CN113110071A - 一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其步骤为：首先，利用特征多项式方法分析奇异振动结构的特征结构，并明确留置特征结构和移动特征结构。其次，基于模态约束方法及奇异值分解法，设计位移‑速度‑加速度参数控制器，将闭环系统的特征结构移动到复平面上期望的位置，实现系统镇定。然后，构造基于闭环特征结构的目标函数，利用模态约束中的参数优化主动控制器范数，使得镇定控制器能量损耗最小。最后，构造基于灵敏度函数及条件数的控制器优化函数，使得期望的特征结构具有鲁棒性，能较好的抑制噪声的干扰。本发明设计的控制器采用了最小的控制能量实现奇异振动结构镇定，且闭环系统具有一定的抗干扰能力。

Description

一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法

技术领域

本发明涉及奇异振动结构技术领域，特别是指一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法。

背景技术

奇异振动结构在实际生活中都有许多广泛的应用。并且，随着奇异系统在工程分析和系统建模中的巨大应用价值，奇异振动结构方向的研究引起了众多学者的注意。例如在RLC耦合系统，机械臂的振动模型，动力系统模型中等等。然而奇异振动结构含有无穷特征值，其中的无穷特征值会产生脉冲项，而脉冲项可能会破坏整个振动结构，因此在实际应用中，希望消除脉冲项。众所周知，振动结构的稳定性和脉冲项是由特征值和特征向量控制的。因此，当前奇异振动结构的一个研究方向是通过替换一些使结构不稳定的特征值和其关联的特征向量来消除脉冲项，使保持结构稳定。

特征值和其关联的特征向量被统称为特征结构配置。在早期的研究当中，学者们主要关注的是局部特征值配置问题。在解决局部特征值配置问题时，有几种常用的方法，例如，奇异值分解方法、多项式互质分解方法、参数分解法等等。在过去的几年里，已经通过模态约束方法解决了特征向量配置问题。这种方法是通过一些模态约束条件来决定被配置的参数向量。经过实例验证，通过特征结构配置使系统达到镇定是可行的。

在实际应用当中，有许多不确定的参数扰动，这会对系统的稳定性产生影响。因此在振动结构当中，对完成局部特征结构配置后的闭环系统的鲁棒性研究也是当下的一个热门方向。对闭环系统鲁棒性的测量，常用的方法是通过计算闭环系统的特征值的敏感性，结合闭环系统的条件数和特征向量矩阵的范数来测量系统的鲁棒性。由于反馈控制器对于开环系统是额外增加的，因此反馈控制器的最小范数意味着在系统设计中控制能量的消耗最小。近几年，如何在奇异振动结构中，将反馈控制器的最小范数和闭环系统的鲁棒性问题考虑，是学者们研究的一个热门方向。

发明内容

针对上述背景技术中存在的不足，本发明提出了一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，通过主动控制器解决了奇异振动结构的鲁棒镇定问题。

本发明的技术方案是这样实现的：

一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其步骤如下：

步骤一：建立基于奇异振动结构的开环系统模型，并确定开环系统模型中留置的特征结构以及待移动的特征结构；

步骤二：设计加速度-速度-位移主动控制器，将加速度-速度-位移主动控制器添加至步骤一中的开环系统模型中得到闭环系统模型，并确定闭环系统模型中期望的特征结构；

步骤三：根据步骤一中的开环系统模型得到开环特征结构方程；根据步骤二中闭环系统模型得到闭环特征结构方程；

步骤四：利用奇异值分解法对闭环特征结构方程进行分解，并基于开环特征结构方程和闭环特征结构方程采用模态约束方法得到加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式；

步骤五：根据加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式构造基于闭环等式模型的优化函数，通过优化工具箱对优化函数进行优化求解，输出加速度-速度-位移主动控制器的参数值；

步骤六：构造基于闭环特征结构灵敏度及条件数的目标函数，通过优化工具箱对目标函数进行优化求解，输出加速度-速度-位移主动控制器的参数值；

步骤七：将步骤五的优化函数与步骤六的目标函数进行结合，得到复合函数，通过优化工具箱对复合函数进行优化得到加速度-速度-位移主动控制器的参数值，根据加速度-速度-位移主动控制器的参数值，使闭环特征结构方程在较小的能量损耗下，实现闭环系统模型镇定。

