CN103019091A - 一种基于线性扩张状态观测器的柔性航天器容错姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于线性扩张状态观测器的柔性航天器容错姿态控制方法，它有三大步骤：首先通过重写航天器的动力学模型，以得到一种适合线性扩张状态观测器设计的形式；然后设计一个线性扩张状态观测器，利用指令控制力矩和欧拉角测量信息估计系统状态和广义扰动；最后利用线性扩张状态观测器估计出来的状态和广义扰动设计一个高效的鲁棒容错控制律。本方案的估计误差与控制误差均有界，且当观测器和控制器的带宽分别增加时，相应误差上界单调递减；使航天器在存在柔性振动、动力学参数不确定性、内外扰动，同时作为执行机构的反作用飞轮发生故障的情况下，仍能实现高精度的姿态控制。

Description

一种基于线性扩张状态观测器的柔性航天器容错姿态控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于线性扩张状态观测器的柔性航天器容错姿态控制方法，它是一种应用于柔性航天器的基于线性扩张状态观测器的鲁棒容错姿态控制方法。属于航天器姿态控制技术领域。

背景技术

精度和可靠性是航天器姿态控制的重要问题。但现实环境中航天器的多柔性、强非线性、未建模动态特性、动力学参数不确定性、内部扰动和外部扰动等使姿态控制系统很难达到理想的性能。另外，在姿态控制系统设计时也要考虑到执行机构、敏感器和其它系统部件的故障。因为，当航天器在轨工作时间长之后，一些执行机构、敏感器及其它系统部件可能发生故障，这将导致控制性能下降、控制系统失稳、甚至灾难事故。为此，有必要设计一种对这些潜在故障有容错能力且又具有期望的控制性能和稳定性的姿态控制系统。这样的控制系统称为容错控制系统（Fault Tolerant Control System，FTCS）。在过去的三十年中，由于对航天器可靠性及安全性要求的提高，促进了对FTCS的研究。但如果对上述实际因素同时给予考虑，问题将变的更加棘手。

简单地说，FTCS可以分为两类：主动容错控制系统（Active Fault Tolerant ControlSystem，AFTCS）和被动容错控制系统（Passive Fault Tolerant Control System，PFTCS）。AFTCS通过利用故障检测与诊断（Fault Detection And Diagnosis，FDD）系统的实时信息来重构控制器处理系统部件故障。作为AFTCS的一个子系统，FDD必须对故障、未建模动态特性、动力学参数不确定性和其它扰动有很高的敏感度。更重要的是FDD应设计为AFTCS的一个内在组成部分，以满足控制器重构的需要，而非仅仅作为故障检测与诊断的工具。有很多学者对用反作用轮作为执行机构的航天器姿态控制系统的FDD进行了研究，但大都不能同时满足上述目标。作为AFTCS的另一个重要组成部分，大部分对控制器重构的研究都是假设FDD能提供实时与正确的故障信息。这样，如果FDD提供的信息出现错误或延时太久，不仅可能导致控制性能下降，更可能使整个系统不稳定。此外，在设计AFTCS时其它一些关键问题也需要予以考虑，包括：故障发生时刻与重构控制器开始工作之间的时间间隔、由于控制器切换造成的姿态抖动、对非线性的适应性、计算复杂度、应用的可行性、操作的实时在线性等。

相比于AFTCS，PFTCS应用鲁棒控制技术确保在执行机构或敏感器发生故障时闭环系统仍稳定，而无需故障检测与诊断机制。因此，不会出现故障发生后控制作用延时、控制器瞬时切换等问题，此外计算量也相对较低。基于这些优点，PFTCS成为航天器容错控制研究中的一个热门领域。然而，现有国内外研究现状中，能够在同时考虑航天器柔性振动、未建模动态特性、动力学参数不确定性、内外扰动等因素下得到的PFTCS研究成果比较少见。

线性扩张状态观测器（Linear Extended State Observer，LESO）是基于一种新的强鲁棒性的状态观测器，它不仅可以估计系统的状态，而且还可以估计系统的广义扰动，包括弹性振动、动力学参数不确定性、内部扰动、外部扰动和执行机构的故障。扩张状态观测器（ExtendedState Observer，ESO）是在自抗扰控制的背景下于1995年首次提出的，它已在许多挑战性的工程问题中得到成功的应用。然而，ESO结构复杂，它的实现需要调整较多参数，既困难又费时。此外，高阶ESO的稳定性证明或估计误差分析也比较难于实现。有学者通过使用特定的参数化方法使需调整的参数数目减少至1，从而简化ESO为LESO。相比于ESO，LESO更简单，更实用。

发明内容

为了使航天器在存在柔性振动、动力学参数不确定性、内外扰动，同时作为执行机构的反作用飞轮发生故障的情况下，仍能实现高精度的姿态控制。本发明提出了一种基于线性扩张状态观测器的柔性航天器容错姿态控制方法，它主要应用于使用反作用飞轮作为执行机构的柔性航天器中。旨在为国内现今的和将来的柔性航天器姿态控制任务提供技术支持。

本发明方法的具体实现步骤如下：

步骤一：重写航天器的动力学模型，以得到一种更适合LESO设计的形式

当采用欧拉角描述航天器姿态时，航天器的运动学方程可以写为

其中,

θ和ψ分别为滚动角、俯仰角与偏航角，ω_b＝[ω_x ω_y ω_z]^T是本体坐标系f_b相对于惯性坐标系f_I的角速度在f_b中表示的分量列阵，ω₀是轨道角速度，在这里认为是常数。

假设航天器的柔性附件的弹性位移很小，那么以四斜装反作用轮作为执行机构的柔性航天器的动力学方程可表示为

$I_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b+F\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})=T_w+T_d---\left(2a\right)$

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+2\mathrm{\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}+F^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b=0---\left(2b\right)$

$T_w={\mathrm{Cu}}_w=-{\mathrm{CI}}_w\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}---\left(2c\right)$

其中，I_s∈R^3×3是整个航天器（包括柔性附件与反作用轮）的惯量阵；F∈R^3×N是柔性附件振动对中心刚体转动的柔性耦合系数矩阵；η∈R^N是模态坐标向量；T_w∈R³是反作用轮作用于航天器主体的三轴控制力矩；T_d是外部环境扰动力矩；u_w＝[u₁ u₂ u₃ u₄]^T中的u_i(i=1,...,4)代表第i个反作用轮产生的力矩；I_w=diag(I_wi,i＝1，2,3,4)中的I_wi为第i反作用轮相对其转轴的转动惯量；Ω＝[Ω₁ Ω₂ Ω₃ Ω₄]^T中的Ω_i(i＝1,2,3,4)是第i反作用轮的相对转速，C∈R^3×4是反作用轮组的安装矩阵；Λ=diag(Λi,i＝1,...,N)是固有频率，ξ=diag(ξⁱ,i＝1，...,N)是阻尼比，N为弹性模态的阶数；

为一个反对称矩阵，

${\mathrm{\ω}}_b^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z& 0& -{\mathrm{\ω}}_x\\ -{\mathrm{\ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_x& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

现在考虑反作用轮出现了故障的情况，则式(2a)可改写为

$I_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b+F\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})=\mathrm{CE}(u_w+u_{\mathrm{wf}})+T_d---\left(4\right)$

这里考虑了反作用飞轮的两种故障类型，分别用向量u_wf和对角阵E表示，其中E是控制效益矩阵，表示为

E＝diag(e₁ e₂ e₃ e₄)0≤e_i≤1，i＝1，...，4                (5)

当e_i=1时表示第i反作用轮没有故障，e_i=0表示第i反作用轮完全失效而不能输出力矩。

在后续的推导中,假设各反作用轮转速都低于饱和转速且航天器姿态角信息可用。

假设1：式(4)中的T_d指环境扰动力矩（包括重力梯度力矩，气动力矩，磁力矩，太阳光压力矩），虽然T_d的准确量不能得知，但可以合理地假设T_d相对于时间的一阶导数是有界的。

假设2：向量u_wf和对角阵E也是未知的，但也可以合理地假设u_wf相对于时间的一阶导数是有界的。

在设计LESO时需要姿态角和指令力矩信息，因此重写的控制模型应包含这两个量。此外，式(2b)中航天器柔性附件的振动与航天器的转动是耦合的，这在重写控制模型时也要考虑到。

首先，把式(2b)代入式(4)得

$(I_s-{\mathrm{FF}}^T){\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b=2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}+T_d-{\mathrm{\ω}}_d^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})+\mathrm{CE}(u_w+u_{\mathrm{wf}})---\left(6\right)$

在式(6)中，如果反作用轮组工作在理想状态下，其输出的力矩T_w=Cu_w等于指令力矩T_c。为了让新的控制模型包含欧拉角，应联合式(1)和式(6)。为此重写运动学方程(1)为

${\mathrm{\ω}}_b=J_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b-J_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0---\left(7\right)$

其中，由滚动角速率、俯仰角速率和偏航角速率组成，

由式(7)可以得到

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b={\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+J_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b-{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0---\left(10\right)$

把式(10)代入式(6)中得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0-J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+B[2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}-{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})$ (11)

