min(Θ(u_j))≤1；

1.12定义移动机器人的输出信号为

式中，d为正常数；x_m为移动机器人输出的X轴向坐标；y_m为移动机器人输出的Y轴向坐标；

1.13移动机器人跟踪的参考信号给定为

式中，x_mr为参考信号的X轴向坐标；y_mr为参考信号的Y轴向坐标；x_r虚拟移动机器人的X轴向坐标；y_r为虚拟移动机器人的Y轴向坐标；θ_r为虚拟移动机器人的方向角，且x_r，y_r及θ_r满足关系：

式中，v_r和ω_r分别为虚拟移动机器人的线速度和角速度，v_r＞0；

步骤2所述的基于系统运动学模型设计移动机器人固定时间跟踪运动学控制器，具体过程如下：

2.1首先，定义跟踪误差：

式中，E_p为跟踪误差；e_p1为X轴向的跟踪误差；e_p2为Y轴向的跟踪误差；

对式(15)求导得：

式中，

为E_p的一阶导数；

为Y_mr的一阶导数；

为Y_m的一阶导数；

2.2为保证E_p的固定时间收敛，设计系统运动学控制器为

式中，

运动学控制器设计参数：k₁＞0，k₂＞0，k₃＞0，0＜a₁＜1，a₂＞1；

2.3设计李亚普诺夫函数

对该函数进行求导得：

由式(18)得E_p固定时间收敛且的收敛时间T₁满足关系：

步骤3所述的基于包含执行机构动态的移动机器人系统动力学模型设计固定时间跟踪动力学控制器，具体过程如下：

3.1定义速度跟踪误差：

式中，e_v1为线速度跟踪误差；e_v2为角速度跟踪误差；

3.2对式(19)求导得：

式中，

为E_v的一阶导数；

为μ的一阶导数；

为μ_c的一阶导数；

3.3将式(10)代入式(20)得：

式中，

3.4ψ的范数满足关系

d₂＝max{1,d₁}为未知常数，

3.5由式(21)，系统的动力学控制器设计为

式中，k₄＞0，k₅＞0，k₆＞0，0＜a₃＜1，a₄＞1为动力学控制器设计参数；

分别为ρ，d₂的估计值，其自适应律设计为

3.6设计李亚普诺夫函数

式中，

3.7对上式求导得：

将式(22)代入式(25)得：

3.8当选择合适的参数k₆使k₆ min{a₁₀,a₂₀}＞1时，式(26)写为

由式(24)及式(27)知，||E_v||，

是有界的，再由ρ及d₂的有界性得

及

也是有界的，从而保证

的有界性，即

ζ为某一正常数；

3.9为证明E_v固定时间收敛，设计李亚普诺夫函数

3.10对式(28)求导并代入式(22)得：

式中，

3.11由式(29)得E_v固定时间收敛且收敛时间T₂满足关系：

3.12移动机器人在固定时间T＝max{T₁，T₂}内实现对参考信号的跟踪。

Images