CN106094530B - 倒立摆的非线性控制器设计方法 - Google Patents
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Abstract
一种倒立摆的非线性控制器设计方法，属于非线性控制技术领域。本发明的目的是将分步控制器设计法应用于倒立摆控制的问题中，从而提高控制器整体性能的倒立摆的非线性控制器设计方法。本发明建立倒立摆系统的非线性模型、设计稳态控制器、设计参考动态前馈控制器，设计反馈控制器是针对倒立摆的闭环误差系统，采用李雅普诺夫方法设计了反馈控制器；最后得到整个系统控制器的控制律。本发明既解决了线性控制器在倒立摆这种非线性较强、模型较复杂的多变量系统中的局限性，又解决了云模型和神经网络等智能算法在应用过程中难以实现的问题。
Description
技术领域
本发明属于非线性控制技术领域。
背景技术
倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉、结构简单、物理参数和结构易于调整的优点。倒立摆系统本身具有高阶次、多变量、不稳定、非线性和强耦合性等特点，是一个绝对不稳定系统，必须采用有效的控制策略才能使之稳定。倒立摆系统是研究变结构控制、非线性控制、目标定位控制和智能控制等控制方法的理想实验平台。
倒立摆系统一般是由一个可以在水平轨道上自由移动的小车、倒立摆和铰链成。倒立摆的种类很多，目前研究的均为二维空间即平面内摆动的摆。倒立摆的工作原理大体相同，即采用一种控制方法，控制小车的速度，使摆杆倒置稳定于正上方，这个系统也叫自动平衡车。
随着对倒立摆系统控制方法研究的不断深入，越来越多的理论被成功运用于倒立摆系统的控制，如线性控制方法、非线性控制方法、基于能量的控制方法、基于的控制方法、基于增强式学习的控制方法、基于滑模理论的控制方法、基于遗传算法的控制方法、基于模糊逻辑的控制方法、基于神经网络理论以及模糊逻辑与神经网络相结合的控制方法等。
倒立摆本身是不稳定的，在控制过程中能有效地反映控制中的许多问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等。作为被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有设计一个控制器，使之稳定。
工程中的很多控制对象都具有与倒立摆系统类似的结构，如空间飞行器和各类伺服云台、海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制都属于这类问题。因此对倒立摆控制系统的研究具有重要的理论和实际意义。
目前对于倒立摆控制系统的研究主要集中在两个方面：一是研究控制器使倒立摆稳定并可以定位在特定位置；二是倒立摆的起摆控制。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，由于倒立摆是一个绝对不稳定的系统，需要设计控制器，以实现倒立摆的稳定控制和抑制干扰。目前典型的控制器有：PID控制，是通过机理分析，建立非线性模型，并在平衡点进行线性化，得到系统的状态方程和输出方程，进而设计PID反馈控制器进行稳定控制；状态反馈控制，是基于倒立摆系统的状态空间描述，采用状态反馈理论设计控制器；利用云模型实现对倒立摆的控制，是用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制，这种拟人的控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决非线性问题和不确定问题；
神经网络控制能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，学习和适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息按等势分布储存于网络内的神经元，有很强的鲁棒性和容错性，也可将学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆无模型学习控制；自适应控制，主要为倒立摆设计各种自适应控制器，如自适应模糊控制器、自适应PID控制器和自适应模糊PID控制器等。
