CN105116725B - 基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法，包括：建立伺服系统模型，初始化系统状态以及控制器参数；对饱和环节进行近似补偿；设计非线性扩张状态观测器；运用极点配置法确定观测器参数；设计自适应滑模控制器。设计扩张状态观测器，用于估计系统状态以及包括系统摩擦和外部扰动的不确定项，采用极点配置法确定观测器增益参数；设计自适应滑模控制器，保证系统跟踪误差快速稳定并收敛至零点，最终实现伺服系统的快速稳定控制。本发明解决系统摩擦等外部扰动状态不可测的问题，补偿了系统存在的非线性饱和环节的影响，改善了普通滑模方法存在的抖振问题，增强了系统的鲁棒性，并实现了系统快速稳定地跟踪期望信号。

Description

基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法

技术领域

本发明设计一种基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法，适用于对一些带有非线性饱和环节且摩擦等外部干扰因素不确定的伺服系统的控制。

背景技术

伺服系统(Servo System)是以电动机作为动力驱动元件的伺服系统，广泛应用于飞行控制、火力控制等各种领域。但是，绝大多数伺服系统中存在摩擦、死区等非线性环节，再加上饱和限幅的限制，不仅会影响系统的跟踪精度和动态特性，严重时甚至会导致系统的不稳定，从而影响系统的正常工作。其中，若系统执行器的调节幅度有限，而控制信号的幅值过大时，则会产生非线性饱和特性，饱和特性也是伺服系统普遍存在的非线性环节，它可能会影响系统的暂态性能，导致控制系统不能具有期望的特性。因此，如何有效地近似补偿非线性饱和环节，控制非线性环节对系统的不利影响，已成为伺服系统控制中亟待解决的关键问题之一。

扩张状态观测器(The Extended State Observer)是一种新型的非线性状态观测器，通过把系统中的内外扰动扩张成新的一阶状态，再利用特定的非线性误差反馈，然后选择适当的观测器参数，便可以得到系统所有状态的观测器，其中也包括系统模型的不确定性和未知扰动的观测值。因此，它不仅可以使控制对象的状态量重现，而且可以估计出控制对象模型的不确定因素和干扰的实时值这一“扩张状态”。这非常适合于系统摩擦及扰动难以估计的伺服系统。但目前为止，还没有一种有效的方法来确定扩张状态观测器的参数。

极点配置法(Pole Assignment)是通过比例环节的反馈把线性定常系统的极点移到预定位置的一种综合原理，其实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计的要求。由于扩张状态观测器的观测误差是可观测，可估计的，可把观测误差看成一个线性系统，那么可以通过极点配置法来使补偿矩阵的特征根全部落在复平面的左半平面，从而使整个系统渐近稳定。

滑模变结构控制方法具有完全自适应性和鲁棒性，一旦进入滑模状态，系统状态的转移就不再受系统参数的变化和外来扰动的影响，但是一般的滑模控制，在系统状态到达滑模面时，会在平衡点两侧来回穿越趋近平衡点，从而产生抖振问题。因此，很多改进的滑模被提出。其中，基于自适应律的自适应滑模方法能减弱固定增益设置不当时所带来的控制器抖振问题，提高系统的稳定性和鲁棒性，同时又可以使系统具有较好的跟踪效果。

发明内容

为了克服现有技术的系统部分状态及扰动不可测、普通滑模控制方法容易产生抖振问题的不足，近似补偿系统饱和环节和摩擦等外部扰动的影响，本发明提出一种基于扩张状态观测器的具有未知输入饱和限幅的伺服系统自适应滑模控制方法，减弱系统饱和环节的影响，解决普通滑模存在的抖振问题。采用扩张状态观测器(Extended StateObserver,ESO)估计系统摩擦及外部扰动等不可测状态，并通过双曲正切函数近似补偿饱和环节，同时，采用自适应滑模控制方法得出控制量，实现了系统快速稳定地跟踪期望信号。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服系统模型，初始化系统状态以及控制参数；

