CN104065322A - 一种电机位置伺服系统的输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，包括以下步骤：建立电机位置伺服系统的数学模型；设计扩张状态观测器，对数学模型中系统的状态和干扰进行观测；设计二阶低通滤波器以建立电机位置伺服系统的误差系统，并根据该误差系统设计输出反馈控制器；运用李雅普诺夫稳定性理论对电机位置伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果。本发明针对外干扰等不确定性通过扩张状态观测器进行估计并在控制器设计中进行补偿，提高了实际电机位置伺服系统对外干扰的鲁棒性；极大地改善了由高增益反馈所引起的高频动态和测量噪声等问题，从而提高了系统的跟踪性能，更利于在实际工程中的应用。

Description

一种电机位置伺服系统的输出反馈控制方法

技术领域

本发明涉及机电伺服控制技术领域，特别是一种电机位置伺服系统的输出反馈控制方法。

背景技术

电机伺服系统具有响应快、维护方便、传动效率高以及能源获取方便等突出优点，广泛应用于各个重要领域，如机器人、机床、电动汽车等。随着现代控制工程领域的快速发展，对电机伺服系统跟踪性能的要求也越来越高，但是如何设计控制器来保证电机伺服系统的高性能仍旧是一个难题。这是由于电机伺服系统是一个典型的非线性系统，在设计控制器的过程中会面临许多建模不确定性(如未建模干扰、非线性摩擦等)，这些因素可能会使以系统名义模型设计的控制器不稳定或者降阶。

针对电机伺服系统的的非线性控制，已经取得了许多成果。如反馈线性化控制方法可以保证系统的高性能，但是其前提是所建立的数学模型非常准确，所有非线性动态都是已知的；为了解决建模不确定性的问题，自适应鲁棒控制方法被提出，该控制方法在存在建模不确定性的情况下可以使电机伺服系统的跟踪误差获得一致最终有界的结果，如要获得高跟踪性能则必须通过提高反馈增益以减小跟踪误差；同样，积分鲁棒控制方法(RISE)也可以有效地解决建模不确定性的问题，而且可以获得连续的控制输入和渐近跟踪的性能。但是该控制方法的反馈增益的取值跟建模不确定性的大小密切相关，一旦建模不确定性很大，将会获得高增益反馈控制器，这在工程实际中是不允许的；滑模控制方法也可以在建模不确定性存在的情况下使电机伺服系统获得渐近跟踪的性能，但是该方法所设计的不连续的控制器容易引起滑模面的颤振问题，从而恶化系统的跟踪性能。总结来说，现有的电机伺服系统控制方法的不足之处主要有以下几点：

一、忽略系统建模不确定性。电机伺服系统的建模不确定性包括非线性摩擦和未建模干扰等。摩擦是电机伺服系统阻尼的主要来源之一，摩擦的存在引起的粘滑运动、极限环振荡等不利因素对系统的性能有重要的影响。另外，实际的电机伺服系统都会受到外负载的干扰，若不加以考虑，会恶化系统跟踪性能；

二、高增益反馈。目前许多控制方法存在高增益反馈的问题，通过提高反馈增益来减小跟踪误差。然而由高增益反馈引起的高频动态以及测量噪声的问题将会影响系统跟踪性能；

三、现有电机伺服系统控制方法多为全状态反馈控制。全状态反馈控制需要获取电机伺服系统的位置及速度信号，然而在工程实际中，为节省成本或由于体积、质量、结构受限无法安装速度传感器，更重要的是速度信号的测量产生的测量噪声会对电机伺服系统性能产生不容忽视的影响。

发明内容

本发明的目的在于提供一种反馈增益小、跟踪性能高的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，且能够克服速度测量噪声对系统性能的影响。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服系统的数学模型；

