CN109375512B

CN109375512B - 基于rbf-arx模型的保证倒立摆系统闭环稳定的预测控制方法

Info

Publication number: CN109375512B
Application number: CN201811382723.7A
Authority: CN
Inventors: 彭辉; 田晓盈
Original assignee: Central South University
Current assignee: Central South University
Priority date: 2018-11-20
Filing date: 2018-11-20
Publication date: 2021-04-09
Anticipated expiration: 2038-11-20
Also published as: CN109375512A

Abstract

本发明公开了一种基于RBF‑ARX模型的保证倒立摆系统闭环稳定的预测控制方法，本发明方法采用一种数据驱动的系统辨识技术，设计了直线二级倒立摆的一种基于不含偏移项的RBF‑ARX模型的建模方法，该方法可有效描述倒立摆的非线性动态特性。本发明基于直线二级倒立摆不含偏移项的RBF‑ARX模型的全局非线性特性设计了能够保证系统闭环稳定性的无穷域模型预测控制算法，可进一步提高倒立摆控制系统的动静态性能，具有较高的实用价值。本发明更适用于对控制系统动静态特性和快速性要求较高的倒立摆控制系统。

Description

基于RBF-ARX模型的保证倒立摆系统闭环稳定的预测控制方法

技术领域

本发明涉及自动控制技术领域，特别是一种基于RBF-ARX模型的可以保证直线二级倒立摆系统闭环稳定的无穷域模型预测控制方法。

背景技术

倒立摆是典型的快速、非线性、欠驱动、强耦合、开环不稳定的系统,对模型精度和控制算法要求较高，因此，被广泛用于教学和控制理论研究。对倒立摆控制问题的研究在理论上和方法论上对军工、航天、机器人和一般工业生产过程有着重要的意义和广泛的应用价值。

目前，LQR控制器由于其具有计算量小、设计简单、实时性强等优点，在倒立摆系统的稳定控制问题中得到了广泛的应用。随着工业控制对精度和自动化水平的不断提高，LQR控制器不能满足非线性、欠驱动、多变量、强耦合、快速的直线二级倒立摆系统对控制精度的高要求。因此，研究快速、简单、易于实现的、比LQR控制器性能更好的控制器也越来越成为目前控制领域亟待解决的难题。伴随着自动控制技术的不断发展，目前主要的倒立摆稳摆控制方法包括：PID控制、极点配置、LQR控制、模糊控制和滑模控制等。广泛应用的LQR控制需要在系统数学模型的基础上设计控制器。模糊控制方法强烈依赖于模糊规则，制定模糊规则本身就不是容易解决的问题，而且模糊规则一旦确定，其在线调整较困难，因此很难适用于复杂多变的工业过程控制情况。因此，如何获得倒立摆系统的精确数学模型是其控制器设计的重要组成部分。目前，倒立摆控制系统的研究多基于物理模型，其强烈依赖于倒立摆系统的实际物理结构、参数和工作环境。2012年7月11日公开的申请号为“201210035926.5”的“一种无需物理参数的倒立摆自适应滑模控制方法”，提出了一种基于物理模型的自适应滑模控制技术。2014年8月12日公开的申请号为“201410392778.1”的“一种基于神经网络和强化学习的倒立摆方法”，对于一维、二维和三维倒立摆系统，提出了一种基于拉格朗日法的物理建模方法。2015年9月1日公开的申请号为“201510553000.9”的“一种基于神经网络和强化学习的倒立摆方法”，提出了一种基于强化学习和BP神经网络的控制方法。2016年3月16日公开的申请号为“201610149410.1”的“不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生产方法”，提出了一种基于模糊算法和滑模控制的控制方法。2016年7月22日公开的申请号为“201610582536.8”的“倒立摆的非线性控制器设计方法”，提出了一种基于牛顿欧拉运动模型的非线性控制器设计方法。2017年8月30日公开的申请号为“201710764446.5”的“一种二阶无根系统的3D倒立摆装置及其控制方法”，对于3D倒立摆系统，提出了一种基于动力学模型的LQR控制器设计方法。以上发明都是基于拉格朗日方法和牛顿动力学方法建立倒立摆系统的物理模型，在建立过程中忽略了摩擦力、空气阻力等，而且其模型精度依赖于装置物理参数的准确度，控制器的控制效果容易受到外界环境变化的影响，在设计过程中未考虑系统的闭环稳定性。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，针对现有技术不足，提供一种基于RBF-ARX模型的可以保证直线二级倒立摆系统闭环稳定的无穷域模型预测控制方法，进一步提高对倒立摆系统的建模精度和控制性能。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种基于不含偏移项RBF-ARX模型的可以保证直线二级倒立摆系统闭环稳定的无穷域模型预测控制方法，包括以下步骤：

