CN106094518A - 一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，该方法首先建立结构振动极点配置的主动控制闭环系统，然后建立了闭环输出反馈主动控制系统非概率可靠度计算方法，基于含区间参数的闭环输出反馈主动控制系统特征值的区间估计方法和非概率可靠度计算方法对输出反馈控制器进优化，最终得到满足可靠度要求的基于极点配置的输出反馈控制系统。本发明从可靠性的角度确定输出反馈控制器的参数，从而解决了传统结构振动极点配置输出反馈控制器设计过程中面临的不确定性问题，使得基于极点配置得到的闭环控制系统在参数扰动的情况下也能够满足设计要求。

Description

一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设 计方法

技术领域

本发明涉及结构振动主动控制的技术领域，具体涉及一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法。

背景技术

振动与噪声的主动控制是一个快速发展的新领域。振动与噪声的主动控制技术涉及多学科交叉耦合，具有广泛的应用价值和学术价值，是航空航天结构走向智能化的开始。振动与噪声主动控制就是通过引入次级干扰(振动或者噪声)来消除初级干扰形成的振动或噪声。次级干扰是通过驱动器产生，次级干扰的具体形式由控制器经过计算得出。振动与噪声主动控制技术的发展不是一蹴而就的，也经过了一定时期的积累。现有的控制器设计方法大都是根据控制理论提出的方法进行的，主要包括极点配置、最优控制、PID控制和鲁棒控制等理论。当然，随着现代控制理论的发展，结构振动与噪声主动控制系统控制器的设计也是在前进和发展的。

极点配置方法是一种非常简单的反馈控制器设计方法。这种设计方法的目的就是保证闭环控制系统矩阵的特征值与设计者要求的特征值接近。通常来说，设计者可以把闭环系统矩阵的特征值设计到任何位置，这在理论上可行的。但是，在考虑各种其他物理因素的情况下，实际工程中并不这样做。例如，可以通过设计控制器使得闭环系统的特征值更加靠近复平面的左边，这样就可以提高系统稳定的鲁棒性。Manning等利用系统识别和极点配置控制方法实现了柔性智能梁第一阶模态的振动主动控制，结果表明极点配置方法可以媲美速度反馈控制器。Sethi等针对一个3.5m长的复合材料工字型梁，利用压电材料作为传感器和驱动器设计了极点配置控制器，结果表明基于极点配置设计的控制器充当了阻尼器的作用。不仅保持了原来系统的稳定性，同时还增加了系统对外部干扰的鲁棒性。Kumar等对智能结构的振动主动控制系统的极点配置可行性进行了研究，考虑了结构参数的不确定性，提出了鲁棒极点配置方法，该方法不仅可以保证系统的鲁棒稳定性，而且还能保证系统的鲁棒性能。Hanagan和Murray等研究了基于极点配置的结构振动抑制方法，通过施加速度反馈达到对闭环系统极点进行调节的目的，从而实现结构振动响应的控制。JUNKINS等基于最小灵敏度设计方法得到了极点配置的输出反馈控制器，实现了振动响应的主动控制。Slater等人利用约束状态和输出反馈控制设计了基于特征值配置的主动控制系统，并将其应用于柔性结构的振动控制。Bittanti等利用简单的极点配置方法提出了一种新的适用于直升机的叶片振动控制的方法，该方法具有两个优点：一、可以不影响整个直升机的飞行动力学；二、控制器的设计和计算简单有效。Ram研究了多输入系统的极点配置方法，单输入系统不能解决闭环控制系统特征值相关性的问题，没法保证在其他特征值不变的情况下实现要求的特征值变化，Ram通过多输入控制方法对特征值相关的极点配置问题进行了研究。Abdelaziz等利用状态微分反馈控制器研究了极点配置在单输入单输出线性系统中的应用，其求解过程是与Ackermann公式相似的，同时该方法还可以应用于结构振动控制时变系统。路小波等利用试验对系统进行辨识，设计了基于极点配置的柔性智能结构主动振动控制器，并对仿真结果进行了试验。李书等针对含不确定参数的结构系统，提出了应用Householder变换的方法设计具有鲁棒性的极点配置控制器。张家凡针对具有非对称阻尼和非对称刚度矩阵的一般动力学系统，研究了多输入极点配置问题，给出了控制增益矩阵的显式解。周星德等提出反向极点配置，该控制策略能够实现部分极点的重新配置，并且保证了不会出现控制输出力较大的情况，具有很高的工程实用价值。