步骤2，对饱和限幅环节进行近似处理；

2.1，利用双曲正切函数可把sat(u)近似为

则，v(u)＝sat(u)等价为

v(u)＝sat(u)＝g(u)+d_1(u) (3)

其中，d_1(u)＝sat(u)-g(u)，且d_1(u)满足

|d_1(u)|≤D (4)

其中，|d_1(u)|＝|sat(u)-g(u)|，D是d_1(u)的最大值，D＝v_max(1-tanh(1))；

2.2，根据拉格朗日中值定理，存在一个常数ξ，0＜ξ＜1，使得

其中，u_ξ＝ξu+(1-ξ)u₀,u₀∈[0,u]，令u₀＝0，则式(5)改写为

则式(3)改写为

则系统方程(1)改写为

步骤3，设计非线性扩张状态观测器；

3.1，令x₁＝θ_m，则式(8)改写为

其中，x₁，x₂为系统状态，u为控制器的输出量，则式(9)改写为

3.2，令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态x₃＝d，则式(10)改写为以下等效形式：

其中，

3.3，令z_i，i＝1,2,3，分别为式(11)中状态变量xi的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝x_i-z_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

其中，β₁,β₂,β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

步骤4，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-a(x)，则式(12)减去式(10)得

其中，a′(x)为a(x)的导数；

设a′(x)有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(13)写为

令则式(14)写为以下状态空间方程形式

设计补偿矩阵

则式(15)写为

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(9)在扰动a′(x)的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(9)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

步骤5，基于自适应滑模变结构方法设计自适应滑模控制器u；

5.1，设计滑模面如下：

s＝e_c2+λ₁e_c1 (19)

s的一阶导数为

其中，λ₁＞0为控制参数；

5.2，根据自适应滑模的思想设计自适应滑模控制器如下：

其中，k_m＞0。

本发明的技术构思为：伺服系统中由于存在摩擦力和外部干扰，再加上非线性饱和环节的影响，会导致控制精度不高。针对部分状态不可测(如摩擦)、存在外部扰动和饱和限幅的伺服系统，结合扩张状态观测器和自适应滑模控制方法，设计了一种基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法，尽可能地消除系统摩擦及饱和环节对系统控制的影响。通过建立新的扩张状态，设计扩张状态观测器估计系统摩擦等外部干扰及饱和环节，并采用极点配置法确定扩张状态观测器的参数，实现伺服系统的快速稳定控制。

在仿真实验中，采用对比控制的方法来凸显本发明方法的优越性。本发明分别采用以下三种方法进行对比，即：

方法一：基于扩张状态观测器的具有饱和环节的伺服系统普通滑模控制；

方法二：基于扩张状态观测器的具有饱和环节的伺服系统自适应滑模控制；

方法三：基于扩张状态观测器的具有饱和环节补偿的伺服系统自适应滑模控制。

本发明的有效效果为：本发明结合扩张状态观测器和自适应滑模控制方法，设计了基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制器，并通过双曲正切函数近似补偿非线性饱和环节，从而实现了伺服系统饱和环节和摩擦等外部干扰的补偿以及精确的位置跟踪控制。

附图说明：

图1(a)为当V_max＝12时上述三种方法的系统状态x₁响应曲线；

图1(b)为当V_max＝12时上述三种方法的系统状态x₂响应曲线；

图2(a)为当V_max＝12时上述三种方法的系统跟踪误差e_c1曲线；

图2(b)为当V_max＝12时上述三种方法的系统跟踪误差e_c2曲线；

图3(a)为当V_max＝12时上述三种方法的系统观测误差e_o1曲线；

图3(b)为当V_max＝12时上述三种方法的系统观测误差e_o2曲线；

图4为当V_max＝12时上述三种方法的系统控制信号输出曲线；

图5(a)为当V_max＝11时上述三种方法的系统状态x₁响应曲线；

图5(b)为当V_max＝11时上述三种方法的系统状态x₂响应曲线；

图6(a)为当V_max＝11时上述三种方法的系统跟踪误差e_c1曲线；

图6(b)为当V_max＝11时上述三种方法的系统跟踪误差e_c2曲线；

图7(a)为当V_max＝11时上述三种方法的系统观测误差e_o1曲线；

图7(b)为当V_max＝11时上述三种方法的系统观测误差e_o2曲线；

图8为当V_max＝11时上述三种方法的系统控制信号输出曲线；

图9为本发明的算法的基本流程。

具体实施方式：

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图9，一种基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法，包括如下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服系统模型，初始化系统状态以及控制参数；

