CN106647693A - 刚体航天器执行器多故障的诊断与容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了刚体航天器执行器多故障的诊断与容错控制方法，该方法提出了刚体航天器姿态控制系统的运动学和动力学模型，建立了刚体航天器同时存在执行器失效故障和偏差故障的故障模型，再分别建立了采用自适应阈值技术的故障检测观测器和基于自适应技术的故障估计观测器，从而对故障发生时间和故障具体情况实现了在线实时检测与估计，最后根据故障估计观测器估计出的故障信息，设计了backstepping滑模容错控制器。本发明实现了刚体航天器在同时发生执行器效率损伤和偏差故障下的姿态稳定控制，同时，在设计的过程中还考虑了外界扰动对系统及观测器造成的影响。除此以外，故障检测观测器与故障估计观测器可以分别独立设计，这使得其工程应用更易于实现。

Description

刚体航天器执行器多故障的诊断与容错控制方法

技术领域

本发明具体涉及了一种基于观测器技术的刚体航天器执行器多故障的检测与容错控制方法，属于航空航天飞行控制技术领域。

背景技术

刚体航天器姿态控制系统是确保航天器能够正常运行的关键部分。由于工作环境的恶劣以及外界存在的各种因素的干扰，使得对于刚体卫星的姿态控制系统的研究显得更为有必要。正是由于恶劣的工作条件和外界的各类干扰，系统在运行的过程中会不可避免的面临着来自外界的扰动的影响和自身机构故障造成的严重后果的威胁。鉴于刚体航天器姿态控制系统本身在设计过程中存在以下几方面的难点：首先，复杂的动力学模型和运动学模型为该类航天器控制器的设计与研发带来了一定程度上的挑战；其次，由于外界未知扰动的影响、自身存在的严重的非线性耦合特性以及快速响应的要求等方面使得航天器控制问题的研究难度进一步增加；最后，由于制造水平、工作成本以及外界环境的约束，航天器执行机构很容易发生不可预测的故障，一旦故障发生，将会给整个计划造成很严重的影响，例如我国于2006发射的地球静止轨道卫星“鑫诺二号”广播卫星，由于未按照程序定点在指定位置，导致卫星无法提供正常的通信广播传输服务，造成了巨大的经济损失。因此，为了保证刚体航天器能够正常的运行，应该使刚体卫星本身的姿态控制系统对于故障具有一定的自主处理能力。再这样的基础之下，以刚体航天器姿态控制系统为基础的故障检测与容错控制研究就显得很有实际的理论意义和广泛的应用场合。

目前，针对刚体航天器执行器故障的研究已经取得了比较多的成果。但就当下比较热门的研究成果来说，仍然存在着以下的一些问题：

(1)在故障检测方面，由于刚体航天器自身的耦合性造成的各状态量之间的非线性关系，增加了故障检测观测器的设计难度，在已有的一些科研成果中考虑使用了原系统的状态量来解决观测器中的非线性项问题，但事实上，根据观测器的设计定义中观测器状态方程中的状态量应该取自于自身，而不是来自于对象系统，因而这一处理方案还是有待考虑的；

(2)同样的，还是在故障检测方面，对于故障的检测阈值在已有的文献中，主要还是通过反复仿真实验的方式，选取观测状态值和实际值的最大观测误差来获取故障检测阈值并且通常情况下这一阈值为一定值，这样就造成了很大的局限性和保守性，并且容易引起故障的漏报和误报；

(3)对于容错控制方案上，很多科研成果着重于通过鲁棒控制的方式来解决刚体航天器系统执行器故障，这类容错控制方案通常被视作作为一种被动式的处理方案。基于这样的理念所设计的控制器通常同样也有着很大的局限性和保守性。不仅如此，其所能处理的故障类型和故障值的具体变化情况也多为设计者所预见的类型，对于设计者所未能考虑到的方面，这类容错控制方案就很难起到原来期望的效果了，甚至有时连基本的稳定要求都难以达到。而本发明能够很好地解决上面的问题。