用现代控制理论的方法实现倒立摆系统的稳定控制，必须将倒立摆系统的非线性模型进行线性化处理，再根据对系统控制所提出的性能指标进行分析与综合，得到控制器，但对于倒立摆这种非线性较强、模型较为复杂的多变量系统，线性系统设计方法具有局限性，而云模型和神经网络控制等方法需要大量的数据，实现过程复杂，不易于在线控制。
分步控制器设计法是一种基于模型的算法，主要应用在系统的跟踪控制问题，其设计思路源于在工程中经常采用的“前馈+PID反馈”的控制结构。分步控制器设计法由“稳态控制器+前馈控制器+误差反馈控制器”三部分组成，针对不同的控制目的，分三步推导完成。设计过程简单，所得控制律结构层次清晰，而且各个部分都包含有系统的状态信息或工况信息，通过每步的信息更新，可以实现控制器增益的自调节。控制器设计各步骤之间相互关联，各步顺序不能颠倒。
发明内容
本发明的目的是将分步控制器设计法应用于倒立摆控制的问题中，从而提高控制器整体性能的倒立摆的非线性控制器设计方法。
本发明建立倒立摆系统的非线性模型、设计稳态控制器、设计参考动态前馈控制器，设计反馈控制器是针对倒立摆的闭环误差系统，采用李雅普诺夫方法设计了反馈控制器；最后得到整个系统控制器的控制律；
a、建立单级倒立摆的数学模型：
根据牛顿欧拉方法建立倒立摆系统模型，令 为控制量，即被控对象受力，单级倒立摆系统运动方程为
(5)
其中系统参数定义如表1所示
表1 系统参数定义
将模型中摆角与位移的关系解耦，只考虑倒立摆摆角，令倒立摆控制系统状态向量，其中系统状态，系统状态，令倒立摆控制系统的输出为，令，，则倒立摆系统非线性模型如下
（6）
（7）
其中，，
，
；，，和是在定义域内充分光滑的非线性函数，并满足和；
设计目标是得到反馈控制律，使得输出能够渐进跟踪参考信号；
由公式（6）和公式（7），得到单级倒立摆的数学模型：
（8）
推导控制变量u
；
b、设计倒立摆系统的稳态控制器：
设系统是输出达到稳态，即令和，得到系统(8)的稳态控制律为
（9）
c、设计参考动态前馈控制器
在稳态控制的基础上，如果参考值是变化的，将控制律代入到式(8)，得
(10)
令和，则参考前馈为
(11) ；
d、设计误差反馈控制器
定义系统跟踪误差为，设待确定的反馈控制量是，那么闭环误差反馈控制律为
(12)
得到误差反馈控制律整理为
(22)
e、系统控制器的控制律
结合式(9)和(11)得
(23)
其中，
，，；进而可搭建出完整的倒立摆非线性控制器。
本发明既解决了线性控制器在倒立摆这种非线性较强、模型较复杂的多变量系统中的局限性，又解决了云模型和神经网络等智能算法在应用过程中难以实现的问题。不仅针对倒立摆系统的非线性、强耦合模型，解决了一大类单输入多输出含不确定性的非线性系统的控制问题，同时降低了控制器的复杂性，减少计算负荷，从而提高控制器的整体性能。与现有技术相比，具有以下有益效果：
1、本发明针对具有非线性、强耦合的倒立摆系统，设计了稳态控制、前馈控制和反馈控制相结合的非线性控制器。稳态控制器可使系统获得更快的控制响应；前馈控制器具有自适应性，增加了控制系统的响应快速性，同时降低了控制器的调节难度；反馈控制器提高了系统的鲁棒性。
2、本发明基于单级倒立摆非线性模型进行了非线性控制器设计，克服了线性控制方法在倒立摆这样非线性强、模型复杂的多变量系统的稳定控制中的局限性，系统输出的超调更小、稳定速度更快、稳态性能更好，同时克服了云模型和神经网络等智能算法在倒立摆稳定控制应用过程中难以实现的问题，控制器简单、易于实现、计算负荷小。
附图说明
图1是单级倒立摆的结构和受力分析图；
图2是分步法设计非线性控制器的控制框图；
图3是基于分步法设计的倒立摆非线性控制器的输出曲线。
具体实施方式
基于单级倒立摆系统的力学和运动学方程，建立了单级倒立摆系统的数学模型。采用分步法设计了前馈控制、稳态控制加反馈控制的倒立摆非线性控制方法，实现了单级倒立摆的高精度控制。