步骤2，对饱和限幅环节进行近似处理；

2.1，利用双曲正切函数可把sat(u)近似为

则，v(u)＝sat(u)等价为

v(u)＝sat(u)＝g(u)+d_1(u) (3)

其中，d_1(u)＝sat(u)-g(u)，且d_1(u)满足

|d_1(u)|≤D (4)

其中，|d_1(u)|＝|sat(u)-g(u)|，D是d_1(u)的最大值，D＝v_max(1-tanh(1))；

2.2，根据拉格朗日中值定理，存在一个常数ξ，0＜ξ＜1，使得

其中，u_ξ＝ξu+(1-ξ)u₀,u₀∈[0,u]，令u₀＝0，则式(5)改写为

则式(3)改写为

则系统方程(1)改写为

步骤3，设计非线性扩张状态观测器；

3.1，令x₁＝θ_m，则式(8)改写为

其中，x₁，x₂为系统状态，u为控制器的输出量，则式(9)改写为

3.2，令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态x₃＝d，则式(10)改写为以下等效形式：

其中，

3.3，令z_i，i＝1,2,3，分别为式(11)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差e_ci＝z_i ^*-x_i，其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝x_i-z_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

其中，β₁,β₂,β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝1°；

步骤4，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-a(x)，则式(12)减去式(10)得

其中，a′(x)为a(x)的导数；

设a′(x)有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(13)写为

令则式(14)写为以下状态空间方程形式

设计补偿矩阵

则式(15)写为

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(9)在扰动a′(x)的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(9)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

步骤5，基于自适应滑模变结构方法设计自适应滑模控制器u；

5.1，设计滑模面如下：

s＝e_c2+λ₁e_c1 (19)

s的一阶导数为

其中，λ₁＞0为控制参数；

5.2，根据自适应滑模的思想设计自适应滑模控制器如下：

其中，k_m＞0。

为验证所提方法的有效性和优越性，本发明通过对比控制方法进行仿真实验，设置仿真实验中的初始条件与部分参数，即：系统方程中J＝0.5，K_t＝1，D＝0.3。控制器参数为k＝50；方法二和方法三中的自适应律参数k_m＝13。此外，由极点配置法计算得到四种方法的扩张状态观测器中的各增益参数相同，分别取l₁＝60，l₂＝1200，l₃＝8000。四种方法的系统各状态初始值都设为0，扩张状态观测器状态初始值设为0，控制器u初始值设为0，扩张状态d初始值设为0。

从图1(a)可以看出，三种方法在差不多1.5s后基本能跟踪期望信号，方法三稍微慢一些，从跟踪性能上来说体现了自适应滑模控制方法的优越性。而从图1(b)、图2(b)、图3(b)和图4中看出，方法一存在明显的抖振问题，尤其是系统的控制量，抖振范围较大，这无疑会对实际的控制效果产生影响，而方法二和方法三则是基本消除了抖振的影响，在控制效果上优势明显。

从图5-图8中看出，当V_max＝11时，相比V_max＝12，三种方法的控制效果都出现明显的下降，这是由于饱和限幅的作用比较大。但从图5(a)可以看出，方法一和方法二有发散的趋势，而方法三依然能稳定地跟踪期望信号，跟踪效果并没有下降很多，这体现了饱和近似补偿方法的优越性。

从整体来看，基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法可以消除系统抖振问题，保证系统的跟踪误差稳定并收敛至平衡点。