优选地，所述基于奇异振动结构的开环系统模型为：

其中，M∈R^n×n为质量矩阵，D∈R^n×n为阻尼矩阵，K∈R^n×n为刚度矩阵，C∈R^n×r表示控制矩阵且rank[C]＝n，

为加速度向量，

为速度向量，x(t)为位移向量，u(t)表示控制向量；且质量矩阵M和刚度矩阵K可以均是奇异矩阵，控制矩阵C是列满秩矩阵；

所述开环特征结构方程为：

其中，特征结构包括特征值矩阵和与特征值矩阵关联的右特征向量，待移动的特征值矩阵为Λ₁＝diag(λ₁，…，λ_p)，λ_i表示第i个特征值，i＝1,…,p；与待移动的特征值矩阵关联的右特征向量为

留置的特征值矩阵为Λ₂＝diag(λ_p+1，…，λ_2n)，λ_j表示第j个特征值，j＝p+1,…,2n；与留置的特征值矩阵关联的右特征向量为

优选地，所述加速度-速度-位移主动参数控制器为：

其中，

为加速度增益矩阵，

为速度增益矩阵，

为位移增益矩阵。

优选地，所述闭环系统模型为：

所述闭环特征结构方程为：

其中，期望的闭环特征值矩阵为Λ_c＝diag(μ₁,…,μ_p)，μ_i表示第i个特征值，i＝1,…,p；与期望的闭环特征值矩阵关联的右特征向量为V_c＝(v₁,…,v_p)，v_i表示第i个闭环特征值对应的特征向量。

优选地，所述利用奇异值分解方法对闭环特征结构方程进行分解的方法为：

将闭环特征结构方程(7)等价表示为：

其中，x_i＝μ_i ²F_av_i+μ_iF_vv_i+F_dv_i，

对式(8)使用奇异值分解，得到：

其中，

是奇异值矩阵，

和

均是正交矩阵，H表示共轭转置，

表示复数域；

令

得到：

由于矩阵

的列秩与矩阵

的核空间的维数相等，因此，矩阵

的列向量是核空间的一个正交基集合；则

其中，

是一个参数向量。

优选地，所述加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式的获得方法为：

将x_i＝μ_i ²F_av_i+μ_iF_vv_i+F_dv_i转化为：

结合式(5)和(6)将闭环特征结构方程等价表示为：

将式(13)转化为：

构建模态约束：

其中，

和

均是给定的非零向量，ρ_s,t是一个标量，且ρ_s,t≠0，s＝2n+1,…,3n，t＝2,…,r，

结合式(13)～(15)，可以得到：

其中，X₁＝(x₁,…,x_p)，X₂＝(0_p+1,…,0_2n)，X₃＝(z_2n+1,…,z_3n)，

z_2n+1,…,z_3n均为给定的初始参数矩阵，

表示模态约束矩阵；

因此，

也即

(F_d,F_v,F_a)＝(X₁,X₂,X₃)(Y₁,Y₂,Y₃)^-1 (17)。

优选地，所述基于闭环特征结构方程的优化函数为：

J_s＝||F_a||₂+||F_v||₂+||F_d||₂ (18)；

其中，J_s表示优化函数性能指标。

优选地，所述基于闭环特征结构方程的期望的特征结构灵敏度及条件数的目标函数为：

J_robust＝J₁+J₂ (23)；

其中，J_robust为目标函数性能指标，

表示条件数测量闭环系统鲁棒性公式，

为条件数，k＝1,2,…,2n，当k＝i＝1,...,p时，

当k＝j＝p+1,...,2n时，

J₂＝||(Y₁,Y₂,Y₃)||₂||(Y₁,Y₂,Y₃)^-1||₂表示闭环系统特征值鲁棒性公式。

优选地，所述复合函数为：

J＝θJ₁+αJ₂+βJ_s (24)；

其中，J为性能指标，α、β、θ均是权重因子。

与现有技术相比，本发明产生的有益效果为：

(1)采用模态约束技术和奇异值分解方法，设计了使奇异振动结构稳定的加速度-速度-位移主动控制器；

(2)为了减少控制器能量损耗，优化了主动控制器范数；

(3)结合了闭环等式模型的优化函数和闭环系统模型的期望的特征结构灵敏度及条件数的目标函数构造了一个复合函数，通过设定适当的权重因子，解决了奇异振动结构的鲁棒镇定问题。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的流程图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，本发明实施例提供了一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，具体步骤如下：