$+T_d+{\mathrm{CEu}}_w+{\mathrm{CEu}}_{\mathrm{wf}}-{\mathrm{Cu}}_w]+{\mathrm{BT}}_w$

其中，

$B=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{(I_s-{\mathrm{FF}}^T)}^{-1}---\left(12\right)$

式(11)是包含欧拉角和指令力矩的新的控制模型，但系数矩阵B是欧拉角的时变函数。假设初始时刻航天器处于平衡状态，则B的初始值为

B₀=(I_s-FF^T)^-1                            (13)

这样，因欧拉角变化而引起的B的不确定性就可以提取出来。把式(11)重写成如下形式

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=f+B_0{T}_w---\left(14\right)$

其中，

$f=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0-J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+B[2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}-{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})+T_d$ (15)

$+{\mathrm{CEu}}_w+{\mathrm{CEu}}_{\mathrm{wf}}-{\mathrm{Cu}}_w]+(B-B_0)T_w$

从式(14)和式(15)可以看出，f代表广义扰动，包括弹性振动、动力学参数不确定性、内部扰动、外部扰动和执行机构故障。因为理想情况下T_w等于指令力矩T_c，所以T_w是已知的。式(14)即为LESO和鲁棒控制律设计基于的最终控制模型。

步骤二：设计一个LESO，利用指令控制力矩和欧拉角测量信息估计系统状态和广义扰动

1)LESO的设计过程

式(14)表示一个以T_w和θ_b为输入的一般非线性时变系统。在该系统中，只给出了系统的阶次和常系数矩阵B₀，而f代表未知的广义扰动。为了实现该系统的容错控制，LESO设计的目标是估计f并实时地补偿它，以最大限度地消减f的影响。LESO设计的关键是把广义扰动当作一个扩张的系统状态。因此，选取如下的状态变量

$\begin{array}{c}{X}_1={\mathrm{\θ}}_b\\ X_2={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b\\ X_3=f\end{array}---\left(16\right)$

然后，系统模型(14)可以改写为增广状态空间形式

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_1=X_2\\ {\stackrel{\·}{X}}_2=X_3+B_0{T}_w\\ {\stackrel{\·}{X}}_3=h\\ Y_1=X_1\end{array}---\left(17\right)$

其中，

是f的时间导数，Y₁是测量输出。

基于以Y₁为输出和T_w为输入的增广系统方程(17)，LESO的构造如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{X}}}_1={\hat{X}}_2+L_1(X_1-{\hat{X}}_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{X}}}_2={\hat{X}}_3+L_2(X_1-{\hat{X}}_1)+B_0{T}_w\\ {\stackrel{\·}{\hat{X}}}_3=L_3(X_1-{\hat{X}}_1)\end{array}---\left(18\right)$

其中，

和

分别是X₁、X₂和X₃的估计，L_i∈R^3×3i＝1,2,3是待定的观测器增益对角矩阵。为了简便，令L_i＝diag(l_i l_i l_i)并将系统极点配置在—ω_o＝diag(ω_o ω_o ω_o)，其中ω_o为观测器带宽，为一正常数。由此，系统(18)的矩阵特征多项式为

λ_o(s)=s³I₃+L₁s²+L₂s+L₃=(sI₃+ω_o)³                    (19)

其中，I₃为3×3的单位矩阵。从式(19)可得

L₁=3ω_o,L₂=3ω_o ²,L₃=ω_o ³                (20)

这样，ω_o就成为观测器唯一的调参参数。

2)LESO的稳定性和估计误差收敛性分析

定义状态估计误差变量

从式(17)和式(18)可得观测器状态估计误差方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_1={\tilde{X}}_2-L_1{\tilde{X}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_2={\tilde{X}}_3-L_2{\tilde{X}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_3=h-L_3{\tilde{X}}_1\end{array}---\left(21\right)$

令

${\mathrm{\ξ}}_i={\left({\mathrm{\ω}}_o\right)}^{1-i}{\tilde{X}}_i,i=1,...,3---\left(22\right)$

则式(21)可以改写为

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}=A_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{\ϵ}+B_{\mathrm{\ϵ}}h---\left(23\right)$

其中，ε＝[ξ₁ ξ₂ ξ₃]^T∈R⁹，A_ε∈R^9×9和B_ε∈R^9×3是常矩阵，取值如下所示

$A_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{ccc}-3{\mathrm{\ω}}_o& {\mathrm{\ω}}_o& 0\\ -3{\mathrm{\ω}}_o& 0& {\mathrm{\ω}}_o\\ -{\mathrm{\ω}}_o& 0& 0\end{array}\right]---\left(24\right)$

$B_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\left({{\mathrm{\ω}}_o}^2\right)}^{-1}\end{array}\right]---\left(25\right)$

定理1：如果h_i,i＝1,2,3是有界的，则LESO是有界输入有界输出（BIBO）稳定的。

证明：根据式(20)选择的特殊观测器增益矩阵，可以很容易地证明A_ε的特征多项式的根都在左半平面。然后，根据假设1和假设2，h_i,i＝1,2,3是有界的。因此，可以得出LESO是有界输入有界输出稳定的结论。

定理2：假设h_i,i＝1,2,3是有界的，则总存在一个常数σ_i>0和有限时间T₁>0，使 $\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\right|\≤{\mathrm{\σ}}_i,i=\mathrm{1,2,3},j=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1$ 和ω_o>1。

证明：解式(23)可得

$\mathrm{\ϵ}\left(t\right)=e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\mathrm{\ϵ}\left(0\right)+{\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{B}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{hd\τ}---\left(26\right)$

设

$p\left(t\right)={\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{B}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{hd\τ}---\left(27\right)$

式(25)代入B_εh有

B_εh＝[0 0(ω_o ²)^-1h]^T                             (28)

由于h_i,i＝1,2,3都是有界的，不失一般性可假设|h_i|≤δ，其中δ是一个正常数。然后，定义一个新的常数列向量ψ₁∈R⁹，

${\mathrm{\Ψ}}_1={\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}\end{array}\right]}^T---\left(29\right)$

于是可得

$\left|p_k\left(t\right)\right|\≤\left|{\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{\mathrm{\Ψ}}_1\mathrm{d\τ}\right|\≤\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|+\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|---\left(30\right)$

其中，k=1,...,9。

由式(24)可知

${A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\\ {\mathrm{\ω}}_o^{-1}& 0& -3{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\\ 0& {\mathrm{\ω}}_o^{-1}& -3{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\end{array}\right]---\left(31\right)$

则有

$\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(32\right)$

在定理1的证明中，已指出A_ε的特征多项式的根都在左半平面，则当t不断增加时，

将不断减小。因此，可假设存在一个有限的时间T₁>0，使得当t≥T₁时有

$\left|{\left[e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\right]}_{\mathrm{kl}}\right|\≤\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_o^3}---\left(33\right)$

其中，k=1,...,9,l=1,...,9。

令

则当t≥T₁时，下式成立

$\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(35\right)$

联合式(30)、(32)和(35)可知，当t≥T₁时有

$\left|p_k\left(t\right)\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(36\right)$

令

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)\right|---\left(37\right)$

结合式(33)和式(37)可知当t≥T₁时有

$\left|{\left(e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\mathrm{\ϵ}\left(0\right)\right)}_k\right|\≤\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}---\left(38\right)$

由此，有下式成立

$\left|{\mathrm{\ϵ}}_k\left(t\right)\right|\≤\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\left|p_k\left(t\right)\right|---\left(39\right)$

根据式(22)和式(37)可知，如果ω_o>1，则可推导出

${\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)\right|\≥{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)---\left(40\right)$

最后，联合式(22)、(36)、(39)和(40)得到：当t≥T₁时，有下式成立

$\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{i=1,j=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^2}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^5}{|}_{i=2,j=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^4}{|}_{i=3,j=\mathrm{1,2,3}}\end{array}\right.={\mathrm{\σ}}_i---\left(41\right)$

至此，得出LESO估计误差收敛且存在上界的结论。

通过上述推导和证明有如下结论：

1）LESO的设计与系统模型无关，唯一需要的信息是B₀和系统的阶次。

2）LESO是有界输入有界输出稳定的，LESO的估计误差是有界的，且随着观测器带宽ω_o的增加，误差上界单调递减。

3）为了确保LESO的稳定性和估计误差收敛，未知的广义扰动f的变化率必须是有界的。对于使用反作用轮作为执行机构的柔性航天器，反作用轮的转速及其时间导数是有限的，因此，这一假设是合理的。

4）通过选择特殊形式的观测器增益矩阵，观测器带宽ω_o成为唯一的调参参数。因此，观测器是容易实现和调参的

步骤三：利用LESO估计出来的系统状态和广义扰动设计一个高效的鲁棒容错控制律

1)控制器的设计过程

在合理调参的情况下，LESO的输出

和能高精度地估计θ_b，

和f。因此，如果我们得到了和f的估计值，就可设计如下鲁棒控制律

$T_w=B_0^{-1}(T_{w0}-{\hat{X}}_3)---\left(42\right)$

将式(42)代入式(14)可得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=(f-{\hat{X}}_3)+T_{w0}---\left(43\right)$

式(43)是一个带有扰动

的双积分器。如果LESO估计准确，f的不利影响可以很大程度上被抵消。由此，可以很容易地设计如下PD控制器

$T_{w0}=K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)+K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(44\right)$