首先，利用数据驱动的辨识技术，采用一种基于不含偏移项的RBF-ARX的建模方法，离线建立直线二级倒立摆的输入小车加速度与小车位移和两根摆杆角度间的动态数学模型。实时采集倒立摆系统控制输入的数据、小车位移传感器的数据和两根摆杆角度传感器的数据。根据上述数据，离线建立直线二级倒立摆角度θ₁和θ₂的不含偏移项的RBF-ARX模型，结构如下：

其中：y(k)为k时刻倒立摆系统输出的第一摆杆和第二摆杆角度θ₁(k)和θ₂(k)构成的列向量；u(k)为k时刻倒立摆系统的输入量小车加速度；s(k-i)为倒立摆系统输出的小车位移；ξ(k)为高斯白噪声；设置系统输出的阶次i＝1,2，输入阶次为1是为了保证下一步建立的状态空间模型是完全能控和完全能观的；状态向量w(k-1)＝[θ₁(k-1),θ₂(k-1)]^T；

x^Tx为2范数；

和

分别为RBF神经网络的中心向量和缩放因子；

为RBF神经网络相应的权重系数；非线性参数

和线性参数

均通过SNPOM优化方法离线优化辨识获得，SNPOM优化方法是一种由列维布格奈奎尔特方法(LMM)和线性最小二乘法(LSM)相结合的离线优化方法。

其次，基于上述建立的两个角度的RBF-ARX模型建立直线二级倒立摆的完全能控和完全能观的状态空间模型如下：

其中，

T为倒立摆系统的采样周期0.005s。

然后，基于上述局部线性全局分线性的状态空间模型，设计直线二级倒立摆基于不含偏移项的RBF-ARX模型的闭环稳定的无穷域预测控制算法。在每个采样时刻，在线求解黎卡提方程，以获得预测控制量。利用RBF-ARX模型的结构和参数特性，设计能够保证系统闭环稳定性的无穷域模型预测控制器目标函数如下：

其中，R＝5为控制加权系数；Q＝diag{20,500,50,500,30,800}(在控制器参数设计时，保证(A_k,Q^1/2)是完全能观的)为状态加权矩阵；在LQR设计框架下，基于直线二级倒立摆RBF-ARX模型设计的能保证闭环系统稳定性的无穷域模型预测控制算法，在每个k时刻，通过LQR算法优化计算系统的最优控制序列u^*(k|k),u^*(k+1|k),…，方法如下：

u^*(i₁|k)＝-K_kX(i₁|k),i₁＝k,k+1,…

其中，

P_k是黎卡提方程

的解(在进行控制器参数R和Q设计时，保证(A_k,Q^1/2)是完全能观的，同时P_k对于X(k)是连续可微的)；根据矩阵求逆引理可得：

在每个k时刻，从P_k(0)＝0开始，通过迭代求解

其中，l(l＝0,1,…)是迭代次数，迭代求解直至||P_k(l)-P_k(l+1)||₂＜0.1，可求得P_k＝P_k(l)，进而可求得K_k；在每个时刻k，将控制量u(k)＝u^*(k|k)执行于倒立摆系统。

基于直线二级倒立摆不含偏移项的RBF-ARX模型的全局非线性特性设计的无穷域模型预测控制算法，通过实时优化计算倒立摆小车加速度控制信号量u(k)，最终达到精确控制小车位移、第一摆杆和第二摆杆角度的目的。

与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：

考虑到倒立摆系统物理模型推导过程复杂，模型精度依赖于系统物理参数精度而且易受外界环境影响的问题。本发明方法采用一种数据驱动的系统辨识技术，设计了直线二级倒立摆的一种基于不含偏移项的RBF-ARX模型的建模方法，该方法可有效描述倒立摆的非线性动态特性。本发明基于直线二级倒立摆不含偏移项的RBF-ARX模型的全局非线性特性设计了能够保证系统闭环稳定性的无穷域模型预测控制算法，可进一步提高倒立摆控制系统的动静态性能，具有较高的实用价值。本发明更适用于对控制系统动静态特性和快速性要求较高的倒立摆控制系统。