步骤一：建立基于奇异振动结构的开环系统模型，并确定开环系统模型中留置的特征结构以及待移动的特征结构；振动结构的建模通常是对振动结构使用有限元技术来完成的。常用振动结构模型如下：

其中，M∈R^n×n为质量矩阵，D∈R^n×n为阻尼矩阵，K∈R^n×n为刚度矩阵，C∈R^n×r表示控制矩阵且rank[C]＝n，

为加速度向量，

为速度向量，x(t)为位移向量，u(t)表示控制向量。当质量矩阵M是奇异矩阵，控制矩阵C是列满秩矩阵，振动系统模型的动力系统就被称为奇异振动结构。

奇异特征结构含有无穷特征结构和一些使振动结构不稳定的特征结构，因此需要使用局部特征结构配置的方法进行稳定。为了实现控制目标，需要明确模型当中留置的特征结构及待移动的特征结构，其中待移动的特征结构一般为无穷特征结构、不稳定特征结构以及破坏系统稳定性的主导特征结构。

步骤二：设计加速度-速度-位移主动控制器，将加速度-速度-位移主动控制器添加至步骤一中的开环系统模型得到闭环系统模型，并确定闭环系统模型中期望的特征结构；所述加速度-速度-位移主动控制器，表示为：

其中，

为加速度增益矩阵，

为速度增益矩阵，

为位移增益矩阵。

把式(2)代入式(1)中，得到奇异振动结构的闭环系统模型为：

步骤三：根据步骤一中的开环系统模型得到开环特征结构方程；根据步骤二中闭环系统模型得到闭环特征结构方程；

所述开环特征结构方程为：

其中，特征结构包括特征值矩阵和与特征值矩阵关联的右特征向量，待移动的特征值矩阵为Λ₁＝diag(λ₁，…，λ_p)，λ_i表示第i个特征值，i＝1,…,p；与待移动的特征值矩阵关联的右特征向量为

留置的特征值矩阵为Λ₂＝diag(λ_p+1，…，λ_2n)，λ_j表示第j个特征值，j＝p+1,…,2n；与留置的特征值矩阵关联的右特征向量为

所述闭环特征结构方程为：

其中，期望的闭环特征值矩阵为Λ_c＝diag(μ₁,…,μ_p)，μ_i表示第i个特征值，i＝1,…,p；与期望的闭环特征值矩阵关联的右特征向量为V_c＝(v₁,…,v_p)，v_i表示第i个闭环特征值对应的特征向量。

步骤四：利用奇异值分解法对闭环特征结构方程进行分解，并基于开环特征结构方程和闭环特征结构方程采用模态约束方法得到加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式；通过对加速度-速度-位移主动控制器中参数的设定，使得闭环系统的无穷特征结构及破坏系统稳定的主导模态移动到复平面上期望的位置，实现系统镇定。