步骤2，设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测；

步骤3，设计二阶低通滤波器以建立电机位置伺服系统的误差系统，并根据该误差系统设计输出反馈控制器；

步骤4，运用李雅普诺夫稳定性理论对电机位置伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)选用电机位置伺服系统作为研究对象，考虑了电机位置伺服系统的非线性摩擦特性及外干扰等建模不确定性，针对非线性摩擦进行了连续光滑的摩擦补偿，改善了电机位置伺服系统的低速伺服性能；(2)针对未建模干扰等不确定性通过扩张状态观测器进行估计并在控制器设计中进行补偿，提高了实际电机位置伺服系统对外干扰的鲁棒性；(3)本发明所设计的控制器中尽管含有不连续项，但是通过对绝大部分的干扰进行补偿，反馈增益可以取得很小，极大地改善了由高增益反馈所引起的高频动态和测量噪声等问题，提高了系统的跟踪性能；(4)采用基于扩张状态观测器的输出反馈控制方法，只需要获取电机位置伺服系统的位置信号即可进行伺服控制，克服了速度测量噪声对系统性能的影响，更利于在工程实际中的应用。

附图说明

图1是本发明电机位置伺服系统的原理图。

图2是电动执行机构归一化静态摩擦实验数据及连续化摩擦模型，其中(a)是总摩擦辨识数据与拟合曲线；(b)是(a)中零速附近的放大图；(c)是利用光滑函数辨识获得的Stribeck效应。

图3是考虑输入时滞的电机位置伺服系统非线性控制原理示意及流程图。

图4是电机位置伺服系统期望跟踪的位置指令。

图5是本发明所设计的输出反馈控制器(OFRC)和传统PID控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线。

图6是电机位置伺服系统的控制输入随时间变化的曲线。

图7是对系统干扰的估计随时间变化的曲线。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～2本发明电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服系统的数学模型；

在以往的基于模型的电机伺服系统高性能控制策略设计中，大都采用二阶运动学模型或含一阶电气动态的三阶模型开展控制器设计。二阶模型通常认为系统控制输入u与电机输出力呈线性比例关系。三阶模型通常在二阶模型的基础上考虑原始电气动态过程，开展先进控制器设计。然而，基于三阶模型开展控制器设计需要自行开发电气驱动电路以能够对电气动态过程施加控制，这往往不符合工业应用情况。由于绝大多数工业应用场合都是通过采购成熟的电机及驱动器搭建电机伺服系统，而成熟的商业驱动器都至少固化有电流环控制器，以克服电气动态过程对控制性能的影响。因此，将由商业电机+商业驱动器组成的电机伺服系统建模为三阶模型是不恰当的。而二阶模型则认为驱动器内固化的电流环控制器动态过程足够快，使得电机的电气动态不显现于实际用户，用户只需建立系统的运动学方程即可，无需考虑电机与驱动器内部的工作机制。

(1.1)根据牛顿第二定律，电机位置伺服系统(如图1所示)的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-B\stackrel{\·}{y}-F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)-f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

式(1)中m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，是摩擦建模误差及外干扰的不确定性项，y为惯性负载的位移，u为系统的控制输入，t为时间变量；

F_f为非线性摩擦模型，采用连续摩擦模型如下：

$F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)=l_1\tanh \left(l_2\stackrel{\·}{y}\right)+l_3[\tanh \left(l_4\stackrel{\·}{y}\right)-\tanh \left(l_5\stackrel{\·}{y}\right)]---\left(2\right)$

公式(2)中l₁、l₂、l₃、l₄、l₅均为由实验辨识获得的已知常数，这些参数为电机伺服系统摩擦特性的参数，通过实验对系统进行摩擦辨识，将获得的实验数据拟合成曲线就可以确定出这些参数的取值，对于实验数据和拟合曲线已在附图2中给出；tanh是双曲正切函数。此连续摩擦模型的主要特征如下：①此摩擦模型是连续可微并且关于原点对称的；②库伦摩擦特性可用表征；③静态摩擦系数可用l₁+l₃的值来近似；④可以表征Stribeck效应。

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

公式(3)中S_f(x₂)＝tanh(l₂x₂)，P_f(x₂)＝tanh(l₄x₂)-tanh(l₅x₂)，可认为是系统总的干扰，f(t,x₁,x₂)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