虽然基于极点配置的闭环控制系统的设计方法已被广泛用于振动控制领域，但是当系统参数存在不确定性时，利用名义系统得到的闭环控制系统有时候并不能满足设计的可靠度要求。本发明就是从非概率可靠性的角度出发，基于非概率可靠性优化提出的一种可以考虑模型不确定性的极点配置振动主动控制方法，使得到的闭环控制系统在满足可靠性要求的前提下，达到要求的振动控制效果。现有专利文献和非专利文献均无相关技术的报道。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有极点配置方法无法处理模型存在不确定性的缺点，提供一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置主动振动控制系统设计方法，从而提高极点配置主动控制系统的可靠性。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案为：一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，其步骤如下：

第一步：根据结构振动有限元方程和期望得到的闭环控制系统的特征值，建立结构振动极点配置控制系统；

第二步：在第一步的基础上进行结构振动极点配置控制系统的特征值分析，利用区间不确定性分析方法得到结构振动极点配置控制系统特征值的上下界，即其中，λ为闭环控制系统的特征值或者称为极点，分别为特征值的上下界；

第三步：结构振动极点配置控制系统非概率可靠度计算，经过第一步的结构振动极点配置控制系统的建立和第二步的结构振动极点配置控制系统的特征值计算，得到基于极点配置方法的结构振动极点配置控制系统特征值的区间，利用非概率可靠性度量指标的计算方法，对基于极点配置的主动输出反馈控制系统进行可靠度计算，得到基于极点配置的主动控制系统非概率可靠度Pos(sys)；

第四步：对给定的期望特征值进行非概率可靠性优化，在满足非概率可靠度Pos(sys)的基础上，得到优化后的闭环控制系统极点特征值；优化目标为使得控制器的输出u(t)的最大值max(u(t))最小；

第五步：利用非概率优化后的极点期望值进行结构振动极点配置控制系统的设计。

其中，对步骤四进行控制器输出的最大值进行限定，使得基于极点配置的闭环控制系统在满足可靠度约束下，所需控制力最小。

其中，所述第三步中，非概率可靠性度量指标的计算方法：

设计要求为闭环控制系统响应不超过某一特定值时Y_cri，利用如下的计算公式进行非概率可靠度计算：

其中Pos(sys)为基于极点配置的闭环控制系统的非概率可靠度，λ_cri为闭环控制系统的临界值，即期望设计值，λ为闭环控制系统特征值的下界，为闭环控制系统特征值的上界。

其中，所述第四步中对期望的闭环控制系统极点进行非概率可靠性优化时采用的非概率可靠性优化模型如下：

findλ

min||u(t)||_∞

s.t.Pos(sys)≥R_cri

其中：λ是极点配置的闭环控制系统的特征值，即设计优化变量；||u(t)||_∞为控制器输出力H_∞范数，Pos(sys)为基于极点配置闭环控制系统的非概率可靠度；R_cri为设计人员要求的可靠度，为给定值。

其中，为了满足控制器输出最小，给定的设计可靠度R_cri等于1。

其中，所述第五步，利用经过非概率可靠性优化后的基于极点配置的控制器设计得到结构振动主动控制系统过程如下：

(1)利用第一步给出的极点的期望值设计初始的基于极点配置的结构振动主动控制系统，在Matlab/Simulink中建立相应的框图；

(2)利用Matlab中的优化控制箱对基于极点配置的闭环控制系统的特征值进行优化；

(3)得到基于极点配置的闭环控制系统控制器参数后设计最终反馈控制系统。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明将区间不确定性分析引入到结构振动极点配置设计中，通过非概率可靠性优化得到满足可靠度设计要求的期望极点，利用该极点进行闭环主动控制器设计，使得结构振动主动控制系统在不确定条件下能够满足可靠性要求。

(2)本发明提出了主动输出反馈控制系统的非概率可靠性指标计算方法。该方法可以得到主动输出反馈控制系统在各种不确定性情况下的可靠度指标。

附图说明

图1为控制前系统极点分布示意图；

图2为控制前状态变量x₁的响应曲线示意图；

图3为控制后系统极点分布示意图；

图4为控制后状态变量x₁的响应曲线示意图；

图5为目标函数的迭代曲线示意图；

图6为控制后状态变量x₁的区间响应曲线示意图；

图7为本发明的实现流程图。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明作进一步的详细说明本发明的实施方式。

本发明技术解决方案：一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，首先，建立结构振动极点配置的主动控制闭环系统。然后，针对建立的闭环输出反馈主动控制系统，提出了含区间参数的闭环输出反馈主动控制系统特征值的区间估计方法。在此基础上，建立了闭环输出反馈主动控制系统非概率可靠度计算方法。基于含区间参数的闭环输出反馈主动控制系统特征值的区间估计方法和非概率可靠度计算方法对输出反馈控制器进优化，最终得到满足可靠度要求的基于极点配置的输出反馈控制系统。本发明从可靠性的角度确定输出反馈控制器的参数，从而解决了传统结构振动极点配置输出反馈控制器设计过程中面临的不确定性问题，使得基于极点配置得到的闭环控制系统在参数扰动的情况下也能够满足设计要求。如图7所示，其实现步骤如下：