所述利用奇异值分解对闭环特征结构方程进行分解的方法为：

将闭环特征结构方程(7)等价表示为：

其中，x_i＝μ_i ²F_av_i+μ_iF_vv_i+F_dv_i，

对式(8)进行奇异值分解，得到：

其中，

是奇异值矩阵，

和

均是正交矩阵；

表示复数域，H表示共轭转置。

令

得到：

由于矩阵

的列秩与矩阵

的核空间的维数相等，因此，矩阵

的列向量是核空间的一个正交基集合；则

其中，

是一个参数向量。

所述加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式的获得方法为：

将x_i＝μ_i ²F_av_i+μ_iF_vv_i+F_dv_i表示为：

结合式(5)和(6)将闭环特征结构方程等价表示为：

将式(13)转化为：

构建模态约束：

其中，

和

均是给定的非零向量，ρ_s,t是一个标量，且ρ_s,t≠0，s＝2n+1,…,3n，t＝2,…,r，

结合式(13)～(15)，可以得到：

其中，X₁＝(x₁,…,x_p)，X₂＝(0_p+1,…,0_2n)，X₃＝(z_2n+1,…,z_3n)，

z_2n+1,…,z_3n均为给定的初始参数矩阵。

表示模态约束矩阵。

因此，

也即

(F_d,F_v,F_a)＝(X₁,X₂,X₃)(Y₁,Y₂,Y₃)^-1 (17)。

通过设计算法一来解决奇异振动结构镇定问题。算法一的流程如下：

输入：给定一个具有式(1)形式的奇异振动结构，和待配置的特征值矩阵Λ₁。

S11：计算振动系统模型的特征值和其关联的特征向量，确定不变的特征值Λ₂和其特征向量V₂，通过

计算Y₂。

S12：通过式(9)使用奇异值分解方法来计算

S13：选择任意的参数矩阵f₁,…,f_p，且满足当

时

任意的初始向量z_2n+1和初值τ_s,s＝2n+1,…,3n。通过X₁＝(x₁,…,x_p)、X₂＝(0_p+1,…,0_2n)、X₃＝(z_2n+1,…,z_3n)和

计算X₁、X₂,、X₃、Y₁。

S14：选择非零矩阵g_s，标量ρ_s,t≠0,s＝2n+1,…,3n,t＝2,…,r且γ_s≠0，矩阵

且满足

通过

计算γ_s和Y₃。

S15：通过式(17)计算反馈矩阵F_d,F_v,F_a。

步骤五：根据加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式构造基于闭环特征结构方程的优化函数，通过优化工具箱对优化函数进行优化求解，输出加速度-速度-位移主动控制器的参数值；基于闭环特征结构方程的优化函数为：

J_s＝||F_a||₂+||F_v||₂+||F_d||₂ (18)；

其中，J_s表示优化函数性能指标。

众所周知，在实际的振动结构中，有许多不确定的参数扰动，并且这些参数扰动在大多数工程建模中是一定要被考虑的。由于这些扰动对于振动结构的稳定性有巨大的影响。因此需要提高闭环系统特征值对外界不确定的参数扰动的敏感性，这也被称为奇异振动结构的鲁棒性。而控制器对于原开环系统是额外增加的，越小的控制器范数意味着越少的能量损耗，因此通过参数自由度，调节控制器的范数和奇异振动结构的鲁棒性，使其在镇定的基础上既可以对外界的扰动具有一定的鲁棒性，又可以尽量减少控制器的能量损耗是有必要的。

步骤六：构造基于闭环特征结构灵敏度及条件数的目标函数，通过优化工具箱对目标函数进行优化求解，输出加速度-速度-位移主动控制器的参数值。

条件数提供了一种测量结构化扰动系统灵敏度的方法。该方法首次提出是针对现代控制系统的。不确定振动结构的鲁棒性可以使用条件数方法来测量。接下来给出了闭环振动结构的鲁棒性公式。