其中，为期望姿态角列向量，为期望姿态角速率列向量。对于姿态稳定控制，

K_p∈R^3×3和K_d∈R^3×3是控制器的增益对角矩阵。为了简便，设 $K_p=\mathrm{diag}\left(\begin{array}{ccc}{k}_p& k_p& k_p\end{array}\right),K_d=\mathrm{diag}\left(\begin{array}{ccc}{k}_d& k_d& k_d\end{array}\right).$ 将式(44)代入式(43)可得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=(f-{\hat{X}}_3)+K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)+K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(45\right)$

式(45)的矩阵特征多项式是

λ_c(s)=s²I₃+sK_d+K_p                    (46)

为了让其所有根在左半平面，使

λ_c(s)=(sI₃+ω_c)²                     (47)

其中，ω_c＝diga(ω_c ω_c ω_c)，ω_c是待选的控制器带宽，为正常数。

从式(46)和式(47)可得

$K_p={\mathrm{\ω}}_c^2,K_d=2{\mathrm{\ω}}_c---\left(48\right)$

这样，ω_c成为控制器唯一的调参参数。

2)控制器的控制误差收敛性

定义状态误差变量 $e_1={\mathrm{\θ}}_b^{*}-X_1,e_2={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-X_2.$ 则有

${\stackrel{\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·}{X}}_1=e_2---\left(49\right)$

${\stackrel{\·}{e}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·}{X}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b---\left(50\right)$

将式(45)代入式(50)可得

${\stackrel{\·}{e}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-(f-{\hat{X}}_3)-K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)-K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(51\right)$

对于姿态稳定，

则上式可以改写为

${\stackrel{\·}{e}}_2=-K_p(e_1+{\tilde{X}}_1)-K_d(e_2+{\tilde{X}}_2)-{\tilde{X}}_3---\left(52\right)$

联合式(49)和式(52)，得到状态误差方程如下

${\stackrel{\·}{E}}_e=A_e{E}_e+B_e{E}_x$

其中，E_e＝[e₁ e₂]^T∈R⁶，A_e∈R^6×6和B_e∈R^6×9是常矩阵，分别表示为

$A_e=\left[\begin{array}{cc}0& I_3\\ -K_p& -K_d\end{array}\right]---\left(54\right)$

$B_e=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -K_p& -K_d& -I_3\end{array}\right]---\left(55\right)$

定理3：假设h_i,i＝1,2,3是有界的，总存在一个常数ρ_m>0和有限时间T₃>0，使得 $\left|{\left(E_e\right)}_m\right|\≤{\mathrm{\ρ}}_m,m=1,...,6,\∀t\≥T_3$ 和ω_c>0。

证明：解式(53)可得

$E_e\left(t\right)=e^{A_{e}t}{E}_e\left(0\right)+{\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{B}_e{E}_x\mathrm{d\τ}---\left(56\right)$

设

$q\left(t\right)={\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{B}_e{E}_x\mathrm{d\τ}---\left(57\right)$

式(55)代入B_eE_x得

$B_e{E}_x=\left[\begin{array}{c}0\\ -K_p{\tilde{X}}_1-K_d{\tilde{X}}_2-{\tilde{X}}_3\end{array}\right]---\left(58\right)$

根据式(48)和定理2，可得对任何时间t≥T₁有

|(B_eE_x)_1，2,3|=0                (59)

$\left|{\left(B_e{E}_x\right)}_{\mathrm{4,5,6}}\right|\≤{\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3=\mathrm{\γ}---\left(60\right)$

然后，定义一个新的常数矩阵ψ₂∈R⁶为

ψ₂＝[0 0 0 γγ]^T               (61)

则

$\left|q_m\left(t\right)\right|\≤\left|{\left({\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{\mathrm{\ψ}}_2\mathrm{d\τ}\right)}_m\right|\≤\left|{\left({A_e}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|+\left|{\left({A_e}^{-1}{e}^{A_{e}t}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|---\left(62\right)$

其中，m=1，...,6。

由式(48)和式(54)可得

${A_e}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-2{\mathrm{\ω}}_c^{-1}& -{\mathrm{\ω}}_c^{-2}\\ I_3& 0\end{array}\right]---\left(63\right)$

因此，从式(61)和式(63)得

$\left|{\left({A_e}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^2}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ 0{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(64\right)$

因为A_e是Hurwitz矩阵，随着t的增加

将收敛至零，所以存在一个有限时间T₂>0，使得对任何时间t≥T₂有

$\left|{\left[e^{A_{e}t}\right]}_{\mathrm{mn}}\right|\≤\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_c^3}---\left(65\right)$

其中，m=1,...,6,n=1,...,6。

设T₃=max{T₁,T₂}且

则对任何时间t≥T₃有

$\left|{\left({A_e}^{-1}{e}^{A_{e}t}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{6\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^5}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(67\right)$

根据式(62)、(64)和(67)可知，对任何时间t≥T₃有

$\left|q_m\left(t\right)\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^2}+\frac{6\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^5}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(68\right)$

设

$E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)=\underset{m=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|E_{\mathrm{em}}\left(0\right)\right|---\left(69\right)$

由式(65)和式(69)得对任何时间t≥T₃有

$\left|{\left(e^{A_{e}t}{E}_e\left(0\right)\right)}_m\right|\≤\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}---\left(70\right)$

最后，根据式(56)、(68)和(70)可得，对任何时间t≥T₃有

$\begin{array}{c}\left|{\left(E_e\left(t\right)\right)}_m\right|\≤\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+\left|q_m\left(t\right)\right|\\ \≤\left\{\begin{array}{c}\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+(\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_c^2}+\frac{6}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3}{{\mathrm{\ω}}_c^5})\·({\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3){|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+\frac{3({\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.\\ ={\mathrm{\ρ}}_m\end{array}---\left(71\right)$

至此，得出上述鲁棒控制器的控制误差收敛且有上界的结论。

通过上述推导和证明有如下结论：

1）利用LESO首先得到未知广义扰动的高精度估计。然后，通过使用上述控制律抵消f对控制模型的不利影响，从而实现自抗扰控制。

2）控制误差是有界的，且其上界随观测器带宽ω_o和控制器带宽ω_c的增加而单调递减。

3）可以设计更精细的控制器代替式(44)的PD控制器，以得到更高的控制性能。此外，如用一个合适的控制器取代PD控制器，基于LESO的容错姿态机动控制和姿态跟踪控制也可以达到。

本发明方法不需要基于故障信息进行控制器的重构，属于PFTC，用具有良好调参的LESO准确地估计和主动地补偿柔性航天器系统的广义扰动，消去广义扰动的影响，这样，用PD反馈控制律就能容易地控制简化后的系统。稳定性分析表明：本发明方法的估计误差与控制误差均有界，且当观测器和控制器的带宽分别增加时，相应误差上界单调递减。相比AFTC或其它PFTC方法，本发明提出的基于线性扩张状态观测器的柔性航天器容错姿态控制方法有如下优点：

1）LESO适用于非线性系统，只需要很少数量的系统信息。此外，LESO的估计无需已知航天器角速度信息，从而避免了由于角速度敏感器故障对本发明方法有效性的不利影响。

2）该方法不需要FDD过程和准确的故障信息。相反，通过在线和实时地对广义扰动进行主动快速地估计和补偿，该PFTC方法可以最大程度地减少不确定性、扰动和执行机构故障对控制稳定性和性能的不良影响。

3）该方法具有更好的灵活性和容错能力，可用于处理有多个元件或执行机构故障的情况。

4）它计算能小，并能更好地适用于工程实际应用。

附图说明

图1本发明柔性航天器姿态容错控制方法示意图：通过重写航天器的动力学模型设计得到的鲁棒状态观测器利用指令控制力矩和欧拉角测量信息估计出系统状态和广义扰动，利用估计出来的系统状态和广义扰动设计得到的鲁棒容错控制律计算出控制指令。

图2基于PID的姿态角响应曲线：纵坐标为姿态角，单位是度；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的姿态角响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的姿态角响应曲线。

图3基于PID的姿态角速率响应曲线：纵坐标为姿态角速率，单位是度每秒；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的姿态角速率响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的姿态角速率响应曲线。

图4基于PID的指令控制力矩响应曲线：纵坐标为指令控制力矩，单位是牛顿米；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的指令控制力矩响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的指令控制力矩响应曲线。

图5基于PID的飞轮转速响应曲线：纵坐标为飞轮转速，单位是弧度每秒；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的飞轮转速响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的飞轮转速响应曲线。

图6基于本发明的姿态角响应曲线：纵坐标为姿态角，单位是度；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的姿态角响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的姿态角响应曲线。

图7基于本发明的姿态角速率响应曲线：纵坐标为姿态角速率，单位是度每秒；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的姿态角速率响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的姿态角速率响应曲线。

图8基于本发明的指令控制力矩响应曲线：纵坐标为指令控制力矩，单位是牛顿米；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的指令控制力矩响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的指令控制力矩响应曲线。

图9基于本发明的飞轮转速响应曲线：纵坐标为飞轮转速，单位是弧度每秒；横坐标为响应时间，单位是秒；实线为反作用轮无故障时的飞轮转速响应曲线，虚线为反作用轮存在故障时的飞轮转速响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明方法作具体的说明。