第一步：根据结构振动有限元方程和期望得到的闭环控制系统的特征值，建立基于极点配置的结构振动主动控制系统

假定期望得到的结构的刚度矩阵为K₀，质量矩阵为M₀，则由动力学方法可以得到期望的动力系统为

$M_0\stackrel{\·\·}{x}+K_{0}x=0---\left(1\right)$

其中，为结构结点的加速度向量，x为结构结点的位移向量。

已知现有的结构动力系统为

$\begin{array}{c}M\stackrel{\·\·}{x}+Kx=B_s{f}_c\\ y=C_{p}x\end{array}---\left(2\right)$

其中，M,K分别为开环系统的质量矩阵和刚度矩阵。B_s为控制输出力的定位矩阵，f_c为控制输入向量(控制力)，C_p为输出定位向量。y为系统的输出。以输出反馈为例，

f_c＝-Gy(t) (3)

最终，可以求得

$G={\left(B_s^T{B}_s\right)}^{-1}{B}_s^{T}M(M_0^{-1}{K}_0-M^{-1}K)C_p^T{\left(C_p{C}_p^T\right)}^{-1}---\left(4\right)$

其中，G为闭环系统输出增益矩阵，其他变量如上所示。

第二步：在第一步的基础上进行结构振动输出反馈控制系统的特征值分析，利用区间不确定性分析方法得到输出反馈控制系统特征值的上下界，即其中，λ为闭环控制系统的特征值或者称为极点，分别为特征值的上下界；

含有不确定性参数的声振耦合系统状态空间表示可以写成如下的形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}=(A^c+\mathrm{\Δ}A\·e)X+(B^c+\mathrm{\Δ}B\·e)U\\ Y=CX+DU\end{array}---\left(5\right)$

其中，和e＝[-1,1]。输出矩阵C和直接转换矩阵D是与不确定参数无关的，在此不做讨论。为闭环系统的状态对时间的导数，X为闭环系统的状态，A^c、B^c分别为系统矩阵的名义值。e＝[-1,1]为单位区间向量。U为主动控制力，p为结构不确定性参数的个数。

不失一般性的认为整个系统模型完全可控和完全可观，并采用如下负状态反馈控制器，

U(t)＝-G·X(t) (6)

其中，G为增益矩阵，X为闭环系统的状态，U为主动控制力。将式(6)代入到式(5)中，可以得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=(A^c+\mathrm{\Δ}A\·e-B^c\·G-\mathrm{\Δ}B\·G\·e)X\left(t\right)\\ Y\left(t\right)=CX\left(t\right)-D\·G\·X\left(t\right)\end{array}---\left(7\right)$

式(7)中的第一个式子表征了系统的稳定性，第二个式只是输出矩阵，因此，考虑系统的稳定性，只需关心：

$\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=(A^c+\mathrm{\Δ}A\·e-B^c\·G-\mathrm{\Δ}B\·G\·e)X\left(t\right)---\left(8\right)$

考虑如下的闭环控制系统

$\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=\stackrel{\‾}{A}\·X\left(t\right)---\left(9\right)$

其中，为一区间矩阵。闭环控制系统特征值的基本表达式为：

$\stackrel{\‾}{A}v=\mathrm{\λ}v---\left(10\right)$

其中，λ为系统的特征值，ν为特征向量。正如上面提到的，状态矩阵为一区间矩阵，是不确定变量b＝[b₁,b₂,...b_p]^T的函数，即：

$\stackrel{\‾}{A}=\stackrel{\‾}{A}\left(b\right)---\left(11\right)$

要解决的问题是寻找满足式(11)的所有特征值：

通常情况下式所示的边界非常复杂，同时要找到所有的特征值也是没有意义的，但是可以寻找一组区间界限使得下式成立：

$\mathrm{\Γ}\⋐{\mathrm{\λ}}^I=\[\underset{\‾}{\mathrm{\λ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\]=\left({\mathrm{\λ}}_i^I\right),{\mathrm{\λ}}_i^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_i\],i=1,2,...,2n---\left(13\right)$

其中，λ^I为闭环系统特征值区间，n为结构的自由度。为了得到特征值的区间边界，采用一阶泰勒摄动方法。

考虑如下的标准特征值问题：

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{A}}^c{v}_i^c={\mathrm{\λ}}_i^c{v}_i^c& {\left({\mathrm{\μ}}_i^c\right)}^T{\stackrel{\‾}{A}}^c={\mathrm{\λ}}_i^c{\left({\mathrm{\μ}}_i^c\right)}^T\end{array},i=1,2,\mathrm{...},2n---\left(14\right)$