考虑到振动结构(1)和每一个特征结构

此处的

分别代表着特征值

关联的左特征向量和右特征向量。条件数

可以通过式(19)给出：

其中，k＝1,2,…,2n，当k＝i＝1,...,p时，

当k＝j＝p+1,...,2n时，

相对的灵敏度系数为：

被配置的局部特征值的鲁棒性可以通过函数(式(21))进行优化：

其中，

另一个广泛使用的测量特征值敏感性的方法是使用特征值和其关联的特征向量来建立一个优化函数。优化函数表示为：

J₂＝||(Y₁,Y₂,Y₃)||₂||(Y₁,Y₂,Y₃)^-1||₂ (22)；

其中，当

时

为了更好的测量闭环系统的鲁棒性，基于闭环特征结构灵敏度及条件数的目标函数为：

J_robust＝J₁+J₂ (23)；

其中，J_robust为目标函数性能指标，

表示条件数测量闭环系统鲁棒性公式，

为条件数，k＝1,2,…,2n，当k＝i＝1,...,p时，

当k＝j＝p+1,...,2n时，

J₂＝||(Y₁,Y₂,Y₃)||₂||(Y₁,Y₂,Y₃)^-1||₂表示闭环系统特征值鲁棒性公式。

步骤七：将步骤五的优化函数与步骤六的目标函数进行结合，得到复合函数，通过优化工具箱对复合函数进行优化得到加速度-速度-位移主动控制器的参数值，根据加速度-速度-位移主动控制器的参数值，使闭环特征结构方程在较小的能量损耗下，实现闭环系统模型镇定。

通过复合函数(式(24))可以解决奇异振动结构的鲁棒镇定问题：

J＝θJ₁+αJ₂+βJ_s (24)；

其中，J为性能指标，J₁表示条件数测量闭环系统鲁棒性公式，J₂表示特征值鲁棒性公式，J_s表示主动参数矩阵范数表达公式，α、β、θ均是参数权重因子。通过选择不同的权重因子，可以调节控制器最小范数和闭环系统特征值的鲁棒性比例。当θ＝0，α＝0，β＝1，J＝J_min，这是参数控制器最小范数问题，当θ＝1，α＝1，β＝0，J＝J_robust时，解决了奇异振动结构鲁棒性问题。当θ≠0，α≠0，β≠0，那么此时自由参数具有一定的平衡度。权重因子可以根据实际工程问题进行选择。

通过设计的算法二解决奇异振动结构鲁棒镇定问题；算法二的具体步骤为：

输入：给定一个具有式(1)形式的奇异振动结构，和期望的特征值矩阵Λ₁

步骤S21：计算振动结构模型的特征值和其关联的特征向量，确定不变的特征值Λ₂和其特征向量V₂。

步骤S22：通过式(9)使用奇异值分解方法来计算

步骤S23：选择初始向量z_2n+1和初值τ_s,s＝2n+1,…,3n，计算z_s,s＝2n+2,…,3n。

步骤S24：选择

和满足

条件的适当的矩阵

计算

步骤S25：选择初始的参数向量

且当

满足

并且权重因子满足

步骤S26：通过最小化性能指标J来得到控制器的自由参数

步骤S27：计算

最后通过式(25)求解主动参数控制器增益，从而解决奇异振动结构的鲁棒镇定问题：

数值仿真

实例1：考虑一个具有三个质量块和四个弹簧阻尼器的奇异振动结构，系统矩阵分别为：

具体的参数大小为：m₁＝4kg,m₂＝5kg,m₃＝6kg,b1＝10N·s/m,b2＝20N·s/m,b3＝30N·s/m,b4＝40N·s/m,k1＝5N/m,k2＝10N/m,k3＝15N/m,k4＝20N/m。

很明显，质量矩阵M是奇异的，并且开环系统有无穷特征值。因此，开环系统是不稳定的。很容易得到如下的开环特征值集合：

{λ_1,2＝-0.2459±0.4306i，λ₃＝0.545，λ₄＝-0.5174，λ₅＝∞，λ₆＝-0.5,λ₇＝-14.8928，λ₈＝-6.053}

被替换的特征值集合{λ_1,2＝-0.2459±0.4306i，λ₃＝0.545，λ₄＝-0.5174，λ₅＝∞，λ₆＝-0.5}，期望的特征值集合{μ_1,2＝-1±i，μ_3,4＝-2±i，μ_5,6＝-3±i}。为了实现目标，初始值和初始向量如下：