发明内容

本发明目的在于针对上面现有技术的不足，提出了一种刚体航天器执行器多故障的诊断与容错控制方法，该方法针对刚体航天器姿态控制系统执行机构同时发生效率损伤故障和偏差故障的情况下，提供一种能够针对未知故障进行在线及时检测和精确估计，并且能够使得系统能够具备自主消除故障影响的能力，从而最终实现期望的姿态控制目标的刚体航天器故障诊断与容错控制。

本发明解决其技术问题所采取的技术方案是：一种刚体航天器执行器多故障的诊断与容错控制方法，该方法包括如下步骤：

步骤1：建立刚体航天器姿态控制系统的运动学模型和动力学模型，具体如下:

1)刚体航天器控制系统运动学模型：

这里有其中，θ,ψ分别代表滚动角，俯仰角以及偏航角；而ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T则为刚体航天器基于本体坐标下的角速度向量；ω₀表示已知的常量轨道速度。

考虑到刚体航天器的工作环境，通常情况下σ在一个比较小的范围内变化，所以，最后刚体航天器姿态小范围变化下的运动学模型可以表述为：

其中，

2)刚体航天器控制系统动力学模型为：

其中，反对称矩阵ω^×定义如下：

其中，J为惯量矩阵，u＝[u₁,u₂,u₃]^T表示由三个正交的反作用飞轮提供的控制力矩，d＝[d₁,d₂,d₃]^T为范数有界的未知外界扰动，其满足‖d‖≤γ，这里γ是一个已知的正常量。

步骤2：建立执行器失效故障和执行器恒偏差故障同时存在的航天器动力学模型，具体如下：

其中，b为执行器效率损伤故障矩阵，b＝diag{b₁,b₂,b₃}，如果b_i＝1，则表示第i个飞轮工作正常，当0＜b_i＜1时，表示执行器出现效率损伤故障，本发明中有0＜b_i≤1。偏差故障向量α＝[α₁,α₂,α₃]^T其具体的值为未知量，通过故障估计观测器获取。

步骤3：建立基于自适应阈值技术的故障检测观测器，具体如下：

如果存在一个正定对称矩阵P＝P^T＞0以及一个实矩阵Q，使得如下不等式成立：

Q＝P(Γ-ξJ^-1)+(Γ-ξJ^-1)^TP-2PJ^-1(J^-T)P＞0

则设计具有如下形式的故障检测观测器：

其中，为故障检测观测器的状态向量，为观测器的状态观测误差，当欧拉角以及对应的角速度在一个较小的范围内变化时，其满足Lipschitz条件，即为观测器的增益矩阵。这里定义故障检测阈值如下：

当观测误差的二范数超过时，即检测到刚体航天器的执行器存在故障。

步骤4：建立自适应故障估计观测器，具体如下：

注意到原动力学方程中的效率损伤故障矩阵为一对角矩阵，这对于估计执行器效率因子增加了难度，因而这里设B＝[b₁,b₂,b₃]^T和U＝diag{u₁,u₂,u₃}，故可重写其表述形式如下：

针对如上的动力学方程，设计如下的自适应故障观测器为：

其中，为故障估计观测器的状态向量，为估计的执行器效率因子向量，为估计的执行器偏差故障向量，Σ为自适应故障观测器的增益矩阵，其为一正定对称矩阵，且满足λ_min(Σ)＞ξ||J^-1||。

当中关于和的自适应律具有如下形式：

1)效率损伤故障向量的自适应估计律为：

这里l₁为自适应增益值，其值为一正常量。此外，还有μ₁(0)＞0和υ₁＞0。

2)偏差故障向量的自适应估计律为：

这里l₂同样为自适应增益值，其值为一正常量，μ₂(0)＞0和υ₂＞0。

步骤5：利用步骤4中估计出的执行器效率因子向量和偏差故障向量来设计反演滑模容错控制器，首先设z₁＝σ-σ_d为外环跟踪误差，z₂＝ω-ω_d为内环跟踪误差。进而根据z₁和z₂设计内外环滑模面。考虑到这里的有限时间特性，这里所设计的滑模面中融合了终端滑模控制的思想。相应的滑模面具有如下的形式：