建立倒立摆系统的非线性模型；设计稳态控制器，将系统输出达到稳态时的控制律输入到系统中，获得了更快的控制响应；设计参考动态前馈控制器，当期望参考输入动态变化时，将系统产生的相应调节作用引入系统，得到与系统状态相关的前馈控制律增益；设计反馈控制器，针对倒立摆的闭环误差系统，采用李雅普诺夫方法设计了反馈控制器；最后得到整个系统控制器的控制律。
倒立摆系统是由小车和匀质杆组成的系统。忽略摩擦力和空气阻力，倒立摆系统中小车和摆杆的受力分析如图1所示。
其中，、、和为小车和摆杆相互作用力的垂直方向和水平方向分量。矢量方向为正方向。
由图1，小车水平方向受力为
(1)
其中，摆杆水平方向受力为
(2)
摆杆垂直方向所受合力为
(3)
由力矩平衡方程可得
(4)
a、建立单级倒立摆的数学模型：
倒立摆系统是由小车和匀质杆组成的系统。忽略摩擦力和空气阻力，分析倒立摆系统中小车和摆杆的受力情况，根据牛顿欧拉方法建立倒立摆系统模型，令 为控制量，即被控对象受力，单级倒立摆系统运动方程为
(5)
其中系统参数定义如表1所示
表1 系统参数定义
将模型中摆角与位移的关系解耦，只考虑倒立摆摆角，令倒立摆控制系统状态向量，其中系统状态，系统状态，令倒立摆控制系统的输出为，令，，则倒立摆系统非线性模型如下
（6）
（7）
其中，，
，
；，，和是在定义域内充分光滑的非线性函数，并满足和；
设计目标是得到反馈控制律，使得输出能够渐进跟踪参考信号；
由公式（6）和公式（7），得到单级倒立摆的数学模型：
（8）
不失一般性，为了推导控制变量u的过程书写简便，记
，
。
b、设计倒立摆系统的稳态控制器：下面结合图2说明
第一步为稳态控制，第二步为参考动态前馈控制，第三步为误差反馈控制，三个步骤都有清晰的设计目的，并且各步骤之间相互关联，各步骤顺序不能颠倒。各步骤的输出相加可得到该系统的控制律。
设系统是输出达到稳态，即令和，得到系统(8)的稳态控制律为
（9） 。
对比式(6)可以看出，稳态控制主要反映了系统状态的本质动力学。
c、参考动态前馈控制器
在稳态控制的基础上，如果参考值是变化的，将控制律代入到式(8)，得
(10)
令和，则参考前馈为
(11)；
可见，参考前馈的增益与系统的状态相关，表明系统参考值变化的影响不同。
d、设计误差反馈控制器
为了进一步提高倒立摆控制系统的控制性能，并提高对扰动和不确定性的鲁棒性能，定义系统跟踪误差为，设待确定的反馈控制量是，那么闭环误差反馈控制律为
(12)
闭环系统误差系统可以写成
（13）
定义，误差系统重新整理为
（14）
其中。
对于串级非线性误差系统(14)，将看成是子系统的虚拟控制输入，可采用多种不同设计方法使误差，系统渐进稳定。
实际工程中由于微分求导容易引起噪声放大而很少使用PD控制器，一般使用PID或是PI控制器。为了消除静差，引入积分作用对反馈控制部分进行修正。
对误差子系统，定义，其中参数，，对其求导得
(15)
选择虚拟控制输入为
(16)
其中。
将作为误差系统(14)的虚拟期望跟踪，为了使跟踪期望的，以保证渐进稳定，定义的虚拟跟踪误差为，即，则有
（17）
结合方程(14)和(16)，得到误差的导数为
（18）
定义第二个李雅普诺夫函数，并应用式(17)和式(18)，对求导得
（19）
选择控制律为
（20）
其中，此时
（21）
负定，可见误差系统渐进稳定。得到误差反馈控制律整理为
(22)。
e、最后得到整个系统控制器的控制律
结合式(9)和(11)得
(23)
其中，
，，；进而可搭建出完整的倒立摆非线性控制器。
由于引入误差的积分，反馈控制部分可以整理成PID的形式，并且PID三部分的增益都取决于状态变量。这种稳态、前馈、反馈分步设计相结合的控制律结构给工程调试提供了指导，同时也给倒立摆系统非线性控制算法的工程实现提供便利。由于它的控制器增益的自调整特点，也使得这种方法更实用于倒立摆的多工况动态参考系统。
验证例：
为了便于理解，下面以一个具体实例解释说明本发明：
1.建立单级倒立摆的数学模型