其中，为未摄动项，参数的确定性部分。是的第i阶右特征向量，是的第i阶左特征向量，为闭环系统第i阶特征值的名义值，n为结构的自由度。通常情况下，右特征向量i＝1,2,...,2n可以正交化：

${\left(v_i^c\right)}^T{v}_i^c=1,i=1,2,...,2n---\left(15\right)$

其中，n为结构的自由度；

现在，给定矩阵一个较小的摄动量为未知量，可以得到如下的摄动特征值问题：

$({\stackrel{\‾}{A}}^c+\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A})v_i^c={\mathrm{\λ}}_i{v}_i^c,i=1,2,...,2n---\left(16\right)$

其中，λ_i是系统的第i阶摄动特征值。通常情况下，和为已知的量。则对应的特征值λ_i的摄动量为δλ_i。将代入到方程(16)可以得到：

${\stackrel{\‾}{A}}^c{v}_i^c+\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}{v}_i^c={\mathrm{\λ}}_i^c{v}_i^c+{\mathrm{\δ\λ}}_i{v}_i^c,i=1,2,\mathrm{...},2n---\left(17\right)$

考虑到式(17)中的第一项，可以将式(17)简化为：

$\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}{v}_i^c={\mathrm{\δ\λ}}_i{v}_i^c,i=1,2,...,2n---\left(18\right)$

方程(18)两边同时左乘可以得到：

${\mathrm{\δ\λ}}_i={\left(v_i^c\right)}^T\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}{v}_i^c---\left(19\right)$

即：

${\mathrm{\λ}}_i={\mathrm{\λ}}_i^c+{\mathrm{\δ\λ}}_i={\mathrm{\λ}}_i^c+{\left(v_i^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_i^c---\left(20\right)$

由于主动控制系统增加了控制器，破坏了原系统矩阵的对称性，因此矩阵的特征值通常情况下为复数，公式(20)可以将特征值的实部和虚部分开写：

${\mathrm{\λ}}_i={\mathrm{\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}{\mathrm{\λ}}_{iy}={\mathrm{\λ}}_{ir}^c+{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}({\mathrm{\λ}}_{iy}^c+{\mathrm{\δ\λ}}_{iy})---\left(21\right)$

其中，λ_ir和λ_iy分别是特征值的实部和虚部，和分别是系统特征值实部和虚部的名义值。δλ_ir和δλ_iy分别是特征值的实部和虚部的摄动量。考虑到正交性可以得到：

${\left(v_i^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_i^c={\mathrm{\δ\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}{\mathrm{\δ\λ}}_{iy}---\left(22\right)$

考虑特征向量的实部和虚部，可以得到：

${(v_{ir}^c+\sqrt{-1}{v}_{iy}^c)}^T\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}(v_{ir}^c+\sqrt{-1}{v}_{iy}^c)={\mathrm{\δ\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}{\mathrm{\δ\λ}}_{iy}---\left(23\right)$

展开方程(23)，分别考虑实部和虚部可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^c={\left(v_{ir}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{ir}^c-{\left(v_{iy}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{iy}^c\\ {\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^c={\left(v_{ir}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{ir}^c+{\left(v_{iy}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{iy}^c\end{array}---\left(24\right)$

首先，针对特征值的实部利用区间扩张原理可以得到特征值实部的区间为：

${\mathrm{\λ}}_{ir}^I={\mathrm{\λ}}_{ir}^c+{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^I---\left(25\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^I=\[\mathrm{\δ}{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir},\mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}\]={\left(v_{ir}^c\right)}^T\mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{A}}^I{v}_{ir}^c-{\left(v_{iy}^c\right)}^T\mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{A}}^I{v}_{iy}^c\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{A}}^I=\[-\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A},\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\]\end{array}---\left(26\right)$

为区间矩阵的半径。利用区间算法，并令△λ_ir为特征值λ_i实部的半径，则：

${\mathrm{\λ}}_{ir}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}\],i=1,2,...,2n---\left(27\right)$

其中，同样，可以得到特征值λ_i,i＝1,2,...,2n的虚部的区间：

${\mathrm{\λ}}_{iy}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}\],i=1,2,...,2n---\left(28\right)$

其中，可以得到区间矩阵的区间特征值：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_i^I={\mathrm{\λ}}_{ir}^I+\sqrt{-1}{\mathrm{\λ}}_{iy}^I\\ {\mathrm{\λ}}_{ir}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}\]\\ {\mathrm{\λ}}_{iy}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}\]\end{array}---\left(29\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}={\mathrm{\λ}}_{ir}^c-{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}={\mathrm{\λ}}_{ir}^c+{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|\\ {\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}={\mathrm{\λ}}_{iy}^c-{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}={\mathrm{\λ}}_{iy}^c+{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|\end{array}---\left(30\right)$