所述控制器参数包括执行器效率因子向量估计值、执行器偏差故障向量估计值、期望的角速度参数、内外环滑模面的误差量以及外部扰动上界参数。

对于外环，设计虚拟控制器具体如下：

对于内环，设计容错控制器具体如下：

u＝u₁+u₂

其中，σ为航天器姿态角向量，σ_d为期望的姿态角向量，z₂为内环状态误差向量，为内环期望输入信号，为内环滑模面，和分别为执行器效率因子估计矩阵和执行器偏差故障的估计向量，I_3×1＝[1,1,1]^T，此外，还有a₂，ε₂均为正数，p_i＞q_i＞0,i＝1,2，

有益效果：

1、本发明着眼于刚体航天器执行器同时发生多故障的情形，克服了研究故障类型单一的保守情况。此外，在本发明中还考虑了外界扰动对于系统的影响，因而最后所设计的容错控制方案较之前的一些成果在故障检测和容错控制方面更具有实际工程意义。

2、关于故障检测部分，不同于已有的很多方案中所采用的保守性的阈值选择方法，本发明采用了自适应阈值方法，通过变化的阈值来对故障是否发生进行实时在线检测，从而减少了故障误报或漏报的可能性。

3、在故障估计部分，本方案中所采用的方法可以保证故障估计误差是渐进收敛的，这一点较很多文献中所说的估计误差满足最终一致有界条件要更为严格，从侧面说明了本方案对于故障的估计是可靠的、有效的。

4、基于已知的故障信息，本方案中的容错控制策略结合反演控制理念设计了相应的容错控制器。这里值得注意的是，由于在容错控制器中还运用了积分终端滑模技术，这就使得系统在该容错控制器的作用下，可以在有限时间内达到容错控制目的。

5、本发明的故障诊断模块、故障估计模块的设计是相对独立的，这也保证了各自的工作状态是相对独立的，使得设计过程相对来说变得更加容易，从而保证了在工程上的实际应用的可能。

附图说明

图1是本发明的故障检测、故障估计以及容错控制方法的结构框图。

图2(a)是无故障情况下刚体航天器姿态角响应曲线，图2(b)是刚体航天器发生偏差故障和效率损伤故障情况下的姿态角响应曲线图。

图3是故障检测观测器的阈值检测曲线图。

图4(a)是执行器偏差故障的实际值和估计曲线图，图4(b)是执行器效率损伤故障下的有效因子的实际值和估计值曲线。

图5是同时发生偏差故障和效率损伤故障时，使用本发明中容错控制策略时的姿态角响应曲线图。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明创造作进一步的详细说明。

现结合图1来具体阐述本发明的具体内容，并在最后通过Matlab仿真来验证本发明的实际容错控制效果。如图1所示，当刚体航天器执行机构同时发生效率损伤故障和偏差故障时，为使刚体航天器能够跟踪上期望的姿态，通过故障检测观测器和故障估计观测器来对故障的信息进行精确的估计。进而在已知故障信息的基础上设计反演终端滑模容错控制器，从而提高了刚体航天器姿态系统对于故障的容忍能力。

本发明测器技术的刚体航天器故障检测与容错控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立刚体航天器姿态控制系统的运动学模型和动力学模型，具体如下:

1)刚体航天器控制系统运动学模型：

这里有其中，θ,ψ分别代表滚动角，俯仰角以及偏航角；而ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T则为刚体航天器基于本体坐标下的角速度向量；ω₀表示已知的常量轨道速度。