系统参数如表2所示。
表2 系统参数表
倒立摆系统非线性模型如下
（24）
（25）
其中，，
满足和；
重新整理系统模型，得
(26)
其中，，
。
2.稳态控制器的设计。
假设系统是输出达到稳态，即和，可以得到系统(26)的稳态控制律为
（27）
3.参考动态前馈控制器设计
在稳态控制的基础上，如果参考值是时变的，将控制律代入到式(26)，令和，则参考前馈为
（28）
4、误差反馈控制器设计
为了进一步提高倒立摆控制系统的控制性能，并提高对扰动和不确定性的鲁棒性能。定义系统跟踪误差为，设待确定的反馈控制量是，那么闭环误差反馈控制律为。误差反馈控制律为
（29）
结合式(27)和(28)，可以得
（30）
其中，
在Matlab/Simulink中搭建了倒立摆系统非线性控制器的仿真模型，系统输出如图3所示。
从图3可以看出，在初始时给系统施加一个外力的干扰，系统能在0.21秒内恢复到平衡位置，并且保持稳定控制，即稳态时间为0.21s，摆杆的超调在左右，由此可以看出，本发明设计的基于分步法的非线性控制器可以使倒立摆系统快速达到稳定控制并且具有良好的抗干扰能力。
Claims (1)
1.一种倒立摆的非线性控制器设计方法，其特征在于：建立倒立摆系统的非线性模型、设计稳态控制器、设计参考动态前馈控制器；设计反馈控制器是针对倒立摆的闭环误差系统，采用李雅普诺夫方法设计了反馈控制器；最后得到整个系统控制器的控制律；
a、建立单级倒立摆的非线性模型：
根据牛顿欧拉方法建立倒立摆系统模型，令u为控制量，即被控对象受力F，单级倒立摆系统运动方程为
其中系统参数:m是摆杆的质量，M是小车质量，l是摆杆转动轴心到杆质心的长度，I是摆杆的惯量，g是重力加速度，F是施加在小车上的力，θ是摆杆与垂直向上方向的夹角，s是小车的位置。
将模型中摆角θ与位移s的关系解耦，只考虑倒立摆摆角θ，令倒立摆控制系统状态向量其中系统状态x1＝θ，系统状态令倒立摆控制系统的输出为y＝θ，令则倒立摆系统非线性模型如下
y＝x1 (7)
其中f1(x1)＝0，g1(x1)＝1，
f1(x1)，f2(x)，g1(x1)和g2(x)是在定义域内充分光滑的非线性函数，并满足g1(x1)≠0和g2(x)≠0；
设计目标是得到反馈控制律u，使得输出y能够渐进跟踪参考信号y*；
由公式(6)和公式(7)，得到单级倒立摆的数学模型：
推导控制变量u
g1(x1)g2(x)＝B(x)＝g2(x)；
b、设计倒立摆系统的稳态控制器：
设系统是输出达到稳态，即令和得到系统(8)的稳态控制律为
c、设计参考动态前馈控制器
在稳态控制的基础上，如果参考值是变化的，将控制律u＝us+uf代入到式(8)，得
令和则参考前馈为
d、设计误差反馈控制器
定义系统跟踪误差为e1＝y*-y，设待确定的反馈控制量是ub，那么闭环误差反馈控制律为
u＝us+uf+ub (12)
闭环系统误差系统可以写成
定义误差系统重新整理为
其中B(x)≠0。对于串级非线性误差系统(14)，将e2看成是e1子系统的虚拟控制输入，可采用多种不同设计方法使误差e1→0，系统渐进稳定。
实际工程中由于微分求导容易引起噪声放大而很少使用PD控制器，一般使用PID或是PI控制器。为了消除静差，引入积分作用对反馈控制部分进行修正。
对误差子系统e1，定义其中参数k0>0，χ＝∫e1dt，对其求导得
选择虚拟控制输入为
其中k1>0。将作为误差系统(14)的虚拟期望跟踪，为了使e2跟踪期望的以保证e1渐进稳定，定义e2的虚拟跟踪误差为e3，即则有
结合方程(14)和(16)，得到误差e3的导数为
定义第二个李雅普诺夫函数并应用式(17)和式(18)，对V2求导得
选择控制律为
其中k2>0，此时
V2负定，可见误差系统渐进稳定。得到误差反馈控制律ub整理为
e、系统控制器的控制律
结合式(9)和(11)得
其中，
k0>0，k1>0，k2>0；进而可搭建出完整的倒立摆非线性控制器。
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