CN104730922A - 基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法 - Google Patents

Abstract

一种基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法，包括：建立伺服系统模型，初始化系统状态以及控制器参数；合并系统摩擦和外部干扰，作为系统的扩张状态，补偿到系统中。设计扩张状态观测器，用于估计系统状态以及包括系统摩擦和外部扰动的不确定项，采用极点配置法确定观测器增益参数；根据线性反馈控制的思想，设计线性反馈控制器，保证系统跟踪误差快速稳定并收敛至零点，最终实现伺服系统的快速稳定控制。本发明解决系统摩擦及外部扰动状态不可测、参数整定难度大的问题，使系统中的摩擦及外部扰动等状态得到补偿，并实现了观测误差快速稳定地趋向于零点。

Description

基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法

技术领域

本发明设计一种基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法，适用于对一些带有系统摩擦或者外部干扰等不确定状态的伺服系统的控制。

背景技术

伺服系统(Servo System)是以电动机作为动力驱动元件的伺服系统，广泛应用于飞行控制、火力控制等各种领域。但是，系统中的摩擦会影响伺服系统的控制精度，甚至严重降低机电伺服系统的性能，并且摩擦力的表现形式较为复杂，不易建模。因此，如何有效地控制和消除摩擦的不利影响，已成为机电控制中亟待解决的关键问题之一。

扩张状态观测器(The Extended State Observer)是一种新型的非线性状态观测器，通过把系统中的内外扰动扩张成新的一阶状态，再利用特定的非线性误差反馈，然后选择适当的观测器参数，便可以得到系统所有状态的观测器，其中也包括系统模型的不确定性和未知扰动的观测值。因此，它不仅可以使控制对象的状态量重现，而且可以估计出控制对象模型的不确定因素和干扰的实时值这一“扩张状态”。这非常适合于系统摩擦及扰动难以估计的伺服系统。但目前为止，还没有一种有效的方法来确定扩张状态观测器的参数。

极点配置法(Pole Assignment)是通过比例环节的反馈把线性定常系统的极点移到预定位置的一种综合原理，其实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计的要求。由于扩张状态观测器的观测误差是可观测，可估计的，可把观测误差看成一个线性系统，那么可以通过极点配置法来使补偿矩阵的特征根全部落在复平面的左半平面，从而使整个系统渐近稳定。

发明内容

为了克服现有技术的系统部分状态及扰动不可测、扩张状态观测器参数整定困难的不足，消除系统摩擦和外部扰动的影响，本发明提出一种基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法，解决系统摩擦及外部扰 动状态不可测、参数整定难度大的问题，采用扩张状态观测器(Extended State Observer,ESO)估计系统摩擦及外部扰动等不可测状态，并基于估计状态设计线性反馈控制器。同时，采用极点配置法确定扩张状态观测器的参数，使系统中的摩擦及外部扰动等状态得到补偿，并实现了观测误差快速稳定地趋向于零点。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法，包括如下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服系统模型，初始化系统状态以及控制参数；

其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；u是控制量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；

步骤2，合并系统中存在的摩擦以及外部干扰，作为系统的扩张状态；

2.1，令x₁＝θ_m，则式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{K_t}{J}u-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{T}{J}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁，x₂为系统状态，u为控制量，则式(2)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $a\left(x\right)=-\frac{D}{J}{x}_2\frac{T}{J},b=\frac{K_t}{J};$

2.2，令b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张状态观测器的设计思想，定义扩展状态x₃＝d，则式(3)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{d};$

步骤3，设计基于非线性扩张状态观测器的反馈控制器，过程如下：

3.1令z_i，i＝1,2,3，分别为式(4)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝x_i-z_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2+{\mathrm{\β}}_{1}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3+{\mathrm{\β}}_{2}g\left(e_{o1}\right)+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3={\mathrm{\β}}_{3}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，β₁，β₂，β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

$g\left(e_{o1}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\α}}_j}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right),& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\δ}\\ \frac{e_{o1}}{{\mathrm{\δ}}^{1-{\mathrm{\α}}_j}},& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\δ}\end{array}\right.j=\mathrm{1,2,3}...,n+1;$ 其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；

3.2根据线性反馈的设计思想，将控制器u设计为以下形式：

$u=\frac{1}{b_0}[-a_0+{{\stackrel{\·}{z}}_2}^{*}+k_1({z_1}^{*}-z_1)+k_2({z_2}^{*}-z_2)-z_3]---\left(6\right)$

其中，k_i为控制器增益，i＝1,2，z₃为系统摩擦及外部干扰的估计值；

步骤4，根据极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-a(x)，则式(5)减去式(3)得

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1=\mathrm{\δ}{x}_2+{\mathrm{\β}}_{1}g\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_2=\mathrm{\δ}{x}_3+{\mathrm{\β}}_{2}g\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_3={\mathrm{\β}}_3{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)-a^{\′}\left(x\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，a′(x)为a(x)的导数；