考虑到刚体航天器的工作环境，通常情况下σ在一个比较小的范围内变化，所以，最后刚体航天器姿态小范围变化下的运动学模型可以简化表述为：

其中，

2)刚体航天器控制系统动力学模型为：

其中，反对称矩阵ω^×定义如下：

其中，J为惯量矩阵，u＝[u₁,u₂,u₃]^T表示由三个正交的反作用飞轮提供的控制力矩，d＝[d₁,d₂,d₃]^T为范数有界的未知外界扰动，其满足‖d‖≤γ，这里γ是一个已知的正常量。

步骤2：建立执行器失效故障和执行器恒偏差故障同时存在的航天器动力学模型，具体如下：

其中，b为执行器效率因子矩阵，b＝diag{b₁,b₂,b₃}，如果b_i＝1，则表示第i个飞轮工作正常，当0＜b_i＜1时，表示执行器出现效率损伤故障，本发明中有0＜b_i≤1。偏差故障向量α＝[α₁,α₂,α₃]^T其具体的值为未知量，通过故障估计观测器获取。

步骤3：建立基于自适应阈值技术的故障检测观测器，具体如下：

如果存在一个正定对称矩阵P＝P^T＞0以及一个实矩阵Q，使得如下不等式成立：

Q＝P(Γ-ξJ^-1)+(Γ-ξJ^-1)^TP-2PJ^-1(J^-T)P＞0

则设计具有如下形式的故障检测观测器：

其中，为故障检测观测器的状态向量，为观测器的状态观测误差，当欧拉角以及对应的角速度在一个较小的范围内变化时，其满足Lipschitz条件，即为观测器的增益矩阵。这里定义故障检测阈值如下：

当观测误差的二范数超过时，即检测到刚体航天器的执行器存在故障。

接下来，利用Lyapunov稳定性理论，设计Lyapunov函数证明故障检测观测器的稳定性：

其中P为正定对称矩阵，为观测器的状态观测误差。结果证明利用步骤三所设计的故障检测观测器是稳定的，并且能够证明得到当观测误差的二范数超过时，即检测到刚体航天器的执行器存在故障。值得强调的是，不同于一些已经存在的工作，这里的故障检测阈值是变化的。这样就有效的提高了故障检测的准确率，降低了误报和漏报的可能性。

步骤4：建立自适应故障估计观测器，具体如下：

考虑到很多已有工作中，在设计自适应故障估计观测器时，其最终结果只能得到最终一致有界的效果，这一点对于实际的应用来说是不够的。下面设计的自适应故障估计观测器能够保证所得的结果是渐进稳定的，从而克服了上面所说的问题。

注意到原动力学方程中的效率因子矩阵为一对角矩阵，这对于估计执行器效率因子增加了难度。因而这里考虑对其形式进行一定的修改，设B＝[b₁,b₂,b₃]^T和U＝diag{u₁,u₂,u₃}，故可重写其表述形式如下：

针对如上的动力学方程，设计如下的自适应故障观测器：

其中，为故障估计观测器的状态向量，为估计的执行器效率因子向量，为估计的执行器偏差故障向量，Σ为自适应故障观测器的增益矩阵，其为一正定对称矩阵，且满足λ_min(Σ)＞ξ||J^-1||。

当中关于和的自适应律具有如下形式：

1)效率损伤故障向量的自适应估计律为：

这里l₁为自适应增益值，其值为一正常量。此外，还有μ₁(0)＞0和υ₁＞0。

2)偏差故障向量的自适应估计律为：

这里l₂同样为自适应增益值，其值为一正常量，μ₂(0)＞0和υ₂＞0。

接下来，利用Lyapunov稳定性理论，设计Lyapunov函数证明所设计的自适应故障估计观测器是

其中，为观测器的状态观测误差，为效率因子向量和估计的效率因子向量之间的误差，为偏差故障向量和估计的偏差故障向量之间的误差。结果证明所设计的自适应故障估计观测器是稳定的，并且其对于故障估计的误差可以满足渐进稳定要求。