图1是本发明柔性航天器姿态容错控制方法示意图。

步骤一：重写航天器的动力学模型，以得到一种更适合LESO设计的形式

当采用欧拉角描述航天器姿态时，航天器的运动学方程可以写为

其中,

θ和ψ分别为滚动角、俯仰角与偏航角，ω_b＝[ω_x ω_y ω_z]^T是本体坐标系f_b相对于惯性坐标系f_I的角速度在f_b中表示的分量列阵，ω₀是轨道角速度，在这里认为是常数。

假设航天器的柔性附件的弹性位移很小，那么以四斜装反作用轮作为执行机构的柔性航天器的动力学方程可表示为

$I_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b+F\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})=T_w+T_d---\left(73a\right)$

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+2\mathrm{\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}+F^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b=0---\left(73b\right)$

$T_w={\mathrm{Cu}}_w=-{\mathrm{CI}}_w\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}---\left(73c\right)$

其中，I_s∈R^3×3是整个航天器（包括柔性附件与反作用轮）的惯量阵；F∈R^3×N是柔性附件振动对中心刚体转动的柔性耦合系数矩阵；η∈R^N是模态坐标向量；T_w∈R³是反作用轮作用于航天器主体的三轴控制力矩；T_d是外部环境扰动力矩；u_w＝[u₁ u₂ u₃ u₄]^T中的u_i(i=1,...,4)代表第i个反作用轮产生的力矩；I_w=diag(I_wi,i＝1，2,3,4)中的I_wi为第i反作用轮相对其转轴的转动惯量；Ω＝[Ω₁ Ω₂ Ω₃ Ω₄]^T中的Ω_i(i＝1,2,3,4)是第i反作用轮的相对转速，C∈R^3×4是反作用轮组的安装矩阵；Λ=diag(Λ_i,i＝1,...,N)是固有频率，ξ=diag(ξ_i,i＝1，...,N)是阻尼比，N为弹性模态的阶数；

为一个反对称矩阵，

${\mathrm{\ω}}_b^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z& 0& -{\mathrm{\ω}}_x\\ -{\mathrm{\ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_x& 0\end{array}\right]---\left(74\right)$

现在考虑反作用轮出现了故障的情况，则式(73a)可改写为

$I_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b+F\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})=\mathrm{CE}(u_w+u_{\mathrm{wf}})+T_d---\left(75\right)$

这里考虑了反作用飞轮的两种故障类型，分别用向量u_wf和对角阵E表示，其中E是控制效益矩阵，表示为

E＝diag(e₁ e₂ e₃ e₄)0≤e_i≤1，i＝1，...，4            (76)

当e_i=1时表示第i反作用轮没有故障，e_i=0表示第i反作用轮完全失效而不能输出力矩。

在后续的推导中,假设各反作用轮转速都低于饱和转速且航天器姿态角信息可用。

假设1：式(75)中的T_d指环境扰动力矩（包括重力梯度力矩，气动力矩，磁力矩，太阳光压力矩），虽然T_d的准确量不能得知，但可以合理地假设T_d相对于时间的一阶导数是有界的。

假设2：向量u_wf和对角阵E也是未知的，但也可以合理地假设u_wf相对于时间的一阶导数是有界的。

在设计LESO时需要姿态角和指令力矩信息，因此重写的控制模型应包含这两个量。此外，式(73b)中航天器柔性附件的振动与航天器的转动是耦合的，这在重写控制模型时也要考虑到。

首先，把式(73b)代入式(75)得

$(I_s-{\mathrm{FF}}^T){\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b=2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}+T_d-{\mathrm{\ω}}_d^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})+\mathrm{CE}(u_w+u_{\mathrm{wf}})---\left(77\right)$

在式(77)中，如果反作用轮组工作在理想状态下，其输出的力矩T_w=Cu_w等于指令力矩T_c。为了让新的控制模型包含欧拉角，应联合式(72)和式(77)。为此重写运动学方程(72)为

${\mathrm{\ω}}_b=J_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b-J_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0---\left(78\right)$

其中，

由滚动角速率、俯仰角速率和偏航角速率组成，

由式(78)可以得到

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b={\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+J_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b-{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0---\left(81\right)$

把式(81)代入式(77)中得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0-J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+B[2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}-{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})$ (82)

$+T_d+{\mathrm{CEu}}_w+{\mathrm{CEu}}_{\mathrm{wf}}-{\mathrm{Cu}}_w]+{\mathrm{BT}}_w$

其中，

$B=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{(I_s-{\mathrm{FF}}^T)}^{-1}---\left(83\right)$

式(82)是包含欧拉角和指令力矩的新的控制模型，但系数矩阵B是欧拉角的时变函数。假设初始时刻航天器处于平衡状态，则B的初始值为

B₀=(I_s-FF^T)^-1                            (84)

这样，因欧拉角变化而引起的B的不确定性就可以提取出来。把式(82)重写成如下形式

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=f+B_0{T}_w---\left(85\right)$

其中，

$f=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0-J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+B[2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}-{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})+T_d$ (86)

$+{\mathrm{CEu}}_w+{\mathrm{CEu}}_{\mathrm{wf}}-{\mathrm{Cu}}_w]+(B-B_0)T_w$

从式(85)和式(86)可以看出，f代表广义扰动，包括弹性振动、动力学参数不确定性、内部扰动、外部扰动和执行机构故障。因为理想情况下T_w等于指令力矩T_c，所以T_w是已知的。式(85)即为LESO和鲁棒控制律设计基于的最终控制模型。

步骤二：设计一个LESO，利用指令控制力矩和欧拉角测量信息估计系统状态和广义扰动

1)LESO的设计过程

式(85)表示一个以T_w和θ_b为输入的一般非线性时变系统。在该系统中，只给出了系统的阶次和常系数矩阵B₀，而f代表未知的广义扰动。为了实现该系统的容错控制，LESO设计的目标是估计f并实时地补偿它，以最大限度地消减f的影响。LESO设计的关键是把广义扰动当作一个扩张的系统状态。因此，选取如下的状态变量

$\begin{array}{c}{X}_1={\mathrm{\θ}}_b\\ X_2={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b\\ X_3=f\end{array}---\left(87\right)$

然后，系统模型(85)可以改写为增广状态空间形式

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_1=X_2\\ {\stackrel{\·}{X}}_2=X_3+B_0{T}_w\\ {\stackrel{\·}{X}}_3=h\\ Y_1=X_1\end{array}---\left(88\right)$

其中，

是f的时间导数，Y₁是测量输出。

基于以Y₁为输出和T_w为输入的增广系统方程(88)，LESO的构造如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{X}}}_1={\hat{X}}_2+L_1(X_1-{\hat{X}}_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{X}}}_2={\hat{X}}_3+L_2(X_1-{\hat{X}}_1)+B_0{T}_w\\ {\stackrel{\·}{\hat{X}}}_3=L_3(X_1-{\hat{X}}_1)\end{array}---\left(89\right)$

其中，

和

分别是X₁、X₂和X₃的估计，L_i∈R^3×3i＝1,2,3是待定的观测器增益对角矩阵。为了简便，令L_i＝diag(l_i l_i l_i)并将系统极点配置在-ω_o＝-diag(ω_o ω_o ω_o)，其中ω_o为观测器带宽，为一正常数。由此，系统(89)的矩阵特征多项式为

λ_o(s)=s³I₃+L₁s²+L₂s+L₃=(sI₃+ω_o)³                    (90)

其中，I₃为3×3的单位矩阵。从式(90)可得

$L_1=3{\mathrm{\ω}}_o,L_2=3{{\mathrm{\ω}}_o}^2,L_3={{\mathrm{\ω}}_o}^3---\left(91\right)$

这样，ω_o就成为观测器唯一的调参参数。

2)LESO的稳定性和估计误差收敛性分析

定义状态估计误差变量

从式(88)和式(89)可得观测器状态估计误差方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_1={\tilde{X}}_2-L_1{\tilde{X}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_2={\tilde{X}}_3-L_2{\tilde{X}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_3=h-L_3{\tilde{X}}_1\end{array}---\left(92\right)$

令

${\mathrm{\ξ}}_i={\left({\mathrm{\ω}}_o\right)}^{1-i}{\tilde{X}}_i,i=1,...,3---\left(93\right)$

则式(92)可以改写为

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}=A_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{\ϵ}+B_{\mathrm{\ϵ}}h---\left(94\right)$

其中，ε[ξ₁ ξ₂ ξ₃]^T∈R⁹，A_ε∈R^9×9和B_ε∈R^9×3是常矩阵，取值如下所示

$A_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{ccc}-3{\mathrm{\ω}}_o& {\mathrm{\ω}}_o& 0\\ -3{\mathrm{\ω}}_o& 0& {\mathrm{\ω}}_o\\ -{\mathrm{\ω}}_o& 0& 0\end{array}\right]---\left(95\right)$

$B_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\left({{\mathrm{\ω}}_o}^2\right)}^{-1}\end{array}\right]---\left(96\right)$