设a′(x)有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式 (7)写为

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1=\mathrm{\δ}{x}_2+{\mathrm{\β}}_1{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_2=\mathrm{\δ}{x}_3+{\mathrm{\β}}_2{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_3={\mathrm{\β}}_3{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\mathrm{\δ}{x}_1-a^{\′}\left(x\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

令则式(8)写为以下状态空间方程形式

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_2\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{l}_1& 1& 0\\ l_2& 0& 1\\ l_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{x}_2\\ \mathrm{\δ}{x}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right]a^{\′}\left(x\right)---\left(9\right)$

设计补偿矩阵 

$A=\left[\begin{array}{ccc}{l}_1& 1& 0\\ l_2& 0& 1\\ l_3& 0& 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right],\mathrm{\δX}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{x}_2\\ \mathrm{\δ}{x}_3\end{array}\right],$

则式(9)写为

$\mathrm{\δ}\stackrel{\·}{X}=\mathrm{A\δX}+E{a}^{\′}\left(x\right)---\left(10\right)$

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(9)在扰动a′(x)的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(9)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

$|\mathrm{sI}-A|=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Π}}}(s-p_i)---\left(11\right)$

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2+\frac{l_1}{g^{\′}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3+\frac{l_2}{g^{\′}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)+a_0\left(x\right)+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=\frac{l_3}{g^{\′}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(12\right).$

本发明结合扩张状态观测器和线性反馈控制方法，设计了基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制器，并通过极点配置法确定观测器增益参数，从而实现了伺服系统的摩擦及外部干扰等不确定状态的补偿和精确位置跟踪控制。

本发明的技术构思为：伺服系统中由于存在摩擦力会导致控制精度不高。针对部分状态不可测(如摩擦)、存在外部扰动的伺服系统，结合扩张状态观测器和线性反馈控制方法，设计了一种基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制，尽可能地消除系统摩擦及外部干扰对系统控制的影响。通过建立新的扩张状态补偿系统摩擦及外部干扰，设计扩张状态观测器，并采用极点配置法确定扩张状态观测器的参数，实现伺服系统的快速稳定控制。

附图说明：

图1为本发明的系统观测误差曲线的示意图；

图2为本发明的系统跟踪误差曲线的示意图；

图3为本发明的系统响应曲线的示意图；

图4为本发明的系统控制信号输出曲线的示意图；

图5为本发明的系统摩擦及外部扰动的估计值曲线的示意图；

图6为本发明的算法的基本流程图。

具体实施方式：

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图6，一种基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法，包括如下步骤

步骤1，建立如式(1)所示的伺服系统模型，初始化系统状态以及控制参数；

其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；u是控制量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；

步骤2，合并系统中存在的摩擦以及外部干扰，作为系统的扩张状态；

2.1，令x₁＝θ_m，则式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=\frac{K_t}{J}u-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{T}{J}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁，x₂为系统状态，u为控制量，则式(2)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中， $a\left(x\right)=-\frac{D}{J}{x}_2\frac{T}{J},b=\frac{K_t}{J};$

2.2，令b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张状态观测器的设计思想，定义扩展状态x₃＝d，则式(3)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{d};$

步骤3，设计基于非线性扩张状态观测器的反馈控制器，过程如下：

3.1令z_i，i＝1,2,3，分别为式(4)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝x_i-z_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2+{\mathrm{\β}}_{1}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3+{\mathrm{\β}}_{2}g\left(e_{o1}\right)+a_0+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3={\mathrm{\β}}_{3}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，β₁，β₂，β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

$g\left(e_{o1}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\α}}_j}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right),& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\δ}\\ \frac{e_{o1}}{{\mathrm{\δ}}^{1-{\mathrm{\α}}_j}},& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\δ}\end{array}\right.j=\mathrm{1,2,3}...,n+1;$ 其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；

3.2根据线性反馈的设计思想，将控制器u设计为以下形式：

$u=\frac{1}{b_0}[-a_0+{{\stackrel{\·}{z}}_2}^{*}+k_1({z_1}^{*}-z_1)+k_2({z_2}^{*}-z_2)-z_3]---\left(6\right)$

其中，k_i为控制器增益，i＝1,2，z₃为系统摩擦及外部干扰的估计值；

步骤4，根据极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-a(x)，则式(5)减去式(3)得

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1=\mathrm{\δ}{x}_2+{\mathrm{\β}}_{1}g\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_2=\mathrm{\δ}{x}_3+{\mathrm{\β}}_{2}g\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_3={\mathrm{\β}}_3{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)-a^{\′}\left(x\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，a′(x)为a(x)的导数；