其中，和λ _ir分别为第i个特征值实部的上下界，和λ _iy分别为第i个特征值虚部的上下界。和分别为第i个特征值实部和虚部的名义值。和分别为第i个特征向量实部和虚部的名义值。

第三步：结构振动输出反馈控制系统非概率可靠度计算，经过第一步的结构振动输出反馈控制系统的建立和第二步的输出反馈主动控制系统的特征值计算，得到基于极点配置方法的闭环输出反馈控制系统特征值的区间，利用非概率可靠性度量指标的计算方法，对基于极点配置的主动输出反馈控制系统进行可靠度计算，得到基于极点配置的主动控制系统非概率可靠度Pos(sys)：

其中，Pos(sys)为基于极点配置的闭环控制系统的非概率可靠度，λ_cri为闭环控制系统的临界值，即期望设计值。λ为闭环控制系统特征值的下界，为闭环控制系统特征值的上界。

第四步：所述第四步中对期望的闭环控制系统极点进行非概率可靠性优化时采用的非概率可靠性优化模型如下：

findλ

min||u(t)||_∞

s.t.Pos(sys)≥R_cri

其中，λ是极点配置的闭环控制系统的特征值，即设计优化变量；||u(t)||_∞为控制器输出力H_∞范数，Pos(sys)为基于极点配置闭环控制系统的非概率可靠度；R_cri为设计人员要求的可靠度，为给定值。find为寻找设计变量，min为最小优化目标，s.t.为要满足的约束条件。

第五步：利用非概率优化后的极点期望值进行结构振动极点配置控制系统的设计。

(1)利用第一步给出的极点的期望值设计初始的基于极点配置的结构振动主动控制系统，在Matlab/Simulink中建立相应的框图；

(2)利用Matlab中的优化控制箱对基于极点配置的闭环控制系统的特征值进行优化；

(3)得到基于极点配置的闭环控制系统控制器参数后设计最终反馈控制系统。

本发明具体实施例介绍如下：

考虑具有以下状态空间形式的多输入多输出动力系统：

x＝Ax+Bu

y＝Cx+Du

其中，x为系统状态变量，y为系统输出变量，u为控制输入；

C＝I_6×6,D＝0_6×2

系统的不确定量为△A＝abs(0.01×A)，假定控制输入矩阵B不存在不确定性。给定初始条件为Condition＝[1 0 0 0 0 0]^T，利用极点配置方法实现对动力响应输出的抑制。由于系统为多输入多输出系统，本算例只关心第一个自由度的变化，首先可以计算出系统的特征值为：3，0.8105，0.5±1.3229j，-0.9053±1.2837j，如图1所示。可以发现系统的特征值存在实部大于零的情况，因此，该系统为不稳定系统。在给定的初始条件下，系统输出响应随着时间的推进会变为无穷大，如图2所示。为了达到抑制系统响应的目的，期望系统的极点能够出现在以下几个位置：-1，-2，-3，-4，-1±j。

第一步：根据结构振动有限元方程和期望得到的闭环控制系统的特征值，建立基于极点配置的结构振动主动控制系统。

假定期望得到的结构的刚度矩阵为K₀，质量矩阵为M₀，则由动力学方法可以得到期望的动力系统为：

$M_0\stackrel{\·\·}{x}+K_{0}x=0---\left(1\right)$

已知现有的结构动力系统为：

$\begin{array}{c}M\stackrel{\·\·}{x}+Kx=B_s{f}_c\\ y=C_{p}x\end{array}---\left(2\right)$

其中，B_s为控制输出力的定位矩阵，f_c为控制输入向量(控制力)。以输出反馈为例：

f_c＝-Gy(t) (3)

最终，可以求得：

$G={\left(B_s^T{B}_s\right)}^{-1}{B}_s^{T}M(M_0^{-1}{K}_0-M^{-1}K)C_p^T{\left(C_p{C}_p^T\right)}^{-1}---\left(4\right)$

根据极点配置方法可以得到状态反馈矩阵G如下，并且满足以上的极点要求如图3所示。利用得到的反馈矩阵G构建闭环控制系统，得到的状态变量x₁的响应曲线如图4所示。

$G=\left[\begin{array}{cccccc}7.8894& -25.9411& -26.2365& 15.6169& 23.0246& 28.7732\\ 0.2635& -3.4672& -3.5669& -7.7197& 2.4307& 3.0500\end{array}\right]$