步骤2，设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测，具体步骤如下：

(2.1)首先将系统状态方程中的干扰项扩张为冗余状态x₃，即x₃＝d(x,t)，并定义则扩张后的状态方程为：

根据公式(4)中状态方程设计的扩张状态观测器为：

公式(5)中分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是观测器频宽。

(2.2)定义为估计的误差，由公式(4)、(5)得估计误差的动态：

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，得到缩比的估计误差的动态：

公式(7)中 $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],$ $B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],$ $B_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

对x₂满足Lipschitz条件，则：

其中，c为已知正数，取值为的最大值；矩阵A满足赫尔维茨准则，存在对称正定矩阵P使得A^TP+PA＝-2I成立，I为单位矩阵；

(2.3)由扩张状态观测器理论：假设h(t)有界且界已知，即|h(t)|≤λ，λ为已知正数，则状态及干扰的估计误差有界且存在常数σ_i>0以及有限时间T₁>0使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\≤{\mathrm{\σ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\ω}}_0}^k}\right),i=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1---\left(9\right)$

且可得到： $\left|{\tilde{x}}_2\right|\≤\frac{3\mathrm{\λ}}{{{\mathrm{\ω}}_0}^2}+\frac{4\mathrm{\λ}}{{{\mathrm{\ω}}_0}^5},\left|{\tilde{x}}_3\right|\≤\frac{3\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\ω}}_0}+\frac{4\mathrm{\λ}}{{{\mathrm{\ω}}_0}^4};$

其中k为正整数，因此通过增加观测器的频宽ω₀可以使估计误差在有限时间内趋于零，但是实际执行时趋于一个非零但很小的界。这个界的值与参数调节时ω₀的取值有关，ω₀取的越大，估计误差的界越小，至于ω₀到底取多大，只要能保证状态的估计误差足够小，从而保证系统的跟踪精度就可以，理论上可以取无穷大，这样状态估计误差就趋于零，但是实际执行时总是给一个具体的数值，因此状态估计误差是趋于一个非零但很小的界。

步骤3，设计二阶低通滤波器以建立电机位置伺服系统的误差系统，并根据该误差系统设计输出反馈控制器，步骤如下：

(3.1)设计二阶低通滤波器：

${\stackrel{\·}{e}}_f=-e_f+r_f,e_f\left(0\right)=0---\left(10\right)$

r_f＝p-(k₂+1)z₁ (11)

$\stackrel{\·}{p}=-r_f-(k_2+1)(z_1+r_f)+z_1-e_f---\left(12\right)$

其中z₁为系统的跟踪误差，是滤波器的输入信号：

z₁＝x_1d-x₁ (13)

式中，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且指令值二阶连续可微；x₁的含义同上；e_f和r_f是跟踪误差z₁经滤波器滤波后得到的信号；p是辅助变量且初值为p(0)＝(k₂+1)z₁(0)，其中z₁(0)为跟踪误差的初始值；k₁、k₂为正的可调增益，通过反复调节k₁、k₂使系统获得最佳的跟踪性能最终确定k₁、k₂的取值，同时增益k₁需满足后文给出的条件。

定义变量

$\mathrm{\η}={\stackrel{\·}{z}}_1+z_1+r_f---\left(14\right)$

因此可以得到跟踪误差z₁的动态：

${\stackrel{\·}{z}}_1=-z_1-r_f+\mathrm{\η}---\left(15\right)$

对公式(11)求导并运用公式(12)、(14)得：

${\stackrel{\·}{r}}_f=-r_f-(k_2+1)\mathrm{\η}+z_1-e_f---\left(16\right)$

对公式(14)求导，并运用公式(4)、(13)、(15)、(16)建立电机位置伺服系统的误差系统：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}={\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-\frac{k_i}{m}u+\frac{l_1}{m}{S}_f\left(x_2\right)+\frac{l_3}{m}{P}_f\left(x_2\right)+\frac{B}{m}{x}_2-x_3-2r_f-e_f-k_2\mathrm{\η}---\left(17\right)$

(3.2)根据所建立的电机位置伺服系统的误差系统设计输出反馈控制器，控制器设计的目标是使电机位置伺服系统的位置输出x₁尽可能地跟踪期望跟踪的位置指令x_1d，设计的输出反馈控制器如下：