定理1：如果h_i,i＝1,2,3是有界的，则LESO是有界输入有界输出（BIBO）稳定的。

证明：根据式(91)选择的特殊观测器增益矩阵，可以很容易地证明A_ε的特征多项式的根都在左半平面。然后，根据假设1和假设2，h_i,i＝1,2,3是有界的。因此，可以得出LESO是有界输入有界输出稳定的结论。

定理2：假设h_i,i＝1,2,3是有界的，则总存在一个常数σ_i>0和有限时间T₁>0，使 $\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\right|\≤{\mathrm{\σ}}_i,i=\mathrm{1,2,3},j=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1$ 和ω_o>1。

证明：解式(94)可得

$\mathrm{\ϵ}\left(t\right)=e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\mathrm{\ϵ}\left(0\right)+{\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{B}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{hd\τ}---\left(97\right)$

设

$p\left(t\right)={\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{B}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{hd\τ}---\left(98\right)$

式(96)代入B_εh有

B_εh＝[0 0(ω_o ²)^-1h]^T

由于h_i,i＝1,2,3都是有界的，不失一般性可假设|h_i|≤δ，其中δ是一个正常数。然后，定义一个新的常数列向量ψ₁∈R⁹，

${\mathrm{\Ψ}}_1={\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}\end{array}\right]}^T---\left(100\right)$

于是可得

$\left|p_k\left(t\right)\right|\≤\left|{\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{\mathrm{\Ψ}}_1\mathrm{d\τ}\right|\≤\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|+\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|---\left(101\right)$

其中，k=1,...,9。

由式(95)可知

${A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\\ {\mathrm{\ω}}_o^{-1}& 0& -3{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\\ 0& {\mathrm{\ω}}_o^{-1}& -3{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\end{array}\right]---\left(102\right)$

则有

$\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(103\right)$

在定理1的证明中，已指出A_ε的特征多项式的根都在左半平面，则当t不断增加时，

将不断减小。因此，可假设存在一个有限的时间T₁>0，使得当t≥T₁时有

$\left|{\left[e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\right]}_{\mathrm{kl}}\right|\≤\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_o^3}---\left(104\right)$

其中，k=1,...,9,l=1,...,9。

令

则当t≥T₁时，下式成立

$\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(106\right)$

联合式(101)、(103)和(106)可知，当t≥T₁时有

$\left|p_k\left(t\right)\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(107\right)$

令

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)\right|---\left(108\right)$

结合式(104)和式(108)可知当t≥T₁时有

$\left|{\left(e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\mathrm{\ϵ}\left(0\right)\right)}_k\right|\≤\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}---\left(109\right)$

由此，有下式成立

$\left|{\mathrm{\ϵ}}_k\left(t\right)\right|\≤\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\left|p_k\left(t\right)\right|---\left(110\right)$

根据式(93)和式(108)可知，如果ω_o>1，则可推导出

${\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)\right|\≥{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)---\left(111\right)$

最后，联合式(93)、(107)、(110)和(111)得到：当t≥T₁时，有下式成立

$\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{i=1,j=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^2}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^5}{|}_{i=2,j=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^4}{|}_{i=3,j=\mathrm{1,2,3}}\end{array}\right.={\mathrm{\σ}}_i---\left(112\right)$

至此，得出LESO估计误差收敛且存在上界的结论。

通过上述推导和证明有如下结论：

1）LESO的设计与系统模型无关，唯一需要的信息是B₀和系统的阶次。

2）LESO是有界输入有界输出稳定的，LESO的估计误差是有界的，且随着观测器带宽ωo的增加，误差上界单调递减。

3）为了确保LESO的稳定性和估计误差收敛，未知的广义扰动f的变化率必须是有界的。对于使用反作用轮作为执行机构的柔性航天器，反作用轮的转速及其时间导数是有限的，因此，这一假设是合理的。

4）通过选择特殊形式的观测器增益矩阵，观测器带宽ω_o成为唯一的调参参数。因此，观测器是容易实现和调参的。

步骤三：利用LESO估计出来的系统状态和广义扰动设计一个高效的鲁棒容错控制律

1)控制器的设计过程

在合理调参的情况下，LESO的输出

和

能高精度地估计θ_b，

和f。因此，如果我们得到了和f的估计值，就可设计如下鲁棒控制律

$T_w=B_0^{-1}(T_{w0}-{\hat{X}}_3)---\left(113\right)$

将式(113)代入式(85)可得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=(f-{\hat{X}}_3)+T_{w0}---\left(114\right)$

式(114)是一个带有扰动的双积分器。如果LESO估计准确，f的不利影响可以很大程度上被抵消。由此，可以很容易地设计如下PD控制器

$T_{w0}=K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)+K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(115\right)$

其中，

为期望姿态角列向量，

为期望姿态角速率列向量。对于姿态稳定控制，

K_p∈R^3×3和K_d∈R^3×3是控制器的增益对角矩阵。为了简便，设K_p＝diag(k_p k_p k_p)，K_d＝diag(k_d k_d k_d)。将式(115)代入式(114)可得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b(f-{\hat{X}}_3)+K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)+K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(116\right)$

式(116)的矩阵特征多项式是

λ_c(s)=s²I₃+sK_d+K_p                    (117)

为了让其所有根在左半平面，使

λ_c(s)=(sI₃+ω_c)²                     (118)

其中，ω_c＝diag(ω_c ω_c ω_c)，ω_c是待选的控制器带宽，为正常数。

从式(117)和式(118)可得

$K_p={\mathrm{\ω}}_c^2,K_d=2{\mathrm{\ω}}_c---\left(119\right)$

这样，ω_c成为控制器唯一的调参参数。

2)控制器的控制误差收敛性

定义状态误差变量 $e_1={\mathrm{\θ}}_b^{*}-X_1,e_2={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-X_2.$ 则有

${\stackrel{\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·}{X}}_1=e_2---\left(120\right)$

${\stackrel{\·}{e}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·}{X}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b---\left(121\right)$

将式(116)代入式(121)可得

${\stackrel{\·}{e}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-(f-{\hat{X}}_3)-K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)-K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(122\right)$

对于姿态稳定，

则上式可以改写为

${\stackrel{\·}{e}}_2=-K_p(e_1+{\tilde{X}}_1)-K_d(e_2+{\tilde{X}}_2)-{\tilde{X}}_3---\left(123\right)$

联合式(120)和式(123)，得到状态误差方程如下

${\stackrel{\·}{E}}_e=A_e{E}_e+B_e{E}_x---\left(124\right)$

其中， $E_e={\left[\begin{array}{cc}{e}_1& e_2\end{array}\right]}^T\∈R^6,$ $E_x={\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{X}}_1& {\tilde{X}}_2& {\tilde{X}}_3\end{array}\right]}^T\∈R^9;$ A_e∈R^6×6和B_e∈R^6×9是常矩阵，分别表示为

$A_e=\left[\begin{array}{cc}0& I_3\\ -K_p& -K_d\end{array}\right]---\left(125\right)$

$B_e=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -K_p& -K_d& -I_3\end{array}\right]---\left(126\right)$

定理3：假设h_i,i＝1,2,3是有界的，总存在一个常数ρ_m>0和有限时间T₃>0，使得 $\left|{\left(E_e\right)}_m\right|\≤{\mathrm{\ρ}}_m,m=1,...,6,\∀t\≥T_3$ 和ω_c>0。

证明：解式(124)可得

$E_e\left(t\right)=e^{A_{e}t}{E}_e\left(0\right)+{\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{B}_e{E}_x\mathrm{d\τ}---\left(127\right)$

设

$q\left(t\right)={\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{B}_e{E}_x\mathrm{d\τ}---\left(128\right)$

式(126)代入B_eE_x得

$B_e{E}_x=\left[\begin{array}{c}0\\ -K_p{\tilde{X}}_1-K_d{\tilde{X}}_2-{\tilde{X}}_3\end{array}\right]---\left(129\right)$

根据式(119)和定理2，可得对任何时间t≥T₁有

|(B_eE_x)_1，2,3|=0                      (130)

$\left|{\left(B_e{E}_x\right)}_{\mathrm{4,5,6}}\right|\≤{\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3=\mathrm{\γ}---\left(131\right)$

然后，定义一个新的常数矩阵ψ₂∈R⁶为

ψ＝[0 0 0γγγ]^T                          (132)

则

$\left|q_m\left(t\right)\right|\≤\left|{\left({\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{\mathrm{\ψ}}_2\mathrm{d\τ}\right)}_m\right|\≤\left|{\left({A_e}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|+\left|{\left({A_e}^{-1}{e}^{A_{e}t}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|---\left(133\right)$

其中，m=1，...，6。

由式(119)和式(125)可得

${A_e}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-2{\mathrm{\ω}}_c^{-1}& -{\mathrm{\ω}}_c^{-2}\\ I_3& 0\end{array}\right]---\left(134\right)$

因此，从式(132)和式(134)得

$\left|{\left({A_e}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^2}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ 0{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(135\right)$

因为A_e是Hurwitz矩阵，随着t的增加

将收敛至零，所以存在一个有限时间T₂>0，使得对任何时间t≥T₂有

$\left|{\left[e^{A_{e}t}\right]}_{\mathrm{mn}}\right|\≤\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_c^3}---\left(136\right)$