附图说明

图1为直线二级倒立摆系统结构示意图。

具体实施方式

本发明所述的直线二级倒立摆系统如图1所示。直线电机通过传送带与小车相连，小车通过连接块与第一摆杆(即摆杆1)相连，第二摆杆(即摆杆2)通过质量块与第一摆杆相连。在控制过程中，电机通过传送带控制小车使小车沿轨道在图1中x轴方向左右移动，进而控制第一摆杆和第二摆杆在图1中xy平面内的y轴附近摆动。直线二级倒立摆系统的参数如表1所示。

表格1直线二级倒立摆的结构参数表

本发明利用数据驱动的辨识技术，采用一种基于不含偏移项的RBF-ARX的建模方法，离线构建倒立摆系统控制输入(小车加速度)与被控第一摆杆和2的角度间关系的动态数学模型。利用不含偏移项的RBF-ARX模型的全局非线性特性，在LQR算法设计框架下，设计基于不含偏移项RBF-ARX模型的无穷域模型预测控制算法。在每个采样时刻，在线求解黎卡提方程，以获得状态反馈向量进而得到预测控制量。基于直线二级倒立摆不含偏移项RBF-ARX模型的全局非线性特性设计的无穷域预测控制算法，通过实时控制小车加速度最终达到精确控制小车位移、第一摆杆和2的角度的目的。

本发明的方法包括以下步骤：

1)采集直线二级倒立摆系统的输入和输出数据，获得系统辨识动态数据

在LQR控制器的控制作用下采集倒立摆系统的输入信号(小车加速度

)和输出信号(小车位移s，第一摆杆、2的角度θ₁和θ₂)，获得建模的辨识数据。辨识不含偏移数据应是在其有效范围内充分激发的倒立摆系统的各种动态特性的数据。

2)建立直线二级倒立摆系统的不含偏移项的RBF-ARX模型

对于获得的辨识数据(u，θ₁和θ₂)，首先对其进行去除平均值的处理，接着，采用一种基于不含偏移项的RBF-ARX的建模方法，离线建立直线二级倒立摆系统输入与被控第一摆杆、2的角度θ₁和θ₂间关系的动态数学模型。本发明直线二级倒立摆系统的不含偏移项的RBF-ARX数学模型结构如下：

x^Tx为2范数；

和

分别为RBF神经网络的中心向量和缩放因子；

为RBF神经网络相应的权重系数；非线性参数

和线性参数

均通过SNPOM优化方法离线优化辨识获得。本发明采用一种快速收敛的结构化非线性参数优化方法(SNPOM)对上述函数型权RBF-ARX模型的参数进行优化，其是一种由列维布格奈奎尔特方法(LMM)和线性最小二乘法(LSM)相结合的离线优化方法(详见：Peng H,Ozaki T,Haggan-Ozaki V,Toyoda Y.2003，A parameter optimizationmethod for the radial basis function type models),本发明实施例中:非线性参数为

线性参数为:

3)基于直线二级倒立摆两个角度的RBF-ARX模型建立系统的状态空间模型由于直线二级倒立摆的输入为小车的加速度，即

用v_k代表k时刻小车的速度，则可得到小车位移的模型为：

结合倒立摆两个角度的RBF-ARX模型和上述小车位移模型可获得直线二级倒立摆的完全能控和完全能观的状态空间模型如下：

其中，

T为倒立摆系统的采样周期0.005s。

4)基于倒立摆系统的全局非线性的完全能控和完全能观的状态空间模型设计能保证闭环系统稳定的无穷域模型预测控制算法

基于上述局部线性全局分线性的完全能控和完全能观的状态空间模型，设计直线二级倒立摆基于不含偏移项的RBF-ARX模型的能保证系统闭环稳定的预测控制算法。在每个采样时刻，在线求解黎卡提方程，以获得预测控制量。利用RBF-ARX模型的结构和参数特性，设计能保证系统闭环稳定的无穷域模型预测控制器目标函数如下：

其中，R＝5为控制加权系数；Q＝diag{20,500,50,500,30,800}(在控制器参数设计时，保证(A_k,Q^1/2)是完全能观的)为状态加权矩阵。

在LQR设计框架下，设计基于倒立摆系统RBF-ARX模型设计能保证系统闭环稳定的无穷域预测控制算法。在每个k时刻，通过LQR算法优化计算系统的最优控制序列u^*(k|k),u^*(k+1|k),…，方法如下：

u^*(i₁|k)＝-K_kX(i₁|k),i₁＝k,k+1,… (5)