第二步：在第一步的基础上进行结构振动输出反馈控制系统的特征值分析，利用区间不确定性分析方法得到输出反馈控制系统特征值的上下界，即

含有不确定性参数的声振耦合系统状态空间表示可以写成如下的形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}=(A^c+\mathrm{\Δ}A\·e)X+(B^c+\mathrm{\Δ}B\·e)U\\ Y=CX+DU\end{array}---\left(5\right)$

其中，和e＝[-1,1]。输出矩阵C和直接转换矩阵D是与不确定参数无关的，在此不做讨论。不失一般性的认为整个系统模型完全可控和完全可观，并采用如下负状态反馈控制器：

U(t)＝-G·X(t) (6)

其中，G为增益矩阵，将式(6)代入到式(5)中，可以得到：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=(A^c+\mathrm{\Δ}A\·e-B^c\·G-\mathrm{\Δ}B\·G\·e)X\left(t\right)\\ Y\left(t\right)=CX\left(t\right)-D\·G\·X\left(t\right)\end{array}---\left(7\right)$

式(7)中的第一个式子表征了系统的稳定性，第二个式只是输出矩阵，因此，考虑系统的稳定性，只需关心：

$\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=(A^c+\mathrm{\Δ}A\·e-B^c\·G-\mathrm{\Δ}B\·G\·e)X\left(t\right)---\left(8\right)$

考虑如下的闭环控制系统：

$\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=\stackrel{\‾}{A}\·X\left(t\right)---\left(9\right)$

其中，为一区间矩阵。闭环控制系统特征值的基本表达式为：

$\stackrel{\‾}{A}v=\mathrm{\λ}v---\left(10\right)$

其中，λ为系统的特征值，ν为特征向量。正如上面提到的，状态矩阵为一区间矩阵，是不确定变量b＝[b₁,b₂,...b_p]^T的函数，即：

$\stackrel{\‾}{A}=\stackrel{\‾}{A}\left(b\right)---\left(11\right)$

要解决的问题是寻找满足式(11)的所有特征值：

通常情况下式所示的边界非常复杂，同时要找到所有的特征值也是没有意义的，但是可以寻找一组区间界限使得下式成立：

$\mathrm{\Γ}\⋐{\mathrm{\λ}}^I=\[\underset{\‾}{\mathrm{\λ}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}\]=\left({\mathrm{\λ}}_i^I\right),{\mathrm{\λ}}_i^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_i,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_i\],i=1,2,...,2n---\left(13\right)$

其中，为了得到特征值的区间边界，采用一阶泰勒摄动方法。

考虑如下的标准特征值问题：

$\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{A}}^c{v}_i^c={\mathrm{\λ}}_i^c{v}_i^c& {\left({\mathrm{\μ}}_i^c\right)}^T{\stackrel{\‾}{A}}^c={\mathrm{\λ}}_i^c{\left({\mathrm{\μ}}_i^c\right)}^T\end{array},i=1,2,\mathrm{...},2n---\left(14\right)$

其中，为未摄动项，参数的确定性部分。是的第i阶右特征向量，是的第i阶左特征向量。通常情况下，右特征向量i＝1,2,...,2n可以正交化：

${\left(v_i^c\right)}^T{v}_i^c=1,i=1,2,...,2n---\left(15\right)$

现在，给定矩阵一个较小的摄动量为未知量，可以得到如下的摄动特征值问题：

$({\stackrel{\‾}{A}}^c+\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A})v_i^c={\mathrm{\λ}}_i{v}_i^c,i=1,2,...,2n---\left(16\right)$

其中，λ_i是系统的第i阶摄动特征值。通常情况下，和为已知的量。则对应的特征值λ_i的摄动量为δλ_i。将代入到方程(16)可以得到：

${\stackrel{\‾}{A}}^c{v}_i^c+\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}{v}_i^c={\mathrm{\λ}}_i^c{v}_i^c+{\mathrm{\δ\λ}}_i{v}_i^c,i=1,2,\mathrm{...},2n---\left(17\right)$

考虑到式(17)中的第一项，可以将式(17)简化为：

$\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}{v}_i^c={\mathrm{\δ\λ}}_i{v}_i^c,i=1,2,...,2n---\left(18\right)$

方程(18)两边同时左乘可以得到：

${\mathrm{\δ\λ}}_i={\left(v_i^c\right)}^T\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}{v}_i^c---\left(19\right)$

即：

${\mathrm{\λ}}_i={\mathrm{\λ}}_i^c+{\mathrm{\δ\λ}}_i={\mathrm{\λ}}_i^c+{\left(v_i^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_i^c---\left(20\right)$