步骤5：利用步骤4中估计出的执行器效率因子向量和偏差故障向量来设计反演滑模容错控制器，首先设z₁＝σ-σ_d为外环跟踪误差，z₂＝ω-ω_d为内环跟踪误差。进而根据z₁和z₂设计内外环滑模面。考虑到这里的有限时间特性，这里所设计的滑模面中融合了终端滑模控制的思想。相应的滑模面具有如下的形式：

所述控制器参数包括执行器效率因子向量估计值、执行器偏差故障向量估计值、期望的角速度参数、内外环滑模面的误差量以及外部扰动上界参数。对于外环，设计虚拟控制器具体如下：

对于内环，设计容错控制器具体如下：

u＝u₁+u₂

其中，σ为航天器姿态角向量，σ_d为期望的姿态角向量，z₂为内环状态误差向量，为内环期望输入信号，为内环滑模面，和分别为执行器效率因子估计矩阵和执行器偏差故障的估计向量，I_3×1＝[1,1,1]^T，此外，还有a₂，ε₂均为正数，p_i＞q_i＞0,i＝1,2，

进而，利用Lyapunov稳定性理论，设计Lyapunov函数证明系统全局的有限时间稳定性：

结果证明：依据步骤4中所得到的效率因子向量和偏差故障向量，这里所设计的容错控制器可以保证故障下的刚体航天器可以在有限时间内达到期望的姿态。

本发明利用Matlab2015a软件，对所发明的容错控制方案进行了仿真验证，具体包括：

(1)刚体航天器姿态控制系统参数选取：

刚体航天器系统总惯性矩阵外部扰动矩阵为k₁＝1.2，p₁＝p₂＝5，k₁＝1.2，k₂＝3.8，ε₁＝ε₂＝0.1，a₁＝1,a₂＝2，Γ＝diag{3,3,3}，Σ＝diag{4,4,4},q₁＝q₂＝3。

(2)初始参数选取：

轨道速度ω_o＝0.15deg/s，跟踪信号：σ_d＝[1,2,3]^T deg，姿态角初始条件：σ₀＝[0.3,0.2,-0.3]^T deg，姿态角速率初始条件：ω₀＝[0.05,0.06,-0.04]^T deg/s，

(3)执行器故障参数选取如下：

执行器效率因子为执行器偏差故障向量

结果说明：

在图2(a)中，这里给出了在无故障情况下的刚体航天器姿态角响应曲线。在图2(b)中，这里给出了在第2秒时，刚体航天器执行器同时发生效率损伤故障和偏差故障的姿态角响应曲线。可以明显的看出，当刚体航天器执行器同时发生效率损伤和偏差故障时，其响应曲线的动态性能是很不理想的，甚至自身的稳定性都难以维持，在这样的情况下，要求其跟踪上目标信号显得不切实际；

在图3中，由于引入了故障检测观测器，使得系统可以及时对所发生的故障进行处理，图中在第2秒时，系统残差信号超越了自适应阈值，故障检测观测器在发出故障警报的同时，激发故障估计观测器对故障具体值进行自适应估计。

根据设计的自适应律，故障估计观测器在图4(a)和图4(b)中分别给出了刚体航天器效率因子向量的估计值和偏差故障的估计值，这里要指出的是由于原效率因子矩阵为对角阵，所以可以很容易的由向吕因子向量求解出效率因子矩阵。

图5为在同时发生执行器效率损伤故障和偏差故障的情况下的姿态角相应出现，这里注意到刚体航天器利用本发明中的容错控制策略可以在8s的时间内进行故障补偿并保证系统的稳定性。

由此可知：针对刚体航天器同时发生执行器效率损伤故障和偏差故障的情况，本发明所提出的一种基于观测器技术的故障检错与容错控制方案能够较好的在线实时精确的对故障进行检测和估计，从而提高了刚体航天器姿态系统对于故障的容忍能力。