$u=\frac{m}{k_i}[\frac{l_1}{m}{S}_f\left({\hat{x}}_2\right)+\frac{l_3}{m}{P}_f\left({\hat{x}}_2\right)+\frac{B}{m}{\hat{x}}_2-{\hat{x}}_3-2r_f-e_f+k_1\mathrm{sgn}(z_1+e_f)-(k_2+1)r_f+z_1]---\left(18\right)$

将公式(18)代入公式(17)得：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=-k_2\mathrm{\η}-k_1\mathrm{sgn}(z_1+e_f)+(k_2+1)r_f-z_1+\frac{B}{m}{\tilde{x}}_2-{\tilde{x}}_3+N_1+N_2---\left(19\right)$

公式(18)中 $N_1=\frac{l_1}{m}{S}_f\left(x_2\right)-\frac{l_1}{m}{S}_f\left({\hat{x}}_2\right),N_2=\frac{l_3}{m}{P}_f\left(x_2\right)-\frac{l_3}{m}{P}_f\left({\hat{x}}_2\right)$

定义

$N=\frac{B}{m}{\tilde{x}}_2-{\tilde{x}}_3+N_1+N_2---\left(20\right)$

由于S_f(x₂)和P_f(x₂)都对x₂满足Lipschitz条件，故 s₁,s₂均为已知正数，取值分别为和根据公式(6)、(7)、(8)、(9)可知及的界存在且已知，又由上所述可知N₁、N₂、及有界且界已知，根据公式(20)可知N及N的导数均有界，即：

$\left|N\right|\≤{\mathrm{\ξ}}_1,\left|\stackrel{\·}{N}\right|\≤{\mathrm{\ξ}}_2---\left(21\right)$

公式(21)中ξ₁,ξ₂为已知正数，其值通过以上各部分的已知界来确定。由N和的组成可以看出构成N和的每一部分都是有界且界是已知的，因此ξ₁,ξ₂的值分别为N和每一部分上界之和。

步骤4，运用李雅普诺夫稳定性理论对电机位置伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，具体如下：

定义辅助函数：

L(t)＝η(N-k₁sgn(z₁+e_f)) (22)

如果控制增益k₁的选取满足条件：

$k_1>\underset{t}{\sup }({\mathrm{\ξ}}_1+{\mathrm{\ξ}}_2)---\left(23\right)$

则

${\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\≤{\mathrm{\ζ}}_b---\left(24\right)$

ζ_b＝k₁|μ(0)|-μ(0)N(0) (25)

μ(0)、N(0)分别表示μ(t)和N(t)的初始值。

对该引理的证明：

公式(25)中μ(t)＝z₁+e_f，则由公式(14)可知：

$\mathrm{\η}=\mathrm{\μ}+\stackrel{\·}{\mathrm{\μ}}---\left(26\right)$

对公式(22)两边积分并运用公式(26)得：

${\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}={\∫}_0^t\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)(N\left(\mathrm{\τ}\right)-k_1\mathrm{sgn}\left(\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)\right))\mathrm{d\τ}+{\∫}_0^t\frac{\mathrm{d\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)}{\mathrm{d\τ}}N\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^t\frac{\mathrm{d\μ}\left(t\right)}{\mathrm{d\τ}}{k}_1\mathrm{sgn}\left(\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)\right)\mathrm{d\τ}---\left(27\right)$

对公式(27)中后两项进行分部积分可得：

$\begin{array}{c}{\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}={\∫}_0^t\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)(N\left(\mathrm{\τ}\right)-k_1\mathrm{sgn}\left(\mathrm{\μ}\left(t\right)\right))\mathrm{d\τ}+\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)N\left(\mathrm{\τ}\right){|}_0^t-{\∫}_0^t\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)\frac{\mathrm{dN}\left(\mathrm{\τ}\right)}{\mathrm{d\τ}}\mathrm{d\τ}-k_1{\left|\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)\right||}_0^t\\ ={\∫}_0^t\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)(N\left(\mathrm{\τ}\right)-\frac{\mathrm{dN}\left(\mathrm{\τ}\right)}{\mathrm{d\τ}}-k_1\mathrm{sgn}\left(\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)\right))\mathrm{d\τ}+\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)N\left(t\right)-\mathrm{\μ}\left(0\right)N\left(0\right)\\ -k_1\left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|+k_1\left|\mathrm{\μ}\left(0\right)\right|\end{array}---\left(28\right)$