其中，m=1，...,6,n=1,...,6。

设T₃=max{T₁,T₂}且

则对任何时间t≥T₃有

$|{\left({A_e}^{-1}{e}^{A_{e}t}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{6\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^5}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(138\right)$

根据式(133)、(135)和(138)可知，对任何时间t≥T₃有

$\left|q_m\left(t\right)\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^2}+\frac{6\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^5}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(139\right)$

设

$E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)=\underset{m=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|E_{\mathrm{em}}\left(0\right)\right|---\left(140\right)$

由式(136)和式(140)得对任何时间t≥T₃有

$\left|{\left(e^{A_{e}t}{E}_e\left(0\right)\right)}_m\right|\≤\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}---\left(141\right)$

最后，根据式(127)、(139)和(141)可得，对任何时间t≥T₃有

$\begin{array}{c}\left|{\left(E_e\left(t\right)\right)}_m\right|\≤\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+\left|q_m\left(t\right)\right|\\ \≤\left\{\begin{array}{c}\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+(\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_c^2}+\frac{6}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3}{{\mathrm{\ω}}_c^5})\·({\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3){|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+\frac{3({\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.\\ ={\mathrm{\ρ}}_m\end{array}---\left(142\right)$

至此，得出上述鲁棒控制器的控制误差收敛且有上界的结论。

通过上述推导和证明有如下结论：

1）利用LESO首先得到未知广义扰动的高精度估计。然后，通过使用上述控制律抵消f对控制模型的不利影响，从而实现自抗扰控制。

2）控制误差是有界的，且其上界随观测器带宽ω_o和控制器带宽ω_c的增加而单调递减。

3）可以设计更精细的控制器代替式(115)的PD控制器，以得到更高的控制性能。此外，如用一个合适的控制器取代PD控制器，基于LESO的容错姿态机动控制和姿态跟踪控制也可以达到。

下面通过数值仿真，将上述容错控制方法与PID控制方法相比较，以证明上述方法的有效性。假设柔性航天器安装了4个反作用轮作为执行机构，航天器的惯量矩阵（包括RWs）为

$I_s=\left[\begin{array}{ccc}350& 3& 4\\ 3& 270& 10\\ 4& 10& 190\end{array}\right]\mathrm{kg}\·m^2$

在仿真中考虑柔性航天器的前三阶柔性模态，柔性耦合矩阵选择为

$F=\left[\begin{array}{ccc}6.45637& 1.27814& 2.15629\\ -1.25619& 0.91756& -1.67264\\ 1.11687& 2.48901& -0.83674\end{array}\right]{\mathrm{kg}}^{1/2}\·m/s^2$

取固有频率Λ₁=0.7681rad/s，Λ₂=1.1038rad/s，Λ₃=1.8733rad/s；阻尼比ξ₁=0.0056，ξ₂=0.0086，ξ₃=0.013。对于反作用轮组，惯量矩阵选为I_w=diag(10 10 10 10)kg·m²，安装矩阵为

$C=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]$

选取初始姿态角θ₀=6°，ψ₀=-8°；初始角速度ω_b0  ＝[0 0 0]^T；初始模态坐标向量η₀＝[0 0 0]^T，其时间导数在仿真中，外部扰动力矩T_d认为有如下的周期形式

$T_d=\left[\begin{array}{c}0.3\cos \left(0.01t\right)+0.1\\ 0.15\sin \left(0.02t\right)+0.3\cos \left(0.025t\right)\\ 0.3\sin \left(0.01t\right)+0.1\end{array}\right]$

对无故障模式和故障模式分别进行仿真，其中故障模式参数如下

$\left\{\begin{array}{cc}e1=0,& t\≥10s\\ f2=0.5,& 10\≤t\≤30s\\ e3=0.4,& t\≥15s\\ e4=0.3,& t\≥5s\end{array}\right.$

上述基于LESO的容错控制方法和PID控制方法都假设在相同的仿真条件下进行。考虑反作用轮输出力矩的饱和限幅，控制参数的选择通过不断调试，达到控制性能与控制力矩两者的协调。对于PID控制律，控制参数选择为k_p1=k_p2=k_p3=40，k_d1=k_d2=k_d3=400，k_i1=k_i2=k_i3=0.001。对于基于LESO的容错控制律，观测器带宽选为ω_o=30，控制器带宽选为ω_c=0.3。

图2-图5为采用PID控制器进行姿态稳定控制时的仿真结果。可以看到，在无故障的情况下，PID控制器可以进行姿态稳定控制，但由于外部扰动力矩T_d的影响，控制精度只有0.5°。此外，控制参数的选择考虑了反作用轮输出力矩的饱和限幅，使得姿态达到稳定需要接近40s的时间。而在故障的情况下，PID控制器不能实现姿态稳定控制，如图2虚线所示。

图6-图9为采用本发明所提出的控制器进行姿态稳定时的仿真结果。在无故障的情况下，可以实现高性能姿态稳定，控制精度为8e-3°(图6实线所示)，指令力矩在反作用轮输出力矩饱和限幅之内。其实，在无故障的情况下，本发明方法能准确地估计和补偿包括弹性振动和扰动在内的广义扰动f，因此，可以实现高精度的姿态稳定。而在故障的情况下，广义扰动f不仅包含了上述扰动，而且还包含反作用轮故障导致的干扰。用同样的方式，广义扰动f也可以被估计和补偿，从而实现姿态稳定，控制精度为0.01°，如图6虚线所示。在这两种情况下，指令控制力矩都在反作用轮输出力矩饱和限幅之内。

上述理论分析和仿真结果表明，在无故障的情况下，相比于PID方法，本发明所提出的控制方法可以显著提高姿态控制精度。同时，在故障情况下，该控制方法相比于PID方法也具有更好的控制性能，能在最大程度上保证系统的稳定性。

综上所述，本发明提出的基于LESO的鲁棒容错控制方法，它用于使用反作用轮作为执行机构，且存在弹性振动、动力学参数不确定性、内部扰动、外部扰动和反作用轮故障（所有这些统称为广义扰动）的柔性航天器进行姿态稳定。该控制方法不需要故障检测与诊断环节。相反，使用LESO可以快速准确地估计广义扰动，这是该控制方法最重要的部分。然后，通过对广义扰动进行补偿，使简化后的系统可以容易地用PD控制律进行控制。该容错控制方法可以处理有多个执行机构故障的情况，能最大程度上维持控制系统的稳定性和保证其良好的控制性能。此外，该方法不依赖于精确的系统模型，具有很好的实时性，更适合于实际航天器在轨应用。

Claims (1)

1.一种基于线性扩张状态观测器的柔性航天器容错姿态控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：重写航天器的动力学模型，以得到一种更适合LESO设计的形式

当采用欧拉角描述航天器姿态时，航天器的运动学方程写为

其中,

θ和ψ分别为滚动角、俯仰角与偏航角，ω_b＝[ω_x ω_y ω_z]^T是本体坐标系f_b相对于惯性坐标系f_I的角速度在f_b中表示的分量列阵，ω₀是轨道角速度，在这里认为是常数；

假设航天器的柔性附件的弹性位移很小，那么以四斜装反作用轮作为执行机构的柔性航天器的动力学方程表示为

$I_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b+F\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})=T_w+T_d---\left(2a\right)$

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+2\mathrm{\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}+F^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b=0---\left(2b\right)$

$T_w={\mathrm{Cu}}_w=-{\mathrm{CI}}_w\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}---\left(2c\right)$

其中，I_s∈R^3×3是整个航天器的惯量阵；F∈R^3×N是柔性附件振动对中心刚体转动的柔性耦合系数矩阵；η∈R^N是模态坐标向量；T_w∈R³是反作用轮作用于航天器主体的三轴控制力矩；T_d是外部环境扰动力矩；u_w＝[u₁ u₂ u₃ u₄]^T中的u_i(i＝1,...,4)代表第i个反作用轮产生的力矩；I_w=diag(I_wi,i＝1,2,3,4)中的I_wi为第i反作用轮相对其转轴的转动惯量；Ω＝[Ω₁ Ω₂ Ω₃ Ω₄]^T中的Ω_i(i＝1,2,3,4)是第i反作用轮的相对转速，C∈R^3×4是反作用轮组的安装矩阵；Λ=diag(Λ_i,i＝1,...,N)是固有频率，ξ=diag(ξ_i，i＝1，...,N)是阻尼比，N为弹性模态的阶数；

为一个反对称矩阵，

${\mathrm{\ω}}_b^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_z& {\mathrm{\ω}}_y\\ {\mathrm{\ω}}_z& 0& -{\mathrm{\ω}}_x\\ -{\mathrm{\ω}}_y& {\mathrm{\ω}}_x& 0\end{array}\right]---\left(3\right)$

现在考虑反作用轮出现了故障的情况，则式(2a)改写为

$I_s{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b+F\stackrel{\·\·}{\mathrm{\η}}+{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})=\mathrm{CE}(u_w+u_{\mathrm{wf}})+T_d---\left(4\right)$

这里考虑了反作用飞轮的两种故障类型，分别用向量u_wf和对角阵E表示，其中E是控制效益矩阵，表示为

E＝diag(e₁ e₂ e₃ e₄)0≤ei≤1，i＝1，...，4                    (5)