设a′(x)有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(7)写为

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1=\mathrm{\δ}{x}_2+{\mathrm{\β}}_1{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_2=\mathrm{\δ}{x}_3+{\mathrm{\β}}_2{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_3={\mathrm{\β}}_3{g}^{\′}\left(\mathrm{\δ}{x}_1\right)\mathrm{\δ}{x}_1-a^{\′}\left(x\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

令则式(8)写为以下状态空间方程形式

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_2\\ \mathrm{\δ}{\stackrel{\·}{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{l}_1& 1& 0\\ l_2& 0& 1\\ l_3& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{x}_2\\ \mathrm{\δ}{x}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right]a^{\′}\left(x\right)---\left(9\right)$

设计补偿矩阵 

$A=\left[\begin{array}{ccc}{l}_1& 1& 0\\ l_2& 0& 1\\ l_3& 0& 0\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right],\mathrm{\δX}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{x}_1\\ \mathrm{\δ}{x}_2\\ \mathrm{\δ}{x}_3\end{array}\right],$

则式(9)写为

$\mathrm{\δ}\stackrel{\·}{X}=\mathrm{A\δX}+E{a}^{\′}\left(x\right)---\left(10\right)$

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(9)在扰动a′(x)的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(9)的 极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

$|\mathrm{sI}-A|=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Π}}}(s-p_i)---\left(11\right)$

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2+\frac{l_1}{g^{\′}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3+\frac{l_2}{g^{\′}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)+a_0\left(x\right)+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=\frac{l_3}{g^{\′}\left(e_{o1}\right)}g\left(e_{o1}\right)\end{array}\right.---\left(12\right).$

为验证所提方法的有效性，本发明对由式(12)表示的扩张状态控制器的控制效果进行仿真实验，设置仿真实验中的初始条件与部分参数，即：系统方程中J＝0.5，K_t＝1，D＝0.3。式(6)中，控制器参数k₁＝3500，k₂＝40。此外，由极点配置法计算得到扩张状态观测器中的各增益参数分别取β₁＝15，β₂＝75，β₃＝125。系统各状态初始值设为0，扩张状态观测器初始值设为0，控制器u初始值设为0，扩张状态d初始值设为0。

从图2和图3可以看出，本发明设计的基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制可以实现实际系统输出对期望轨迹z₁ ^*＝sinx的快速有效跟踪，系统跟踪误差趋近于零，跟踪误差在2s后便趋于稳定范围[-0.01,0.01]，说明该方法能有效提高跟踪精度，降低跟踪误差。从图1可以看出，系统观测误差在2s后便趋于稳定范围[-0.05,0.05]，说明扩张状态观测器可以有效观测系统各状态值的变化。从图4可以看出去，系统控制信号只是一开始幅值稍大，但很快趋于稳定，收敛于9和12之间，有利于系统控制。从图5可以看出，该方法对系统摩擦及外部干扰的估计值比较精确。整体来看，基于扩张状态观测器的伺服系统反馈控制可以保证系统的跟踪误差稳定并收敛至平衡点。

以上阐述的是本发明给出的一个实例所表现出的优良优化效果，最终效果表 明本发明提出的控制方案对存在摩擦和外部干扰的伺服系统是有效的，在本发明中提出的控制器的作用下，实际输出可以很快跟踪上期望误差。显然本发明不只是限于上述实例，在本发明的基础上对其他不同的系统也可以进行精确地控制。

Claims (1)

1.一种基于扩张状态观测器的伺服系统线性反馈控制和极点配置确定参数方法，其特征在于：所述确定参数方法包括如下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服系统模型，初始化系统状态以及控制参数；

其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；u是控制量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；

步骤2，合并系统中存在的摩擦以及外部干扰，作为系统的扩张状态；

2.1，令x₁＝θ_m，则式(1)改写为

其中，x₁，x₂为系统状态，u为控制量，则式(2)改写为：

其中， 

2.2，令b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张状态观测器的设计思想，定义扩展状态x₃＝d，则式(3)改写为以下等效形式：

其中，

步骤3，设计基于非线性扩张状态观测器的反馈控制器，过程如下：

3.1令z_i，i＝1,2,3，分别为式(4)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝x_i-z_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

其中，β₁，β₂，β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

j＝1,2,3...,n+1；其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；

3.2根据线性反馈的设计思想，将控制器u设计为以下形式：

其中，k_i为控制器增益，i＝1,2，z₃为系统摩擦及外部干扰的估计值；

步骤4，根据极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-a(x)，则式(5)减去式(3)得

其中，a′(x)为a(x)的导数；

设a′(x)有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(7)写为

令i＝1,2,3，则式(8)写为以下状态空间方程形式

设计补偿矩阵

则式(9)写为

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(9)在扰动a′(x)的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(9)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i，i＝1,2,3，使参数l_i满足

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为