故

${\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\≤{\∫}_0^t\left|\mathrm{\μ}\left(\mathrm{\τ}\right)\right|\left(\right|N\left(\mathrm{\τ}\right)|+|\frac{\mathrm{dN}\left(\mathrm{\τ}\right)}{\mathrm{d\τ}}|-k_1)\mathrm{d\τ}+\left|\mathrm{\μ}\left(t\right)\right|(N\left(t\right)-k_1)+k_1\left|\mathrm{\μ}\left(0\right)\right|-\mathrm{\μ}\left(0\right)N\left(0\right)---\left(29\right)$

从公式(29)可以看出，若k₁的选取满足公式(23)所示的条件时，有公式(24)、(25)成立，即引理得证。

定义辅助函数：

$P\left(t\right)={\mathrm{\ζ}}_b-{\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(30\right)$

根据上述引理证明当时，P(t)≥0，因此定义李雅普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{e_f}^2+\frac{1}{2}{r_f}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\η}}^2+P---\left(31\right)$

对公式(31)求导并将公式(15)、(16)、(19)、(20)、(30)代入可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=z_1(-z_1-r_f+\mathrm{\η})+e_f(-e_f+r_f)+r_f[-r_f-(k_2+1)\mathrm{\η}+z_1-e_f]\\ +\mathrm{\η}[-k_2\mathrm{\η}+N-k_1\mathrm{sgn}(z_1+e_f)+(k_2+1)r_f-z_1]-\mathrm{\η}[N-k_1\mathrm{sgn}(z_1+e_f)]\\ =-{z_1}^2-{e_f}^2-{r_f}^2-k_2{\mathrm{\η}}^2\≤0\end{array}---\left(32\right)$

根据公式(32)可知z₁、e_f、r_f、η有界，再根据公式(15)可知有界，由Barbalat引理可知： $\underset{t\→\∞}{\lim }{z}_1\left(t\right)=0$

因此有结论：针对电机位置伺服系统(3)设计的输出反馈控制器(18)可以使系统得到全局渐近稳定的结果，调节增益k₁,k₂以及观测器的频宽ω₀可以使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。电机位置伺服系统非线性控制原理及流程如图3所示。

实施例

电机位置伺服系统参数为惯性负载参数：m＝0.02kg；粘性摩擦系数B＝10N·m·s/°；力矩放大系数k_i＝6N/V；时变外干扰f(t)＝10sint；连续摩擦模型中的参数：l₁＝0.1；l₂＝0.06；l₃＝700；l₄＝15；l₅＝1.5。

系统期望跟踪的位置指令是如图4所示的正弦指令，指令的速度和加速度随时间变化的曲线也一并给出。

对比仿真结果：非线性输出反馈控制器(OFRC)参数选取:k₁＝0.3；k₂＝800；ω₀＝6000；PID控制器参数选取：k_P＝1699；k_I＝13097；k_D＝0。

其中PID控制器参数的选取步骤是：首先在忽略电机伺服系统非线性动态的情况下，通过Matlab中的PID参数自整定功能获得一组控制器参数，然后在将系统的非线性动态加上后对已获得的自整定参数进行微调使系统获得最佳的跟踪性能。k_D取为零的原因是在工程实际中可以避免产生速度测量噪声，影响系统的性能，故实际上获得的是PI控制器。

控制器作用效果：图5表示PID控制器和OFRC控制器作用下系统的跟踪误差随时间变化的曲线，从图中可以看出，PID控制器的最大跟踪误差为2.25×10^-4度，而OFRC控制器只有8×10^-5度。因此在电机位置伺服系统跟踪控制问题中，本发明所设计的输出反馈鲁棒控制器相比传统的PID控制器在跟踪性能上有很大的提高。

图6是本发明的控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入近似为低频连续的信号，有利于在工程中的实际执行。

图7是本发明所建立电机伺服系统数学模型中的时变外干扰f(t)的估计值随时间变化的曲线，从曲线可以看出所设计的观测器能够准确地将系统外干扰估计出来。

Claims (5)