其中，P_k是黎卡提方程

的解(在进行控制器参数R和Q设计时，保证(A_k,Q^1/2)是完全能观的，同时P_k对于X(k)是连续可微的)。

根据矩阵求逆引理可得：

在每个k时刻，从P_k(0)＝0开始，迭代求解：

其中，l(l＝0,1,…)是迭代次数，迭代求解直至||P_k(l)-P_k(l+1)||₂≤0.1，可求得P_k＝P_k(l)，进而由式(6)可求得K_k。

在每个时刻k，可获得控制量：

u(k)＝u^*(k|k)＝-K_kX(k|k) (9)

将其执行于倒立摆系统，实现对直线二级倒立摆的控制。

由上述算法设计可以看出，在每个采样时刻k，根据离线辨识的不含偏移项的RBF-ARX模型和系统的输入输出可得k时刻的局部线性化的完全能控和完全能观的状态空间模型，基于该状态空间模型通过在线求解黎卡提方程即可获得预测算法的控制量u(k)。

最后，说明上述设计的预测控制器能够保证所述直线二级倒立摆系统闭环稳定的条件：

根据上述介绍可以得到直线二级倒立摆(3)在控制器(9)作用下的闭环系统表达式为：

X(i+1|k)＝(A_k-B_kK_k)X(i|k),i＝k,k+1,…

根据矩阵求逆引理推导可得闭环系统的状态矩阵为：

其中

根据RBF-ARX模型(1)可得：W(k)＝ΓX(k),

因此，状态空间模型(3)中A_k和B_k为：A_k＝A(X(k))和B_k＝B(X(k))。进而，闭环系统可表示为：

针对直线二级倒立摆模型(3)和闭环系统(10)进行如下分析：

(1)系统状态空间模型的完全可控性和完全可观性

根据上述建模可得二级倒立摆的状态空间模型的系数矩阵结构如下：

可得，直线二级倒立摆系统的可控矩阵和可观矩阵分别为：

其中，ε_i,k(i＝1,2,…,10)为矩阵A_k和B_k相乘得到的数，Q＝(Q^1/2)^TQ^1/2＝diag{20,500,50,500,30,800}。从Π的结构和元素的特征可以看出rank(Π)＝6，通过设定合适的Q，可满足rank(Ω)＝6。因此，通过设计合理的控制器参数可以确保(A_k,B_k)和(A_k,Q^1/2)分别是完全能控和完全能观的。

(2)A_k和B_k的可微性：

A_k和B_k中包含的函数型元素可表示为：

其中，

对上式求关于X(k)的微分：

其中，

由上式可看出，A_k和B_k是完全可微的。

(3)K_k的可微性：

已证A_k和B_k是完全可微的，因此，由式(6)可得：如果P_k在任意时刻k都是连续可微的,那么K_k就是连续可微的。

根据(Zhou,L.,Lin,Y.,Wei,Y.,&Qiao,S.(2009).Perturbation analysis andcondition numbers of symmetric algebraic Riccati equations.Automatica,45(4),1005-1011.)介绍，由条件数的定义可知：

其中，

ΔA_k和ΔG_k分别表示A_k和G_k的波动量，ΔP_k表示当A_k和G_k波动时P_k的变化量，||·||_F表示Frobenius范数，

对于

有以下特征：1)根据(Ogata,K.(1995).Discrete-time controlsystems(Vol.2,pp.446-480).Englewood Cliffs,NJ:Prentice Hall.)可知：对于所述倒立摆系统，由于(A_k,B_k)和(A_k,Q^1/2)分别是完全可控和完全可观的，则式(7)中P_k有唯一的、对称的、半正定的解，且(I_n+G_kP_k)^-1A_k的所有特征值都在单位圆内；2)

表明G_k是对称的。

引理(Zhou,L.,Lin,Y.,Wei,Y.,&Qiao,S.(2009).Perturbation analysis andcondition numbers of symmetric algebraic Riccati equations.Automatica,45(4),1005-1011.).对于

若果λ₁,λ₂,…λ_m和μ₁,μ₂,…μ_n分别是

and

的特征值，那么，

的特征值为λ_iμ_j，i＝1,2,…,m j＝1,2,…,n。

由上述引理可知，

(符号

表示求Kronecker乘积)是非奇异的。然后，由于

是非奇异的，根据(Zhou,L.,Lin,Y.,Wei,Y.,&Qiao,S.(2009).Perturbation analysis and condition numbers of symmetric algebraic Riccatiequations.Automatica,45(4),1005-1011.)可得：对于所述直线二级倒立摆，上述P_k的条件数可由下式求得：