由于主动控制系统增加了控制器，破坏了原系统矩阵的对称性，因此矩阵的特征值通常情况下为复数，公式(20)可以将特征值的实部和虚部分开写：

${\mathrm{\λ}}_i={\mathrm{\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}{\mathrm{\λ}}_{iy}={\mathrm{\λ}}_{ir}^c+{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}({\mathrm{\λ}}_{iy}^c+{\mathrm{\δ\λ}}_{iy})---\left(21\right)$

其中，λ_ir和λ_iy分别是特征值的实部和虚部。δλ_ir和δλ_iy分别是特征值的实部和虚部的摄动量。考虑到正交性可以得到：

${\left(v_i^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_i^c={\mathrm{\δ\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}{\mathrm{\δ\λ}}_{iy}---\left(22\right)$

考虑特征向量的实部和虚部，可以得到：

${(v_{ir}^c+\sqrt{-1}{v}_{iy}^c)}^T\mathrm{\δ}\stackrel{\‾}{A}(v_{ir}^c+\sqrt{-1}{v}_{iy}^c)={\mathrm{\δ\λ}}_{ir}+\sqrt{-1}{\mathrm{\δ\λ}}_{iy}---\left(23\right)$

展开方程(23)，分别考虑实部和虚部可以得到：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^c={\left(v_{ir}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{ir}^c-{\left(v_{iy}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{iy}^c\\ {\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^c={\left(v_{ir}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{ir}^c+{\left(v_{iy}^c\right)}^T\mathrm{\δ}\tilde{A}{v}_{iy}^c\end{array}---\left(24\right)$

首先，针对特征值的实部利用区间扩张原理可以得到特征值实部的区间为：

${\mathrm{\λ}}_{ir}^I={\mathrm{\λ}}_{ir}^c+{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^I---\left(25\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{\mathrm{\δ\λ}}_{ir}^I=\[\mathrm{\δ}{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir},\mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}\]={\left(v_{ir}^c\right)}^T\mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{A}}^I{v}_{ir}^c-{\left(v_{iy}^c\right)}^T\mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{A}}^I{v}_{iy}^c\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\‾}{A}}^I=\[-\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A},\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\]\end{array}---\left(26\right)$

为区间矩阵的半径。利用区间算法，并令△λ_ir为特征值λ_i实部的半径，则：

${\mathrm{\λ}}_{ir}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}\],i=1,2,...,2n---\left(27\right)$

其中，同样，可以得到特征值λ_i,i＝1,2,...,2n的虚部的区间：

${\mathrm{\λ}}_{iy}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}\],i=1,2,...,2n---\left(28\right)$

其中，可以得到区间矩阵的区间特征值：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\λ}}_i^I={\mathrm{\λ}}_{ir}^I+\sqrt{-1}{\mathrm{\λ}}_{iy}^I\\ {\mathrm{\λ}}_{ir}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}\]\\ {\mathrm{\λ}}_{iy}^I=\[{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy},{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}\]\end{array}---\left(29\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}={\mathrm{\λ}}_{ir}^c-{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{ir}={\mathrm{\λ}}_{ir}^c+{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|\\ {\underset{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}={\mathrm{\λ}}_{iy}^c-{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|,{\stackrel{\‾}{\mathrm{\λ}}}_{iy}={\mathrm{\λ}}_{iy}^c+{\left|v_{ir}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{iy}^c\right|-{\left|v_{iy}^c\right|}^T\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{A}\left|v_{ir}^c\right|\end{array}---\left(30\right)$

最终得到闭环控制系统的极点如下表1所示

表1传统设计方法的闭环控制系统极点及系统可靠度

第三步：结构振动输出反馈控制系统非概率可靠度计算，经过第一步的结构振动输出反馈控制系统的建立和第二步的输出反馈主动控制系统的特征值计算，得到基于极点配置方法的闭环输出反馈控制系统特征值的区间，利用非概率可靠性度量指标的计算方法，对基于极点配置的主动输出反馈控制系统进行可靠度计算，得到基于极点配置的主动控制系统非概率可靠度Pos(sys)：

其中，Pos(sys)为基于极点配置的闭环控制系统的非概率可靠度，λ_cri为闭环控制系统的临界值，即期望设计值。λ为闭环控制系统特征值的下界，为闭环控制系统特征值的上界。此时，有传统方法得到的闭环系统的可靠度以及在表1中给出。

第四步：所述第四步中对期望的闭环控制系统极点进行非概率可靠性优化时采用的非概率可靠性优化模型如下：

findλ

min||u(t)||_∞

s.t.Pos(sys)≥R_cri

其中，λ是极点配置的闭环控制系统的特征值，即设计优化变量；||u(t)||_∞为控制器输出力H_∞范数，Pos(sys)为基于极点配置闭环控制系统的非概率可靠度；R_cri为设计人员要求的可靠度，为一给定的值。