本发明未详细说明部分都属于本领域技术人员所公知知识，以上所述为本发明的一个具体实施案例，这里并不限制本发明的应用场合，凡在本发明的精神和原则内，所做的任何修改、等同替换或改进等，均应包含在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种刚体航天器执行器多故障的诊断与容错控制方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

步骤1：建立刚体航天器姿态控制系统的运动学模型和动力学模型；

1)刚体航天器控制系统运动学模型：

取其中，θ,ψ分别代表滚动角，俯仰角以及偏航角；而ω＝[ω₁,ω₂,ω₃]^T则为刚体航天器基于本体坐标下的角速度向量；ω₀表示已知的常量轨道速度；

刚体航天器姿态小范围变化下的运动学模型简化为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}=\mathrm{\ω}+F\mathrm{\σ}$

其中，

2)刚体航天器控制系统动力学模型为：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=-{\mathrm{\ω}}^{\×}J\mathrm{\ω}+u\left(t\right)+d\left(t\right)$

其中，反对称矩阵ω^×定义如下：

${\mathrm{\ω}}^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_3& 0& -{\mathrm{\ω}}_1\\ -{\mathrm{\ω}}_2& {\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]$

其中，J为惯量矩阵，u＝[u₁,u₂,u₃]^T表示由三个正交的反作用飞轮提供的控制力矩，d＝[d₁,d₂,d₃]^T为范数有界的未知外界扰动，其满足‖d‖≤γ，γ是一个已知的正常量；

步骤2：建立执行器效率损伤故障和恒偏差故障同时存在的航天器动力学模型，具体如下：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=-{\mathrm{\ω}}^{\×}J\mathrm{\ω}+bu\left(t\right)+\mathrm{\α}+d\left(t\right)$

其中，b为执行器效率损伤故障的增益矩阵，b＝diag{b₁,b₂,b₃}，如果b_i＝1，则表示第i个飞轮工作正常，当0＜b_i＜1时，表示执行器出现效率损伤故障，本发明中有0＜b_i≤1，偏差故障向量α＝[α₁,α₂,α₃]^T其具体的值为未知量，通过故障估计观测器获取；

步骤3：建立基于自适应阈值技术的故障检测观测器，具体如下：

如果存在一个正定对称矩阵P＝P^T＞0以及一个实矩阵Q，使得如下不等式成立：

Q＝P(Γ-ξJ^-1)+(Γ-ξJ^-1)^TP-2PJ^-1(J^-T)P＞0

则设计具有如下形式的故障检测观测器：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}=\mathrm{\Γ}(\mathrm{\ω}-\widehat{\mathrm{\ω}})-J^{-1}{\widehat{\mathrm{\ω}}}^{\×}J\widehat{\mathrm{\ω}}+J^{-1}u+J^{-1}\mathrm{\γ}\mathrm{sgn}\left(\widetilde{\mathrm{\ω}}\right)$

其中，为故障检测观测器的状态向量，为观测器的状态观测误差，当欧拉角以及对应的角速度在一个较小的范围内变化时，其满足Lipschitz条件，即 为观测器的增益矩阵，定义故障检测阈值为：

$l=\frac{{\mathrm{\λ}}_{max}\left(P\right)}{{\mathrm{\λ}}_{min}\left(P\right)}{e}^{-\left({\mathrm{\λ}}_{min}\right(Q)/{\mathrm{\λ}}_{\max }(P\left)\right)t}\left|\right|\widetilde{\mathrm{\ω}}\left(0\right)|{|}^2$

当观测误差的二范数超过时，即检测到刚体航天器的执行器存在故障；

步骤4：建立自适应故障估计观测器；

设B＝[b₁,b₂,b₃]^T和U＝diag{u₁,u₂,u₃}，故重写其表述形式为：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=-{\mathrm{\ω}}^{\×}J\mathrm{\ω}+UB+\mathrm{\α}\left(t\right)+d$