τ_(9,10)＝2，τ_(9,11)＝3，τ_(9,12)＝4，ρ_s,2＝2，

选择如下的初始参数向量：

(1)令θ＝0,α＝0,β＝1.根据算法2，可以根据如下计算局部特征结构配置问题的最小范数优化解

那么加速度-速度-位移反馈控制器增益为

(2)令θ＝1,α＝1,β＝0.根据算法二，可以根据如下计算局部特征结构配置问题的鲁棒优化解。

那么加速度-速度-位移反馈控制器增益为：

(3)令θ＝1,α＝0.5,β＝0.5；根据算法二，可以根据如下计算局部特征结构配置问题的鲁棒最小范数优化解：

那么加速度-速度-位移反馈控制器增益为：

表1对不同类型解方案的结果进行了比较，并列出了三种最佳目标函数的准确数字。当θ＝0,α＝0,β＝1时，通过算法二得到的是倾向于主动反馈控制器的最小范数增益。当θ＝1,α＝1,β＝0，通过算法二得到的是倾向于主动反馈控制器增益的鲁棒解。当θ＝1,α＝0.5,β＝0.5时，算法二得到的是倾向于主动反馈控制器增益的平衡解。仿真结果表明，当主要考虑最小范数问题时，鲁棒性较差，当主要考虑鲁棒性问题时，反馈控制器的最小范数增益变大。

表1例1的数值结果

实例2考虑一个振动结构参数如下：

开环特征值是{λ_1,2＝±2.2361i，λ₃＝-5，λ₄＝-2.5}，系统欠稳定。为了使带有加速度-速度-位移的开环系统稳定，原点处的特征值{λ_1,2＝±2.2361i}将会被{μ_1,2＝-2±i}替换，并且剩下的特征值保持不变。为了实现这个目标，初始向量和初始值如下给出：

初始参数向量如下：

(1)令α＝0,α＝0,β＝1；根据算法二，可以根据如下计算局部特征结构配置问题的最小范数优化解：

那么加速度-速度-位移反馈控制器增益为：

(2)令θ＝1,α＝1,β＝0；可以根据如下计算局部特征结构配置问题的鲁棒优化解：

那么加速度-速度-位移反馈控制器增益为：

(3)令θ＝1,α＝0.5,β＝0.5；根据算法二，可以根据如下计算局部特征结构配置问题的鲁棒最小范数优化解：

那么加速度-速度-位移反馈控制器增益为

表2对不同类型解方案的结果进行了比较，并列出了三种最佳目标函数的准确数字。三种解决方案的比较过程与实例1中的表1类似。数值仿真结果说明了控制器的最小范数会引起较差的鲁棒解。在实际工程问题中，可以通过设定合适的权重因子来平衡最小范数和鲁棒性，从而在尽可能的减少控制能量损耗的情况下提高系统鲁棒性。

表2例2的数值结果

本发明研究了使用加速度-速度-位移主动反馈控制器解决奇异振动结构局部特征结构配置问题，使用奇异值分解方法将主动反馈控制器参数化；讨论了局部特征结构配置的鲁棒最小范数问题，并提出两个算法得到鲁棒最小范数问题的最优解。最后，通过数值实例验证了本发明方法的有效性。且当质量和刚度矩阵都为奇异时，得出的结果仍可应用于振动结构。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，其步骤如下：

步骤一：建立基于奇异振动结构的开环系统模型，并确定开环系统模型中留置的特征结构以及待移动的特征结构；

步骤二：设计加速度-速度-位移主动控制器，将加速度-速度-位移主动控制器添加至步骤一中的开环系统模型中得到闭环系统模型，并确定闭环系统模型中期望的特征结构；

步骤三：根据步骤一中的开环系统模型得到开环特征结构方程；根据步骤二中闭环系统模型得到闭环特征结构方程；

步骤四：利用奇异值分解法对闭环特征结构方程进行分解，并基于开环特征结构方程和闭环特征结构方程采用模态约束方法得到加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式；

步骤五：根据加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式构造基于闭环等式模型的优化函数，通过优化工具箱对优化函数进行优化求解，输出加速度-速度-位移主动控制器的参数值；

步骤六：构造基于闭环特征结构灵敏度及条件数的目标函数，通过优化工具箱对目标函数进行优化求解，输出加速度-速度-位移主动控制器的参数值；

步骤七：将步骤五的优化函数与步骤六的目标函数进行结合，得到复合函数，通过优化工具箱对复合函数进行优化得到加速度-速度-位移主动控制器的参数值，根据加速度-速度-位移主动控制器的参数值，使闭环特征结构方程在较小的能量损耗下，实现闭环系统模型镇定。