当e_i=1时表示第i反作用轮没有故障，e_i=0表示第i反作用轮完全失效而不能输出力矩；

在后续的推导中,假设各反作用轮转速都低于饱和转速且航天器姿态角信息可用；

假设1：式(4)中的T_d指环境扰动力矩力，虽然T_d的准确量不能得知，但可以合理地假设T_d相对于时间的一阶导数是有界的；

假设2：向量u_wf和对角阵E也是未知的，但也可以合理地假设u_wf相对于时间的一阶导数是有界的；

在设计LESO时需要姿态角和指令力矩信息，因此重写的控制模型应包含这两个量；此外，式(2b)中航天器柔性附件的振动与航天器的转动是耦合的，这在重写控制模型时也要考虑到；

首先，把式(2b)代入式(4)得

$(I_s-{\mathrm{FF}}^T){\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b=2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}+T_d-{\mathrm{\ω}}_d^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})+\mathrm{CE}(u_w+u_{\mathrm{wf}})---\left(6\right)$

在式(6)中，如果反作用轮组工作在理想状态下，其输出的力矩T_w=Cu_w等于指令力矩T_c；为了让新的控制模型包含欧拉角，应联合式(1)和式(6)，为此重写运动学方程(1)为

${\mathrm{\ω}}_b=J_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b-J_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0---\left(7\right)$

其中，由滚动角速率、俯仰角速率和偏航角速率组成，

由式(7)得到

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_b={\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+J_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b-{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0---\left(10\right)$

把式(10)代入式(6)中得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0-J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+B[2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}-{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})$ (11)

$+T_d+{\mathrm{CEu}}_w+{\mathrm{CEu}}_{\mathrm{wf}}-{\mathrm{Cu}}_w]+{\mathrm{BT}}_w$

其中，

$B=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{(I_s-{\mathrm{FF}}^T)}^{-1}---\left(12\right)$

式(11)是包含欧拉角和指令力矩的新的控制模型，但系数矩阵B是欧拉角的时变函数；假设初始时刻航天器处于平衡状态，则B的初始值为

B₀=(I_s-FF^T)^-1                                (13)

这样，因欧拉角变化而引起的B的不确定性就可以提取出来；把式(11)重写成如下形式

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=f+B_0{T}_w---\left(14\right)$

其中，

$f=J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{wo}}{\mathrm{\ω}}_0-J_{\mathrm{vb}}^{-1}{\stackrel{\·}{J}}_{\mathrm{vb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b+B[2\mathrm{F\ξ\Λ}\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}+F{\mathrm{\Λ}}^2\mathrm{\η}-{\mathrm{\ω}}_b^{\×}(I_s{\mathrm{\ω}}_b+{\mathrm{CI}}_w\mathrm{\Ω})+T_d$ (15)

$+{\mathrm{CEu}}_w+{\mathrm{CEu}}_{\mathrm{wf}}-{\mathrm{Cu}}_w]+(B-B_0)T_w$

从式(14)和式(15)可以看出，f代表广义扰动，包括弹性振动、动力学参数不确定性、内部扰动、外部扰动和执行机构故障；因为理想情况下T_w等于指令力矩T_c，所以T_w是已知的，式(14)即为LESO和鲁棒控制律设计基于的最终控制模型；

步骤二：设计一个LESO，利用指令控制力矩和欧拉角测量信息估计系统状态和广义扰动

1)LESO的设计过程

式(14)表示一个以T_w和θ_b为输入的一般非线性时变系统，在该系统中，只给出了系统的阶次和常系数矩阵B₀，而f代表未知的广义扰动；为了实现该系统的容错控制，LESO设计的目标是估计f并实时地补偿它，以最大限度地消减f的影响；LESO设计的关键是把广义扰动当作一个扩张的系统状态，因此，选取如下的状态变量

$\begin{array}{c}{X}_1={\mathrm{\θ}}_b\\ X_2={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b\\ X_3=f\end{array}---\left(16\right)$

然后，系统模型(14)改写为增广状态空间形式

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{X}}_1=X_2\\ {\stackrel{\·}{X}}_2=X_3+B_0{T}_w\\ {\stackrel{\·}{X}}_3=h\\ Y_1=X_1\end{array}---\left(17\right)$

其中，是f的时间导数，Y₁是测量输出；

基于以Y₁为输出和T_w为输入的增广系统方程(17)，LESO的构造如下

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{X}}}_1={\hat{X}}_2+L_1(X_1-{\hat{X}}_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{X}}}_2={\hat{X}}_3+L_2(X_1-{\hat{X}}_1)+B_0{T}_w\\ {\stackrel{\·}{\hat{X}}}_3=L_3(X_1-{\hat{X}}_1)\end{array}---\left(18\right)$

其中，和

分别是X₁、X₂和X₃的估计，L_i∈R^3×3i＝1,2,3是待定的观测器增益对角矩阵；为了简便，L_i＝diag(l_i l_i l_i)并将系统极点配置在-ω_o＝-diag(ω_o ω_o ω_o)，其中ω_o为观测器带宽，为一正常数，由此，系统(18)的矩阵特征多项式为

λ_o(s)=s³I₃+L₁s²+L₂s+L₃=(sI₃+ω_o)³            (19)

其中，I₃为3×3的单位矩阵，从式(19)得

$L_1=3{\mathrm{\ω}}_o,L_2=3{{\mathrm{\ω}}_o}^2,L_3={{\mathrm{\ω}}_o}^3---\left(20\right)$

这样，ω_o就成为观测器唯一的调参参数；

2)LESO的稳定性和估计误差收敛性分析

定义状态估计误差变量

从式(17)和式(18)得观测器状态估计

误差方程为

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_1={\tilde{X}}_2-L_1{\tilde{X}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_2={\tilde{X}}_3-L_2{\tilde{X}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{X}}}_3=h-L_3{\tilde{X}}_1\end{array}---\left(21\right)$

令

${\mathrm{\ξ}}_i={\left({\mathrm{\ω}}_o\right)}^{1-i}{\tilde{X}}_i,i=1,...,3---\left(22\right)$

则式(21)改写为

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}=A_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{\ϵ}+B_{\mathrm{\ϵ}}h---\left(23\right)$

其中，ε＝[ξ₁ ξ₂ ξ₃]^T＝R⁹，A_ε∈R^9×9和B_ε∈R^9×3是常矩阵，取值如下所示

$B_{\mathrm{\ϵ}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\left({{\mathrm{\ω}}_o}^2\right)}^{-1}\end{array}\right]---\left(25\right)$

定理1：如果h_i,i＝1,2,3是有界的，则LESO是有界输入有界输出BIBO稳定的；

证明：根据式(20)选择的特殊观测器增益矩阵，很容易地证明A_ε的特征多项式的根都在左半平面，然后，根据假设1和假设2，h_i,i＝1,2,3是有界的，因此，得出LESO是有界输入有界输出稳定的结论；

定理2：假设h_i,i＝1,2,3是有界的，则总存在一个常数σ_i>0和有限时间T₁>0，使i＝1，2,3,j=1,2,3,

和ω_o>1；

证明：解式(23)得

$\mathrm{\ϵ}\left(t\right)=e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\mathrm{\ϵ}\left(0\right)+{\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{B}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{hd\τ}---\left(26\right)$

设

$p\left(t\right)={\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{B}_{\mathrm{\ϵ}}\mathrm{hd\τ}---\left(27\right)$

式(25)代入B_εh有

B_ε＝[(ω_o ²)^-1h]^T                         (28)

由于h_i,i＝1,2,3都是有界的，不失一般性可假设|h_i|≤δ，其中δ是一个正常数；然后，定义一个新的常数列向量ψ₁∈R⁹，

${\mathrm{\Ψ}}_1={\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}& \frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}\end{array}\right]}^T---\left(29\right)$

于是得

$\left|p_k\left(t\right)\right|\≤\left|{\∫}_0^t{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}(t-\mathrm{\τ})}{\mathrm{\Ψ}}_1\mathrm{d\τ}\right|\≤\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|+\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|---\left(30\right)$

其中，k=1,...,9；

由式(24)知

${A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\\ {\mathrm{\ω}}_o^{-1}& 0& -3{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\\ 0& {\mathrm{\ω}}_o^{-1}& -3{\mathrm{\ω}}_o^{-1}\end{array}\right]---\left(31\right)$

则有

$\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(32\right)$

在定理1的证明中，已指出A_ε的特征多项式的根都在左半平面，则当t不断增加时，

将不断减小；因此，假设存在一个有限的时间T₁>0，使得当t≥T₁时有

$\left|{\left[e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\right]}_{\mathrm{kl}}\right|\≤\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_o^3}---\left(33\right)$

其中，k=1,...,9,l=1,...,9；

令

则当t≥T₁时，下式成立

$\left|{\left({A_{\mathrm{\ϵ}}}^{-1}{e}^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}{\mathrm{\Ψ}}_1\right)}_k\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(35\right)$

联合式(30)、(32)和(35)可知，当t≥T₁时有

$\left|p_k\left(t\right)\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{k=4,...,9}\end{array}\right.---\left(36\right)$