1.一种电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服系统的数学模型；

步骤2，设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测；

步骤3，设计二阶低通滤波器以建立电机位置伺服系统的误差系统，并根据该误差系统设计输出反馈控制器；

步骤4，运用李雅普诺夫稳定性理论对电机位置伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果。

2.根据权利要求1所述的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，步骤1所述建立电机位置伺服系统的数学模型，具体如下：

(1.1)根据牛顿第二定律，电机位置伺服系统的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-B\stackrel{\·}{y}-F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)-f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

式(1)中m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，是摩擦建模误差及外干扰的不确定性项，y为惯性负载的位移，u为系统的控制输入，t为时间变量；

F_f为非线性摩擦模型，采用连续摩擦模型如下：

$F_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)=l_1\tanh \left(l_2\stackrel{\·}{y}\right)+l_3[\tanh \left(l_4\stackrel{\·}{y}\right)-\tanh \left(l_5\stackrel{\·}{y}\right)]---\left(2\right)$

公式(2)中，l₁、l₂、l₃、l₄、l₅均为由实验辨识获得的已知常数，tanh是双曲正切函数；

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

公式(3)中，S_f(x₂)＝tanh(l₂x₂)，P_f(x₂)＝tanh(l₄x₂)-tanh(l₅x₂)，是系统总的干扰，f(t,x₁,x₂)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

3.根据权利要求2所述的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，步骤2所述设计扩张状态观测器，对步骤1数学模型中系统的状态和干扰进行观测，具体步骤如下：

(2.1)首先将系统状态方程中的干扰项扩张为冗余状态x₃，即x₃＝d(x,t)，并定义则扩张后的状态方程为：

根据公式(4)中状态方程设计的扩张状态观测器为：

公式(5)中分别是状态x₁、x₂及冗余状态x₃的估计值，ω₀是观测器频宽；

(2.2)定义为估计的误差，由公式(4)、(5)得估计误差的动态：

定义ε＝[ε₁,ε₂,ε₃]^T，得到缩比的估计误差的动态：

公式(7)中 $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -3& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right],$ $B_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],$ $B_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

对x₂满足Lipschitz条件，则：

c为已知正数，取值为的最大值；矩阵A满足赫尔维茨准则，存在对称正定矩阵P使得A^TP+PA＝-2I成立，I为单位矩阵；

(2.3)由扩张状态观测器理论：假设h(t)有界且界已知，即|h(t)|≤λ，λ为已知正数，则状态及干扰的估计误差有界且存在常数σ_i>0以及有限时间T₁>0使得：

$\left|{\tilde{x}}_i\right|\≤{\mathrm{\σ}}_i,{\mathrm{\σ}}_i=o\left(\frac{1}{{{\mathrm{\ω}}_0}^k}\right),i=\mathrm{1,2,3},\∀t\≥T_1---\left(9\right)$

且可得到： $\left|{\tilde{x}}_2\right|\≤\frac{3\mathrm{\λ}}{{{\mathrm{\ω}}_0}^2}+\frac{4\mathrm{\λ}}{{{\mathrm{\ω}}_0}^5},\left|{\tilde{x}}_3\right|\≤\frac{3\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\ω}}_0}+\frac{4\mathrm{\λ}}{{{\mathrm{\ω}}_0}^4};$

其中k为正整数。

4.根据权利要求3所述的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，步骤3所述设计二阶低通滤波器以建立电机位置伺服系统的误差系统，并根据该误差系统设计输出反馈控制器，步骤如下：

(3.1)设计二阶低通滤波器：

${\stackrel{\·}{e}}_f=-e_f+r_f,e_f\left(0\right)=0---\left(10\right)$

r_f＝p-(k₂+1)z₁ (11)

$\stackrel{\·}{p}=-r_f-(k_2+1)(z_1+r_f)+z_1-e_f---\left(12\right)$

其中z₁为系统的跟踪误差，是滤波器的输入信号：

z₁＝x_1d-x₁ (13)