2.根据权利要求1所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述基于奇异振动结构的开环系统模型为：

其中，M∈R^n×n为质量矩阵，D∈R^n×n为阻尼矩阵，K∈R^n×n为刚度矩阵，C∈R^n×r表示控制矩阵且rank[C]＝n，

为加速度向量，

为速度向量，x(t)为位移向量，u(t)表示控制向量；且质量矩阵M和刚度矩阵K可以均是奇异矩阵，控制矩阵C是列满秩矩阵；

所述开环特征结构方程为：

其中，特征结构包括特征值矩阵和与特征值矩阵关联的右特征向量，待移动的特征值矩阵为Λ₁＝diag(λ₁，…，λ_p)，λ_i表示第i个特征值，i＝1,…,p；与待移动的特征值矩阵关联的右特征向量为

留置的特征值矩阵为Λ₂＝diag(λ_p+1，…，λ_2n)，λ_j表示第j个特征值，j＝p+1,…,2n；与留置的特征值矩阵关联的右特征向量为

3.根据权利要求2所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述加速度-速度-位移主动参数控制器为：

其中，

为加速度增益矩阵，

为速度增益矩阵，

为位移增益矩阵。

4.根据权利要求3所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述闭环系统模型为：

所述闭环特征结构方程为：

其中，期望的闭环特征值矩阵为Λ_c＝diag(μ₁,…,μ_p)，μ_i表示第i个特征值，i＝1,…,p；与期望的闭环特征值矩阵关联的右特征向量为V_c＝(v₁,…,v_p)，v_i表示第i个闭环特征值对应的特征向量。

5.根据权利要求4所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述利用奇异值分解方法对闭环特征结构方程进行分解的方法为：

将闭环特征结构方程(7)等价表示为：

其中，x_i＝μ_i ²F_av_i+μ_iF_vv_i+F_dv_i，

对式(8)使用奇异值分解，得到：

其中，

是奇异值矩阵，

和

均是正交矩阵，H表示共轭转置，

表示复数域；

令

得到：

由于矩阵

的列秩与矩阵

的核空间的维数相等，因此，矩阵

的列向量是核空间的一个正交基集合；则

其中，

是一个参数向量。

6.根据权利要求4或5所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述加速度-速度-位移主动控制器的参数表达式的获得方法为：

将x_i＝μ_i ²F_av_i+μ_iF_vv_i+F_dv_i转化为：

结合式(5)和(6)将闭环特征结构方程等价表示为：

将式(13)转化为：

构建模态约束：

其中，

和

均是给定的非零向量，ρ_s,t是一个标量，且ρ_s,t≠0，s＝2n+1,…,3n，t＝2,…,r，

结合式(13)～(15)，可以得到：

其中，X₁＝(x₁,…,x_p)，X₂＝(0_p+1,…,0_2n)，X₃＝(z_2n+1,…,z_3n)，

z_2n+1,…,z_3n均为给定的初始参数矩阵，

表示模态约束矩阵；

因此，

也即

(F_d,F_v,F_a)＝(X₁,X₂,X₃)(Y₁,Y₂,Y₃)^-1 (17)。

7.根据权利要求6所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述基于闭环特征结构方程的优化函数为：

J_s＝||F_a||₂+||F_v||₂+||F_d||₂ (18)；

其中，J_s表示优化函数性能指标。

8.根据权利要求7所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述基于闭环特征结构方程的期望的特征结构灵敏度及条件数的目标函数为：

J_robust＝J₁+J₂ (23)；

其中，J_robust为目标函数性能指标，

表示条件数测量闭环系统鲁棒性公式，

为条件数，k＝1,2,…,2n，当k＝i＝1,...,p时，

当k＝j＝p+1,...,2n时，

J₂＝||(Y₁,Y₂,Y₃)||₂||(Y₁,Y₂,Y₃)^-1||₂表示闭环系统特征值鲁棒性公式。

9.根据权利要求8所述的基于模态约束的奇异振动结构鲁棒镇定方法，其特征在于，所述复合函数为：

J＝θJ₁+αJ₂+βJ_s (24)；

其中，J为性能指标，α、β、θ均是权重因子。

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