从表1中可以看出，由于不确定性的存在，闭环控制系统极点的实部已经有大于期望值的可能性，这样利用本发明提出的非概率可靠极点配置方法，将闭环控制系统的极点实部最大值配置到期望值处，即将系统的可靠度设计为1。经过迭代以后，图5给出了相应的优化迭代曲线，得到的控制器如下：

$G=\left[\begin{array}{cccccc}8.0416& -26.8696& -26.9159& 16.3775& 23.8393& 29.769\\ 0.2036& -3.4965& -3.7078& -8.3143& 2.3758& 3.0458\end{array}\right]$

表2本发明设计的闭环控制系统极点与可靠度

第五步：利用非概率优化后的极点期望值进行结构振动极点配置控制系统的设计。

(1)利用第一步给出的极点的期望值设计初始的基于极点配置的结构振动主动控制系统，在Matlab/Simulink中建立相应的框图；

(2)利用Matlab中的优化控制箱对基于极点配置的闭环控制系统的特征值进行优化；

(3)得到基于极点配置的闭环控制系统控制器参数后设计最终反馈控制系统。

图6给出了基于非概率可靠优化的结构振动极点配置控制系统的最终响应输出。表3给出了传统极点配置方法和本发明所提出的非概率可靠极点配置方法的响应输出的比较，可以看出，本发明所提出的方法满足可靠度要求。

表3两种方法控制效果比较

Claims (6)

1.一种基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，其特征在于步骤如下：

第一步：根据结构振动有限元方程和期望得到的闭环控制系统的特征值，建立结构振动极点配置控制系统；

第二步：在第一步的基础上进行结构振动极点配置控制系统的特征值分析，利用区间不确定性分析方法得到结构振动极点配置控制系统特征值的上下界，即其中，λ为闭环控制系统的特征值或者称为极点，λ,分别为特征值的上下界；

第三步：结构振动极点配置控制系统非概率可靠度计算，经过第一步的结构振动极点配置控制系统的建立和第二步的结构振动极点配置控制系统的特征值计算，得到基于极点配置方法的结构振动极点配置控制系统特征值的区间，利用非概率可靠性度量指标的计算方法，对基于极点配置的主动输出反馈控制系统进行可靠度计算，得到基于极点配置的主动控制系统非概率可靠度Pos(sys)；

第四步：对给定的期望特征值进行非概率可靠性优化，在满足非概率可靠度Pos(sys)的基础上，得到优化后的闭环控制系统极点特征值；优化目标为使得控制器的输出u(t)的最大值max(u(t))最小；

第五步：利用非概率优化后的极点期望值进行结构振动极点配置控制系统的设计。

2.根据权利要求1所述的基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，其特征在于：对步骤四进行控制器输出的最大值进行限定，使得基于极点配置的闭环控制系统在满足可靠度约束下，所需控制力最小。

3.根据权利要求1所述的基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，其特征在于：所述第三步中，非概率可靠性度量指标的计算方法：

设计要求为闭环控制系统响应不超过某一特定值时Y_cri，利用如下的计算公式进行非概率可靠度计算：

其中Pos(sys)为基于极点配置的闭环控制系统的非概率可靠度，λ_cri为闭环控制系统的临界值，即期望设计值，λ为闭环控制系统特征值的下界，为闭环控制系统特征值的上界。

4.根据权利要求1所述的基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，其特征在于：所述第四步中对期望的闭环控制系统极点进行非概率可靠性优化时采用的非概率可靠性优化模型如下：

findλ

min||u(t)||_∞

s.t.Pos(sys)≥R_cri

其中：λ是极点配置的闭环控制系统的特征值，即设计优化变量；||u(t)||_∞为控制器输出力H_∞范数，Pos(sys)为基于极点配置闭环控制系统的非概率可靠度；R_cri为设计人员要求的可靠度，为给定值。

5.根据权利要求4所述的基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，其特征在于：为了满足控制器输出最小，给定的设计可靠度R_cri等于1。

6.根据权利要求1所述的基于非概率可靠性优化的结构振动极点配置控制系统设计方法，其特征在于：所述第五步，利用经过非概率可靠性优化后的基于极点配置的控制器设计得到结构振动主动控制系统过程如下：

(1)利用第一步给出的极点的期望值设计初始的基于极点配置的结构振动主动控制系统，在Matlab/Simulink中建立相应的框图；

(2)利用Matlab中的优化控制箱对基于极点配置的闭环控制系统的特征值进行优化；

(3)得到基于极点配置的闭环控制系统控制器参数后设计最终反馈控制系统。