式中，x_1d是系统期望跟踪的位置指令且指令值二阶连续可微，e_f和r_f是跟踪误差z₁经滤波器滤波后得到的信号；p是辅助变量且初值为p(0)＝(k₂+1)z₁(0)，其中z₁(0)为跟踪误差的初始值；k₁、k₂为正的可调增益，通过反复调节k₁、k₂使系统获得最佳的跟踪性能最终确定k₁、k₂的取值；

定义变量η：

$\mathrm{\η}={\stackrel{\·}{z}}_1+z_1+r_f---\left(14\right)$

因此得到跟踪误差z₁的动态：

${\stackrel{\·}{z}}_1=-z_1-r_f+\mathrm{\η}---\left(15\right)$

对公式(11)求导并运用公式(12)、(14)可得：

${\stackrel{\·}{r}}_f=-r_f-(k_2+1)\mathrm{\η}+z_1-e_f---\left(16\right)$

对公式(14)求导，并运用公式(4)、(13)、(15)、(16)建立电机位置伺服系统的误差系统：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}={\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-\frac{k_i}{m}u+\frac{l_1}{m}{S}_f\left(x_2\right)+\frac{l_3}{m}{P}_f\left(x_2\right)+\frac{B}{m}{x}_2-x_3-2r_f-e_f-k_2\mathrm{\η}---\left(17\right)$

(3.2)根据所建立的电机位置伺服系统的误差系统设计输出反馈控制器，如下：

$u=\frac{m}{k_i}[\frac{l_1}{m}{S}_f\left({\hat{x}}_2\right)+\frac{l_3}{m}{P}_f\left({\hat{x}}_2\right)+\frac{B}{m}{\hat{x}}_2-{\hat{x}}_3-2r_f-e_f+k_1\mathrm{sgn}(z_1+e_f)-(k_2+1)r_f+z_1]---\left(18\right)$

将公式(18)代入公式(17)得：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=-k_2\mathrm{\η}-k_1\mathrm{sgn}(z_1+e_f)+(k_2+1)r_f-z_1+\frac{B}{m}{\tilde{x}}_2-{\tilde{x}}_3+N_1+N_2---\left(19\right)$

令公式(18)中 $N_1=\frac{l_1}{m}{S}_f\left(x_2\right)-\frac{l_1}{m}{S}_f\left({\hat{x}}_2\right),N_2=\frac{l_3}{m}{P}_f\left(x_2\right)-\frac{l_3}{m}{P}_f\left({\hat{x}}_2\right)$

定义：

$N=\frac{B}{m}{\tilde{x}}_2-{\tilde{x}}_3+N_1+N_2---\left(20\right)$

由于S_f(x₂)和P_f(x₂)都对x₂满足Lipschitz条件，故 s₁,s₂均为已知正数，取值分别为和根据公式(6)、(7)、(8)、(9)可知及的界存在且已知，又由上所述可知N₁、N₂、及有界且界已知，根据公式(20)可知N及N的导数均有界，即：

$\left|N\right|\≤{\mathrm{\ξ}}_1,\left|\stackrel{\·}{N}\right|\≤{\mathrm{\ξ}}_2---\left(21\right)$

公式(21)中ξ₁,ξ₂为已知正数。

5.根据权利要求4所述的电机位置伺服系统的输出反馈控制方法，其特征在于，步骤4所述运用李雅普诺夫稳定性理论对电机位置伺服系统进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，具体如下：

定义辅助函数：

L(t)＝η(N-k₁sgn(z₁+e_f)) (22)

$P\left(t\right)={\mathrm{\ζ}}_b-{\∫}_0^{t}L\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(23\right)$

其中：

ζ_b＝k₁|μ(0)|-μ(0)N(0) (24)

μ(t)＝z₁+e_f，μ(0)、N(0)分别表示μ(t)和N(t)的初始值；

经证明当时，P(t)≥0，因此定义李雅普诺夫函数如下：

$V=\frac{1}{2}{z_1}^2+\frac{1}{2}{e_f}^2+\frac{1}{2}{r_f}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{\η}}^2+P---\left(25\right)$

运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性证明，并运用Barbalat引理得到系统的全局渐近稳定的结果，因此调节增益k₁,k₂以及观测器的频宽ω₀使系统的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。