令

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)\right|---\left(37\right)$

结合式(33)和式(37)可知当t≥T₁时有

$\left|{\left(e^{A_{\mathrm{\ϵ}}t}\mathrm{\ϵ}\left(0\right)\right)}_k\right|\≤\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}---\left(38\right)$

由此，有下式成立

$\left|{\mathrm{\ϵ}}_k\left(t\right)\right|\≤\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\left|p_k\left(t\right)\right|---\left(39\right)$

根据式(22)和式(37)可知，如果ω_o>1，则推导出

${\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)\right|\≥{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)---\left(40\right)$

最后，联合式(22)、(36)、(39)和(40)得到：当t≥T₁时，有下式成立

$\left|{\tilde{X}}_{\mathrm{ij}}\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^3}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^6}{|}_{i=1,j=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o^2}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o^2}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^5}{|}_{i=2,j=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{sum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_o}+\frac{3\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_o}+\frac{12\mathrm{\δ}}{{\mathrm{\ω}}_0^4}{|}_{i=3,j=\mathrm{1,2,3}}\end{array}\right.={\mathrm{\σ}}_i---\left(41\right)$

至此，得出LESO估计误差收敛且存在上界的结论；

通过上述推导和证明有如下结论：

1）LESO的设计与系统模型无关，唯一需要的信息是B₀和系统的阶次；

2）LESO是有界输入有界输出稳定的，LESO的估计误差是有界的，且随着观测器带宽ω_o的增加，误差上界单调递减；

3）为了确保LESO的稳定性和估计误差收敛，未知的广义扰动f的变化率必须是有界的；对于使用反作用轮作为执行机构的柔性航天器，反作用轮的转速及其时间导数是有限的，因此，这一假设是合理的；

4）通过选择特殊形式的观测器增益矩阵，观测器带宽ω_o成为唯一的调参参数，因此，观测器是容易实现和调参的；

步骤三：利用LESO估计出来的系统状态和广义扰动设计一个高效的鲁棒容错控制律

1)控制器的设计过程

在合理调参的情况下，LESO的输出

和

能高精度地估计θ_b，

和f；因此，如果我们得到了

和f的估计值，就设计如下鲁棒控制律

$T_w=B_0^{-1}(T_{w0}-{\hat{X}}_3)---\left(42\right)$

将式(42)代入式(14)得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=(f-{\hat{X}}_3)+T_{w0}---\left(43\right)$

式(43)是一个带有扰动的双积分器，如果LESO估计准确，f的不利影响可以很大程度上被抵消；由此，很容易地设计如下PD控制器

$T_{w0}=K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)+K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(44\right)$

其中，

为期望姿态角列向量，

为期望姿态角速率列向量，对于姿态稳定控制，

K_p∈R^3×3和K_d∈R^3×3是控制器的增益对角矩阵，为了简便，设K_p=diag(k_p k_p k_p)，K_d=diag(k_d k_d k_d)；将式(44)代入式(43)得

${\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b=(f-{\hat{X}}_3)+K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)+K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(45\right)$

式(45)的矩阵特征多项式是

λ_c(s)=s²I₃+sK_d+K_p                            (46)

为了让其所有根在左半平面，使

λ_c(s)=(sI₃+ω_c)²                             (47)

其中，ω_c=diag(ω_c ω_c ω_c)，ω_c是待选的控制器带宽，为正常数；

从式(46)和式(47)得

$K_p={\mathrm{\ω}}_c^2,K_d=2{\mathrm{\ω}}_c---\left(48\right)$

这样，ω_c成为控制器唯一的调参参数；

2)控制器的控制误差收敛性

定义状态误差变量 $e_1={\mathrm{\θ}}_b^{*}-X_1,e_2={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-X_2,$ 则有

${\stackrel{\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·}{X}}_1=e_2---\left(49\right)$

${\stackrel{\·}{e}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·}{X}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b---\left(50\right)$

将式(45)代入式(50)得

${\stackrel{\·}{e}}_2={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-(f-{\hat{X}}_3)-K_p({\mathrm{\θ}}_b^{*}-{\hat{X}}_1)-K_d({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_b^{*}-{\hat{X}}_2)---\left(51\right)$

对于姿态稳定，

则上式改写为

${\stackrel{\·}{e}}_2=-K_p(e_1+{\tilde{X}}_1)-K_d(e_2+{\tilde{X}}_2)-{\tilde{X}}_3---\left(52\right)$

联合式(49)和式(52)，得到状态误差方程如下

${\stackrel{\·}{E}}_e=A_e{E}_e+B_e{E}_x---\left(53\right)$

其中，E_e＝[e₁ e₂]^T∈R⁶， $E_x={\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{X}}_1& {\tilde{X}}_2& {\tilde{X}}_3\end{array}\right]}^T\∈R^9;$ A_e∈R^6×6和B_e∈R^6×9是常矩阵，分别表示为

$A_e=\left[\begin{array}{cc}0& I_3\\ -K_p& -K_d\end{array}\right]---\left(54\right)$

$B_e=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ -K_p& -K_d& -I_3\end{array}\right]---\left(55\right)$

定理3：假设h_i,i=1,2,3是有界的，总存在一个常数ρ_m>0和有限时间T₃>0，使得 $\left|{\left(E_e\right)}_m\right|\≤{\mathrm{\ρ}}_m,m=1,...,6,\∀t\≥T_3$ 和ω_c>0；

证明：解式(53)得

$E_e\left(t\right)=e^{A_{e}t}{E}_e\left(0\right)+{\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{B}_e{E}_x\mathrm{d\τ}---\left(56\right)$

设

$q\left(t\right)={\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{B}_e{E}_x\mathrm{d\τ}---\left(57\right)$

式(55)代入B_eE_x得

$B_e{E}_x=\left[\begin{array}{c}0\\ -K_p{\tilde{X}}_1-K_d{\tilde{X}}_2-{\tilde{X}}_3\end{array}\right]---\left(58\right)$

根据式(48)和定理2，得对任何时间t≥T₁有

|(B_eE_x)_1，2,3|＝0                           (59)

$\left|{\left(B_e{E}_x\right)}_{\mathrm{4,5,6}}\right|\≤{\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3=\mathrm{\γ}---\left(60\right)$

然后，定义一个新的常数矩阵ψ₂∈R⁶为

ψ₂＝[0 0 0γγγ]^T                               (61)

则

$\left|q_m\left(t\right)\right|\≤\left|{\left({\∫}_0^t{e}^{A_e(t-\mathrm{\τ})}{\mathrm{\ψ}}_2\mathrm{d\τ}\right)}_m\right|\≤\left|{\left({A_e}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|+\left|{\left({A_e}^{-1}{e}^{A_{e}t}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|---\left(62\right)$

其中，m=1，...，6；

由式(48)和式(54)得

${A_e}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-2{\mathrm{\ω}}_c^{-1}& -{\mathrm{\ω}}_c^{-2}\\ I_3& 0\end{array}\right]---\left(63\right)$

因此，从式(61)和式(63)得

$\left|{\left({A_e}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|=\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^2}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ 0{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(64\right)$

因为A_e是Hurwitz矩阵，随着t的增加

将收敛至零，所以存在一个有限时间T₂>0，使得对任何时间t≥T₂有

$\left|{\left[e^{A_{e}t}\right]}_{\mathrm{mn}}\right|\≤\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_c^3}---\left(65\right)$

其中，m=1,...,6,n=1,...,6；

设T₃=max{T₁,T₂}且

则对任何时间t≥T₃有

$\left|{\left({A_e}^{-1}{e}^{A_{e}t}{\mathrm{\Ψ}}_2\right)}_m\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{6\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^5}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(67\right)$

根据式(62)、(64)和(67)知，对任何时间t≥T₃有

$\left|q_m\left(t\right)\right|\≤\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^2}+\frac{6\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^5}{|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{3\mathrm{\γ}}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.---\left(68\right)$

设

$E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)=\underset{m=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}\left|E_{\mathrm{em}}\left(0\right)\right|---\left(69\right)$

由式(65)和式(69)得对任何时间t≥T₃有

$\left|{\left(e^{A_{e}t}{E}_e\left(0\right)\right)}_m\right|\≤\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}---\left(70\right)$

最后，根据式(56)、(68)和(70)得，对任何时间t≥T₃有

$\begin{array}{c}\left|{\left(E_e\left(t\right)\right)}_m\right|\≤\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+\left|q_m\left(t\right)\right|\\ \≤\left\{\begin{array}{c}\frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+(\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_c^2}+\frac{6}{{\mathrm{\ω}}_c^4}+\frac{3}{{\mathrm{\ω}}_c^5})\·({\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3){|}_{m=\mathrm{1,2,3}}\\ \frac{E_{\mathrm{esum}}\left(0\right)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}+\frac{3({\mathrm{\ω}}_c^2{\mathrm{\σ}}_1+2{\mathrm{\ω}}_c{\mathrm{\σ}}_2+{\mathrm{\σ}}_3)}{{\mathrm{\ω}}_c^3}{|}_{m=\mathrm{4,5,6}}\end{array}\right.\\ ={\mathrm{\ρ}}_m\end{array}---\left(71\right)$

至此，得出上述鲁棒控制器的控制误差收敛且有上界的结论。

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