针对如上的动力学方程，设计如下的自适应故障观测器为：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}=\mathrm{\Σ}(\mathrm{\ω}-\widehat{\mathrm{\ω}})-J^{-1}{\widehat{\mathrm{\ω}}}^{\×}J\widehat{\mathrm{\ω}}+J^{-1}U\hat{B}\left(t\right)+J^{-1}\widehat{\mathrm{\α}}+J^{-1}\mathrm{\γ}\mathrm{sgn}\left(\widetilde{\mathrm{\ω}}\right)$

其中，为故障估计观测器的状态向量，为估计的执行器效率因子向量，为估计的执行器偏差故障向量，Σ为自适应故障观测器的增益矩阵，其为一正定对称矩阵，且满足λ_min(Σ)＞ξ||J^-1||；

所述的和的自适应律具有如下形式，包括：

1)效率因子向量的自适应估计律为：

$\begin{array}{cc}\stackrel{\·}{\hat{B}}=-{\mathrm{\μ}}_1\hat{B}+\frac{1}{l_1}{U}^T{J}^{-1}\widetilde{\mathrm{\ω}}& {\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}}_1=-{\mathrm{\υ}}_1{\mathrm{\μ}}_1\end{array}$

l₁为自适应增益值，其值为一正常量，此外，还有μ₁(0)＞0和υ₁＞0；

2)横偏差故障向量的自适应估计律为：

$\begin{array}{cc}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\α}}}=-{\mathrm{\μ}}_2\widehat{\mathrm{\α}}+\frac{1}{l_2}{J}^{-1}\widetilde{\mathrm{\ω}}& {\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}}_2=-{\mathrm{\υ}}_2{\mathrm{\μ}}_2\end{array}$

l₂同样为自适应增益值，其值为一正常量，μ₂(0)＞0和υ₂＞0；

步骤5：利用步骤4中估计出的执行器效率因子向量和偏差故障向量、终端滑模技术和反演控制方法来对多执行器故障情况下的航天器姿态控制系统设计一个主动容错控制器，首先设z₁＝σ-σ_d为外环姿态角跟踪误差，z₂＝ω-ω_d为内环角速率跟踪误差，进而根据z₁和z₂设计内外环滑模面，该滑模面中融合了终端滑模控制，相应的滑模面具有如下的形式：

$s_1=z_1+a_1{\∫}_0^t{z}_1^{q_1/p_1}dt$

$s_2=z_2+a_2{\∫}_0^t{z}_2^{q_2/p_2}dt$

所述控制器参数包括执行器效率因子向量估计值、执行器偏差故障向量估计值、期望的角速度参数、内外环滑模面的误差量以及外部扰动上界参数；

对于外环，设计虚拟控制器具体如下：

${\mathrm{\ω}}_d=-F\mathrm{\σ}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}}_d-a_1{z}_1^{q_1/p_1}-k_1{s}_1-{\mathrm{\ϵ}}_{1}sign\left(s_1\right)$

对于内环，设计容错控制器具体如下：

u＝u₁+u₂

$u_1\left(t\right)={\mathrm{\ω}}^{\×}J\mathrm{\ω}-{\mathrm{\γI}}_{3\×1}+J(-a_2{z}_2^{q_2/p_2}(t)+{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d-k_2{s}_2-{\mathrm{\ϵ}}_2\mathrm{sgn}\left(s_2\right))-\widehat{\mathrm{\α}}$

$u_2=-{\hat{b}}^{-1}(\hat{b}-I){\stackrel{\‾}{u}}_1$

其中，σ为航天器姿态角向量，σ_d为期望的姿态角向量，z₂为内环状态误差向量，为内环期望输入信号，为内环滑模面，和分别为执行器效率因子估计矩阵和执行器偏差故障的估计向量，I_3×1＝[1,1,1]^T，此外，还有a₂，ε₂均为正数，p_i＞q_i＞0,i＝1,2，