其中，

Π是一个6²×6²置换矩阵。

由以上分析可知，通过设置合适的控制器参数来使得(A_k,B_k)和(A_k,Q^1/2)分别是完全可控和完全可观，则可得：

是非奇异的，P_k的条件数可由上式求得。由条件数的定义式

得出：若P_k的条件数存在，则P_k是可微的，即K_k就是连续可微的。

由以上分析可得：对于所述直线二级倒立摆的闭环系统(10)，A_k，B_k和K_k在任意时刻k都是连续可微的,即

是连续可微的。

对于所述直线二级倒立摆，它的竖直向上的平衡点为X₀＝0，在该平衡点处对不含系统(10)求微分如下：

对于闭环系统的状态矩阵(A_k-B_kK_k)，已经证得它的所有特征值都在单位圆内，所以可得J(X₀)的所有特征值都在单位圆内。

根据(Li,W.,&Szidarovszky,F.(1999).An elementary result in thestability theory of time-invariant nonlinear discrete dynamicalsystems.Applied mathematics and computation,102(1),35-49.)可得：对于直线二级倒立摆的不含系统(10)，如果

连续可微，J(X₀)的所有特征值都在单位圆内，则可知所述倒立摆系统(3)在控制器(5-6)的控制作用下能够渐进稳定于它的平衡点处。

通过以上分析可知，本发明所设计的预测控制器通过实时控制直线二级倒立摆小车加速度能够达到稳定控制小车位移和摆杆角度的目标，本方法更适用于对控制快速系统的动静态特性要求较高的倒立摆控制系统。

Claims

1.一种基于RBF-ARX模型的保证倒立摆系统闭环稳定的预测控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)对直线二级倒立摆的第一摆杆和第二摆杆的角度θ₁和θ₂离线建立如下不含偏移项的RBF-ARX模型：

其中：y(k)为k时刻倒立摆系统输出的第一摆杆和第二摆杆角度θ₁(k)和θ₂(k)构成的列向量；u(k)为k时刻倒立摆系统的输入量小车加速度；s(k-i)为倒立摆系统输出的小车位移；ξ(k)为高斯白噪声；设置系统输出的阶次i＝1,2；状态向量w(k-1)＝[θ₁(k-1),θ₂(k-1)]^T；

为2范数；

和

分别为RBF神经网络的中心向量和缩放因子；

为RBF神经网络相应的权重系数；非线性参数

和线性参数

均通过SNPOM优化方法离线优化辨识获得；

2)基于上述不含偏移项的RBF-ARX模型建立直线二级倒立摆的完全能控和完全能观的状态空间模型如下：

其中，

T为倒立摆系统的采样周期；

3)基于直线二级倒立摆的蕴含全局非线性特性的状态空间模型，利用RBF-ARX模型的结构和参数特性，设计能够保证系统闭环稳定性的无穷域预测控制器结构如下：

其中，R为控制加权系数；Q为状态加权矩阵；利用RBF-ARX模型的结构和参数特性，设计能保证系统闭环稳定性的无穷域模型预测控制算法，在每个k时刻，通过LQR算法优化计算系统的最优控制序列u^*(k|k),u^*(k+1|k),…：u^*(i₁|k)＝-K_kX(i₁|k),i₁＝k,k+1,…；其中，

P_k是黎卡提方程

的解；根据矩阵求逆引理得：

在每个k时刻，从P_k(0)＝0开始，通过迭代求解

其中，l是迭代次数，迭代求解直至||P_k(l)-P_k(l+1)||₂＜0.1，求得P_k＝P_k(l)，进而求得K_k；在每个时刻k，将控制量u(k)＝u^*(k|k)执行于倒立摆系统；(A_k,Q^1/2)是完全能观的，P_k对于X(k)是连续可微的；直线二级倒立摆系统的可控矩阵和可观矩阵分别为：

ε_i,k为矩阵A_k和B_k相乘得到的数。

2.根据权利要求1所述的基于RBF-ARX模型的保证倒立摆系统闭环稳定的预测控制方法，其特征在于，T＝0.005s。

3.根据权利要求1所述的基于RBF-ARX模型的保证倒立摆系统闭环稳定的预测控制方法，其特征在于，R＝5。

4.根据权利要求1所述的基于RBF-ARX模型的保证倒立摆系统闭环稳定的预测控制方法，Q＝diag{20,500,50,500,30,800}。