以上阐述了本发明相比其他方法的一个对比实例，从对比结果来看，本发明的方法能有效估计补偿系统存在的非线性饱和环节、摩擦等外部干扰，消除滑模控制存在的抖振问题，增强了系统的鲁棒性和抗干扰性，使系统能快速稳定地跟踪期望信号。显然本发明不只是限于上述实例，在本发明的基础上对其他不同的系统也可以进行精确地控制。

Claims (1)

1.一种基于扩张状态观测器的伺服系统自适应滑模控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的伺服系统模型，初始化系统状态以及控制参数；

其中，θ_m，为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的 等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；v(u)是具有饱和限幅的控制量，vmax为执行器所能输出的最大输出量，u为控制器的输 出量；T是折算到电机轴上的负载摩擦扭矩以及摩擦的扰动部分；

步骤2，对饱和限幅环节进行近似处理；

2.1，利用双曲正切函数可把sat(u)近似为

则，v(u)＝sat(u)等价为

v(u)＝sat(u)＝g(u)+d_1(u) (3)

其中，d_1(u)＝sat(u)-g(u)，且d_1(u)满足

|d_1(u)|≤D (4)

其中，|d_1(u)|＝|sat(u)-g(u)|，D是d_1(u)的最大值，D＝v_max(1-tanh(1))；

2.2，根据拉格朗日中值定理，存在一个常数ξ，0＜ξ＜1，使得

其中，u_ξ＝ξu+(1-ξ)u₀,u₀∈[0,u]，令u₀＝0，则式(5)改写为

则式(3)改写为

则系统方程(1)改写为

步骤3，设计非线性扩张状态观测器；

3.1，令x₁＝θ_m，则式(8)改写为

其中，x₁，x₂为系统状态，u为控制器的输出量，则式(9)改写为

其中，x＝[x₁，x₂]，

3.2，令a(x)＝a₀+Δa，b＝b₀+Δb，d＝Δa+Δbu，其中b₀和a₀分别为b和a(x)的最优估计值，根据系统结构给定；基于扩张观测器的设计思想，定义扩张状态x₃＝d，则式(10)改写为以下等效形式：

其中，

3.3，令z_i，i＝1,2,3，分别为式(11)中状态变量x_i的观测值，定义跟踪误差其中z_i ^*为期望信号，观测误差为e_oi＝x_i-z_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

其中，β₁,β₂,β₃为观测器增益参数，需用极点配置法确定，g(e_o1)为

j＝1,2,3...,n+1；其中，α_j＝[1,0.5,0.25]，δ＝ 1°；

步骤4，运用极点配置法确定观测器增益参数β₁，β₂，β₃的取值；

令δx₁＝e_o1＝z₁-x₁，δx₂＝z₂-x₂，δx₃＝z₃-a(x)，则式(12)减去式(10)得

其中，a′(x)为a(x)的导数；

设a′(x)有界，且g(e_o1)是光滑的，g(0)＝0，g′(e_o1)≠0，根据泰勒公式，式(13)写为

令则式(14)写为以下状态空间方程形式

设计补偿矩阵

则式(15)写为

至此，参数β_i的确定转化为l_i的确定，使式(9)在扰动a′(x)的作用下渐近稳定的必要条件是补偿矩阵A的特征值全部落在复平面的左半平面上，即式(9)的极点充分的负，由此，根据极点配置法，选定期望的极点p_i(i＝1,2,3)，使参数l_i满足

I为单位矩阵，令左右两边关于s的多项式的各项系数相等，则分别求出参数l₁，l₂，l₃的值，从而得到扩张状态观测器的表达式为

步骤5，基于自适应滑模变结构方法设计自适应滑模控制器u；

5.1，设计滑模面如下：

s＝e_c2+λ₁e_c1 (19)

s的一阶导数为

其中，λ₁＞0为控制参数；

5.2，根据自适应滑模的思想设计自适应滑模控制器如下：

其中，k＝k(t)为控制器参数，其自适应律为

其中，k_m＞0。